八年级数学·上新课标[人]1.进一步掌握三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,能正确应用三角形三边关系解题.2.巩固三角形内角、外角的概念,领会三角形内角和、外角和之间的内在联系.3.深刻理解多边形的内角和与外角和,建立三角形和多边形之间的联系.1.通过准确理解概念,领会相关知识的推导过程.2.通过必要的练习,达到巩固知识、整合知识、运用知识的目的.培养学生严密的思维习惯,初步领略分类讨论的数学思想.【重点】1.三角形三边关系以及三角形中的重要线段.2.三角形和多边形中的有关计算.【难点】三角形和多边形的相关知识的综合应用.专题一三角形三边的关系【专题分析】三角形的三边关系是不等式与几何知识的重要结合点,经常利用这种关系结合不等式进行考查.利用此定理可以判断三条线段能否组成三角形,确定三角形第三边的取值范围,也可以作为不等式计算的重要依据.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A.5B.6C.11D.16〔解析〕已知三角形两边的长分别是4和10,∴第三边x的取值范围是6<x<14,在这个范围内,只有11符合.故选C.[解题策略]解此类题,设三角形第三条边的长为x,根据三角形的三边关系列出不等式,求出x的取值范围,找出符合条件的x值即可.【针对训练1】已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形的个数为()A.2B.3C.5D.13〔解析〕由三角形的三边关系可知11<x<15,∵x为正整数,∴x为12,13,14,则三角形的个数为3个.故选B.[方法归纳]解决这类问题时,要明确构成三角形的条件,即其他两边之差<第三边<其他两边之和,再根据条件确定具体的值.已知在ΔABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a>b>c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?〔解析〕此题是典型的讨论类题目,为了不重复、不漏解,可以采用列表法.解:由三角形的三边关系知b+c>a,而由b>c,a=8可知b>4,且b<8,又b是整数,所以b=5,6,7,如此分类可得c,列表讨论如下:a8 8 8b 5 6 7c 4 5,4,3 6,5,4,3,2因此,满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).[解题策略]此类题要防止重复或漏解,办法是列表,先把大边固定,然后根据三边关系限制较小的两边.【针对训练2】如图所示,点P是ΔABC内一点,试说明AB+AC>PB+PC.〔解析〕本题可适当添加辅助线解答.解:如图所示,延长CP交AB于点D.在ΔADC中,AD+AC>PC+PD,在ΔBPD中,BD+PD>BP,∴BD+PD+AD+AC>PC+PD+BP,即AB+AC+PD>PD+PC+PB,∴AB+AC>PB+PC.[解题策略]本题充分运用了三角形的三边关系.利用转化思想解决问题,相当于寻找另一种解决问题的办法.专题二三角形的高、角平分线和中线【专题分析】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段,它们具有十分重要的性质,三角形的高构造了垂直的条件,三角形的中线隐含线段相等,三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分,三角形的角平分线提供了角相等的条件,掌握这些性质,对解与三角形有关的问题十分重要.如图所示,在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线是,一条角平分线是.〔解析〕在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线是线段AD,一条角平分线是线段BE.〔答案〕线段AD 线段BE【针对训练3】如图所示,在ΔABC中,D是BC边上的任意一点,AH⊥BC于H,图中以AH为高的三角形有 ()A.3个B.4个C.5个D.6个〔解析〕AH是图中所有三角形的高.故选D.[方法归纳]对于本题,以AH为高的三角形的个数实际就是图中三角形的总个数,即3+2+1=6.在ΔABC中,AB=AC,BD为ΔABC的中线,且BD将ΔABC的周长分为12 cm与15 cm两部分,求三角形各边长.〔解析〕根据中线的定义得到AD=CD,设AD=CD=x cm,则AB=2x cm,分类讨论:①x+2x=12,BC+x=15;②x+2x=15,BC+x=12.分别求出x和BC,即可得到三角形三边的长.解:如图所示,∵BD为ΔABC的中线,∴AD=CD.设AD=CD=x cm,则AB=2x cm.当x+2x=12,BC+x=15时,解得x=4,BC=11 cm,此时ΔABC的三边长为:AB=AC=8 cm,BC=11 cm;当x+2x=15,BC+x=12时,解得x=5,BC=7 cm,此时ΔABC的三边长为:AB=AC=10 cm,BC=7 cm.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把ΔABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.〔解析〕先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD,设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,再分AC+CD=60或AB+BD=60两种情况进行讨论即可.解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x.分为两种情况:①AC+CD=60,AB+BD=40,则4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28,∴AC=4x=48,AB=28;②AC+CD=40,AB+BD=60,则4x+x=40,x+y=60,解得x=8,y=52,∴AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16,此时不符合三角形三边关系定理.综合上述,AC=48,AB=28.专题三多边形内角和与外角和定理【专题分析】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题时,这两个定理都很重要.如图所示,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为 ()A.65°B.55°C.45°D.35°〔解析〕∵AB∥CD,∴∠C=∠AEC=35°,∵∠D=180°-∠C-∠CED,∠CED=90°,∴∠D=180°-35°-90°=55°.故选B.[方法总结]求一个角的大小,可以先转化为求一个和它相等的角的大小,然后运用平行线的性质、三角形内角和定理等知识去解决.求角的度数常用的方法有两种:(1)直接根据条件去求,(2)运用转化思想把所求的角转化为另一个角去求.【针对训练5】已知ΔABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于()A.40°B.60°C.80°D.90°〔解析〕用代数方法根据几何图形间的数量关系建立方程是求解几何问题的重要方法.由题意得∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,所以∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A+∠A+20°=180°,解得∠A=40°.故选A.七边形的内角和的度数为()A.540°B.720°C.900°D.1080°〔解析〕根据多边形内角和定理可以直接计算出答案为(7-2)×180°=900°.故选C.[解题策略]此题主要考查了多边形内角和定理,关键是熟练掌握计算公式(n-2)×180°(n≥3,且n为整数).【针对训练6】若n边形的内角和为1440°,则从一个顶点出发引的对角线的条数最多是条.〔解析〕n边形从一个顶点出发引的对角线的条数为(n-3),由(n-2)×180°=1440°得n=10.故填7.一个多边形的每一个内角都相等,并且每个外角都等于和它相邻的内角的23,求这个多边形的边数及内角和.〔解析〕此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系,构建方程求解.解:设该多边形的一个内角为x°,则一个外角为23x°,依题意得x+23x=180,53x=180,x=108,360°÷(23×108°)=5, (5-2)×180°=540°.答:这个多边形的边数为5,内角和是540°.【针对训练7】一个多边形除一个内角∠A外,其余所有内角之和为2190°,你能求出这个多边形的边数及∠A的度数吗?〔解析〕根据多边形的内角和公式(n-2)·180°可知用2190除以180,商就是(n-2),余数就是与∠A相邻的外角的度数,进而可以算出这个多边形的边数.解:2190÷180=12……30,则边数n=15,这个内角∠A的度数是180°-30°=150°,故这个多边形的边数是15,∠A的度数是150°.[解题策略]解答多边形的有关问题,关键要掌握多边形的内角和公式、相邻内外角之间的互补关系、多边形的对角线的条数与边数的关系.专题四三角形的外角【专题分析】三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以一个三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角,所以由三角形的内角和是180°可推出三角形的三个外角和是360°.三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及论证与角有关的结论时经常使用的理论依据,另外,在证角的不等关系时也常用到外角的性质.如图所示,在RtΔABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,∠C=60°,AT平分∠BAC,AH⊥BC,垂足为H,则∠TAH=.〔解析〕根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和进行求解.因为AH⊥BC,所以∠TAH=90°-∠ATH.由三角形外角性质可知∠ATH=∠B+∠BAT.因为∠BAT=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)=90°-12(∠B+∠C),所以∠ATH=∠B+90°-12(∠B+∠C),所以∠TAH=90°-∠B-90°+12(∠B+∠C)=12(∠C-∠B)=15°.故填15°.[规律总结]三角形中,同一个顶点处的角平分线和高线的夹角等于其余两内角差(较大的角-较小的角)的一半,如本题中∠TAH=12(∠C-∠B).【针对训练8】如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张ΔABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将ΔABC沿着DE折叠压平,A与A'重合,若∠DAE=75°,则∠1+∠2等于()A.150°B.210°C.105°D.75°〔解析〕方法1:由折叠知∠DA'E=∠DAE=75°,∵∠DAE+∠AED +∠ADE =∠DA'E+∠A'ED+∠A'DE=180°,∴∠DAE+∠AED +∠ADE +∠DA'E+∠A'ED+∠A'DE=360°,∵∠1+∠AED +∠A'ED=∠2+∠ADE +∠A'DE=180°,∴∠1+∠AED +∠A'ED +∠2+∠ADE +∠A'DE=360°,∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE=150°.方法2:如图所示,连接AA',根据三角形外角的性质可知∠1=∠EA A'+∠E A'A ,∠2=∠DA A'+∠D A'A ,∴∠1+∠2=∠EA A'+∠E A'A +∠DA A'+∠D A'A =∠DAE+∠D A'E,由折叠知∠D A'E=∠DAE=75°,∴∠1+∠2=150°.故选A.[方法归纳]同一个问题在解决的过程中可以有不同的方法,在解答之前要认真分析题目中的已知条件,选择合理的方法进行解答.1.回顾全等三角形的概念,能熟练运用全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.能熟练利用三角形全等的性质和判定进行相关的证明.3.进一步掌握角的平分线的性质和判定.1.在解决问题的过程中,培养学生解决问题的能力.2.让学生在证明过程中掌握推理的思路和方法.1.体验数学知识与其他知识的联系,培养积极的学习态度.2.在解决问题的过程中,体验几何证明的严谨性与表述的规范性.【重点】三角形全等的判定和性质.【难点】相关知识的综合应用.专题一三角形全等的判定与性质的综合应用【专题分析】三角形全等的判定要根据具体题目的具体情况确定采用SAS,ASA,AAS,SSS,HL中的哪个方法,在解题过程中往往要结合其性质综合运用.如图所示,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证AD∥BC.〔解析〕根据SAS证ΔAOD≌ΔCOB,推出∠A=∠C,根据平行线的判定定理即可得出结论.证明:在ΔAOD和ΔCOB中,∵{AO=OC,∠AOD=∠COB, OD=OB,∴ΔAOD≌ΔCOB(SAS),∴∠A=∠C,∴AD∥BC.【针对训练1】如图所示,点E,F分别是AD上的两点,AB∥CD,AB=CD,AF=DE.则线段CE,BF有什么数量关系和位置关系?并加以证明.〔解析〕CE和BF的关系是CE=BF(数量关系),CE∥BF(位置关系),理由是根据平行线性质求出∠A=∠D,根据SAS证ΔABF≌ΔDCE,推出CE=BF,∠AFB=∠DEC即可.解:CE和BF的数量关系是CE=BF,位置关系是CE∥BF.证明如下:∵AB∥CD,∴∠A=∠D.在ΔABF和ΔDCE中,∵{AB=CD,∠A=∠D, AF=DE,∴ΔABF ≌ΔDCE ,∴CE =BF ,∠AFB =∠DEC ,∴CE ∥BF ,即CE 和BF 的数量关系是CE =BF ,位置关系是CE ∥BF.[规律方法] 全等三角形的判定和性质是证明线段相等、线段的位置关系、角相等的重要手段.证明线段的位置和数量关系可通过先证三角形全等,然后利用全等三角形的性质来实现.专题二 全等三角形的性质及判定的实际应用【专题分析】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题,解题的关键是将实际问题抽象成几何问题来解决,一般难度不大.如图所示,要测量河岸相对的两点A ,B 之间的距离,先从B 处出发,沿与AB 成90°角的方向,向前走40米到C 处,在C 处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走40米到D 处,在D 处转90°沿DE 方向再走28米,到达E 处,此时A ,C 与E 在同一直线上,求点A 、点B 之间的距离.〔解析〕 根据已知条件可证ΔABC ≌ΔEDC ,利用其对应边相等的性质即可求得AB 的长.解:∵先从B 处出发,沿与AB 成90°角的方向向前走,∴∠ABC =90°,易知BC =40米,CD =40米,∠EDC =90°,在ΔABC 和ΔEDC 中,{∠ABC =∠EDC =90°,BC =DC ,∠ACB =∠ECD ,∴ΔABC ≌ΔEDC ,∴AB =ED ,∵沿DE 方向再走28米,到达E 处,∴DE=28米,∴AB=28米.∴点A,点B之间的距离为28米.【针对训练2】如图所示,广场上有两根旗杆,都垂直于地面放置.已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量,这两根旗杆在太阳光下的影子一样长,那么这两根旗杆的高度相等吗?说说你的理由.〔解析〕根据太阳光线AB与DE平行,可得∠B=∠E,再根据两根旗杆都垂直于地面可得∠C=∠F=90°,然后利用“角边角”证明ΔABC和ΔDEF全等,根据全等三角形对应边相等即可得解.解:两根旗杆的高度相等.理由如下:∵太阳光线AB与DE是平行的,∴∠B=∠E.∵两根旗杆都垂直于地面放置,∴∠C=∠F=90°.∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长,∴BC=EF.在ΔABC和ΔDEF中,{∠B=∠E, BC=EF,∠C=∠F,∴ΔABC≌ΔDEF(ASA),∴AC=DF,即两根旗杆的高度相等.[方法归纳]本类题考查了全等三角形的应用,根据题意找出三角形全等的条件,然后证明两三角形全等,最后根据全等三角形的性质得出线段相等.专题三角平分线的性质及判定的应用【专题分析】此部分内容单独考查时难度不大,但要注意角平分线的性质和判定方法的区别和联系.“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这是角的平分线的性质,而“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这是角的平分线的判定,性质和判定互为逆命题.如图所示,在ΔABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,ED⊥BC于D,DE=DC.求证BC=AB+AE.〔解析〕需先证ΔBDE≌ΔBAE,则BD=BA,AE=DE=DC,从而可得BC=BD+DC=AB+AE.证明:∵∠BAC=90°,BE平分∠ABC,ED⊥BC于D,∴AE=DE.∵BE是公共边,∴RtΔBDE≌RtΔBAE(HL),∴BD=BA,AE=DE=DC,∴BC=BD+DC=AB+AE.【针对训练3】如图所示,已知在RtΔABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且DE=DC.(1)求证BD平分∠ABC;(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数.〔解析〕(1)根据已知条件结合角平分线的判定方法即可证明;(2)根据直角三角形的两个锐角互余求解.证明:(1)∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,∴点D在∠ABC的平分线上,∴BD平分∠ABC.解:(2)∵∠C=90°,∠A=36°,∴∠ABC=54°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=27°.[注意事项]在利用角的平分线的性质和判定方法时,要注意格式的规范,一定要体现“到角两边的距离”的书写格式,即要交待清楚哪些线段互相垂直.专题四利用尺规作图,作一个三角形与已知三角形全等或作一个角的平分线【专题分析】尺规作图是数学的重要知识之一,作一个角的平分线和作一个三角形与已知三角形全等是尺规作图中的基本作图,很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形得出来的.如图所示,已知直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,交点分别为A,B,C,现要建一个塔台,若要求它到三条公路的距离都相等,那么:(1)可选择的地点有几处?(2)你能画出塔台的位置吗?〔解析〕(1)根据角平分线的性质易得出符合条件的点有4处.(2)由角平分线的性质可知该点可在ΔABC的内部,也可以在ΔABC的外部,分别作出即可.解:(1)可选择的地点有4处.(2)能,如图所示,根据角平分线的性质,可知该点可以在ΔABC的内部,也可以在ΔABC的外部,若在ΔABC 的内部,则为两内角平分线的交点,若在ΔABC的外部,则为两内角的邻补角的平分线的交点,如图所示的P1,P2,P3,P4即为所求的塔台的位置.【针对训练4】如图所示,已知ΔABC.(1)请用直尺和圆规作一个三角形,使所作三角形与ΔABC全等.(2)请简要说明你所作的三角形与ΔABC全等的依据.〔解析〕(1)首先作一条射线,在射线上截取DF=BC,再以D为圆心,AB长为半径画弧,以F为圆心,AC 长为半径画弧,交点设为E点,即可得出符合题意的三角形.(2)利用三角形全等的判定方法得出即可.解:(1)如图所示.首先作一条射线,在射线上截取DF=BC,再以D为圆心,AB长为半径画弧,以F为圆心,AC长为半径画弧,交点设为E点,连接DE,EF,即可得出符合题意的三角形,ΔEDF即为所求.(2)在ΔEDF和ΔABC中,{DE=AB, DF=BC, EF=AC,∴ΔEDF≌ΔABC(SSS).[规律方法]在作图时要掌握角平分线的性质和判定方法,以及全等三角形的判定方法,作图要规范,要利用直尺和圆规正确地作图,保留作图痕迹.专题五分类讨论思想【专题分析】对于三角形全等的性质和判定的问题,由于已知条件的不确定性或开放性,常用到分类讨论思想.如图所示,点F,C在线段BE上,且∠1=∠2,AC=DF,若使ΔABC≌ΔDEF,则需补充的一个条件是或或.〔解析〕要使ΔABC≌ΔDEF,已知∠1=∠2,AC=DF,因此只需添加一组对应角相等或BC=EF即可得出两三角形全等的结论.〔答案〕BC=EF ∠A=∠D ∠B=∠E(答案不唯一)【针对训练5】如图所示,已知AB=AC,用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE,还需添加一个条件:;若用“ASA”证明,还需添加一个条件:;若用“AAS”证明,还需添加一个条件:.图中除了ΔABD≌ΔACE之外,还有Δ≌Δ.〔解析〕本题要判定ΔABD≌ΔACE,已知AB=AC,∠A是公共角,具备了一组边、一组角相等,故添加AD=AE,∠C=∠B,∠ADB=∠AEC后可分别根据SAS,ASA,AAS判定ΔABD≌ΔACE.证明ΔABD≌ΔACE后可进一步证明ΔDFC≌ΔEFB.〔答案〕AD=AE ∠C=∠B ∠ADB=∠AEC DFC EFB[规律方法]本类题考查三角形全等的判定方法.判定两个三角形全等的一般方法:SSS,SAS,ASA,AAS,HL(只适用于直角三角形).同时注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,根据已知条件,结合图形及判定方法正确添加条件是解答本类题的关键.专题六转化思想【专题分析】三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法,证明线段(或角)相等,往往转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.当线段(或角)所在的两个三角形明显不全等时,还要添加辅助线,构造全等三角形.如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的边BC,CA延长线上的点,且CD=AE,连接AD,BE,求证AD=BE.〔解析〕根据ΔABC为等边三角形可以得到∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB,则∠EAB=∠ACD,根据SAS即可证得ΔABE≌ΔCAD,然后根据全等三角形的对应边相等,即可证得AD=BE.证明:∵ΔABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB,∴∠EAB=∠ACD=120°.在ΔABE 和ΔCAD 中,∵{AE =CD ,∠EAB =∠DCA ,BA =AC ,∴ΔABE ≌ΔCAD (SAS),∴AD =BE.【针对训练6】 在ΔABC 中,∠ACB =2∠B ,如图(1)所示,当∠C =90°,AD 为∠BAC 的平分线时,在AB 上截取AE =AC ,连接DE ,易证AB =AC +CD.(1)如图(2)所示,当∠C ≠90°,AD 为∠BAC 的平分线时,线段AB ,AC ,CD 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明.(2)如图(3)所示,当AD 为ΔABC 的外角∠CAF 的平分线时,线段AB ,AC ,CD 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.〔解析〕 (1)首先在AB 上截取AE =AC ,连接DE ,易证ΔADE ≌ΔADC (SAS),则可得∠AED =∠ACD ,ED =CD ,又由∠ACB =2∠B ,得∠AED =2∠B ,即∠B =∠BDE ,易得DE =CD =BE ,则可得AB =AC +CD.(2)首先在BA 的延长线上截取AE =AC ,连接ED ,易证ΔEAD ≌ΔCAD ,可得ED =CD ,∠AED =∠ACD ,又由∠ACB =2∠B ,易证DE =EB ,则可得AC +AB =CD.解:(1)猜想:AB =AC +CD.证明如下:如图(1)所示,在AB 上截取AE =AC ,连接DE ,∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AD,∴ΔADE≌ΔADC(SAS),∴∠AED=∠ACD,ED=CD.∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴EB=ED,∴EB=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.(2)猜想:AB+AC=CD.证明如下:如图(2)所示,在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED.∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠CAD.在ΔEAD与ΔCAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,∴ΔEAD≌ΔCAD(SAS).∴ED=CD,∠AED=∠ACD.∴∠FED=∠ACB,又∵∠ACB=2∠B,∴∠FED=2∠B,∵∠FED=∠B+∠EDB,∴∠EDB=∠B,∴EB=ED.∴EA+AB=EB=ED=CD.∴AC+AB=CD.[规律方法]在几何证明的过程中,当题目中的已知条件无法解决问题时,我们可以适当地添加辅助线来构造全等三角形,添加辅助线时要先分析题目中的已知条件,然后合理地作辅助线,辅助线添加得正确与否是解决问题的关键.专题七数学建模思想【专题分析】全等三角形在实际生活中有很多的应用.比如,测量零件内槽宽的工具——卡钳,它可以测量不能直接测量的两点间的距离.对于这些实际问题,往往是根据实际情况建立数学模型,利用数学原理解决问题.如图所示,有一座小山,现要在小山A,B的两端开一条隧道,施工队要知道A,B两端的距离,但A,B间的距离不能直接测得,请你用已学过的知识按以下要求设计测量方案.(1)画出测量图;(2)写出测量方案;(3)写出推理过程.〔解析〕(1)根据题意及所给图形,结合全等三角形的相关知识画出测量图;(2)根据画好的测量图,写出测量方案;(3)可通过证ΔACB≌ΔDCE来验证方案的合理性.解:(1)如图所示.(2)①找个能同时看见A点和B点的C点,然后连接AC并延长到D,使DC=AC;②连接BC并延长至E,使EC=BC;③测量DE的长度,即为A,B间的距离.(3)在ΔACB和ΔDCE中,{AC=DC,∠ACB=∠DCE, CB=CE,∴ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴AB=DE.【针对训练7】某班同学到野外活动,为测量一池塘两端A,B间的距离,设计了几种方案,下面介绍两种:①如图(1)所示,先在平地上取一个可以直接到达A,B的点C,并分别延长AC到D,BC到E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长,即为A,B间的距离.②如图(2)所示,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,测出DE的长,即为A,B间的距离.阅读后回答下列问题:(1)方案①是否可行?并说明理由.(2)方案②是否可行?并说明理由.〔解析〕(1)由题意可证明ΔACB≌ΔDCE,得出AB=DE,故方案①可行;(2)由题意可证明ΔABC≌ΔEDC,故AB=ED,故方案②可行.解:(1)方案①可行.理由如下:∵DC=AC,EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE,∴ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴AB=DE,∴测出DE的长,即为A,B间的距离.故方案①可行.(2)方案②可行.理由如下:∵AB⊥BC,DE⊥CD,∴∠ABC=∠EDC=90°.又∵BC=CD,∠ACB=∠ECD,∴ΔABC≌ΔEDC,∴AB=ED,∴测出DE的长,即为A,B间的距离.故方案②可行.[规律方法]本类题考查了全等三角形的应用.此类题带有一定的主观性,学生要根据已学过的知识对新问题进行探索,同时对基础知识进行巩固,这种题型较常见,要熟练掌握.专题八类比思想【专题分析】对于几何图形的运动问题(如平移、旋转等)以及一些规律探究题,常常会出现一个基本图形,无论从图形上还是从解题方法上都比较简单,而其他的较复杂的图形,都是由基本图形通过变化得到的,它与基本图形有很多类似的条件和结论,类比基本图形,可以解决复杂图形的问题,主要考查观察、推理、猜想的能力.如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E是BC上的两点,且∠DAE=45°.将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB,连接DF.(1)请猜想DF与DE之间有何数量关系;(2)证明你的猜想.〔解析〕(1)猜想:DF=DE.(2)ΔAEC绕点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB,根据旋转的知识得AE=AF,∠FAB=∠EAC,而∠DAE=45°,易得∠DAF=45°,根据SAS证出ΔADF≌ΔADE,则DF=DE.解:(1)猜想:DF=DE.证明:(2)∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠EAC=45°.∵将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB,∴AF=AE,∠FAB=∠EAC,∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=45°=∠DAE.在ΔADF和ΔADE中,{AF=AE,∠FAD=∠EAD, AD=AD,∴ΔADF≌ΔADE(SAS),∴DF=DE.【针对训练8】直线CD经过∠BCA的顶点C,CA=CB.E,F是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:①如图(1)所示,若∠BCA=90°,∠α=90°,判断EF与|BE-AF|的数量关系;②如图(2)所示,若0°<∠BCA<180°,若使①中的结论仍然成立,则∠α与∠BCA应满足什么数量关系?理由是什么?(2)如图(3)所示,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请探究EF,BE,AF三条线段之间的数量关系,并给予证明.〔解析〕(1)①由∠BCA=90°,∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,可推得∠CBE=∠ACD,且已知CA=CB,∠BEC=∠CFA,可证ΔBEC≌ΔCFA,得BE=CF,EC=AF,又知EF=CF-CE,所以可得EF与|BE-AF|的关系.②只有满足ΔBEC≌ΔCFA,才有①中的结论,即∠BCE=∠CAF,∠CBE=∠ACF.由三角形内角和等于180°,可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°,即∠α+∠BCE+∠FCA=180°,即可得到∠α+∠BCA=180°.(2)通过条件证明ΔBEC≌ΔCFA(可通过AAS证得),可得BE=CF,EC=AF,即可得到EF=EC+CF=BE+AF.解:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD,在ΔBEC与ΔCFA中,∵{∠BEC=∠CFA,∠CBE=∠ACF, BC=CA,∴ΔBEC≌ΔCFA(AAS),∴BE=CF,EC=FA.∵EF=CF-CE,∴EF=|BE-AF|.②∠α与∠BCA应满足的数量关系是∠α+∠BCA=180°,理由如下:∵∠α+∠BCA=180°,∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°,∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°(三角形内角和等于180°),∴∠CBE=∠ACD,又∵∠BEC=∠CFA,CA=CB,∴ΔBEC≌ΔCFA(AAS),∴BE=CF,EC=FA,∵EF=CF-CE,∴EF=|BE-AF|.(2)EF=BE+AF.证明如下:如图所示,∵∠1+∠2+∠BCA=180°,∠2+∠3+∠CFA=180°,∠BCA=∠α=∠CFA,∴∠1=∠3.又∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,∴ΔBEC≌ΔCFA(AAS),∴BE=CF,EC=FA,∴EF=EC+CF=BE+AF.[规律方法]本类题主要考查三角形全等的判定,涉及三角形内角和定理、线段比较长短等知识点.题目的阅读量大,因此在解决此类问题时一定要仔细阅读,理解题目中的已知条件,寻找解题思路,并要在不断地探索中发现规律和总结规律.1.进一步掌握轴对称的性质、会画轴对称图形.2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.3.掌握含30°角的直角三角形的性质.1.通过练习巩固所学的知识,提高学生解决问题的能力.2.培养学生对知识的综合运用能力.通过对问题的解决,使学生树立认真、严谨的科学态度.【重点】轴对称的性质;等腰三角形和等边三角形的性质和判定.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定.专题一轴对称及轴对称图形【专题分析】轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点,通过观察日常生活中的轴对称现象,理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系;学习轴对称变换,不但要会画一个图形关于某直线对称的图形,还要学会通过轴对称设计确定最短路线等.【针对训练1】从对称轴角度看,和其他三个不一样的图形是()〔解析〕A,C,D都只有两条对称轴,只有B有无数条对称轴.故选B.[规律方法]判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称),关键是能否找到一条直线,将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折,使对折后的两部分(或两个图形)完全重合.如果能,就是轴对称图形(或成轴对称),这条直线就是它的对称轴.专题二利用轴对称作变换后的图形及设计图案【专题分析】利用轴对称变换设计精美图案,当对称轴改变方向时,原图形的对称图形也改变方向,一个图形经过若干次轴对称变换,再结合平移、旋转等,就可以得到非常美丽的图案.经过轴对称变换将甲图案变成乙图案的是()〔解析〕A,B,D中的甲图案通过旋转或平移,和乙图案中各点对应,均错误;C.经过轴对称变换将甲图案变成乙图案,故此选项正确.故选C.[解题策略]本题考查了利用轴对称设计图案,属于基础题,关键是掌握几何变换不改变图形的大小.【针对训练2】如图所示的是三个小正方形组成的图形,现再给你一个同样的小正方形“接”在原图形上,使其变成一个轴对称图形,请你分别在图a,b,c,d中画出不同的拼接方案,并画出对称轴.。
