流体力学 边界层基础及绕流运动

船舶与海洋工程流体力学本章主要内容§8.1边界层的基本概念§8.2边界层微分方程§8.3边界层的动量积分方程§8.4平板边界层的近似计算§8.5边界层的分离§8.6绕流阻力§8.1边界层的基本概念边界层外边界II尾部流区域I边界层边界层外边界绕流运动❑绕流运动为高雷诺数运动一般物体的特征长度在l=0.01－10m范围，当物体在空气或水中以速度U=0.1－100m/s运动时，相应的雷诺数约在100－109之间。

普通汽车和船舶以正常速度行驶时，空气和水的雷诺数均在106以上。

飞机绕流的雷诺数则更高，因此大Re数流动是普遍存在的现象。

绕流运动❑高雷诺数运动：忽略粘性，简化为理想流体运动❑达朗贝尔佯谬：1752年在《试论流体阻力的新理论》中考虑没有粘性的不可压缩流体，结果得到运动物体受到的阻力为零的结论。

他本人不满意这个结论，但又得不到正确的解释，成为一个所谓达朗贝尔佯谬。

法国数学家、力学家、哲学家。

边界层的提出❑普朗特1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念（论粘性很小的流体的运动）。

他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。

普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。

边界层的主要内容（1）固壁附近边界层内的流动，粘性力和惯性力同量级，必须考虑粘性的影响，为有旋运动；（2）边界层以外的流动区域,该区域内流体速度变化很小，可近似看成是理想流体.无粘性流场粘性剪切流优点引入边界层后，可将流场的求解可分为两个区进行✓边界层内流动必须计入流体的粘性影响可利用动量方程求得近似解。

✓边界层外流动视为理想流体流动，可按势流求解。

它的提出为解决粘性流体绕流问题开辟了新途径，并使流体绕流运动中一些复杂现象得到解释u ∞u∞u∞u∞u uu x=0.99u∞边界层区主体区或外流区U层流边界层过渡区湍流边界层x y由于具有粘性，紧贴壁面的流体必然附着于物体表面上，其速度为零。

近壁面的流体相继受阻而减速。

u ∞u∞u∞u∞u uu x=0.99u∞边界层区主体区或外流区❑一方面，随着流体向前流动，速度受到影响的区域逐渐扩大❑另一方面，随着与板面法向距离的增大，板面对流体的减速作用逐渐减弱。

二、边界层的形成u ∞u∞u∞u∞u uu x=0.99u∞边界层区主体区或外流区在离板面一定距离之外的流体速度就基本上未受板面影响接近了的主流速度。

减速作用发生在紧邻板面的很薄的流体层中，这一薄层称之为边界层;❑边界层内：沿板面法向的速度梯度很大，剪应力不可忽略。

——粘性流体的流动❑边界层外：不存在速度梯度或速度梯度很小，剪应力可以忽略。

——理想流体运动(1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小δ<<L。

(2)边界层内沿厚度方向，速度梯度很大，为有旋运动。

(3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的。

(4)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。

u ∞u∞u∞u∞u uu x=0.99u∞边界层区主体区或外流区(5)在边界层内，粘性力与惯性力同一数量级。

(6)边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。

层流底层层流边界层过渡区域紊流边界层层流边界层过渡区域紊流边界层层流底层层流边界层向紊流边界层的转变ν=x U Re x 0cx x =ν=cc x U Re 0cx x =5105⨯=1．名义厚度定义为速度达到外流速度99%时离壁面的垂直距离，称为名义厚度δ(x )。

u ∞u∞u∞u∞u uu x=0.99u∞边界层区主体区或外流区2．位移厚度又称边界层流量排挤厚度，是指由于边界层的存在，使得外部流动按理想流体处理时，其流动的虚拟边界向壁面以外移动的距离。

xy 0u 099.0u xu δ1δ⎰⎰δδρ-ρ=δρ0010dyu dy u u x ⎰δ-=δ01)1(dyu u x2．位移厚度表明：由于流体的粘性作用，存在着流动被阻滞了的边界层，为了满足连续性方程，流道就得扩张，才能让一定量的流体通过，因此流线向外偏斜，被排移了δ1的距离；也就是说，由于边界层的存在排移了厚度为δ1的非粘性y=Y+δ1流体的流量。

δ1流线YU∞如图，兰线为一条流线，由于边界层的存在使它向上偏移了排量13．动量损失厚度是指由于边界层的存在，边界层内所损失的动量折合成按理想流体处理时，具有相同动量的等效厚度。

xyu 099.0u xu δ1δ⎰⎰δδρ-ρ=δρ0200220dyu dy u u u xx ⎰δ-=δ002)1(dy u u u u xx4．能量损失厚度是指由于边界层的存在，边界层内所损失的能量折合成按理想流体处理时，具有相同能量的等效厚度。

xyu 099.0u xu δ1δ⎰⎰δδρ-ρ=δρ020202030dyu u dy u uu u xx x ⎰δ-=δ020203)1(dy uuu u x x§8.2边界层微分方程将利用边界层流动的特点（边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量）对N-S 方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。

在简化过程中，假定流动为二维恒定不可压定常流，不考虑质量力。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂ρ-=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂ρ-=∂∂+∂∂0)(1)(122222222y u x u y u x u v y p y u u x u u y u x u v x p y u u x u u yx y y y y y x x x x y x x⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂ρ-=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂ρ-=∂∂+∂∂0)(1)(122222222y u x u y u x u v y p y u u x u u y u x u v x p y u u x u u yx y y y y y x x x x y x x 将上述方程组无量纲化。

为此考虑如图所示的半无穷绕流平板，假定无穷远来流速度U 0，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为δ，平板前缘至某点的距离为L 。

取δ和L 为特征量，可定义如下的无量纲量：L x x =0Ly y =00U u u x x =0U u u y y =200U p p ρ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂δδδ⋅δδ⋅∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂δδδ⋅δ⋅∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂110111)(Re 111)(111)(Re 1000000200200220020/00000002020020022002/000000yu x u y u x u y p y u u x u u y u x ux p yu u x u u y xy y y y x x x x x yx x⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂0Re 10000200200000000y u x u y u x p y u u x u u y x x x y x x L x x =L y y =00U u u x x =0U u u y y =普朗特边界层方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂∂∂ρμ+∂∂ρ-=∂∂+∂∂0122y u x u y u x p y u u x u u y x x x y x x 边界条件：（1）y ＝0：,0==y x u u （2）y ＝∞：u u x =两个方程三个未知数：0=∂∂yp紊流边界层方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂''ρ-∂∂μρ+∂∂ρ-=∂∂+∂∂0)(11y u x u u u y u x p y u u x u u yx y x x x y x x 说明：（1）边界层方程虽然比N-S 方程简化了，但仍是非线性：（2）布拉休斯应用该方程求解平板的层流边界层的解；（3）近似解法－动量积分方程；§8.3边界层动量积分方程▪边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。

▪其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直接应用动量守恒原理。

▪下面的推导采用第二种方法。

xyOu ABC Ddxxdsθδδ+δd 假设：（1）边界层很薄，忽略质量力：（2）流动为恒定平面流动；（3）dx 很小，BD 和AC 近似为直线；动量方程：∑=--xAC AB CD F K K KxyO0u ABC Ddxxdsθδδ+δd 动量变化：∑=--xAC AB CD F K K K ❑AB 面：⎰δρ=ρ0dyu q x AB ⎰δρ=02dyu K xAB ❑CD 面：dx dy u x dy u dx x K K K x x AB AB CD )(0202⎰⎰δδρ∂∂+ρ=∂∂+=❑AC 面：dx dy u x q q q x AB CD AC )(0⎰δρ∂∂=ρ-ρ=ρdxdy u x u u q K x AC AC )(000⎰δρ∂∂=ρ=dxdy u x u dx dy u x K x x )()(0002⎰⎰δδρ∂∂-ρ∂∂=∆外力分析：∑=--xAC AB CD F K K K x yO0u ABC Ddxxdsθδδ+δd ❑压强沿y 向均匀分布：0=∂∂y p❑AB 面压强：pp dx xpp ∂∂+❑CD 面压强：dx xp p ∂∂+❑AC 面压强：dxx p p ∂∂+21dx xpp ∂∂+21❑BD 面摩擦：0τ0τ=∑x F δp ))((δ+δ∂∂+-d dx x pp θ∂∂++sin )21(ds dx xp p dx0τ-动量积分方程dxds dx x pp d dx x p p p F x 0sin )21())((τ-θ∂∂++δ+δ∂∂+-δ=∑dxdxd x pdx x p F x 021τ-δ∂∂-δ⋅∂∂-=∑dxdx dx dpF x 0τ-δ⋅-=∑00002τ-δ-=ρ-ρ⎰⎰δδdxdpdy u dx d u dy u dx d x x 卡门动量积分方程dxdy u x u dx dy u x K x x )()(0002⎰⎰δδρ∂∂-ρ∂∂=∆动量积分方程00002τ-δ-=ρ-ρ⎰⎰δδdxdpdy u dx d u dy u dx d x x ❑未知数：δ，p ，u 0，u x ，τ0❑势流理论求：u 0❑能量方程求：p ❑补充方程：（1）边界层内的流速分布u x =f(y)（2）切应力τ0随边界层厚度δ的关系式τ0=g(δ)§8.4平板边界层的近似计算一、三种计算xyOUxδLδ层流边界层过渡区湍流边界层ν=LL Ux Re ν=cc Ux Re ❑层流边界层：cL Re Re <❑混合边界层：c L Re Re >❑紊流边界层：cL Re Re >>二、平板边界层的计算公式恒定均匀来流的平板边界层，其外边界满足❑外边界上的流速处处相等，且等于来流速度；0,0==dxdu U u ❑外边界外按理想流体处理，据能量方程，由于流速不变，则外边界上的压强也不变；0=dxdp ❑则（不可压缩流体）得到计算公式如下ρτ-=-⎰⎰δδ00002dy u dx d u dy u dx d x x 00002τ-δ-=ρ-ρ⎰⎰δδdxdpdy u dx d u dy u dx d x x三、平板层流边界层的计算ρτ-=-⎰⎰δδ00002dy u dx d u dy u dx d x x 补充方程❑边界层内的流速分布u x =f(y) ——同圆管层流❑切应力τ0随边界层厚度δ的关系式τ0=g(δ))1(202r ru u m -=])(1[220δ-δ-=y U u x )2(220δ-δ=y y U u x δμ=μ=τ=0002U dy du y x xy OUxδLδ三、平板层流边界层的计算将补充方程代入动量积分方程式，并化简ρδμ=δdx d U 0151Cx U +=ρδμ21512000,0=→=δ=C x xU =ρδμ2151200447.5U xν=δ三、平板层流边界层的计算边界层切应力447.5U xν=δδμ=μ=τ=002U dydu y xxU30365.0μρ= 平板上一面的摩擦阻力LU b 3073.0μρ=⎰τ=Lf bdx F 00 平板上一面的摩擦阻力ff f A UC F 220ρ=Lf C Re 46.1=四、平板紊流边界层的计算补充方程❑边界层内的流速分布u x =f(y) ——同圆管紊流光滑区❑切应力τ0随边界层厚度δ的关系式τ0=g(δ)7/10)(r y u u m =20⎪⎭⎫⎝⎛δ=y U u x 20v 8ρλ=τ4/12Re 3164.08v ρ=4/104/7v 0332.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛νρ=r mr m r u r rdr r y u r udA A Q 817.02v 207/1020000=ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π==⎰⎰ρτ-=-⎰⎰δδ00002dy u dx d u dy u dx d x x将补充方程代入动量积分方程式，并化简dx U U d U 4/1020200233.0727⎪⎪⎭⎫⎝⎛δνρ=δρx U 4/1.04/50233.054727⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ν=δ5/15/1.0Re 381.0381.0x x x x U =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ν=δ边界层切应力平板上一面的摩擦阻力⎰τ=Lf bdxF 00 平板上一面的摩擦阻力ff f A UC F 220ρ=5/1Re 074.0Lf C =4/102000233.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δνρ=τU U 5/10200296.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=xUU νρ5/1020037.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛νρ=L U bL U五、平板上混合边界层的计算x cL假设❑大雷诺数，层流向紊流边界层在x c 处突然发生❑混合边界层的紊流边界层可以看作是从平板首端开始的紊流边界层的一部分；cft ft c f fm bx U C bL U C bx U C bL U C 2222202020120ρ-ρ+ρ=ρLcf ft ft fm C C C C Re Re )(1--=层流边界层过渡区湍流边界层五、平板上混合边界层的计算Lc f ft ft fm C C C C Re Re )(1--=5/1Re 074.0Lft C =L fl C Re 46.1=LL fm A C Re Re 074.05/1-=§8.5边界层的分离在实际工程中，物体的边界往往是曲面（流线型或非流线型物体）。