新东方【专题4】一元一次方程应用专题

一、什么是一元一次方程1.1 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

1.2 一元一次方程的一般形式一元一次方程一般可以表示为ax+b=0的形式，其中a和b为已知数，x为未知数。

二、一元一次方程的解法2.1 移项法通过移项法，我们可以将方程中的未知数移到一边，常数移到另一边，从而求得方程的解。

2.2 直接法通过直接法，我们可以直接将方程中的未知数消去，从而求得方程的解。

三、一元一次方程的应用3.1 一元一次方程在现实生活中的应用一元一次方程可以用来解决很多实际问题，例如商场促销、商品打折、买卖问题等。

3.2 一元一次方程应用题型归纳3.2.1 一元一次方程的基础应用题型比如某数的五分之一等于8的问题，可以通过设未知数的方法来求解。

3.2.2 一元一次方程的复杂应用题型比如两个数和为30，它们的差为10的问题，需要通过列方程和解方程来求解。

四、初中数学鲁教版六年级上册一元一次方程应用题型归纳4.1 一元一次方程应用题型的难点4.1.1 难点一：题目的信息整理有些题目给出的信息比较复杂，需要学生能够准确地理清题目的信息。

4.1.2 难点二：列方程的能力学生需要具备将问题转化成方程的能力，这需要学生对问题的理解和抽象能力。

4.1.3 难点三：解方程的过程解方程的过程中需要学生运用到移项、合并同类项、化简等操作。

4.2 如何提高学生解一元一次方程应用题的能力4.2.1 培养学生分析问题的能力在教学过程中，可以通过练习引导学生分析问题，逐步提高他们的分析问题的能力。

4.2.2 注重基础知识的巩固学生解一元一次方程应用题的能力需要建立在扎实的基础知识上，教师需要注重基础知识的巩固。

4.2.3 多样化的教学方法教师可以采用多样化的教学方法，例如案例教学、游戏教学等，激发学生对一元一次方程的兴趣。

五、结语初中数学鲁教版六年级上册一元一次方程应用题型是数学中的重要内容，通过本文的归纳，我们可以看出一元一次方程的基本概念、解法及应用。

一元一次方程知识讲解+例题解析+强化训练♦知识讲解1.等式和它的性质等式：表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式;②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零）所得的结果仍是等式.2.方程方程：含有未知数的等式叫做方程.一元一次方程：在整式方程中，只含有一个耒知数，并口耒知数的次数是1 ,系数不等于0的方程叫做一元一次方程.ax+b=O （aHO）是一元一次方程的标准形式.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解也叫方程的根.解方程：求方程解的过程叫做解方程.3.解一元一次方程的一般步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.4.列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）弄清题意和题口中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；（2）找岀能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）根据这个相等关系列出需耍的代数式，从而列出方程；（4）解这个方程，求出未知数的值；（5）检验方程的解是不是符合应用题题意的解；（6）写出答案（包括单位名称）.♦例题解析例1 （2004,黄冈市）关于x的一元一次方程（1?一1） x k_,4- （k-1） x-8=0的解为【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，①当k—1 = 1,即k=2吋，原方程3x+x — 8=0,解之得x=2 ②当k?—1=0 JzL k—1H0吋，也就是当k=—1时，原方程化为一2x —8=（）,解Z得x=—4,所以原方程的解为x=2或x=—4, 故答案为x=2或x=—4.【解答】x=2或x=-4.【点评】运用一元一次方程的概念特征解题，可以从两个方向把握：其一是应用概念的 本质属性作出正确的判断;其二是在这一概念下，据概念具备的本质特征得出相应的结论(如 本例中的k-l = l 和k —1=0且k —1H0),在解题过程中不断探索，实现解题目的.例2解F 列方程：2x 4-1 5x — 1 (1) ------ 一 ----- =1； 3 6z 3 4 1 1、 3 (2) — [— ( — X - — ) —8]=— x. 4 3 2 4 2【分析】对于(1),将方程的两边同乘以6,约去分母，对第(2)题，不难看出，先 用分配律简化方程，再求解较容易.【解答】(1)去分母，得2 (2x+l) — (5x — 1) =6,去括号，得 4x+2—5x+1=6,移项，得一x=3,两边同乘以一 1,得x=-3.113. 1(2)去括号，得一x —— x —6二一x,移项，合并同类项，得一x=6 —, 2 4 2 4系数化为1,得x=—6—. 4【点评】(1)①去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母 的项；②去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项.(2)技巧性解法的 发现需要认真观察问题的结构特征，需耍突破习惯性思维的束缚.例3 (2003,襄樊市)一牛奶制品厂现冇鲜奶9t.若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工h 鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工It 鲜奶可获利2000元.该厂的生产 能力是：若专门生产配奶，则每天可用去鲜奶3t ；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶It.由 于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同吋生产，为保证产品的质量，这批鲜 奶必须在不超过4天的时间內全部加工完毕.假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能 使工厂获利最大，最大利润是多少？【分析】要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可.【解答】牛产方案设计如下：(1)将9t 鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200X9=10800元.(2)4天内全部生产奶粉，则有5(鲜奶得不到加工而浪费，门利润仅为2000 X 4 元=8000 元.(3)4天中，用x天生产酸奶，用4—x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕.由题意，得3x+ (4—x) X 1=9.解得x=2.5..*.4—x=1.5 (天)・故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，贝IJ利润为(2.5X3X 1200+1.5X 1 X2000)元=12000 元.答：按第三种方案组织生产能使工厂获利最大，最大利润是12000元.【点评】运用数学知识解决现代经济牛产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来.对于方案三的销售金额计算时，不能按“问什么设什么”的经验，设销售金额为x元，则不易找到它与已知数最的联系，故列方程将很困难，这说明列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要.♦强化训练一、填空题1.若-^-X2-3X=1是关于x的一元一次方程，则3= __________ .22.街房三角形花园的周长是30cm, —•边长为(x+2y) m,另一边长为(y—2) m,则第三边长为______ ・3.若式了12 — 3 (9-y)与式了5 (y-4)的值相等，则y= ___________ .4.代数式兰二？+x与x+2的值互为相反数，则所列方程为______ , x= _____ .259 r — 7 x — m— 25.若x=5为方程竺二+ 土上二江上的解，则皿二4 3 126.若丄[—(—X— 1) —6]+2=0,贝U x= ______ .3 4 37.如果x=2是方程丄x+a=—l的根，则a的值是______ .28.当a ___ , b ____ 吋，方程ax+l=x—b有唯一解，当3_____ , b ______ 吋，方程ax+l=x—b有无解，当a ____ , b _____ 时，方程ax+l=x—b,有无穷多解.9.某企业原有管理人员与营销人员人数Z比为3： 2,总人数为180人，为了扩大市场，应从管理人员中抽调_____ 人参加营销工作，就能使营销人员人数是管理人员人数的2倍.弐±!=lx 屮，是一元一次方 3 611. 12.13. A. 2个B. 3个C. 4个D. 『一是方程…沖的-个解，那么a 的值是 A. 1 B. 3 C. -3 D. -1小李在解方程5a —x=13 (x 为未知数)时,误将一X 看作+x,得方程的解为X=—2,则 A. x=—3B. x=0C. x=2D. x=l14. A. 32+x=2X18B. 32+x=2 (40-x) 10. 某商店一套夏装的进价为200元，按标价的8()%销售町获利72元，则该服装的标价元・选择题3 在方程 X —2=— , 0.3y=l» x 2—5x+6=0, x=0.6x —y=9, x 程的冇()原方程的解为()某校七年级学工外出参观，如呆每辆汽车朋45人，那么有15个学牛•没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车.设有x 辆汽不，则下列方程正确的是()A. 60x= (45x+15) +1B. 60 (x~l) =45x~15 “ / 、 x-15 xC. 60 (x-1) =45x4-15D. --------- = 一=+1 45 6015. 在一次美化校园活动中，先安排32人去拨草，18人去植树，后又增派22人去支援他 们，结果拔草的人数是植树人数的2倍•问支援拔草和支援植树的分别冇多少人？解题 时，若设支援拔草有x 人，则下列方程中正确的是()C ・ 54-x=2 (18+x)D ・ 54-x=2X1816. 一列火车长为150m,以15m/s 的速度通过60()m 的隧道，从火车进入隧道口算起，到 这列火车完全通过隧道所需时间是()A. 60sB. 50sC. 40sD. 30s17. 足球比赛的计分规则为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.1个队打了 14 场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了()A. 3场B. 4场C. 5场D. 6场18.某商品进货价便宜8%,而售价保持不变，那么它的利润(按进货价而定)可由FI前的x%增加到(x+10) %,则x%是()A. 12%B. 15%C ・ 30% D. 50%(2) - [l-2x+- (3x-5) ]=x. 2 2三、解答题 19. 解下列方程：z 、0.lx-0.02 O.lx + O.l(1) --------------------------------- =0； 0.002 0.05 20. （2006,湖南长沙）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造.已知 这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩 下的工程还需要两队合作20天才能完成.（1） 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2） 求两队合作完成这项工程所需的天数.21. （2008,北京）京津城际铁路于2008年8月1 H 开通运营，预计高速列车在北京，天津 间单程直达运行吋间为0.5h ・某次试车时，试验列车山北京到天津的行驶吋间比预计吋 间多用了 6min,由天津返回北京的行驶时间与预计的时间相同.如果这次试年时，由天 津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40km,那么这次试车时由北京到天津的平均速 度是多少？22.（2008,陕西省）生态公园计划在园内的坡地上造一片冇A, B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植A, B两种树苗的相关信息如表所示：设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答卜-列问题：（1）写岀y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元?23.（2003,北京市海淀区）某同学在A, B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同.随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.（1）求该同学看小的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所冇商品打八折销售，超市B 全家购物满100元返购物券3（）元（不足10（）元不返券，购物券全场通用）,但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看屮的这两样物品，你能说明他可以选择哪一傢购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买省钱？答案:(1+x%) a=[l+ (x+10) %] • aX (1-8%),两边同除以a 得l+x%=fl+ (x+10) %] (1-8%),解得x%=15%)19.(1) x-丄41 3 5(2)去括号，得一(1 —2x+— x—— ) =x,4 2 21 3 5再去括号，得一一X+二X—二二X,4 4 453移项，合并同类项，得一一x二一.4 44 3 两边同乘以一一，得x=——.5520.(1)设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：10 z 1 1 、—+ (- + — ) X20=l.x x 40解得x=60,经检验：x=60是原方程的解.答：乙工程队单独完成这项工程所需要的天数为60天.(2)设两队合作完成这项工程所需的天数为y天，根据题意得：(丄+丄)y=l,解得y=24.40 60答：两队合作完成这项工程所需的天数为24天.21.设这次试车时，由北京到天津的平均速度是xkm/h,则由天津返回北京的平均速度是(x+40) km/h.依题意，得空°x二丄(x+40).60 2解得x=200.答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是200knVh.22.(1) y= (15+3) x+ (20+4) (2000-x) =-6x+48000.（2）由题意,可得:（）.95x+0.99 （2000-x） =1960.・・・x=500.当x=500 时，y=-6X500+48000=45000.・•・造这片林的总费用需45000元.23.（1）设书包的单价为x元，则随身听的单价为（4x — 8）元.根据题意，得4x-8+x=452.解这个方程，得x=92・因为4x-8=4X92-8=360,故该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元.（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452X80%=361.6 （元）.因为361.6<400,所以可以选择在超市A购买.在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金:360+2=362 （元）.因为362<400,所以也可以选择在超市B购买.因为362>361.6,所以在超市A购买更省钱.七年级（上）中考试题——元一次方程应用题1.（2010-恩施）13.某品牌商品，按标价九折岀售，仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元，则商品的进价为：AA. 21 元B. 19. 8元C. 22. 4元D. 25. 2元2.（2010-河北省）8.小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为兀张，根据题意，下面所列方程正确的是AA. x + 5（12-x） = 48B. x + 5（x-12） = 48C.x + 12（x-5） = 48D. 5x + （12-x） = 483.（01荆州）某商站的进价是1000元.售价为1500元.由于销售情况不好，商店决定降价出售.但又要保证利润率不低于5%.那么，商店最多降________ 元出售此商品.4.（08广东）己知某种商品的售价为204元，即使促销降价20%仍冇20%的利润，则该商品的成本价是（）A. 133B. 134C. 135D. 1365.（06仙桃）小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，14. 在每个数字只能使用一次的情形下，将12, 3 , 4及9作成最小的五位数，且此 我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的-给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗3数是 _______ •6. （06陕西）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成木价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A 、x ・ 40%X80%二240 B 、x （1+40%） X80%=240C 、240X40%X80%二xD 、x ・ 40%二240 X80%7. （06黑龙江）A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而 行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米, 则t 的值是（ ）A 、2 或 2. 5B 、2 或 10C 、10 或 12. 5D 、2 或 12. 58. （06绵阳）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费： 若每刀用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每刀用水超过7立方米，则超过 部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了 17元水费，那么这户居民今年 5月的用水量为 _____________ 立方米。

《一元一次方程》知识点复习微专题《一元一次方程与实际问题》必考经典解答题精选精练1.一件风衣,将成本价提高50%后标价,后因季节关系按标价的8折出售,每件卖180元,求这件风衣的成本价。

2. 景点门票价格:成人票每张60元,学生票每张48元,儿童票(1.2m≤身高≤1.5m)每张30元.某校45名学生在两位老师带领下到南湖游玩.买了47张门票共花费2190元,求儿童票和成人票分别买了多少张？3. 一个两位数,个位数字与十位数字的和为9,如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9,求原来两位数.4.某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?5. 为增强市民的节水意识,某市对居民用水实行“阶梯收费”:规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/m3,超过月用水标准量部分的水价为2.5元/m3.该市小明家5月份用水12m3,交水费20元.请问:该市规定的月用水标准量是多少立方米?6.《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?7. 某地实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”,该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300g,蛋白质含量为8%,包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋,已知牛奶的蛋白质含量为5%,饼干的蛋白质含量为12.5%,鸡蛋的蛋白质含量为15%,一个鸡蛋的质量为60g.(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克?(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克?8. 甲、乙二人去买东西,他们所带钱数比是7∶6,甲花去50元,乙花去60元,若二人余下的钱数比为3∶2,则二人余下的钱分别是多少？9. 用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形,若大长方形的周长是14,则小长方形的长和宽分别是多少？10. 如图所示,地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这根彩绳钉成一个长方形,则所钉成的长方形的长、宽各是多少?面积是多少?11. 爷爷病了,需要挂100mL的药液,小明守候在旁边,观察到输液流量是3mL/min,输液10min后,吊瓶的空出部分容积是50mL(如图),利用这些数据,计算整个吊瓶的容积是多少mL?12. 一个长方形的鸡场的长边靠墙,墙长14m,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35m的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5m;小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2m,你认为谁的设计符合实际?按照他的设计,鸡场的面积是多少?13. 如图,在长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发,点P以3 cm/s的速度沿AB,BC向点C运动,点Q以1 cm/s的速度沿BC向点C运动.设P,Q运动的时间是t秒,当点P与点Q重合时,求t的值。

《一元一次方程》辅导班资料例1、某班有50名学生，准备集体去看电影，买到的电影票中，有1元5角的，有2元的。

已知买电影票总共花88元，问票价是1元5角和2元的电影票各几张？解：例2、一架飞机飞行在两城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时，求两个城市间的飞行路程。

例3、某校组织师生春游，如果单独租用45座车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余30个空座位。

求该校参加春游的人数？1、某工厂计划每月生产800吨产品，二月份生产了750吨，那么它超额完成计划的吨数是_____________2、A 点的海拔高度是60m ，B 点的海拔高度是—60m ，C 点的海拔高度是50m ，_____点的海拔最高，_______点的海拔高度最低，最高点比最低点高____________。

3、10筐桔子，以每筐15kg 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，标重的记录情况如下：+1，-0.5,-0.5,-1,+0.5,-0.5,+0.5,+0.5,+0.5,-0.5,这10筐桔子各重_____________________________，平均每筐重_________千克。

4、某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励办法如下：胜一场记3分，每人得奖金1500元；平一场记1分，每人得奖金700元；负一场记0分，每人得奖金0元。

（1）当比赛进行到第12轮结束时，每队均比赛12场，A 队共积19分，则A 队胜_____场，平_______场，负_________场。

（2）若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元，设A 队其中一名参赛队员所得奖金与出场费的和为W 元，则W 的最大值是____________元。

5、下表是六名同学的身高情况（单位cm ）, （1） 平均身高是________ （2） ___的身高最高，____的身高最矮。

（3） 最高身高与最低身高相差_____ 6、一块长方形铁板，长为1200cm ，宽为 800cm ，则它的面积为（ ）A 、9.6×104cm 2B 、9.6×105cm 2C 、9.6×106cm 2D 、9.6×107cm 2 姓名 ABCDE F 身高 165 164 172 与平均的差值 -1+2-3+47、要把面值10元的一张人民币换成零钱，现有足够的面值为5元，2元，1元的人民币，共有（ ）种不同的换法 A 、12 B 、10 C 、8 D 、68、某股票的开盘价为19.5元，上午12点跌1.5元，下午收盘时又涨0.6元，则该股票这天的收盘价为（ ）A 、0.6元 B 、17.4元 C 、18.6元 D 、19.5元9、物体位于地面上空3米处，下降2米后又下降5米，最后物体在地面之下___米。

第04讲应用一元一次方程(7类热点题型讲练)1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤；2.掌握各类应用题的列方程的方法.知识点必备公式或关系式题型01一元一次方程的应用--古代问题1．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？【答案】店中共有8间房【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．【详解】解：设店中共有x 间房依题意得：()7791x x +=-，解得：8x =，答：店中共有8间房．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．2．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”【答案】72个【分析】设共有客人x 人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方题型02一元一次方程的应用--销售问题1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销题型03一元一次方程的应用--方案问题例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客8.5折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．(1)若参加旅游的人数为x ，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x 的式子表示）．(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?【答案】(1)340x ；()360360x -(2)该单位有员工18人【分析】（1）甲旅行社的费用为人数乘以单价，再乘以0.85；乙旅行社的费用为（人数1-）乘以单价，再乘以0.9；（2）利用甲，乙两家旅行社的费用相同，结合（1）中选择两个旅行社的费用的代数式，列方程，即可解答．【详解】（1）解：甲旅行社的费用为0.85400340x x ⨯=（元）；乙旅行社的费用为()()0.94001360360x x ⨯-=-元，故答案为：340x ；()360360x -；（2）解：由题意可得方程340360360x x =-，解得18x =，∴该单位有员工18人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟读题意，理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．【变式训练】（2）设甲班有x 名学生准备参加演出，共需要()405092x x +-⎡⎤⎣⎦元，可列方程()4050924080x x +-=，解方程求出x 的值及代数式92x -的值即可解答；（3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案．【详解】（1）解：30922760⨯=（元），∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元．故答案为：2760．（2）解：设甲班有x 名学生准备参加演出，∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人，∴乙班少于50人，根据题意得()4050924080x x +-=，解得52x =，∴925240-=（名）．答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出．（3）解： 两班联合购买91套服装的费用：91302730⨯=（元）两班联合购买84套服装的费用：()928403360-⨯=（元）甲、乙单独购买的总费用：405044504200⨯+⨯=（元）∵2730元＜3360元＜4200元，∴甲、乙两班联合购买91套演出服装比最省钱．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识点，正确地用代数式表示甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键．题型04一元一次方程的应用--配套问题例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人(2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母【分析】（1）设该车间有男生x 人，则女生人数是(210)x -人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；（2）首先设应分配y 名工人生产螺丝，(44)y -名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量2⨯=螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．x-人，则【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是(210)x x+-=．(210)44x=解得18x-=．则21026答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，(44)y-名工人生产螺母，由题意得：120(44)502-=⨯y yy=，解得：24y-=4420答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【变式训练】52∴-=，x\´=，350150答：用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．题型05一元一次方程的应用--工程问题1．（2022秋·安徽淮北·七年级统考期末）柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？【答案】设A工程队整治河道180米【分析】设A工程队整治河道x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解．题型06一元一次方程的应用--行程问题-，点B表示的有理数为6．点例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）如图，在数轴上点A表示的有理数为6→→运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由A B A→运动，当点Q到达点A时,P Q两点停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．的速度由B A(1)求点P与点Q第一次重合时的t=________(2)当t=________，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．【答案】(1)4(2)3，5，9【分析】（1）根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．--÷+【详解】（1）[6(6)](12)=+÷(66)3=÷1234=，答：点P与点Q第一次重合时的t值为4；（2）点P和点Q第一相遇前，+=---，(12)[6(6)]3tt=；解得，3当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，+=--+，(12)[6(6)]3tt=；解得，5当点P从点B向点A运动时，-=---，t t32[6(6)]t=；解得，9由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．【点睛】本题考查数轴、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的解答．【变式训练】(1)A B、两点间的距离是___________；(2)现在有一只电子蚂蚁P从点B出发时，题型07一元一次方程的应用--电费和水费问题例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：方法A ：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；方法B ：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．现在设通话时间是x 分钟．(1)请分别用含x 的代数式表示计费方法A 、B 的通话费用．(2)用计费方法A 的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法B ，则可通话多少分钟？(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？【答案】(1)方法A 通话x 分钟的费用为0.5x 元；方法B 通话x 分钟的费用为(300.2)x +元(2)改用计费方法B ，可通话225分钟(3)150分或50分【分析】（1）根据计费方法A 、B 表示出通话费用即可；（2）根据计费方法A 、B 列方程求出出通话费用即可；（3）根据题意，分两种情况列出方程，求出方程的解即可得到结果；【详解】（1）解：由题意可得：方法A ：0.5x ，方法B ：300.2x +；（2）方法A 通话150分钟所需的话费=0.5150⨯，依题意得：300.20.5150x +=⨯，解得：225x =，答：改用计费方法B ，则可通话225分钟；（3）由题意得，|0.5(0.230)|15x x -+=，解得：150x =或50x =答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．【变式训练】A．60人B．61人【答案】D【分析】设七年级三个班级共有【答案】6或3【分析】画出对应数轴，设点C 由题意得：AC A C BC A B''==+由题意得：AC A C BC A B''==-093x x ∴-=--解得：3x =故点C 表示的数是6或3故答案为：6或3【点睛】本题考查了一元一次方程、数轴上两点之间的距离．分类讨论是解题关键．(2)240【分析】（1）根据总价=单价⨯数量，结合阶梯电价收费标准，列式进行计算即可得到答案；（2）设该户12月用电量为x 度，根据题意列出方程()1800.51800.6126x ⨯+-⨯=，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：()1800.52001800.69012102⨯+-⨯=+=（元），∴该市某户12月用电量为200度，该户应交电费102元，故答案为：102；（2）解：设该户12月用电量为x 度，1800.590126⨯=< ，180x ∴>，()1800.51800.6126x ∴⨯+-⨯=，解得：240x =，∴该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式以及一元一次方程是解此题的关键．14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件．(1)若第一次购进甲种商品的件数为a 件，则购进乙种商品的件数为___________件．(2)已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元．该超市第一次用7665元购进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？(3)在（2）问的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多10%，求第二次乙种商品按原价打几折出售？【答案】(1)()215a +(2)2550元(3)八折【分析】（1）根据题意，用运算表示数量间关系，列代数式；（2）明确等量关系：甲商品总进价+乙商品总进价=7665元，列一元一次方程求解，进而求出利润；（3）明确等量关系：第二次总利润-第一次总利润2550(110%)=⨯+，列一元一次方程求解；【详解】（1）()215a +（2）解：根据题意得()49352157665a a ++=，解得60a =，215135a +=（件），【答案】（1）7248360x x +=；（2）7248360y y -=【分析】（1）根据图①解析图列方程；（2）根据图②解析图列方程；【详解】解：（1）根据图①列方程得：7248360x x +=；（2）根据图②列方程得：7248360y y -=；答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？【答案】(1)8(2)①80，②22【分析】（1）先设出应额外给1班x 个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%列出一元一次方程即可．【详解】（1）解：设应额外给1班x 个手环，则额外给2班()18x -个手环，∵要使1班、2班的手环数一样多，∴()504818x x +=+-，解得：8x =，所以应额外给1班8个手环；（2）解：①设购进y 个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，对于甲批发商处进货价为：()200.9y ⨯元，对于乙批发商处进货价为：()402040200.8y ⨯+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦元，∵去两个批发商处的进货价一样多，∴()200.9402040200.8y y ⨯=⨯+-⨯⨯，解得：80y =，所以购进80个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；②设第二次每个发光头饰的售价为z 元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，(1)填空：=a 、b =、c =、d =；(2)若线段AB 以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段时间为t 秒，AB 、两点都运动在CD 上(不与(3)在（2）的条件下，线段AB ，线段CD 继续运动，当点3BC AD =若存在，求t 得值；若不存在，说明理由．【答案】(1)8-，6-，12，16。

一元一次方程一.等式和方程1.等式：含有的式子2.等式的性质①等式两边都同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

②等式两边都同一个数（除数不能是0）,所得结果仍是等式。

3.方程：含有未知数的等式叫方程。

（1）能够使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。

要检验未知数的某一个值是不是方程的解，就把这个值代入方程，看左、右两边的值是否相等。

必须注意方程的解和解方程这两个概念的区别。

方程的解是演算的结果，即求出的适合方程的未知数的值；解方程是求方程的解的演算过程。

4.方程的解一--使得方程左右两边相等的未知数的值5.检验：把未知数的值分别代入方程的左右两边。

6.等式的性质等式的性质①等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。

即如果a = b,那么a±c = b±c等式的性质②等式两边乘同一个数，或除以同一不为0的数，结果仍相等。

即如果a=b,那么ac=bca _b如果a=b （cHO）那么c c二.一元一次方程的解法和应用（一）元一次方程的求解（1）一元一次方程：①只有一个未知数，②未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（2）一元一次方程的最简形式2. （3）解一元一次方程的一般步骤。

一元一次方程的应用（二）一元一次方程的应用“1、类型：1.销售、利润问题2.工程问题3.行程问题4•比例问题5.其他问题（数字问题、等积变形、日历问题、人数问题、储蓄问题等）2、列方程解应用题的一般步骤：①审题，弄清题意找出题屮的等量关系②设未知数③列出方程④解方程⑤检验⑥答元一次方程常见题型类型一:利用方程的有关概念，等式性质等解决问题7. 如果Q 与一3互为相反数，那么Q 等于( )•c. 138. ___________________________________________________________ 求作一个一元一次方程使它的解为x=-2,这个一元一次方程为 ________________________________________【能力提高】1.己知方程(m+l)x lml 4-3-0.是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )A. ± 1B. 1C.-1D.O 或 12. 使(«-l)x-6 = 0为关于兀的一元一次方程的 ______________ (写出一个你喜欢的数即可).3. 若关于兀的方程U-2)/-,l +5^ = O 是一元一次方程，则“ _____________ .C. x=0 丄 二12x + 33. 下列方程小是一元一次方程的是( A. 2x = 3yB. 7% + 5 = 6(x-l)C ・ X 2= 1D. --2 = xX4•下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y 二9X 2—3x=l— = 1 x2x=l 3x - 5 3+7=10x 2+x=l5.根据下列条件列出方程(1)比x 大2的数等于7(2) x 比它的2倍小34 5(3) x 比它的上大丄5 166•只列方程，不解方程1) 3x + 5的值等于3, 求x 的值2) 当x 取何值时，3x + 5与4 —x 的值相等3) 当a 为何值量，式子2(3a-4)的值比2a + 7的值大34) 3x4-5与3-x 互为相反数，x 取何值A. 3B. —3 1. 【基础练习】 下列各式不是方程的是( )A. y2_y=4B. m - 2nC. p 2-2pq + q 2D. x = 02. 下列等式中是一元一次方程的是(A. S=Xab2B. x —y=04.若关于x的方程伙+ 2庆+4尬-5£ =()是一元一次方程，则方程的解x二___________・5.已知(2加一3庆一(2-3加)兀=1是关于x的一元一次方程，则加= _______ .6. 已知方程（ci - 2）丿"卜’ +4 = 0是一元一次方程，则a = ___ ； x = _______ .7. 若关于兀的方程伙-2）』刊+5" 0是一元一次方程，贝〃二 __________ .若关于x 的方程（k + 2）x 2 + 4kx-5k = 0是一元一次方程，则方程的解兀二 ______ . &如果@ + 1）』“珂_2 = 0是一元一次方程，那么。

《5.3~5.6 利用一元一次方程解图表信息问题的八种常见题型》素养练题型1 一元一次方程在解销售表格问题中的应用1.【2020·安徽】某超市有线上和线下两种销售方式，与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%. （1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含,a x的式子表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值.题型2 一元一次方程在解积分表格问题中的应用2.一次数学竞赛共出了20道题，现抽出了4份试卷进行分析，如下表：（1）问答对一道题得多少分，不答或答错一道题扣多少分？（2）一名同学说他得了65分，请问可能吗？请说明理由.题型3 一元一次方程在解月历表格问题中的应用3.你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？（下表是2021年12月的月历）（1）它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？（2）如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？（3）如果用一个正方形圈出四个数，且这四个数的和为56，这里圈出的四天你知道分别是几号吗？题型4 一元一次方程在解出租车计费表格问题中的应用4.电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便.下表是行驶15千米以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15千米以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比普通燃油出租车平均每千米节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少千米.题型5 一元一次方程在解租车表格问题中的应用5.为拓宽学生的视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中，若每名老师带17名学生，还剩12名学生没人带；若每名老师带18名学生，就有一名老师少带4名学生.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少有2名老师，可知租用客车总数为________辆.题型6 一元一次方程在解分段费用表格问题中的应用6.某市已经全面实行了居民新型合作医疗保险制度，享受医保的居民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用，下表是医疗费用报销的标准：若家住幸福社区的王爷爷在一次住院中个人自付了住院医疗费5000元（自付医疗费=实际医疗费-按标准报销的金额），则他在这一次住院中的实际医疗费用为多少元？题型7 一元一次方程在解游戏表格问题中的应用7.【2020·盐城】把1~9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图①），是世界上最早的“幻方”，图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（）A.1B.3C.4D.6题型8 一元一次方程在解情境图问题中的应用8.“五一”期间，小明、小亮等学生随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话.试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由.参考答案1. 解析：（1）1.04()a x -（2）依题意，得：1.1 1.43 1.04()a x a x =+-， 解得2.13x a = 所以21.431.430.22130.21.1 1.1 1.1a x a aa a ⨯===. 答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2.2. 解析：（1）由试卷D 可知，每答对一道题与不答或答错一道题共得4分， 设答对一道题得x 分，则不答或答错一道题得（4-x ）分，由试卷A 得分为94分，可列方程为19(4)94x x +-=.解得x =5，所以41x -=-.答：答对一道题得5分，不答或答错一道题扣1分.（2）不可能.设该名同学答对了y 道题，可列方程为5(20)(1)65y y +-⨯-=. 解得1146y =. 因为题目的数量应该为整数，所以这名同学不可能得65分.3. 解析：（1）月历中，横行上相邻两数之差为1，竖列上相邻两数之差为7.（2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x ，则上面的一个数为x -7，下面的一个数为x +7.根据题意，得(7)(7)x x x -+++=72.解这个方程，得x =24.所以724717,724731x x -=-=+=+=.答：这三天分别是17号、24号、31号.（3）设圈出的四个数中，最小数为y ，则另三个数分别为y +1，y +7，y +8. 根据题意，得(1)(7)(8)56y y y y ++++++=.解这个方程，得y=10.所以110111,710717,810818+=+=+=+=+=+=.y y y答：这四天分别是10号、11号、17号、18号.点拨：这是生活中常见的月历问题，把它进行数学建模，则可将其转化为数字问题：它的横行上相邻两数之差为1，竖列上相邻两数之差为7.4.解析：设老张家到单位的路程是x千米.依题意，得13(3) 2.3[8(3)2]0.8x x x+-⨯-+-⨯=，解这个方程得x=8.2.答：老张家到单位的路程是8.2千米.5.解析：（1）设老师有x人，则学生有（17x+12）人.依题意，得1712184+=-，x x解得x=16，则17x+12=284.答：老师有16人，学生有284人.（2）86.解：设他在这一次住院中的实际医疗费用为x元.因为5000×（1-70%）+（10000-5000）×（1-80%）=1500+1000=2500（元），且2500<5000，所以他在这一次住院中的实际医疗费用必超过10000元，则2500+（x-10000）×（1-90%）=5000.解得x=35000.答：他在这一次住院中的实际医疗费用为35000元.7.答案：A8.解析：（1）设成人去了x个，则学生去了（12-x）个，由题意得35350.5(12)+⨯⨯-=350，x x解得x=8，则12-x=12-8=4，答：小明他们一共去了8个成人，4个学生.（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用35×0.6×16=336（元）.因为336<350，所以按团体票一次性购买16张门票更省钱.。

第09讲用一元一次方程解决问题（12种题型）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。

解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。

每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

三. 销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五、方案选择问题1.借助方程先求出相等的情况。

2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。

六、数字问题1、多位数的表示方法：①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a③四、五…位数依此类推。

2、连续数的表示方法:①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数）③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）七、几何问题1.将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类新问题，2.解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.八、和差倍分问题1.和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2.倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、增加百分之几、增长率……”来体现.3.比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x.解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系.九、分段计费问题分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算十. 行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC（2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒（3）解：OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t），解得：t=23.3秒；如图：【解析】【分析】（1）①根据∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°，故∠COM=75°，根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°，根据旋转的速度，就可以算出t的值了；②根据∠CON=15°，∠AON=15°，即可得出ON平分∠AOC ；（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，从而得出∠CON=∠COM=45°，又三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程，求解得出t的值；（3）根据∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，及三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，故设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，从而得到∠COM为（90°﹣3t），又∠BOM+∠AON=90°，从而得出含t的方程，就能解出t的值。

第四讲一元一次方程进阶一、解含参的一元一次方程的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程无解.系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等.【典例】解关于x的方程：13m（x﹣n）=14（x+2m）．【解答】解：去分母得：4m（x﹣n）＝3（x+2m），去括号得：4mx﹣4mn＝3x+6m，移项合并得：（4m﹣3）x＝4mn+6m，当4m﹣3≠0时，解得：x=4mn+6m4m−3，当4m﹣3＝0，4mn+6m＝0时，方程有无数个解，当4m﹣3＝0，4mn+6m≠0时，方程无解．【巩固】已知关于x的一元一次方程kx+a6−x−bk3=2，其中a，b，k为常数．（1）当k＝3，a＝﹣1，b＝1时，求该方程的解；（2）试说明当k＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a+4b的值；（3）若无论k为何值时，该方程的解总是x＝﹣3，求ab的值．【解答】解：（1）由题意得：3x−16−x−33=2．∴3x﹣1﹣2x+6＝12．∴x＝7．（2）当k＝2时，方程为：2x+a6−x−2b3=2．∴2x+a﹣2x+4b＝12．∴0•x＝12﹣a﹣4b．∵方程有无数解，∴12﹣a﹣4b＝0．∴a+4b＝12．（3）该方程化为：kx+a﹣2x+2bk＝12当x＝﹣3时，（2b﹣3）k＝12﹣a﹣6．∴（2b﹣3）k＝6﹣a．∵无论k为何值，等式恒成立，∴2b﹣3＝0，6﹣a＝0．∴a＝6，b=32．∴ab＝6×32=9．二、解含有绝对值的方程解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次；（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：①求出各个临界点；②根据未知数的取值范围进行分类讨论；③去绝对值符号，化为一般方程求解.【典例】解方程|x﹣2|+|2x+1|＝7．【解答】解：当x＜﹣0.5时，2﹣x﹣1﹣2x＝7，解得x＝﹣2；当﹣0.5≤x＜2时，2﹣x+2x+1＝7，解得x＝4（不符合题意的解要舍去）；当x≥2时，x﹣2+2x+1＝7，解得x=8，3．综上所述：x＝﹣2，x=83【巩固】关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，求a的值．【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．巩固练习1．已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a≤﹣1C．a＞2或a≤﹣2D．a＞1或a≤﹣1【解答】解：方法一：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）≥0，解得：x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，＞0，x＝ax﹣a，即x=aa−1解得：a＞1或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x＝ax﹣a，＜0，即﹣1＜a＜0，解得：x=aa+1由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）．综合可得，a＞1或a≤﹣1．故选：D．方法二：解：如图直线y＝|x|，y＝ax﹣a的图象如图所示：观察图象可知：当直线y＝ax﹣a与直线y＝﹣x平行时，a＝﹣1，当直线y＝ax﹣a与直线y＝x平行时，a＝1，直线y＝ax﹣a与直线y＝|x|的交点在第一象限时，方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，∴a≤﹣1或a＞1满足条件．故选：D．2．方程x3+x15+x35⋯+x2005×2007=1的解是x＝（）A．20062007B．20072006C．20071003D．10032007【解答】解：x3+x15+x35⋯+x2005×2007=1，提取公因式，得x（13+115+135+⋯+12005×2007）＝1，将方程变形，得x[12（1−13）+12（13−15）+12（15−17）+⋯+12（12005−12007）]＝1，提取公因式，得x 2（1−13+13−15+15−17+⋯+12005−12007）＝1，移项，合并同类项，得x 2（1−12007）＝1，系数化为1，得x=20071003．故选：C．3．方程|x |+|x ﹣2002|＝|x ﹣1001|+|x ﹣3003|的整数解共有（ ）A ．1002个B ．1001个C ．1000个D ．2002个【解答】解：|x |+|x ﹣2002|是数轴上点x 到0和2002的距离的之和，记为d ．显然，当0≤x ≤2002时，d ＝2002；当x ＜0或x ＞2002时，d ＞2002．同理，|x ﹣1001|+|x ﹣3003|是数轴上的点x 到两点1001和3003的距离之和，记为d ′，显然当1001≤x ≤3003时，d ′＝2002；当x ＜1001或x ＞3003时，d ′＞2002．因此，如果，1001≤x ≤2002，则d ＝d ′＝2002；如果2002＜x ≤3003，则d ＞2002＝d ′；如果0≤x ＜1001，则d ′＞2002＝d ；如果x ＞3003，则d ＝x +（x ﹣2002）＞（x ﹣1001）+（x ﹣3003）＝d ′；如果x ＜0，则d ＝﹣x +（2002﹣x ）＜（1001﹣x ）+（3003﹣x ）＝d ′．所以题设方程是符合1001≤x ≤2002的所有整数，共有1002个．故选：A ．4．已知方程x 3﹣6x ﹣10＝0有一根x 0满足k ＜x 0＜k +1，k 为正整数，则k ＝ 3 ．【解答】解：∵x 3﹣6x ﹣10＝0，∴x （x 2﹣6）＝10，∵方程有一根，∴{x 2−6＞0x 2−6＜10， ∵x 0满足k ＜x 0＜k +1，k 为正整数，∴x 只能取正整数部分，∴2＜x＜4，∵方程有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，∴k＝3；故答案为：3．6．解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1（2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4．【解答】解：（1）①当x≥1时，原方程可化为：x+3﹣（x﹣1）＝x+1，解得：x＝3；②当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3﹣（1﹣x）＝x+1，解得：x＝﹣5；③当﹣3≤x＜1时，原方程可化为：x+3+x﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1．综上可得：方程的解为：x＝3或x＝﹣5或x＝﹣1；（2）方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1≤x≤5．x﹣2|﹣3＝a．7．解关于x的方程|12x﹣2|﹣3＝a，【解答】解：∵|12∴|1x﹣2|＝3+a，2当a≥﹣3时，则12x﹣2＝3+a或12x﹣2＝﹣3﹣a，解得：x＝10+2a或x＝﹣2﹣2a．当a＜﹣3时，此方程无解．8．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？【解答】解：①x≥5时，x﹣2﹣（x﹣5）＝x﹣2﹣x+5＝3，当a＝3时，有无数多解；当a≠3时，无论a取何值均无解；②x≤2时，2﹣x﹣（5﹣x）＝2﹣x﹣5+x＝﹣3，当a＝﹣3时，有无数解；当a≠﹣3时，无解；③2＜x＜5时，x﹣2﹣（5﹣x）＝x﹣2﹣5+x＝2x﹣7，∴4＜2x＜10，∴4﹣7＜2x﹣7＜10﹣7即：﹣3＜2x﹣7＜3．所以当﹣3＜a＜3时，有一解；当a＞3或a＜﹣3时，无解．综上所述，当a＝±3时，方程有无数个解，当a＞3或a＜﹣3时，无解；当﹣3＜a＜3时，有一解．9．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值．【解答】解：把x＝1代入方程px+5q＝97可得：p+5q＝97，故p与5q中必有一个为偶数，①若p＝2，则5q＝95，q＝19，40p+101q+4＝2003．②若5q为偶数，则q为2，p＝87，而87不是质数，与题意矛盾．综上可得：40p+101q+4＝2003．故答案为：2003．10．已知关于x的方程2[x−2(x−a4)]=3x和x+a9−1−3x12=1有相同的解，求a与方程的解．【解答】解：由第一个方程得：x=a5由第二个方程得：x=39−4a13所以a5=39−4a13，解得a=6511，所以x=1311模块二一、销售问题【学霸笔记】销售问题中常见的等量关系：①利润=售价-进价；②；③售价=进价×（1+利润率）.【典例】某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为多少元？【解答】解：设标价为x元，则进价为（0.8x﹣500）元，根据题意得：20%（0.8x﹣500）＝500，解得x＝3750，∴进价为0.8x﹣500＝0.8×3750﹣500＝2500（元），∴按同一标价打九折销售获得的纯利润为3750×0.9﹣2500＝875（元），答：按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为875元．二、工程问题【学霸笔记】工程问题中的等量关系：①工作总量=工作时间×工作效率；②工作总量往往表示为“1”；③工作总量=各个部分的工作量之和.【典例】新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某口罩生产厂家接到一批口罩定制任务，要求10天完成．如果安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；如果安排第二车间单独加工，则会延期5天完成．（1）为了尽快完成任务，厂长安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，那么该厂家可以提前几天完成任务？（2）已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：方案一：第一车间单独加工；方案二：第二车间单独加工；方案三：两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又在规定时间内完成这批口罩加工任务？请通过计算说明理由．【解答】解：（1）设提前x天完成，那么第一车间的工作时间是（10﹣x）天，第二车间的工作时间是（10﹣5﹣x）天，由题意得：10−x10+10−5−x15=1，解得x＝2．答：该厂家可以提前2天完成任务．（2）方案一：1.2×10＝12（万）；方案二：0.7×15＝10.5（万），但不能在规定时间内完成；方案三：1÷（110+115）＝6（天），6×（1.2+0.7）＝11.4（万）；12＞11.4，所以选择方案三．三、行程问题【巩固】铁路旁的一条小路上，甲乙两人同时向东而行．甲步行，速度是1m/s；乙骑自行车，速度是3m/s．如果有一列匀速行驶的火车从他们的身后开过来，火车完全通过甲用了22s，完全通过乙用了26s，那么这列火车的车身有多长？【解答】解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x﹣1）×22＝（x﹣3）×26，22x﹣22＝26x﹣78，26x﹣22x＝78﹣22，4x＝56，x＝56÷4，x＝14．火车的车身长为：（14﹣1）×22＝286（米）．答：这列火车的车身有286米．巩固练习1．相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客，他看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？（）A．16B．18C．20D．22【解答】解：设开始来了x位客人，根据题意得x−12x−12x×13=6解得：x＝18答：开始来的客人一共是18位．故选：B．2．我国古代数学著作中有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．意思是：远远望见一座7层高的雄伟壮丽的佛塔，每层塔点着的红灯数，下层比上层成倍增加，共381盏．则塔尖有盏灯．【解答】解：设塔的顶层装x盏灯，则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是2x、4x、8x、16x、32x、64x，所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381127x＝381x＝381÷127x＝3答：塔的顶层装3盏灯．故答案为：3．3．某超市推出如下优惠方案：（1）购物款不超过200元不享受优惠；（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市﹣次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款元．【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在消费168元的情况下，商品的实质购物价值只能是168元．（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：第一种情况：她消费超过200元但不足600元，这时候是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．第二种情况：她消费超过600元，这时候是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去），即在第二次消费423元的情况下，商品的实际购物价值可能是470元．综上所述，小明的妈妈两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此均可以按照8折付款：638×0.8＝510.4（元）．综上所述，她应付款510.4元．故答案为：510.4．4．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟23圈，乙每分钟34圈，丙每分钟12圈，他们同时出发，起点如图所示（甲从A点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C点出发，沿圆周顺时针运动），则出发后分三人第一次相遇．【解答】解：设出发后x分钟后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x+14+16=34x，解得：x＝5，此时，甲逆时针行驶了23×5=103圈，当出发5分钟后，丙顺时针行驶了12×5=52圈，此时，甲乙丙第一次相遇．故答案为：5．5．某生产车间专门加工生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，一个螺栓配两个螺母配成如图的一套．（1）若安排20人生产螺栓，那么应安排多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？（2）若车间里有90名工人，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？【解答】解：（1）设安排x人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套，24x＝15×20×2解得，x＝25即安排25人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套；（2）设生产螺栓的有x人，15x×2＝24（90﹣x），解得，x＝40，则90﹣x＝50，即若车间里有90名工人，那么应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套．6．某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费元；如果10月份某用户用水量为15m3，那么该用户10月份应该缴纳水费元；（2）某用户11月份共缴纳水费72元，那么该用户11月份用水多少m3？（3）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？【解答】解：（1）根据表中数据可知，每月不超过20m3，实际每立方米收水费2.05+0.8+0.15＝3（元），10月份某用户用水量为15m3，不超过20m3，∴该用户10月份应该缴纳水费15×3＝45（元），故答案为3，45；（2）由（1）知实际每立方米收水费3元，20×3＝60＜72，∴11月份用水量超过了20m3，设11月份用水量为xm3，根据题意列方程得，20×3+（x﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝72，解得x＝23，答：该用户11月份用水23m3；（3）由（1）知实际每立方米收水费3元，20×3＝60＞54，∴水表12月份出故障时收费按没有超过20m3计算，设12月份实际用水量为xm3，根据题意列方程得，x（1﹣25%）×3＝54，解得x＝24，20×3+（24﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝76（元），答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元．7．壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，岁，岁？【解答】解：设刘芳的年龄为x岁．①刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳．注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳．②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x﹣27）路路（36﹣x）岁，他的妈妈应当是（36﹣x+27）岁，和为（99﹣2x）菲菲（x﹣29）岁，她的妈妈应当是（x﹣29+27）岁，和为（2x﹣31）由于6个人共105岁，所以，（2x﹣27）+（99﹣2x）+（2x﹣31）＝105．③解出x＝32，菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁．答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁．故填：王雪，5，3，4．8．老师带着两个学生到离学校33千米的博物馆参观．老师开一辆摩托车，速度为25千米/小时．这辆摩托车后坐可带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．学生如果步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使得师生3人同时出发后用3个小时同时到达博物馆．【解答】解：设计方案：学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走出一定路程，让学生甲步行，老师返回接学生乙，然后老师带乘学生乙，与学生甲步行同时到达博物馆即可要确定摩托车中途接乙的返回点．（4分）设两个学生为甲、乙二人．学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走了x千米，共用了x20小时．他们比乙多行了x20(20−5)=34x（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，中途遇到学生乙时，用了34x÷(25+5)=x40（小时）．乙遇到老师时，已经步行了(x20+x40)×5=38x（千米），离博物馆还有33−38x（千米）．如果甲、乙二人搭乘摩托车的路程相同，那么x=33−38x，解得x＝24（千米）．（4分）这样，在路上学生甲共计用的时间为x20+33−x5=2420+95=3（小时），学生乙共计用的时间为x20+x40+x20=248=3（小时）．（5分）因此，上述方案可使师生3人同时出发后只用3小时就可同时到达博物馆．9．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？x+15）件，【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（12x+15）＝6000，根据题意得：22x+30（12解得：x＝150，x+15＝90．∴12答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，−30）×90×3＝1950+180，根据题意得：（29﹣22）×150+（40×y10解得：y＝8.5．答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．10．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【解答】解：（1）1560×3=34(ℎ)=45（分钟），∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为1560=0.25(ℎ)=15（分钟）．0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t＝13.75，解得t=2.7513．汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513ℎ．所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×2.7513×60≈40.4＜42．所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行前考场需15−x5(ℎ)，汽车从出发点到A处需x60(ℎ)先步行的4人走了5×x60(km)，设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有60t+5t=x−5×x60，解得t=11x780，所以相遇点与考场的距离为：15−x+60×11x780=15−2x13(km)．由相遇点坐车到考场需：(14−x390)(ℎ)．21所以先步行的4人到考场的总时间为：(x60+11x780+14−x390)(ℎ)，先坐车的4人到考场的总时间为：(x60+15−x5)(ℎ)，他们同时到达则有：x60+11x780+14−x390=x60+15−x5，解得x＝13．将x＝13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：(1360+25)×60=37（分钟）．∵37＜42，∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．11．如图，数轴上两点A、B所表示的数分别﹣2、10，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．（1）填空：点A和点B间的距离为；（2）若点M和点N同时出发，求点M和点N相遇时的位置所表示的数；（3）若点N比点M迟3秒钟出发，则点M出发几秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度？此时数轴上是否存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小？若存在，请直接写出点C所表示的数和这个最小值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）点A和点B间的距离为：10﹣（﹣2）＝12．故答案是：12；（2）设经过t秒点M和点N相遇，依题意，得t+2t＝12，解得t＝4，∴点M和点N相遇时的位置所表示的数为2；22（3）设点M出发x秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度，则点N所用的时间为（x﹣3）秒．①点M和点N相遇前，依题意有：x+6+2（x﹣3）＝12，解得x＝4．此时，点C即为点N（如图1所示），所表示的数为8和这个最小值8；②点M和点N相遇后，依题意有：x+2（x﹣3）＝12+6，解得x＝8．此时，点C即为点M所表示的数为6和这个最小值10．综上所述，当点M出发4秒或8秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度．此时数轴上存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小．相遇前（x＝4），点C即为点N，所表示的数为8和这个最小值8；相遇后（x＝8），点C即为点M，所表示的数为6和这个最小值10．23。

一元一次方程【培优图解】【技法透析】1．一元一次方程的有关概念(1)方程：含有未知数的等式叫方程：由方程的定义可知：判断一个数学式子是否为方程，只需要看它是否具备以下两个条件：①这个式子必须是等式，②这个等式中必须含有未知数，这两个条件缺一不可，否则就不是方程．方程必是等式，但等式不一定是方程．(2)方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．“解方程”是指确定方程的解的过程，也就是把方程进行变形的过程，因此，“解方程”与“方程的解”是两个完全不同的概念．(4)一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1，这样的方程叫一元一次方程，判断一个方程是不是一元一次方程，必须具备以下三个条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数为1，且系数不为0．如方程x－23x=是分式方程而不是整式方程，方程3x－2y＝1中含有两个未知数，方程2x－5＝x2＋1中未知数的最高次数为2（次），因此，这三个方程都不是一元一次方程．像方程5x－3＝5（x－1），从表面上看，好像是一元一次方程，其实经过化简后这个方程变为－3＝－5，就不是一元一次方程；而像方程x2－2x－3＝x2＋5，表面上看它是一元二次方程，其实经过化简后，这个方程变为－2x＝8，所以实际上它是一元一次方程．2．等式的性质(1)等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式，即：如果a＝b，则a±c＝b±c．(2)等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数所得的结果仍是等式．即：如果a＝b，则ac＝bc，a bc c =．(c≠0)3．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母：即在方程的左、右两边都乘以各分母的最小公倍数，去公母的依据是等式的性质2．去分母时要防止漏乘不含分母的项，同时要把分子（如果含几项）作为一个整体用括号括起来，以及分母约分后“1”省略不写．(2)去括号：去括号的依据是去括号法则及乘法分配律．去括号时先要分清括号前是“＋”还是“－”号，不要弄错符号，还要防止漏乘括号里后面的项．(3)移项：移项是解方程常用的一种变形．移项的依据是等式的性质．一般是把含有未知数的项移到方程的左边，把不含未知数的项都移到方程的右边．注意移项一定要变号．(4)合并同类项：运用合并同类项法则，将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．合并同类项的依据是乘法分配律．(5)系数化为1：即在方程左、右两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x＝ba ．系数化为1的依据是等式的性质2，它是解一元一次方程的最后_步变形，经过系数化为1的变形就可以求出未知数的值，从而得到一元一次方程的解．在系数化为1时，两数相除不要写反了，要明确哪个是被除数，哪个是除数，不要颠倒了．在解方程时，需要我们既要学会按部就班（严格按步骤），又要能随机应变（可根据方程的结构特征灵活打乱步骤）．4．含字母系数的一元一次方程含字母系数的一元一次方程总可以化为：ax＝b的形式．当字母a、b的取值范围未给出时，则要讨论解的情况，其方法是：(1)当a≠0时，方程有唯一解，即x＝b a(2)当a＝0，b＝0时，方程有无数个解；(3)当a ＝0，b ≠0时，方程无解．5．解一元一次方程的常用技巧(1)有多重括号时，去括号与合并同类项可交替进行：(2)当括号内含有分数时，常由外向内去括号再去分母；(3)当分母中含有小数时，先用分数的基本性质化为整数；(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作是一个整体进行变形．6．列方程解应用题的一般步骤(1)审清题意，即弄清题目中已知什么，要求什么，明确各个数量之间是什么关系．(2)找相等关系，要善于从应用题中发现直接的或隐含的表示已知数和未知数全部含义的相等关系．(3)设未知数，并列出相应的数量关系的表达式，设未知数有直接设法与间接设法．(4)列方程，将相等关系转化为方程．(5)解方程，求出所列方程的解，求解的过程可以简化．(6)检验并作答，检验所解得的方程的解是否符合题意或实际问题，最后再作答．“设”与“答”要带单位，且单位要统一．【名题精讲】考点1 利用一元一次方程的定义解题例1 已知方程（m －2）1m x -＋16＝0是关于x 的一元一次方程．求m 的值和方程的解．【切题技巧】 由一元一次方程的定义可知：关于x 的一元一次方程的条件是只含有一个未知数，未知数的次数为1且其系数不为0，于是应有：m －2≠0，11m -=．从而可求得m 的值及相应的方程的解．【规范解答】【借题发挥】 一元一次方程必须同时满足以下三个条件：①必须是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的次数为1且系数不为0，利用定义法解题是数学解题的一种方法，从本质上说，数学中的定理、公式、法则和性质等，都是由定义和公理推演出来的．巧用定义法解题必须对定义有透彻的理解．【同类拓展】 1．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程．(1)求代数式200(m ＋x)（x －2m ）＋10m 的值．(2)求关于y的方程m1y-＝x的解．考点2一元一次方程的解法例2 解方程3211112223422x x⎡⎤⎛⎫++-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．观察方程结构特征：32与23互为倒数，32×2是整数，故解此方程时先不急于去分母，而应先去中括号，再去小括号计算较简便．【规范解答】去中括号得：111132422x x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭去小括号整理得：131 422 x x+=移项合并得：13 42x-=-系数化为1得：x＝6【借题发挥】灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有：①若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；②若括号内含分数时，则由外向内先去括号、再去分母；③恰当运用整体思想，因此在解方程时，既要学会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤．【同类拓展】2．如果x＝2是111471019632x a⎧⎫⎡⎤+⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭的解．那么a＝_______．考点3含字母系数的一元一次方程例3 解关于x的方程：2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x【切题技巧】先将原方程整理为“ax＝b”的形式，因为是字母系数的一元一次方程，所以必须讨论方程解的情况．【规范解答】原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2）①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x2 24aa+ =-②当a＝0时，方程有无数个解；③当a＝2时，方程无解．【借题发挥】含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝ba；当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．【同类拓展】3．如果a、b为常数，关于x的方程：223kx a x bkb+-=+，无论k为何值时，它的解总是1．求a、b的值．考点4设元技巧例4 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加1倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则从乙港返回甲港需航行( ) A．0.5小时B．1小时C．1.2小时D．1.5小时【切题技巧】本题要求从乙港返回甲港所需的时间，则需要求甲、乙两港间的距离及顺水航行的速度，故可考虑设辅助未知数，设甲、乙两港的距离为S，船在静水中的速度为x0，原水流速度为x1，依题意有：【规范解答】 B【借题发挥】恰当、合理地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定，对未知元的选择，有时可将要求的量作为未知数（即问什么设什么）称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元（即所设的不是所求的，但更易找出符合题意的数量关系与相等关系）称此为间接设元；有时应用题中隐含一些未知的常量，这些量对求解无直接联系；但如果不指明这些量的存在，则难求其解．因此需要把这些未知的常量设为参数，以便建立相等关系，称此为辅助设元，辅助设元的目的不是为了求其值，而是为列方程创造条件．【同类拓展】4．A和B分别从甲、乙两站于早上8：00出发相向而行，40分钟相遇，相遇后，两人继续向前，A到达乙站后立即返回，又行走了全程的1516后追上B，A追上B时是_______时_______分．考点5常见题型的应用题例5初一(1)班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5，并且这两个小组都不参加的人数比两小组都参加的人数的14多2，则同时参加这两个小组的人数是( )A．16 B．12 C．10 D．8【切题技巧】本题较复杂、数量较多，我们可以把该班人数分四个部分，即：两个小组都参加，仅参加数学小组，仅参加英语小组，两个小组都不参加．于是可设同时参加这两个小组的有x人，则仅参加数学小组的有(36－x)人．仅参加英语小组的有（36－5－x）人．两个小组都不符加的有(14x＋2)人，依题意有：x＋(36－x)＋(36－5－x)＋(14x＋2)＝60∴x＝12．【规范解答】 B【借题发挥】常见题型的应用题包括：行程与时钟问题，工程与比例分配问题，浓度与调配问题；数字与日历、数表问题；市场营销与方案决策问题；增长率等，这类应用题在中考、竞赛中一直是热点之一，需要我们认真审题，分清各类应用题的基本数量关系，运用画线段示意图和列表格的方式来帮助分析题意，使题意变得直观、清晰．5．将连续的奇数：1，3，5，7，……排成如右图数表，用十字框任意框出5个数，十字框框出的五个数之和能等于2000吗？能等于2010吗？能等于2055吗？若能，请写出十字框框出的五个数．考点6情景应用题例6某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：(1)若一次性购物少于200元，则不优惠；(2)若一次性购物满200元，但不超过500元，按标价给予9折优惠；(3)若一次性购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）按标价给予9折优惠，超过500元部分按标价8折优惠．李明两次去超市购物，分别付款198元和554元．现在王娟准备一次性地购买和李明分两次购买同样多的物品，她需付多少元？【切题技巧】先根据两次购物的付款情况分别对购物款作一个初步估计，因为第一次付款为198元，有可能未享受优惠，也有可能是打九折后的付款，故有两种情况，而第二次付款为554元，显然第二次的购物款超过了500元，再分别求出两次的实际购物款．【规范解答】【借题发挥】解数学情景应用题要在读懂材料并理解题意的基础上，用数学的眼光去观察问题，理解题意，培养数学应用意识，解决问题．本例中要分情况讨论，购物超过500元时，应分段累计付款，“打n折”的含义为按标价的n×10%付款．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资不超过800元的不需交税，超过800元的部分为全月应纳锐所得额，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如表；某人3月份纳税款为117.10元，求他当月的工资是多少？参考答案1．(1)2010 (2)y＝5或y＝－3.2．－43．1324 ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩4．9时55分．5．不能为2000 也不能为2011 能等于2055，且这五个数分别为：409，411，413，399，423.6．2221元．。

专题四 一元一次方程的应用（1）销售中的盈亏在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： （1） 标价＝进价×（1＋利润率） （2） 实际售价＝标价×打折率 （3） 利润＝售价－成本（进价） （4） 利润＝成本×利润率（5） 利润率＝100% 利润进价1、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件亏损25%，另一件盈利25%，则卖这两件衣服总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏？2、某件商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品？3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x 元，那么所列方程为（ ）A.45%×（1+80%）x-x=50B. 80%×（1+45%）x - x = 50C. x-80%×（1+45%）x = 50D.80%×（1-45%）x - x = 504．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．5、 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？（2）储蓄、储蓄利息问题(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。

利息的20%付利息税(2）利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%） (3）%,100⨯=本金每个期数内的利息利润1. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

2020-2021学年七年级数学上学期期末考试高分直通车【人教版】专题1.5一元一次方程的应用14大类型热门考点精讲精练【目标导航】【知识梳理】列一元一次方程解应用题的五个步骤(1)审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．(2)设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．(3)列：根据等量关系列出方程．(4)解：解方程，求得未知数的值．(5)答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．【典例剖析】【考点1】一元一次方程的应用——分配问题【例1】（2019秋•台江区期末）把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．这个班有多少学生？【变式1.1】（2022·全国·七年级专题练习）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．(1)该工厂有男工、女工各多少人？(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？【变式1.2】（江苏省常州市兰陵中学2019-2020学年七年级上学期12月月考数学试题）已知甲队有45人，乙队有30人，如果要使乙队人数只有甲队人数的一半，那么需要从乙队抽调多少人去甲队？【变式1.3】（江苏省盐城市射阳外国语学校2020-2021学年七年级上学期第二次月考数学试题）某中学有住宿生若干人，若每个房间住8人，则有3人无处住；若每个房间住9人则有两张空床位，问该中学有宿舍多少间，住宿生有多少人？【考点2】一元一次方程的应用——配套问题【例2】（2019秋•临西县期末）在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？【变式2.1】（2022·湖北·武汉市武珞路中学七年级期中）（1）某轮船顺水航行3h，逆水航行1.5h，已知轮船在静水中的速度为akm/h，水流速度是ykm/h，求轮船顺水航程与逆水航程两个相差多少？（2）一套仪器由两个A和三个B部件构成，用1m3钢材可做20个A部件或者50个B部件，现有8m3钢材做这种仪器，用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？【变式2.2】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有38张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？【变式2.3】（2022·全国·七年级专题练习）小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．(1)若有11张白板纸．①请完成如表；①求最多可做几个包装盒；(2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？(3)若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．【考点3】一元一次方程的应用——行程问题【例3】（2019秋•龙泉驿区期末）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明．（1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？（2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？（3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？【变式3.1】（2022·湖南·平江县龙门镇龙门中学七年级期中）小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）(2)则小刚用几分钟可以追上小明？【变式3.2】（江苏省无锡市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）列方程解应用题：已知两地相距300千米，甲车的速度为每小时75千米，乙车的速度为每小时45千米．(1)若两车分别从A、B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），问经过多长时间甲车追上乙车？(2)若两车同时从A、B两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？【变式3.3】（宁夏银川北塔第二中学2021-2022学年七年级上学期数学期末题）周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：(1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度；(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题【例4】（2019秋•武清区期末）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/小时，船在静水中的速度为8km/小时．已知甲、丙两地间的距离为2km，求甲、乙两地间的距离是多少千米？（注甲、乙、丙三地在同一条直线上）【变式4.1】（4.5一元一次方程单元练习（提优）-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义（苏科版））轮船在静水中的航行速度25km/h，水流速度为5km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用6h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．【变式4.2】（河南省南阳市九中2021-2022学年七年级数学下学期第一阶段综合练习题）小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B两地之间的路程．【变式4.3】（江苏省南通市八一中学2021-2022学年七年级上学期第二次阶段训练数学试题）列一元一次方程解应用题：在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．【考点5】一元一次方程的应用——工程问题【例5】（2019秋•遵化市期末）甲、乙两人要各自在车间加工一批数量相同的零件，甲每小时可加工25个，乙每小时可加工20个．甲由于先去参加了一个会议，比乙少工作了1小时，结果两人同时完成任务，求每人加工的总零件数量．【变式5.1】（2022·河南·金明中小学七年级阶段练习）某工厂要制作一块广告牌，请来三名工人，已知甲单独做12天可完成，乙单独做20天可完成，丙单独做15天可完成．现在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙两人合作完成，(1)余下的工作乙和丙两人合作多少天才能完成？(2)完成后，工厂支付酬金4800元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么应如何分配？【变式5.2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面，装修公司计划雇用A级技工和B级技工共10人粉刷房间．若1名B级技工晋级为A级技工，则A级技工和B级技工的人数恰好相等．(1)求原计划中A级技工、B级技工各多少名？(2)在实际工作中，一天3名A级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名B级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面．每名A级技上比B级技工一天多粉刷10m2墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．【变式5.3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．(1)求风华中学一共有多少个教室？(2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？(3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案【考点6】一元一次方程的应用——积分问题【例6】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？【变式6.1】（2022·广东·丰顺县东海中学七年级阶段练习）在一次有12个队参加的足球单循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在这次足球赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积18分，该队战平几场？【变式6.2】（2022·江苏·七年级专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．(1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？(2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？【变式6.3】（2022·山东潍坊·七年级期末）某次篮球联赛积分榜在这次篮球联赛中，设某队胜的场数为x（场），积分为y（分）．(1)写出y与x之间的关系式；(2)在这次篮球联赛中，未来队的积分是多少分？(3)某队的胜场积分能等于它的负场积分吗？【考点7】一元一次方程的应用——数字问题【例7】一个两位数，把它的个位数字与十位数字交换位置得到新两位数，原两位数的个位数字比原两位数的十位数字大2，且新两位数与原两位数的和为154，求原两位数是多少？【变式7.1】（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级阶段练习）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4,y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”(1)直接写出最小的“和平数”是__________，最大的“和平数”是_________；(2)如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍．且百位上的数字与十位上的数字之和是13．请求出所有的这种“和平数”；【变式7.2】（2022·宁夏·同心县第四中学七年级期中）下列数阵是由50个偶数排成的．(1)图中框内的4个数的和与4有什么关系？(2)在数阵中任意做一类似于（1）中的框，设第一个数为x，则第二个数为x+2，那么其他2个数为______ 、______．(3)如果四个数的和是172，求出这4个数？【变式7.3】（2022·广东广州·七年级期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示数表：(1)十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？(2)设中间数为a，用式子表示十字框中五个数之和；(3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？(4)十字框中的五个数之和能等于2022吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题【例8】甲、乙两年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，今年甲的年龄有岁．【变式8.1】（黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2021—2022学年七年级上学期10月数学（五四制）考试，哥哥现在年龄是试卷）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，而9年前弟弟的年龄只有哥哥的年龄的15多少？【变式8.2】（陕西省宝鸡市陇县2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）已知小明的年龄是m岁，还多1岁．小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12(1)求这三名同学的年龄的和；(2)小红比小华大几岁？【变式8.3】（整式的加减单元大综合）游戏规则组员把自己的年龄加上10，结果乘以10，再减去10，再减去自己的年龄，结果除以9，将自己计算的结果告诉组长，组长就知道你的实际年龄．请你指出这个游戏背后的数学原理．【考点9】一元一次方程的应用——日历问题【例9】生活与数学（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10：（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为26：（3）在第（2）题中这八个数之和不能为101（填“能”或“不能”）．【变式9.1】（2022·广东·丰顺县三友中学七年级阶段练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则：(1)这7个数的和为；(2)这7个数的和可能是49吗？说明理由．【变式9.2】（2022·福建省厦门第六中学七年级期中）如图1是2022年7月的日历，图2是图1中用一个方框圈出的任意3×3个数，要求为框中圈出的数不能空白．图1图2(1)a可以用含e的代数式表示为____________；(2)若a+e+i=42时，求出图2中c所表示的日期；(3)在这个月的日历中，求证：e+f+ℎ+i的值能被4整除．【变式9.3】（2022·北京市广渠门中学七年级期中）如图1是2022年2月的日历表：(1)在图1中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为_________；(2)在图1中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为_________；(3)在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为53，则这五个数字从小到大依次为_________；(4)在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2023吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题【例10】列一元一次方程解应用题：某校为了开展“阳光体育运动，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？【变式10.1】（江苏省盐城市阜宁县2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_____________（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_____________请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题．【变式10.2】（河南省南阳市唐河县2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？【变式10.3】（广西玉林市北流市、兴业县、陆川县、福绵区、容县2021-2022学年上学期七年级期末数学试题）七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍．甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍都按定价实行9折优惠．(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店购买付款一样多？【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题【例11】（1）在番禺某中学举行的”弘扬祠堂文化，凝聚乡情”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？【变式11.1】（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级阶段练习）陈光以120元的价格分别卖出两双鞋，一双盈利20%，一双亏损20%这两笔销售中，陈光盈利还是亏损多少钱？【变式11.2】（2022·重庆市第七中学校七年级阶段练习）惠民超市“十一”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过200元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过500元，其中500元按上述给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠.(1)刘阿姨在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，她应付多少元？(2)何叔叔先后两次去该超市购物，分别付款189和554元，如果何叔叔一次性购买，只需要付款多少元？【变式11.3】（2020·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学七年级阶段练习）“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获得100元，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获得1000元；如果进行精加工，每天加工0.5吨，每吨可获得5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了两种方案：方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利元方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利元问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【考点12】一元一次方程的应用——销售问题【例12】（2020春•市中区校级月考）肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？【变式12.1】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示．(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？(3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？【变式12.2】（2022·湖南·七年级单元测试）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为元，利润率为％(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？【变式12.3】（2022·重庆巴蜀中学七年级阶段练习）绿叶水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：(1)绿叶水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？(2)绿叶水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？【考点13】一元一次方程的应用——分段计费问题【例13】（2019春•宜宾期中）某市电力公司对全市用户采用分段计费的方式计算电费，收费标准如下表所示：若某用户7月份的电费是139.2元，则该用户7月份用电为多少度？【变式13.1】（2022·广东·石门中学七年级阶段练习）为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表：某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费43.2元．(1)求a的值．(2)若该户居民七月份所缴水费为80.8元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）．【变式13.2】（2022·福建漳州·七年级期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）：(1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交多少电费？(2)如果某户居民某月用电a度(220≤a<420)，请用含a的代数式表示该户居民该月应交电费．(3)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？【变式13.3】（2022·浙江杭州·七年级期中）为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费2元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费2.5元；小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过20吨．(1)如果小红家每月用水15吨，则水费是元；如果小红家每月用水23吨，则水费是元．(2)如果字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该如何用x的代数式表示．当0≤x≤20时，每个月的水费为：（用含x的代数式表示）；当x>20时，每个月的水费为：（用含x的代数式表示）；(3)小红家第二季度交纳水费的情况如下：。

2021年中考数学阶段复习高频考点专题集训《一元一次方程及应用》必考知识点巩固与提升练习一．选择题.1. 下面式子是方程的是( )A ．x ＋3B ． x ＋y ＜3C ．2x 2 ＋3 ＝0D ．3＋4 ＝2＋52.下列说法不正确的是( )A.若a=b,则a+2c=b+2cB.若a m =b m ,则a=bC.若ac=bc,则a=bD.若a=b,则a 2=b 23.方程2+2x -43=-x -76去分母得( )A.2+2(2x-4)=-(x-7)B.12+2(2x-4)=-x-7C.12+(2x-4)=-(x-7)D.12+2(2x-4)=-(x-7)4. 在方程①3x −4 ＝7；②2x ＝3；③5x −2 ＝3；④3（x ＋1）＝2（2x ＋1）中解为x ＝1的方程是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④5.对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b 两数中较大的数,例如max{2,4}=4.按照这个规定,那么方程max{x,-x}=2x+1的解为x=( )A.-1B.-13C.1D.-1或-13 6.一件工程,甲单独做需12天完成,乙单独做需8天完成,现先由甲、乙合作2天后,乙有其他任务,剩下的工程由甲单独完成,则甲还需要 天才能完成该工程.( )A.634B.713C.6D.77. 某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v ，回来的速度是2v ，则他 的平均速度为( )A ．122v v + B ．12122v v v v + C ．12122v v v v + D ．1212v v v v +8.北流市某风景区的门票价格在2019年国庆期间有如下优惠:购票人数为1~50人时,门票价格为每人50元;购票人数为51~100人时,门票价格为每人45元,购票人数为100人以上时,门票价格为每人40元.某初中初一有两班共103人去该风景区,如果两班都以班为单位分别购票,一共需付4 860元,则两班人数分别为( )A.56,47B.57,48C.58,45D.59,44 二．填空题.9. 已知关于x 的方程(m ＋2)x m ＋4 ＝2m －1是一元一次方程，则x ＝_______．10. 小马虎在解关于x 的方程2a-5x=21时,误将“-5x”看成了“+5x”,得方程的解为x=3,则原方程的解为 .11.要使式子3x+17-3和1-2x 3-1的值不相等,则x 不能取的值是 .12. 已知方程2x+k=6的解为正整数,则k 所能取的正整数值为_ _.13.已知关于x 的方程2x+15a=x-1的解和方程2x+4=x+1的解相同,则a= .14.解古算题:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱四十八,乙得甲太半而亦钱四十八.甲、乙持钱各几何?题目大意是:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有48钱,如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有48钱.则甲带了 钱.15.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样写呢?我们以无限循环小数0.7·为例进行说明:设0.7·=x,由0.7·=0.777 7…可知,10x=7.777 7…,所以10x-x=7,解方程,得x=79,于是,得0.7·=79.将0.45··写成分数的形式是 .16. m 辆客车及n 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m ＋10＝43m －1； ②4314010+=+n n ； ③4314010-=-n n ； ④40m ＋10＝43m ＋1，其中正确的是__ _.三．解答题.17. 解方程:(1)7-2x=3-4(x-2); (2)3x+13-x+16=1.18.(新定义运算题)阅读理解:我们把|a b c d |称作二阶行列式,规定它的运算法则为|a b c d |=ad-bc ,例如|2 34 5|=2×5-3×4=-2.如果有|2 3-x 1 x|=0,求它的解.19. 用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形,若大长方形的周长是14,则小长方形的长和宽.20.新冠肺炎疫情期间,安徽共出动八批,共计1 362位医护人员驰援武汉,他们是新时代最可爱的人.3月19日,第二批和第八批医护人员共130人乘坐飞机返回合肥,其中第二批人数是第八批人数的3倍还多10人,那么第八批有多少名医护人员?21. 两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以63m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?22.用正方形硬纸板做三棱柱盒子,如图1,每个盒子由3个长方形侧面和2个三边均相等的三角形底面组成,硬纸板以如图2两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用),现有19张硬纸板,裁剪时x张用了A方法,其余用B方法.(1)用含x的式子分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?。