人教a版数学【选修1-1】作业：1.1.3四种命题间的相互关系(含答案)

1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号12345 6 答案7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

，时，若时，课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“AB B =，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

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课时提升作业三四种命题间的相互关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是. 【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:35.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.答案:②③⑤三、解答题6.(10分)(教材P8练习改编)证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.因为a=2b+1,所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.p2+q2=≥(p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若p2+q2=2,则p+q≤2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A. 3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤e x在(0,+∞)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为”,它是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.答案:①③②4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

课堂10分钟达标练
1.命题“若a>-1，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为　( )
A.1
B. 2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为真，则其逆否命题为真，而逆命题为假，则其否命题为假，故选B.
2.如果命题“若p ，则q ”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
　( )
A.若p ，则q
B.若p ，则q
C.若q ，则p
D.以上都不对
【解析】选B.逆命题与否命题互为逆否命题，为等价命题，它们同真同假，故选B.
3.命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”与“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”的关系是________.
【解析】命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”.
答案：互为逆命题
4.命题“圆内接四边形是等腰梯形”的等价命题是________________.
【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”. 答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆
5.判断命题“若m>0，则方程x 2+2x-3m=0有实数根”的逆命题的真假.
【解析】原命题的逆命题为“若方程x 2+2x-3m=0有实数根，则m>0”，若方程x 2+2x-3m=0
有实数根，则Δ=12m+4≥0，解得m ≥-，所以原命题的逆命题为假命题. 13。

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知能巩固提升(三)/课后巩固作业(三)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )（A）若m∉M,则n∉M（B）若n∉M,则m∈M（C）若m∉M,则n∈M（D）若n∈M,则m∉M2.下列说法中正确的是( )（A）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真（B）“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价（C）“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3.（2012·乌鲁木齐高二检测）给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b 且c≠d，则a+c≠b+d”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）44.（2012·宿州高二检测）命题“若c<0，则方程x2+x+c＝0有实数解”，则( ) （A）该命题的逆命题为真，逆否命题也为真（B）该命题的逆命题为真，逆否命题为假（C）该命题的逆命题为假，逆否命题为真（D）该命题的逆命题为假，逆否命题也为假二、填空题（每小题4分，共8分）5.“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．6.（易错题）下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若1a>1b，则a<b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________．三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．8.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【挑战能力】(10分)证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．答案解析1.【解析】选D.与原命题等价的命题是其逆否命题.2.【解析】选D．因为否命题和逆命题是互为逆否命题,互为逆否命题的两命题真假性相同.3.【解析】选A.因为原命题为假，故逆否命题为假，逆命题为假，故否命题为假，所以选A.4.【解析】选C．因为c<0⇒-4c>0⇒Δ=1-4c>0,所以方程x2+x+c＝0有实数解，即原命题为真.因为原命题与其逆否命题具有相同真假性，所以逆否命题为真.而方程x2+x+c＝0有实数解⇒1-4c≥0⇒c≤14,此时推不出c<0，所以逆命题为假.5.【解析】因为原命题为假，所以其逆否命题为假命题.答案：假6.【解析】因为方程x2＋2x＋k＝0没有实根⇔Δ=4-4k<0⇔k>1,推不出k≤0,所以“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为假；“若1a>1b，则a<b”的逆命题为“若a<b,则1a>1b”.因为1a>1b⇔b aab>0⇔b a 0,b a 0b a b a ab 0ab 0ab 0ab 0->-<><⎧⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨⎨><><⎩⎩⎩⎩，，，或或，所以逆命题显然为假;“梯形不是平行四边形”的逆否命题为真.所以是假命题的是①②.答案：①②【误区警示】在判断②时，易由a<b 得a b 11,ab ab b a<<，即从而得出逆命题为真的错误.其错误的原因是忽视了不等式性质成立的条件.7.【解析】(1)命题p 的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c>0有解”.(2)命题p 的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b 2－4ac>0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c>0有解,所以该命题是真命题．8.【解题指南】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性,所以可以正确写出原命题的逆否命题，判断逆否命题或直接判断原命题的真假即可.【解析】原命题的逆否命题为“已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a<1，所以4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．【一题多解】先判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0.解得a ≥74. 因为a ≥74， 所以a ≥1，所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真命题．【挑战能力】【证明】若p ＋q ＞2，则222222111p q p q p q p q 22222≥⨯＋＝［（－）＋（＋）］（＋）＞＝， 所以p 2＋q 2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.。

§1．1.2 四種命題間的相互關係【學情分析】：四種命題的關係是命題這一節的核心內容，由原命題寫出其他三種形式且引導學生探究四種命題相互間的內在的聯繫,從而引導學生探究出互為逆否命題的真假性一致.利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．【教學目標】：（1）知識目標：理解四種命題之間的相互關係，能由原命題寫出其他三種形式；理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關係；初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟。

（2）過程與方法目標：讓學生初步學會運用邏輯知識整理客觀素材，合理進行思維的方法，初步形成運用邏輯知識準確地表述數學問題的數學意識。

（3）情感與能力目標：通過對四種命題之間關係的學習，培養學生邏輯推理能力。

【教學重點】：四種命題之間的關係；【教學難點】：利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力。

四、知識建構結論：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為互逆或互否命題,它們的真假性沒有關係.在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．五．體驗與運用例1:設原命題是“當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，並分別判斷它們的真假解：逆命題“當時，若，則”．否命題“當時，若，則”．否命題為真．逆否命題“當時，若，則”．逆否命題為真．課堂練習寫出命題：“若xy = 6則x = 3且y = 2”的逆命題否命題逆否命題，並判斷它們的真假例2：證明：若022=+yx，則0==yx。

練習：已知a,b兩直線是異面直線,且點A與B,C與D分別是直線a,b 上的相異點求證:直線AC與BD必異面通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據六、小結與反思課堂小結1．寫一個命題的逆命題、否命題、逆否命題的關鍵是分清楚原命題的條件和結論,一般大前提不變．2．在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．通過學生自己的小結，將新知識系統化、重點化。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n =2n 1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( )A.若a n ≠2n 1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n 1C.若a n =2n 1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n 12.“若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是( )A.若sin x<12,则x<π6B.若x ≥π6,则sin x ≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x ≤12,则x ≤π6若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是“若sin x<12,则x<π6”.故选A .3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r :“若p ,则 q ”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )A.若 p ,则qB.若q ,则 pC.若 p ,则 qD.若q ,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠π2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题“若sinα=cosβ,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=π2,则sinα=cosβ”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.原命题:若x2+y2=0,x,y∈R,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠08.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k1)1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k1)1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题“若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2”,等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是真命题,所以原命题为真命题;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,取a=5,b=5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假命题.故选B.2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”正确;③“若x=1,则x 2+x 2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x 2≠0”不正确;④“若b ≤0,则方程x 22bx+b 2+b=0有实根”,由Δ=4b 24(b 2+b )=4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C .4.已知命题“若1<x<2,则m 1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.5.命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a 24b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a ,b 为实数,若a 24b ≥0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集.否命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集,则a 24b<0.逆否命题:已知a ,b 为实数,若a 24b<0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x ,y ,z 都小于或等于20,则x+y+z ≤60.由于x ≤20,y ≤20,z ≤20,由不等式的性质可得x+y+z ≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。

第一章常用逻辑用语命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系级基础巩固一、选择题．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )．否命题．逆命题．逆否命题．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( )．若＋＋≠，则＋＋＜．若＋＋＝，则＋＋＜．若＋＋≠，则＋＋≥．若＋＋≥，则＋＋＝解析：否定条件，得＋＋≠，否定结论，得＋＋＜.所以否命题是“若＋＋≠，则＋＋＜”．答案：．与命题“能被整除的整数，一定能被整除”等价的命题是( )．能被整除的整数，一定能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，不一定能被整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被整除的整数，一定不能被整除．答案：．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是( )．②③．①②．②③④．③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：．有下列四种命题：①“若＋＝，则，互为相反数”的否命题；②“若＞，则＞”的逆否命题；③“若≤，则－－＞”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )．．．．解析：()原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，互为相反数，则＋＝”，为真命题；()原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如＝，＝－)，故其逆否命题为假命题；()该命题的否命题为“若＞，则－－≤”，很明显为假命题；()该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：二、填空题．命题“若<，则－<<”的逆否命题为，是(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若<，则－<<”的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若≥或≤－，则≥真．命题“当＝时，△是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．解析：原命题“当＝时，△是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△是等腰三角形，则＝”是假命题，则否命题是假命题．则个命题中有个是真命题．答案：．设有两个命题：①不等式＋＞的解集是；②函数()＝是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．解析：①当＝时，＋＝＞恒成立，解集为.当≠时，若＋＞的解集为，必有＞. 综上知，不等式＋＞的解集为，必有≥.。