例析圆锥曲线中常见的几种误区

圆锥曲线易错点剖析作者：王庶来源：《高中生学习·高二理综版》2011年第12期圆锥曲线问题是高考命题的重点内容，在高考中属于中等或中等以上的题型，同学们在解题过程中常常会出现这样或那样的错误，有的错误还不容易发觉.一、概念一知半解我们认识一种新事物往往从定义概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们有许多同学一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误．1．圆锥曲线第一定义椭圆：与两个定点[F1、F2]距离的和等于常数[2a]，且[2a一定要大于F1F2]，当常数等于[F1F2]时轨迹是线段[F1F2]，当常数小于[F1F2]时，没有轨迹；双曲线：与两定点[F1、F2]距离之差的绝对值等于常数[2a]，且常数[2a]一定要小于[F1F2]，当[F1F2]=[2a]时，轨迹是以[F1、F2]为端点的两条射线，当[F1F2>2a]时，则轨迹不存在，若去掉绝对值其轨迹表示双曲线的一支．例1 （1）已知定点[F1(-3,0)、F(3,0)]，且动点[P]满足[PF1+PF2=6]，则动点[P]的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 两条射线D. 一条线段（2）若动点[P(x,y)]满足[(x-6)2+y2-][(x+6)2+y2][=8]，则动点[P]的轨迹是（）A. 双曲线B. 两条射线C. 双曲线左支D. 双曲线右支解析（1）由椭圆的定义可知常数[2a]一定要大于[F1F2]时才是椭圆，当常数等于[F1F2]时，轨迹是线段[F1F2]，故选D；（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C．2．圆锥曲线第二定义若平面上动点[P]到一个定点的距离与到一条定直线距离之比为一个常数[e]，则当[01]时，轨迹为双曲线；当[e=1]时，轨迹为抛物线. 要注意定点、定直线是相应的．例2 （1）已知双曲线方程为[3x2-y2=9]，双曲线右支上的点[P]到右焦点的距离为[3]，则点[P]到准线[x=-32]的距离为（）A. [32]B. [23]C. 2D. [32+3]（2）已知椭圆方程为[x225+y29=1]，椭圆上一点[M]到左焦点的距离为6，则点[M]到右准线的距离为解析（1）此题易出错的原因是要记住右焦点对应右准线，要看清题中所给的焦点和准线是否相应，这需要我们对第二定义的概念要清楚．根据第二定义求出点[P]到右准线的距离为[32]，则点[P]到左准线[x=-32]的距离为[32+3]．（2）根据第二定义，左焦点对应左准线先求出点[M]到左准线的距离[d1=152]，则点[M]到右准线的距离为[d2=2×254-152=5]．二、忽视变量范围在解决圆锥曲线综合性问题时，要考虑圆锥曲线本身变量的范围，而在进行纯代数运算时往往容易忽视．例3 已知曲线[C：y=20-x22]与直线[l]：[y=-x+m]仅有一个公共点，求[m]的取值范围．错解曲线[C]化简得[x2+4y2=20]，由于曲线[C]与直线[l]只有一个公共点，由[y=20-x22,y=-x+m,][⇒][5x2-8mx+4m2-20=0][⇒][Δ=0],解得[m=±5.]正解方程[x2+4y2=20]与原方程[y=20-x22]并不等价，因为[y≥0]，故原曲线[C]表示的是椭圆[x]轴的上半部分．根据题意将曲线图象画出.由图象可知[m=5或-25≤m点拨在方程化简过程中一定要注意变量的取值范围和等价性，数形结合有助于我们解决此类问题.三、考虑问题不周全在解决圆锥曲线有关问题时，首先要对焦点位置进行判断，否则很容易造成经验性错误；在求解直线与圆锥曲线问题时，要注意对直线与曲线位置进行判断，尤其是特殊情况．例4 设双曲线的渐近线方程为[y=±32x]，求双曲线的离心率．错解由双曲线的渐近线方程[y=±32x]知[ba=32][⇒e=1+b2a2=132.]正解仅由双曲线的渐近线方程是无法判断焦点位置的，本题出错的原因是同学们的惯性思维和思维不严谨的结果，应分两种情况：当焦点在[x]轴时，[e=1+b2a2=132]；当焦点在[y]轴时，[e=1+(23)2=133]．例5 设点[P(x,y)]在椭圆[4x2+y2=4]上，求[x+y]的最大值和最小值．错解 [∵4x2+y2=4, ∴4x2≤4]，解得[-1≤x≤1].同理得[-2≤y≤2.]故[-3≤x+y≤3]，最大值为3，最小值为[-3]．正解法一：设[x+y=k]，则[y=-x+k]，[k]为直线[y=-x+k]在[y]轴上的截距，由数形结合可知：当直线与椭圆在第一象限相切时，[k]取得最大值；当直线与椭圆在第三象限相切时，[k]取得最小值.联立方程[4x2+y2=4y=-x+k][⇒5x2-2kx+k2-4=0.]由于相切时取最大值和最小值，则[Δ=(2k)2-4×5×(k2-4)=0,]解得[k=±5]，即最大值为[5]，最小值为[-5].法二：[∵4x2+y2=4, ∴x2+y24=1,]设[x=cosα,y=2sinα,]则[x+y=cosα+2sinα][=5sin(α+θ).][∵-1≤sin(α+θ)≤1,][∴-5≤5sin(α+θ)≤5,]即[-5≤x+y≤5.]点拨本题中的[x、y]除了满足[-1≤x≤1]，[-2≤y≤2]以外还受条件[4x2+y2=4]制约，在做题时要考虑全面，防止范围扩大导致答案错误．四、忽略隐含条件在解决圆锥曲线综合性问题时，一定要善于挖掘题中所给的隐含条件，比如参数变量的范围、圆锥曲线图象特征等．例6 已知双曲线方程为[x2-y22=1]，过点[P(1,1)]能否作一条直线[l]与双曲线交于[A、B]两点，且点[P]为[AB]的中点．错解当直线的斜率不存在时，此时直线过点[P]垂直于[x]轴过点[(1,0)]，与双曲线只有一个交点，很显然不符合题意．当直线斜率存在时，设直线方程为[y-1=k(x-1)]，联立方程[x2-y22=1]，整理得[(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0]，设[A(x1,y1), B(x2,y2)],由根与系数的关系得[x1+x2=2k(1-k)2-k2]，又因为点[P]为[AB]的中点，所以[2k(1-k)2-k2=2,]解得[k=2]，故存在这样的直线方程为[y=2x-1].正解由题目条件可知直线与曲线交于不同两点，故[Δ>0]，而当[k=2]时其[Δ点拨在解决圆锥曲线问题时，我们定要考虑全面，不能漏解，尤其是有关直线与圆锥曲线问题一定要注意对隐含条件判别式[Δ]符号的判断．例7 已知曲线[C:y=x2]与直线[l:x-y+2=0]交于两点[A(xA,yA)]和[B(xB,yB)]，且[xA （1）若点[Q]是线段[AB]的中点，试求线段[PQ]的中点[M]的轨迹方程；（2）若曲线[G:x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]与[D]有公共点，试求[a]的最小值．解（1）联立[y=x2]与[y=x+2]解得[xA=-1,xB=2]，则[AB]中点[Q(12,52)]，设线段[PQ]的中点[M]坐标为[(x,y)]，则[x=12+s2,][y=52+t2]，即[s=2x-12,t=2y-52].又点[P]在曲线[C]上，∴[2y-52=(2x-12)2]，化简可得[y=x2-x+118]，又点[P]是[L]上的任一点，且不与点[A]和点[B]重合，则[-1∴中点[M]的轨迹方程为[y=x2-x+118][(-14（2）曲线[G:x2-2ax+y2-4y+a2+5125=0]，即圆[E: (x-a)2+(y-2)2=4925]，其圆心坐标为[E(a,2)]，半径[r=75.]由图可知：当[0≤a≤2]时，曲线[G:x2-2ax+y2-4y+][a2+5125=0]与点[D]有公共点；当[a点拨在求圆锥曲线轨迹方程问题时，要注意轨迹的纯粹性，去杂堵漏，挖掘题中隐含条件，约束变量范围，有时还要借助分类讨论来确定．。

圆锥曲线易错点分析圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，下面摘取一些常见的错误展示出来，希同学们在学习时要引起重视。

例1、双曲线x 29 - y 216 =1上有一点P 到左准线的距离为165,则P 到右焦点的距离为 。

错解：设F 1、F 2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x 29 - y 216=1，易求得a=3,c=5,从而离心率e ＝53 ,再由第二定义，易求|PF 1|=ed 1＝161635=⨯，于是又由第一定义6212==-a PF PF ，得|PF 2|=3166±。

剖析：以上出现两解的原因是考虑到P 而事实上P 若在右支上，则其到F 1的最短距离应为右顶点A 2到F 1的距离| A 2 F 1|＝a+c ＝8，而8316<，故点P 于是|PF 2|=3343166=+。

小结：一般地，若|PF 1| ≥ a+c,则P 可能在两支上，若|PF 1| < a+c,则P 只能在一支上。

例2、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)离心率为32，求双曲线的方程。

错解：由48,16:,8,2222=∴===b a c ca 得,于是可求得双曲线的方程为 1481622=-y x 。

点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为32 。

错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。

正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。

由此看来，判断准方程的类型是个关键。

例3、过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==142kx y x y ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。

高中生在圆锥曲线学习中出现的典型错误及其成因分析高中生在圆锥曲线学习中出现的典型错误及其成因分析圆锥曲线作为高中数学课程的一部分，是较为复杂且抽象的内容之一。

在学习圆锥曲线的过程中，高中生常常会出现一些典型的错误。

这些错误可能来自于不同的成因，包括学习方法不正确、概念理解不清晰以及数学思维能力欠缺等。

在本文中，我们将对高中生在圆锥曲线学习中常见的典型错误进行分析，并探讨其成因。

典型错误一：混淆焦点与顶点的概念在圆锥曲线的学习中，焦点与顶点是两个重要概念。

然而，许多高中生常常将焦点与顶点混淆，无法正确区分二者的概念与作用。

焦点是指在圆锥曲线上的一个特殊点，而顶点则是圆锥曲线的最高或最低点。

混淆这两个概念的原因可能是对定义的理解不够清晰，或者在实际操作中没有正确使用这两个概念。

典型错误二：误以为所有圆锥曲线的焦点在x轴上另一个常见的错误是，许多高中生错误地认为所有的圆锥曲线的焦点都在x轴上，而忽略了其他可能的位置。

实际上，焦点的位置取决于圆锥曲线的方程，可在x轴上、y轴上或者和两轴都不重合的位置上。

这种错误可能源于对焦点概念的模糊理解，以及对圆锥曲线的不同类型和方程的不熟悉。

典型错误三：困惑于椭圆与双曲线椭圆和双曲线是两种常见的圆锥曲线。

然而，许多高中生会在这两者之间产生困惑，无法准确区分和辨别。

椭圆是一个封闭的曲线，而双曲线则是一个分离的曲线。

困惑的原因可能是对椭圆和双曲线的定义和性质不了解，以及在绘制图形时没有正确使用相关的方程和技巧。

典型错误四：缺乏具体例题的实践训练圆锥曲线的学习需要进行大量的实践训练和例题演练。

然而，许多高中生在实践中犯错。

这可能是因为他们缺乏足够的实践经验，没有掌握解题的方法和技巧。

只有在多次的练习中，通过反复的实践才能逐渐掌握正确的方法和技巧。

典型错误五：数学思维能力不足最后一个常见错误是高中生的数学思维能力不足。

圆锥曲线的学习需要灵活的思维和逻辑能力，而许多高中生在这方面存在困难。

圆锥曲线中常见错误剖析圆锥曲线是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。

纵观近几年各地的高考试卷，以圆锥曲线为背景的试题设计上，命题者虽然在立意创新、知识的综合和交叉、数学方法的渗透上动了不少脑筋，但总的来说在解法上还是以考查圆锥曲线的通性通法为主，注重的是常规思路。

即便如此，考生在此类题目的考试中得分率并不高，其中一个重要原因是平时学习时，对圆锥曲线中的一些常见错误认识不足。

本文试图对圆锥曲线中的一些易错点作简单剖析，希望引起同学们的注意。

一、机械套用圆锥曲线的定义导致错误例1 已知F 1、F 2是双曲线1201622=-y x 的焦点，P 为双曲线上一点，若P 点到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

(2003年某某卷改变)错解双曲线的实轴长为8，由双曲线定义知8||||.||21=-PF PF ，即8|||9|2=-PF ，得|PF 2|=1或17。

剖析上述解法由于机械套用了双曲线定义，从而导致错误。

事实上，设F 1为左焦点，因为右顶点到左焦点的距离为10>9，所以P 点必在双曲线的左支上，从而|PF 2|=1不合，所以|PF 2|=17。

二、盲目套用标准方程导致错误例2 已知橢圆的一个焦点F （0，22-），对应的准线方程为：429-=y 且离心率e 满足：32,,31e 成等比数列，求这个橢圆的方程。

错解∵橢圆的一个焦点F （0，22-），∴c=22 ，又橢圆的一条准线方程为：429-=y ， ∴4292=c a ，∴,92=a b 2=1 ∴橢圆方程为.1922=+x y 剖析本题解法的错误是默认椭圆是标准情形，盲目套用了标准方程，从而给人造成一种题目条件多余的错觉。

其实，只有对标准情形下的圆锥曲线，在求方程时，我们可以用待定系数法求基本 几何量来解决，当圆锥曲线不能定位时一般采用定义法求解。

正确解法如下：∵橢圆的一个焦点F （0，22-），相应的准线方程为：429-=y .又由橢圆的离心率e 满足：32,,31e 成等比数列，可求得：32=e ,设橢圆上任意一点P （x ，y ），P 到焦点F 对应的准线距 离为d ，由橢圆的第二定义得e d PF=，即e d PF ⋅=，∴32429)22(22⋅+=++y y x 化简即得0423239722=+++y y x 是一个中心不在原点的橢圆.三、忽视特殊情形导致错误例3 已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P 的轨迹为 W. （2006年卷）（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA 、OB 的最小值.错解（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a = c=2，故虚半轴长2=b ，所以 W 的方程为22122x y -=（x ≥。

圆锥曲线问题的三个易错点解决圆锥曲线的有关问题是高考的重要内容之一，在平时的学习中只有加深对概念、公式和方法的理解，才能自觉地辨析正误，增强了防错的能力，提高解题的效率.现举例供大家参考.易错点一：忽视定义中的隐含条件致误例1.已知动点(,)P x y满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）.A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆错解辨析：由已知条件|3411|x y =+-可得15=表示(,)P x y 到定点为（1,2）的距离等于到直线3411x y +-＝0的距离，故表示抛物线，选B.策略：以上解法利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上，故正确选项应为A.我们在利用圆锥曲线的统一定义解题时，一定要避免忽视定义中的隐含条件致误.易错点二：忽视直线存在性的检验致误例2.已知双曲线2212y x -=,过(1,1)P 能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？错解辨析：设能作直线l 满足条件，设A （11y x ，），B （22y x ，），则有221112y x -=，222212y x -=，化简得()212121212y y x x x x y y ++=--，P AB 的中点为 （1，1）222121=+=+∴y y x x ，，，得12122AB y y k x x -==-，直线l 的方程为12(1)y x -=-，即存在直线l ，其方程为12-=x y .以上解法忽视了对直线l 的存在性的检验，把直线12-=x y 代入双曲线方程中得03422=+-x x ，其判别式()032442<⨯⨯--=∆，即直线与双曲线无公共点，不存在直线满足条件.策略:在解决有关直线与圆锥曲线的问题时，一定要注意验证判别式∆，初学者往往会因为先入为主，求出直线的方程不去检验而导致解题错误，真可谓功亏一篑！易错点三：忽视曲线的范围致误例3已知1F 、2F 是双曲线201622y x -=1的左、右焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离.错解辨析：双曲线的实轴长为8，由12||||||8PF PF =－，即2|9||8PF =－，得2||1,PF =或17.上述解法忽视了圆锥曲线(双曲线)的范围，由4,6a c ==,故2||2PF c a ≥-=,因此2||1PF =不合题意,故2||17PF =.策略:把以上问题一般化，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，由10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，又注意到0x a ≥或0x a ≤-,故00,a ex a c a ex a c -≥+-≤-,得2||PF c a ≥-.我们在解决有关圆锥曲线（或二元二次方程）有关的问题时，一定要注意x ,y 的取值范围，往往会因为忽视曲线的范围不自觉地导致解题错误.。

圆锥曲线易错点剖析
圆锥曲线是几何学中的基本解析形式，属于曲线与曲面的统一体。

它具有极其优美的几何外观，在工程设计中有着广泛的应用。

由于圆锥曲线的特殊性，其中有许多易错点，必须避免出现绘制错误的情况。

首先，圆锥曲线的定义非常抽象，要求两个圆锥曲面在中心由固定半径的圆连接，其轨迹就是圆锥曲线。

但是，由于圆锥曲线在多维空间中的存在，需要满足多个条件才能定义出它，而在定义过程中很容易出错，造成后续计算错误。

其次，圆锥曲线的绘制也会存在一些问题。

绘制圆锥曲线的起点和终点是正确设置的关键，如果这一步出错，那么整个图形将会出现偏离，无法精确绘制。

另外，圆锥曲线的宽度也是需要仔细核算的，它们是取决于人们选择的圆锥曲面半径大小，只有精确计算，才能正确绘制出曲线。

最后，圆锥曲线的空间复杂性是一个需要注意的问题。

由于圆锥曲线体积的大小取决于圆锥曲面半径的大小，因此在多维空间中的面积会有很大的变化，而这些变量计算起来会非常麻烦，如果没有做好充分的准备工作，很容易出现空间复杂度的错误。

要正确绘制出圆锥曲线，就必须注意以上几点。

首先，在定义圆锥曲线时，要慎重核算每一步，以防出现定义错误的情况；其次，在绘制圆锥曲线时，要注意起点和终点的设置，以及曲线的宽度；最后，在考虑圆锥曲线空间复杂性时，一定要充分准备，以避免出现计算错误的情况。

只有做到这几点，才能正确绘制出圆锥曲线。

圆锥曲线题常见错解类型及剖析圆锥曲线是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。

解析几何解题中由于审题不严，考虑不周，忽视甚至挖掘不出题目的隐含条件，常会使解题感觉困难或产生错 误。

下面对圆锥曲线题常见错解类型作剖析，以引起注意。

一、概念不清例1 已知圆2211C x y +=：，圆2221090C x y x +-+=：都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。

错解：圆C 2：221090x y x +-+=，即为22(5)16x y -+=而圆C 1：221x y +=的圆心为C 1（0，0），半径11r =设所求动圆圆心M 的坐标为（x,y ），圆的半径为r ，则1||1r O M =+且2||4r O M =+ 所以12||3O M O M -=3化简得2216809640x x y --+=。

即225()21944x y --=为所求动圆圆心的轨迹方程。

剖析：上述解法将1212|||3||||||3O M O M O M O M -=-=看成，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这与题意不符。

事实上，12||3O M O M -=表示动点M 到定点12O O 及的距离差为常数3且12|53O O =>，点M 的轨迹为双曲线右支，方程为：225()21(4)944x y x --=≥ 二、盲目运用圆锥曲线定义致错例2、双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(5,0-)的距离_______。

错解：设双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F -,由双曲线定义知128PF PF -= 所以1216.50.5PF PF ==或，故点P 到点(5,0-)的距离为16.5或0.5.剖析：由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以10.5PF =不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。

高中数学圆锥曲线问题常见错误剖析圆锥曲线是历届高考命题的热点，求解圆锥曲线问题时，同学们应注意避免以下常见错误。

一、概念不清例1 已知圆1y x C 221=+：，圆09x 10y x C 222=+-+：都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。

错解：圆C 2：09x 10y x 22=+-+，即为16y )5x (22=+-所以圆C 2的圆心为O 2（5，0），半径r 2=4而圆C 1：1y x 22=+的圆心为C 1（0，0），半径1r 1=设所求动圆圆心M 的坐标为（x,y ），圆的半径为r ，则1|M O |r 1+=且4|M O |r 2+=所以3|M O ||M O |21=-，即3y )5x (y x 2222=+--+化简得064y 9x 80x 1622=+-- 即14y 49)25x (22=--为所求动圆圆心的轨迹方程。

剖析：上述解法将3||M O ||M O ||3|M O ||M O |2121=-=-看成，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这与题意不符。

事实上，3|M O ||M O |21=-表示动点M 到定点21O O 及的距离差为常数3且35|O O |21>=，点M 的轨迹为双曲线右支，方程为： )4x (14y 49)25x (22≥=-- 二、忽视隐含条件例2 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3，求动点P 与定点)345(P 1，距离的最大值。

错解：设动点P （x ，y ）到直线x=8的距离为d ，则31d |PF |=，即31|8x |y )2x (22=-+- 两边平方，整理得129y )49()45x (222=+- 由此式可得222)49()y 921()45x (⨯-=-因为221)3y ()45x (|PP |-+-=161377)24y (81)3y ()49()y 921(2222++-=-+⨯-=所以153********|PP |max 1== 剖析：由上述解题过程知，动点P （x,y ）在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了223y 223≤≤-这一取值范围，由以上解题过程知，|P P |1的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决。

圆锥曲线问题常见错误归类剖析■湖南省道县第一中学陈珠在圆锥曲线的学习中,同学们由于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系,故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏,在繁杂的运算中,忽视等价性,导致“失根”或“增根“的现象。

本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示,希望引起同学们的高度重视。

一、忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错例1已知动点P(x,y)满足则P点的轨迹是()。

A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆错解:将4y-11|变形为即动点P(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y-11=0的距离,利用抛物线的定义,得点P(x,y)的轨迹是抛物线。

故选B。

剖析:错解中忽略了定点(1,2)就在直线3x+4y-11=0上这个隐含条件,应选A。

警示:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。

当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线。

双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件。

若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a＞|F1F2|,则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。

二、忽略椭圆标准方程中的隐含条件a2≠b2致错例2 直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则m 的取值范围是____。

错解:因为直线y-kx-1=0 过定点(0,1),根据椭圆方程可知m＞0,所以椭圆与y 轴正半轴的交点为若直线与椭圆恒有公共点,只要点(0,1)在椭圆内部或椭圆上即可,所以解得m≥1。

剖析:错解中忽略椭圆标准方程=1中的隐含条件“a2≠b2”,应补充m≠5,所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞)。

警示:椭圆标准方程中的隐含条件为“a,b∈R+,a2≠b2”,在求解参数范围时更要注意,原因在于圆不是特殊的椭圆。

三、忽略椭圆或双曲线的焦点所在位置的讨论致错例3已知椭圆的离心率为则k=____。

高中数学 解圆锥曲线问题谨防几个陷阱 专题辅导李昭平由于圆锥曲线概念多、内容多、涉及面广、综合性强，因此同学们在解题时常常出现概念性、理解性、方法性的错误，有的错误还不易被察觉。

下面介绍几个容易出现的陷阱，同学们要注意防范。

陷阱1：直线的斜率一定存在吗？例1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x 2y 2=相交于A 、B 两点。

求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么3OB OA =→⋅→”是真命题。

错解：设直线l 的方程为)3x (k y -=，与抛物线x 2y 2=联立，消去x 得-2ky 2y 0k 6=- 令A （11y ,x ），B （22y ,x ），则6y y 21-=而211y 21x =，222y 21x =，所以3y y )y y (41y y x x OB OA 212212121=+=+=→⋅→。

故原命题是真命题。

评析：本题涉及到直线与圆锥曲线的位置关系。

由于直线的斜率可以表示直线的倾斜程度，同时又是直线倾斜角的正切值，因此引进直线的斜率作用很大。

但同时也带来了一些负面影响，虽然直线的倾斜角永远存在，但经常出现直线的斜率却有存在与不存在之分，这是直线与圆锥曲线位置关系问题的一个陷阱。

（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=3，此时直线l 与抛物线x 2y 2=相交于A （3，6），B （3，6-），代入得3OB OA =→⋅→。

（2）当直线l 的斜率存在时，证明过程如上。

综合（1）、（2）可知，“如果直线l 过点T （3，0），那么3OB OA =→⋅→”是真命题。

陷阱2：轨迹上有瑕点吗？例2 在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(F 1-和)3,0(F 2为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 轴、y轴的交点分别为A 、B ，且向量→+→=→OB OA OM 。

求动点M 的轨迹方程。

走出误区ZOUCH UWU QU一、对概念一知半解我们认识一种新事物往往从定义、概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们往往一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误.1．圆锥曲线第一定义（1）椭圆：与两定点F 1、F 2距离之和等于常数2a ，且2a 一定要大于||F 1F 2.当常数等于||F 1F 2时,轨迹是线段||F 1F 2；当常数小于||F 1F 2时，没有轨迹.（2）双曲线：与两定点F 1、F 2距离之差的绝对值等于常数2a ，且2a 一定要小于||F 1F 2.当||F 1F 2=2a 时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当||F 1F 2>2a 时，则轨迹不存在.若去掉绝对值，其轨迹表示双曲线的一支．例1（1）已知定点F 1(-3,0),F 2(3,0)且动点P 满足||P F 1+||PF 2=6，则动点P 的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.一条线段（2）若动点P (x ,y )满足(x -6)2+y 2-(x +6)2+y 2=8，则动点P 的轨迹是（）A.双曲线B.两条射线C.双曲线左支D.双曲线右支解析（1）由椭圆的定义可知，常数2a 一定要大于||F 1F 2时才是椭圆，当常数2a 等于||F 1F 2时，轨迹是线段||F 1F 2，故选D.（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C ．2．圆锥曲线第二定义圆锥曲线的第二定义揭示椭圆、双曲线、抛物线之间的关系，它强调曲线上的点到焦点与到相应准线距离的关系.我们若理解不透彻，会将焦点与相应准线张冠李戴．定义：若平面上动点P 到一个定点的距离与到一条定直线距离之比为一个常数e ，则：当0<e <1时，轨迹为椭圆；当e >1时，轨迹为双曲线；当e =1时，轨迹为抛物线，要注意定点、定直线是相应的定点、相应的定直线．例2（1）已知双曲线方程为3x 2-y 2=9，双曲线右支上的点P 到右焦点的距离为3，则点P 到准线x =-32的距离为（）A.32B.23C .2D.32+3（2）已知椭圆方程为x 225+y 29=1，椭圆上一点M 到左焦点的距离为6，则点M 到右准线的距离为.解析此题易出错的原因是忽视了右焦点对应右准线，要看清题中所给的焦点和准线是否相应，这需要我们对第二定义的概念要清楚．（1）根据第二定义，求出点P 到右准线的距离为3，⊙黄石王庶唐代僧一行大规模实测了子午线的长度，这在世界上是第一次。

浅谈圆锥曲线题的几个易错点作者：赵欣来源：《教育教学论坛·上旬》2011年第07期摘要：我们的学生在利用常规解法求解圆锥曲线题时经常会出现错误，在此谈谈学生求解圆锥曲线题的易错点，以引起大家的注意。

关键词：易错点；圆锥曲线纵观近几年全国各地的数学高考试题，我们可以发现：为考查圆锥曲线而设计的题目，虽然在立意上逐步创新，但总体上还是突出一些常规解法的考查。

然而我们的学生在利用常规解法求解圆锥曲线题时经常会出现错误，下面笔者通过对学生几道错解的题深入剖析，总结求解圆锥曲线题的易错点，以引起大家的注意。

易错点一：忽视圆锥曲线定义中的限制条件而导致的错误例1：已知F1（-2，0）、F2（2，0），则在平面直角坐标系内满足|PF1|-|PF2|=4的动点P 的轨迹是（?摇?摇）。

A.双曲线B.双曲线的左支C.双曲线的右支D.射线F2X错解1：由|PF1|-|PF2|=4可得点P到两定点的距离之差为常数，符合双曲线的定义，故选A。

错解2：同上，但注意到|PF1|>|PF2|，故为双曲线右支，选C。

拨迷：此题条件中|PF1|-|PF2|=4与双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a差异较大：①少了“外层绝对符号”，故不可能是一条完整的双曲线（最多只有一支）；②少了“2a正解：选D，由|PF1|-|PF2|=4=|F1F2|知P点的轨迹不可能是双曲线，也不可能为双曲线一支，故排除ABC，选D。

评注：运用圆锥曲线第一定义解题时，特别要注意2a与2c的关系。

如果2a=2c，则动点轨迹肯定不是圆锥曲线。

易错点二：忽视圆锥曲线标准方程所要求的特殊位置而导致的错误例2：动点P到直线x=5的距离与它到点F（1，0）的距离之比为■，求动点P的轨迹方程。

错解：由定义知P的轨迹是椭圆∵e=■，c=1■=5，∴a2=5，b2=a2-c2=4故所求方程为■+■=1 评注：错解原因在于误认为椭圆的中心在原点。

正解：设P（x，y），据题意得：■=■化简整理得■+■=1评注：从上面的解法的分析中，我们会发现错解1有两处错误：①是遗漏直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线。

例析圆锥曲线中常见的七种误区
向清耀; 张世林; 王承超
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】圆锥曲线是高中数学的重点也是难点，这部分内容由于对学生的能力要求特别是数形结合、化简变形、等价转化的要求较高，大多数学生学习起来感觉难度较大，现就这部分内容学习过程中学生常出现的几种误区分析如下．
【总页数】4页(P33-36)
【作者】向清耀; 张世林; 王承超
【作者单位】^p^p
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.例析圆锥曲线中常见的几种误区 [J], 向清耀;张世林
2.圆锥曲线中常见的解题误区 [J], 陡继鹏
3.例析功的计算中常见的八个误区 [J], 张永叭
4.例析圆锥曲线学习中的七种误区 [J], 向清耀;张世林
5.例析对照实验解答中常见的一些误区 [J], 王茂云;刘玉芬
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