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摘要在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分的几种基本求法，如：用参数方程法、牛顿—莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理ABSTRACTIn complex function theory, complex integration is an important tool of analytic function.Analytic function of many important properties are using the complex function integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary, Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex calculation has played a significant role. This paper first describes the complex integration of related concepts introduced on this basis, the complex integration of several basic method for finding such as : parametric equations , Newton - Leibniz formula , Cauchy's integral theorem, Cauchy integral formula , complex contour Cauchy integral theorem, the formula of the higher order derivatives of analytic functions , residue theorem to give the corresponding examples for each type of calculation.The calculation method of complex integral to make a summary of the system, from which generalizes the complex functions for solving integral method and the skill.Key words:Complex integral; Analytic function; Cauchy integral theorem; Cauchy integral formula; the residue theorem目录摘要................................................................................... . (I)ABSTRACT............................................................................. .............................................I I 1前言................................................................................... (1)2 预备知识................................................................................... .. (2)3复变函数积分的计算方法................................................................................... . (6)法................................................................................... (6)3.2用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分 (8)3.3 用柯西积分定理计算复积分 (10)3.4 用柯西积分公式计算复积分 (12)3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分 (14)3.6用解析函数的高阶导数公式计算复积分 (16)3.7用留数定理计算复积分................................................................................... . (20)结论................................................................................... (24)参考文献................................................................................... .....................................2 5致谢................................................................................... .. (26)1前 言2006年3月淮南师范学院的崔东玲研究的《复积分的计算方法》，他通过变量代换、柯西积分公式、柯西积分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.在研究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复变函数积分的计算方法灵活多样，而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.2预备知识定义2.1[]1 设l 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分.l 为积分路径，记为()lf z dz ⎰(若l 为围线（闭的曲线），则记为()lf z dz ⎰).()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰ (()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化).定理 2.1 若函数()()(),,f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()f z 沿C 可积，且().CCCf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰(1.1)复变函数积分的基本性质 设函数()(),f z g z 沿曲线C 连续，则有下列性质： (1) ()(),CCaf z dz a f z dz a =⎰⎰是复常数：(2) ()()()()=C C C f z g z dz f z dz g z dz ++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰; (3) ()()()12,+CC C f z dz f z dz f z dz =⎰⎰⎰其中C 由曲线1C 和2C 衔接而成;图2.1(4) ()();CCf z dz f z dz -=-⎰⎰(5) ()()().CCCf z dz f z dz f z ds ≤=⎰⎰⎰这里dz 表示弧长的微分，即定义2.2 如果函数()w f z =在区域D 内可微,则称()f z 为区域D 内的解析函数,或称()f z 在区域D 内解析.定理2.2 函数()f z 在区域G 内解析的充要条件是： (1) ()f z 在G 内连续；()2 对任一周线C ,只要C 及其内部全部含于G ，就有()0C f z dz =⎰.定义2.3 若函数()f z 在0z 不解析,但在0z 的任一邻域内总有()f z 的解析点,则称0z 为函数()f z 的奇点.定义2.4 如果函数()f z 在点a 的某一去心邻域{}:0K a z a R -<-<(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是()f z 的奇点，则称a 为()f z 的一个孤立奇点.定义2.5 设a 为函数()f z 的孤立奇点.(1) 如果()f z 在点a 的主要部分为零，则称a 为()f z 的可去奇点. (2) 如果()f z 在点a 的主要部分为有限多项，设为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---(0m c -≠) 则称a 为()f z 的m 阶极点.一阶极点也称为单极点.(3) 如果()f z 在点a 的主要部分有无限多项，则称a 为()f z 的本质奇点. 定理2.3 如果a 为函数()f z 的孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是可去奇点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为零； (2) lim ()()z af z b →=≠∞；(3) ()f z 在点a 的某去心邻域内有界.定理2.4 如果函数()f z 以点a 为孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是m 阶极点的特征.(1) ()f z 在点a 的主要部分为()()()111m mmm c c c z az a z a -----++⋅⋅⋅+---（0m c -≠）； (2) ()f z 在点a 的某去心邻域内能表成()()()mz f z z a λ=-，其中()z λ在点a 邻域内解析，且()0z λ≠；(3) 1()()g z f z =以点a 为m 阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令()0g a =).注 第(3)条表明：()f z 以点a 为m 阶极点⇔()1f z 以点a 为m 阶零点. 定理2.5 函数()f z 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim ()z af z →=∞. 定理2.6 函数()f z 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是:lim ()（有理数）z a b f z →⎧≠⎨∞⎩，即lim ()z a f z →不存在. 定理2.7 若z a =为函数 ()f z 之一本质奇点，且在点a 的充分小去心邻域内不为零，则z a =亦必为()1f z 的本质奇点. 定理2.8 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析，那么积分dz z f C⎰)(与连结起点与终点的路线C 无关.定理2.9 如果函数()f z 在单连通域B 内处处解析,那么函数 ζζd f F zz ⎰=0)(z ）（必为B 内一个解析函数，并且()()F z f z '=.定义2.6 如果函数)(z f z ='）（ϕ，那么称)(z ϕ为)(z f 在区域内的原函数. 注 原函数之间的关系：)(z f 的任何两个原函数相差一个常数.定义2.7 称)(z f 的原函数的一般表达式C z F +)(（C 为任意常数）为)(z f 的不定积分，记作()()f z dz F z C =+⎰.定义2.8 考虑1n +条周线01,,,n C C C ⋅⋅⋅,其中12,,,n C C C ⋅⋅⋅中的每一条都在其余各条的内部，而它们又全都在0C 的内部.在0C 内部的同时又在12,,,n C C C ⋅⋅⋅外部的点集构成一个有界的1n +连通区域D ,以012,,,,n C C C C ⋅⋅⋅为它的边界.在这种情况下，我们称区域D 的边界是一条复周线012n C C C C C ---=+++⋅⋅⋅+,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的12,,,n C C C ⋅⋅⋅.换句话说,假如观察者沿复周线C 的正方向绕行时，区域D 的点总在它的左手边.定义2.9 如果函数()f z 在点a 是解析的,周线C 全在点a 的某邻域内，并包围点a ，则根据柯西积分定理得()0.Cf z dz =⎰注 如果a 为()f z 的一个孤立奇点,且周线C 全在a 的某个去心邻域内，并包 围点a ，则积分()Cf z dz ⎰的值，一般来说，不再为零.设函数()f z 以有限点a 为孤立奇点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <-<内解析，则称积分()12f z d z iπΓ⎰ (:,0)z a R ρρΓ-=<<为()f z 在点a 的留数（residue ），记为Res ()f z .3复变函数积分的计算方法3.1用参数方程法设有光滑曲线C ：()()()z z t x t i t ==+（t αβ≤≤）， 这就表示()z t '在],αβ⎡⎣上连续且有不为零的导数，()()().z t x t iy t '''=+又设()f z 沿C 连续.令 由 (式1.1) 得 即()()(),C f z dz f z t z t dt βα'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ (1.2) 或()()(){}()(){}Re Im =+Cf z dz f z t z t dt i f z t z t dt ββαα''⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ (1.3) 公式(1.2)、(1.3)是从积分路径的参数方程着手，称为参数方程法. (1.2)、(1.3)称为复积分的变量代换公式.注 (1) 一个重要的常用积分： (这里C 是以a 为圆心，ρ为半径的圆周)(2) 如果C 是由12,,,n C C C 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线,则(3)在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线C 是按段光滑的. 例3.1[2]计算d Cz z ⎰，其中C 为：圆周3z =.解 积分路径的参数方程为3(02)πi z e θθ=≤≤,3i dz ie d θθ=2033πi Cz dz ie d θθ=⋅⎰⎰(因为3z =)0=.例3.2 计算积分()2Cx y ix dz -+⎰,积分路径C 是连接由0到1i +的直线段. 解 C 的参数方程是()()()1,,,01,1z i t x t y t t dz i dt =+==≤≤=+ 由参数方程法得：13i-=-. 注 通过上面的例子，我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分的时候，可利用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法.凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要注意曲线用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终点相对应；在分段光滑曲线时，要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确性.3.2 用牛顿—莱布尼兹公式计算复积分牛顿-莱布尼兹公式[3] 如果函数)(z f 在单连通域内处处解析,()G z 为)(z f 的一个原函数，那么)()()(01z 10z G z G dz z f z -=⎰，这里01,z z 为B 内的两点.例3.3 求20cos iz z dz π⎰的值.解 222001cos cos 2iiz z dz z dz ππ=⎰⎰21sin 2π=-.注 此题先使用了微积分学中的“凑微分”法,然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例3.4 求0cos iz zdz ⎰的值.解 ()0cos sin i iz zdz zd z =⎰⎰11e -=-.注 此题先使用了微积分中的“分部积分法”，然后运用牛顿-莱布尼兹公式进行求解.例 3.5 求()2281Czz dz ++⎰的值，其中C 是连接0到2a π的摆线：()()sin ,1cos .x a y a θθθ=-=-解 因为函数2281z z ++在复平面内处处解析，所以积分与路线无关，由牛顿—莱布尼兹公式得：3322161623a a a πππ=++. 注 利用这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法虽然很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，而很多函数都不具备这一性质，所以在应用时需注意.3.3用柯西积分定理计算复积分柯西积分定理[4] 如果函数()f z 在单连通区域B 内处处解析,那么函数()f z 沿B 内的任何一条周线C 的积分为零. 即:()0Cf z dz =⎰.注 (1) 定理中的C 可以不是简单曲线.(2) 如果曲线C 是区域B 的边界，函数在()f z 在B 内C 上解析,即在闭区域B BC =+上解析，那么()0Cf z dz =⎰。
平面几何著名问题2平面几何的几个著名问题八十后二、斯坦纳——雷米欧斯(Steiner——Lehmus)问题定理：如果一个三角形的两条角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.问题是Lehmus在1840年提出，Steiner首证，其间引发广泛关注，证明方法有几十种.证明一：反证法。
如图1，过E、D分别作DF∥BE、EF∥BD，交点为F.假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，那么，有β＞α.在△CEF中，EC＝α＋∠1＝β＝＝＝β＞α，所以，BE＞CD(两边对应相等，夹角大的第三边也大)……这与①式矛盾，由此即证。
图1图2图3这里用了反证法，一般不习惯。
更主要的是用到了结论，该结论正确，但其证明比较麻烦，好的办法要用余弦定理，要以后才能学到。
证明二：如图2，作顶角∠BAC外角的角平分线FG，再分别以B、C为顶点，BA、CA为一边，向外作角β、α，角的另一边交外角平分线于G、F，连结DG、EF，GC，则有∠HAC＝2∠FAC＝2α＋2β，∴∠FAC＝α＋β，∴四边形AECF对角互补，A、E、C、F四点共圆，∴∠CFE＝∠BAC＝γ，∠AFE＝∠ACE＝β…………②同理可证∠BGD＝∠BAC，所以∠BGD＝∠EFC＝γ，可得△BDG≌△EFC，∴BG＝CF.又由②可知，四边形BCFG对角互补，故B、C、F、G四点共圆，∴＝∴∠BCG＝∠CGF，BC∥FG，∴∠GBC＝∠BCF，即2α＋β＝α＋2β，2α＝2β，得证.【思考】1.证明：如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.2.证明：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形.提示：如图3,连结DE，过E作EF∥CD交BC的延长线于F.。
斯坦纳定理的简证及推广作者：何正权来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第01期若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”, 在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.定理两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:AB=AC.分析结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.证明过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H,因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以所以所以CH=BD.因为BD=CE,所以CH=CE,又点H在CE上,所以点H与点E重合.所以∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.所以三角形ABC是等腰三角形.上面过B、C、D三点作一个辅助圆后,把角平分线与弧之间的关系紧密联系,从而使弧与CE的交点H和点E之间的关系成为解题的主线,然后证得点H与点E 重合,问题获得解决,这就应用了反证法中“同一法”的思想.经过这一证明,在相同条件下,图中许多关系非常明显,若用命题形式表达出来,则有以下两个命题尤为重要.命题1 三角形中两内角平分线相等,则角平分线与对边的交点的连线平行于第三边.已知:如图2,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:DE∥BC.证明由以上定理的证明得△ABC是等腰三角形,易证∠1=∠2.所以 PB=PC.因为BD=CE,所以PE=PD,所以∠3=∠PED.因为∠EPD=∠CPB,所以∠1=∠3,所以DE∥BC.此命题是在定理的基础上作出的进一步推理,只要满足三角形两内角平分线相等,则推得线段之间的平行关系,在相关三角形问题的证明中能起到条件转换的作用,可使一部分问题简化.命题2 对角线平分两锐角且相等的四边形是等腰梯形.已知:如图3,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线, BD平分锐角∠ABC. CA平分锐角∠DCB,且BD=AC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明延长BA、CD相交于点F.根据定理易得BF=CF.由命题1可证得AD∥BC.所以∠FAD=∠ABC,∠FDA=∠DCB.因为∠ABC=∠DCB,所以∠FAD=∠FDA,所以AF=FD,所以BF-AF=CF-FD,所以AB=CD.即四边形ABCD是等腰梯形.此题与前面问题相比不同之处是,三角形中两内角已经隐含了角为锐角的条件,所以扩充到四边形中必须把锐角这一条件补出,否则条件被放宽,导致命题的结论不成立.这个定理和相关命题的证明,应用了圆和三角形的许多重要性质,分析这些问题的思考和解决过程,说明认真观察图形、分析问题找到相互之间的联系是使问题得到解决的前提,只要加以训练,有助于提高应用圆的一些性质和定理解决角相等、线段相等、两直线平行、垂直等问题,不断让解综合题的能力得到加强,对复杂的问题,可以大胆地对各种量相互之间的联系作出某些猜想,形成命题,最终再努力寻求解决途径,促使自已专业知识不断发展.参考文献[1] 刘晓玫,章飞. 九年级数学(上)[M].北京:北京师范大学出版社,2007:6.[ZK)][2] 朱德祥.初等几何研究[M].北京:高等教育出版社出版,1995:30.[ZK)][3] 徐彦明.也谈斯坦纳—雷米欧斯定理的证明[J].中小学数学(初中教师版),2003,(12).[4] 施联华.斯坦纳—莱默斯定理[J].中学数学教学参考(学生版),2003,(12).作者简介:何正权,男,汉族,贵州威宁人,中学一级教师.。
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斯坦纳——雷米欧斯定理的代数法证明
作者：令标
来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第06期
《中学数学杂志》(初中)2010年第10期刊载的“利用比例性质巧证斯坦纳—雷米欧斯定理”一文(下称文［1］),利用比例性质、反证法及正弦定理等,间接地从一个新的角度证明了众所周知的平面几何中的著名定理——斯坦纳—雷米欧斯(Steiner—Lehmes)定理. 斯坦纳—雷米欧
斯定理自问世以来,人们对其情有独钟,潜心于不同证法的探究,醉心于形式多样的引申［2］,凡此种种,屡见不鲜. 受文［1］的启发,笔者再经思索,从代数计算的角度又得到了该定理的两个简明、别致的代数法证明,现介绍如下,供读者参考．。
斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理:两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于OBE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC注:"L"为角的符号证明一：已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BG=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC证明二：设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0 →sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证明三：用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β可推出AB>AC矛盾！若α<β可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。
证明等腰三角形的方法
同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形；同一三角形中，若两角相等，则这两个角所对应边也相等（等角对等边）；同一三角形中，若一个角的平分线与该角对边中线重合，则该三角形是等腰三角形，该角为顶角。
等腰三角形的性质与判定
性质：
1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的
高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，最少有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
判定：
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2.有两角相等的三角形是等腰三角形。
— 1 —
3.（斯坦纳—雷米欧斯定理）有两内角平分线到各自对边的长度相等的三角形是等腰三角形。
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再谈斯坦纳——雷米欧斯定理的纯几何证法作者：令标来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第05期《中学数学杂志》(初中)2011年第8期登载的“对称地处理对称性问题——斯坦纳——雷米欧斯定理的最佳证法”一文(下称文［1］),用间接方法——反证法,并结合两条引理,证明了平面几何中的一个令人痴迷甚久、脍炙人口的著名定理——斯坦纳——雷米欧斯(Steiner—Lehmes)定理.该定理当时甫一面世,便受到了数学爱好者、数学家的青睐,特别是斯坦纳的首证公开之后,在数学界产生了极大的反响,诸多证法纷至沓来,形式各异的推广如雨后春笋.其间出现了一些耐人寻味、发人深省的精妙证法,让人惊叹不已,它确是盛开在平面几何百花园里一朵绚丽多彩的奇葩!文［1］的证明是否“最佳”,笔者不敢妄断,读者定会评判.作为几何问题,探寻其原汁原味的纯几何证法,乃不失其几何神韵(实在难以寻觅,间接方法也是明智的选择),这也正是平面几何的魅力所在.斯坦纳——雷米欧斯定理也不例外,自它问世以来的一百多年里,人们孜孜以求,潜心于新证法的不断探究,尤为引人入胜的是其直接证法——纯几何方法.下面将介绍一个为日本数学家颇感兴趣、高度赞赏的直接证法［2］,供读者参考．定理已知△ABC中,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,且BE=CD.求证：AB=AC．证明如图1,作∠BEF=∠BCD,使得EF=BC,点F、C位于BE的两侧,连结BF、CF．由BE=CD,得△FEB≌△BCD.于是∠FBE=∠BDC,BF=BD．又∠ABC=2∠CBE,∠DCE=∠BCD,知∠FBC=∠FBE+∠CBE=∠BDC+∠CBE=(180°-∠ABC-∠BCD)+∠CBE=180°-(∠CBE+∠BCD).①∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠CEB+∠BCD=∠CEB+∠DCE=(180°-∠CBE-2∠DCE)+∠DCE=180°-(∠CBE+∠BCD).②由∠ABC+∠ACB＜180°,知∠CBE+∠BCD＜90°. ③由①、②、③得∠FBC=∠CEF＞90°.在钝角△FBC与△CEF中,FC=CF,BC=EF.故△FBC≌△CEF,BF=CE.即BD=CE.因此△BCD≌△CBE,∠ABC=∠ACB.故AB=AC．上述证法仅用有限的直线形知识,浅显简单,通俗易懂,确乎精彩,难怪日本数学家秋山武太郎在他的著作《平面、立体几何学》一书中有“确实是巧妙简洁的证明,今后,能够超过这个证明的,恐怕不会再有了”的较高评价. 斯坦纳——雷米欧斯定理尽管从现行的初中数学课程中已隐退多年,作为数学教师,对它的历史情形的了解和解法的把握是不可或缺的,也能透视教师自身的数学素养.许多经久不衰的历史经典几何名题,仿佛一颗颗闪烁的明珠,璀璨夺目,异彩纷呈,推动着几何学乃至整个数学的发展.伟大的物理学家爱因斯坦曾言：“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情,那你就不是一个天才的科学家.”平面几何在数学教育中占有重要的地位,它是培养、训练学生思维能力无可替代的极好素材.愿我们教学一线的数学教师,竭尽所能地介绍一些适合学生知识水平的历史名题(不限于几何方面),拓展学生的知识视野,丰富课堂教学的内容,“激活”学生自主学习的内动力,真正地充实素质教育．参考文献［1］程诗春. 对称地处理对称性问题——斯坦纳——雷米欧斯定理的最佳证法［J］.中学数学杂志(初中),2011,(8)．［2］郭要红,戴普庆.中学数学研究［M］.安徽：安徽大学出版社,1998∶11．。
斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理:两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于OBE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC注:"L"为角的符号证明一：已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BG=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC证明二：设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证明三：用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β可推出AB>AC矛盾！若α<β可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。
黑斯廷斯定理的16种经典证明方法黑斯廷斯定理是数学中的一个重要定理，它在不同领域和不同证明方法的应用广泛。
本文将介绍黑斯廷斯定理的16种经典证明方法，以展示其多样性和普适性。
1. 几何证明法这种方法使用几何图形和形状进行证明。
通过构造合适的几何模型，可以清晰地展示黑斯廷斯定理的成立。
例如，可以使用平行四边形或三角形来说明定理中的关系。
2. 数学归纳法数学归纳法适用于证明黑斯廷斯定理对于一系列特定情况成立。
通过先证明基础情况，再证明递推情况，可以得出定理的普遍成立性。
3. 反证法反证法是一种常用的证明方法，可以用来证明黑斯廷斯定理的否定情况不成立，从而得出定理的正确性。
通过假设定理不成立，然后推导出矛盾的结论，可以证明定理的正确性。
4. 构造法构造法通过构造具体的例子来证明黑斯廷斯定理。
通过找到适当的数值或结构，可以清晰地展示定理的成立。
5. 矩阵证明法矩阵证明法使用线性代数中的矩阵运算来证明黑斯廷斯定理。
通过构造矩阵，并进行相应的运算，可以得出定理的正确性。
6. 分析证明法分析证明法通过对黑斯廷斯定理中的各个元素进行分析来证明定理的成立。
通过对特定变量、方程或函数进行分析推理，可以得出定理的正确性。
7. 概率证明法概率证明法利用概率论中的方法来证明黑斯廷斯定理的成立。
通过计算相关事件的概率，可以得出定理成立的概率很高，从而证明其正确性。
8. 图论证明法图论证明法通过使用图论的概念和算法来证明黑斯廷斯定理。
通过构建图模型并应用图论算法，可以得出定理的正确性。
9. 组合证明法组合证明法利用组合数学的方法来证明定理。
通过对黑斯廷斯定理中的组合关系进行推理和计算，可以得出定理的正确性。
10. 实验验证法实验验证法通过设计实验来验证黑斯廷斯定理的成立性。
通过实际观测和测量，可以得出实验结果与定理相符，从而证明定理的正确性。
11. 数学推导法数学推导法通过使用数学推理和演算来证明黑斯廷斯定理。
通过运用数学中的定理、公式和推导规则，可以得出定理的正确性。
