高中数学课件：2.1.2《求曲线的方程》(新人教A选修2-1)
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高中数学 2.1.2求曲线的方程(二)课件 新人教A版选修2-1
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 − 4) 2 + y12 = 9
化简整理得 ( x − 8) 2 + y 2 = 36 x 0 M C 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x − 8) + y = 36 . ( y ≠ 0 ) 这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法 相关点坐标分析法( 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 巧用图形性质, 法二 添辅助线 MA,巧用图形性质 妙极了 巧用图形性质 妙极了!
2 2
3 + 2k x = 1+ k 2 消去参数 k 得 x 2 + y 2 − 3x − 2 y = 0 ∴ y = k ⋅ 3 + 2k 1+ k 2
y = kx 由方程组 2 x + y 2 − 6 x − 4 y + 10 = 0 0 2 2 消去 y 得 (1 + k ) x − (6 + 4 k ) x + 9 = 0 6 + 4k 9 , x1 ⋅ x2 = x1 + x2 = 2 1+ k 1+ k2
2.1曲线和方程 曲线和方程
— 2.1.2
学习目标： 学习目标：
1、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 、理解解析几何的定义；解析几何研究的主要问题。 2、通过例题2，理解求曲线方程的一般步骤； 、通过例题 ，理解求曲线方程的一般步骤； 3、初步了解求动点轨迹方程的常用方法——直接法、 、初步了解求动点轨迹方程的常用方法 直接法、 直接法 相关点法（代入法）、消参法。 相关点法（代入法）、消参法。 ）、消参法
高中数学 2.1.2求曲线的方程(一)课件 新人教A版选修2-1
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
例3、求抛物线 y = x 2 + (2m + 1) x + m 2 − 1(m ∈ R ) 的顶 、 点的轨迹方程。 点的轨迹方程。
解：设顶点坐标为 (x, y)
2
y = x 2 + ( 2 m + 1) x 5 = (x + ) − (m + ) 2 4 2m + 1 5 顶点坐标（ ,−m + ） ——消参法：分析动点的变化 消参法： 消参法 2 4 规律及其特点，选取一个（几个） 2m + 1 5 规律及其特点，选取一个（几个） 设x = , y =− m+ ） （ 与动点变化相关的量作为参数， 2 4 与动点变化相关的量作为参数，用 消去m, 得： 参数表示动点的坐标（ ），然 参数表示动点的坐标（x , y），然 ）， 4x − 4 y − 3 = 0 后消去参数，得到关于x 的关系 后消去参数，得到关于 , y的关系
y
M
N 0 Q
x
思考:( 思考 P 练习第 3 题)
37
如图,已知点 的坐标是(2 如图 已知点 C 的坐标是 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 过点 的中点,求点 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点 求点 M 的 设点 轨迹方程. 轨迹方程
√
3.用坐标表示条件 3. √用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) = 0 ; 4.化简方程 为最简形式; ) 4. √化简方程 f ( x, y).= 0 为最简形式; 5.证明 查漏除杂). 证明( 5.证明(查漏除杂 √
高中数学(人教A)选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
• 2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利 用它们去求曲线的方程．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修2-1
ppt精选
12
类型 一 直接法求曲线方程
【典型例题】
1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍,
则点M的轨迹方程为
.
2.(2013·珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与
直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.
1 4
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13
【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐 标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件 等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.
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18
类型 二 代入法求曲线的方程
【典型例题】
1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点
的轨迹方程是
.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作
平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
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19
【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P 的坐标是什么?
ppt精选
4
二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
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5
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已 经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
【人教A版】高中选修2-1数学：2.1.2-求曲线的方程-教学课件
第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学思考1 知识点一 坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二 求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.解答类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.解答反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.反思与感悟跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答当堂训练1.曲线y＝与xy＝2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√答案解析x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.因为点M(x0，y)在直线2x－y＋3＝0上，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.。
高二数学人教A版选修2-1课件：2.1.2 求曲线的方程(共25张ppt)
如何利用规律实现更好记忆 呢？
超级记忆法-记忆 规律 第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆 呢？
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点 A(-2,0)，B(-4,0),则圆C的方程为_______. 答案：(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0）， （3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________.
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的 坐标系，求这条曲线的方程. 分析：在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
超级记忆法-记忆 规律 第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆 呢？
1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点 A(-2,0)，B(-4,0),则圆C的方程为_______. 答案：(x+3)2+(y-2)2=5
2.在△ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0）， （3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________.
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的 坐标系，求这条曲线的方程. 分析：在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
人教版选修2-1第二章2.1.2求曲线方程(共21张PPT)
(8 2 y1 ) 2 ( y1 1)2
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再 见！
15:22
11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
点M1到A,B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 = 5 y12 30 y1 65
2 2 M1B ( x1 3)2 ( y1 7) 2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
15:22
【 一道来自课本的题目】 一动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4， 求动圆圆心的轨迹方程.
15:22
再 见！
15:22
11．如图，三棱柱 ，平面 （1）求证： （2）求二面角 平面
中， 平面 ； 的余弦值. ， 与 相交于点 .
又因为x12＋ (y1－3)2＝9，
3 y－ 2＝9， 所以 4x2＋4 2
3 9 y－ 2＝ ． 所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋ 2 4
15:22
【温馨提示】 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. (2)间接法：间接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 移花接木法： (3)定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线的定义，则可 直接写出所求方程用】 已知圆 C ： x2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 ，过原点作圆 C 的 弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． [解] 设Q(x，y) ， P(x1，y1)，
由题意得 y y ＝ 2，
1
x1 x＝ ， 2
x1＝2x， 即 y1＝2y.
15:22
【例2】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1
交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的
轨迹方程． [解] 设点M的坐标为(x，y)．
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1《求曲线的方程》(第二课时)课件
离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
人教A版高中数学选修2-1课件 求曲线的方程课件
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
→· → 已知两个定点 A、 B 的距离为 6， 动点 M 满足条件MA MB ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
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[解析]
以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标
系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)， → → 设 M(x，y)，则由MA· MB＝－1 得，(－3－x，－y)· (3－x， －y)＝－1， ∴x2＋y2＝8 为所求．
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第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
பைடு நூலகம்
课前自主预习
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出 表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质．
人民教育出版社 高二 | 选修2-1
2．求曲线的方程的步骤
4x 4y 2 上，∴ 3 ＋ 3 2＝4.
[答案]
9 2 2 x ＋y ＝ 4
∵点 P 在⊙O
9 故所求轨迹方程为 x2＋y2＝4.
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命题方向
定义法求曲线方程
[例 3]
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意
弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
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解法二： 设 M(x， y)， 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0)， 1 (0,2y) ， 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 ， 所 以 |PM| ＝ |AB|. 而 |PM| ＝ 2 x－22＋y－42， |AB|＝ 2x2＋2y2， 所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2， 化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.2 求曲线的方程 课件
课堂小结
1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简.
2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形
3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢指导
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
M 1B M 1B x1 3x 21 3y12 7 y21 724 2y4 1 2 2y 1y12 7 y2172
5 y12 56yy11 2 1 63y1;13;
M1AM1B，点 M在线A段 B的垂直x 3 )2 (y 7 )2
o
x
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
⑴由求方程的过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x 2y 7 0 的解 即 x1 2 y1 7 0 ， 那么， x1 7 2 y1 .
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
（1）、根据已知条件，求曲线的方程;
（2）、通过方程研究曲线的性质.
探索新知、拓展思维
(vip免费)【数学】2.1.2《求曲线的方程》课件(新人教A版选修2-1)
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C 和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
小结：
1.知识方面： 2.能力方面： 3.数学思想方法： 4.由本节课的学习得到的体会和想法。
作业：
必做题：P72 4、5 在上两题的基础上编题，并写出解题过程。
选做题：过点P(2，4)做两条互相垂直的直线，若 交x轴于A点，交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
语文
小魔方站作品 盗版必究
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
你能说出它的轨迹吗？
思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？
2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
思考：1如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
测试评价
已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C 和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
小结：
1.知识方面： 2.能力方面： 3.数学思想方法： 4.由本节课的学习得到的体会和想法。
作业：
必做题：P72 4、5 在上两题的基础上编题，并写出解题过程。
选做题：过点P(2，4)做两条互相垂直的直线，若 交x轴于A点，交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
语文
小魔方站作品 盗版必究
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
你能说出它的轨迹吗？
思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？
2.你准备如何建立坐标系，为什么？ 3.比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会?
（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也 比较简单。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
高中数学(人教A版)课件 选修2-1：2.1.2求曲线方程
是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上。
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
最新高中数学人教a版选修(2-1)2-1-2《求曲线的方程》ppt课件
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨 迹方程是________．
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 答案：x＋y－1＝0
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点 (0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
解：设 M(x，y)，P(a，b)，则xy＝＝a2b，－2 1.
[点评] (1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系， 充分利用三角形外心的性质．易错处是用|BM|＝|CM| 列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因 是在求|BM|的长时已利用了|BM|＝|CM|这个等量关 系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC 边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线 作为x轴，此时方程将有所变化．
答案：B
2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l： x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的 距离相等，则点P的轨迹方程是( )
A．(y＋1)2＝8(x－1) B．(y－1)2＝8(x＋1) C．(y＋1)2＝－8(x－1) D．(y－1)2＝－8(x＋1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2 ＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选 D.
类型二 定义法求曲线方程 [例2] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考 虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中 点．
[解] 法一：(直接法) 如图 2，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠OQC＝90°. 设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
人教A版高中数学选修2-1课件2.1《求曲线的方程》(第二课时).pptx
上式两边平方，并整理得x+2y－7=0.①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0,x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
通过美丽的南沙群岛中，在甲岛、乙岛军舰巡逻的路线引入新课 ，在回顾曲线与方程概念的基础之上，学习如何建立曲线的方程 。以学生自主探究为主，探究求曲线的方程的基本步骤，尝试用 代数方法研究几何问题。在几何问题代数化以后，注意检验是否 产生增解或漏解。 通过例1探讨求曲线方程的一般方法.通过例2说明检验是否产生 增解或漏解的重要性。通过这两个例题，了解坐标法的解题方法 ，明确建立适当坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线 上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选 择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐 标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海 上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角 ，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个 方程吗？
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是 方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0,x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2
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（鼎尚图文*****整理制作）
2.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
通过美丽的南沙群岛中，在甲岛、乙岛军舰巡逻的路线引入新课 ，在回顾曲线与方程概念的基础之上，学习如何建立曲线的方程 。以学生自主探究为主，探究求曲线的方程的基本步骤，尝试用 代数方法研究几何问题。在几何问题代数化以后，注意检验是否 产生增解或漏解。 通过例1探讨求曲线方程的一般方法.通过例2说明检验是否产生 增解或漏解的重要性。通过这两个例题，了解坐标法的解题方法 ，明确建立适当坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线 上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选 择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐 标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成 的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海 上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角 ，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个 方程吗？
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教师用书配套课性24 2求曲线的方程一、坐标法和解析几何1.__________________________ 坐标法:坐标法是指借助于_________________________________ ,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2.解析几何:解析几何是指数鬱臓的知识形成的研究几何图形学科.坐标法3.解析几何研究的主要问题：⑴曲线研究方程:根据已知条件,求出—(2)方程研究曲线:通过曲线的方程，研究思考:用坐标法研究解析几何问题的前提示:用坐标法研究解析几何面直问题时首先角坐标系，这样，点有了坐标，曲线也就有了宿覊胸艳费判断：(正确的打“V”，错误的打“X")⑴在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系.( )⑵化简方程“ IX冃y I"为“尸X”是恒等变形.()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志.⑵错误・|x| = |y|化简的形式为y二士X・(3)错误•一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解.化简过程中极易产生増解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确. 答案:⑴“ (2)x (3)x【知识点拨】1 •平面直角坐标系的选取原则(1) 以已知走点为原点.(2) 以已知走直线为坐标轴(x轴或y轴)•(3) 以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点・⑸如果曲线（或轨迹）有对称中心通常以对称中心为原点.（6）如果曲线（或轨迹）有对称轴,通常以对称轴为坐标轴（x轴或y轴）.（7）号可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.2•对求曲线方程的五个步骤的(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系，首先要建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单• ⑵第二步是求方程的重要一环•要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式•此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标⑶在化简的过程电注意运算的合理性与准确性，尽量避免"失解〃或"增解〃•⑷第五步的说明可以省略不写如有特殊情况，可以适当说明. 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上，可以通过限走方程中X（或y）的取值予以剔除3•对求曲线方程的三点说明(1) 求曲线方程时，由于建系的方法不同，求得的方程也不同•(2) —般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(X"),而不设成(Xo"o)或(X]M).⑶化简方程眩一般将方程f(x,y)二0化成关于x"的整式形式, 并且要保证化简过程的恒等性.类型-・直接法求曲线方程【典型例题】1.已知动点M到A(2, 0)的距离等于它到直线x=-l的距离的2倍, 则点M的轨迹方程为________ •2.(2013•珠海高二检测)已知点A(-2, 0),B(2, 0),直线AP与直线BP相交于点P,它们的斜率之积为-，求点P的轨迹方程.【解题探究】1•从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系?2•在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示：1•因题1中已知A(2,0)f故不需要建立平面直角坐标系. 2•—般地,当动点满足的条件非常明显，可以很容易地建立条件等式，这时一般可采用直接法求曲线的方程.【解析】1•设M(x,y)•由题鳶得花简得■ 3x2 ■ 12x+y2 二O f0Jy2 二3 答案:y2=3x2+12x2•设点P(x f y)f直线AP的斜率％二直线BP的斜率咯二(XH2),根据已知"有：y (x^±2)f化简得：+y2=l()cr^).yx-2x + 2 x-2 442•“轨迹方程"与〃轨迹"的辨析【变式训练】已知点M到X轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程.【解析】设动点M的坐标为（X f y）,则点M到X轴.y轴的距离分别为|y|」x|•由题意知|y| = 2|x|f^®gy=±2x.•点M的轨迹方程为y=±2x.类型二代入法求曲线的方程【典型例题】1. 设圆c： (x-l)2+y2=l,过原点0作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程是__________2•设定点M(-3, 4),动点N在x2+y2=4上运动，以OM, ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.【孵題球兖】丄•有匕知D（X1"1）十2（X2“2人则我段卩十2甲庶卩的坐标是什么？2•题2哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方徨，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？探究提示：1•据中鉅标公式知中点P的坐标为（）•2•从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知曲线的方程，可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标•22X1+X2 yi+y222 【解析】1•设OQ 为过O 的一条弦,P (x,y)为其中点,Q(X V Y I )>X ］二 2x ，又J(x 1-S)2+y^2=l -(2x-l)2+4y 2=l(0<x<l).答料列曲書(。
<32.如图所示，设P(x,y),N(x°,y。
),则线段OP的中点坐标为()，线段MN的中点坐标为( ).!1!2‘2从而P 由N(x+3y4)在圆上得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所咖蹄励程为J*3jM^-4)2=4,{E 点：(2: 2)・’二y-4・y°二y—4・9 12 21 28LT"【互动探究】若把题2中MN的中点记为Q,试求点Q的轨迹方程. 【解题指南】采用代入法求解・【詹析】设Q(x f y)f N(x0,y0)则由怦尹=4懵汰+ 3,番嚴謝詐爭壬&-2)2=1.【拓展提升】1•适合用代入法(相关点法)求轨迹方程的动点的特点⑴特点:动点随另一点动ffgaj-⑵解释:如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x°"o),点Q动则P 动，而点Q又在某已知曲线上，这种情况下可采用代入法(相关点法)，点Q为相关点.2•代入法求曲线方程的步骤&|)J设动点P(xj),相关动点A/(x0jo)T'利用条件求出两动点坐标之间的关系(x^=f(x,y),b 产g(®)<m)(; 代入相关动点的轨迹方程—(］化简、整理，得所求轨迹方程【变式训练】已知点A(O,-1),当点B在曲线y=2x2+l上运动时, 线段AB的中点M的轨迹方程是_______ ・【解析】设M(x f y)f B(x0f y0).由题意知f x/.2 J x° _ zx,T B在曲线+强世1占Vo = 2y + 1 /.2y+l=2(2x)2-?l. 即y=4x＜这就是点M的轨迹方程. 答案:y=4x2类型三定义法求轨迹方程【典型例题】1.由动点P向圆x2+y2=l引两条切线PA, PB,切点分别为A, B, ZAPB=60°,则动点P的轨迹方程为_________ ・2.在RtAABC中，| AB | =2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.【解题探究】1•过圆外一点向圆引两切线，切线长的关系是什么？2•到走点的距离等于定长的点的轨迹是什么?探究提示：1•从圆并一点引圆的两条切线，则切线长相等.2•到定点的距离等于定长的点的轨迹是以走点为圆心,以走长为半径的圆.【解析】1•如图・|PA| = |PBL连接PO.贝IJzOPB=30o./|OB| = l./.|PO|=2.；P点的轨加是以O为圆心以2为半径的圆间x2+y2=4.答案：x2+y2=42•如圖以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(-a f O)f B(a,O)・设C(x“)是平面内的任意一点,连接CO测由直角三角形的性质知：|OC|二|AB|= x2a=a. 因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心，以a为半彳7 o 轴的交点) > 毀轨迹分程分X?+y 2二a 2 (x H 士a) •【拓展提升】1•适用走义法求轨迹的特点如果动点的轨迹满足某种已知曲线的走义，则可依据走义写出轨迹方程.2. 定义法求轨迹方程的策略(1)要熟悉各种常见的曲线的主义.⑵要善于利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系.(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程.【变式训练】长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解题指南】根据直角三角形的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，则点M到一定点的距离等于定长，由此可知点M的轨迹是圆，建立适当的坐标系即可求得具方程.【解析】如图，以这两条直线为坐标轴，建立直角坐标系,设M(x f y)・由题意知」OM|二| ・••点M的轨迹是以O ・••点M的轨迹方程是\y B为 ________ • r ]2.在平面直角坐标系船馆碍点,A (1, 0), B (2, 2),若点C 满足< 其中tGR,则点C 的轨迹方程是 ________ • 1V = t-- tUUW UUU / UUU UM \0C = 0A + t （0B-OA ）,参数法求曲线方程(t 为参数)，则点P 的轨迹方程 1•动点P (X, y)满足1 【解析】l.v x = l近，由①-@{^x2-yf=4. 1••・点P的轨迹方桂芳且沪二4. 答案：x2-y2=4x2" +石+ 2①y2 = t24-W2.设C(x,y)= Zus• ・(x f y) = (l f0)+t(J f2bA + tlOB-OA消去t 得2x-y-2=O f故車G的執迹方程为2x-y- 2=0. 答秦翻y・2=0【拓展提升】参数法的走义及消参法⑴参数法的走义求曲线方程时，若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程, 这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常见方法用参数表示动点坐标后，消参时可灵活应用式子的加、减、乘、除、平方等运算，最后注意参数的值对动点坐标范围的限制.fiat fin【规范解答】直接法在求点的轨迹中的应用【典例】【条件分析】（12分）（2013・安阳高二检测）已知点Q（2,0）和圆?4-y=l, i动点M到圆。
的切线长等于圆。
的半径与WQI的和技竺由点（2,0）和酹方程心的半径八且点Q⑵M的轨迹方程，0）左誇求+护=1的外部，巾1根据这个备件可以分析，用直接法求动点M时轨妊时易乎建玄方蜒。