下载文档原格式
模块一：计数专题系统梳理
模块二、计数专题综合性题目选讲
四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外
三个人中的任意一个。
先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过4次传球后球仍然
回到红衣人手中。
请问：整个传球过程共有多少种不同的可能?
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完，共有多少种吃法?
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数
字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。
请问：这样的九位数共
有多少个?
如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们
称它为迎春数。
那么，小于2008的迎春数一共有多少个？
正方形内部共有2012个点(结合正方形4个顶点，共2016个点，其中任意三点，不在
同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方形剪成以2016个点为顶点的三角形，最
多可剪成多少个三角形？需要剪多少刀？
计数专题考点分析与技巧总结
1．计数比较抽象，考查条理性(分类、分步)，对小学生来说杀伤力比较强！
2．分类思想，枚举观察的解题思路为考查重点。
3．利用分类瓦解难题，利用特例或简单题目找解题方法。
（高频考点）新初一分班考专题3-比和比例（专项突破）小学数学六年级下册苏教版一．选择题（共8小题）1．如果，那么x和y（）A．成正比例B．成反比例C．不成比例2．从甲堆煤中取出放入乙堆，则两堆煤相等，原来甲、乙两堆煤的质量比是（）A．7：5B．7：2C．7：3D．9：73．“母亲”节那天，佳佳为妈妈做了4杯糖水。
最甜的是（）A．糖和水的比是1：9B．20克糖配成200克的糖水C．含糖率10.5%D．含糖率10%的糖水中加入10克水4．六（3）班有45名学生，男、女生人数的比可能是（）A．4：3B．5：4C．3：1D．5：35．一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（）A．2：1B．1：2C．1：1D．3：16．已知m×3＝n×6（m不等于0），下面正确的选项是（）A．m：n＝3：6B．n：m＝6：3C．n：6＝3：m D．m：6＝n：3 7．下面每组两个量成反比例关系的是（）。
A．班级总人数一定，出勤人数和缺勤人数B．正方形的周长和边长C．路程一定，速度和时间D．单价一定，总价和数量8．一个三角形，三个内角度数的比是2：5：3，这个三角形是（）三角形。
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰二．填空题（共8小题）9．把1.8×2＝0.4×9改写成比例式是．10．六（1）班女生人数占全班的40%，女生人数与全班人数的比是：，男生人数与全班人数的比是：，男生人数与女生人数的比是：．11．在一个比例中，两个外项的积是0.6，其中一个内项是3，另一个内项是．12．判断下面两种相关联的量是否成正比例关系，并说明理由．（1）轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间．（2）一本书的总页数一定，已看的页数和未看的页数．13．9÷＝：20＝÷＝0.75＝%。
14．如表，如果x和y成正比例，“？”处应填；如果x和y成反比例，“？”处应填．x3y122415．在一个三角形里，一个内角是30°，另外两个内角的比是2：1，这个三角形最大的内角是，它是一个角三角形。
第14讲 计数综合三兴趣篇1. 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。
走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？ 【分析】 例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为123+=．又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上235+=2. 小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？ 【分析】 递推法。
吃1块只有1种吃法，吃2块有11+和2两种吃法，吃3块有1+1+1,1+2，2+1,3共4种吃法，吃4块有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7种；吃5块有2+4+7=13种吃法，吃6块有4+7+13=24种吃法……事实上，吃n 块巧克力，吃最后一块前，吃掉的块数是在第1n -块或2n -块或n -3块上，所以吃n 块巧克力的吃法数相当于吃第1n -块和第2n -块以及第n -3块的总和。
依照这一规律，列表写出吃1到10块各块的吃法数。
最后递推得到吃第10块巧克力有274种吃法。
3. 用⨯12的小方格覆盖⨯27的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？【分析】 递推法．若用12⨯的小长方形去覆盖2n ⨯的方格网，设方法数为n A ，那么11A =，22A =．当3n ≥时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用1个12⨯的小长方形竖着覆盖，那么剩下的()21n ⨯-的方格网有1n A -种方法；⑵用2个12⨯的小长方形横着覆盖，那么剩下的()22n ⨯-的方格网有2n A -种方法，根据加法原理，可得12n n n A A A --=+．递推可得到3123A =+=，4235A =+=，5358A =+=，65813A =+=，781321A =+=，所以覆盖27⨯的方格网共有21种不同方法．4. 如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？ 【分析】 一条直线时，分平面内为2个部分；增加一条直线，即2条时，显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多，这是增加了2部分，总数2+2；再增加1条时，同理应该与前两条都相交，这时增加了3部分，总数2+2+3； 增加到4条时，分平面增加4部分，总数2+2+3+4；由此我们发现，每增加一条直线，多分平面部分逐个递增，即n 条直线最多分平面(1)223412n n n ++++++=+。
人教版六年级数学下册期末冲优分类评价1．高频考点一、仔细推敲，选一选。
(每小题3分，共15分)1．数轴上A、B两点所表示的数分别是( )。
A．－0.5，2 B． 0.5， 2C．－0.5，25D．12，0.42．要想直观地反映出病人小华的体温变化情况，用( )最合适。
A．条形统计图 B．折线统计图C．扇形统计图 D．统计表3．如图，在计算3468÷17 的竖式中，箭头所指表示的是( )。
A．20 个17 的和B．204 个17 的和C．2 个17 的和D．200 个17 的和4．某饼干包装袋上标着：净重(150±5)g，表示这袋饼干的标准质量是150 g，实际每袋饼干的质量不少于( )g。
A．155 B．150 C．145 D．1605．下列说法正确的是( )。
①一根绳子，用去59，还剩下59m，用去的和剩下的相比，一样多。
②在20 以内的自然数中，既是合数，又是奇数的数是9、15。
③长方形和平行四边形都是轴对称图形。
④ 2023 年的第一季度只有90 天。
A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④二、认真审题，填一填。
(第2 小题3分，其余每题4分，共35分)1．2022 年福建省高考考生有二十一万九千四百四十八人，横线上的数写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万。
2．2.5 小时=( )时( )分300 dm2=( )m23． 12 ∶( )=35=( )÷60=( )%=( )成4．一件原价a 元的衬衣，打八五折后售价为( )元；工地上有b t 水泥，每天用去3.5 t，用c 天后，还剩下( ) t。
5．56的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就是最小的质数。
6．18 和30 的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
7．如图，长方形的长是20 cm，宽是( )cm，其中一个圆的周长是( )cm。
8．把3 个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36 dm2。
计数方法,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题最简单的计数问题,只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地,从n 个不同的元素中,任取m(m ≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：它们所含的元素均相同；它们的顺序也一样．一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,记作：m n A (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素排成一排,有多少种排法,是从n 个元素中取出m 个元素的排列数．这个问题可以看成有m 个位置,从n 个元素中取m 个元素放到m 个位置中,可分m 个步骤：第①步：第1个位置有n 种选择；第②步：第2个位置有n-1种选择；第③步：第3个位置有n-2种选择；……第m 步：第m 个位置有n-m+1种选择．由乘法原理：m n A = n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m 项特别地,当m=n 时,()1...21m n n n A A n n ==⨯-⨯⨯叫做n 个元素的全排列数．1×2×3×…×n 称为n 的阶乘,记作n!因此()!!m n n A n m =- (m ≤n)． 排列数乘积形式的公式：m n A =n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．排列数阶乘形式的公式：()!!m n n A n m =- (m ≤n)．有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了,这种问题称为组合问题,组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可,不需排序,而排列问题是取出后要进行排序．一般地,从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个不同的元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出,n 个元素的组合．从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的组合总数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,记作m n C (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素的排列问题可以看成分两步完成：第①步：从n 个元素中取出m 个元素,这时有多少种取法?实际上就是从n 个元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第②步：对取出的m 个元素进行排列,排法数就是m m A ．由乘法原理可知：m m m n n m A C A =⨯,因此,m m n n m mA C A =． 将排列数公式代人得：()()().1...1.1...3.2.1m n n n n m C m m --+=-或 ()!!!m n n C n m m =- 常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。
六年级考前热身—历年真题精讲（三）------计数（1）例题1：（06年·六年级1试第10题）用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有____个。
例题2：（07年·六年级1试第16题）一种电子表在10点28分6秒时，显示的时间如图所示。
那么10点至10点半这段时间内，电子表上六个数字都不相同有_____个。
例题3：（08年·六年级1试第8题）如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段______条。
例题4：（10年·六年级2试第13题）有一个电子计算器的数字显示屏坏了，有部分区域在该亮时不亮，使原本的一道一位数乘以一位数，积是两位数的乘法算式，出现如下图所示的怪样（不妨用火柴棍来表示）小明对此用火柴棍推出一种可能的算式：9×5=45。
请问：下图表示的算式的乘积还有几种？例题5：（11年·六年级1试第17题）某电子表在6时20分25秒时，显示6：20：25，那么从5时到6时这一个小时里，此表显示的五个数字都不相同的情况共有______种。
例题6：（11年·六年级1试第11题）图中一共有____个长方形（不含正方形）。
（即是该课程的课后测试）1、用11根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有____个。
2、一种电子表在7点15分9秒时，显示的时间07:15:09。
那么7点至8点这段时间内，电子表上六个数字都不相同有_____个。
3、某电子表在2时11分5秒时，显示2：11：05，那么从2时到3时这一个小时里，此表显示的五个数字都不相同的情况共有______种。
4、如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段______条。
5、图中一共有____个长方形（包含正方形）。
1、解：11根火柴棒可以分成（1,5,5）、（2,4,5）、（3,3,5）、（3,4,4），所以能接成不同的三角形4个。
2、解：小时数肯定是07；分和秒的十位只能在1、2、3、4、5中选出两个，有5×4=20种不同选法；分和秒的个位在剩下的6个数字中选出两个，有6×5=30种选法；所以六个数字都不同的共有20×30=600种。
六年级数学专题思维训练—计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。
小学数学六年级奥数高频考点常考易错题汇编——计数问题——沏茶问题一．选择题1．小明每天晚上睡觉前要背诵英语8分钟，烧开水10分钟，烫热牛奶2分钟，喝牛奶3分钟，做完这些事情最少需要()分钟。
A．13B．15C．18D．232．小涵做完这几项家务（如下表所示），最少需要()分钟。
淘米煮饭洗菜炒菜准备餐具1分钟20分钟6分钟13分钟1分钟A．20分钟B．21分钟C．33分钟3．小刚早晨6:30起床，要做下面的事情，合理安排后他最快()吃完早饭。
淘米2分钟用电饭锅煮饭18分钟听英语12分钟吃早饭8分钟A．7:00B．6:58C．6:50D．6:484．妈妈做家务：用洗衣机洗衣服40分钟、扫地10分钟、整理书桌10分钟、擦窗户15分钟、打扫卫生间5分钟、晾衣服5分钟。
合理安排这些事情，最少需要()分钟。
A．40B．45C．505．星期天，花花帮妈妈做家务。
拖地需要10分钟，用洗衣机洗衣服需要25分钟，擦桌子需要8分钟，烧水需要10分钟。
花花做完这些家务，至少需要()分钟。
A．28B．25C．306．小静给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，沏茶1分钟．小静合理安排以上事情，最少要()分钟才能是客人尽快喝到茶．A．7B．8C．9D．107．妈妈为全家人准备午饭，需要做下面几件事情：①择菜5分钟；②洗菜3分钟；③淘米2分钟；④蒸米饭20分钟；⑤切菜3分钟：⑥烧菜8分钟；⑦盛饭1分钟。
做上面这几件事情，最节省时间的顺序是()A．①→②→③→④→⑤→⑥→⑦B．③→④（同时做①②⑤⑥)→⑦C．①→②→③→④同时做⑤⑥→⑦8．星期天，妈妈要做以下几件事情：擦窗户要20分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服要30分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈做完这些事情至少需要()分钟。
A．45B．55C．65D．759．星期六，妈妈要做的家务劳动如下表，她至少要用()分钟才能完成。
扫地把脏衣服放入洗衣机洗衣服拖地晾衣服洗碗洗衣机10分钟3分钟40分钟20分钟5分钟8分钟A．86B．60C．48D．4510．图图放学回家，妈妈说：“晚餐我给你做最爱吃的红烧鱼．不过你要帮妈妈设计一下，怎样安排时间才能尽早开饭．”（杀鱼、洗鱼8分钟，烧鱼10分钟，淘米2分钟，煮米饭15分钟．)至少需要()分钟才能尽早开饭．A．20B．18C．1711．明明给客人沏茶，洗茶杯3分钟，拿茶叶2分钟，洗水壶1分钟，烧水9分钟，沏茶1分钟，接水1分钟。
小升初计数重点考查内容
从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字计数方法综合(对法、整体法等)
—计数方法综合(对应法、整体法等)
学习要点
1．对应法一般解题思路
2．整体法适用条件及具体应用
()
【例2】★★★☆
圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂
了蓝色，其余10个点没有涂色。
以这些点为顶点的
多边形中其顶点包含了红点及蓝点的多边形称
凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称
为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红
色(蓝色)多边形。
不包含红点及蓝点的称无色多边
色(蓝色)多边形不包含红点及蓝点的称无色多边
形。
试问：以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数
可角形到边形)中，色多边形的个数与
可以从三角形到12边形)中，双色多边形的个数与无
色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？
55
对话
阿情：阿增，我每讲最后都弄了个通知，总结阿增：嗯，确实不错，从今天开始俺也整～
通知
对应法：通过一一对应关系，把复杂计数。
