第五章平行

2020-2021学年四年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义第五章平行四边形和梯形【知识点归纳】一、平行与垂直1、同一平面内的两条直线的位置关系，不是平行就是相交。

2、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

图一：“直线A和直线B是平行线；直线A 和直线B互相平行。

”3、平行可以用符号“//”表示。

a与b互相平行，记作a//b，读作：a平行于b。

4、如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

图二：“直线A和直线B相互垂直；直线A是直线B的垂线；点C是垂足。

”5、垂直可以用符号“⊥”表示。

a与b互相垂直，记作a⊥b，读作：a垂直于b。

6、两条直线互相垂直，可以组成4个直角。

有1个垂足。

7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

垂直的线段最短。

9、两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些垂直线段不仅互相平行而且长度相等。

平行线间的垂直线段都相等。

10、过直线上一点和直线外一点画已知直线的垂线，只可以画1条。

过直线外一点画已知直线的平行线只可以画1条。

二、画垂线的方法1、过直线上一点画这条直线的垂线：2、过直线外一点画这条直线的垂线：3、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

垂直的线段最短。

即“点A到直线所画的垂直线段最短；点A到这条直线的距离是10厘米”三、画平行线的方法1、可以用直尺和三角尺来画平行线，先把三角尺的一条直角边紧靠直线，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，这时沿直尺平移三角尺，再画一条直线就可以了。

2、平行线间的垂直线段最短3、画出一条长3厘米，宽2厘米的长方形先画一条长3厘米的线段；再过线段端点画一条2厘米的垂线；再过另一个点也画一条2厘米的垂线；连接两个端点就可以了。

四、平行四边形1、两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

一、选择题(每小题3分,共36分)1.已知一个正多边形的一个外角为36°,则这个正多边形的边数是( D )A.7B.8C.9D.102.如图所示,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的和是( C )第2题图A.18B.28C.36D.463.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( C )A.5种B.4种C.3种D.1种4.如图所示,E是▱ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是( C )第4题图A.∠ABD=∠DCEB.DF=CFC.∠AEB=∠BCDD.∠AEC=∠CBD5.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,那么▱ABCD的面积为( B )第5题图A.60 cm2B.30 cm2C.20 cm2D.16 cm26.如图所示,点D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点,求证:DE ∥BC,且DE=12BC.第6题图证明:延长DE 到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF,又∵AE=EC,∴四边形ADCF 是平行四边形.以下是排序错误的证明过程:①∴DF BC;②∴CF AD,即CF BD;③∴四边形DBCF 是平行四边形;④∴DE ∥BC,且DE=12BC.则正确的证明顺序应是( A )A.②→③→①→④B.②→①→③→④C.①→③→④→②D.①→③→②→④7.如图所示,在△ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AD 的中点,若△ABC 的面积是40,则四边形BDEF 的面积是( C )第7题图A.10B.12.5C.15D.208.如图所示,将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放,公共顶点为O,且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上,则∠COF 的度数是( C )第8题图A.74°B.76°C.84°D.86° 9.如图所示,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,BD=2AD,E,F,G 分别是OC,OD,AB 的中点,有下列结论:①BE ⊥AC;②四边形BEFG 是平行四边形;③EG=GF;④EA 平分∠GEF.其中正确的是( B )第9题图A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④10.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB⊥AC,AC的垂直平分线交AD于点E,△CDE的周长是15,则平行四边形ABCD的面积为( D )第10题图A.25√32B.40C.50D.25√311.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒 4 cm 的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止运动),在运动以后,以P,D,Q,B四点为顶点组成的四边形为平行四边形的有( C )第11题图A.1次B.2次C.3次D.4次12.(2021嘉兴)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE的长为( A )第12题图A.√13B.5√22C.√412D.4二、填空题(每小题3分,共18分)13.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线有14 条.14.(2020金华)如图所示,平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是30°.第14题图15.(2021临沂)在平面直角坐标系中,▱ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点的坐标是(4,-1) .16.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长.一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B两点的点C,找到AC,BC的中点D,E.若测得DE的长为8 m,则A,B两点间的距离为16 m.第16题图17.如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为.E,AB=2,BD=4√2,AC=4,则AE的长为4√55第17题图18.(2020天津)如图所示,▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF 上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 1.5 .第18题图三、解答题(共46分)19.(6分)请根据下面x与y的对话解答下列各小题.x:我和y都是多边形,我们俩的内角和相加的结果为1 440°.y:x的边数与我的边数之比为1∶3.(1)求x与y的外角和相加的度数;(2)分别求出x与y的边数;(3)试求出y共有多少条对角线.解:(1)360°+360°=720°.(2)设x的边数为n,则y的边数为3n.由题意,得180×(n-2)+180×(3n-2)=1 440,解得n=3,∴3n=9,∴x与y的边数分别为3和9.(3)∵12×9×(9-3)=27,∴y共有27条对角线.20.(8分)如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,点O是对角线AC的中点,点E是BC边上一点,连接EO并延长交AD于点F,交BA的延长线于点G,且OE=OF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若∠D=63°,∠G=42°,求∠GEC的度数.(1)证明:∵点O是对角线AC的中点,∴OA=OC.在△AOF和△COE中,{OA=OC,∠AOF=∠COE, OF=OE,∴△AOF≌△COE(SAS),∴∠OAF=∠OCE,∴AD∥BC.又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)解:由(1),得四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=63°,∴∠GEC=∠B+∠G=63°+42°=105°.21.(10分)如图所示,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠C=∠D.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=3,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.(1)证明:∵∠A=∠F,∴DF∥AC,∴∠C=∠FEC.又∵∠C=∠D,∴∠FEC=∠D,∴DB∥EC,∴四边形BCED 是平行四边形.(2)解:∵BN 平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN.∵BD ∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠CBN=∠BNC,∴CN=BC.又∵BC=DE=3,∴CN=3.22.(10分)如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E,F 分别是AB,CD 的中点,且AC=BD.求证:OM=ON.证明:如图所示,取AD 的中点G,连接EG,FG.∵G,F 分别为AD,CD 的中点,∴GF 是△ACD 的中位线,∴GF=12AC,GF ∥AC. 同理,得GE=12BD,GE ∥BD.∵AC=BD,∴GF=GE,∴∠GFN=∠GEM.又∵EG ∥OM,FG ∥ON,∴∠OMN=∠GEM,∠GFN=∠ONM,∴∠OMN=∠ONM,∴OM=ON.23.(12分)分别以▱ABCD(∠CDA ≠90°)的三边AB,CD,DA 为斜边作等腰直角三角形△ABE,△CDG,△ADF.(1)如图①所示,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF 与EF 的关系.(只写结论,不需证明)(2)如图②所示,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,说明 理由.解:(1)GF⊥EF,GF=EF.(2)GF⊥EF,GF=EF成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,∴∠DAB+∠ADC=180°.∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=∠DAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,∴∠EAF+∠CDF=45°.∵∠CDF+∠GDF=45°,∴∠FDG=∠EAF,∴△GDF≌△EAF(SAS),∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,∴∠EFA+∠GFA=∠GFD+∠GFA=90°,∴∠GFE=90°,∴GF⊥EF,GF=EF.。

人教版四年级上册数学平行四边形和梯形的知识点第五章平行四边形和梯形一、垂直与平行1、认识平行和垂直在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。

如果两条直线不相交，就称它们为平行线，用a//b表示。

如果两条直线相交成直角，就称它们为垂直，用a b表示。

注意，要在同一平面内才能判断平行关系，否则即使不相交也不能称为互相平行。

2、垂线的画法和性质如果要画一条直线的垂线，可以用三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后沿着已知直线移动三角尺，使其顶点和已知点重合，最后沿着另一条直角边画出一条直线。

垂线的性质是，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度就是这点到直线的距离。

3、平行线的画法及运用要画两条平行线，可以先沿着三角尺的一条直角边画出一条直线，然后用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，平移三角尺，最后沿着第一步中的直角边画出另一条直线。

检验两条直线是否平行的方法是，将三角尺的一条直角边与其中一条直线重合，然后平移三角尺，如果三角尺的直角边与另一条直线完全重合，这两条直线就互相平行。

两条平行线之间的距离处处相等。

二、平行四边形1、平行四边形的定义平行四边形是有四条边的四边形，其中对边互相平行。

平行四边形的性质包括：对边互相平行，相邻两边互相垂直，对角线互相平分，对角线长度相等，面积等于底边长度乘以高。

2、平行四边形的画法要画一个平行四边形，可以先画一条线段作为底边，然后画出相邻两边，再根据对边平行的性质画出另外两条边。

最后可以用三角尺画出对角线来检验是否正确。

三、梯形1、梯形的定义梯形是有四条边的四边形，其中两条边互相平行，另外两条边不平行。

梯形的性质包括：底边互相平行，对角线互相平分，面积等于底边长度乘以高的一半。

2、梯形的画法要画一个梯形，可以先画一条线段作为底边，然后画出两条不平行的边，再根据底边平行的性质画出另外一条平行边。

最后可以用三角尺画出对角线来检验是否正确。

画平行线的方法很简单：首先画出长为3厘米的线段，作为长方形的一条边；然后将三角尺的一条直角边与该线段重合，用直尺与三角尺的另一条边相接，固定直尺，接着平移三角尺，使其移动的距离达到所需宽度，最后沿着第一步中的直角边画出所需长度，连接两条线段的端点即可。

第五章相交线与平行线几何学习方法过程与方法发现并提出问题观察、测量、归纳、对比、类比研究问题图形形状、位置关系、数量关系获得结论实践应用情感态度体会通过推理获得结论养成严之有据的习惯培养有条理思考和表达的能力养成及时总结反思的习惯，5W2H(what\when\where\why\who\how many\how much)5.1相交线两条直线相交5.1.1相交线定义同一平面内，两直线只有一个公共点，则称这两条直线相交对顶角（形状）定义（位置）有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角互为对顶角。

性质（数量）对顶角相等邻补角（形状）定义（位置）有公共顶点，只有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角是邻补角。

性质（数量）邻补角互补5.1.2垂直定义两条直线相交，有一个角成直角时，它们互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

画法用三角尺用量角器性质直线垂线条数过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

特殊位置关系二线四角两条直线被第三条直线所截 5.1.3同位角、内错角、同旁内角同位角两被截线同方，截线同侧；F型内错角两被截线之间，截线两侧；Z型同旁内角两被截线之间，截线同侧；U型相关术语角的位置关系三线八角5.2平行线及其判定 5.2.1平行线定义同一平面内，不相交的直线叫平行线画平行线一落二靠三移四画五标平行公理公理内容：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（通过”反证法“可以由平行公理得到此推论）5.2.2平行线的判定判定0.1定义判定0.2平行公理的推论判定1同位角相等，两直线平行。

判定2内错角相等，两直线平行。

判定3同旁内角互补，两直线平行。

一个结论在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行由角的关系得到位置关系5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质性质1探究方法平行稿纸手工测量数学软件动态展示两直线平行，同位角相等。

第五章相交线与平行线相交线（1）学习内容：相交线.学习目标：1.经历探究对顶角.邻补角的位置关系的过程；2.了解对顶角.邻补角的概念；3.知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理.重点、难点：对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”是重点；正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理是难点.教学资源的使用：课件.导学流程：一、情景导入（投影1）下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线.“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等.相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用.我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备.二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标学习对顶角和邻补角的性质.（二）互动探究（投影2）面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？两条直线相交，如图.1B 23B4OBB ACBDB上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即:∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4.量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？可分为两类：∠1和∠2、1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是180º；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等.第一类角有什么共同的特征？一条边公共，另一条边互为反向延长线.具有这种关系的两个角，互为邻补角.讨论：邻补角与补角有什么关系？邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关.第二类角有什么共同的特征?有公共的顶点，两边互为反向延长线.具有这种位置关系的角，互为对顶角.思考：〔投影3〕下列图形中有对顶角的是（）〕注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个.在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片.在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题.如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？为什么？∠1和∠3相等.∵∠1＋∠2＝180º，∠2＋∠3＝180º .∴∠1＝∠3（同角的补角相等）同理∠2和∠4相等.这就是说：对顶角相等.你能利用这个性质回答上面的问题吗？因为剪刀的构造可以看成两条相交的直线，所以两个把手之间的角与剪刀刃之间的角互为对顶角，由于对顶角相等，因此，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角始终相等.（三）应用示例（投影4）如图，直线a、b相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数.解：∵∠1＋∠2＝180º，∴∠2＝180º—∠1＝180º—40º＝140º.1234OBACD1B 23B4OBACD∠3＝∠1＝40º，∠4＝∠2＝140º. 三、强化训练.当堂达标 课本5面练习.四、设计问题.布置预习完成习题5.1中2题，预习“垂线”一节. 课后反思：相 交 线（2）学习内容： 垂线.学习目标：1.了解垂线的概念.2.理解垂线的性质1.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线. 重点.难点：垂线的概念、性质1和画法是重点；画线段和射线的垂线是难点. 教学资源的使用： 投影仪. 导学流程： 一、情景导入（投影1）如图，取两根木条a 、b ，将它们钉在一起，固定木条a ，转动木条b.当b 的位置变化时，a 、b 所成的角α是也会发生变化，当α＝90º时；垂直.二、呈现目标、任务导学（一）自主学习显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成90º的情况.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB 垂直于直线CD ，记作AB ⊥CD ，垂足为O.在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的，如：〔投影2〕aOBAC D十字路口的两条道路方格本的横线和竖线铅（二）交流展示你能再举一些其它的例子吗？思考：（投影3）下面所叙述的两条直线是否垂直？①两条直线相交所成的四个角相等.②两条直线相交，有一组邻补角相等.③两条直线相交，对顶角互补.①②③都是垂直的.（三）互动探究探究(投影4):学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条?(3)经过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条?由画图可知：(1)可以画无数条； (2)可以画一条； (3)可以画一条.这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（四）解决疑难、适度拓展①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外. （五）总结梳理1.垂线的概念，垂直的表示；2.垂直的性质1；三、强化训练、当堂达标课本5面练习1、2题.3.垂线的画法.四、设计问题、布置预习完成课本8面3、4、5题，预习下一节.课后反思：相交线（3）学习内容：垂线段.学习目标：1.了解垂线段的概念.2.理解“垂线段最短”的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离.重点、难点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用是重点；理解点到直线的距离的概念是难点.教学资源的利用： 投影仪. 导学流程： 一、情景导入（投影1）如图（课本图5.1-8），在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处， 如何挖渠能使渠道最短？说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？两点之间，线段最短. 如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是点P ，那么另一个端点的位置在什么地方呢？把江河看成直线l ，那么原问题就是这样的数学问题：在连接直线l 外一点P 与直线l 上各点的线段中，哪一条最短? 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标 垂线段最短的性质. （二）互动探究演示：在黑板上固定木条l ， l 外一点P ，木条a 一端固定在点P ，使之与l 相交于点A.左右摆动木条a ， l 与a 的交点A 随之变动，线段PA 的长度也随之变化，a 与l 的位置关系怎样时，PA 最短? a 与l 垂直时，PA 最短.这时的线段PA 叫做垂线段. （投影2）画出PA 在摆动过程中的几个位置，如图，点A 1、A 2、A 3……在l 上，连接PA 1、PA 2、PA 3……，P O ⊥ l ，垂足为O ，用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……的长短，可知垂线段PO 最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成: 垂线段最短.（二）自主学习我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如上图，P O 就是点P 到直线l 的距离.（三）解决疑难、适度拓展点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.（四）总结梳理1.垂线段.点到直线的距离概念.2.垂线的性质2及应用. 三、强化训练、当堂达标(投影3）1.判断正确与错误，如果正确，请说明理由；若错误，请更正.lPaAbaCBA EDBAl PO A 2 A 1 … A 3(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.(2)线段AE是点A到直线BC的距离.(3)线段CD的长是点C到直线AB的距离.2.（投影4）已知直线a、b，过点a上一点A作AB⊥a，交b于点B，过B作BC⊥b 交a 上于点C.请说出线段AE的长是哪一点到哪一条直线的距离?CD的长是哪一点到哪一条直线的距离？3.课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长?四：设计问题.布置预习完成课本8面6题，预习习题5.1中7—11题.课后反思：练习课学习内容：习题5.1中7—13题学习目标1.进一步学习平行线垂线的概念.2.会用平行线.垂线解决问题.重点难点：重点是做练习，难点是平行线.垂线的应用.教学资源的使用：投影仪.导学流程：一.复习引入1.对顶角和邻补角：有并且两边的两个角是对顶角；有并且的两个角是邻补角.2.对顶角的性质：对顶角 .（1）下列说法正确的是（）A.相等的角是对顶角B.一个角的邻补角只有一个C.补角即为邻补角D.对顶角的平分线在一条直线上3.垂直和垂线：当两条直线相交所成的四个角中时，这两条直线互相垂直，其中的叫做的垂线.〔2〕题 [3]题 〔4〕题（2）（投影）如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，且∠3＝260，则∠1＝ . 4.垂直的性质：（1）经过一点有且只有 与 垂直；（2）垂线段 .〔注〕性质（1）说明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的依据；性质（2）是定义点到直线距离的依据.（3）如图，三角形ABC 是直角三角形，∠C ＝900，其中最长的线段 是 .5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离. 〔4〕如图，线段 的长度表示点D 到直线BC 的距离，线段 的长度表示点B 到直线CD 的距离，线段 的长度表示点A 、B 之间的距离.二.呈现目标.任务导学 （一）呈现目标 这一节做一些练习. （二）.应用示例例1如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，MN 分别是位于公路AB 两侧的村庄.（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P.Q 的位置；（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在哪一个位置到村庄M.N 的路程之和最短？请在图中标出这个位置.例2 如图，直线AB.CD 相交于点0，OD 平分∠BOF ，EO ⊥CD 于O ，∠EOF=1180，求∠COA 的度数.（三）互动探究讨论习题5.1中7—13题. 三、强化训练.当堂达标1.点P 为直线m 外一点，点A ，B ，C 为直线m 上三点，PA=4cm ，PB=5cm ，PC=2cm ，则点P 到 直线m 的距离为〔 〕A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm2.如图所示，AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB=a ， BC=b ，则BD 的范围是〔 〕 A.大于a B.小于bC.大于a 或小于bD.大于b 且小于a 四、设计问题、布置预习1、完成习题5.1中10、11题.·M ·NBAA BC DEF 112131O ABCDEFO2、预习“平行线”.课后反思：平行线及其判定（1）学习内容:平行线和平行公理.学习目标:1.了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；2.掌握平行公理及平行线的画法.3.平行公理的存在性和唯一性.重点.难点：平行线的概念.画法及平行公理是重点；理解平行线的概念和根据几何语言画出图形是难点.教学资源的利用：投影仪.导学流程：一、情景导入（投影1）我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？看下面的图片：双杆上面的两根横杆，支撑横杆的直干它们所在的直线相交吗？游泳池中分隔泳道的线它们所在的直线相交吗？屏风的折处和边所在的直线相交吗？今天我们就来讨论这样的问题.二、呈现目标.任务导学（一）呈现目标：1.平行线.2.平行公理.（二）互动探究：1.平行线分别将木条a、b与木条c钉在一起，，并把它们想象成三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b 相交逐步变为在右侧与b 相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置呢？有，这时直线a 与直线b 左右两旁都没有交点. 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 直线AB 与直线CD 平行，记作“AB ∥CD ”.注意：①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点.归纳一下，在同一平面内，两条直线有几种位置关系？动手画一画. 相交和平行两种.注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线. 2.平行公理再来看上面的实验，想象一下，在转动木条a 的过程中，有几个位置能使a 与b 平行? 有且只有一个位置使a 与b 平行. 如图，过点B 画直线a 的平行线，能画几条?试试看. 只能画一条.从实验和作图，我们可以得到怎样的事实？ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这一基本事实是人们在长期的实践中总结出来的结论，我们称它为公理，这个结论叫做平行公理.在上图中，过点C 画直线a 的平行线，它与过点B 画的的平行线平行吗?试试看.过点C 画的直线a 的平行线与过点B 画的直线a 的平行线相互平行. 这说是说，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这条直线也互相平行.符号语言：∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c.如果b 与c 不平行，那么经过直线外一点就有两条直线与已知直线平行，所以上面的结论是平行公理的推论.（三）总结梳理1.什么是平行线？“平行”用什么表示？2.平面内两条直线的位置关系有哪些？3.平行公理及推论是什么？ 三、强化训练、当堂达标1.（投影2）判断下列说法是否正确？（1）在同一平面内，两条线段不相交就平行.（2）在同一平面内，平行于直线AB 的直线只有一条.（3）如果几条直线都和同一条直线平行，那么这几条直线都互相平行. 2.课本13面练习.a四、设计问题、布置预习 1.课本16面2题.2.预习“平行线的判定”. 课后反思：平行线及其判定（2）学习内容： 平行线的判定. 学习目标：1.学习判定定理：同位角相等，两直线平行.2.会用判定定理解决问题.3.经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件. 重点、难点：探索两直线平行的条件是重点，理解“同位角相等，两条直线平行”是难点. 教学资源的利用： 投影仪.导学流程： 一、情景导入（投影1）如图1，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？图1 图2 要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定.二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标 学习平行线的判定. （二）互动探究以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本13面图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？3 2bac41cba 43215 6 87三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变.如图，∠1与∠2是三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说：同位角相等，两条直线平行.符号语言：∵∠1=∠2 ∴AB ∥CD.如图（课本14面5.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等，两条直线平行，可知这样画出的就是平行线.（投影2）如图2，（1）如果∠2=∠3，能得出a ∥b 吗？（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a ∥b 吗？（1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等） ∴∠1=∠2 (等量代换) ∴a ∥b （同位角相等，两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等，两直线平行. 符号语言：（１）∵∠2=∠3 ∴a ∥b. （２）∵ ∠4+∠2=180°，∠4+∠1=180° （已知）∴∠2=∠1 （同角的补角相等） ∴a ∥b. （同位角相等，条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补，两直线平行. 符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b.三.强化训练.当堂达标1.完成课本15面练习1，补充（3）由∠A+∠ABC ＝1800可以判断哪两条直线平行？依据是什么？2.课本16面2题.四.设计问题.布置预习 1.作业16面1、2题.2.预习平行线的判定的应用. 课后反思：DC B A平行线及其判定（3）学习内容：平行线的判定的应用. 学习目标：1.掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题；2.初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程.3.初识符号语言的运用. 重点.难点：直线平行的条件及运用是重点；会正确的书写简单的推理过程是难点. 教学资源的利用： 投影仪. 导学流程：一、复习引入：我们学习过哪些判断两直线平行的方法？ （投影1）（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行.（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标平行线的判定的应用. （二）例题导引（投影2）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么?答：这两条直线平行. ∵b ⊥a c ⊥a （已知） ∴∠1=∠2=90°（垂直的定义） ∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）你还能用其它方法说明b ∥c 吗？ 方法一： 如图（1），利用“内错角相等，两直线平行”说明；方法二：如图（2），利用“同旁内角相等，两直线平行”说明.（1） （2）cba21cba21cba21注意：本例也是一个有用的结论.（投影3）如图，点B 在DC 上，BE 平分∠ABD ，∠DBE=∠A ，则B E ∥AC ，请说明理由. 分析：由BE 平分∠ABD 我们可以知道什么？联系∠DBE=∠A ，我们又可以知道什么？由此能得出B E ∥AC 吗？为什么？解：∵BE 平分∠ABD ∴∠ABE=∠DBE （角平分线的定义）又∠DBE=∠A ∴∠ABE=∠A （等量代换）∴B E ∥AC(内错角相等，两直线平行)注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据. 三、强化训练、当堂达标1.（投影2）如图，∠1=∠2=55°，试说明直线AB ，CD 平行？．1题 2题2.如图所示，已知直线a ，b ，c ，d ，e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a 与c 平行吗?•为什么?四、设计问题、布置预习 1.完成课本17面7.2.预习习题5.2中剩余题目. 课后反思：练 习 课学习内容：复习平行线的判定. 学习目标：1.复习平行线的判定.2.会运用平行线的判定解决问题.3.开拓知识视野，训练思维能力. 重点、难点：重点是做一些练习，难点是练习时符号语言的运用.ABCD E3 A BCDEF21d ecb a3412A.1个B.2个C.3个D.4个导学流程： 一、复习引入1.平行线：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.2.两条直线的位置关系： .3.平行公理：经过直线 有且只有 与这条直线平行. 推论：如果两条直线都和 平行，那么这两条直线 .4.同位角.内错角和同旁内角两条直线被第三条直线所截，在截线的 ，被截直线的 的两个角叫做同位角；在截线的 ，被截直线 的两个角叫做内错角；在截线的 ，被截直线 的两个角叫做同旁内角.5.平行线的判定（1） ，两直线平行. （2） ，两直线平行. （3） ，两直线平行. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标这一节做一些练习，复习平行线的性质. （二）例题导引例 如图，下列推理中正确的有（ ） ①因为∠1＝∠2，所以BC ∥AD ； ②因为∠2＝∠3，所以AB ∥CD ； ③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以BC ∥AD ； ④因为∠BCD+∠ADC=180°，所以BC ∥AD.三、强化训练、当堂达标 1.下列说法正确的有〔 〕①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内，不相交的两条线段平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④若a ∥b ，b ∥c ，则a 与c 不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是〔 〕A.平行或相交B.垂直或相交C.垂直或平行D.平行.垂直或相交3.如图，点E 在CD 上，点F 在BA 上，G 是AD 延长线上一点. (1)若∠A=∠1，则可判断_______∥_______，因为________. (2)若∠1=∠_________，则可判断AG ∥BC ，因为_________. (3)若∠2+∠________=180°，则可判断CD ∥AB ，因为____________.4.如图，一个合格的变形管道ABCD 需要AB 边与CD 边平行，若一个拐角∠ABC=72°，则另一个拐角∠BCD=_______时，这个管道符合要求. 5.不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互〔 〕A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交ABCD4 132 GE21D C B A6.如图，AB ∥EF ，∠ECD=∠E ，则CD ∥AB.说理如下:∵∠ECD=∠E （ ） ∴CD ∥EF （ ） 又AB ∥EF （ ） ∴CD ∥AB （ ）. 四、设计问题、布置预习： 预习下一节.平行线的性质（1）学习内容： 平行线的性质. 学习目标：1.学习平行线的性质.2.会用平行线的性质解决问题.3.经历探索直线平行的性质的过程. 重点、难点：直线平行的性质是重点；区别平行线的性质和判定，综合运用平行线的性质和判定是难点.教学资源的利用： 投影仪. 导学流程： 一、复习导入怎样判定两条直线平行？这就是说，利用同位角.内错角和同旁内角可以判定两条直线平行，反过来，两条直线平行，同位角.内错角和同旁内角各有什么关系呢？二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标 1.平行线的性质.2.用平行线的性质解决问题.3.继续学习符号语言.（二）互动探究 利用练习本上的横线画两条平行线a ∥b ，然后画一条直线c 与这两条直线相交，标出所形成的八个角，如图. 度量这些角的度数，把结果填入表内：哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?再任意画一条截线d ，同样度量并计算各个角度数，这种数量关系还成立吗?cb a 43215 7 86 FEDCB A那么由此你得到怎样的事实：1.平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成：两直线平行，同位角相等.2.平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：两直线平行，内错相等.3.平行线被第三条线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补.思考：平行线的性质与平行线的判定有什么关系？由角的数量关系得出两条直线平行是“判定”，由两条直线平行得出角的数量关系是“性质”，因此，两者的条件和结论正好互换.你能根据性质1，推出性质2吗?如上图，∵a∥b ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)又∠3=∠1(对顶角相等) ∴∠2=∠3.对于性质3，你能写出类似的推理过程吗？（三）总结梳理这节课我们学习了什么？你能画图说明吗？三、强化训练、当堂达标独立完成课本21面练习1题.四、设计问题、布置预习1.完成习题5.3中草药2.3题.2.预习下节例题.课后反思：平行线的性质（2）学习内容：平行线的性质.学习目标：1.学习平行线的性质的应用.2.会用平行线的性质解决问题.3.经历平行线的性质的应用过程，掌握学习技能.重点.难点：平行线的性质是重点；综合运用平行线的性质和判定是难点.教学资源的利用：投影仪.导学流程：一、复习引入1.平行线有哪些性质？2.你能画图说明吗？二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标平行线性质的应用研究. （二）例题导引 如图是一块梯形铁片的线全部分，量得∠D=100°，∠C=115°， 梯形另外两个角分别是多少度? 分析：梯形有什么特征？∠A 与∠D 、∠B 与∠C 有什么关系? 解：∵AB ∥CD ∴∠A+∠D=180°，∠B +∠C=180°∴∠A=180°－∠D=180°－100°=80° ∠B=180°－∠C=180°－115°=65°所以，梯形的另外两个角分别是80°，65°. （三）自主学习独立完成课本21面练习2题. （四）总结梳理这节课我们学习了平行线的性质，要注意平行线的性质与平行线的判定的区别与联系，以便我们能准确地运用.三、强化训练、当堂达标分组讨论习题5.3中6、7题. 四、设计问题、布置预习1.完成课本22面4、5题2.预习“命题、定理”. 课后反思：平行线的性质（3）学习内容： 命题与定理. 学习目标：1.了解命题.定理.的含义.2.会区分命题的题设和结论.3.会判断一个命题的真假性. 重点.难点：命题及组成是重点；区分命题的题设和结论是难点. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、情景导入我们平常说的话细究起来是有区别的，例如，“你吃饭了吗？”与“今天天气不好”就有区别，前一句表示疑问，没有作出判断，后一句作出了判断.数学中象这类对某件事情作D C BA出判断的语句还很多，值得我们研究.二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标命题、命题的组成、定理.（二）互动探究再来看几个句子（投影）：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行;②等式两边都加同一个数，结果仍是等式;③相等的角是对顶角;④如果两条直线不平行，那么内错角不相等；⑤同位角相等.这些语句都对某一件事情作出了“是”或“不是”的判断，象这样判断一件事情的语句，叫做命题.思考：（投影）下列语句是命题吗？为什么？①蓝蓝的天空白云飘；②这不是坑人吗？③画AB∥CD.不是命题.因为它们只是对某件事情进行了陈述，表达了疑问，并没有作出判断.（三）自主学习1.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.例如，上面命题①中，“两条直线都与第三条直线平行”是已知事项，是题设，“这两条直线也互相平行”是由已知事项推出的事项，是结论.有些命题的题设和结论不明显，怎样才能找出题设和结论呢？我们可以将它们改写成“如果……那么……”的形式.例如，上面命题⑤可改写成：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.2.上面的命题中有正确的，也有错误的，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如果是真命题，题设成立，那么结论一定成立，如果是假命题，题设成立，不一定能保证结论成立.要确定一个命题是真命题，必须通过推理证实，推理的过程叫做证明，通过证明是真的命题叫做定理，定理是推理的依据；要确定一个命题是假命题，只需举一个反例即可.（四）合作求解1.请你把上面的命题②.③改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论.2.探究：（投影3）下面的命题是真命题，还是假命题？（1）锐角小于它的余角；（2）若a2＞b2则，a＞b.（3）如图，如果∠1=∠2，C E∥BF，那么AB∥CD；（1）是假命题，如65º角的余角是350，而65º大于35º.（2）是假命题，如当a=－3，b=－2时a2＞b2，而a＜b.（3）是真命题.说明：∵C E∥BF∴∠C=∠2（两直线平行，同位角相等）又∠1=∠2（已知）∴∠C=∠1（等量代换）A BC DEF12。

第五章平行四边形第一讲平行四边形与多边形【中考预知】1、了解多边形及正多边形的概念以及其内角和和外角和公式；2、会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；3、掌握平行四边形及特殊平行四边形的概念、性质及判定，并且会用平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定解决简单几何问题.【知识重点】考点1:多边形【典例精讲】1.下列图形中，属于多边形的是（）A．线段B．角C．六边形D．圆2.多边形的每一个内角都等于150度，则从此多边形的一个顶点出发能引出______条对角线.3.每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的九分之一，则这个多边形的是______边形.【变式训练】1.一个平行四边形的一边长为8，另一对角线长为6，另一对角线m的取值范围是______.2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为________.4.已知一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.【中考荟萃】1.（2015南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角和等于（）A．60°B．72°C．90°D．108°2.（2014柳州）正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（）A．240°B．120°C．60°D．30°3.（2013北海）内角和和外角和相等的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考点2：平行四边形的性质平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角互补；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。

七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线，两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线．解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；③中一条直线，一条线段，可相交；④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．故答案为：③，⑤．【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．故选：C．【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体AB CD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是．【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．故答案为：棱AD和棱BC．【点评】本题主要考查了平行线与立体图形，熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；（2）结合相交的定义进行解答即可；（3）结合重合的定义进行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合；故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，所以直线b与c也有交点；故答案为：相交．【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．【例题2】（2022春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．以上都不对【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故选：C．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，∴第三条直线与另两平行直线相交，∴它们共有2个交点．故答案为2．【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解．【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．故答案是：三．【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及推论进行解答．【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．（3）结论：AC⊥AB．【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．过点A可以画一条直线和a平行．理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）结论：AC⊥AB．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．故选：C．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上B．2条C．1条D．0条【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．【点评】本题考查了平行公理，要熟练掌握．【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内B．不相交C．平行或重合D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选：C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案为：40°．【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，∴AB∥EF，故A不符合题意；∵∠1=∠4，∴AB∥EF，故B不符合题意；∵∠1=∠B，∴DF∥BC，故C符合题意；∵∠B+∠2=180°，∴AB∥EF，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65°B．75°C．115°D．165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度数应为65°．证明：如图，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故选：A．【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠DCE＝45°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】证明：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．因为∠B＝∠ACB，。