二元一次方程组应用题的常见类型分析 - 副本

二元一次方程组的8个类型，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

03.工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。

二元一次方程组应用探究二元一次方程组是最简单的方程组，其应用宽泛，特别是生活、生产实践中的很多问题，大多需要经过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常有的几种题型归纳以下：一、数字问题例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；假如互换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．剖析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系x y 10x+y10x+y=x+y+原两位数9y 10y+x10y+x=10x+新两位数ｘy+27解方程组，得，所以，所求的两位数是14．评论：因为受一元一次方程先入为主的影响，许多同学习惯于只设一元，而后列一元一次方程求解，固然这类方法十有八九能够见效，但对有些问题是力所不及的，象此题，假如直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出对于x 的方程．一般地，与数位上的数字相关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，而后列多元方程组解之．二、收益问题例 2 一件商品假如按订价打九折销售能够盈余20%；假如打八折销售能够盈余10 元，问此商品的订价是多少？剖析：商品的收益波及到进价、订价和卖出价，所以，设此商品的订价为x 元，进价为y 元，则打九折时的卖出价为元，赢利元，所以得方程=20%y；打八折时的卖出价为元，获利元，可得方程=10.解方程组，解得，所以，此商品订价为200 元．评论：商品销售盈余百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于订价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：收益=卖出价 - 进价；二是：收益=进价×收益率（盈余百分数）．特别注意“收益”和“收益率”是不一样的两个观点．三、配套问题例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每日可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，假如一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每日安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每日生产出来的产品配成最多套？剖析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母所有配上套，依据题意，每日生产的螺栓与螺母应知足关系式：每日生产的螺栓数×2=每日生产的螺母数×1．所以，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每日可生产螺栓 25ｘ个，螺母 20ｙ个，依题意，得，解之，得．故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母．评论：产品配套是工厂生产中基来源则之一，怎样分派生产力，使生产出来的产品恰巧配套成为主管生产人员常有的问题，解决配套问题的重点是利用配套自己所存在的相等关系，此中两种最常有的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：假如ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；（2）“三合一”问题：假如甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各样产品数应知足的相等关系式是：．四、行程问题例 4 在某条高速公路上挨次摆列着 A、B、C 三个加油站， A 到 B 的距离为 120 千米， B 到 C 的距离也是 120 千米．分别在 A、 C两个加油站实行打劫的两个犯法团伙作案后同时以同样的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以同样的速度分别往A、 C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被此中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追追上．问巡逻车和犯法团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯法团伙的车的速度分别为x、y 千米 / 时，则，整理，得，解得，所以，巡逻车的速度是80 千米 / 时，犯法团伙的车的速度是40 千米 / 时．评论：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常有的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系波及到二者的速度、本来的距离以及行走的时间，详细表此刻：“相向而遇”时，二者所走的行程之和等于它们本来的距离；“同向追及”时，快者所走的行程减去慢者所走的行程等于它们本来的距离．五、货运问题典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，此中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充足利用这艘船的载重和容积，甲、乙双重货物应各装多少吨？剖析：“充足利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则，整理，得，解得，所以，甲、乙双重货物应各装150 吨．评论：由实质问题列出的方程组一般都能够再化简，所以，解实质问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样能够减少计算量，增添正确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大条约数或移项、归并同类项等．六、工程问题例 6 某服饰厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规按限期内达成，依据这个服装厂本来的生产能力，每日可生产这类服饰 150 套，按这样的生产进度在客户要求的限期内只好达成订货的；此刻工厂改良了人员组织构造和生产流程，每日可生产这类工作服200套，这样不单比规准时间少用 1 天，并且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？要求的限期是几日？剖析：设订做的工作服是x 套，要求的限期是y 天，依题意，得，解得 .评论：工程问题与行程问题相近似，重点要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率 =工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少没关时，往常用“1”表示总工作量．《二元一次方程组实质问题》赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可归纳为“审、找、列、解、答”五步，即：（ 1）审：经过审题，把实质问题抽象成数学识题，剖析已知数和未知数，并用字母表示此中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：依据这两个相等关系列出必要的代数式，进而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（ 5）答：在对求出的方程的解做出能否合理判断的基础上，写出答案【典题精析】例1（ 2006 年南京市）某泊车场的收费标准以下：中型汽车的泊车资为车的泊车资为4元 / 辆. 此刻泊车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳泊车资中、小型汽车各有多少辆？分析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆 . 由题意，得.6元 / 辆，小型汽230 元，问解得，故中型汽车有 15辆，小型汽车有35辆 .例 2（ 2006 年四川省眉山市）某蔬菜企业收买蔬菜进行销售的赢利状况以下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨赢利（元）100250450此刻该企业收买了140 吨蔬菜，已知该企业每日能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜吨（两种加工不可以同时进行）．（1）假如要求在18 天内所有销售完这140 吨蔬菜，请达成以下表格：16销售方式所有直接销售所有粗加工后销售尽量精加工，节余部分直接销售赢利（元）（2）假如先进行精加工，而后进行粗加工，要求在15 天内恰巧加工完140 吨蔬菜，则应怎样分派加工时间？解：（ 1）所有直接销售赢利为： 100×140=14000（元）；所有粗加工后销售赢利为：250×140=35000（元）；尽量精加工，节余部分直接销售赢利为： 450×（6×18）＋100×（ 140－6×18） =51800 （元） .（ 2）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工.由题意，得解得，故应安排 10 天进行精加工， 5 天进行粗加工.【追踪练习】为知足市民对优良教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆掉一部分旧校舍，建造新校舍，拆掉旧校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700 元.计划在年内拆掉旧校舍与建筑新校舍共7200 平方米，在实行中为扩大绿地面积，新建校舍只达成了计划的80%，而拆掉旧校舍则超出了计划的10%，结果恰巧达成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实质达成的拆、建工程中节余的资本用来绿化大概是多少平方米？答案：（ 1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、2400平方米；（ 2）可绿化面积为1488 平方米.。

二元一次方程应用题8种类型一、行程问题1. 题目- 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲在乙后面，5小时后甲追上乙。

求甲、乙两人的速度。

2. 解析- 根据相向而行时，路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30，化简为x + y = 10。

- 根据同向而行时，路程差=速度差×时间，可得到方程5(x - y)=30，化简为x - y=6。

- 联立方程组x + y = 10 x - y = 6，将两式相加，2x=16，解得x = 8。

- 把x = 8代入x + y = 10，得y = 2。

二、工程问题1. 题目- 一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成；甲队单独做比乙队单独做少用5天。

求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？2. 解析- 把工作总量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，两队合作的工作效率为(1)/(6)，甲队工作效率为(1)/(x)，乙队工作效率为(1)/(y)，则(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)。

- 又因为甲队单独做比乙队单独做少用5天，所以y - x=5，即y=x + 5。

- 将y=x + 5代入(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)中，得到(1)/(x)+(1)/(x + 5)=(1)/(6)。

- 去分母得6(x+5)+ 6x=x(x + 5)，展开6x+30+6x=x^2+5x，移项化为一元二次方程x^2-7x - 30 = 0，因式分解(x - 10)(x+3)=0，解得x = 10或x=-3（天数不能为负舍去）。

- 当x = 10时，y=10 + 5=15。

三、利润问题1. 题目- 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品进价为x元/件，乙商品进价为y元/件。

已知购进5件甲商品和4件乙商品共花费300元；甲商品每件售价20元，乙商品每件售价30元，全部售出后利润为100元。

干货丨方程组应用的七大常考题型一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、典型题型分析 类型1 和差倍分问题知识梳理：和差问题是已知两个量的和或这两个量的差，以及这两个量之间的倍数关系，求这两个量各是多少.例1：被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km .求隧道累计长度与桥梁累计长度．分析：设隧道累计长度为x km ，桥梁累计长度为y km.由“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km ”可以得到第一个等量关系式x+y=342,再由“隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km ”可以得到第二个等量关系2x=y+36. 解：设隧道累计长度为x km ，桥梁累计长度为y km .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝342，2x ＝y ＋36.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝126，y ＝216. 答：隧道累计长度为126 km ，桥梁累计长度为216 km .针对训练 1.学校的篮球比排球的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2，求两种球各有多少个．若设篮球有x 个，排球有y 个，根据题意列方程组为(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －33x ＝2yB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋33x ＝2yC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋32x ＝3yD .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －32x ＝3y类型2 配套问题例2：现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。

二元一次方程组常考题型分类综述(超全
面)精编版
前言
二元一次方程组是中学数学中最基础和核心的概念之一。

在数学竞赛和考试中，二元一次方程组也是一个非常重要的考点，掌握二元一次方程组的解法和应用对学生的高考和升学十分有帮助。

本文将对常见的二元一次方程组题型进行分类和综述，希望对读者有所帮助。

题型分类
- 线性方程组
- 二次项系数相等的方程组
- 系数之和或乘积相等的方程组
- 附加条件的方程组
- 同余方程组
- 参数方程组
- 应用题型
题型解答和应用
- 线性方程组：通过高斯消元法、逆矩阵法、克莱姆法则等方
法求解，应用题中多涉及物品单价、销售利润等问题。

- 二次项系数相等的方程组：通过代数公式或配方法解题，应
用题中多涉及面积和周长的相关问题。

- 系数之和或乘积相等的方程组：通过因式分解或构造法解题，应用题中多涉及水桶注水、人和船渡河等问题。

- 附加条件的方程组：通过加条件方程、联立方程组等方法解题，应用题中多涉及全年销售、人口迁移等问题。

- 同余方程组：通过同余方程组的求解和解的唯一性证明等方
法解题，应用题多涉及小学奥数和计数学等问题。

- 参数方程组：通过参数的求解和解的判定等方法解题，应用
题中多涉及直线和曲线等几何问题。

- 应用题型：通过识别题目中的信息、设定变量和方程等方法
解题，如鸡兔同笼、三角形三边长等问题。

结论
掌握二元一次方程组的解法和应用对学习数学和提高综合素质
都是十分有益的。

通过分类和综述常见的二元一次方程组题型，读
者可以更好地理解和应用二元一次方程组，达到事半功倍的效果。

5.甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发相向而行，每隔2分相遇一次，如果同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求二人每分各跑几圈?6.一辆长150米的载客火车和一辆长250米的载货火车在两平行的铁轨上行驶，若两车相向而行从车头相遇到车尾离开共需10秒；若载客车追载货车，从车头追上载货车尾到完全超过载货火车共需100秒，求两车速度（二）行船问题V 顺=V船+V水V顺=V船+V水S顺=V顺t顺S逆=V逆t逆1.AB两码头相距140千米，船顺流行驶用了7小时，逆流行驶用了10小时，求船在静水中的速度和数的速度。

2.甲乙两市航线长1200千米，一飞机从甲市到乙市顺风行驶需2小时30分；从乙市到甲逆风行驶需3小时20分，求飞机无风时的速度和风速。

（三）其他问题1.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡速度为每小时3千米，下坡速度为每小时4千米，平路速度为每小时5千米，则从甲到乙需54分，从乙到甲需42分，求甲到乙的全程长。

2.某人从A出发到B，先以每小时12千米的速度下坡，再以每小时9千米的速度在平路上行驶到B，共用了55分；回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡至A，共用1.5小时，求AB两地间的路程。

3.甲到乙36千米，有一部分上坡路，一部分下坡路，保持上坡速度为每小时12千米，下坡速度为每小时18千米，某人从甲地到乙地用的时间，比他从乙地到甲地用的时间少0.5小时，他从甲到乙用了多长时间?年龄问题大年龄-小年龄=年龄差任何时候年龄差不变1.今年A的年龄是B的3倍，6年后A的年龄是B年龄的2倍，求AB现在的年龄各是多少？2.A对B说：“我是你现在的年龄时你才4岁；你是我现在的年龄时我已经61岁”求A和B现在的年龄各多少？3.5年前甲的年龄是乙的15倍，15年后甲的年龄比乙年龄的2倍大6，问甲乙现在的年龄各是多少？4.A对B说：“我像你这样大时你才1岁；你到我这样大时我已经37岁了”求A和B现在的年龄各多少？。

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一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

初二二元一次方程组应用题一、二元一次方程组应用题的基础概念二元一次方程组呢，就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组。

在初二的应用题里，这些未知数通常代表着实际生活中的一些量，像人数啊、物品的数量啊之类的。

比如说，我们假设一个未知数x代表男生的人数，另一个未知数y代表女生的人数，这就可以是二元一次方程组里的未知数啦。

二、常见的应用题类型1. 调配问题就像是有一个工厂，甲车间和乙车间的工人调配。

比如甲车间原本有x个工人，乙车间原本有y个工人，然后从甲车间调了一部分工人到乙车间，这时候就可以根据调配前后的人数关系列出二元一次方程组。

例如，调配前甲车间人数加上乙车间人数是100人，调配后甲车间人数比乙车间人数少20人，那就可以列出方程组：x + y = 100，y - x = 20。

2. 行程问题这可太常见啦。

如果有两个人，一个人速度是x米/秒，另一个人速度是y米/秒。

他们在同一条路上走，相向而行或者同向而行就会有不同的情况。

相向而行的时候，他们走过的路程之和等于总路程；同向而行的时候，速度快的人走过的路程减去速度慢的人走过的路程等于他们最初的距离。

比如说，两人相距100米，相向而行，10秒后相遇，那就可以列出10x + 10y = 100。

3. 销售问题商店里卖东西也会用到二元一次方程组哦。

假设一种商品的进价是x元，售价是y元，销售量是一定的，根据利润的关系就能列出方程。

比如说，进了两种商品A和B，A商品进价x元，B商品进价y元，一共花了1000元进货，然后A商品每件赚10元，B商品每件赚20元，总共赚了500元，那就可以列出x + y = 1000，10A + 20B = 500（这里假设A和B的数量是固定的，根据具体情况可以设不同的未知数来表示数量关系）。

三、如何解二元一次方程组应用题1. 审题这可太重要啦，要仔细读题，把题目里的关键信息找出来。

比如说上面提到的那些例子，要找出哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间有什么关系。

（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。

初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。

为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。

类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。

类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。