弦长问题

第20讲 弦长问题知识与方法设直线的方程为y kx t =+，由()()200,0y kx tax bx c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB x x a=−== 设直线的方程为x my n =+，由()()200,0x my nay by c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB y y −= 提醒：①当已知或可求点的横（或纵）坐标时，则直接计算12x x −或12y y −得出弦长，否则联立直线与圆锥曲线，按上述公式中最右端的部分，用判别式来计算弦长；②若涉及到计算PA PB ⋅这种结构，还有小技巧可以使用典型例题1.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠（O 为原点），求k 的值.【解析】（1）由题意，3a =，故32a b =，c =，32FB a b =−，AB ，故32FB AB b ⋅==2b =，3a =，即椭圆的方程为22194x y +=. （2）如图，由（1）知()2,0A ，故直线AB 的方程为2y x =−+联立2y kx y x =⎧⎨=−+⎩解得：21x k =+，所以221AQ k =−=+.联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：x =p x所以21PQ k =−+， 设AOQ θ∠=，则tan k θ=，故sin cos k θθ=，即sin cos k θθ=， 所以()22222sin cos 1sin k k θθθ==−， 结合sin 0θ>可得sin θ=，即sin AOQ ∠=，由AQ AOQ PQ=∠=415−=，易证()31k +>3110k +>，31415k +=，进一步可解得：12k =或1128.2.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .，AB =.（1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P 、Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P 、M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.【解析】（1）由题意，3a ==3a =，2b =， 故椭圆的方程为22194x y +=.（2）显然直线AB 的方程为132x y +=，联立132y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：623x k =+，即623M x k =+因为点M 在第四象限，所以6023k >+，解得：23k >−， 联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x =结合点P在第四象限知P x =，Q x =，所以P Q PQ x x =−，P M PM x x =−， 由题意，2BPMBPQ PM S S PQ==△△，所以2PM PQ =，P M P Q x x x x −=−，故2P M P Q x x x x −=−， 所以()2M P P Q x x x x −=−，即32M P Q x x x =−，所以632k =+，解得：12k =−或89−，又23k >−，所以12k =−.3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，b c = ，故22222a b c b =+=，椭圆的方程为222212x y b b +=，联立2222312y x x y bb =−+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：223121820x x b −+−= ①，判别式()()2212431820b∆=−−⨯−=，解得：b =E 的方程为22163x y +=将b =2x =，代入3y x =−+可得1y =，故点T 的坐标为()2,1. （2）解法1：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k = 故可设l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立312y x y x m =−+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：223213m x m y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即222,133m m P ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭ .所以2289m PT = 联立2212163y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：22344120x mx m ++−=, 由判别式()22116124120m m ∆=−−>得：22m −<<， 故1243m x x +=−，2124123m x x −=，故()221212125225221022224334339m m m m m PA PB x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅−−−−=⋅−−−++=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立. 解法2：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k =， 因为点P 在直线3y x =−+上，所以可设(),3t P t −，则()()()222223122PT t t t =−+−−=−， 且l '的方程为()132y x t t =−+−，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()22132163y x t t x y ⎧=−+−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：()()()224220x t x t t −+−+−=， 由判别式()2116820t ∆=−−>得：22t <， 由韦达定理，()()()21222x t x t t −−=−11PA x t x t −=−，同理，2PB x t =−，所以()()()()2212555222442PA PB x t x t t t ⋅=⋅−−=⋅−=− 故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立.【反思】设()00,P x y ，过点P 的直线与某圆锥曲线交于A 、B 两点，若要计算PA PB ⋅这种结构，在将直线和圆锥曲线方程联立时，根据弦长公式的需要凑成关于0x x −的这种“整体型”的一元二次方程，可以一定程度上简化计算.4.（★★★★）已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，所以()2,0A −， 如图1，由AM AN =知AMN △为等腰直角三角形，直线AM 的方程为2y x =+联立222143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：27127x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或20x y =−⎧⎨=⎩，所以212,77M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由对称性可得212,77N ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故1224144227749AMN S ⎛⎫=⨯−⨯= ⎪⎝⎭△. （2）如图2，由题意可得()A ，直线AM的方程为(y k x =，即1x y k= 记1m k =，则AM的方程为x my =2213x y t +=消去x 整理得：()22360mt y +−=，解得：0y =，所以My =故M A AM y y =−=①在式①中用1m −替换m 可得AN =，因为2AM AN =，所以= ，结合00m t >⎧⎨>⎩整理得：()322136m t m m −=−， 将m 换回成1k 可得322361t k k k ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，从而()32236k t k k −=−②，当k =时，方程②不成立；当k ≠23362k k t k −=−，因为椭圆E 焦点在x 轴上，所以3t >，故233632k k k −>−，从而23212k k k −>−③，当0k <<时，320k −>，不等式③可化为2322k k k −>−，即32220k k k −+−>，所以()()221210k k k +−+>，故()()2120k k +−>，该不等式在0k <时无解，当k >时，320k −<，不等式③可化为2322k k k −<−，即32220k k k −+−<，所以()()2120k k +−<，解得：2k <，结合k >2k <综上所述，k 的取值范围为)【反思】欲求t 的范围，需建立关于k 的不等关系，本题建立k 的不等式用到的是椭圆E焦点在x 轴上，这一条件较为隐蔽.强化训练5.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在内圆上运动，12AF F △112AF F F ⊥时，132AF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）延长直线1AF 与椭圆C 交于点B ，若11F A F B AB λ⋅=，求λ的值. 【解析】（1）设()1,0F c −，()2,0F c ，则222a c b −=①，由题意，()12max122AF F S c b bc =⋅⋅==△②， 当112AF F F ⊥时，直线1AF 的方程为x c =−，代入22221x y a b +=可得，2242222a c b y b a a−=⋅=， 故2b y a=±，从而2132b AF a ==③，联立①②③解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）由（1）可得()11,0F −，当直线AB 垂直于y 轴时，易求得113F A F B ⋅=，4AB =，所以34λ=，当直线AB 不与y 轴垂直时，设直线AB 的方程为1x my =−，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2213412x my x y =−⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， ()()()22236434914410m m m ∆=−+⋅−=+>由韦达定理，122934y y m =−+，从而()()22111212291134m F A F B y y m y y m +⋅==+=+()212212134m AB y y m +=−==+因为11F A F B AB λ⋅=，所以1134F A F B ABλ⋅==综上所述，34λ=.【反思】本题背后有一个简单的结论，设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左焦点为1F ，AB 是椭圆的过1F 的弦，则211112a AF BF b +=，其实也就是2112AB aAF BFb=⋅，右焦点弦也有同样的结论。

19.双曲线中的弦长问题
教学目标 班级____姓名________
1.掌握双曲线中弦长问题的解法.
2.能熟练解决中点弦问题.
教学过程
一、弦长问题.
1.弦长问题的一般解法：
（1）设直线方程和双曲线方程；（若有方程则不用设）
（2）消y ，得到关于x 的一元二次方程：02=++c bx ax ；
（3）韦达定理： a b x x -
=+21，（应用韦达定理，不必求出方程两根） a
c x x =21； （4）弦长公式：2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=.
2.中点弦问题.（已知弦的中点）
方法：（1）设直线与双曲线两交点的坐标),(11y x ，),(22y x ；
（2）将两交点坐标代入双曲线方程；
（3）两式相减，在配凑：一边是斜率，一边是中点；（利用斜率公式和中点公式）
（3）根据已知条件求解.
二、例题分析.
1.弦长问题.
例1：设双曲线的顶点是椭圆14
32
2=+y x 的焦点，该双曲线又与直线06315=+-y x 交于A 、B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点）.（1）求双曲线方程；（2）求||AB .
2.中点弦问题.
例2：已知直线l 过点M )1,3(-，且与双曲线14
22
=-y x 交于A 、B 两点，M 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.
作业：双曲线19422=-x y 递增的渐近线与椭圆14922=+y x 交于M 、N ，求||MN 的长.。

（3）直线与圆的位置关系一．弦长问题1.弦长公式：2.利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题例1：求直线被圆截得的弦长．例2．一个圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求该圆的方程．二．求圆的切线方程问题：1.已知点在圆上：2. 已知点在圆外：例1.求过圆上一点的圆的切线方程．2. 自点作圆的切线,求切线的方程．例2：自点作圆的切线,求切线的方程．3.从圆外一点向圆引切线，求切线长．例3: 已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.例4：若直线与恰有一个公共点，求实数的取值范围.练习1．已知圆，求该圆与轴和轴的截距的绝对值相等的切线的方程．2．若直线与有两个不同的交点，求实数的取值范围．3．直线与圆的位置关系为：（）相离相切相交但直线不过圆心相交且直线过圆心4．圆到直线的距离为的点共有（）1个2个3个4个5．圆与轴交于两点，圆心为，若，则的值是（ ）6．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 （ ）在圆上在圆外 在圆内 不能确定 7．过圆上一点作圆的切线，该切线的方程为 ． 8．与直线垂直，且与圆相切的直线方程是 ． 9．圆截直线所得的弦长等于 ． 10．过向圆引切线，求切线方程并求切线长。

11.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是( )A.4B.3C.2D.112.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0＜r ＜2B ．0＜r ＜C ．0＜r ＜2D ．0＜r ＜1013.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠ ，那么b 的取值范围是 .14.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．15.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，（1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.16．一个圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求该圆的方程． 1.（2013山东数学（理））过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为 （ ） A ． B ． C ． D ．2.（2013江苏卷理）本小题满分14分. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.(1) 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2) 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.3. (2010年广东) 已知圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是。

PO=，过点P作O的弦，其中最1．已知O的半径为2，点P为O内一定点，且1短的弦的长度是（）A．4 B C．D．2【答案】C【分析】过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，由等腰三角形性质可得AP=PB，在Rt△AOP中，AP【详解】解：根据勾股定理，在半径一定的情况下，弦越长，弦心距越短；弦越短，弦心距越长故过点P垂直于OP的弦最短∴过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，∵O的半径为2，∴OA=OB=2，∵OP⊥AB，∴AP=PB，在Rt△AOP中，AP，∴AB=2AP=故选择C．【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，掌握等腰三角形性质，勾股定理，圆的半径相等是解题关键．2．已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．【详解】解：∵圆的半径为6，∴直径为12，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．3．有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【答案】D【分析】根据圆的半径为5，可得到圆的最大弦长为10，即可求解．【详解】∵半径为5，∴直径为10，∴最长弦长为10，则不可能是11．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解圆的直径是圆的最长的弦是解题的关键．4．已知O的半径是6cm，则O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 【答案】B【分析】根据最长的弦是直径进行求解即可．【详解】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且O的半径是6cm，∴O中最长的弦长=6×2=12cm，故选：B．【点睛】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．5．已知在O 中，半径5OA =，弦CD a =，则a 的值不可以是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【分析】根据弦的定义直接可以得到答案.【详解】解：以为半径为5，所以直径为10所以圆中最长的弦为直径10而12＞10 所以12不是此圆的弦故选 D【点睛】本题主要考查了圆中弦的定义，熟记概念是解题的关键.6．已知在O 中，半径5OA =，弦CD a =，则a 的值不可以是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D【分析】根据直径是圆内最长的线段进行解答即可．【详解】解：因为圆O 的半径OA=5，所以，圆O 的直径为10，故弦CD 的长度不能超过10，所以，选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆的有关概念，掌握直径是圆内最长的线段是解答本题的关键． 7．如图，OA 是⊙O 的半径，B 为OA 上一点（且不与点O 、A 重合），过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C ．以OB 、BC 为边作矩形OBCD ，连结BD ．若CD ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【分析】连接OC，先根据矩形的性质和圆的性质得到OC=DB=OA，然后在Rt△OBC中求出OB，然后再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图：连接OC∵矩形OBCD∴∠DCB=90°，BD=OC,OB=DC=6∵DC=6，BC=8∴10=∵OA是⊙O的半径∴OA=BD=OC=10∴AB=OA-OB=10-6=4故答案为C．【点睛】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键．8．已知⊙O 的半径是5cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案．【详解】∵⊙O 的半径是5cm ，∴⊙O 中最长的弦，即直径的长为10cm ，故选：B ．【点睛】本意主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 9．在O 中，半径为5，A 、B 为O 上的点，为60AOB ∠=︒，则弦长AB =________．【答案】5【分析】由ОA =OB ，△OAB 为等边三角形，即可求解．【详解】解：如图，∵OA =OB =5，∠AOB =60°，∴△OAB 为等边三角形，∴AB =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键．10．A ，B 是半径为3的O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是________．【答案】06AB <≤【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解．【详解】解：∵O 的半径为3，∴O 的直径为6，∴O 的最长弦为6，∵A ，B 是O 上两个不同的点，∴06AB <≤．故答案为：06AB <≤．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键．11．一个半径为2?c m 的圆，其最长的弦的长度为_______． 【答案】4cm【分析】在同圆中最长的弦是直径，根据直径、半径定义的数量关系计算求解．【详解】解：∵圆的半径为2cm ，在同圆中最长的弦是直径，∴直径=半径×2=2×2=4(cm)．故答案为4cm ．【点睛】本题考查圆中关于弦、直径的定义，牢固掌握圆的半径、弦等基本概念是解题关键． 12．已知在O 中最长的弦长8cm ，则O 的半径是____．【答案】4cm【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．【详解】解：∵最长的弦长为8cm ，∴⊙O 的直径为8cm ，∴⊙O 的半径为4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．13．若⊙O 的半径为6cm ，则⊙O 中最长的弦为________厘米．【答案】12【详解】解：∵⊙O 的半径为6cm ，∴⊙O 的直径为12cm ，即圆中最长的弦长为12cm ．故答案为12．14．如图，O 的弦AB 和直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ，已知AB=8，CE=2，那么O 的半径长是______．【答案】5【分析】连接OB ，设半径为r ，根据勾股定理进行计算即可．【详解】如图：连接OB∵CD 平分AB ，=8AB∴4AE BE ==设半径为r∵2CE =∴2OE r =-在Rt OEB ∆中：()22224r r =-+解得：=5r故答案为：5【点睛】本题考查了勾股定理，转化相关线段之间的关系是解题关键．15．如果圆的半径为3，则弦长x的取值范围是_____．【答案】0＜x≤6．【分析】根据直径是最长的弦，所以就可以确定弦长的取值范围了.【详解】解：圆的半径为3，则弦中最长的弦即直径的长度是6，因而弦长度的取值范围是0＜x≤6．故答案为：0＜x≤6．【点睛】本题主要考查圆中弦长的取值范围，知道直径是最长的弦是解题的关键.。

高中数学例题：弦长问题例4．直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．【思路点拨】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长。

【答案】x ―2y+5=0或2x ―y ―5=0【解析】 法一：根据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ―5=k(x ―5)圆心（0，0）到直线的距离d =，在由弦长的一半、半径和距离d 构成的直角三角形中，=，解得12k =或k=2 故直线l 的方程为x ―2y+5=0或2x ―y ―5=0．法二： 根据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ―5=k(x ―5)与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）,联立方程225(5)25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，消去y ，得(k 2+1)x 2+10k(1―k)x+25k(k ―2)=0， ∴Δ=[10k(1―k)]2―4(k 2+1)·25k(k ―2)＞0，解得k ＞0． 又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k(x 1―x 2)，∴||AB ===== 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意．故直线l 的方程为x ―2y+5=0或2x ―y ―5=9．【点评 】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为(x ―x 0)2+(y ―y 0)2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即||AB =（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则||AB =0)k =≠ 举一反三：【变式1】圆心C 在直线l ：x+2y=0上，圆C 过点M （2，―3），且截直线m ：x ―y ―1=0所得弦长为，求圆C 的方程．【答案】(x ―2)2+(y+1)2=4或(x ―42)2+(y+21)2=1924．。