2021-2022年高中数学专题02或且非命题的真假判断特色训练新人教A版选修(I)

第二章测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个偶数时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数a,b,c至多有两个偶数,假设应是所证命题的否定,所以用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,假设应为“假设a,b,c都不是偶数”,故选B.2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1S2=14,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则V1V2=()A.18B.19C.164D.1271∶3,故V1V2=127.故选D.3.观察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……则52 020的末四位数字是()A.3125B.5625D.06255=3125的末四位数字为3125;56=15625的末四位数字为5625;57=78125的末四位数字为8125;58=390625的末四位数字为0625;59=1953125的末四位数字为3125……根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625……即末四位的数字是以4为周期变化的,2020是4的倍数,即末四位数为0625.则52020的末四位数字为0625.4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:例如,用十六进制表示E+D=1B,则A×B等于()B.72C.5FD.B0B=110=6×16+14=6E.5.正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ,其中0<θ<π2,点D 在平面α内,则当四面体ABCD转动时()A.存在某个位置使得BC ∥α,也存在某个位置使得BC ⊥αB.存在某个位置使得BC ∥α,但不存在某个位置使得BC ⊥αC.不存在某个位置使得BC ∥α,但存在某个位置使得BC ⊥αBC ∥α,也不存在某个位置使得BC ⊥αD 的高与平面α垂直时,平面ABC ∥平面α,所以BC ∥平面α.若BC ⊥平面α,因为正四面体中BC ⊥AD ,所以AD ⊂平面α,或AD ∥平面α,此时AD 与平面α所成角为0,与条件矛盾,所以BC 不可能垂直平面α.故选B .6.证明命题“f (x )=e x +1ex 在(0,+∞)上单调递增”.现给出的证法如下:因为f (x )=e x +1ex ,所以f'(x )=e x -1ex .因为x>0,所以e x >1,0<1ex <1.所以e x -1ex >0,即f'(x )>0.所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.使用的证明方法是() A.综合法 B.分析法 D.以上都不是,是综合法.故选A . 7.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数a ,都有(√a n)n =a ,小前提:已知a=-2为实数,结论:(√-24)4=-2.”这个结论显然错误,是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 D.非以上错误a ,都有(√a n)n =a ,a<0,n 为偶数时,显然不成立,故大前提错误.故选A . 8.①已知a 是三角形一边的边长,h 是该边上的高,则三角形的面积是12ah ,如果把扇形的弧长l ,半径r 分别看作三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为12lr ;②由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n 2,则①、②两个推理依次是() A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理由三角形性质得到圆的性质有相似之处,故推理为类比推理;②由特殊到一般,故推理为归纳推理.故选A .9.无限循环小数为有理数,如:0.1·=19,0.2·=29,0.3·=13,……则可归纳出0.4·5·=() A .12 B .5110 C .120D .511,得0.4·5·=0.45+0.0045+…=0.451-0.01=511.10.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”反映这个命题本质的式子是() A .1+12+122+…+12n =2-12nB .1+12+122+…+12n <2 C .12+122+…+12n =1 D .12+122+…+12n <1,每次截取的长度构成一个以12为首项,12为公比的等比数列,12+122+…+12n =1-12n <1.故反映这个命题本质的式子是12+122+…+12n <1.11.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则() A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A 错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D 错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B .12.已知面积为S 的凸四边形中,四条边长分别记为a 1,a 2,a 3,a 4,点P 为四边形内任意一点,且点P 到四边的距离分别记为h 1,h 2,h 3,h 4,若a 11=a 22=a 33=a 44=k ,则h 1+2h 2+3h 3+4h 4=2Sk.类比以上性质,体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1,S 2,S 3,S 4,此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1,H 2,H 3,H 4,若S 11=S 22=S 33=S44=K ,则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=()A .4VKB .3VKC .2VKD .VKV=13Sh ,得13S 1H 1+13S 2H 2+13S 3H 3+13S 4H 4=V ,即S 1H 1+2S 2H 2+3S 3H 3+4S 4H 4=3V ,∴H 1+2H 2+3H 3+4H 4=3VK .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设实数a ,b ,c 满足a+b+c=1,则a ,b ,c 中至少有一个数不小于.(填具体数字)a ,b ,c 都大于13,则a+b+c>1,这与已知a+b+c=1矛盾.假设a ,b ,c 都小于13,则a+b+c<1,这与已知a+b+c=1矛盾,故a ,b ,c 中至少有一个数不小于13.14.在△ABC 中,若D 为BC 的中点,则有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),将此结论类比到四面体中,在四面体中,若G 为△BCD 的重心,则可得一个类比结论:.“△ABC ”类比“四面体A-BCD ”,“中点”类比“重心”,由此可得在四面体A-BCD 中,G 为△BCD 的重心,则有AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ).⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事, 他们各自都说了一句话,而且其中只有一句真话.甲说:是乙做的.乙说:不是我做的.丙说:不是我做的.则做好事的是.(选填“甲”“乙”或“丙”),则乙说了假话,丙说的是真话,与条件不符;假设乙说的是真话,则甲说的是假话,丙说的也是假话,符合条件;假设丙说的是真话,则甲、乙二人中必有一人说的是真话,与条件不符,所以乙说的是真话,做好事的是丙.16.a 1=12;a 2=13(1-a 1)=16;a 3=14(1-a 1-a 2)=112; a 4=15(1-a 1-a 2-a 3)=120;……照此规律,当n ∈N *时,a n =.1=12=11×2,a 2=16=12×3, a 3=112=13×4, a 4=120=14×5, ……所以归纳可得a n =1n (n+1).三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n2+a n(n ∈N *).(1)求a 2,a 3,a 4的值,猜想数列{a n }的通项公式;(2)运用(1)中的猜想,写出用三段论证明数列{1a n}是等差数列时的大前提、小前提和结论.∵数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n 2+a n,∴a 2=23,a 3=12,a 4=25.猜想a n =2n+1.(2)在数列{a n }中,若a n+1-a n =d ,d 是常数,则{a n }是等差数列,大前提1a n+1−1a n=12,为常数,小前提所以数列{1a n}是等差数列.结论18.(本小题满分12分)已知a ,b ,c ∈R . (1)若|a|<1且|b|<1,求证:ab+1>a+b ;(2)由(1),运用类比推理,若|a|<1且|b|<1且|c|<1,求证:abc+2>a+b+c ; 运用归纳推理,猜想出一个更一般性的结论(不要求证明).ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0,得ab+1>a+b ;(1)得(ab )c+1>ab+c ,所以abc+2=[(ab )c+1]+1>(ab+c )+1=(ab+1)+c>a+b+c ;|a i |<1,i=1,2,3,…,n ,则有a 1a 2a 3…a n +(n-1)>a 1+a 2+a 3+…+a n .19.(本小题满分12分)设f (α)=sin n α+cos n α,n ∈{n|n=2k ,k ∈N *} (1)分别求f (α)在n=2,4,6时的值域;(1)中的结论,对n=2k (k ∈N *)时,f (α)的取值X 围作出一个猜想(只需写出猜想,不必证明).当n=2时,f (α)=sin 2α+cos 2α=1,所以f (α)的值域为{1};当n=4时,f (α)=sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α=1-12sin 22α,此时有12≤f (α)≤1,所以f (α)的值域为[12,1];当n=6时,f (α)=sin 6α+cos 6α=(sin 2α+cos 2α)(sin 4α+cos 4α-sin 2αcos 2α) =1-3sin 2αcos 2α=1-34sin 22α, 此时有14≤f (α)≤1,所以f (α)的值域为[14,1].(2)由以上结论猜想,当n=2k (k ∈N *)时,f (α)的值域是[12k -1,1].20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2+1x (x>0),若P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(0<x 1<x 2)是函数f (x )图象上的两点,且存在实数x 0>0,使得f'(x 0)=f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1,证明:x 1<x 0<x 2.f (x )=x 2+1x ,得f'(x )=2x-1x 2(x>0).又f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=(x 2-x 1)(x 2+x 1-1x 1x 2)x 2-x 1=x 2+x 1-1x 1x 2,所以2x 0-1x 02=x 2+x 1-1x1x 2.①若x 0≥x 2,则2x 0>x 1+x 2,-1x 02>-1x1x 2,所以2x 0-1x 02>x 2+x 1-1x1x 2,与①矛盾;若x 0≤x 1,同理可得2x 0-1x 02<x 2+x 1-1x1x 2,与①矛盾.综上,有x 1<x 0<x 2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3-x 2,x ∈R .(1)若正数m ,n 满足mn>1,证明:f (m ),f (n )至少有一个不小于零; (2)若a ,b 为不相等的正实数,且满足f (a )=f (b ),求证:a+b<43.假设f (m )<0,f (n )<0,即m 3-m 2<0,n 3-n 2<0.m>0,n>0,∴m-1<0,n-1<0. ∴0<m<1,0<n<1,∴mn<1,这与mn>1矛盾,∴假设不成立,即f (m ),f (n )至少有一个不小于零. (2)由f (a )=f (b )得a 3-a 2=b 3-b 2, ∴a 3-b 3=a 2-b 2,∴(a-b )(a 2+ab+b 2)=(a-b )(a+b ), ∵a ≠b ,∴a 2+ab+b 2=a+b ,∴(a+b )2-(a+b )=ab<a+b 22, ∴34(a+b )2-(a+b )<0,解得a+b<43.22.(本小题满分12分)如图,设A 是由n×n 个实数组成的n 行n 列的数表,其中a ij (i ,j=1,2,3,…,n )表示位于第i 行第j 列的实数,且a ij ∈{1,-1}.记S (n ,n )为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S (n ,n ),记r i (A )为A 的第i 行各数之积,c j (A )为A 的第j 列各数之积.令l (A )=∑i=1nr i (A )+∑j=1nc j (A ).(1)对如下数表A ∈S (4,4),求l (A )的值;(2)证明:存在A ∈S (n ,n ),使得l (A )=2n-4k ,其中k=0,1,2,…,n ; n 为奇数,对于所有的A ∈S (n ,n ),证明l (A )≠0.1(A )=r 3(A )=r 4(A )=1,r 2(A )=-1;c 1(A )=c 2(A )=c 4(A )=-1,c 3(A )=1,所以l (A )=∑i=14r i (A )+∑j=14c j (A )=0.A 0中a ij =1(i ,j=1,2,3,…,n ),显然l (A 0)=2n.将数表A 0中的a 11由1变为-1,得到数表A 1,显然l (A 1)=2n-4. 将数表A 1中的a 22由1变为-1,得到数表A 2,显然l (A 2)=2n-8. 依此类推,将数表A k-1中的a kk 由1变为-1,得到数表A k . 即数表A k 满足:a 11=a 22=…=a kk =-1(1≤k ≤n ),其余a ij =1. 所以r 1(A )=r 2(A )=…=r k (A )=-1,c 1(A )=c 2(A )=…=c k (A )=-1. 所以l (A k )=2[(-1)×k+(n-k )]=2n-4k ,其中k=0,1,2,…,n ; 【注:数表A k 不唯一】反证法)假设存在A ∈S (n ,n ),其中n 为奇数,使得l (A )=0. 因为r i (A )∈{1,-1},c j (A )∈{1,-1}(1≤i ≤n ,1≤j ≤n ),所以r 1(A ),r 2(A ),…,r n (A ),c 1(A ),c 2(A ),…,(A )这2n 个数中有n 个1,n 个-1. 令M=r 1(A )·r 2(A )·…·r n (A )·c 1(A )·c 2(A )·…·(A ).一方面,由于这2n 个数中有n 个1,n 个-1,从而M=(-1)n =-1.① 另一方面,r 1(A )·r 2(A )·…·r n (A )表示数表中所有元素之积(记这n 2个实数之积为m );c 1(A )·c 2(A )·…·(A )也表示m ,从而M=m 2=1.②①②相互矛盾,从而不存在A ∈S (n ,n ),使得l (A )=0. 即当n 为奇数时,必有l (A )≠0.。

模块素养评价(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．(2020·某某高二检测)已知a ＝()2，－3，1 ，则下列向量中与a 平行的是() A ．()1，1，1 B ．()－2，－3，5 C ．()2，－3，5 D ．()－4，6，－2【解析】选D.对于A 选项，因为12 ≠1－3 ≠11 ，A 选项中的向量与a 不平行；对于B 选项，因为－22 ≠－3－3 ≠51 ，B 选项中的向量与a 不平行；对于C 选项，因为22 ＝－3－3 ≠51 ，C 选项中的向量与a 不平行；对于D 选项，因为－42 ＝6－3 ＝－21 ，D 选项中的向量与a 平行．2．(2020·某某高二检测)在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF ＝2FD ，E 为BC 的中点，则EF →等于()A ．EF → ＝AC →＋12 AB → －23 AD →B ．EF →＝－12 AC → －12 AB → ＋23 AD →C ．EF →＝12 AC → －12 AB → ＋23 AD →D ．EF →＝－12 AC → ＋12 AB → －23AD →【解析】选B.在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF ＝2FD ，E 为BC 的中点，所以EF →＝EB → ＋BA → ＋AF → ＝12 ⎝⎛⎭⎫AB →－AC → －AB → ＋23 AD → ＝－12 AC → －12 AB → ＋23 AD → ，即EF → ＝－12 AC →－12 AB → ＋23AD → .3．若向量a ＝(0，1，－1)，b ＝(1，1，0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是() A ．－1 B ．0 C ．－2 D ．1 【解析】选C.因为(a ＋λb )⊥a ， 所以(a ＋λb )·a ＝a 2＋λb ·a ＝(2 )2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2.4．已知直线l 1：2x ＋y ＋n ＝0与l 2：4x ＋my －4＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为355 ，则m ＋n ＝()A ．－3或3B ．－2或4C ．－1或5D ．－2或2【解析】选A.由2m －4＝0，解得m ＝2.满足l 1∥l 2.l 2的方程为2x ＋y －2＝0，有|n ＋2|5＝35 5 ，则|n ＋2|＝3，解得n ＝1或－5，故m ＋n ＝±3.5．(2020·某某高二检测)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是()A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4【解析】选 B.圆心为()－1，1 ，圆心到直线距离为22＝2 ，故圆的半径为22＋()22＝6 ，即2－2a ＝6 ，a ＝－2. 6．(2020·某某高二检测)双曲线C 1：x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(c ，0)(c>0)，且双曲线C 1的两条渐近线与圆C 2：(x －c)2＋y 2＝c 24 均相切，则双曲线C 1的渐近线方程为()A ．x ± 3 y ＝0B ．3 x ±y ＝0 C ．5 x ±y ＝0 D ．x ±5 y ＝0【解析】选A.根据题意知：焦点F(c ，0)到渐近线 y ＝bax 的距离为d ＝bca 2＋b 2＝c 2 ，故a 2＝3b 2，故渐近线为x ±3 y ＝0. 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤2，若将军从点A(3，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为() A ．2 5 B ．17 －2C ．17 D ．3－2【解析】选B.设点A 关于直线x ＋y ＝4的对称点A ′(a ，b)，设军营所在区域的圆心为C ，根据题意，|A ′C|－ 2 为最短距离，先求出A ′的坐标，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2 ，直线AA ′的斜率为1，故直线AA ′为y ＝x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32＋b2＝4，b ＝a －3，联立得a ＝4，b ＝1，所以|A ′C|＝42＋12 ＝17 ，故|A ′C|－2 ＝17 －2 .8．(2020·浏阳高二检测)在椭圆x 24＋y 2＝1上有两个动点P ，Q ，E ()1，0 为定点，EP ⊥EQ ，则EP → ·QP →的最小值为()A ．4B ．3－3 C ．23D ．1【解析】选C.由题意得EP → ·QP → ＝EP → ·⎝⎛⎭⎫EP →－EQ → ＝EP → 2－EP → ·EQ → ＝EP → 2， 设椭圆上一点P ()x ，y ，则EP →＝()x －1，y ，所以EP → 2＝(x-1)2＋y 2＝(x-1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24＝34 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43 2＋23，又－2≤x ≤2，所以当x ＝43 时，EP → 2取得最小值23.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．(2020·某某高二检测)若a ＝()－1，λ，－2 ，b ＝()2，－1，1 ，a 与b 的夹角为120°，则λ的值为()A ．17B ．－17C ．－1D ．1【解析】选AC.由已知a ·b ＝－2－λ－2＝－λ－4，||a ＝1＋λ2＋4 ＝5＋λ2 ，||b ＝4＋1＋1 ＝ 6 ， 所以cos 120°＝a ·b||a ·||b ＝－λ－45＋λ2·6＝－12 ，解得λ＝17或λ＝－1.10．(2020·启东高二检测)设有一组圆C k ：(x －1)2＋(y －k)2＝k 4(k ∈N *).下列四个命题正确的是()A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点【解析】选ABD.根据题意得圆的圆心为(1，k)，半径为k 2，选项A ，当k ＝k 2，即k ＝1时，圆的方程为(x-1)2+(y-1)2＝1，圆与x 轴相切，故正确；选项B ，直线x ＝1过圆的圆心(1，k)，x ＝1与所有圆都相交，故正确；选项C ，圆k ：圆心(1，k)，半径为k 2，圆k ＋1：圆心(1，k ＋1)，半径为(k ＋1)2，两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R －r ＝2k ＋1，(R －r ＞d)，C k 含于C k ＋1之中，若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D ，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k 2＝k 4，不存在k ∈N *使上式成立，即所有圆均不过原点，正确．11．(2020·某某高二检测)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足||PF 2 ＝||F 1F 2 ，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是() A ．渐近线方程为4x ±3y ＝0 B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0 C ．离心率为53D ．离心率为54【解析】选AC.设||PF 2 ＝||F 1F 2 ＝2c ， 由||PF 1 －||PF 2 ＝2a ，可得||PF 1 ＝2c ＋2a ， 由F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，设PF 1的中点为M ，由等腰三角形PF 1F 2的性质可得，F 2M ⊥PF 1， 即有||PF 1 ＝2（2c ）2－（2a ）2 ＝4c 2－a 2 ＝4b ，所以2c ＋2a ＝4b ，即c ＋a ＝2b ，可得c 2＝a 2＋b 2＝(2b －a)2，即有3b ＝4a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169 ＝53.12．(2020·潍坊高二检测)已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q.若抛物线C 上存在一点E(t ，2)到焦点F 的距离等于3.则下列说法正确的是() A ．抛物线的方程是x 2＝2y B ．抛物线的准线是y ＝－1 C ．sin ∠QMN 的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【解析】选BC.抛物线C ：x 2＝2py()p>0 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ，得抛物线的准线方程为y ＝－p 2 ，点E ()t ，2 到焦点F 的距离等于3，可得2＋p2＝3，解得p ＝2，则抛物线C 的方程为x 2＝4y ，准线为y ＝－1，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，F ()0，1 ，设A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2 ＋2＝4k 2＋2，所以AB 的中点Q 的坐标为()2k ，2k 2＋1 ，||AB ＝y 1＋y 2＋p ＝4k 2＋2＋2＝4k 2＋4，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为r ＝2k 2＋2，在等腰△QMN中，sin ∠QMN＝||y Qr＝2k 2＋12k2＋2＝1－12k2＋2≥1－12＝12，当且仅当k＝0时取等号，所以sin ∠QMN的最小值为12，即C正确．三、填空题(每小题5分，共20分)13．(2020·某某高二检测)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1∥l2，则实数a的值为______．【解析】依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧()a＋1()a＋2－6＝0()a＋1×1－2()2－a≠0，解得a＝－4.答案：－414．(2020·某某高二检测)平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为正方形，且∠A1AB＝∠A1AD＝π3，其中，设||AB＝||AD＝1，||AA1＝c，体对角线||A1C＝2，则c的值是________．【解析】1A C＝AB→＋AD→－1AA，故|1A C|2＝|AB→＋AD→－1AA|2＝AB→2＋AD→2＋1AA2＋2AB→·AD→－21AA·AB→－2AD→·1AA＝c2＋2－2c＝4，解得c＝ 3 ＋1.答案： 3 ＋115．(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为 3 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．【解析】因为抛物线的焦点为(1，0)，所以由题意知直线AB 的方程为 y ＝3 (x －1)，与y 2＝4x 联立得3(x －1)2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103 ，所以|AB|＝x 1＋x 2＋2＝163 .答案：16316．(2020·某某高二检测)双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交曲线C 右支于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1，若3||PQ ＝4||PF 1 ，则C 的离心率等于________．【解析】如图，设|PQ|＝4t(t>0)， 由3||PQ ＝4||PF 1 可得||PF 1 ＝3t ， 由双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以||PF 2 ＝3t －2a ，||QF 2＝|PQ|－|PF 2|＝t ＋2a ，又|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以|QF 1|＝t ＋4a ，因为PQ ⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|2＋|PQ|2＝|QF 1|2， 即(3t)2＋(3t －2a)2＝4c 2①， (3t)2＋(4t)2＝(t ＋4a)2②，由②解得t ＝a ，代入①得(3a)2＋(3a －2a)2＝4c 2， 即10a 2＝4c 2，所以e＝ca＝104＝102.答案：102四、解答题(共70分)17．(10分)已知向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1).(1)若a∥c，求|c|.(2)若b⊥c，求(a－c)·(2b＋c)的值．【解析】(1)因为a∥c，所以存在实数k使得c＝k a，可得：⎩⎪⎨⎪⎧x＝2k，2＝4k，－1＝－2k，解得x＝1.所以|c|＝12＋22＋（－1）2＝ 6 .(2)b⊥c，所以b·c＝－x＋0－2＝0，解得x＝－2.所以c＝(－2，2，－1).所以(a－c)·(2b＋c)＝(4，2，－1)·(－4，2，3)＝－16＋4－3＝－15.18．(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC.(1)求证：AB 1⊥平面A 1BC ；(2)若AC ＝5，BC ＝3，∠A 1AB ＝60°，求二面角B ­A 1C ­C 1的余弦值． 【解析】(1)在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A ＝AB ， 所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以AB 1⊥A 1B. 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°， 平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， 所以CB ⊥侧面A 1ABB 1.因为AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CB ⊥AB 1. 又因为A 1B ∩BC ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BC. (2)在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝3，所以AB ＝4， 在菱形A 1ABB 1中，因为∠A 1AB ＝60°， 所以△A 1AB 为正三角形．如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点，OA 1所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，过点O 且与BC 平行的直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(2，0，0)，B(－2，0，0)，C(－2，0，3)，B 1(0，－2 3 ，0)，C 1(0，－23 ，3)，所以1C C ＝(－2，23 ，0)，11C A ＝(2，23 ，－3).设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1CC 1的法向量，则111C C 0C A 0.⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋23y ＝0，2x ＋23y －3z ＝0.令x ＝3，得n ＝(3， 3 ，4)为平面A 1CC 1的一个法向量．又1OB ＝(0，－23 ，0)为平面A 1BC 的一个法向量，cos 〈n ，1OB 〉＝11OB |||OB |n n ＝－627×23＝－2114 .由直观图知，二面角B ­A 1C ­C 1的平面角为钝角， 所以二面角B ­A 1C ­C 1的余弦值为－2114.19．(12分)一动点到两定点距离的比值为正常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．已知两定点A ，B 的坐标分别为：A(4，0)，B(1，0)，动点M 满足|AM|＝2|BM|. (1)求动点M 的阿波罗尼斯圆的方程； (2)过P(2，3)作该圆的切线l ，求l 的方程． 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y)， 则|AM|＝（x －4）2＋y 2 ，|BM|＝（x －1）2＋y 2 ，又知|AM|＝2|BM|， 则（x －4）2＋y 2 ＝2（x －1）2＋y 2 ，得x 2＋y 2＝4.(2)当直线l 的斜率存在且为k 时，直线l 的方程为：y ＝kx －2k ＋3，l 与圆相切， 则d ＝|－2k ＋3|k 2＋1 ＝2，得：k ＝512 ，此时l 的方程为：5x －12y ＋26＝0，当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：x ＝2，综上，直线l 的方程为x ＝2，5x －12y ＋26＝0.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【解析】(1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD. 又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥DC ，又DC ∩PD ＝D ，DC ，PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ，由平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，可得l ∥AD.因此l ⊥平面PDC.(2)以D 为坐标原点，DA → 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，DC → ＝(0，1，0)，PB →＝(1，1，－1).由(1)可设Q(a ，0，1)，则DQ →＝(a ，0，1)，设n ＝(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·DQ →＝0，n ·DC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，y ＝0.可取n ＝(－1，0，a).所以cos<n ，PB →>＝n ·PB →|n |·|PB →|＝－1－a 3·1＋a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ，则sin θ＝33 ×|a ＋1|1＋a 2＝331＋2aa 2＋1 .因为331＋2aa 2＋1 ≤63，当且仅当a ＝1时等号成立，所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63.21．(12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6 .过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC → 与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．【解析】(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1). 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26 ，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32 ，所以94a 2 ＋6b 2 ＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29 ＋x 28＝1.(2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4).因AC → 与BD →同向，且|AC|＝|BD|， 所以AC → ＝BD → ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4. ③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. ④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k9＋8k 2 ，x 3x 4＝－649＋8k 2 . ⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2 ＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64 ，即直线l 的斜率为±64.22．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的离心率为22 ，且过点A(2，1). (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ|为定值．【解析】(1)由题意得4a 2 ＋1b 2 ＝1，a 2－b 2a 2 ＝12 ，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26 ＋y 23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26 ＋y 23 ＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2 ，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2 .①由AM ⊥AN 知AM → ·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2 －(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0. 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A(2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1(A(2，1)不在直线MN 上).于是MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23 －13 (k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13 .若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1，－y 1).由AM → ·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 21 6 ＋y 213 ＝1，可得3x 21 －8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13 .令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ|＝12 |AP|＝223 .若D 与P 重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 ，使得|DQ|为定值．。

人教A 版必修第二册各章综合测验第六章平面向量及其应用 ............................................................................................... 1 第七章复数 ..................................................................................................................... 14 第八章立体几何初步 ..................................................................................................... 22 第九章统计 ..................................................................................................................... 36 第十章概率 (49)第六章平面向量及其应用(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝( ) A ．2CD → ＋CA → B ．CD → －2CA →C ．2CD → －CA → D ．CD → ＋2CA→ 【解析】选C.在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(AC → ＋CD → )＝2CD → －CA → .2．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，且λa ＋μb ＝(2，8)，则λ－μ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 【解析】选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，2)， 所以λa ＋μb ＝(λ，λ＋2μ)， 因为λa ＋μb ＝(2，8)，所以(λ，λ＋2μ)＝(2，8)，所以λ＝2，μ＝3， 所以λ－μ＝－1.3．向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，若3a －b 与c 共线，则x ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－2 D ．－1【解析】选D.向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，则3a －b ＝(1，－1)，又3a －b 与c 共线，则1×1－(－1)·x＝0，解得x ＝－1.4．(2021·宁波高一检测)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．12 【解析】选B.因为a ＝(2，0)，|b |＝1 所以|a |＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1 所以|a ＋2b |＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝2 35．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A ．62 B ．63 C ．12 D ．32【解析】选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C， 即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60° ＝63. 6．如图所示，下列结论正确的是( )①PQ → ＝32 a ＋32 b ；②PT → ＝32 a －b ；③PS → ＝32 a －12 b ；④PR → ＝32a ＋b .A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】选C.①根据向量的加法法则，得PQ → ＝32 a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT → ＝32 a －32 b ，故②错误；③PS → ＝PQ → ＋QS → ＝32 a ＋32 b －2b ＝32 a －12 b ，故③正确；④PR → ＝PQ → ＋QR →＝32 a ＋32 b －b ＝32 a ＋ 12b ，故④错误． 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f 4，则f 4＝( ) A ．(－2，－2) B ．(2，－2) C ．(－1，2)D ．(－2，2)【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H ，所以f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(－2，2).8．(2021·济宁高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若 tan C ＝7 ，cos A ＝528 ，b ＝3 2 ，则△ABC 的面积为( ) A ．37B ．372C ．374D ．378【解析】选B.因为tan C ＝sin C cos C ＝7 且sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝144，cos C ＝24 .又cos A ＝528 ，所以sin A ＝1－cos 2A ＝148 ，故sin B ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin (A ＋C) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝378. 因为a sin A ＝b sin B ，b ＝3 2 ，故a ＝b sin A sin B ＝2，S △ABC ＝12 ×ab sin C＝12 ×2×3 2 ×144 ＝372.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )【解析】选BD.a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量乘法的分配律可得：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，即B 正确； 因为a ·b ＝a ·c ，则a·(b ＋c )＝0， 又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b ＋c )，即C 错误；向量加法满足结合律，即：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即D 正确．10．(2021·青岛高一检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a －b )·(2b －c )的值可能为( ) A ．－2 B ．3－ 3 C ．0D ．－ 2【解析】选ACD.|a|＝|b|＝|c|＝1，a ·b ＝12 ，则cos θ＝12 ，θ＝60°，所以|b －a|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1，则(a －b )·(2b －c )＝2a·b －a·c －2b 2＋b·c ＝1－2＋c·(b －a )＝－1＋cos α，其中α为c 与b －a 的夹角，且α∈[0，π]，因为cos α∈[－1，1]， 所以cos α－1∈[－2，0].11.(2021·南通高一检测)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP → ＝xOA → ＋yOB → ()x ，y∈R ，则下列结论正确的为( )A ．当x ＝0时，y∈[]2，3B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12 ，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1【解析】选BCD.当x ＝0时，OP → ＝yOB → ，则P 在线段BE 上，故1≤y≤3，故A错．当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12 (EB → ＋BC → )＝3OB→ ＋12 (－2OB → ＋AB →) ＝－12 OA → ＋52OB →，故B 对．x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对．如图，过P 作PM∥AO，交OE 于M ，作PN∥OE，交AO 的延长线于N ，则：OP → ＝ON → ＋OM → ；又OP → ＝xOA → ＋yOB → ；所以x≤0，y≤1；由图形看出，当P 与B 重合时，OP →＝0·OA → ＋1·OB → ；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x －y 取最大值－1，故D 正确． 12．(2021·怀化高一检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，cos 2A－cos2B－cos2C＝cosA cos B＋cos C－cos 2B且c＝ 3 ，则下列结论中正确的是( )A．C＝π3B．C＝2π3C．△ABC面积的最大值为3 4D．△ABC面积的最大值为33 4【解析】选BC.因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcos B＋cos C－cos 2B，所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosA cos B－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，所以sinA sin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，可得cosC＝－12，可得C＝2π3，故A错误；B正确；又c＝ 3 ，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC ＝12ab sin C≤12×1×32＝34，故C正确；D错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a＝(2，－2)，b＝(x，2)，若a·b＝6，则x＝____________．【解析】因为a＝(2，－2)，b＝(x，2)，所以a·b＝2x－4，又因为a·b＝6，所以2x－4＝6，解得x＝5.答案：514．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝ 3 b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝__________． 【解析】因为2a sin B ＝ 3 b ， 所以2sin A sin B ＝ 3 sin B. 所以sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝12 ，因为bc ＝6，b ＋c ＝5， 所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12 ＝7，所以a ＝7 .答案：715．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点．若AD → ·EB → ＝2，则AB → 的模为__________．【解析】因为在平行四边形ABCD 中，EB → ＝EC → ＋CB → ＝12 DC → －BC → ，又DC → ＝AB → ，BC → ＝AD → ， 所以EB → ＝12AB → －AD → ，所以AD → ·EB → ＝AD → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD → ＝12 AB → ·AD → －AD → 2＝12 |AB → ||AD→ |cos 60°－|AD → |2＝14 |AB → |－1＝2，所以|AB → |＝12. 答案：1216．(2021·天津高一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若m ＝()b －c ，a －b ，n ＝()sin C ，sin A ＋sin B ，且m ⊥n ，则A ＝________；若△ABC 的面积为2 3 ，则△ABC 的周长的最小值为____________．【解析】由条件可知m ·n ＝()b －c sin C ＋()a －b ()sin A ＋sin B ＝0， 由正弦定理可得()b －c c ＋()a －b ()a ＋b ＝0， 所以bc －c 2＋a 2－b 2＝0即bc ＝b 2＋c 2－a 2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12 ，因为0<A<π，所以A ＝π3； S ＝12 bc sin A ＝34 bc ＝2 3 ，解得bc ＝8， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc≥2bc－bc ＝8即a≥2 2 ，当b ＝c ＝2 2 时，等号成立，b ＋c≥2bc ＝4 2 ，当b ＝c 时等号成立， 所以a ＋b ＋c≥2 2 ＋4 2 ＝6 2 ， 当b ＝c 时，a ＋b ＋c 时取得最小值6 2 . 答案：π3 6 2四、解答题(共70分)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求： (1)2AB → ＋AC → 的模；(2)cos ∠BAC. 【解析】(1)如图，AB →＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，故2AB → ＋AC → ＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)， 故|2AB → ＋AC → |＝ （－1）2＋72＝5 2 ； (2)cos ∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝（－1，1）·（1，5）1＋1 1＋52＝－1＋5 2×26＝2 1313. 18．(12分)如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，试用a ，b 表示DC → ，BC → ，MN →.【解析】由题意知四边形ANCD 是平行四边形． 则DC → ＝AN →＝12 AB → ＝12a ，BC →＝NC → －NB → ＝AD → －12 AB → ＝b －12 a ，MN → ＝CN → －CM → ＝－AD →－12 CD →＝－AD → －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b .19．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时).(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝ 3 ，②c sin A＝3，③c＝ 3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选条件①ac＝ 3 .在△ABC中，sin A＝ 3 sin B，即b＝33a，ac＝ 3 ，所以c＝3a，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋a23－3a223a23＝32，所以a＝ 3 ，b＝1，c＝1. 选条件②c sin A＝3.在△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin π6＝3，所以a＝6.因为sin A＝ 3 sin B，即a＝ 3 b，所以b＝2 3 ，cos C＝a2＋b2－c22ab＝36＋12－c22×6×23＝32，所以c＝2 3 ，选条件③c＝ 3 b.由sin A＝ 3 sin B可得a＝ 3 b，又c＝ 3 b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝36≠cosπ6，与已知条件C＝π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．21．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ 3 ac.(1)求角B的大小；(2)若2b cos A＝ 3 (c cos A＋a cos C)，BC边上的中线AM的长为7 ，求△ABC【解析】(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32 ，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝ 3 (c cos A ＋a cos C)，可得2sin B cos A ＝ 3 (sin C cos A ＋sin A cos C)， 即2sin B cos A ＝ 3 sin B ， 因为sin B≠0，所以cos A ＝32， 所以A ＝π6， 于是C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m ，则BC ＝m ，AB ＝ 3 m ，CM ＝12m ，由余弦定理可知AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM·AC·cos 2π3，即(7 )2＝14 m 2＋m 2－2·12 m·m·(－12 )＝74m 2，解得m ＝2. 于是S △ABC ＝12 CA·CB sin 2π3 ＝12 ×2×2×32＝ 3 .22．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sinA ＋C2＝(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sinA ＋C2＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sinA ＋C2＝sin B. 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2 ＝cos B2， 故cos B 2 ＝2sin B 2 cos B2.因为cos B 2 ≠0，故sin B 2 ＝12 ，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12 ac sin B ＝34 a. 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°， 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，tan C ＞33 ，故12 <a<2，从而38 <S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32 .第七章复数(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分) 1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12 iB ．－12 iC ．12D ．－12【解析】选C.i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ） ＝1＋i 2 ＝12 ＋12i. 2．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．1－2i C ．2＋iD ．1＋2i【解析】选C.(x －i)i ＝y ＋2i 即xi ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2， 所以复数x ＋yi ＝2＋i.3．设z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ，其中i 为虚数单位，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】选B.因为z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ， 所以z 1＋z 2＝－3＋4i ＋2－3i ＝－1＋i ，所以z 1＋z 2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．4．(2021·舟山高一检测)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i【解析】选B.由题意，复数z1＋i＝2＋i ，可得z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.5．如图，在复平面内，向量OP → 对应的复数是1－i ，将OP → 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A.1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【解析】选 D.要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P ＝＋，从而可求P 0对应的复数．因为00O P ＝OP → ，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.6．已知a ，b∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i【解析】选D.由a －i 与2＋bi 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.7．如果一个复数和它的模的和为5＋ 3 i ，那么这个复数是( ) A ．115B ． 3 iC ．115 ＋ 3 iD ．115＋2 3 i【解析】选C.设这个复数为a ＋bi(a ，b∈R ). 由题意得a ＋bi ＋a 2＋b 2 ＝5＋ 3 i ，即a ＋a 2＋b 2 ＋bi ＝5＋ 3 i ，由复数相等可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3， 解得⎩⎨⎧a ＝115，b ＝3，所以复数为115＋ 3 i.8．设复数z ＝cos x ＋isin x ，则函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z 的部分图象可能是( )【解析】选A.f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x ＋isin x ＋1cos x ＋isin x ＝2|cos x|，所以f(x)的图象为A.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知复数z ＝21－i，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．|z|2＝2C ．z 2为纯虚数D ．z ＝－1＋i【解析】选BC.因为复数z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，则z 的虚部为1，A 不正确．|z|2＝2，B 正确．z 2＝(1＋i)2＝2i 为纯虚数，C 正确．z ＝1－i ，D 不正确．10．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值不能为( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2【解析】选CD.因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1.11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( ) A ．z 21 <|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R 【解析】选BC.z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋bi ，z 2＝a －bi(a ，b∈R ，b≠0). A ．z 21 ＝a 2－b 2＋2abi ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确； B ．z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； C ．z 1＋z 2＝2a∈R ，正确；D ．z 1z 2 ＝a ＋bi a －bi ＝（a ＋bi ）2（a －bi ）（a ＋bi ） ＝a 2－b 2a 2＋b 2 ＋2ab a 2＋b 2 i 不一定是实数，因此不一定正确．12．设i 为虚数单位，复数z ＝(a ＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( ) A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C ．实数a ＝－12 是z ＝z (z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )，则实数a 的值为2 【解析】选ACD ．z ＝(a ＋i)(1＋2i)＝a －2＋(1＋2a)i ， 所以选项A ：z 为纯虚数，有⎩⎨⎧a －2＝0，1＋2a≠0可得a ＝2，故正确；选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有⎩⎨⎧a －2<0，1＋2a<0 解得a<－12 ，故错误；选项C ：a ＝－12 时z ＝z ＝－52 ；z ＝z 时1＋2a ＝0即a ＝－12 ，它们互为充要条件，故正确；选项D ：z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )时，有1＋2a ＝5即a ＝2，故正确． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________． 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ） ＝（6＋14）－5i 12－（2i ）2 ＝20－5i5 ＝4－i.答案：4－i 14．若1＋ai1－i＝2－i(其中i 是虚数单位)，则实数a ＝________. 【解析】因为1＋ai1－i＝2－i ，所以1＋ai ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，所以a ＝－3. 答案：－315．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b 的最小值为________． 【解析】因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，所以2a ＋b ＝2，所以4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1 ＝222a ＋b －1 ＝2 2 .当且仅当a ＝14 ，b ＝32 时取等号．答案：2 216．已知2＋i ，2－i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0在复数范围内的两个根，则p ＝________，q ＝________．【解析】由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p ，(2＋i)(2－i)＝q ，所以p ＝－4，q ＝5.答案：－4 5 四、解答题(共70分)17．(10分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i；(2)4＋5i（5－4i ）（1－i ）. 【解析】(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i＝2（1－2i ）1－2i＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ） ＝（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ） ＝i1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ） ＝i －12 ＝－12 ＋12i. 18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a∈R ，当a 取何值时，(1)z∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零． 【解析】(1)z∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0， 所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1.19．(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1 i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数． (1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．【解析】(1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1 ＋12)i ，因为z 1＋z 2是纯虚数所以⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0解得m ＝1.(2)由(1)知z 1＝1＋12 i ，z 2＝－1＋12 i ，所以z 2＝－1－12i ，所以z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－12i＝－1－12 i －12 i ＋14 ＝－34－i.20．(12分)已知复数z 1＝m ＋(m 2－2m)i ，z 2＝1＋(－m 2＋3m －1)i ，其中x∈R . (1)若复数z 1为实数，求m 的值； (2)求|z 1＋z 2|的最小值．【解析】(1)由复数z 1为实数，则m 2－2m ＝0，解得m ＝2或m ＝0. (2)因为z 1＋z 2＝(m ＋1)＋(m －1)i ， 所以|z 1＋z 2|＝（m ＋1）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋2 ，当m ＝0时，故|z 1＋z 2|的最小值为 2 . 21．(12分)已知x 2－(3－2i)x －6i ＝0. (1)若x∈R ，求x 的值； (2)若x∈C ，求x 的值． 【解析】(1)x∈R 时，由方程得(x 2－3x)＋(2x －6)i ＝0. 则⎩⎨⎧x 2－3x ＝0，2x －6＝0， 得x ＝3. (2)x∈C 时，设x ＝a ＋bi(a ，b∈R )，代入方程整理，得(a 2－b 2－3a －2b)＋(2ab －3b ＋2a －6)i ＝0.则⎩⎨⎧a 2－b 2－3a －2b ＝0，2ab －3b ＋2a －6＝0， 得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－2 或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝0.故x ＝3或x ＝－2i.22．(12分)若z∈C ，4z ＋2z ＝3 3 ＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i 为虚数单位． (1)求复数z ；(2)求|z －ω|的取值范围．【解析】(1)设z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，则z ＝a －bi ， 所以4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝3 3 ＋i ， 即6a ＋2bi ＝3 3 ＋i ，所以⎩⎨⎧6a ＝33，2b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，所以z ＝32 ＋12i. (2)|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θi＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 .因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤1，所以0≤2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤4，所以0≤|z－ω|≤2，故|z －ω|的取值范围是[0，2].第八章立体几何初步(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A ．23 B ．76 C ．45 D ．56【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×13 ×12 ×12×12 ×12 ＝16 ，所以剩下的几何体的体积为1－16 ＝56. 2．如图，α∩β＝l ，A ，B∈α，C∈β，C ∉l ，直线AB∩l＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不通过点MD ．点C 和点M【解析】选D.通过A ，B ，C 三点的平面γ，即通过直线AB 与点C 的平面，因为M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C 和点M.3．已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C ．32 D ．34【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×3 2＝ 3 ，由图易得AO⊥BC，所以S△ABC ＝12×2× 3 ＝ 3 .4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5 －1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )A．16π B．20π C．24π D．28π【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO21＋12＝R2，而OO1＝ 5 ＋2－R，故R2＝1＋( 5 ＋2－R)2，所以R＝ 5 ，所以S＝4πR2＝20π.5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )A.22B． 3 C．12D．32【解析】选C.过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝ 3 ，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝ 3 ，所以cos ∠AFH＝12 .6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解析】选D.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥面BCD，BC⊂面BCD.所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩AD＝A，所以BC⊥面ABD，而AB⊂面ABD，所以BC⊥AB即△ABC为直角三角形．8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为1 3【解析】选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′­BCD ＝VC­A′BD＝16，D不正确．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是( )A． 2 π B．(1＋ 2 )πC．2 2 π D．(2＋ 2 π)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝ 2 ，这时表面积为12×2π·1·l＋π·12＝(1＋ 2 )π；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为2 2，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S＝2×12×2π·22×1＝ 2 π，综上所述该几何体的表面积为 2 π或(1＋ 2 )π.故选项CD符合题意．10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( )A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确．11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )A.直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D．点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为98，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．12．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P­BC­A的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD 相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD 是等边三角形． 所以AD⊥BM.又PM∩BM＝M. 所以AD⊥平面PMB ，因此A 正确． B ．由A 可得：AD⊥平面PMB ，所以AD⊥PB，所以异面直线AD 与PB 所成的角为90°，正确． C ．因为平面PBC∩平面ABCD ＝BC ，BC∥AD， 所以BC⊥平面PBM ，所以BC⊥PB，BC⊥BM. 所以∠PBM 是二面角P­BC­A 的平面角， 设AB ＝1，则BM ＝32 ＝PM ，在Rt△PBM 中，tan ∠PBM＝PMBM＝1， 所以∠PBM＝45°，因此正确． D ．因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，因此D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ­A 1B 1C 1与四棱锥P­ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1＝________．【解析】设AB ＝a ，在△ABC 中AB 边所对的高为b ，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为h ， 则V 1＝12 abh ，V 2＝13 ×ah·b，所以V 2V 1 ＝13abh 12abh ＝23.答案：2314．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.【解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm ，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H)＝πr 2h ＋πR 2(28－h)，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2915．如图所示，ABCD­A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．【解析】长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，因为AB∥A 1B 1，A 1B 1与A 1C 1所成的角，就是AB 与A 1C 1所成的角， 所以AB 与A 1C 1所成的角为30°，因为AA 1∥BB 1，BB 1与B 1C 所成的角就是AA 1与B 1C 所成的角，连接AC ，则AC∥A 1C 1， 所以∠BAC＝30°，因为AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，所以AB ＝ 3 a ，所以BC ＝a ，所以∠BB 1C ＝45°， 所以AA 1与B 1C 所成的角为45°. 答案：30° 45°16．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则ADAP＝________．【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1∥MN.根据正方体的性质可得MN⊥面ABCD，即可得MN⊥PB.当P为AD中点时，CM⊥PB，又CM∩MN＝M.所以PB⊥面NMC，即可得平面CMN⊥平面A1BP.则ADAP＝2.答案：2四、解答题(共70分)17．(10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥P­EFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积．【解析】(1)该安全标识墩的体积V＝VP­EFGH ＋VABCD­EFGH＝13×402×60＋402×20＝64000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP＝60 cm，OG＝12EG＝20 2 cm，可得PG＝602＋（202）2＝2011 cm.于是四棱锥P­EFGH的侧面积S1＝4×12×40×（2011）2－202＝1 60010 cm2，四棱柱EFGH­ABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(10 ＋2) cm2.18．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ 2 ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积．【解析】(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)因为PA＝PD＝ 2 ，AO＝1，所以PO＝AP2－AO2＝2－1 ＝1所以V＝13×PO×S四边形ABCD＝13×1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋22×1＝12.19．(12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，所以AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.20．(12分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．(1)求证：BC1⊥平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP⊥平面BCC1B1 .【证明】(1)因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1C A∩平面BCC1B1＝CC1，BC1⊥C1C，所以BC1⊥平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．所以PF∥AA1，PE∥AC，因为PF∩PE＝P，AA1∩AC＝A，所以平面EFP∥平面A1C1 CA，因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，所以平面EFP⊥平面BCC1B1 .21．(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36 2 ，求a的值．【解析】(1)在图①中因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC＝12AD＝ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝36 2 ，得a＝6.22．(12分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D ， 所以BF⊥平面PAD. 又BF ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD⊥平面PAD ，又平面ABCD∩平面PAD ＝AD ，且PF⊥AD， 所以PF⊥平面ABCD.连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG∥PF 交PC 于G ，所以GH⊥平面ABCD. 又GH ⊂平面DEG ， 所以平面DEG⊥平面ABCD. 因为AD ∥BC，所以△DFH∽△ECH， 所以CH HF ＝CE DF ＝12 ，所以CG GP ＝CH HF ＝12 ，所以GH ＝13 PF ＝33 ，所以V D­CEG ＝V G­CDE ＝13 S △CDE ·GH＝13 ×12 DC·CE·sin π3 ·GH＝112.第九章统计(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( ) A．9 B．10 C．12 D．13【解析】选D.n＝3＋120×360＋80×360＝13.2．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟．结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为( )A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟【解析】选 C.由分层抽样的性质可得抽取男生100×400400＋600＝40人，女生100×600400＋600＝60人，则样本中学生每天运动时间的平均值x＝40×100＋60×80100＝88(分钟)，故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟．3．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn，下列结论正确的是( )A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8【解析】选D.样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，所以样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.4．某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是( )工人保底月薪工人保底月薪1 2 890 7 2 8502 2 860 83 1303 3 050 9 2 8804 2 940 10 3 3255 2 755 11 2 9206 2 710 12 2 950A.3 050 B．2 950 C．3 130 D．3 325【解析】选A.把这组数据从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 860，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i＝n×p%＝12×80%＝9.6，所以第80百分位是3 050.5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为( )A.2 800 B．3 000 C．3 200 D．3 400【解析】选D.高一年级交稿2 000份，在总交稿数中占比80360＝29，所以总交稿数为2 000÷29＝9 000，高二年级交稿数占总交稿数的144360＝25，所以高三年级交稿数占总交稿数的1－2 9－25＝1745，所以高三年级交稿数为9 000×1745＝3 400.6．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为( )A.39人B．49人C.59人D．超过59人【解析】选A.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3，8，17，19，21，24，32，36，恰好使1～10，11～20，21～30，31～40四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右．7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[10，15)和[25，30)为二等品，在区间[10，15)和[30，35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是( )A.0.03 B．0.05C.0.15 D．0.25【解析】选D.在区间[10，15)和[30，35)为三等品，由频率分布直方图得在区间[10，15)和[30，35)的频率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25.8．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为( )A.23年 B．22年 C．21年 D．20年【解析】选B.设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，解得x≈22.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．某旅行社调查了所在城市20户家庭2020年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的( )A.众数是1.4 B．中位数是1.5C.中位数是1.6 D．众数是1.62【解析】选AB.依题意可得这组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5.10．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是( )A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率【解析】选ABC.A.因为每个班的总人数不确定，故无法比较；B.甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；C.无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；D.甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确．11．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x ，s 2，新平均分和新方差分别为x 1，s 21 ，若此同学的得分恰好为x ，则( ) A.x ＝x 1 B ．s 2<s 21 C.s 2>s 21D ．s 2＝s 21【解析】选AC.设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()n －1 x ，方差为s 2＝1n －1。

第二章 推理与证明 单元质量测评(二)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．总分值150分，考试时间120分钟．第一卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．有一段“三段论〞，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确答案 B解析 可导函数f (x )，假设f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值异号，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点，应选B.2．观察以下各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n(8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2答案 A解析 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上适宜的图形为( )A ．■ B．△ C ．□ D．○ 答案 A解析 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，那么知A 正确．4．用反证法证明命题：“假设函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12〞时，反设正确的选项是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至多有一个小于12答案 B解析 “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12〞的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12〞．5．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，那么A (11,12)等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.应选D.6．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1)答案 C解析 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) …f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．应选C.7．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进展如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，那么每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)答案 B解析 ∵当n ＝1时，S 1＝1，当n ＝2时，S 2＝8＝23； 当n ＝3时，S 3＝27＝33， ∴归纳猜测S n ＝n 3.应选B.8．a ＋b ＋c ＝0，那么ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0答案 D解析 解法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法二：令c ＝0，假设b ＝0，那么ab ＋bc ＋ac ＝0，否那么a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A ，B ，C ，选D.9．“回文〞是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我〞．在数学中也有一类数字具有这样的特征，称为回文数．设n 是一任意自然数，假设将n 的各位数字反向排列所得自然数n 1与n 相等，那么n 是回文数．例如，假设n ＝1234321，那么n 是回文数；假设n ＝1234567，那么n 不是回文数．以下数中不是回文数的是( )A ．187×16B ．1112C ．45×42D ．2304×21答案 C解析 对于A,187×16＝2992，是回文数；对于B,1112＝12321，是回文数；对于C,45×42＝1890，不是回文数；对于D,2304×21＝48384，是回文数．10．1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c答案 A解析 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，那么积不容异〞，“势〞是高，“幂〞是截面积，意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如下图，在平面直角坐标系中，①是一个形状不规那么的封闭图形，②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被①和②所截得的两线段长总相等，那么①的面积为( )A ．4 B.92 C ．5 D.112答案 B解析 根据题意，由祖暅原理，分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，故面积S ＝(1＋2)×32＝92.12．整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，…，按以上构造规律，第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 答案 B解析 所给各数对依次为整数2,3,4,5，…的分解，且是第一个数从小到大的依次分解，2的分解有(1,1)一个数对，3的分解有(1,2)，(2,1)两个数对，4的分解有(1,3)，(2,2)，(3,1)三个数对，…，n (n ≥2，n ∈N )的分解有(n －1)个数对，由(n －1)[1＋(n －1)]2≤60，n ∈N 得，nn ＝11时，(11－1)×112＝55，故第60个数对为12的分解中的第5对，由(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)知，第5对为(5,7)．第二卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．观察以下等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81解析 由1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，知第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.14．假设椭圆的左焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆〞．类比“黄金椭圆〞，可推算出“黄金双曲线〞的离心率为________．答案5＋12解析 设O 为坐标原点，“黄金双曲线〞的左焦点为F ，右顶点为A ，B 为虚轴的一个端点，且位于x 轴的上方，那么FB ⊥AB .在Rt △ABF 中，AO OB ＝OB OF，那么b 2＝ac ，即c 2－a 2＝ac ，可得e 2－e －1＝0，又e >1，故e ＝5＋12. 15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方形重叠局部的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，那么这两个正方体重叠局部的体积恒为________．答案a 38解析 由平面图形与空间图形类比易知两个正方体重叠局部的体积为a 38.16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如下图的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2021是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察题图知这些三角形数满足a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)，依次写下去得到1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，…，设能被5整除的三角形数的位置构成数列{c n }，那么数列{c n }为4,5,9,10,14,15，…，它的一般规律是c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n 2，n 为偶数，5(n ＋1)2－1，n 为奇数，故b n ＝c n (c n ＋1)2，所以b 2021是数列{a n }中的第c 2021＝5040项，b 2k －1＝c 2k －1(c 2k －1＋1)2＝5k (5k －1)2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.证明 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a ＞0，c ＜0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0， 所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立，故原不等式成立．18．(本小题总分值12分)实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.证明 假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 那么a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋3，且x 为实数，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 19．(本小题总分值12分)函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵a ＞1，且x 1＜x 2，∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0. 又∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．20．(本小题总分值12分)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.证明：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明 (1)反证法．假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，那么有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，与k 1为实数相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)证法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得直线l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1.而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 故交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证法二：直线l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故x ⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0， 整理得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．21．(本小题总分值12分)椭圆具有性质：假设M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)写出类似的性质，并加以证明．解 类似的性质为：假设M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，那么N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b2＝1.设点P (x ，y )，那么k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m， 所以k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2.将y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，n 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a 2－1代入上式， 可得k PM ·k PN ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－m 2a 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．22．(本小题总分值12分)是否存在常数a ，b ，c ，使等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？并用数学归纳法证明你的结论．解 把n ＝1,2,3代入题中等式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10，猜测：等式1×22＋2×32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12·(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N ＋都成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上面的探求可知等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k2＋11k ＋10)．那么，当n ＝k ＋1时，1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝(k ＋1)(k ＋2)12[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)]＝(k ＋1)(k ＋2)12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立． 根据①②，可知对一切n ∈N ＋等式都成立．。

本 册 检 测考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为( D )A ．1或2B ．12C ．1D ．2[解析] ∵集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k}，B ⊆A ，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k＝1，解得k ＝2.故选D.2．(2021·全国高考乙卷理科)已知命题p ：∃x ∈R ，sin x <1；q ：∀x ∈R ，则e |x |≥1，则下列命题中为真命题的是( A )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈(p ∨q )[解析] 由于sin0＝0，所以命题p 为真命题；由于y ＝e x 在R 上为增函数，|x |≥0，所以e |x |≥e 0＝1，所以命题q 为真命题； 所以p ∧q 为真命题，綈p ∧q 、p ∧綈q 、綈(p ∨q )为假命题． 故选A.3．sin1，cos1，tan1的大小关系为( A ) A ．tan1>sin1>cos1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．sin1>cos1>tan1D ．tan1>cos1>sin1[解析] ∵sin1>sin π4＝22，cos1<cos π4＝22，tan1>tan π4＝1，∴tan1>sin1>cos1.4．lg2－lg 15－e ln2－(14)－12＋(－2)2的值为( A )A ．－1B ．12C ．3D ．－5[解析] 原式＝lg2＋lg5－2－2＋2＝lg10－2＝1－2＝－1.故选A. 5．设角α＝－35π6，则2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)的值为( D )A ．12B ．32C ．22D ． 3[解析] 因为α＝－35π6，所以2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos αsin α＝cos (－35π6)sin (－35π6)＝cosπ6sinπ6＝ 3.故选D.6．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是( D )[解析] 因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观察题中图象可知只有D 中图象满足要求．7．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (13)＝0，则满足f (log18x )>0的x的取值范围是( B )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)[解析] 由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，所以f (|log18x |)>f (13)．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|log18x |>13，又x >0，解得0<x <12或x >2.8．(2021·四川绵阳高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则要得到y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象(纵坐标不变)( B )A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位长度C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位长度[解析] 由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2.把点(π12，1)的坐标代入函数的解析式可得1＝sin(2×π12＋φ)， 即sin(π6＋φ)＝1.再由|φ|<π2，可得φ＝π3，故函数f (x )＝sin(2x ＋π3)．把函数y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，可得y ＝cos2x 的图象，再向右平移π12个单位长度可得y ＝cos2(x －π12)＝cos(2x －π6)＝sin[π2－(2x －π6)]＝sin(2π3－2x )＝sin[π－(π3＋2x )]＝sin(2x ＋π3)＝f (x )的图象．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．将函数y ＝sin(x －π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向左平移3π4个单位长度得g (x )的图象，则下列说法正确的是( ACD ) A ．g (x )是奇函数B ．x ＝π3是g (x )图象的一条对称轴C ．g (x )的图象关于点(3π，0)对称D ．2g (0)＝1[解析] 将函数y ＝sin(x －π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得y ＝sin(x 3－π4)的图象，再向左平移3π4个单位长度得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x ＋3π4－π4＝sin x3的图象，所以A 正确；因为g (π3)≠±1，所以B 错；因为g (3π)＝sin π＝0，所以C 正确；又g (0)＝0，所以2g (0)＝1，所以D 正确．综上，ACD 正确．10．已知0<a <b <1<c ，则下列不等式不成立的是( BD ) A ．a c <b c B ．c b <c a C ．log a c >log b cD ．sin a >sin b[解析] 取a ＝14，b ＝12，c ＝2，则(14)2<(12)2，A 成立；212>214，B 不成立；log142＝－12，log122＝－1，∴log142>log122，C 成立；∵0<a <b <1<π2，∴sin a <sin b ，D 不成立．故选BD.11．函数f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的是( ABC ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f (x ＋π6)＋f (π6－x )＝0C ．f (x )在(－π12，5π12)上是增函数D ．由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C[解析] f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，f (x )的最小正周期为π，故A 正确；f (π6)＝2sin(2×π6－π3)＝0，故图象关于(π6，0)对称，B 正确；当x ∈(－π12，5π12)时，2x －π3∈(－π2，π2)，所以f (x )在(－π12，5π12)上是增函数，C 正确；由y ＝2sin2x 向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin2(x －π3)＝2sin(2x －2π3)的图象，故D 错误．故选ABC.12．下列命题正确的是( CD ) A ．∀x ∈(2，＋∞)，都有x 2>2xB ．“a ＝12”是函数“y ＝cos 22ax －sin 22ax 的最小正周期为π”的充要条件C ．命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝ax 20＋x 0＋a ＝0是假命题，则a ∈(－∞，－12)∪(12，＋∞)D ．已知α，β∈R ，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分也不必要条件[解析] A 错，当x ＝4时，42＝24，故不等式不成立；B 错，y ＝cos 22ax －sin 22ax ＝cos4ax ，当a ＝12时，y ＝cos2x ，其最小正周期为2π2＝π；当a ＝－12时，y ＝cos(－2x )＝cos2x ，其最小正周期为π，故说法不正确；C 正确，因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，即不存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，故Δ＝1－4a 2<0，且a ≠0，解得a >12或a <－12；D 正确，如果两个角为直角，那么它们的正切值不存在，反过来，如果两个角的正切值相等，那么它们可能相差k π(k ∈Z )，故反之不成立．综上，CD 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．化简2＋cos20°－sin 210°[解析]2＋cos20°－sin 210°＝2＋2cos 210°－1－sin 210°＝3cos 210°＝3cos10°.14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的7折，则x 的最大值为 15 .[解析] (1)x ＝10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60＋80－10＝130元． (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，y <120元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求．y ≥120元时，有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立， 即8(y －x )≥7y ，x ≤y 8，即x ≤(y8)min ＝15元，所以x 的最大值为15.15．已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝ －11 .[解析] ∵当x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴当x >0时，f (x )＝2x ， ∴当x >0时，g (x )＝2x ＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.16．函数f (x )＝a 2－x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点 (2,0) ，当a >1时，f (x 2)的单调递增区间为 (－∞，0] .[解析] 由2－x ＝0得x ＝2，此时，f (2)＝0，∴f (x )恒过定点(2,0)；当a >1时，f (x 2)＝a2－x 2－1，由复合函数同增异减可知，f (x )的递增区间为(－∞，0]．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若cos αcos β＋sin αsin β＝0，求sin(α＋β)的值． [解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0，且0<β<α<π， ∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log ax ，x >0，且点(4,2)在函数f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)求不等式f (x )<1的解集；(3)若方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵点(4,2)在函数的图象上，∴f (4)＝log a 4＝2，解得a ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log 2x ，x >0.函数的图象如图所示．(2)不等式f (x )<1等价于⎩⎨⎧x >0，log 2x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2<1，解得0<x <2或x <－1，∴原不等式的解集为{x |0<x <2或x <－1}． (3)∵方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，∴函数y ＝2m 的图象与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点． 结合图象可得2m ≤2，解得m ≤1. ∴实数m 的取值范围为(－∞，1]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(π3＋x )·cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合．[解析] (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )·(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3(1－cos2x )8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x ) ＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．20．(本小题满分12分)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元，该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，将有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润y ＝8 202＋lg x 万元(x 为机器人台数且x <320)．(1)写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系；(2)为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据：lg2≈0.301 0)[解析] (1)当购进智能机器人台数x ≤100时， 工厂的年利润y ＝(320－x )(20＋0.2x )－4x －2x ＝－0.2x 2＋38x ＋6 400，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.2x 2＋38x ＋6 400，0≤x ≤100，x ∈N ，8 202＋lg x ，100<x <320，x ∈N .(2)由(1)知，当0≤x ≤100时，y ＝－0.2(x －95)2＋8 205， 当x ＝95时，y max ＝8 205；当x >100时，y ＝8 202＋lg x 为增函数，8 202＋lg x <8 202＋lg320＝8 202＋1＋5lg2≈ 8 204.505<8 205.综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利润为8 205万元．21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调减区间；(3)若函数g (x )＝f (x )－m 在区间[－π4，π4]上没有零点，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋12sin2x －32cos2x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1.∵ω＝2，∴T ＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .(3)作出函数y ＝f (x )在[－π4，π4]上的图象如图所示．函数g (x )无零点，即方程f (x )－m ＝0无解，亦即函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象在x ∈[－π4，π4]上无交点，从图象可看出f (x )在[－π4，π4]上的值域为[0，2＋1]，则m >2＋1或m <0.所以m 的取值范围为{x |m >2＋1或m <0}．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R 上的单调性；(3)若方程f (4x －b )＋f (－2x ＋1)＝0在(－3，log 23)内有解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)依题意得f (0)＝－1＋a2＝0，故a ＝1，此时f (x )＝－2x ＋12x ＋1，对任意x ∈R 均有f (－x )＝－2－x ＋12－x ＋1＝－1＋2x1＋2x ＝－f (x )，∴f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上是减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋12x 1＋1－－2x 2＋12x 2＋1＝(－2x 1＋1)(2x 2＋1)－(2x 1＋1)(－2x 2＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2， ∴2x 2－2x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)．∴该函数在定义域R 上是减函数．(3)由函数f (x )为奇函数知，f (4x －b )＋f (－2 x ＋1)＝0⇔f (4x －b )＝f (2x ＋1)． 又函数f (x )是单调递减函数，从而4x －b ＝2x ＋1. 即方程b ＝4x －2x ＋1在(－3，log 23)内有解． 令y ＝g (x )＝4x －2x ＋1，只要b 在g (x )的值域内即可． ∵g (x )＝22x －2·2x ＝(2x －1)2－1，且2x ∈(18，3)，∴g (x )∈[－1,3)．∴当b ∈[－1,3)时，原方程在(－3，log 23)内有解．。

专题02 或且非命题的真假判断一、选择题1．【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知()2xf x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥， ()y f x =有三个零点，命题:q a R ∃∈，使得()0f x ≤恒成立. 则下列命题为真命题的是（ ）A . p q ∧B . ()()p q ⌝∧⌝C . ()p q ⌝∧D . ()p q ∧⌝【答案】B2．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假，且“”为假，则（ ）．A . 或为假B . 为假C . 为真D . 为假【答案】D 【解析】“”为假，则为真，又“且”为假，为真， 故为假， 故选．3．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过，命题是无理数，则（ ）．A . 命题“”是假命题B . 命题“”是假命题C . 命题“”是假命题D . 命题“”是真命题【答案】B【解析】命题为假，，命题为真，是无理数，“”为真命题，“”为真命题， “”为假命题，“”为假命题．故选．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 4．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面α， β， γ，命题p :若αβ⊥， γβ⊥，则αγ；命题q :若α上不共线的三点到β的距离相等，则αβ，下列结论中正确的是（ ）． A . 命题“p 且q ”为真 B . 命题“p 或q ⌝”为假 C . 命题“p 或q ”为假 D . 命题“p 且q ⌝”为假【答案】C5．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】A 【解析】命题，只需;命题，有，解得或.若命题“”是真命题，则命题和命题均为真命题， 有或.故选A .点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可. 函数的恒成立问题通常是转为找函数的最值来处理，二次方程的根的问题通常是转化为研究判别式和0的关系.6．【广东省东莞外国语学校2018届高三第一次月考】已知命题p ： x R ∃∈， 5cos 4x =；命题q ： 2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是（ ）A . 命题p q ∧是真命题B . 命题p q ∧⌝是真命题C . 命题p q ⌝∧是真命题D . 命题p q ⌝∨⌝是假命题【答案】C7．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】已知命题000:,0,x p x R e mx ∃∈-= 2:,10,q x R mx mx ∀∈++>若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是A . ()(),04,-∞⋃+∞B . []0,4C . [)0,eD . ()0,e【答案】C【解析】由()p q ∨⌝为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则xe mx =无解，可得0m e ≤<；若q 为真则04m ≤<，所以答案为C8．【吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：存在实数m使10m +≤；命题q ：对任意x R ∈都有210x mx ++>，若“”为假命题，则实数m的取值范围为（ ）．A . (],2-∞-B . [)2,+∞C . (](),21,-∞-⋃-+∞D . []2,2-【答案】B【解析】化简条件p ： 1m ≤-，q ： 24022m m ∆=-<⇒-<<，∵ p q ∨为假命题， ∴ p ,q 都是假命题，所以1{ 22m m m >-≤-≥或，解得2m ≥，故选B .二、填空题9．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】若命题:2p x =且3y =，则p ⌝为__________．【答案】2x ≠或3y ≠【解析】p 且q 的否定为p ⌝或q ⌝，所以“2x =且3y =”的否定为“2x ≠或3y ≠”，故答案为2x ≠或 3.y ≠10．【2016-2017盐城市第一中学高二上期末】命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 【答案】01a <<【解析】因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题 所以0∆<，即()224a 0a -<，解得： 01a << 故答案为： 01a <<11．已知命题p ：关于x 的不等式1(0,1)xa a a >>≠ 的解集是{}0x x ，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+ 的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(1,12)12．【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二9月月考】已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题13．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三第三次大考】已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或.14．【河北省邯郸市鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】已知m R，命题p：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立. （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p 且q 为假， p 或q 为真，求m 的取值范围； 【答案】（1）[1,2] （2）（－∞,1）∪（1,2]【解析】试题分析：（1）由对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，知232m m -≤-，由此能求出m 的取值范围；（2）存在[]0,1x ∈，使得m x ≤成立，推导出命题q 满足1m ≤，由p 且q 为假， p 和q 为真，知p 、q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.15．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】命题p ：关于x 的不等式的解集为；命题q ：函数为增函数．命题r ：a 满足．（1）若p ∨q 是真命题且p ∧q 是假题．求实数a 的取值范围． （2）试判断命题￢p 是命题r 成立的一个什么条件．【答案】(1) ﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；(2) 充分不必要条件【解析】试题分析：利用判别式求出为真时的取值范围，根据指数函数的图象与性质求出为真时的取值范围，由是真命题且是假命题知一真一假，由此求出的范围。

”为假，且“”为假，则（或为假为假为真为假”为假，则为真，且”为假，为真，为假，．，命题”是假命题”是真命题命题为假，命题为真，是无理数，”为真命题，”为假命题．．，，，命题::的距离相等，则且”为真或或”为假且的取值范围是 （ ）和命题均为真命题，：：的取值范围是的取值范围为（且的否定为的取值范围是实数：方程：或为真，且为假，求实数的取值范围．：对任意：存在为真命题，求的取值范围；且为假，或为真，求的取值范围；且为假，和为真，知、真假以及假的取值范围；命题或＜利用判别式为真时为真时的取值范围，由一真一假，由此求出的范围。

解不等式是命题成立的充分不必要条件。

，；或，）是[﹣1，2）的真子集，或时一真就为真，且或”为假命题，求实数的取值范围；”是“的取值范围．真时的范围与命题真时或”为假命题等价于“”是“与为真命题，为真命题时，实数的取值范围；的取值范围为真命题时，真假”和“假真”两种情况求解。

真假或假真，真假，有假真，有的取值范围：函数大，一个零点比小，若的取值范围.真假以及假的取值范围.的取值范围为不等式，若的取值范围真，则真真假，则假真，则的取值范围是为真命题，为真命题时，实数的取值范围；的取值范围为真命题时，为真命题时，的取值范围.真可得真可得正确，则正确，的取值范围为。

2021-2022年高中数学第二章推理与证明考前过关训练新人教A版一、选择题(每小题3分,共18分)1.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数a,都有=a.小前提:已知a=-2为实数,结论:=-2.这个结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因为n为偶数时,若有意义,则a≥0.故大前提错误.2.(xx·济宁高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )A.P(n)对n∈N*成立B.P(n)对n>4且n∈N*成立C.P(n)对n=5成立D.P(n)对n=3不成立【解析】选D.因为P(n)对n=4不成立,所以A错误.无法判断n>4时,P(n)是否成立.假设P(n)对n=3成立,则根据推理关系,得P(n)对n=4成立,与条件P(n)对n=4不成立矛盾.所以假设不成立.3.证明命题:“f(x)=e x+在(0,+∞)上是增函数”,现给出的证法如下:因为f(x)=e x+,所以f′(x)=e x-.这因为x>0,所以e x>1,0<<1,所以e x->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,此处使用的证明方法是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】选A.本证明是从已知条件出发用已知定理证得结论,是综合法.4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b大小不确定【解析】选B.因为c>1,所以a>0,b>0,又a=-=,b=-=,因为+>+所以<所以a<b正确.5.(xx·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号选手进入30秒跳绳决赛D.9号选手进入30秒跳绳决赛【解题指南】从进入立定跳远决赛的8人中,按知道的成绩由小到大找出哪几个人必进入决赛.【解析】选B.进入立定跳远决赛的学生是1到8号.由同时进入两项决赛的有6人可知,1号到8号恰有6人进入30秒跳绳决赛.在1号到8号的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩高于1,4,5号学生,1号和5号成绩相同,所以1,3,5,6,7号学生必进入30秒跳绳决赛.6.(xx·榆林高二检测)对非零实数x,y,z,定义运算“⊕”满足:(1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z,若f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x,则下列判断正确的是( )A.f(x)是增函数又是奇函数B.f(x)是减函数又是奇函数C.f(x)是增函数又是偶函数D.f(x)是减函数又是偶函数【解析】选A.在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令x=y=z,得x⊕(x⊕x)=(x⊕x)·x,再由(1)x⊕x=1,得x⊕1=x;在(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z中,令z=y,得x⊕(y⊕y)=(x⊕y)·y,从而(x⊕y)·y=x⊕1=x,所以x⊕y=,所以f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x=e x-e-x,故f(x)既是增函数又是奇函数.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知椭圆中有下列结论:椭圆+=1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上,类比上述结论可推出:双曲线-=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦中点在直线________上.【解析】结合椭圆、双曲线方程结构特征可知,斜率为1的弦中点应在直线-=0上.答案:-=08.对奇数列1,3,5,7,9,…,进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________.【解析】由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.答案:f(n)=n39.(xx·天津高二检测)如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N*)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵共有________个点.【解析】设第n层共有a n个点,结合图形可知a1=1,a2=6,…,a n+1=a n+6(n≥2,n∈N*),则a n=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N*),前n层所有点数之和为S n=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.答案:3n2-3n+1三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.【证明】假设a,b,c中至少有一个不大于0,不妨设a≤0,若a<0,则由abc>0,得bc<0,由a+b+c>0得,b+c>-a>0,所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知ab+bc+ac>0矛盾.又若a=0,则abc=0与abc>0矛盾.“a≤0”不成立,所以a>0,同理可证b>0,c>0.11.(xx·安庆高二检测)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)5=2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=·+·=,又g(5)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=(大前提).所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提及结论)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=·+·==g(x+y).【补偿训练】1.如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.图(1) 图(2)【解析】命题是:三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有=S△BCM·S△BCD,是一个真命题.证明如下:在图中,连接DM,并延长交BC于点E,连接AE,BM,CM,则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AE.又AM⊥DE,所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.2.(xx·肥城高二检测)已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n).试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值.【解析】因为a n=,f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n),所以f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×=,f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)=×=,由此猜测f(n)=.•23940 5D84 嶄B27150 6A0E 樎26172 663C 昼36973 906D 遭m^r@40822 9F76 齶37866 93EA 鏪23662 5C6E 屮26788 68A4 梤39567 9A8F 骏。

2021-2022年高中数学 第二章 推理与证明A 组测试题 新人教A 版选修1-2[基础训练A 组]一、选择题1．数列…中的等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．设则（ ）A ．都不大于B ．都不小于C ．至少有一个不大于D ．至少有一个不小于3．已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，与等价的有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）A ．B ．C ．D ．6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数在点处的导数是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．已知实数，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值，则=__________。

3．已知是不相等的正数，b a y ba x +=+=,2，则的大小关系是_________。

4．若正整数满足，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则。

三、解答题1．观察（1）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=（2）000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

2．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，均为整数，且均为奇数。

2021年高中数学评估验收卷二检测含解析新人教A 版选修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)上的是()A ．(－1，2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3，2)解析：直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0.答案：D2．方程⎩⎨⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分解析：由x cos θ＝a ，所以cos θ＝a x，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ，知y ∈[－|b |，|b |]， 所以曲线应为双曲线的一部分． 答案：D3．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43π D.53π 解析：因为点Q (－2，23)在圆上，所以⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，所以θ＝23π.答案：B4．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．答案：B5．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与点P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1| 解析：点P 1与点P 之间的距离为（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. 答案：C6．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析：把已知点(3，0)代入参数方程得⎩⎨⎧3＝r （cos φ＋φsin φ）， ①0＝r （sin φ－φcos φ）， ②由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案：D7．已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13 D ．－15 解析：圆C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (－1，1)．直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，因为k CA ＝－5，所以－k ＝15，所以k ＝－15.答案：D8．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74B.73 C.72D.75解析：椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，所以e ＝74. 答案：A9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. 14 B ．214 C. 2 D ．22解析：由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝2 2. 答案：D10．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：消参得抛物线的普通方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，由抛物线的定义，得|PF |＝3－(－1)＝4. 答案：C11．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为( )A ．[5，5]B ．[－5，5]C ．[－5，－5]D ．[－5，5]解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(2cos φ，3sin φ)，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5， 5 ]，故选D.答案：D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2两点，则点A (0，2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析：将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0，2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．解析：曲线C 的普通方程为x 24＋y 29＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝ a 2－b 2＝5，所以椭圆C 上的点到焦点的距离的最小值为3－ 5.答案：3－514．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析：曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2可化为y ＝(x －2)2， 射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5216．在直角坐标系Oxy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：因为C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，所以两圆圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5. 因为A 在曲线C 1上，B 在曲线C 2上， 所以|AB |min ＝5－2＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4，所以圆心O 为(0，0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3，所以点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝37.19．(本小题满分12分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4(a >0)．(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]， 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎨⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)．故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即 (x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1. 21．(本小题满分12分)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)经过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点F . (1)求m 的值；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的最大值，最小值． 解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为x 24＋y 23＝1， 则F 的坐标为(－1，0)，又直线l 过点(m ，0)，故m ＝－1.(2)把x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α代入椭圆C 的普通方程，化简得(3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0，设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则|FA |·|FB |＝|t 1·t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α， 故当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3，当sin α＝1时，|FA |·|FB |取最小值94. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4. (2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。

2021-2022年高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(xx·锦州高二检测)下列说法正确的是( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一般是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故②错误，其他说法都正确.2.(xx·菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是( )A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检验溶液的PH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数【解析】选B.由题设及推理知识知，A是归纳推理.C，D都是演绎推理.B是类比推理.3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是( )A.演绎推理B.归纳推理C.类比推理D.以上都不对【解析】选B.由部分推断全体，是归纳推理.4.(xx·珠海高二检测)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A.>B.<C.>D.<【解析】选B.因为a>b>0，c<d<0，所以-c>-d>0，所以-ac>-bd>0，即ac<bd.又cd >0，所以<，即<.5.(xx·浙江高考)设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t.( )A.若t确定，则b2唯一确定B.若t确定，则a2+2a唯一确定C.若t确定，则sin唯一确定D.若t确定，则a2+a唯一确定【解析】选B.当t=0时，sinb=0，b=kπ(k∈Z)，此时b2不确定，故A错.sin=sin=0，1或-1，故C错；当t=2时，|a+1|=2得a=1或a=-3，所以a2+a=2或a2+a=6，故D错.因为当|a+1|=t时a2+2a=t2-1.当t确定时，t2-1唯一确定，即a2+2a也唯一确定.6.如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立( )A.x就是PB.x就是QC.x就是RD.x就是S【解析】选D.因为P，R，Q是均具有的属性，所以可能得出的结论只能是“x就是S”.【拓展延伸】类比推理的基本原则类比推理是由特殊到特殊的推理，它的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目，位置关系，度量等方面入手，由一类事物的特征类比出另一类事物的相关特征.平面图形与空间图形的类比如下：A.28B.76C.123D.199【解析】选 D.由已知a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=7=4+3，a5+b5=7+4=11，a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123，a11+b11=123+76=199.8.(xx·潍坊高二检测)若函数f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1-x)≥-1恒成立，则实数m的取值范围为( )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]【解析】选B.因为f(x)=x2-2x+m有两个零点.所以4-4m>0，即m<1.由f(1-x)≥-1得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1，即m≥-x2因为-x2≤0，故0≤m<1.9.已知f(x)=x3+x，x∈R，若a，b，c∈R，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，则f(a)+f(b)+f(c)的值一定( )A.大于0B.小于0C.等于0D.正负都有可能【解析】选A.因为f(x)为奇函数且为增函数，又因为a+b>0，所以a>-b，所以f(a)>f(-b)，即f(a)+f(b)>0，同理f(a)+f(c)>0，f(b)+f(c)>0.所以2(f(a)+f(b)+f(c))>0，所以f(a)+f(b)+f(c)>0.10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，应假设( )A.a，b，c中至多有一个是偶数B.a，b，c中至少有一个是奇数C.a，b，c中全是奇数D.a，b，c中恰有一个是偶数【解析】选C.“a，b，c中至少有一个是偶数”包括“a，b，c中有一个或2个或3个偶数”，其反面是a，b，c中没有偶数，即全是奇数.11.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )A.a=，b=c=B.a=b=c=C.a=0，b=c=D.不存在这样的a，b，c【解析】选A.令n=1，2，3，得所以a=，b=c=.12.(xx·青岛高二检测)观察下列各式：|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为( )A.76B.80C.86D.92【解析】选B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为1，2，3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数分别为4，8，12，可推得当|x|+|y|=n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|+|y|=20时的不同整数解的个数为4×20=80.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(xx·聊城高二检测)已知x，y∈R且2x+2y=1，则x+y的取值范围为________.【解析】因为2x+2y=1≥2，所以2x+y≤=2-2，所以x+y≤-2.答案：(-∞，-2]14.(xx·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”，只能是1和2，1和3，分类讨论.【解析】由题意得：丙不拿(2，3)，若丙(1，2)，则乙(2，3)，甲(1，3)满足，若丙(1，3)，则乙(2，3)，甲(1，2)不满足，故甲的卡片上的数字为1和3.答案：1和315.观察下列等式：i=n2+n，i2=n3+n2+n，i3=n4+n3+n2，i4=n5+n4+n3-n，i5=n6+n5+n4-n2，i6=n7+n6+n5-n3+n，…i k=a k+1n k+1+a k n k+a k-1n k-1+a k-2n k-2+…+a1n+a0，可以推测，当k≥2(k∈N*)时，a k+1=，a k=，a k-1=________，a k-2=________.【解析】由题意知，当k=2，3，4，5，6时，a k-1分别为，，，，，即，，，，，可以推测a k-1=.当k=2，3，4，5，6时，a k-2分别为0，0，0，0，0，可以推测a k-2=0.答案：016.(xx·临沂高二检测)观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和为xx2.【解析】第1行各项和为1=12；第2行各项之和为9=32；第3行各项和为25=52；第4行各项之和为49=72；即第n行各项之和为(2n-1)2.令2n-1=xx得n=1009.答案：1009三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{}成等差数列.证明数列{a n}中有无穷多项为无理数. 【证明】由已知有：=1+24(n-1)，从而a n=，取n-1=242k-1，则a n=(k∈N*).用反证法证明这些a n都是无理数.假设a n=为有理数，则a n必为正整数，且a n>24k，故a n-24k≥1，a n+24k>1，与(a n-24k)(a n+24k)=1矛盾，所以a n=(k∈N*)都是无理数，即数列{a n}中有无穷多项为无理数.18.(12分)(xx·德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；②sin215°+cos215°-sin 15°·cos 15°；③sin218°+cos212°-sin 18°·cos 12°；④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.(2)根据(1)中结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】(1)选择②式，计算如下：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.19.(12分)(xx·泉州高二检测)已知a>0，b>0，用分析法证明：≥，【证明】因为a>0，b>0，要证≥，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2-4ab≥0，即证a2-2ab+b2≥0，而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立，故≥成立.20.(12分)已知a>b>0，求证：<.【证明】因为a>b>0，所以->0，a-b>0.所以要证<成立，只需证-<成立，只需证2·-2b<a-b成立，即证2<a+b成立，即只需证(-)2>0成立，而(-)2>0显然成立，故(-)2<成立.21.(12分)(xx·西安高二检测)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W：+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长.(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.【解析】(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A，代入椭圆方程得+=1，即t=±，所以AC=2.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB.由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则=-，=k+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为-.因为k·≠-1，所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.22.(12分)(xx·昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求+++…+的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由以上规律，可得出f(n+1)-f(n)=4n，因为f(n+1)-f(n)=4n，所以f(n+1)=f(n)+4n，所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(n-(n-1))+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4[n-(n-1)]=2n2-2n+1.(3)当n≥2时，==，所以+++…+=1+=1+=-.36178 8D52 赒31436 7ACC 竌36625 8F11 輑; 34561 8701 蜁34839 8817 蠗SM U24207 5E8F 序e23314 5B12 嬒。

2021年高中数学 1.1.1命题练习新人教A版选修2-1 基础梳理1．可以判断真假的陈述句叫做________；判断为真的语句叫做________；判断为假的语句叫做________．想一想：“x＜3”是命题吗？2．命题的形式是：“若p，则q”，其中命题的条件是：______，结论是：__________．想一想：命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件与结论分别是什么？基础梳理1．命题真命题假命题想一想：解析：这不是一个命题．当x＝0时它成立；当x＝4时它不成立．随x的变化而变化，有时成立，有时不成立，无法判断其真假，因而它不是命题．2．p q想一想：解析：该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．自测自评1．下列语句是命题的是( )A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗 D．这是一棵大树2．下列结论正确的是 ( )A ．“若α＝π4，则tan α＝1”是真命题 B ．“若tan α＝1，则α＝π4”是真命题 C ．“若y ＝log a x 是增函数，则a >2”是真命题D ．“若y ＝a x 是减函数，则a <1”是真命题3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个自测自评1．解析：A 中x 不确定，x －1＝0的真假无法判断；B 中2＋3＝8是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大”的标准不确定，无法判断真假．答案：B2．A 3.B基础巩固1．下列判断，正确的个数是( )①3是12的约数；②π是正数；③5＞2且7＞3；④2≥2.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1．解析：①②③④正确．故选A.答案：A2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 22．解析：由1x ＝1y得x ＝y ；而由x 2＝1得x ＝±1； 由于x ＝y 时，x ，y 不一定有意义；而由x ＜y 不一定得到x 2＜y 2.故选A.答案：A3．(xx·大连高二检测)已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．解析：因为命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，因此M 中有不属于P 的元素，也可能有属于P 的元素，故②④正确，因此选B.答案：B4．将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p，则q”的形式为__________________．4．解析：该命题条件是四边形的对角线相等，结论是该四边形是矩形，故写成“若p，则q”的形式为：若一个四边形的对角线相等，则它是矩形．答案：若一个四边形的对角线相等，则它是矩形能力提升5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A．4 B．2 C．1 D．－35．解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝1时适合条件．答案：C6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面6．解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案：B7．有下列语句：①集合{a ，b }有2个子集；②x 2－4≤0；③今天天气真好啊；④f (x )＝2log 3x (x >0)是奇函数；⑤若A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B .其中真命题的序号为________．7．解析：①是命题，但不是真命题，因为{a ，b }应有4个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题，f (x )＝2log 3x 是非奇非偶函数；⑤是命题且是真命题．答案：⑤8．下面有四个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α＝k π2，k ∈Z ； ③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中真命题的序号是________．8．解析：①y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴T ＝π；②终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ； ③平移后y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x . ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上应是增函数． 答案：①③9．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应边成比例；(2)当0<a<1时，函数y＝a x是减函数．9．解析：(1)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．条件p：三角形相似，结论q：对应边成比例．(2)若0<a<1，则函数y＝a x是减函数．条件p：0<a<1，结论q：函数y＝a x是减函数．10．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．10．解析：这是可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．。

2021-2022年高二数学 1、1-3-2“非”同步练习新人教A版选修1-1一、选择题1．如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为( ) A．¬p且¬q B．¬p或¬qC．¬p或q D．¬q或p[答案] B[解析] “且”的否定形式为“或”．2．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( ) A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真[答案] B[解析] “p或q”的否定是：“¬p且¬q”是真命题，则¬p、¬q都是真命题，故p、q都是假命题．3．命题p：a2＋b2<0(a、b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真[解析] 因为p为假q为真．所以“p∧q”为假；“p∨q”为真；“綈p”为真；“綈q”为假．4．对命题p：A∩∅＝∅，命题q：A∪∅＝A，下列说法正确的是( ) A．p且q为假B．p或q为假C．非p为真D．非p为假[答案] D[解析] 命题p真，命题q真，故p且q真，p或q真，非p假，非q假，故选D.5．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：①p或¬q是真命题；②p且¬q是真命题；③¬p且¬q是假命题；④¬p或q是假命题．其中真命题是( )A．①② B．③④C．①③ D．②④[解析] 若p且q为真命题，则p真，q真，¬p假，¬q假，所以p或¬q真，¬p且¬q假，故选C.6．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则( )A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p和命题“非q”真值不同D．命题p和命题“非q”真值相同[答案] D[解析] “p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．7．设语句p：x＝1，綈q：x2＋8x－9＝0，则下列各选项为真命题的是( ) A．p∧q B．p∨qC．若q则綈p D．若綈p则q[答案] C[解析] 綈q为x＝1或x＝－9.8．已知全集为R，A⊆R，B⊆R，如果命题p：x∈A∩B，则“非p”是( ) A．x∈A B．x∈∁R BC．x∉(A∪B) D．x∈(∁R A)∪(∁R B)[解析] 由韦恩图可知选D.9．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5，x∈R}．则P是綈Q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 綈Q＝{x|0<x<5}，∵P＝{1,2,3,4}，∴P綈Q，故选A.10．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉A∩BD.2∈(∁S A)∩(∁S B)[答案] D[解析] 因为p：2∈(A∪B)，所以綈p：2∉(A∪B)，即2∉A，且2∉B，所以2∈∁S A且2∈∁S B，故2∈(∁S A)∩(∁S B)．二、填空题11．命题p：2不是质数，命题q：2是无理数，在命题“p∧q”、命题“p∨q”“綈p”“綈q”中，假命题是________，真命题是________．[答案] “p∧q”“綈q”“p∨q”“綈p”[解析] 因为命题p假，命题q真，所以命题“p∧q”假，命题“p∨q”真，“綈p”真，“綈q”假．12．已知命题p：∅{0}，q：∅∈{1,2}．由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“綈p”形式的复合命题中，为真命题的是________．[答案] p∨q[解析] ∅是任何非空集合的真子集，故p正确，集合与集合之间用“”“⊆”“＝”表示，元素与集合之间用“∈”“∉”表示，故q错误．13．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式x－2x－1≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中正确的是命题________．[答案] p∨q，¬p[解析] ∴∀x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，¬p为真；∵x－2x－1≤0⇔⎩⎨⎧(x－2)(x－1)≤0x－1≠0⇔1<x≤2.∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，¬q为假．14．已知命题p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，命题q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，那么p∧q：____________________________________________________，其真假是________；p∨q：________________________________________，其真假是________．[答案] 方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 假命题方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3 真命题[解析] ∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，∴p∧q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为假命题．p∨q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，为真命题．三、解答题15．已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26 x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p或q”的形式：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“非p”的形式：方程2x2－26x＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有相等的实根，故p真，q假．∴p或q真，p且q假，非p假．16．写出下列命题的否定：(1)a、b、c都相等；(2)y＝cos x是偶函数且是周期函数；(3)(x－2)(x＋5)>0.[解析] (1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．(2)y＝cos x不是偶函数或不是周期函数．(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或者x>2，所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2.17．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p∧q”与“¬q”都是假命题，求x的值．[解析] 非q假，∴q真，又p且q假，∴p假．∴⎩⎨⎧ |x 2－x |<6x ∈Z，即⎩⎨⎧ －6<x 2－x <6x ∈Z ， ∴⎩⎨⎧ －2<x <3x ∈Z ，∴x ＝－1、0、1、2.18．(xx·抚顺高二检测)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p ⇒綈q 为假命题，綈q ⇒綈p 为真命题，求m 的取值范围．[解析] 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由綈q ⇒綈p 为真，綈p ⇒綈q 为假，得P Q ，∴⎩⎨⎧ 1－m ≤－21＋m >10m >0或⎩⎨⎧ 1－m <－21＋m ≥10m >0，解得m ≥9.39382 99D6 駖@c39297 9981 馁36534 8EB6 躶)36703 8F5F 轟%28135 6DE7 淧29474 7322 猢20629 5095 傕35725 8B8D 讍s27688 6C28 氨25456 6370 捰。

章末综合检测〔二〕〔时间：120分钟，总分值：150分〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.根据偶函数定义可推得“函数f〔x〕＝x2在R上是偶函数〞的推理过程是〔〕A.归纳推理C.演绎推理解析：选C.根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理.2.余弦函数是偶函数，f〔x〕＝cos〔x＋1〕是余弦函数，因此f〔x〕＝cos〔x＋1〕是偶函数，以上推理〔〕A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析：选C.f〔x〕＝cos〔x＋1〕不是余弦函数，所以小前提错误.3.如下图，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成假设干个图案，那么第n个图案中白色地板砖的块数是〔〕n＋2 n－2n＋4 n＋3解析：选A.由题图可知，当n＝1时，a1＝6；当n＝2时，a2＝10；当n＝3时，a3，第n 个图案中白色地板砖的块数是a n＝4n＋2.4.设a，b，c，d都是非零实数，那么四个数：－ab，ac，bd，cd〔〕A.都是正数B.都是负数C.两正两负D.一正三负或一负三正解析：选D.因为a，b，c，d都是非零实数，所以a，b，c，d中一定有2个符号一样或3个符号一样或4个符号一样，再根据同号为正，异号得负，可以判断：－ab，ac，bd，cd 一定是一正三负或一负三正.5.假设a>0，b>0，那么有〔〕A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 解析：选C.因为b 2a －〔2b －a 〕＝b 2－2ab ＋a 2a ＝〔b －a 〕2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .6.f 〔x ＋1〕＝2f 〔x 〕f 〔x 〕＋2，f 〔1〕＝1〔x ∈N *〕，猜测f 〔x 〕的表达式为〔 〕A.f 〔x 〕＝42x＋2B.f 〔x 〕＝2x ＋1C.f 〔x 〕＝1x ＋1D.f 〔x 〕＝22x ＋1解析：选B.f 〔2〕＝22＋1，f 〔3〕＝23＋1，f 〔4〕＝24＋1，猜测f 〔x 〕＝2x ＋1.7.观察以下各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，那么a 10＋b 10＝〔 〕解析：选C.利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10，其结果为前两组结果的和.8.在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为m ，n ，c 〔mnc ≠0〕的平面方程为〔 〕A.x m ＋y n ＋z c＝1 B.x mn ＋y nc ＋zmc＝1 C.xy mn ＋yz nc ＋zxcm＝1 D.mx ＋ny ＋cz ＝1解析：选A.类比到空间应选A.另外也可将点〔m ，0，0〕代入验证. 9.假设sin A a ＝cos B b ＝cos C c，那么△ABC 是〔 〕A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形 解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°， 所以△ABC 是等腰直角三角形.10.点A 〔x 1，x 21〕，B 〔x 2，x 22〕是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，假设点A 〔x 1，sin x 1〕，B 〔x 2，sin x 2〕是函数y ＝sin x 〔x ∈〔0，π〕〕图象上不同的两点，那么类似地有结论〔 〕A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22解析：选B.画出y ＝x 2的图象，由得AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈〔0，π〕的图象可得A ，B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确.11.△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，那么〔 〕 A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，那么cos A 1＝cos 〔90°－∠A 2〕，所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 那么有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以〔90°－∠A 2〕＋〔90°－∠B 2〕＋〔90°－∠C 2〕＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.假设△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，那么sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在〔0，πD.12.如图是网络工作者经常用来解释网络动作的蛇形模型；数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4〔从左至右〕出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…，以此类推，那么按网络运作顺序第n 行第1个数〔如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，…〕是〔 〕A.n 2－n ＋12 B.n 2＋n ＋12 C.n 2＋n ＋22D.n 2－n ＋22解析：选D.由题意分析可知，第n 行总共有n 个数字，n ∈N *，所以第n 行中最小的数字为1＋〔1＋2＋…＋n －1〕＝1＋n 〔n －1〕2＝n 2－n ＋22，最大的数字为n 2－n ＋22＋n －1＝n 2＋n2，而第n 行中第一个出现的数字是行中最小的，即n 2－n ＋22.二、填空题：此题共4小题，每题5分.13.x ，y ∈R ，且x ＋y <2，那么x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 Ｗ.解析：“至多有一个大于1〞包括“都不大于1和有且仅有一个大于1〞，故其对立面为“x ，y 都大于1〞.答案：x ，y 都大于114.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，那么第100项为 Ｗ. 解析：设n ∈N *，那么数字n 共有n 个，所以n 〔n ＋1〕2≤100，即n 〔n ＋1〕≤200.又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开场为14，故第100项为14.答案：1415.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上一样的数字不是1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上的数字是 .解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，那么丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上一样的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上一样的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长C 〔r 〕＝63r ，面积S 〔r 〕＝33r 2，发现S ′〔r 〕＝C 〔r 〕.这是平面几何中的一个重要发现，请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为 .解析：设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，利用等积变形易求得正四面体的高h ＝4r .由棱长a ，高h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a 2＝〔4r 〕2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，解得a ＝26r .于是正四面体的外表积S 〔r 〕＝4×12×〔26r 〕2×sin 60°＝243r 2，体积V 〔r 〕＝13×12×〔26r 〕2×sin 60°×4r ＝83r 3，所以V ′〔r 〕＝243r 2＝S 〔r 〕.答案：V ′〔r 〕＝S 〔r 〕，S 〔r 〕为正四面体的外表积，V 〔r 〕为体积 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.〔本小题总分值10分〕：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，〔1＋tan A 〕〔1＋tan B 〕＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为〔1＋tan A 〕〔1＋tan B 〕＝2，展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan 〔A ＋B 〕＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角， 所以0°<A ＋B <180°. 所以A ＋B ＝45°.18.〔本小题总分值12分〕a >0，b >0，2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ，只需证〔a －c 〕2<()c 2－ab 2，只需证a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ， 即证2ac >a 2＋ab ， 因为a >0，所以只需证2c >a ＋b . 因为2c >a ＋b 成立. 所以原不等式成立.19.〔本小题总分值12分〕三个正数a ，b ，c ，假设a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列.证明：假设a ，b ，c 构成等差数列， 那么有2b ＝a ＋c ， 即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列， 且a ，b ，c 为正数，所以b 4＝a 2c 2且a ，b ，c 互不相等， 即b 2＝ac ，因此4ac ＝a 2＋c 2＋2ac ， 所以〔a －c 〕2＝0，从而a ＝c ＝b ，这与a ，b ，c 互不相等矛盾. 故a ，b ，c 不成等差数列.20.〔本小题总分值12分〕在四棱锥 P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.〔1〕证明：PF ⊥DF ；〔2〕判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD . 解： 〔1〕证明：连接AF ， 那么AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，所以DF 2＋AF 2＝AD 2， 所以DF ⊥AF ， 又PA ⊥平面ABCD ， 所以DF ⊥PA ， 又PA ∩AF ＝A ， 所以⎭⎪⎬⎪⎫DF ⊥平面PAF PF ⊂平面PAF ⇒DF ⊥PF .〔2〕过点E 作EH ∥FD ，交AD 于点H ，那么EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ，再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，那么HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP .所以平面EHG ∥平面PFD ， 所以EG ∥平面PFD .从而线段AP 上满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.21.〔本小题总分值12分〕椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1〔a ＞b ＞0〕具有性质：假设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，假设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1〔a ＞0，b ＞0〕写出类似的性质，并加以证明.解：类似的性质为：假设M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1〔a ＞0，b ＞0〕上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，假设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设M 〔m ，n 〕，那么N 〔－m ，－n 〕，且m 2a 2－n 2b 2＝1〔a ＞0，b ＞0〕.又设点P 〔x ，y 〕，那么k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m，所以k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2.①将y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1代入①， 可得k PM ·k PN ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－n 2b 2－1x 2－m 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－m 2a 2x 2－m 2＝b2a2〔定值〕.22.〔本小题总分值12分〕f 〔x 〕＝bx ＋1〔ax ＋1〕2〔x ≠－1a，a >0〕，且f 〔1〕＝log 162，f 〔－2〕＝1.〔1〕求函数f 〔x 〕的表达式；〔2〕数列{x n }的项满足x n ＝〔1－f 〔1〕〕〔1－f 〔2〕〕…·〔1－f 〔n 〕〕，试求x 1，x 2，x 3，x 4.解：〔1〕把f 〔1〕＝log 162＝14，f 〔－2〕＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1〔a ＋1〕2＝14，－2b ＋1〔1－2a 〕2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.〔舍去a ＝－13<0〕，所以f 〔x 〕＝1〔x ＋1〕2〔x ≠－1〕.〔2〕x 1＝1－f 〔1〕＝1－14＝34，x 2＝〔1－f 〔1〕〕〔1－f 〔2〕〕＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23， x 3＝23〔1－f 〔3〕〕＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝35.。

2021年高中数学模块测试卷过关测试新人教A版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )A．1 B. C. D.2.α，β表示两个不同的平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，则其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3图1 图23. 如图1，在△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ( )A．π B. π C. π D. π4. 已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A．0 B． C． D．－5. 如图2，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l，A，C 是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D 直线l，M，N分别是线段AB，CD 的中点．下列判断正确的是( )A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行6. 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图3，则该几何体的体积为( )A．5 B．6 C．9 D．10 图37. 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )A．－4 B．－2 C．0 D．28. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A(，，)，B(，，0)，C(，，)，则( ) A．OA⊥AB B．AB⊥AC C．AC⊥BC D．OB⊥OC9. 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|的值最小时，点P的坐标是( )A．(－1，1) B．(0，2) C．(－2，0) D．(1，3)10. 已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，a等于( )A. B．2－ C. －1 D. ＋111.设P(x，y)是圆C：x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最小值为( )A. ＋2B. －2 C．5 D．612. 已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为( )A．6 B. C．8 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 如图4，在长方形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K 为垂足．设|AK|＝t，则t的取值范围是_____．图414. 过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_____．15. 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上有且只有两个点到直线x－y－2=0的距离为1，则实数r的取值范围是______．16. 给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若mα，l∩α＝A，点Am，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若lα，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是______(填序号)．三、解答题（17~20题每题12分，其余每题13分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4，0)，C(－1，4)，求:(1)AC边上的高BD所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线EF的方程；(3)AB边的中线的方程．18. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．19. 如图5，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O.(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|＝|PD|.图520. 已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时的圆的方程．21. 如图6所示，正三棱柱A1B1C1－ABC中，点D是BC的中点，|BC|＝|BB1|，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.图622. 如图7所示，已知直线l：y＝x，圆C1的圆心为点(3，0)，且经过点A(4，1)．(1)求圆C1的方程；(2)若圆C2与圆C1关于直线l对称，点B、D分别为圆C1、C2上任意一点，求|BD|的最小值；(3)已知直线l上一点M在第一象限，点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，直线PQ与圆C1相切？图7参考答案及点拨一、1. C 点拨:由平行直线间的距离公式，得所求距离d＝，故选C.2. C 点拨:由①②③，①③②是正确命题，由②③不能得到①.故选C.答图13. D 点拨:如答图1所示，旋转后形成的组合体是圆锥CD中挖去一个小圆锥BD，所求体积即为两者体积之差，即V＝π·|AD|2·(|CD|－|BD|)＝π×1.5＝π.4. C 点拨:由＝－得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k＝tan 60°＝.5. B 点拨:若M，N两点重合，由|AM|＝|MB|，|CM|＝|MD|知AC∥BD，从而AC∥平面β，故有AC∥l，故B正确．6. C 点拨:由三视图知，该几何体为棱锥A－BCDE，如答图2，∴V＝27－×3×＝9，∴选C.答图27. B 点拨:由题意，知直线l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即k AB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，∴b＝－2，∴a＋b＝－2.8. C 点拨:易得｜AB｜＝，｜AC｜＝，｜BC｜＝，因为｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，所以AC⊥BC.9. B 点拨:根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知｜PT｜＝，故当｜PT｜的值最小时，｜PC｜的值最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，由可得点P的坐标为(0，2)．10. C 点拨:由题意知圆心为(a，2)，到直线l的距离应等于1，即＝1，∴a＝－1±.∵a ＞0，∴a＝－1.11. B 点拨:如答图3所示，设A(1，1)，则＝｜PA｜，则｜PA｜的最小值为｜AC｜－|PC|＝－2.答图3 答图412. B 点拨:如答图4，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×.二、13. 点拨:如答图5，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∵DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是.答图514. 4 点拨:如答图6，圆的方程可化为(x－3) 2＋(y－4)2＝5，∴｜OM｜＝5，｜OQ｜＝.在△OQM中，｜QA｜·｜OM｜＝｜OQ｜·｜QM｜，∴｜QA｜＝＝2，∴｜PQ｜＝4.答图615.( －1，＋1) 点拨:注意到与直线x－y－2＝0平行且与它的距离为1的直线方程分别是x－y＋－2＝0，x－y－2－＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，需满足在两条直线x－y＋－2＝0，x－y－2－＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以＜r＜，即－1＜r＜＋1.16. ①②④点拨:③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．三、17. 解：(1)直线AC的斜率＝＝－2，∴直线BD的斜率＝，∴直线BD的方程为y＝ (x＋4)，即x－2y＋4＝0.(2)直线BC的斜率k BC＝，∴直线EF的斜率k EF＝－，根据题意，得线段BC的中点坐标为，∴直线EF的方程为y－2＝－，即6x＋8y－1＝0.(3)根据题意，得线段AB的中点M(0，－3)，∴直线CM的方程为，∴AB边的中线的方程为7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)．18.解：(1)将圆C的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当所求直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求直线的方程为y＝，由直线与圆相切得，解得k=2±，所以切线方程为y＝(2±)x.②当所求直线在两坐标轴上的截距不为零时，设所求直线的方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：，解得a=－1或a=3，所以切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由｜PO｜＝｜PM｜，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－22x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当｜PM｜取得最小值时，｜OP｜取得最小值，此时直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.19. 证明：(1) 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为AC⊥PD，PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥BD.因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因为PO平面PAC，所以BD⊥PO.因为底面ABCD是菱形，所以|BO|＝|DO|，所以|PB|＝|PD|.答图720. 解：如答图7所示，圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为｜b｜，｜a｜.设圆P交x轴于A、B两点，连接PA，PB，∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，∴∠APB＝90°.取AB的中点D，连接PD，则有｜PB｜＝｜PD｜，∴r＝｜b｜.取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.∵圆截y轴所得弦长为2，∴｜EC｜＝1，∴1＋a2＝r2，即1+a2=2b2，∴a2=2b2－1，∴a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1或a＝－1，r2＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y －1)2＝2.答图821. 证明:(1)如答图8，连接A1B，设A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，连接DE.∵点D是BC的中点，点E是A1B的中点，∴DE∥A1C，∵ A1C平面AB1D，DE平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1，∵BC1平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. ∵点D是BC的中点，|BC|＝|BB1|，∴|BD|＝|BB1|.∵＝＝，∠B1BD=∠BCC1=90°，∴△B1BD∽△BCC1.∴∠BDB1＝∠BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.∴BC1⊥.∵B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.22. 解：(1)依题意，设圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝r2，因为圆C1经过点A(4，1)，所以r2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心坐标为(3，0)，半径为，C1到直线l的距离d＝，所以圆C1上的点到直线l的最短距离为.因为圆C2与圆C1关于直线l对称，所以｜BD｜min＝2×＝.(3)当运动时间为t秒时，｜OP｜＝t，｜OQ｜＝2t，则P(t，0)，由Q∈l，可设点Q的坐标为(m，m)(m＞0)，则m2＋m2＝(2t)2，解得m＝2t，即Q(2t，2t)，所以k PQ＝＝2.所以直线PQ的方程为y＝2(x－t)，即2x－y－2t＝0.若直线PQ与圆C1相切，则C1到直线PQ的距离d′＝＝，解得t＝3±.即当t＝3±时，直线PQ与圆C1相切．。

第二章 推理与证明x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·〔x 2n ＋3〕3x 2n ＋1〔n ＝1，2，…〕，那么用反证法证明“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1〞时，应假设〔 〕n ，有x n ＝x n ＋1B.存在正整数n ，使得x n ＝x n ＋1C.存在正整数n ，使得x n ≥x n ＋1D.存在正整数n ，使得x n ≤x n ＋1解析：选D.用反证法证明时应假设存在正整数n ，使得x n ≤x n ＋1.2.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，如此反复操作，那么第2 018次操作后得到的数是〔 〕解析：选C.由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，应选C.3.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向教师询问成语竞赛的成绩.教师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，，那么〔 〕A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，那么乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.4.通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2〞猜测关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中， 〞.〔 〕A.长方体的体积最大，最大值为2R 3B.正方体的体积最大，最大值为3R 3C.长方体的体积最大，最大值为43R 39D.正方体的体积最大，最大值为83R 39解析：选D.类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3，体积V ＝a 3＝83R 39.应选D. 5.设f 0〔x 〕＝cos x ，f 1〔x 〕＝f 0′〔x 〕，f 2〔x 〕＝f 1′〔x 〕，…，f n ＋1〔x 〕＝f n ′〔x 〕〔n ∈N *〕，那么f 2 017〔x 〕＝ Ｗ.解析：由条件知f 0〔x 〕＝cos x ，f 1〔x 〕＝－sin x ，f 2〔x 〕＝－cos x ，f 3〔x 〕＝sin x ，f 4〔x 〕＝cos x ，…，故函数f n 〔x 〕以4为周期循环出现，故f 2 017〔x 〕＝－sin x .答案：－sin x6.定义在[－1，1]上的奇函数f 〔x 〕，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f 〔a 〕＋f 〔b 〕a ＋b >0.证明：函数f 〔x 〕的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f 〔x 〕的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，那么A ，B 两点的纵坐标一样.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1<x 2，x 1＋x 2≠0，且x 1，x 2∈[－1，1]，那么f 〔x 1〕＝f 〔x 2〕.又f 〔x 〕是奇函数，所以f 〔x 1〕－f 〔x 2〕＝f 〔x 1〕＋f 〔－x 2〕＝f 〔x 1〕＋f 〔－x 2〕x 1＋〔－x 2〕[x 1＋〔－x 2〕]. 又由题意，得f 〔x 1〕＋f 〔－x 2〕x 1＋〔－x 2〕>0，且x 1＋〔－x 2〕<0， 所以f 〔x 1〕＋f 〔－x 2〕<0，即f 〔x 1〕－f 〔x 2〕<0，这与f 〔x 1〕＝f 〔x 2〕矛盾，故假设不成立，即函数f 〔x 〕的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.。