2.2.1曲线的参数方程

垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
个变量， 一、方程组有3个变量，其中的 表示点的 方程组有 个变量 其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量 而且x,y分别是 叫做参变量， 分别是t的 坐标，变量 叫做参变量，而且 分别是 的 函数。 函数。 二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 由物理知识可知，物体的位置由时间 唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 一决定，从数学角度看，这就是点 的坐标 x,y由t唯一确定，这样当 在允许值范围内连 唯一确定， 由 唯一确定 这样当t在允许值范围内连 续变化时， 的值也随之连续地变化 的值也随之连续地变化， 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（ ）之间有一一对应关系。 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： 作初速为100m/s的匀速直线运动； 的匀速直线运动； （1）沿ox作初速为 ） 作初速为 的匀速直线运动 反方向作自由落体运动。 （2）沿oy反方向作自由落体运动。 ） 反方向作自由落体运动
y 500
o
x
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
2、指出参数方程{
x = 2 cos α − 5 y = 3 + 2 sin α
(α为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
( x + 5) + ( y − 3) = 4
2 2
x = r + r cos θ r (θ为参数，r > 0)的直径 3、圆{ y = + r sin θ 2 （2，1） ， ） 是4，则圆心坐标是 _____________
(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:
(x −1) = 4 y为所求.
2
思考题：动点 作等速直线运动 它在x轴和 作等速直线运动, 轴和y轴方向的 思考题：动点M作等速直线运动 它在 轴和 轴方向的 速度分别为5和 运动开始时位于点P(1,2), 求点 的 求点M的 速度分别为 和12 , 运动开始时位于点 轨迹参数方程。 轨迹参数方程。
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2 y = at .
（1）求常数 ）求常数a;
1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2
解得: 解得
a=1 t=2
x −1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x −1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2
+2x-6y+9=0， 例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 已知圆方程x 化为参数方程。 化为参数方程。
+2x-6y+9=0化为标准方程 化为标准方程， 解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1， =1， x+1）
∴参数方程为
x = −1 + cosθ y = 3 + sinθ
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
第二讲
曲线的参数方程
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时时机呢？ 时时机呢？
提示： 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ 多远时，开始Байду номын сангаас放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C （1）判断点 1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线 ）判断点M ， 与曲线 的位置关系； 的位置关系； 在曲线C上 的值。 （2）已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 ）已知点M 在曲线 的值
2、圆的参数方程 、
y
M(x,y)
r
θ
o
M0 x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是 M ( x, y )，那么θ＝ωt，设 OM ＝r，那么由三 角函数的定义有： x = r cos ωt x y cos ωt = , sin ωt = 即{ (t为参数) y = r sin ωt r r 这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方 程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀 速圆周运动的时刻)
x = 1 + 5t y = 2 + 12 t
小结： 小结：
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 ， 都是某个变数
x = f (t ), （2） y = g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 并且对于 的每一个允许值，由方程组（ ）所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上，那么方程（ ）就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 参数方程， 系变数x,y的变数 叫做参变数，简称参数。 的变数t叫做参变数 系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有 { x = r cos θ y = r sin θ (θ为参数)
这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程 其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时，OM 0转过的角度。
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的 普通方程是x + y = r , 那么，圆心在点o′( x0 , y0 )
(θ为参数 为参数) 为参数
如图， 的半径为2， 是圆上的动点 是圆上的动点， 例2 如图，圆O的半径为 ，P是圆上的动点， 的半径为 Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点 轴上的定点， 是 的中点 当点P 的中点， 是 轴上的定点 作匀速圆周运动时， 绕O作匀速圆周运动时，求点 的轨迹的参数方 作匀速圆周运动时 求点M的轨迹的参数方 程。
练习1
x =1+t2 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是 B ) y = 4t −3
25 A、（ ，4）； 、 , 0); C、(1, −3); 、（1， ）； ( ）；B、 、（ 、 16 25 D、 (± 、 , 0); 16
x = sinθ 2、方程 、 ,(θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是 y = cosθ
y P M
θ
o
Q
x
解：设点M的坐标是( x, y )，∠xOP = θ , 则点 P的坐标是(2 cos θ ,2 sin θ ),由中点坐标公式得： 2 cos θ + 6 2 sin θ x= = cos θ + 3, y = = sin θ 2 2 所以，点M的轨迹的参数方程是 x = cos θ + 3 { (θ为参数) y = sin θ
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
变式: 变式 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力 重 时投放救援物资（ 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少？ 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m） （精确到 ）
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x = 1 + 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y = 2 + 12 t
参数方程求法: 参数方程求法 坐标为(x,y) （1）建立直角坐标系 设曲线上任一点 坐标为 ）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 ） （3）根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 ）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 建立点 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 ）
（ ）
1 1 1 2 A、（ ，7）； 、 , ); C、( , ); D、（ ，0） 、（2， ）； ( ）；B、 、（1， ） 、（ 、 、（ 2 2 3 3
训练2：
已知曲线C的参数方程是 已知曲线 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上. 的普通方程. （2）求曲线 的普通方程 ）求曲线C的普通方程 解: (1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知
2 2 2
半径为r 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
{
x = x0 + r cos θ y = y0 + r sin θ
(θ 为参数)
2 2 2
对应的普通方程为( x − x0 ) + ( y − y0 ) = r
由于选取的参数不同， 由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线， 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数， 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式， 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程， 不同的参数方程，它们表示 的曲线可 以是相同的，另外， 以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时， 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。 范围。