沪科版-数学-九年级上册-典型例题-平行线分线段成比例定理

沪科版数学九年级上册《平行线分线段成比例》教学设计1一. 教材分析《平行线分线段成比例》是沪科版数学九年级上册的一章内容。

本章主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。

通过本章的学习，学生能够掌握平行线分线段成比例的证明方法，并能够运用该定理解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线的性质和图形的变换有一定的了解。

但是，对于证明平行线分线段成比例的定理，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和操作，发现平行线分线段成比例的规律，并能够运用数学语言进行证明。

三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理及其意义。

2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理证明。

2.运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行线分线段成比例的概念，激发学生的学习兴趣。

2.操作教学法：引导学生通过实际操作，发现平行线分线段成比例的规律。

3.小组合作学习：引导学生分组讨论和探究，培养学生的合作意识和团队精神。

4.引导发现法：教师引导学生发现问题，学生通过思考和探索，得出结论。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，展示教材中的例题和练习题。

2.教学素材：准备相关的图片和实例，用于导入和解释平行线分线段成比例的概念。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑设计中的平行线分线段成比例的应用，引入平行线分线段成比例的概念。

引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示教材中的例题和练习题，引导学生观察和分析，发现平行线分线段成比例的规律。

通过教师的讲解和引导，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的定理。

平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。

而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。

下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。

例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。

它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。

本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。

定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。

更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。

定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。

根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。

通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。

证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。

平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。

本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。

一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。

二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。

2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。

3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。

4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。

5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。

6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。

7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。

8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。

9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。

三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。

证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。

则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。

第3课时平行线分线段成比例定理及其推论【学习目标】1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论；2．经历定理的推导过程，培养推理论证能力．【学习重点】定理的正确应用．【学习难点】定理的推导证明．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是平行线等分线段定理？如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么它在另一条直线上截得的线段也相等．2．求出下列各式中的x∶y.(1)3x＝5y (2)x＝23y (3)3∶x＝5∶y解：(1)xy＝53；(2)xy＝23；(3)xy＝353．已知xy＝72，求xx＋y.解：∵xy＝72，∴yx＝27，∴x＋yx＝2＋77＝97，∴xx＋y＝79.自学互研生成能力知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用阅读教材P69～70页的内容，回答以下问题：什么是平行线分线段成比例定理，如何推导？解：如图，有一组平行线：l1∥l2∥l3…∥l n，另外，直线A1A n与直线B1B n被这一组平行线分别截于点A1，A2，…，A n和点B1，B2，…，B n.根据已学定理，可以得到：如果A1A2＝A2A3＝…＝A n－1A n，那么B1B2＝B2B3＝…B n－1B n.如果设A1A2＝A2A3＝…A n－1A n＝a，B1B2＝B 2B 3＝…B n －1B n ＝b ，容易得到：A 1A k A k A n ＝（k －1）a （n －k ）a ＝k －1n －k ，B 1b k b k B n ＝（k －1）b （n －k ）b ＝k －1n －k.所以有A 1A k A k A n ＝B 1B k B k B n. 【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．典例：已知，如图，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝3，AE ＝9，FC ＝2.求DF 的长．解：∵AD ∥EF ∥BC ，∴AE EB ＝DF FC ，∴93＝DF 2，∴DF ＝6. 仿例：如图，已知l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝m n ，求证DE DF ＝m m ＋n. 证明：∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝m n ，∴EF DE ＝n m ，∴EF ＋DE DE ＝m ＋n m ，∴DF DE ＝m ＋n m，∴DE DF ＝m m ＋n. 知识模块二平行线分线段成比例定理推论及应用阅读教材P 70页的内容，回答以下问题：平行线分线段成比例定理推论是什么？有哪些形式？如何证明？解：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所对的对应线段成比例，有三种形式，补齐图中第三条平行线可证．范例1：如图，AD ∥EG ∥BC ，AD ＝6，BC ＝9，AE ∶AB ＝2∶3，求GF 的长．解：∵EG ∥BC ，∴EG 9＝23，EG ＝6.∵EF ∥AD ，∴EF 6＝13，EF ＝2，∴GF ＝EG －EF ＝6－2＝4.范例2：如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥BE，求证AEEC＝AFFE.证明：∵DE∥BC，∴AEEC＝ADDB.∵DF∥BE，∴AFFE＝ADDB，∴AEEC＝AFFE.范例3：如图，在△ABC中，若BDDC＝CEAE＝21，AD和BE交于F，则AFFD＝34．解：过D作DH∥BE交AC于H.∴EHHC＝BDDC＝2，∴EH＝23CE.∵BD∶DC＝CE∶AE＝2∶1，∴AE＝12CE＝34EH，∴AFFD＝AEEH＝34.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一平行线分线段成比例定理推导与应用知识模块二平行线分线段成比例定理推论及应用检测反馈达成目标1．如图，已知AD∥BE∥CF，且AB∶BC＝2∶1，则DF∶EF等于( B )A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．3∶22．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝3k，BD＝3k，那么DE∶BC＝1∶2．,(第2题图)) ,(第3题图)) 3．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝2，EF＝4，则BC＝6．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。

平行线分线段成比例教学目标：1.认知目标：掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”这一定理，理解线段比与面积比间的转换。

2.能力目标：a.能应用定理简单的证明和计算。

b.渗透操作——猜想——论证的科学研究方法，引导学生用运动的观点来看问题。

3.情感目标：a.激发学生学习数学、探索问题的兴趣，培养学生进行一定的问题研究能力。

b.通过讨论、实践等活动，培养学生的团结协作的精神，缩小师生间的距离，使学生和教师都成为问题的探索者和研究者。

教学重点：定理的证明及应用难点：定理的归纳和证明教学手段：利用PowerPoint、几何画板制作课件。

教学过程：一、引入：1、如图，△ABC中，若D是BC的中点，则S△ABD：S△= ，ACDS △ABD ：S △ABC = ，若D 是BC 上的点，S △ABD ：S △ACD = 。

2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，找出面积相等的三角形。

B D CACn oA BD二、操作：（1）、画L1∥L2，直线AC 交L1于B 交L2于C ，截取AB=BC.过点A 作AD ⊥L1于D 交L2于E,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？EDCB A（2）、画△ACE,取AC 中点B ，过点B 作BD ∥CE 交AE 于D ，测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？EC DB A（3）、画△ACE,取AC 的三等分点B 即：AB=2BC.过点B 作BD ∥CE 交AE 于 D,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？（把实际问题转化为数学问题）（由特殊到一般有利于学生猜想、归纳）ED CB A2．猜想：（1）当41BCAB=时?DE AD = 当m n BC AB =时?DEAD = （2）BD 截AC 、AE 所得线段有何关系？ 三、归纳证明： 1.归纳：在△ACE 中如果BD ∥CE ，那么DEAD BCAB =命题：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。

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22.1 比例线段
第4课时平行线分线段成比例及其推论 教学思路
（纠错栏）
教学目标： 1、了解两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实证明方法. 2、能利用基本事实及推论决简单的实际问题. 教学重点：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实和推论的简单应用. 预设难点：定理证明思路的寻求过程. ☆ 预习导航 ☆ 一、链接 1、已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：S △ABC = S △BCD . 1、 写出平行线等分线段定理的内容. 二、导读 阅读课本内容并回答以下问题： 1、试着证明平行线分线段成比例定理. 2、 试证明两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 这一基本事实. ☆ 合作探究 ☆
教学思路
（纠错栏）
1、如图，AD ∥BE ∥CF,AB:BC = 2:3，AD = 6，CF = 11，则BE 的长为多少？
2、如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE= AB ，EM 的延长线与BC 的延41长线交于点D ，求证：BC = 2CD. ☆ 归纳反思 ☆ 本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？ ☆ 达标检测 ☆ 1、如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD=3cm ，BD=6cm ，DE=2cm.求BF 的长.
2、已知：如图，在△ABC 中，点D
是BC 边中点，点F 是AD 中点，求
BF ：
FE 的值.
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维
可以让他们更理性地看待人生。