陕西省高考数学备考复习(理科)专题十九：算法初步

高考数学复习资料（推荐5篇）1.高考数学复习资料第1篇三、一元函数积分学(一)不定积分知识范围(1)不定积分原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质(2)基本积分公式(3)换元积分法第一换元法(凑微分法) 第二换元法(4)分部积分法(5)一些简单有理函数的积分要求(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(5)会求简单有理函数的不定积分。

(二)定积分知识范围(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件(2)定积分的性质(3)定积分的计算变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法(4)无穷区间的广义积分(5)定积分的应用平面图形的面积旋转体体积物体沿直线运动时变力所作的功要求(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。

(2)掌握定积分的基本性质。

(3)理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

(6)理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

四、向量代数与空间解析几何(一)向量代数知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。

关于高考数学常考重要知识点总结高考数学必考知识点1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、正方体a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高考数学必考公式知识点1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

第一节 算法初步程序框图与算法语句 1．算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想．(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构． 2．基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．知识点一 算法与程序框图 1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形． 易误提醒 易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．[自测练习]1.如果执行右边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )A ．9B ．3 C. 3 D.19解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3>0，程序结束．结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.答案：C2．如图，按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为()A．i>7？B．i>9?C．i>10? D．i>11?解析：∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i>7或i≥9，故选A.答案：A知识点二三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构①输入语句：INPUT“提示内容”；变量②输出语句：PRINT “提示内容”；表达式③赋值语句：变量＝表达式条件结构IF__条件__THEN语句体END__IFIF__条件__THEN 语句体1 ELSE语句体2 END__IF循环结构直到型循环结构DO循环体LOOP__UNTIL条件当型循环结构WHILE条件循环体WEND易误提醒易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[自测练习]3．如图是一个程序框图，则输出的n的值是________．解析：该程序框图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n的值是5.答案：54．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段过程后x的值是________．IF a<b THENx＝a＋bELSEx＝a－bEND IF解析：∵a<b，∴x＝a＋b＝4.答案：4考点一算法的基本结构|1．(2015·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为()A．－10B．6C．14D ．18解析：执行程序框图可知，i ＝2，S ＝18；i ＝4，S ＝14；i ＝8，S ＝6.故输出S 的值为6. 答案：B2．(2016·威海一模)根据给出的程序框图，计算f (－1)＋f (2)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：输入－1，满足x ≤0，所以f (－1)＝4×(－1)＝－4； 输入2，不满足x ≤0，所以f (2)＝22＝4， 即f (－1)＋f (2)＝0.故选A. 答案：A3．(2015·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524解析：第一次循环，得k ＝2，s ＝12；第二次循环，得k ＝4，s ＝12＋14＝34；第三次循环，得k ＝6，s ＝34＋16＝1112；第四次循环，得k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，此时退出循环，输出k ＝8，所以判断框内可填入的条件是s ≤1112，故选C.答案：C1．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1.(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二算法的交汇性问题|算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的探究角度有：1．与统计的交汇问题．2．与函数的交汇问题．3．与不等式的交汇问题．4．与数列求和的交汇问题．探究一与统计的交汇问题1．如图是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写()A．i<6？B．i<7?C．i<8? D．i<9?解析：统计身高在160～180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．答案：C探究二与函数的交汇问题2．(2015·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________．解析：开始n ＝1，T ＝1，因为1<3，所以T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋12x 2| 10＝1＋12×12＝32，n ＝1＋1＝2；因为2<3，所以T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋13x 3| 10＝32＋13×13＝116，n ＝2＋1＝3.因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为116.答案：116探究三 与不等式的交汇问题3．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x)＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．答案：[0,1]第3题图 第4题图 探究四 与数列求和的交汇问题4．(2015·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( ) A.67 B.37 C.89D.49解析：第一次循环，S ＝11×3，此时i ＝2，不满足条件，继续第二次循环，S ＝11×3＋13×5，此时i ＝3，不满足条件，继续第三次循环，S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＝37， 此时i ＝4>3，退出循环，输出S 的值为37，选B.答案：B解决算法交汇问题的三个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识； (2)根据给出问题与程序框图处理问题； (3)注意框图中结构的判断．考点三 算法基本语句|按照如图程序运行，则输出K 的值是________． X ＝3 K ＝0 DO X ＝2] [解析] 第一次循环，X ＝7，K ＝1； 第二次循环，X ＝15，K ＝2； 第三次循环，X ＝31，K ＝3； 终止循环，输出K 的值是3. [答案] 3算法语句应用的关注点(1)输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．(2)在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．(2015·高考江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．S←1I←1While I<8S←S＋2I←I＋3End WhilePrint S解析：该伪代码运行3次，故输出的S为7.答案：725.变量的含义理解不准致误【典例】(2015·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()A．5B．6C．7D．8[易错点析](1)读不懂程序框图，把执行循环体的次数n误认为是变量S的值，没有注意到n的初始值为0.(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错．[解析]由程序框图可知，S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，12>0.01；S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，14>0.01； S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，18>0.01； S ＝18－116＝116，m ＝132，n ＝4，116>0.01； S ＝116－132＝132，m ＝164，n ＝5，132>0.01； S ＝132－164＝164，m ＝1128，n ＝6，164>0.01； S ＝164－1128＝1128，m ＝1256，n ＝7，1128<0.01，输出n ＝7，故选C. [答案] C[方法点评] (1)要分清是当型循环结构还是直到型循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S 、n 值都要被新的S 、n 值所替换．[跟踪练习] 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15解析：第一次执行程序，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5；第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6，到此结束循环，输出的S ＝－15. 答案：DA 组 考点能力演练1．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1解析：由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，2cos5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2， 所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4＝2(1＋1)＝4. 答案：A2．(2016·贵州模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值等于( )A ．－3B ．－10C ．0D ．－2解析：第一次循环k ＝0＋1＝1，s ＝2×1－1＝1，满足k <4；第二次循环k ＝1＋1＝2，s ＝2×1－2＝0，满足k <4；第三次循环k ＝2＋1＝3，s ＝2×0－3＝－3，满足k <4；第四次循环k ＝3＋1＝4，不满足k <4，输出的s ＝－3，故选A.答案：A3．(2016·长春模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A ．n ＝6?B ．n <6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?解析：∵12＋14＋16＝1112，∴n ＝6时满足条件，而n ＝8时不满足条件，∴n ≤6，故选C.答案：C4.某程序框图如图所示，若输出的S ＝120，则判断框内为( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?解析：依题意，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k ＝4＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k ＝5＋1＝6，S ＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k >5？”，选B.答案：B5.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x解析：由框图可知输出函数为奇函数且存在零点，依次判断各选项，A 为偶函数，B 不存在零点，不符合，对于C ，由于f (－x )＝e －x －e xe －x ＋e x ＝－f (x )，即函数为奇函数，且存在零点为x ＝0，对于D ，由于其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数，故选C.答案：C6．(2016·南京模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为________． S ＝0For I From 1 To 10S ＝S ＋I End For Print S解析：这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S 的值为55. 答案：557．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为______．解析：S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3 ＝⎝⎛sin1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋⎭⎫sin5×π3＋sin6×π3×335＋sin 1×π3＋sin2×π3＋sin 3×π3＝ 3. 答案： 38．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量它们的身高获得身高数据的茎叶图如左下图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4.右下图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S ＝18，则判断框应填________．解析：本题考查程序框图与统计交汇问题．由于i 从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A 2＋A 3＋A 4，因此，判断框应填i <5或i ≤4.答案：i <5或i ≤49．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的算法程序框图．解：程序框图如下：10．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表格所示：队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数a 1a 2a 3a 4a 5a 6统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图如上图所示． (1)试在判断框内填上条件； (2)求输出的s 的值．解：(1)依题意，程序框图是统计6名队员投进的三分球的总数． ∴判断框内应填条件“i ≤6？”．(2)6名队员投进的三分球数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6.故输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.B 组 高考题型专练1．(2014·高考江西卷)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：执行程序框图，第一次循环：i ＝1，S ＝lg 13>－1，否；执行第二次循环：i ＝3，S＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，否；执行第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，否；执行第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，否；执行第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，是，结束循环，输出i 为9，故选B.答案：B2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.72C.165D.158解析：第一次循环，M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环，M ＝83，a ＝32，b ＝83，n＝3；第三次循环，M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，退出循环，输出M 为158，故选D.答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅱ)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：第一次执行，输入a ＝14，b ＝18，因为a <b ，所以b ＝18－14＝4；第二次执行，因为a ＝14，b ＝4，a >b ，所以a ＝14－4＝10；第三次执行，因为a ＝10，b ＝4，a >b ，所以a ＝10－4＝6；第四次执行，因为a ＝6，b ＝4，a >b ，所以a ＝6－4＝2；第五次执行，因为a ＝2，b ＝4，a <b ，所以b ＝4－2＝2，此时a ＝b ＝2，故选B.答案：B4.根据框图，当输入x 为2 016时，输出的y ＝( )A．2 B．4C．10 D．28解析：由题意可得，x依次为2 016，2 014，2 012，…，0，－2，执行y＝3－(－2)＋1＝10，故输出的y＝10，选C.答案：C。

课题：算法初步考纲要求：（Ⅰ）算法的含义、程序框图：①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（Ⅱ）基本算法语句：理解几种基本算法语句-----输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.教材复习1.算法的定义：在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的和，这些或必须是明确和有效的，而且能够在之内完成.2.算法框图：在算法设计中，算法框图可以准确、清晰直观地表示算法的图形，直观地表达解决问题的思路和步骤.任何算法框图都有三种基本结构，它们是算法框图 基本知识方法：1.区分循环结构，搞清循环结构中循环体是什么，以及循环执行的次数是解决循环的核心2.For 循环语句用于预先知道循环次数的循环结构.Do Loop 循环结构，在满足LoopWhile 后面的条件时，将跳出循环.典例分析：考点一 算法概念问题1：1.下列说法正确的是.A 算法就是某个问题的解题过程；.B 算法执行后可以产生不同的结果；.C 解决某一个具体问题算法不同结果不同；.D 算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施。

2.下列说法不正确的是.A 任何一种算法一定含有顺序结构；.B 任何一种算法都可能由顺序结构、条件结构、循环结构构成；.C 循环结构中一定含有条件结构；.D 条件结构中一定含有循环结构. 考点二 算法的基本结构问题2：()1(2013全国新课标Ⅰ)运行如右程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出s 属于 ()2(2013江西) 阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为 考点三 算法框图的综合性问题A B示意图 输入n flag=1步骤n步骤1n +问题3：（2012陕西）右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入.A 1000N P = .B 41000N P = 考点四 基本算法语句问题4：()1 (2013陕西)根据下列算法语句, 当输入x 为60时， 输出y 的值为 ()2执行如图所示的算法语句，输入N 的值为2013，则输出 S 的值是.A 2011 .B 2012 .C 2010 .D 2009()3执行下列用For 语句写出的算法，输出的结果为走向高考：1.（07海南）如果执行下面的程序框图，那么输出的S =2.（08广东）阅读的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =3.（08海南）右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c ，要求输出这三个数中最大的数， .A c x > .B x c >.C c b >.D b c >4.（09天津文）阅读右面的程序框图， 则输出的S =.A 14 .B 20.C 30.D 55 开始 1i = n 整除a ?输入m n ， a m i =⨯否 1i i =+ 开始输入a b c ，， x a =b x > x b = 是 是 否开始 K=1 0S =50?k ≤否 输入xIf x ≤50 Then y =0.5 * x Else y =25+0.6*(x -50)End If 输出y 输入N 1i = 1S = Do ()()121i S i S i -+-=1i i =+ Loop While i ≥N 输出S 1A = 18For n To = 1A A A =+ Next 输出A5.（09浙江文）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是6.（2013江西文）阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是7.（2013重庆）执行如图所示的程序框图， 如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是8.（2013天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为9.（2013浙江）某程序框图如图所示， 若该程序运行后输出的值是59，则 .A 4=a .B 5=a .C 6=a .D .7=a。

第九章算法初步、统计、统计案例第一节算法初步知识点一程序框图1．顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为2．条件结构是指算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为3．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)．其结构形式为1.(必修3P20A组T3改编)某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费，每月收费方法是：4人和4人以下的住户，每户收取6元；超过4人的住户，每超出1人加收1.1元，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填(C)A ．y ＝6＋1.1xB ．y ＝15＋1.1xC ．y ＝6＋1.1(x －4)D ．y ＝15＋1.1(x －4)解析：依题意得，费用y 与人数x 之间的关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≤4，6＋1.1(x －4)，x >4， 则程序框图中①处应填y ＝6＋1.1(x －4)．2．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( B )A.12B.56C.76D.712解析：运行程序框图，k ＝1，s ＝1；s ＝1＋(－1)1×12＝12，k ＝2；s ＝12＋(－1)2×13＝56，k ＝3；满足条件，跳出循环，输出的s ＝56.3．(必修3P50A 组第4题改编)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框应填入的是( A )A．i≤2 014? B．i>2 014?C．i≤1 007? D．i>1 007?解析：依题意，i＝2 016时，终止循环，故应填i≤2 014? 知识点二基本算法语句1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能2.条件语句(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．(2)条件语句的格式．①IF—THEN格式②IF—THEN—ELSE格式3．循环语句(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．(2)循环语句的格式．4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是(B)a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1C．0,0 D．6,0解析：读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.5．(2018·江苏卷)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8.I←1S←1While I<6I←I＋2S←2SEnd WhilePrint S解析：该伪代码运行3次，第1次，I＝3，S＝2；第2次，I＝5，S＝4；第3次I＝7，S＝8，结束运行．故输出的S的值为8.1．循环结构的两个形式的区别(1)当型循环结构：先判断是否满足条件，若满足条件，则执行循环体．(2)直到型循环结构：先执行循环体，再判断是否满足条件，直到满足条件时结束循环．2．理解赋值语句要注意的三点(1)赋值语句中的“＝”称为赋值号，与等号的意义不同．(2)赋值语句的左边只能是变量的名字，而不能是表达式．(3)对于同一个变量可以多次赋值，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将会被替换．考向一顺序结构与条件结构【例1】(1)阅读如图所示程序框图．若输入x为9，则输出的y的值为()A．8 B．3C．2 D．1(2)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14【解析】(1)由题意可得a＝92－1＝80，b＝80÷10＝8，y＝log28＝3.(2)由a＝14，b＝18，a<b，则b＝18－14＝4；由a>b，则a＝14－4＝10；由a>b，则a＝10－4＝6；由a>b，则a＝6－4＝2；由a<b，则b＝4－2＝2；由a＝b＝2，则输出a＝2.【答案】(1)B(2)B应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(1)阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是(A)A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21(2)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于(D)A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]解析：(1)该程序框图的执行过程是输入21,32,75；x ＝21，a ＝75，c ＝32，b ＝21；输出75,21,32.(2)由程序框图可得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t 2＋1－3，t ∈[－2，0)，t －3，t ∈[0，2]，其值域为[－3,6]．考向二 循环结构方向1 求输出结果【例2】 (2018·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 N ＝20，i ＝2，T ＝0，N i ＝202＝10，是整数；T ＝0＋1＝1，i ＝2＋1＝3,3<5，N i ＝203，不是整数；i ＝3＋1＝4,4<5，N i ＝204＝5，是整数；T ＝1＋1＝2，i ＝4＋1＝5，结束循环．输出的T ＝2，故选B.【答案】 B方向2辨析程序框图的功能【例3】阅读如图所示的程序框图，该算法的功能是()A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值【解析】初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S ＝1＋20＋2＋21＋…＋n ＋2n －1，k ＝n ＋1，终止循环体，输出S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)．【答案】 C方向3 完善循环条件【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4【解析】 由程序框图的算法功能知执行框N ＝N ＋1i 计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T ＝T ＋1i ＋1计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是i＝i＋2，故选B.【答案】 B1.求程序框图运行结果的思路(1)要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.2.确定控制循环变量的思路结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.1．(方向1)(2019·广州高三调研测试)在如图所示的程序框图中，f i′(x)为f i(x)的导函数，若f0(x)＝sin x，则输出的结果是(A)A．－sin x B．cos xC．sin x D．－cos x解析：依题意可得f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，f5(x)＝f4′(x)＝cos x，故易知f k(x)＝f k (x)，k∈N，当i＝2 018时循环结束，故输出的f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x，故＋4选A.2．(方向2)(2019·洛阳高三统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(C)A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图得，输出的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n－1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.3．(方向3)(2019·西安八校联考)如图是求样本x1，x2，…，x10的平均数x的程序框图，则空白框中应填入的内容为(A)A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x n nC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋x n 10 解析：由题可知，该程序的功能是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x ，由于“输出x ”的前一步是“x ＝S n ”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为S ＝S ＋x n ，故选A.考向三 算法基本语句【例5】 设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )A．13B．13.5C．14D．14.5【解析】当填i<13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i ＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13.【答案】 A与算法语句有关的问题的解题步骤解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．下列程序执行后输出的结果是990.解析：程序反映出的算法过程为i＝11⇒S＝1×11，i＝10；i＝10⇒S＝1×11×10，i＝9；i＝9⇒S＝1×11×10×9，i＝8；i＝8<9，退出循环，执行“PRINT S”．故S＝990.。

第十章 算法初步、复数与选考内容第1讲 程序框图及简单的算法案例1．(2017年北京)执行如图X10-1-1所示的程序框图，输出s 的值为( )图X10-1-1A ．2 B.32C.53D.852．(2016年北京)执行如图X10-1-2所示的程序框图，输出的s 值为( )图X10-1-2A ．8B ．9C ．27D ．363．(2015年天津)阅读程序框图(图X10-1-3)，运行相应的程序，则输出S 的值为( )图X10-1-3A ．－10B ．6C ．14D ．184．(2017年广东调研)执行如图X10-1-4所示的程序框图后输出S 的值为( )图X10-1-4A ．0B ．－ 3 C. 3 D.325．(2016年天津)阅读下面的程序框图(如图X10-1-5)，运行相应的程序，则输出S 的值为________．图X10-1-5 图X10-1-66．(2017年江南名校联考)某程序框图如图X10-1-6所示，判断框内为“k ≥n ？”，n为正整数，若输出S ＝26，则判断框内的n ＝________.7．(2017年广东惠州三模)执行如图X10-1-7所示的程序框图，如果输出y 的结果为0，那么输入x 的值为( )图X10-1-7A.19B ．－1或1C ．1D ．－1 8．(2017年广东深圳二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束外周，一市有三十二枚，问：积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一市的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图X10-1-8，是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝40，则输出S 的结果为________．图X10-1-89．(2017年广东深圳一模) 执行如图X10-1-9所示的程序框图，若输入p ＝2017，则输出i 的值为( )图X10-1-9A ．335B ．336C ．337D ．33810．(2017年江西南昌二模)执行如图X10-1-10程序框图，输出S 为( )图X10-1-10A.17B.27C.47D.67第2讲 复数的概念及运算1．(2017年天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．2．(2017年新课标Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 3．(2015年山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i4．若i 为虚数单位，图X10-2-1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图X10-2-1A ．EB ．FC ．GD ．H5．(2017年广东深圳一模)若复数a ＋i1＋2i(a ∈R )为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－36．(2017年新课标Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 7．(2012年新课标)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 48．(2017年广东广州一模)复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i9．(2017年广东广州一模)复数21＋i的虚部是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．210．(2016年北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.11．(2016年天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab的值为________．12．(2017年江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．13．(2017年浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.14．(2017年江西南昌二模)若a ＋i1＋2i＝t i(i 为虚数单位，a ，t ∈R )，则t ＋a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2第3讲 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系1．(2017年湖北八校联考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋y ＋1＝0与曲线C 的两交点分别为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．2．(2017年广东华附执信深外联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94(α为参数，α∈R )，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．3．(2014年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．4．(2015年新课标Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．5．(2017年广东汕头一模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程)；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2 7，求直线l 的倾斜角α的值．6．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．7．(2017年广东深圳一模)在平面直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l 与曲线E 相交于点A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值．第2课时 参数方程1．(2016年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2017年广东广州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为x －y －2＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2 3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)已知点P 在曲线C 上运动，当△P AB 的面积最大时，求点P 的坐标及△P AB 的最大面积．3．(2017年广东东莞二模)已知在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ，y ＝－1＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 1交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．4．(2015年湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ(ρ>0,0≤θ<2π)．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 5sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设点P (3，5)，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值．7．(2017年广东梅州一模)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．8．已知平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，－2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin θtan θ＝4m (m >0)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |＝|MN |，求实数m 的值．第4讲不等式选讲第1课时不等式的证明1．(2016年江苏)设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.2．(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)＝|2|x|－1|.(1)求不等式f(x)≤1的解集A；(2)当m，n∈A时，证明：|m＋n|≤mn＋1.3．(2017年广东华附执信深外联考)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝2时，解不等式：f (x )≥6－|2x －5|；(2)若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[－1,7]，且两正数s 和t 满足2s ＋t ＝a ，求证：1s ＋8t≥6.4．(2013年新课标Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.5．(2017年广东东莞二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为m . (1)求m 的值以及此时的x 的取值范围； (2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝m ， 证明：q (p ＋r )≤2.6．(2014年新课标Ⅰ) 若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．7．(2015年新课标Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．8．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.第2课时 绝对值不等式1．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求实数m 的取值范围．2．(2017年广东广州一模)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |. (1) 若f (1)<3，求实数a 的取值范围； (2) 若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2.3．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，1，求实数a 的取值范围．4．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.(1)解不等式f(x)≥0；(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．5．(2017年广东深圳二模)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R.(1)若f(a)≤2|1－a|，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解，求实数a的取值范围．6．(2017年广东汕头一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|.(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．7．(2017年广东深圳一模)已知f(x)＝|x＋a|，g(x)＝|x＋3|－x，记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a－3∈M，求实数a的取值范围；－1，1⊆M，求实数a的取值范围．(2)若[]8．(2017年广东珠海二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝－1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝2x有三个不同的解，求实数a的取值范围．第十章 算法初步、复数与选考内容 第1讲 程序框图及简单的算法案例1．C 解析：k ＝0时，0<3成立，第一次进入循环k ＝1，s ＝1＋11＝2；1<3成立， 第二次进入循环k ＝2，s ＝2＋12＝32；2<3成立， 第三次进入循环k ＝3，s ＝32＋132＝53；当k ＝3时不满足进行循环条件，输出s ＝53.故选C.2．B3．B 解析：输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1，S ＝20－2＝18，2>5不成立；i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14,4>5不成立；i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6,8>5成立；输出6.故选B.4．A 解析：第一次循环后S ＝0－33×0＋1＝－3，i ＝2；笫二次循环后S ＝－3－33×(－3)＋1＝3，i ＝3；第三次循环后S ＝3－33×3＋1＝0，i ＝4……依次下去，S 的值变化周期为3.因为2016＝3×672，所以最后输出S 的值为0.故选A.5．4 解析：第一次循环，S ＝8，n ＝2；第二次循环，S ＝2，n ＝3；第三次循环，S ＝4，n ＝4；结束循环，输出S ＝4.6．4 解析：依题意，执行题中的程序框图， 第一次循环，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4； 第二次循环，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11； 第三次循环，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26. 因此当输出S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.7．D 解析：程序框图表示y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋1(x ≤0)，3x ＋2(x >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2＋1＝0.解得x ＝－1.⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x ＋2＝0.解集为空．所以x ＝－1.故选D. 8．121 解析：第一次循环，n ＝40－8＝32，S ＝40＋32＝72； 第二次循环，n ＝32－8＝24，S ＝72＋24＝96; 第三次循环，n ＝24－8＝16，S ＝96＋16＝112; 第四次循环，n ＝16－8＝8，S ＝112＋8＝120;第五次循环，n ＝8－8＝0，S ＝120＋0＝120，此时，n ＝0， 满足题意，结束循环，输出S ＝120＋1＝121.9．C 解析：第1步，n ＝1，r ＝1，s ＝1；第2步，n ＝2，r ＝0，s ＝2；第3步，n ＝3，r ＝1，s ＝0；第4步，n ＝4，r ＝0，s ＝1；第5步，n ＝5，r ＝1，s ＝2；第6步，n ＝6，r ＝0，s ＝0；此时，i ＝1，依此类推，当n 为6的倍数时，i 增加1，当n ＝2016时，共有336个6的倍数，继续循环，可得当n ＞p 时，i ＝337.故选C.10．A 解析：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i ＝1时，有S ＝27；当i ＝2时，有S ＝47；当i ＝3时，有S ＝17；当i ＝4时，有S ＝27；当i ＝5时，有S ＝47；当i ＝6时，有S ＝17.所以输出S ＝17.故选A.第2讲 复数的概念及运算1．－2 解析：a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2.2．B 解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i ＋2i －1＝1＋3i.故选B. 3．A 解析：因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i.所以z ＝1－i.故选A. 4．D 解析：由题图知，复数z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .5．C 解析：因为a ＋i 1＋2i ＝(a ＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋25＋－2a ＋15i 为纯虚数，所以a ＝－2.故选C.6．C 解析：由题意可得z ＝2i 1＋i .由复数求模的法则⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 1|，可得|z |＝|2i||1＋i|＝22＝ 2 .故选C.7．C 解析：z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i.p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.8．B 解析：(1＋i)2＋21＋i＝2i ＋1－i ＝1＋i ，共轭复数为1－i.9．B 解析：21＋i＝1－i ，故虚部为－1.10．－1 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1，故填－1.11．2 解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.所以ab ＝2.故答案为2.12.10 解析：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.13．5 2 解析：(a ＋b i)2＝3＋4i ⇒a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.14．A 解析：因为a ＋i1＋2i ＝t i ⇒a ＋i ＝t i·(1＋2i)＝t i －2t ，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝－2t .⇒a ＝－2.所以t＋a ＝－1.故选A.第3讲 坐标系与参数方程第1课时 坐标系1．解：(1)由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝1中，得9x ′2＋y ′2＝1.故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θ，y ＝sin θ.(2)由题意知，P 1⎝⎛⎭⎫－13，0，P 2(0，－1)． 线段P 1P 2的中点M ⎝⎛⎭⎫－16，－12，kP 1P 2＝－3. 故P 1P 2线段中垂线的方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x ＋16， 即3x －9y －4＝0，即极坐标方程为3ρcos θ－9ρsin θ－4＝0.2．解：(1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94，得 y ＝－94＋1－cos 2α＝－54－(x －1)2.∴曲线C 1的普通方程为y ＝－54－(x －1)2(0≤x ≤2)．由C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－22，得曲线C 2的直角坐标系普通方程为x ＋y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－54－(x －1)2，x ＋y ＋1＝0，得4x 2－12x ＋5＝0.解得x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＝52舍，y ＝－32. ∴点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32. (2)由C 3：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴曲线C 3的直角坐标系普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.则曲线C 3的圆心(1,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|1＋0＋1|2＝ 2.∵圆C 3的半径为1，∴|AB |min ＝2－1.3．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知，C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为C 在点D 处的切线与l 垂直， 所以直线GD 与l 的斜率相同．则tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32. 4．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3 2ρ＋4＝0.解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2. 因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝12.5．解：(1)由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3)2＋y 2＝9.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，代入圆的方程，得(t cos α－2)2＋(t sin α)2＝9. 化简，得t 2－4t cos α－5＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝－5. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16cos 2α＋20＝2 7.∴16cos 2α＝8.解得cos α＝±22.∵α∈[0，π)，∴α＝π4或3π4.6．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2. ∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线l ：x ＋y －2＝0的距离为d ＝|3－4－2|2＝3 22，由于M 是直线l 上任意一点，则|MC |≥d ＝3 22.∴四边形AMBC 面积S ＝2×12×|AC |×|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.7．(1)解：曲线E 的普通方程为x 24＋y 23＝1，极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫14cos 2θ＋13sin 2θ＝1， ∴所求的极坐标方程为3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12.(2)证明：不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2， 则⎩⎨⎧14(ρ1cos θ)2＋13(ρ1sin θ)2＝1，14⎣⎡⎦⎤ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＋13⎣⎡⎦⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＝1，即⎩⎨⎧1ρ21＝14cos 2θ＋13sin 2θ，1ρ22＝14sin 2θ＋13cos 2θ.∴1ρ21＋1ρ22＝712，即1|OA |2＋1|OB |2＝712(定值)． 第2课时 参数方程1．解：直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1， 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0，或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－8 37.∴A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－8 37.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8 372＝167. 2．解：(1)曲线C 的普通方程为x 212＋y 24＝1.将直线x －y －2＝0代入x 212＋y24＝1中消去y ，得x 2－3x ＝0.解得x ＝0，或x ＝3.所以点A (0，－2)，B (3,1)．所以|AB |＝(3－0)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)在曲线C 上求一点P ，使△P AB 的面积最大， 则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入x 212＋y 24＝1整理，得4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0.令Δ＝(6b )2－4×4×3(b 2－4)＝0，解得b ＝±4.将b ＝±4代入方程4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0， 解得x ＝±3.易知当点P 的坐标为(－3,1)时，△P AB 的面积最大．且点P (－3,1)到直线l 的距离为： d ＝|－3－1－2|12＋12＝3 2.所以△P AB 的最大面积为S ＝12×|AB |×d ＝9.3．解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ，y ＝－1＋3sin φ，故(x －3)2＋(y ＋1)2＝9.故x 2＋y 2－2 3x ＋2y －5＝0.故曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0[或写成(x －1)2＋y 2＝1]． (2)设P ，Q 两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将θ＝π6(θ∈R )代入ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0中，整理，得ρ2－2ρ－5＝0.故ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5.故|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝2 6. 4．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ， ① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. ②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②，得t 2＋5 3t ＋18＝0.设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.5．解：(1)将直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t消去参数t ，得普通方程3x －y －2 3＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入3x －y －2 3＝0， 得3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0.化简，得ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝ 3.(注意解析式不进行此化简也不扣步骤分) (2)方法一，C 的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 由⎩⎨⎧ 3x －y －2 3＝0，x 2＋y 2－4x ＝0解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ 3.所以直线l 与直线C 交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，5π3，⎝⎛⎭⎫2 3，π6. 方法二，由⎩⎨⎧3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0，ρ＝4cos θ，得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝0. 又因为ρ≥0,0≤θ<2π，所以⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，θ＝5π3，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2 3，θ＝π6.所以交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，5π3，⎝⎛⎭⎫2 3，π6. 6．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝2 5sin θ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2 5y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－3 2t ＋4＝0.由于Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根．所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3 2，t 1·t 2＝4.所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|P A |＝t 1，|PB |＝t 2.所以1|P A |＋1|PB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝3 24.7．解： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以(x ＋2)2＋y 2＝4.又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ.所以x 2＋y 2＝4y . 把两式作差，得y ＝－x . 代入x 2＋y 2＝4y ，得交点为(0,0)，(－2,2)．(2)如图D187，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大．图D187此时|AB |＝2 2＋4. O 到AB 的距离为2， ∴△OAB 的面积为 S ＝12(2 2＋4)×2＝2＋2 2. 8．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)， 即⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝－2＋22t .∴直线l 的普通方程为x －y －1＝0.∵ρsin θtan θ＝4m ，∴ρ2sin 2θ＝4mρcos θ.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4mx (m >0)． (2)∵ y 2＝4mx ，∴x ≥0.设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是t 1，t 2(t 1>0，t 2>0)，则|PM |＝t 1，|PN |＝t 2.∵|PM |＝|MN |，∴|PM |＝12|PN |.∴t 2＝2t 1.将⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝－2＋22t ，代入y 2＝4mx ，化简，得t 2－4 2(m ＋1)t ＋8(m ＋1)＝0.∴⎩⎨⎧t 1＋t 2＝4 2(m ＋1)，t 1·t 2＝8(m ＋1)，又t 2＝2t 1，解得m ＝－1，或m ＝18.∵m >0，∴m ＝18.第4讲 不等式选讲第1课时 不等式的证明1．证明：由a ＞0，|x －1|＜a 3，得|2x －2|＜2a3.又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a ，即|2x ＋y －4|＜a .2．(1)解：由|2|x |－1|≤1，得－1≤2|x |－1≤1，即|x |≤1. 解得－1≤x ≤1.所以A ＝[]－1，1.(2)证明：证法一，|m ＋n |2－(mn ＋1)2＝m 2＋n 2－m 2n 2－1 ＝－(m 2－1)(n 2－1)，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，m 2－1≤0，n 2－1≤0. 故－(m 2－1)(n 2－1)≤0，|m ＋n |2≤(mn ＋1)2. 又显然mn ＋1≥0，故|m ＋n |≤mn ＋1.证法二，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1, 而m ＋n －(mn ＋1)＝(m －1)(1－n )≤0. m ＋n －[]－(mn ＋1)＝(m ＋1)(1＋n )≥0， 即－(mn ＋1)≤m ＋n ≤mn ＋1， 故|m ＋n |≤mn ＋1.3．(1)解：当a ＝2时，不等式可化为|x －2|＋|2x －5|≥6，∴①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥52，x －2＋2x －5≥6，或②⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <52，x －2＋5－2x ≥6，或③⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－x ＋5－2x ≥6.由①，得x ≥133；由②，得x ∈∅；由③，得x ≤13.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪⎣⎡⎭⎫133，＋∞. (2)证明：不等式f (x )≤4，即－4≤x －a ≤4， ∴a －4≤x ≤a ＋4.∴a －4＝－1，且a ＋4＝7.∴a ＝3.∴1s ＋8t ＝13⎝⎛⎭⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 t s ·16s t ＝6. 即1s ＋8t ≥6，当且仅当s ＝12，t ＝2时取等号． 4．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设，得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ⎝⎛当且仅当a ＝b ＝c ＝13时⎭⎫取等号 . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.5．(1)解：依题意，得f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－x ＋1|＝4，故m 的值为4.当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[]－3，1. (2)证明：因为p 2＋2q 2＋r 2＝m ，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4. 因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立， q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立， 所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr .故q (p ＋r )≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立．6．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6·ab ≥4 3.由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.7．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2.因此a ＋b >c ＋d . (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2. 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2. 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上所述，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．8．(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2，得－2x <2.解得x >－1，∴－1<x ≤－12.当－12<x <12时，f (x )<2，∴－12<x <12.当x ≥12时，由f (x )<2，得2x <2.解得x <1，∴12≤x <1.∴f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.第2课时 绝对值不等式1．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1. 解得1≤x ≤2.当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而 |x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 2．(1)解：因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3.解得a >－23.所以－23<a ≤0;②当0<a <12时，得a ＋(1－2a )<3.解得a >－2.所以0<a <12；③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3.解得a <43.所以12≤a <43.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，43. (2)证明：因为a ≥1，x ∈R, 所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a | ≥|(x ＋a －1)－(x －2a )| ＝|3a －1|＝3a －1≥2. 3．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2.①当x ≥12时，不等式为3x ≥2，解得x ≥23.故x ≥23；②当－1≤x <12时，不等式为2－x ≥2，解得x ≤0.故－1≤x ≤0；③当x <－1时，不等式为－3x ≥2，解得x ≤－23.故x <－1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0，或x ≥23. (2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，1，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，f (x )≤2x 恒成立． 不等式可化为|x ＋a |≤1， 解得－a －1≤x ≤－a ＋1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≤12，－a ＋1≥1.解得－32≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，0. 4．解：(1)①当x ≤－12时，－1－2x ＋x ≥2⇒x ≤－3，所以x ≤－3；②当－12<x <0时，2x ＋1＋x ≥2⇒x ≥13，所以为∅；③当x ≥0时，x ＋1≥2⇒x ≥1，所以x ≥1.综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，即|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇒⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2. 则⎣⎡⎦⎤⎪⎪⎪x ＋12－|x |min ≤1＋a 2， 由绝对值的几何意义，得－12＝－⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ≤⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ＝12， 只需－12≤1＋a2⇒a ≥－3.5．解：(1)因为f (a )≤2|1－a |，所以|1－a |＋|a －a 2|≤2|1－a |，即(|a |－1)|1－a |≤0.当a ＝1时，不等式成立．当a ≠1时，|1－a |>0，则|a |－1≤0.解得－1≤a <1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤1}．(2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解，则f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，所以(a －1)2≤1，解得0≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}．6．解：(1)f (x )<3，即|x |＋|x －2|<3，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－2x ＋2<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，2<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －2<3， 解得－12<x ≤0或0<x <2或2≤x <52. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <52. (2)f (x )＝|x |＋|x －2|≥|x －(x －2)|＝2，若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，则a >2.∴实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7．解：(1)依题意，有|2a －3|<|a |－(a －3)．若a ≥32，则2a －3<3.∴32≤a <3. 若0<a <32，则3－2a <3.∴0<a <32. 若a ≤0，则3－2a <－a －(a －3)，无解．综上所述，实数a 的取值范围为(0,3)．(2)由题意可知，当x ∈[－1,1]时，f (x )<g (x )恒成立，∴|x ＋a |<3恒成立，即－3－x <a <3－x .当x ∈[－1,1]时恒成立，∴－2<a <2.8．解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为|2x ＋1|－|x |－1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0. 解得x ≤－2，或x ≥0.∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．(2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|.令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1⎝⎛⎭⎫x <－12，－x －1⎝⎛⎭⎫－12≤x <0，x －1(x ≥0).作出函数y ＝g (x )的图象，如图D188，图D188易知A ⎝⎛⎭⎫－12，－12，B (0，－1)， 结合图象知，当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝2x 有三个不同的解．∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12.。

高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。