2021版新高考数学(B)人教A版一轮复习单元质检卷二 函数

第2讲 函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)， 所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一 确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二 函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三 函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0， 所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。

平面解析几何 章节验收测试卷B 卷姓名班级准考证号1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线 【答案】B 【解析】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β， 则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线， 当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则22BC CD h =+， 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则22()CA x a y =++，22()CD x a y =-+，222()CB x a y h =-++，∴22222()2()x a y h x a y -++=++，化简可得2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆． 故选：B ．2．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =. 故选：C ．3．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π 【答案】D 【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a=1，22213b =-可得渐近线方程为：3y x =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π， 故选D.4．已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ^,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ） A ．[]3,4 B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ^，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.5．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，13AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C .6．下列命题中：①若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；②将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件； ④已知()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】对于①，若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；故①正确；对于②，将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故②错误；对于③，“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件，故③正确； 对于④，因为()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则20022x y R +<，所以圆心()0,0到直线200x x y y R +=的距离d R =>，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:4C x y b +-=与l 交于第一象限A 、B 两点，若3ACB π∠=，且3OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．3 C．5D．3【答案】D 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为：b y x a =圆()22:4C x y b +-=的圆心坐标为()0,b ，半径为23ACB π∠=Q ABC ∆∴是边长为2的等边三角形∴2AB =，圆心到直线by x a=又2AB OB OA OA =-= 1OA ∴=，3OB = 在OBC ∆，OAC ∆中，由余弦定理得：2223414cos cos 62b b BOC AOC b b+-+-∠=∠==，解得：b =圆心到直线b y x a =c ab ==3c e a ∴===本题正确选项：D8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．35 B ．53C ．3D ．13【答案】C 【解析】双曲线的渐近线的方程为b y x a=±， ∵直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-，∴直线l 的方程为2a c y x b b=-，即20ax by c --=，∵双曲线的右焦点为(),0c ，其到l的距离d c a ==-，又∵半径为c 的圆Ω与直线l 交于,M N两点且MN =， ∴()22259c a c c -+=，化简得2251890c ac a -+=，即()()3530c a c a --=， 得3c a =或35c a =，即3ce a==或35（舍去），故选C.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 10．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得31y x =， 可得312x y x x +=+-， 当0x ≤时，[]31112OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎛=+-∈ ⎝⎝⎭； 当3x ≥[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确． 则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．12．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 为12PF F V 的内心，若121212MPF MPF MF F S S S =+V V V 成立，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．52C ．2D ．53【答案】C 【解析】如图，设圆M 与12PF F V 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ， 则12ME F F ⊥，1MF PF ⊥，2MG PF ⊥，它们分别是12MF F V ，1MPF V ，2MPF V 的高， 111122MPF rS PF MF PF ∴=⨯⨯=V ，222122MPF rS PF MG PF V =⨯⨯=121212122MF F rS F F ME F F =⨯⨯=V ，其中r 是12PF F V 的内切圆的半径．121212MPF MPF MF F S S S =+V V V Q1212224r r rPF PF F F ∴=+ 两边约去2r得：121212PF PF F F =+121212PF PF F F ∴-=根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =2a c ∴=⇒离心率为2ce a== 故选：C ．13．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.【答案】3 【解析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即222b a a +-=，所以b =，而c =所以c ，因此ce a==即双曲线的离心率为.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e =本题正确结果：1315．已知椭圆2243x y +=1的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点M ，设M 的坐标为()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x +203y ＜1②204x +203y ＞1③04x +03y ＜1 ④2200431x y +>【答案】①③④ 【解析】()()121,0,1,0F F -，因为12l l ⊥，120MF MF =u u u u r u u u u rg ，所以()()()()0000110x x y y --⨯-+-⨯-=即22001x y +=，M 在圆221x y +=上，它在椭圆的内部，故2200143x y +<，故①正确，②错误； O 到直线143x y +=的距离为3412155⨯=>，O 在直线143x y+=的下方， 故圆221x y +=在其下方即00143x y +<，故③正确；22220000431x y x y +≥+=，但222200004,3x x y y ==不同时成立，故22220000431x y x y +>+=，故④成立，综上，填①③④．16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB-=__________．【答案】17【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭,由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得=--A B A B y y y y ，则17FA FB AB-=，17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+， 以k-替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，2222124||1313k k PQ k k --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r 221602301396k k =≤++， 当2219k k =时，即33k =±时取等号， max 230||PQ =u u u r ， 又||10AB =u u u r，max23023310λ==，∴λ取得最大值时的PQ 的长为230． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值；（2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；103λ=（2）37⎢⎣⎦【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3， 所以2224a b c -==，22491a b +=， 解得216a =，212b =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.所以()12,0F -，直线1PF 的方程为()324y x =+， 将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267Q x =-，所以126210726327P Q F Q x x PQ FQ x x λ+-====--+. （2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y ，因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （方法一）因为()1,0F c -，由1PQ FQ λ=得，()11c x c x λ-=--，211by y aλ-=-，解得111x c λλ+=--，()211b y a λ=--，所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因为点Q 在椭圆上，所以()222221111b e aλλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()()2222111e e λλ++-=-，所以2(2)2e λλ+=-，从而222e λλ-=+. 因为45λ≤≤，所以21337e ≤≤.7e ≤≤， 所以椭圆C的离心率的取值范围⎣⎦.19．已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =，得椭圆过点⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又2c e a ===，得224a b =， 所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>， 得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=-+，所以1222ty y 3k 1+=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=-=++， 此时E OE E y 1k x 3k ==-，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=-，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1， 所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2． （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=-， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得22G 3k 13k 1⎛⎫ ++⎝，，又221E D 3k 3k 13k 1，，，⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭++⎝， 由距离公式及t ＞0得22222229k 1|OG |((3k 13k 13k 1+=+=+++，()22219k 1OD 3k +⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2222223kt t 9k 1OE 3k 13k 13k 1⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．21．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F=2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =--，联立()12y m x x ⎧=--⎨=⎩，解得()2,N m -，∴直线ON 的方程为2m y x =-，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=-+，设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==-+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>P的坐标为2⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1624 【解析】 （1）由已知2c e a ==，又222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5.∴1211||22ABCS DC y y ∆=-== 设211(0)44t t k =<≤+，则ABC S ∆=在1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，ABC S ∆取得最大值1624.。

单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是()A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x2.若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f(x)=x22|x|-4的图象大致为()4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(a)<f(b)C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)]恒成立,则a的最小值是()5.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12D.-3A.0B.-2C.-52)x-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()6.已知函数f(x)=(12A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)是偶函数,定义域为R,单调增区间为[0,+∞),且f(1)=0,则(x-1)f(x-1)≤0的解集为()A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]-λ=0有四个8.已知函数f(x)=|x|·e x(x≠0),其中e为自然对数的底数,关于x的方程f(x)+2x(x)相异实根,则实数λ的取值范围是()A.0,1eB.(2√2,+∞),+∞C.e+2e,+∞D.2e+1e二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数10.若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是()A.2B.12C.3 D.1311.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x);②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有x(x2)-x(x1)x2-x1>0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是()A.f (3)>f (-4)B.若f (m-1)<f (2),则m ∈(-∞,3)C.若x (x )x >0,则x ∈(-1,0)∪(1,+∞)D.∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,则f (f (-2))= ;若f (a )=2,则实数a= .14.若函数f (x )=log a (x+5)+1(a>0且a ≠1),图象恒过定点P (m ,n ),则m+n= ;函数g (x )=ln(x 2+m )的单调递增区间为 .15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f (x ),如果存在x 0≠0,使得f (x 0)=-f (-x 0),则称(x 0,f (x 0))与(-x 0,f (-x 0))为函数图象的一组奇对称点.若f (x )=e x-a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a 的取值范围是 .16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD ,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9√3平方米,且高度不低于√3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的取值范围为 .四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=xx-2,其中a∈R.x+2(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f (x )在x=x +22处取得最小值-x 24(t ≠0),且f (1)=0.(1)求y=f (x )的表达式;]上的最小值为-5,求此时t的值.(2)若函数y=f(x)在区间[-1,12-2),其中x>0,a>0.21.(14分)已知函数f(x)=lg(x+xx(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.C A选项:当x>0时,y=(12)x,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=(12)x为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.2.D∵y=x23(x>0)是增函数,∴a=1223>b=1523.∵y=12x是减函数,∴a=1223<c=1213,∴b<a<c.3.D 根据题干中的表达式得|x|≠2,故f (x )为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x 从x 轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D .4.D ∵0<a=log 52<log 5√5=12,1>b=ln2>ln √e =12,∴f (a )<f (b )<f (1),又f (c )=f (-20.1)=f (20.1)>f (1),∴f (a )<f (b )<f (c ),故选D .5.C x 2+ax+1≥0(0<x ≤12)⇔ax ≥-(x 2+1)⇔a ≥-(x +1x),∵函数f (x )=x+1x 在(0,1)上是减函数,∴当x ∈(0,12]时,f (x )≥f (12)=12+2=52,∴[-(x +1x )]max=-52,即a ≥-52,a 的最小值是-52.6.B 函数f (x )=(12)x-sin x 在[0,2π]上的零点个数为函数y=(12)x的图象与函数y=sin x 的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B .7.C 由题意可知,函数f (x )在(-∞,0]上单调递减,且f (-1)=0,令x-1=t ,则tf (t )≤0.∴当t ≥0时,f (t )≤0,0≤t ≤1;当t<0,f (t )≥0,t ≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x ≤0或1≤x ≤2.故选C .8.D f (x )=|x|·e x={x ·e x ,x >0,-x ·e x ,x <0.当x>0时,由f (x )=x ·e x ,得f'(x )=e x +x ·e x =e x(x+1)>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f (x )=-x ·e x ,得f'(x )=-e x -x ·e x =-e x(x+1).当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )>0;当x ∈(-1,0)时,f'(x )<0,∴当x=-1时,函数f (x )取得极大值为f (-1)=1e .作出函数f (x )=|x|·e x (x ≠0)的图象的大致形状如图所示.令f (x )=t ,则方程f (x )+2x (x )-λ=0化为t+2x-λ=0,即t 2-λt+2=0, 要使关于x 的方程f (x )+2x (x )-λ=0有四个相异实根,则方程t 2-λt+2=0的两根一个在0,1e 上,一个在1e,+∞上.则1e 2−x e +2<0,解得λ>2e +1e .∴实数λ的取值范围是2e+1e ,+∞.故选D .9.ABC ∵f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,∴f (-x+1)=-f (x+1),①f (-x+2)=-f (x+2),②∴由①可得f [-(x+1)+1]=-f (x+1+1),即f (-x )=-f (x+2),③∴由②③得f (-x )=f (-x+2),即f (x )的周期为2,∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,当a>1时,可得y min=1x,y max=a,那么1x +a=52,解得a=2,当0<a<1时,可得y max=1x,y min=a,那么1x +a=52,解得a=12,故a的值可能是12或2.故选AB.11.BD由该车间5小时某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x),说明函数是偶函数;②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有x(x2)-x(x1)x2-x1>0,说明函数在(0,+∞)是增函数;③f(-1)=0.所以f(3)<f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f (m-1)<f (2),可得|m-1|<2,则m ∈(-1,3),所以B 不正确;由题意y=x (x )x 是奇函数,若x (x )x>0,又f (-1)=0,可得x ∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C 正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M ,正确;故选CD.13.√2 -2或4 ∵函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,∴f (-2)=|-2|=2,f (f (-2))=f (2)=√2;∵f (a )=2,∴当a ≤0时,f (a )=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f (a )=√x =2,解得a=4.综上,实数a 的值为-2或4.14.-3 (2,+∞) 当x+5=1时,即x=-4,不论a 为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g (x )=ln(x 2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u (x )=x 2-4,u (x )>0,递增区间为(2,+∞),g (u )=ln u 在定义域内为增函数,复合函数g (u (x ))根据同增异减性质,函数g (x )递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞) 依题意,知f (x )=-f (-x )有非零解,由f (x )=-f (-x )得e x -a=-(e -x-a ),即a=12e x+1e x>1(x ≠0),所以当f (x )=e x -a 存在奇对称点时,实数a 的取值范围是(1,+∞).16.[3,4] 根据题意知9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2×x2=BC+x ,h=√32x ,所以9√3=12(2BC+x )√32x ,得BC=18x −x2,由{x =√32x ≥√3,xx =18x -x2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x +3x 2(2≤x<6),由y=18x +3x 2≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解(1)不等式f (x )≤-1即为xx -2x +2≤-1⇔(x +1)xx +2≤0.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=xx 1-2x1+2−xx 2-2x 2+2=2(x +1)(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2),∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴要使f (x )在(0,+∞)上单调递减,即f (x 1)-f (x 2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f (x )在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.解(1)E=f (t )={x 2+20x +16,0<x ≤3,85,3<x ≤5,335-50x ,x >5,t=6时,E (6)=35.(2)0<t ≤3时,H (t )=t+16xx+20,H (t )≥24⇒t+16xx≥4,由0<t ≤3,得a ≥-116t 2+14t=-116(t-2)2+14≥14.所以a ∈14,+∞.19.解(1)设每团人数为x ,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价格为y 元,则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y={900,0<x ≤30,1200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S={900x -15000,0<x ≤30,1200x -10x 2-15000,30<x ≤75,即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75.因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S 取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x ∈(30,75],所以当x=60时,S 取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解(1)设f (x )=a (x -x +22)2−x 24(a>0).因为f (1)=0,所以x 24(a-1)=0.又因为t ≠0,所以a=1,所以f (x )=(x -x +22)2−x 24(t ≠0).(2)因为f (x )=(x -x +22)2−x 24(t ≠0),所以当x +22<-1,即t<-4时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (-1)=(-1-x +22)2−x 24=-5,所以t=-92;当-1≤x +22≤12,即-4≤t ≤-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (x +22)=-x 24=-5,所以t=±2√5(舍去);当x +22>12,即t>-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (12)=(12-x +22)2−x 24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92. 21.解(1)由x+xx -2>0,得x 2-2x +xx>0.因为x>0,所以x 2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-√1-x或x>1+√1-x}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+xx-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-(x-32)2+94在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.。

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。

利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。

（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。

图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。

诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。

2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。

单元质量测试(二)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·四川省一诊)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，x 2＋1，x ≤1，则f (2)－f (1)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >1，x 2＋1，x ≤1，∴f (2)＝2，f (1)＝1＋1＝2，∴f (2)－f (1)＝2－2＝0.2．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x n，则f (4)f (2)＝4n 2n ＝2n ＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12n ＝13，故选C.3．(2020·柳州摸底)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)，若当x ∈[0,3]时，f (x )＝6－x ，则f (2021)＝( )A ．36B ．136C ．6D ．16答案 D解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.又f (x )是偶函数，且当x ∈[0,3]时，f (x )＝6－x ，∴f (2021)＝f (5＋336×6)＝f (5)＝f (－1)＝f (1)＝6－1＝16.故选D.5．(2019·湖南湘中名校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3 C.π4＋43 D ．π4＋3答案 A解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝π2×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |21＝π2＋43.6．函数f (x )＝e |x |x 2－1的图象大致为( )答案 A解析 ∵f (－x )＝e |－x |(－x )2－1＝e |x |x 2－1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；f (0)＝e 00－1＝－1＜0，排除C ；当x →＋∞时，e |x |的递增速度大于x 2－1的递增速度，即f (x )→＋∞，排除B.故选A.7．(2020·四川广元摸底)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过1小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }答案 C解析 当x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.8．(2019·长沙一模)下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是( )A ．f (x )＝sin x －xB ．f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)C ．f (x )＝e x ＋e －x 2D ．f (x )＝e x －1e x ＋1答案 D解析 由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A 中，f ′(x )＝cos x －1>0无解，故不满足题意；B 中，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，其图象不关于原点对称，故不满足题意；C 中，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故不满足题意；D 中，f (x )＝e x －1e x＋1＝1－2e x ＋1，所以f (x )在定义域内单调递增，又f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝－e x －1e x ＋1＝－f (x )，所以f (x )的图象关于原点对称，满足题意．故选D.9．(2019·南昌调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0恒成立，则( )A ．4f (－2)<9f (3)B ．4f (－2)>9f (3)C ．2f (3)>3f (－2)D ．3f (－3)<2f (－2)答案 A解析 根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导函数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0恒成立，则当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，则有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．故选A.10．(2019·榆林一模)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (log 4x )＞2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22答案 A解析 由题意知，不等式f (log 4x )＞2，即f (log 4x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴log 4x ＞12＝log 42或log 4x ＜－12＝log 412，∴0＜x ＜12或x ＞2，故选A.11．(2019·成都一诊)已知函数f (x )＝3x ＋2cos x .若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案 D解析 由题意，得f ′(x )＝3－2sin x .因为－1≤sin x ≤1，所以f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )是增函数．因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a ，故选D.12．(2019·陕西九校质量考评)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xex ，x ≥0，－x ，x ＜0，又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2＋1e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋1e ，－2 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，e 2＋1e 答案 A解析 由已知有f (x )＝xe x (x ≥0)，f ′(x )＝1－x e x ， 易得0≤x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0， 即f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1， 设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，等价于m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0＜m 2＜1e ＜m 1，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＜0，解得t ＜－e 2＋1e ，故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析 由条件可得⎩⎨⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．14．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 0<m ≤3解析 由已知得m >0，且m ×0＋m －1≤2，故0<m ≤3.15．(2019·东北三省四市联考)设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x (x ≥－1)，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为________．答案 1－1e解析 ∵f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0有解，∴a ≥x 3－3x ＋3－xe x 有解．令g (x )＝x 3－3x ＋3－x e x ，则g ′(x )＝3x 2－3＋x －1e x ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3＋1e x ，故当x ∈[－1,1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在[－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )min ＝g (1)＝1－3＋3－1e ＝1－1e ，∴a ≥1－1e ，∴实数a 的最小值为1－1e .16．(2019·东北三校高三一模)已知f (x )＝axx 2＋c ＋b ，g (x )＝f 2(x )－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①f (x )关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}． 答案 ①③⑤ 解析 h (x )＝ax x 2＋c 为奇函数，f (x )＝axx 2＋c＋b 为h (x )上下平移得到，故①正确．f (x )＝ax x 2＋c＋b ＝a x ＋c x＋b ，c >0，因为x ＋cx 在(0，c )上单调递减，在(c ，＋∞)上单调递增，故②错误．x ＋c x ∈[2c ，＋∞)∪(－∞，－2c ]，所以a x ＋c x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，|a |2c ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－|a |2c ，0.故存在M >0，使|f (x )|≤M ，故③正确．当b ＝1时，g (0)＝f 2(0)－1＝[f (0)－1][f (0)＋1]＝(b －1)(b ＋1)＝0，g (x )有零点，故④错误；取a ＝3，b ＝0，c ＝2，则g (x )＝0的解集为{1，－1,2，－2}，⑤正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－214，又x ∈[－2,3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意；③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时， 此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)． 综上，可知a ＝－13.18．(2019·贵阳模拟)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并加以证明；(3)若f (x )<log 2(ax )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，求实数a 的范围．解 (1)由⎩⎨⎧2－x >0，x ＋2>0，得－2<x <2.所以函数f (x )的定义域为(－2,2)．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)的结论可知f (x )的定义域关于原点对称，又因为f (－x )＝log 2(2＋x )－log 2(－x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)由f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)<log 2(ax )，得log 22－x x ＋2<log 2(ax )，因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以2－x x ＋2<ax ，则ax 2＋(2a ＋1)x －2>0，令h (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x －2，则h (x )>0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，又因为a >0，对称轴为直线x ＝－2a －12a <0，由图象可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5a 4－32>0，得a >65. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (2)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)的值． 解 (1)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]， 又f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]． (2)已知函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 又函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，且f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)＝505×(0＋1＋0－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝1. 20．(2019·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480，m >30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解 (1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y＝p (x )x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立． 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买300台． (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m (60－m )，1≤m ≤30，480，m >30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m ·(60－m )＝－160m 2＋9600m ，所以当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144000件． 当m >30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)． 所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200＝120(人)．所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.21．(2019·成都一诊)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x －e xx ＋ax ，a ∈R .(1)当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)由题意，知f ′(x )＝－a x －x e x－exx 2＋a ＝(ax －e x)(x －1)x 2.∵当a <0，x >0时，有ax －e x <0，∴当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x－bx ≥1恒成立，即x e x －ln x ＋(1－b )x ≥1恒成立，即b －1≤e x －ln x x －1x 恒成立．设g (x )＝e x －ln x x －1x ，则g ′(x )＝e x－1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋ln x x 2. 设h (x )＝x 2e x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x .∵当x ＞0时，有h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝e>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 4－ln 2<0， ∴函数h (x )有唯一的零点x 0，且12＜x 0＜1.∴当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 即g (x 0)为g (x )在定义域内的最小值．∴b －1≤e x 0－ln x 0x 0－1x 0. ∵h (x 0)＝0，∴x 0e x 0＝－ln x 0x 0，12＜x 0＜1.(*) 令k (x )＝x e x ，12＜x ＜1，∴方程(*)等价于k (x 0)＝k (－ln x 0)，12＜x 0＜1.而k ′(x )＝(x ＋1)e x 在(0，＋∞)上恒大于零，∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增．故k (x 0)＝k (－ln x 0)，12＜x 0＜1等价于x 0＝－ln x 0，12＜x 0＜1，∴e x 0＝1x 0. 故g (x )的最小值g (x 0)＝e x 0－ln x 0x 0－1x 0＝1x 0－(－x 0)x 0－1x 0＝1. ∴b －1≤1，即b ≤2.故实数b 的取值范围为(－∞，2]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－12x2－ax有两个极值点x1，x2(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：f(x1)＋f(x2)>2.解(1)∵f(x)＝e x－12x2－ax，∴f′(x)＝e x－x－a.设g(x)＝e x－x－a，则g′(x)＝e x－1.令g′(x)＝e x－1＝0，解得x＝0.∴当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．∴g(x)min＝g(0)＝1－a.当a≤1时，f′(x)＝g(x)≥0，函数f(x)单调递增，无极值点；当a>1时，g(0)＝1－a<0，且当x→＋∞时，g(x)→＋∞；当x→－∞时，g(x)→＋∞.∴当a>1时，f′(x)＝g(x)＝e x－x－a有两个零点x1，x2.不妨设x1<x2，则x1<0<x2.∴函数f(x)有两个极值点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)＝0的两个实数根，x1<0<x2，且g(x)在(－∞，0)上单调递减．下面先证x1<－x2<0，只需证g(－x2)<0.∵g(x2)＝e x2－x2－a＝0，∴a＝e x2－x2，∴g(－x2)＝e－x2＋x2－a＝e－x2－e x2＋2x2.设h(x)＝e－x－e x＋2x(x>0)，则h′(x)＝－1e x－e x＋2<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)＝0，∴g(－x2)<0，即x1<－x2<0.∵函数f(x)在(x1,0)上单调递减，∴f(x1)>f(－x2)，下面先证f(－x2)＋f(x2)>2，即证e x2＋e－x2－x22－2>0.设函数k(x)＝e x＋e－x－x2－2(x>0)，则k′(x)＝e x－e－x－2x.设φ(x)＝k′(x)＝e x－e－x－2x，φ′(x)＝e x＋e－x－2>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，即k′(x)>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，k(x)>k(0)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，e x＋e－x－x2－2>0，则e x2＋e－x2－x22－2>0，∴f(－x2)＋f(x2)>2，∴f(x1)＋f(x2)>2.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

考点测试10 对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 D解析 由对数的运算公式和换底公式可得log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．－1B ．1C ．－12D ．22答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故选A. 3．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C ．18D ．log 23答案 D解析 由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A ．b <c <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．c <b <a答案 B解析 由2a＝－a >0，得a <0，由log 2b ＝－b <0，得0<b <1，由log 2c ＝c >0，得c >1，综上可知，a <b <c ，故选B.6．设m ＝log 0.30.6，n ＝12log 20.6，则( )A ．m －n >m ＋n >mnB ．m －n >mn >m ＋nC ．m ＋n >m －n >mnD ．mn >m －n >m ＋n答案 A解析 m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，mn <0.1m ＋1n ＝log 0.60.3＋log 0.64＝log 0.61.2<log 0.60.6＝1，即m ＋nmn<1，故m ＋n >mn .又(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n .故m －n >m ＋n >mn ，所以选A.7．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( ) A.3＋ab1＋a ＋abB ．3a ＋ba ＋a 2＋bC.3＋b1＋a ＋bD ．1＋a ＋ab 3＋ab答案 A解析 log 4256＝log 256log 242＝3＋log 271＋log 23＋log 27＝3＋log 23·log 371＋log 23＋log 23·log 37＝3＋ab1＋a ＋ab.故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1，可得1≤a ＜2；解⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，可得a ≥2.综上a ≥1.故选B.9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( ) A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案 C解析 因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t >0，x ＝2t，y ＝3t，z ＝5t，所以x 3＝23t＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C.10．计算：912－log95＝________.答案 35解析 912－log 95＝912×9－log 95＝3×15＝35.11．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析 由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.答案 9解析 因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析 因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于直线x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B.16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．17．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意，有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2016·浙江高考)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.三、模拟小题19．(2020·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q的值为( )A.14 B ．4 C ．6 D ．4或1答案 B解析 由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q＝1(舍去)．故选B.20．(2019·广州市高三年级调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b解析 因为ln 2＝log e 2，所以0<ln 2<1，所以c ＝(ln 2)2<1，而20<2ln 2<21，即1<a <2，b ＝2＋2ln 2>2，所以c <a <b .故选B.21．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a ＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0答案 B解析 设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.22．(2019·安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．答案 D解析 函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔ln x ln a ＝x ⇔ln a ＝ln x x ，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x x 的图象有两个交点．作函数y ＝ln x x 的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜1e 时，即1＜a ＜e 1e 时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx的图象有两个交点．故选D.23．(2019·陕西咸阳高三联考)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析 因为f (x )＝x ·ln 1＋x1－x＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln (1－x )－ln (1＋x )]＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π.当0<x <1时，易知f (x )为增函数．又0<14<1π<1e <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，即c <a <b ，故选A.24．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________． 答案 (16,36)解析 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4,4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ，因为4＜c ＜9，所以16＜4c ＜36，即16＜abc ＜36，所以abc 的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 2．(2019·福建漳州模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019＝0.(2)函数f (x )存在最小值．f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1， 当x ∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时，f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .3．(2019·渭南模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －17－x>0恒成立， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0,7)．4．(2019·大庆模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解 (1)当a >1时，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞)．。

单元质检卷七立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019山东济宁一模,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.24+9πB.12+9πC.12+5πD.24+4π2.(2019湖北八校联考二,6)设l,m表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,Q表示一个点,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①Q∈α,l⊂α⇒Q∈l②l∩m=Q,m⊂β⇒l∈β③l∥m,l⊂α,Q∈m,Q∈α⇒m⊂α④α⊥β,且α∩β=m,Q∈β,Q∈l,l⊥α⇒l∈βA.①②B.②③C.①③D.③④3.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.84.(2019安徽定远中学预测卷一)已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是边长为2的正方形,若过点P作平面ABCD的垂线,垂足为四边形ABCD的中心,且四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60°,则四棱锥P-ABCD的高为()A.2√2B.√3C.√6D.2√35.(2019安徽合肥一模,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.6πB.24πC.48πD.96π6.(2019贵州遵义航天中学十一模)四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,PA⊥底面ABCD,AB=2,若的同一球面上,则PA的长为() 该四棱锥的所有顶点都在体积为9π2A.3B.2C.1D.12二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019山东日照一模,16)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,且球的表面积为16π,则四棱锥P-ABCD体积的最大值为.8.(2019北京师大附中模拟三,13)某工厂现将一棱长为√3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面ABC,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2√5.(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;(2)求二面角B-SC-A的余弦值.10.(15分)(2019山东济宁一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD, ∠ABC=60°,AB=√3,AD=2√3,AP=3.(1)求证:平面PCA⊥平面PCD;(2)设E为侧棱PC上的一点,若直线BE与底面ABCD所成的角为45°,求二面角E-AB-D的余弦值.11.(15分)(2019北京,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC =13.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB =23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.参考答案单元质检卷七立体几何(A)1.B由题意可知,几何体是14个圆锥,所以几何体的表面积14×42π+2×12×4×3+14×12×8π×5=12+9π.故选B.2.D①错误,②错误,③正确,④正确.故选D.3.B由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积,两个半圆面积,圆柱侧面积的一半,球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×1 2πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.4.C如图,设高为PO,根据线面角的定义可知∠PCO是侧棱PC与底面所成的角,据题设分析知,所求四棱锥P-ABCD的高h=√22+222·tan60°=√6.故选C.5.B由三视图可知,三棱锥的直观图如图P-ADC,是底面为直角边为4与2的直角三角形,高为2的三棱锥,将三棱锥补成长方体,利用长方体的外接球与棱锥的外接球相同求解即可.图中矩形ABCD的长为4,宽为2,棱锥的高为PB=2,所以棱锥的外接球就是以BC,BA,BP为长、宽、高的长方体的外接球,外接球的直径就是长方体的体对角线,即2R=√42+22+22=√24,所以外接球的表面积为4πR2=24π.故选B.6.C连接AC、BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD,可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,可得R=12PC=12√PA2+8,可得43π·(12√PA2+8)3=9π2,解得PA=1.故选C.7.163因为球O的表面积是16π,所以S=4πR2=16π,解得R=2.设矩形ABCD的长、宽分别为x,y,则x2+y2=(2R)2≥2xy,当且仅当x=y时上式取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.因为点P在球面上,所以当PO⊥底面ABCD时,PO=R,即h max=R,此时四棱锥P-ABCD体积有最大值为1×8×2=16.8.√2π27圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O',圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上.∵正四面体棱长为√3,∴BM=32,O'M=12,BO'=1,∴AO'=√2,设圆柱的底面半径为r,高为h,则0<r<12.由三角形相似得r12=√2-√2,即h=√2-2√2r,圆柱的体积V=πr2h=√2πr2(1-2r),∵r2(1-2r)≤r+r+1-2r33=127,当且仅当r=1-2r即r=13时取等号.∴圆柱的最大体积为√2π27.故答案为√2π27.9.(1)证明在△BCA中,∵AB=2,CA=4,BC=2√5,∴AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.又平面SAB ⊥平面ABC ,平面SAB ∩平面ABC=AB ,∴AC ⊥平面SAB. 又AC ⊂平面SAC ,所以平面SAB ⊥平面SAC.(2)解 如图建立空间直角坐标系,A (0,0,0),B (2,0,0),S (1,0,√3),C (0,4,0),CS ⃗⃗⃗⃗ =(1,-4,√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0), 设平面SBC 的法向量n =(x ,y ,z ),由{-2x +4y =0,x -4y +√3z =0,则n =(2,1,2√33).设平面SCA 的法向量m =(a ,b ,c ),由{4b =0,a -4b +√3c =0,∴m =(-√3,0,1),∴cos <n ,m >=-2√1919, 又二面角B-SC-A 的平面角为锐角,∴二面角B-SC-A 的余弦值为2√1919. 10.(1)证明 在平行四边形ABCD 中,∠ADC=60°,CD=√3,AD=2√3,由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2-2AD·CD cos ∠ADC=12+3-2×2√3×√3×cos60°=9,∴AC 2+CD 2=AD 2,∴∠ACD=90°,即CD ⊥AC ,又PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD ,∴PA ⊥CD ,又AC ∩PA=A ,∴CD ⊥平面PCA.又CD ⊂平面PCD ,∴平面PCA ⊥平面PCD.(2)解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AC ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (0,3,0),D (-√3,3,0),P (0,0,3).设E (x ,y ,z ),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则(x ,y ,z-3)=λ(0,3,-3). ∴x=0,y=3λ,z=3-3λ,即点E 的坐标为(0,3λ,3-3λ).∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3λ,3-3λ),又平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1),∴sin45°=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√3+9λ+(3-3λ),解得λ=13.∴点E 的坐标为(0,1,2),∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0).设平面EAB 的法向量为m =(x ,y ,z ),由{m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x =0,y +2z =0.令z=1,得平面EAB 的一个法向量为m =(0,-2,1),∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=5=√55.又二面角E-AB-D 的平面角为锐角,所以,二面角E-AB-D 的余弦值为√55.11.(1)证明 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD.又因为AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD. (2)解 过A 作AD 的垂线交BC 于点M.因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AM ,PA ⊥AD. 如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (2,-1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2). 因为E 为PD 的中点,所以E (0,1,1). 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,-23,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,43. 设平面AEF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +z =0,23x +23y +43z =0.令z=1,则y=-1,x=-1. 于是n =(-1,-1,1).又因为平面PAD 的法向量为p =(1,0,0),所以cos <n ,p >=n ·p =-√3. 由题知,二面角F-AE-P 的平面角为锐角,所以其余弦值为√33.(3)解 直线AG 在平面AEF 内.因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),所以PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,-43,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =43,-23,23.由(2)知,平面AEF 的法向量n =(-1,-1,1). 所以AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-43+23+23=0. 所以直线AG 在平面AEF 内.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

姓名，年级：时间：单元质检卷九统计与统计案例(时间：45分钟满分：100分)一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.（2019湖北鄂州模拟,5）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间[200,480］的人数为（)A。

7 B.9 C。

10 D.122。

(2019江西赣州模拟,4）某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人，高三年级1 499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（）A.35,33，30B.36,32，30C.36，33,29D.35，32，313。

若样本1+x1,1+x2,1+x3,…，1+x n的平均数是10,方差为2，则对于样本2+2x1，2+2x2，2+2x3，…,2+2x n，下列结论正确的是（)A.平均数为20,方差为4 B。

平均数为11，方差为4C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为84.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（)5。

（2019广东汕头二模，6)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是(）A。

成绩在[70,80]分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000人C。

考生竞赛成绩的平均分约70。

5分D。

考生竞赛成绩的中位数为75分6。

(2019四川二诊,7)节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益"的节能意识，以最好的管理,来实现节能效益的最大化。

为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号12345年生产利润y (单位： 千万元）0。

单元质检卷九统计与统计案例(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019湖北鄂州模拟,5)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,则抽到的32人中,编号落入区间[200,480]的人数为()A.7B.9C.10D.122.(2019江西赣州模拟,4)某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人,高三年级1 499人,先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为()A.35,33,30B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,313.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+x n的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2x n,下列结论正确的是()A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为84.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()5.(2019广东汕头二模,6)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中有误的是()A.成绩在[70,80]分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000人C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分6.(2019四川二诊,7)节能降耗是企业的生存之本,树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理,来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:预测第8年该国企的生产利润约为()千万元参考公式及数据:b ^=∑i=1n (x i -x )(y i -y )∑i=1n (x i -x )2=∑i=1n x i y i -nxy∑i=1n x i 2-nx 2;a ^=y −b ^x,∑i=15(x i -x )(y i -y )=1.7,∑i=15x i 2-n x 2=10 A.1.88 B.2.21 C.1.85 D.2.34二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)7.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为 .8.(2019安徽六安毛坦厂中学联考,14)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百,意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役,则北乡比南乡多抽 人.9.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了如下面的对照表.由表中数据,得回归直线方程y ^=b ^x+a ^,若b ^=-2,则a ^= .三、解答题(本大题共3小题,共37分)10.(12分)(2019湖北仙桃中学模拟,19)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求计算具体值,给出结论即可);(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;(3)若此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)11.(12分)(2019福建三明模拟,19)近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车行业得到迅猛发展,某汽车交易市场对2019年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.图1图2(1)记“在2019年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16]”为事件A,试估计A的概率;(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用y=e a+bx作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程,相关数据如下表表中Y i=ln y i,Y=110∑i=110Y i;101010①根据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2019年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注:①对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n u i v i -nuv∑i=1n u i 2-nu 2,α^=v −β^u . ②参考数据:e 2.95≈19.1,e 1.75≈5.75,e 0.35≈1.73,e -0.65≈0.52,e -1.85≈0.16.12.(13分)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A ,B 两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A ,B 两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.(1)求该学校高一新生A ,B 两类学生各多少人?(2)经过测试,得到以下三个数据图表:75分以上A ,B 两类参加测试学生成绩的茎叶图图1100名测试学生成绩的频率分布直方图图2100名学生成绩频率分布表:①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.参考答案单元质检卷九统计与统计案例1.C每组人数为960÷32=30人,即抽到号码数的间隔为30,因为第一组抽到的号码为29,根据系统抽样的定义,抽到的号码数可组成一个等差数列,且a n=29+30(n-1)=30n-1,n∈N*,令200≤30n-1≤480,得20130≤n≤48130,可得n的取值可以从7取到16,共10个,故选C.2.B 先将每个年级的人数取整,得高一1800人,高二1600人,高三1500人,∴三个年级的总人数所占比例分别为1849,1649,1549,因此,各年级抽取人数分别为98×1849=36,98×1649=32,98×1549=30,故选B .3.D 样本1+x 1,1+x 2,1+x 3,…,1+x n 的平均数是10,方差为2,则数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数是9,方差是2;所以样本2+2x 1,2+2x 2,2+2x 3,…,2+2x n 的平均数是2+2×9=20,方差为22×2=8.4.D 根据四个列联表的等高条形图知,图形D 中不服药与服药时患禽流感的差异最大,它最能体现该药物对预防禽流感有效果.故选D .5.D A 选项,由频率分布直方图可得,成绩在[70,80]的频率最高,因此考生人数最多,故A 正确;B 选项,由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,即B 正确;C 选项,由频率分布直方图可得:平均分等于45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,即C 正确; D 选项,因为成绩在[40,70)的频率为0.45,由[70,80]的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67,故D 错误.故选D.6.C 由题可得:x =1+2+3+4+55=3,y =0.7+0.8+1+1.1+1.45=1,所以b ^=1.710=0.17,又a ^=y −b ^x =1-0.17×3=0.49,所以利润与年号的回归方程为y ^=0.17x+0.49,当x=8时,y ^=0.17×8+0.49=1.85,故选C .7.64 设在第一组中抽取的号码为a 1,则在各组中抽取的号码构成首项为a 1,公差为20的等差数列,即a n =a 1+(n-1)×20,又在第二组中抽取的号码为24,即a 1+20=24,所以a 1=4,所以在第四组中抽取的号码为4+(4-1)×20=64.8.60 由题意可得,三乡共有8100+9000+5400=22500人,从中抽取500人,因此抽样比为50022500=145,所以北乡共抽取8100×145=180人;南乡共抽取5400×145=120人,所以北乡比南乡多抽180-120=60人.故答案为60.9.60 由表中数据,计算x =1×(18+13+10-1)=10, y =14×(24+34+38+64)=40, 代入回归直线方程y ^=b ^x+a ^中,得40=-2×10+a ^,解得a ^=60.10.解 (1)A 城市评分的平均值小于B 城市评分的平均值;A 城市评分的方差大于B 城市评分的方差.(2)K 2=40×(5×10-10×15)2≈2.667<3.841,所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.(3)设事件M :恰有一人认可;事件N :来自B 城市的人认可;事件M 包含的基本事件数为5×10+10×15=200,事件M ∩N 包含的基本事件数为10×15=150,则所求的条件概率P (N|M )=P (N⋂M )P (M )=150200=34. 11.解 (1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场2019年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28,在(12,16]的频率为0.02×4=0.12,所以P (A )=0.28+0.12=0.40.(2)①由y=e a+bx 得ln y=a+bx ,即Y 关于x 的线性回归方程为Y ^=a+bx ,因为b ^=∑i=110x i Y i -10x ·Y ∑i=110x i 2-10x 2=79.75-10×5.5×1.9385-10×5.52=-0.3,a ^=Y −b ^x =1.9-(-0.3)×5.5=3.55,所以Y 关于x 的线性回归方程为Y ^=3.55-0.3x ,即y关于x 的回归方程为y ^=e 3.55-0.3x . ②根据①中的回归方程y ^=e 3.55-0.3x 和题图1,对成交的二手车可预测;使用时间在(0,4]的平均成交价格为e 3.55-0.3×2=e 2.95≈19.1,对应的频率为0.2;使用时间在(4,8]的平均成交价格为e 3.55-0.3×6=e 1.75≈5.75,对应的频率为0.36; 使用时间在(8,12]的平均成交价格为e 3.55-0.3×10=e 0.55≈1.73,对应的频率为0.28; 使用时间在(12,16]的平均成交价格为e 3.55-0.3×14=e -0.65≈0.52,对应的频率为0.12; 使用时间在(16,20]的平均成交价格为e 3.55-0.3×18=e -1.85≈0.16,对应的频率为0.04; 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.290 92≈0.29万元.12.解 (1)由题意知A 类学生有500×4040+60=200(人),则B 类学生有500-200=300(人).(2)①②79分以上的B类学生共4人,记80分以上的三人分别是{1,2,3},79分的学生为{a}.从中抽取2人,有(12)、(13)、(1a)、(23)、(2a)、(3a)共6种抽法,抽出2人均在80分以上有(12)、(13)、(23)共3种抽法,则抽到2人均在80分以上的概率为P=36=12.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第2讲 导数与函数的单调性一、知识梳理函数的单调性与导数的关系条件结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数理清三组关系(1)“在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)”是“函数f (x )在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件． 二、教材衍化1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值解析：选C ．在(4，5)上f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )是增函数．2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12解析：选B ．由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B ．3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )＞0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件； (2)讨论函数单调性时，分类标准有误．1．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数 D ．减函数解析：选D ．因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时， f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点一 判断(证明)函数的单调性(基础型)复习指导| 借助图象探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性．核心素养：数学抽象、逻辑推理(1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 (2)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.讨论f (x )的单调性．【解】 (1)选D ．因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )<0时， 解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D ． (2)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞ 单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．已知函数f (x )＝a2(x －1)2－x ＋ln x (a >0)，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (x －1)－1＋1x ＝（x －1）（ax －1）x ，令f ′(x )＝0，则x 1＝1，x 2＝1a，①若a ＝1，则f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②若0<a <1，则1a>1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； ③若a >1，则0<1a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数． 综上所述，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，f (x )在(0，1)上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数； 当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的单调区间(基础型)复习指导| 会利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间． 核心素养：数学运算已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x(a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1＋1＋a x 2＝－x 2＋ax ＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0， 所以，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．[提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．1．当x >0时，f (x )＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：选B ．令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B ．2．已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)． 考点三 函数单调性的应用(综合型)复习指导| 利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度一 比较大小或解不等式已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)【解析】 F ′(x )＝f ′（x ）e x －e x f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， 所以F (x )在R 上单调递减． 由F (x )<1e2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)．【答案】 B利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．角度二 已知函数单调性求参数的取值范围已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 【迁移探究1】 (变条件)本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【迁移探究2】 (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(1)已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围的两种思路 ①转化为不等式恒成立问题若函数在某区间上单调递增⇒f ′(x )≥0在该区间上恒成立；若函数在某区间上单调递减⇒f ′(x )≤0在该区间上恒成立．[注意] 一般地，f (x )在区间(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立，且在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )不恒为0.其中不等式中等号不能省略，否则可能漏解！②利用区间之间的包含关系若已知y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调，则区间(a ，b )应该是相应单调区间的子区间． (2)已知函数的单调区间求参数的值时，首先利用导数，求出函数的单调区间(含参)，然后令该单调区间与已知区间相等，列方程求解．(3)已知函数在某区间内不单调求参数的取值范围时，通常利用极值点在该区间内，列不等式求解．1．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A ．因为f (x )＝x sin x ， 所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )． 所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数． 所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． 2．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 又f (x )的单调递减区间为(－1，1)， 所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3， 所以实数a 的取值范围为(0，3)．[基础题组练]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D ．由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D ．2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C ．由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C ． 3．函数f (x )＝e xx的图象大致为( )解析：选B ．函数f (x )＝e xx 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e x x 2，可得函数的极值点为：x ＝1，当x ∈(0，1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f (x )>0，选项B 、D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝e xx <0，选项D 不正确，选项B 正确．4．已知f (x )＝ln xx ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：选D ．f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)，故选D ．5．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 解析：选C ．因为f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)，且函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x 2－mx ＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m ≤x 2＋1x ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x min (x ∈(1，＋∞))，因为当x ∈(1，＋∞)时，x ＋1x>2，所以m ≤2.故选C ． 6．函数f (x )＝x 4＋54x－ln x 的单调递减区间是________． 解析：因为f (x )＝x 4＋54x－ln x ， 所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5) 7．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0， 所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2， 所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13； 令f ′(x )<0，解得－13<x <1. 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. 10．已知函数f (x )＝b e x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解：因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－（－2）0－2＝－b ＋12， 而f ′(x )＝－b e x ，由导数的几何意义可知， f ′(0)＝－b ＝－b ＋12， 所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1. 则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ， 当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．[综合题组练]1．(综合型)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C ．令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，所以F (x )在R 上单调递减．又a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ）.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )． 2．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B ．3．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)4．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x， 由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案：(0，1)∪(2，3)5．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立．则存在x ∈(－2，－1)使－a >－x －2x成立， 即－a >⎝⎛⎭⎫－x －2x min. 因为x ∈(－2，－1)，所以－x ∈(1，2)，则－x －2x ≥2（－x ）·⎝⎛⎭⎫－2x ＝22， 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立， 所以－a >22，则a <－2 2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－22)．6．(2020·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.解：(1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x－1>x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x>0.。

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单元质检卷二函数(时间：100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分,共60分)1。

已知集合A=｛x｜ｙ=lg(2x+1）｝，B＝{x||x｜〈３｝，则A∩B=(）A。

ﻩB。

(0，3)C.ﻩD.２。

(２0１７河南郑州、平顶山、濮阳二模)若x＝30．5,y=ｌｏg32,ｚ＝ｃoｓ 2,则（)Ａ．z〈y〈x B.z〈x〈yC。

y<ｚ〈x D。

x＜z<ｙ3.(２01７北京海淀一模,文4)若实数a,b满足a>0，b>0,则“a>ｂ”是“ａ+ｌn ａ>b+ｌn b”的()A.充分不必要条件Ｂ。

必要不充分条件C.充要条件D。

既不充分也不必要条件4。

已知函数ｆ(x）的定义域为R.当x<0时,f(x)=x３—1;当-1≤x≤1时,ｆ(-x）=-ｆ（x）;当ｘ＞时,f＝f,则ｆ（6)＝()A.—２ﻩB.—1C.0 D．25。

（20１7山东潍坊一模，文4)已知函数f（x)=logａｘ(0〈a<1),则函数ｙ＝f(|ｘ|+1)的图象大致为（)6.(201７湖南娄底二模)对于函数f（x）=ａｓiｎx＋ｂx2+ｃｘ+１(a,b，c∈R),选取a,b,c 的一组值计算ｆ(1),ｆ（-1),所得出的正确结果可能是(）A。

2和1 B.2和0Ｃ.2和-１Ｄ。

2.1 函数及其表示核心考点·精准研析考点一函数的定义域1.函数y=的定义域是( )A.(-1,3)B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)D.(-1,0)∪(0,3]2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是( )A.[-1,2 019]B.[-1,1)∪(1,2 019]C.[0,2 020]D.[-1,1)∪(1,2 020]3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为( ) A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8]C.[1,3)D.[0,3)4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________.【解析】1.选D.由题意得解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数的定义域为[0,3).4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].答案:[-2,1)∪(1,2 018]1.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式定义域1 整式R2 分式分母≠03 偶次根式被开方数≥04 奇次根式被开方数∈R5 指数式幂指数∈R6 对数式真数>0;底数>0且≠17 y=x0底数x≠02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题. 考点二求函数解析式【典例】1.已知f=ln x,则f(x)=________.2.已知f=x2+x-2,则f(x)=________.3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1由f,想到换元法2由f,想到配凑法3 由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由f,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=+1(t>1),则x=,代入f=ln x得f(t)=ln,所以f(x)=ln (x>1).答案:ln(x>1)2.因为f=x2+x-2=-2,又因为x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得f(x)=+.答案:+函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1.已知f(+1)=x+2,则f(x)=________.【解析】令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命题精解读考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图象等知识.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“分段问题,分段解决”进行讨论,最后将结果并起来.分段函数的求值问题【典例】已知f(x)=则f+f的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解析】选D.f+f=f+1+f=cos+1+cos=1.如何求分段函数的函数值?提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.分段函数与方程问题【典例】已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?提示:列方程时,若自变量的范围确定时,则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.分段函数与不等式问题【典例】设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.【解析】令g(x)=f(x)+f,当x≤0时,g(x)=f(x)+f=2x+;当0<x≤时,g(x)=f(x)+f=2x+x+;当x>时,g(x)=f(x)+f=2x-1,写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+>1,(+2)×20-1>1,可知x的取值范围是.答案:如何求解由分段函数构成的不等式?提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.1.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选C.因为函数f(x)=所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)==×=12×=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a= ( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选A.因为g(x)=ax2-x,所以g(1)=a-1.因为f(x)=5|x|,所以f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,所以|a-1|=0,所以a=1.1.已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),如果f(x+2 020)=那么f·f= ( )A.2 020B.C.4D.【解析】选C.当x≥0时,有f=sin x,所以f=sin =1,当x<0时,f=lg(-x),所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,f·f=1×4=4.2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是{1,2,3,4,…,n}(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};对应关系是y与π的小数点后第n位上的数字对应.。

模块素养测评卷(二)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A．A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}2．函数f(x)＝1x＋2＋1－x的定义域为( )A．[－2，1] B．(－2，1] C．(0，1] D．(1，＋∞)3.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 1050 km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转π3rad，昆仑站运动的路程约为( )A．2 200 kmB．1 650 kmC．1 100 kmD．550 km4．设a＝20.6，b＝20.5，c＝0.50.6，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a5．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝( )A ．－75B ．－15C ．15D ．756．“log2x >log 2y ”是“1x<1y”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5) B ．(－5，－1) C ．(0，5) D ．(1，＋∞)8．已知函数f (x )满足f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ，则f (sin x －cos x )＝( ) A ．3sin 2x －1 B ．1－3sin 2x C ．3cos 2x －1 D ．1－3cos 2x二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝ln 1＋x 1－xD ．y ＝ln (1＋x )＋ln (1－x )10．关于函数f (x )＝tan (x 2－π3)，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z C ．f (x )的图象的对称中心为(k π＋2π3，0)，k ∈Z D ．f (x )在区间(0，π)上单调递增11．下列说法正确的是( )A ．若x ，y >0，满足x ＋y ＝2，则2x＋2y的最大值为4 B ．若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最小值为3C ．若x ，y >0，满足x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为2D ．函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为912．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，则( ) A ．a ＞1 B ．b ＞1 C ．0＜c ＜1 D ．0＜ac ＜1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (8)＝________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．则f (f (13))＝________．15．Sigmoid 函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为S (x )＝11＋e －x ，则此函数在R 上________(填“单调递增”“单调递减”或“不单调”)，值域为________．16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期，若f (2)＝0，则f (x )在区间(0，10)内至少有________个零点．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点(2，9)， (1)求实数a 的值；(2)若f (2x －1)<3，求实数x 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知α是第三象限角，且sin α＝－35，(1)求cos （π2＋α）·cos （2π－α）·tan （α－π）sin （α－3π）·tan （－π－α）的值；(2)求sin (2α＋π3)的值．19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)当x∈R时，求使f(x)≤1成立的x的取值集合．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log211－x，(1)设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)∀x∈(－1，1)，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，求函数M(x)的解析式．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移5π24个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的单调区间．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数， (1)当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，求当x ＞0时，f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，0]上单调递增，①判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的判断；②若f (－2x 2＋x )＋f (－2x 2－k )<0对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．模块素养测评卷(二)1．答案：C解析：因为集合U ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，所以A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，∁U A ＝{4，5，6，7}，∁U B ＝{1，2，7}．2．答案：B解析：要使函数f (x )＝1x ＋2＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>01－x ≥0，解得－2<x ≤1， 则函数f (x )的定义域为(－2，1]. 3．答案：C解析：因为昆仑站距离地球南极点约1 050 km ，地球每自转π3 rad ，所以由弧长公式得：l ＝1 050×π3≈1 100.4．答案：D解析：由题， c ＝0.50.6＝(12)0.6＝2－0.6，对于指数函数y ＝2x可知在R 上单调递增，因为－0.6<0.5<0.6， 所以2－0.6<20.5<20.6，即c <b <a .5．答案：A解析：由三角函数的定义可得 sin α－cos α＝－432＋（－4）2－332＋（－4）2＝－75. 6．答案：C解析：log 2x >log 2y ⇔x >y >0， 1x<1y⇔x >y >0⇔x >y >0，因此“log 2x >log 2y ”是“1x <1y”的充分必要条件．7．答案：B解析：函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知f (0)·f (1)<0， 即(1＋a )(5＋a )<0，解得－5<a <－1， 所以实数a 的取值范围是(－5，－1). 8．答案：A解析：∵f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ＝1－sin 2x ＋1－2sin 2x ＝2－3sin 2x ， ∴f (x )＝2－3x 2，∴f (sin x －cos x )＝2－3×(sin x －cos x )2＝2－3×(1－2sin x cos x )＝－1＋6sin x cos x ＝－1＋3sin 2x . 9．答案：BD解析：A 选项定义域为R ，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋x 3＝0，故A 选项为奇函数；C 选项定义域为(－1，1)，又f (－x )＋f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋ln 1－x1＋x ＝ln 1＝0，故C 选项为奇函数；故AC 选项不对；B 选项定义域为R ，f (－x )＝cos (－x )＝cos x ＝f (x )，故B 为偶函数；D 选项定义域为(－1，1)，f (x )＝ln (1＋x )＋ln (1－x )，f (－x )＝ln (1－x )＋ln (1＋x )，于是f (x )＝f (－x )，D 选项为偶函数．10．答案：ACD解析：函数f (x )的最小正周期为T ＝π12＝2π，A 对；由x 2－π3≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠2k π＋5π3(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋5π3，k ∈Z }，B 错；由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， 所以，函数f (x )图象的对称中心为(k π＋2π3，0)(k ∈Z )，C 对；当0<x <π时，－π3<x 2－π3<π6，故函数f (x )在区间(0，π)上单调递增，D 对． 11．答案：CD解析：若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x＋2y≥22x ＋y＝2×2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，没有最大值，故A 错误；若x <12，即2x －1<0，则函数y ＝2x －1＋12x －1＋1≤－2（2x －1）12x －1＋1＝－1，当且仅当x ＝0等号成立，故B 错误；若x ，y >0，xy ＝3－(x＋y )≤（x ＋y ）24，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，所以(x ＋y ＋6)(x ＋y －2)≥0，所以x ＋y ≥2，(当且仅当x ＝y ＝1时取等)，所以x ＋y 的最小值为2.故C 正确；y ＝1sin 2x ＋4cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )(1sin 2x ＋4cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥5＋2cos 2x sin 2x ·4sin 2xcos 2x＝9，当且仅当2sin 2x ＝cos 2x 时等号成立，故D 正确．12．答案：ACD解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－lg x ，0<x <1lg x ，x ≥1，定义域为(0，＋∞)，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，结合函数图象可知，0<c <1，且a >1，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC 正确，B 错误；其中－lgc >lg a ，则lg c ＋lg a ＝lg ac <0，故0<ac <1，D 正确．13．答案：2 2解析：由f (x )为幂函数，则可设f (x )＝x α， 又函数f (x )的图象过点(3，3)， 则3α＝3，则α＝12，即f (x )＝x 12，则f (8)＝812＝2 2. 14．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.15．答案：单调递增 (0，1)解析：∵S (x )＝11＋e －x ＝11＋1ex＝e xe x ＋1＝1－1e x ＋1，定义域为R ， ∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则S (x 1)－S (x 2)＝1－1e x 1＋1－(1－1e x 2＋1)＝e x 1－e x 2（e x 1＋1）（e x 2＋1），∵x 1<x 2，∴0<e x 1<e x 2，e x 1＋1>0，e x 2＋1>0，e x 1－e x 2<0， ∴S (x 1)－S (x 2)<0，即S (x 1)<S (x 2)， 所以函数S (x )＝11＋e －x 在R 上单调递增；又e x>0，所以e x＋1>1，0<1e x ＋1<1，－1<－1e x＋1<0，0<1－1e x ＋1<1，即S (x )∈(0，1). 16．答案：6解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期， 所以f (x )＝－f (－x )，f (x )＝f (x ＋6)，即f (－x )＋f (x ＋6)＝0，所以f (x )的图象关于(3，0)对称，且f (3)＝0， 则f (9)＝0，又f (0)＝0，f (6)＝0， 又f (2)＝0，所以f (8)＝0，f (－2)＝0，f (4)＝0， 所以f (x )在区间(0，10)内至少有6个零点． 17．解析：(1)依题意a >0且a ≠1，f (2)＝a 2＝9⇒a ＝3.(2)∵f (x )＝3x在R 上是增函数， 且f (2x －1)<3＝f (1)， ∴2x －1<1， ∴x <1，∴所求x 的取值范围是(－∞，1).18．解析：(1)由α是第三象限角，且sin α＝－35，得cos α＝－45.原式＝（－sin α）·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝－cos α＝45.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725，所以sin (2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝24＋7350. 19．解析：(1)表中数据补充完整为：f (x )＝2sin (3x －6).(2)由2sin (3x －π6)≤1，可得sin (3x －π6)≤12，所以2k π－7π6≤3x －π6≤2k π＋π6，解得23k π－π3≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z ，所以使f (x )≤1成立的x 的取值集合为[23k π－π3，23k π＋π9]，k ∈Z .20．解析：(1)h (x )＝log 2(1＋x )＋log 211－x＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， h (x )的定义域为(－1，1)，h (－x )＝log 2(1－x )－log 2(1＋x )＝－h (x )，所以h (x )是奇函数．(2)f (x )－g (x )＝log 2(1＋x )－log 211－x＝log 2[(1＋x )(1－x )]＝log 2(1－x 2)≤log 21＝0，所以当x ∈(－1，1)时，f (x )≤g (x )，所以M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝g (x )＝log 211－x ，x ∈(－1，1).21．解析：(1)由图可知A ＋b ＝3，－A ＋b ＝－1，所以A ＝2，b ＝1.又T 2＝5π12＋π12＝π2，所以T ＝π， 因为ω>0，所以ω＝2πT＝2.因为f (5π12)＝2sin (5π6＋φ)＋1＝3，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin (2x －π3)＋1.(2)由题意得g (x )＝2sin (4x ＋π2)＝2cos 4x ，由2k π≤4x ≤π＋2k π(k ∈Z )，得k π2≤x ≤π4＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递减区间为[k π2，π4＋k π2](k ∈Z )， 由π＋2k π≤4x ≤2π＋2k π(k ∈Z )， 得π4＋k π2≤x ≤π2＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递增区间为[π4＋k π2，π2＋k π2](k ∈Z ). 22．解析：(1)当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x (－x －1)， 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，11 所以f (－x )＝－f (x )，故－f (x )＝－x (－x －1)，所以当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1).(2)①f (x )在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：因为f (x )在(－∞，0]上单调递增，所以对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，则－x 1，－x 2∈(0，＋∞)，且－x 1>－x 2，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (x 1)＝－f (－x 1)，f (x 2)＝－f (－x 2)，故－f (－x 1)<－f (－x 2)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递增，可得函数f (x )在R 上单调递增，又f (－2x 2＋x )<－f (－2x 2－k )，则f (－2x 2＋x )<f (2x 2＋k )，因为f (x )在R 上单调递增，故－2x 2＋x <2x 2＋k 恒成立，即k >－4x 2＋x ＝－4(x －18)2＋116，所以实数k 的取值范围为(116，＋∞).E －2。

1单元质检卷二 函数(时间:100分钟 满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=(12)|x |B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=2-x2.若a=1223,b=1523,c=1213,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f (x )=x 22|x |-4的图象大致为( )4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f (a ),f (b ),f (c )满足( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (a )<f (b ) C.f (c )<f (b )<f (a )D.f (a )<f (b )<f (c )25.若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立,则a 的最小值是( )A.0B.-2C.-52D.-36.已知函数f (x )=(12)x-sin x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A .1B .2C .3D .47.已知函数f (x )是偶函数,定义域为R ,单调增区间为[0,+∞),且f (1)=0,则(x-1)f (x-1)≤0的解集为( ) A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]8.已知函数f (x )=|x|·e x (x ≠0),其中e 为自然对数的底数,关于x 的方程f (x )+2f (x )-λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( )A.0,1eB.(2√2,+∞)C .e +2e ,+∞D .2e +1e,+∞二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f (x )的定义域为R ,且f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,则( ) A.f (x )为奇函数 B .f (x )为周期函数 C.f (x+3)为奇函数D .f (x+4)为偶函数310.若指数函数y=a x 在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a 的值可能是( )A.2B.12C.3D.1311.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位:千克)与时间x (单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x ∈R ,f (-x )=f (x );②∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1≠x 2时,都有f (x 2)-f (x 1)x2-x 1>0;③f (-1)=0.则下列选项成立的是( )A.f (3)>f (-4)B.若f (m-1)<f (2),则m ∈(-∞,3)C.若f (x )x >0,则x ∈(-1,0)∪(1,+∞) D.∀x ∈R ,∃M ∈R ,使得f (x )≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f (x )={|x |,x ≤0,√x ,x >0,则f (f (-2))= ;若f (a )=2,则实数a= .14.若函数f(x)=log a(x+5)+1(a>0且a≠1),图象恒过定点P(m,n),则m+n=;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为.15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=e x-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是.16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9√3平方米,且高度不低于√3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=ax-2,其中a∈R.(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.418.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.5619.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?720.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=t+2处取得最小值-t 2(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间[-1,12]上的最小值为-5,求此时t的值.8-2),其中x>0,a>0.21.(14分)已知函数f(x)=lg(x+ax(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案910单元质检卷二 函数1.C A 选项:当x>0时,y=(12)x,此时函数单调递减,故A 错误;B 选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B 错误;C 选项:(-x )2+2|-x|=x 2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x 2+2x ,此时x 2和2x 均为增函数,所以整体为增函数,故C 正确;D 选项:y=2-x=(12)x为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D 错误.2.D∵y=x 23(x>0)是增函数,∴a=1223>b=1523.∵y=12x 是减函数,∴a=1223<c=1213,∴b<a<c.3.D 根据题干中的表达式得|x|≠2,故f (x )为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x 从x 轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D .4.D ∵0<a=log 52<log 5√5=12,1>b=ln 2>ln √e =12,∴f (a )<f (b )<f (1),又f (c )=f (-20.1)=f (20.1)>f (1),∴f (a )<f (b )<f (c ),故选D .5.C x 2+ax+1≥0(0<x ≤12)⇔ax ≥-(x 2+1)⇔a ≥-(x +1x ),∵函数f (x )=x+1x 在(0,1)上是减函数,∴当x ∈(0,12]时,f (x )≥f (12)=12+2=52, ∴[-(x +1x )]max=-52,即a ≥-52,a 的最小值是-52.116.B 函数f (x )=(12)x-sin x 在[0,2π]上的零点个数为函数y=(12)x的图象与函数y=sin x 的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B .7.C 由题意可知,函数f (x )在(-∞,0]上单调递减,且f (-1)=0,令x-1=t ,则tf (t )≤0.∴当t ≥0时,f (t )≤0,0≤t ≤1;当t<0,f (t )≥0,t ≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x ≤0或1≤x ≤2.故选C .8.D f (x )=|x|·e x={x ·e x ,x >0,-x ·e x ,x <0.当x>0时,由f (x )=x·e x ,得f'(x )=e x +x·e x =e x (x+1)>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f (x )=-x·e x ,得f'(x )=-e x -x·e x =-e x (x+1). 当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )>0;当x ∈(-1,0)时,f'(x )<0,∴当x=-1时,函数f (x )取得极大值为f (-1)=1e .作出函数f (x )=|x|·e x (x ≠0)的图象的大致形状如图所示.令f (x )=t ,则方程f (x )+2-λ=0化为t+2-λ=0,即t 2-λt+2=0, 要使关于x 的方程f (x )+2-λ=0有四个相异实根,则方程t 2-λt+2=0的两根一个在0,1e 上,一个在1e ,+∞上.12则12−λ+2<0,解得λ>2e +1.∴实数λ的取值范围是2e+1e ,+∞.故选D . 9.ABC ∵f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,∴f (-x+1)=-f (x+1),① f (-x+2)=-f (x+2),②∴由①可得f [-(x+1)+1]=-f (x+1+1),即f (-x )=-f (x+2),③ ∴由②③得f (-x )=f (-x+2),即f (x )的周期为2, ∴f (x )=f (x+2),则f (x )为奇函数,∴f (x+1)=f (x+3),则f (x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB 指数函数y=a x 在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,当a>1时,可得y min =1a ,y max =a , 那么1a +a=52,解得a=2,当0<a<1时,可得y max =1a ,y min =a , 那么1a +a=52,解得a=12, 故a 的值可能是12或2. 故选AB.11.BD 由该车间5小时某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x),说明函数是偶函数;②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有f(x2)-f(x1)x2-x1>0,说明函数在(0,+∞)是增函数;③f(-1)=0.所以f(3)<f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f(m-1)<f(2),可得|m-1|<2,则m∈(-1,3),所以B不正确;由题意y=f(x)x是奇函数,若f(x)x>0,又f(-1)=0,可得x∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x∈R,∃M∈R, 使得f(x)≥M,正确;故选CD.13.√2-2或4∵函数f(x)={|x|,x≤0,√x,x>0,∴f(-2)=|-2|=2,f(f(-2))=f(2)=√2;∵f(a)=2,∴当a≤0时,f(a)=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f(a)=√a=2,解得a=4.综上,实数a的值为-2或4.14.-3(2,+∞)当x+5=1时,即x=-4,不论a为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g(x)=ln(x2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),1314令u (x )=x 2-4,u (x )>0,递增区间为(2,+∞),g (u )=ln u 在定义域内为增函数,复合函数g (u (x ))根据同增异减性质,函数g (x )递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞) 依题意,知f (x )=-f (-x )有非零解,由f (x )=-f (-x )得e x -a=-(e -x -a ),即a=12e x +1e x >1(x ≠0),所以当f (x )=e x -a 存在奇对称点时,实数a 的取值范围是(1,+∞).16.[3,4] 根据题意知9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2×x 2=BC+x ,h=√32x ,所以9√3=1(2BC+x )√3x ,得BC=18−x,由{ℎ=√32x ≥√3,BC =18x -x2>0,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18+3x(2≤x<6),由y=18+3x≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解 (1)不等式f (x )≤-1即为ax -2x+2≤-1⇔(a+1)xx+2≤0.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞); 当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞); 当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1-2x 1+2−ax 2-2x 2+2=2(a+1)(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2),∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+2>0,x 2+2>0,∴要使f (x )在(0,+∞)上单调递减,即f (x 1)-f (x 2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f (x )在区间(0,+∞)上是单调减函数. 18.解 (1)E=f (t )={t 2+20t +16,0<t ≤3,85,3<t ≤5,335-50t ,t >5,t=6时,E (6)=35.(2)0<t≤3时,H(t)=t+16at +20,H(t )≥24⇒t+16at≥4,由0<t≤3,得a≥-116t2+14t=-116(t-2)2+14≥14.所以a∈14,+∞.19.解(1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,则y={900,0<x≤30,900-10(x-30),30<x≤75,即y={900,0<x≤30,1200-10x,30<x≤75.(2)设旅行社获利S元,则S={900x-15000,0<x≤30,1200x-10x2-15000,30<x≤75,即S={900x-15000,0<x≤30,-10(x-60)2+21000,30<x≤75.因为S=900x-15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21 000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解(1)设f(x)=a(x-t+22)2−t24(a>0).因为f(1)=0,所以t24(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(x-t+22)2−t24(t≠0).(2)因为f(x)=(x-t+22)2−t24(t≠0),所以当t+22<-1,即t<-4时,f(x)在[-1,1]上的最小值f(x)min=f(-1)=(-1-t+2)2−t2=-5,所以t=-9;当-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1时,f(x)在[-1,12]上的最小值f(x)min=f(t+22)=-t24=-5,所以t=±2√5(舍去);1516当t+22>12,即t>-1时,f (x )在[-1,12]上的最小值f (x )min =f (12)=(12-t+22)2−t 24=-5,所以t=-21(舍去).综上所述,t=-9. 21.解 (1)由x+a -2>0,得x 2-2x+a>0.因为x>0,所以x 2-2x+a>0. 当a>1时, x 2-2x+a>0恒成立, 函数f (x )的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f (x )的定义域为{x|x>0,且x ≠1};当0<a<1时,函数f (x )的定义域为{x|0<x<1-√1-a 或x>1+√1-a }. (2)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x+ax -2>1对x ∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x 2对x ∈[2,+∞)恒成立. 令h (x )=3x-x 2,h (x )=3x-x 2=-(x -32)2+94在[2,+∞)内是减函数,于是h (x )max =h (2)=2.故a>2,即a 的取值范围是{a|a>2}.。

单元质检卷七立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019山东淄博一模,5)已知直线l和两个不同的平面α,β,则下列结论正确的是()A.若l∥α,l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βC.若l∥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.(2019重庆巴蜀中学考前模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16πB.12ππC.323πD.1633.(2019山东日照一模,8)某几何体的三视图如图所示,图中正方形的边长为2,四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为()A.8-2π3B.24-πC.24+(2√5-1)πD.24+(√5-1)π4.(2019山东聊城一模,7)如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为弧BC的中点,则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为()A.√33B.√55C.√306D.√665.(2019山东济宁一模,9)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和√3,此三棱柱的高为2√3,则该三棱柱的外接球的体积为()A.8π3B.16π3C.32π3D.64π36.(2019四川成都七中一模,10)已知正三棱锥的高为6,侧面与底面成60°的二面角,则其内切球(与四个面都相切)的表面积为()A.4πB.16πC.36πD.64π二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019黑龙江哈尔滨三中一模,16)在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A-BD-C的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为.8.(2019安徽“江南十校”二模,16)《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马S-ABCD,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=3,SA=√3,BC上有一点E,使截面SDE的周长最短,则SE与CD所成角的余弦值等于.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019天津,17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;,求线段CF的长.(3)若二面角E-BD-F的余弦值为1310.(15分)(2019山东青岛二模,18)如图,在圆柱W 中,点O 1,O 2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE 是轴截面,点H 在上底面圆周上(异于N 、F ),点G 为下底面圆弧ME ⏜的中点,点H 与点G 在平面MNFE 的同侧,圆柱W 的底面半径为1,高为2. (1)若平面FNH ⊥平面NHG ,证明:NG ⊥FH ;(2)若直线NH 与平面NFG 所成线面角α的正弦值等于√155,证明:平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于π3.11.(15分)(2019山东菏泽一模,18)在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是直角梯形,AD ⊥DC ,AB ∥DC ,DC=2AB ,PD=1,BC=√2,BC ⊥BD ,设Q 为棱PC 上一点,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求证:当λ=15时,AQ ⊥PC ;(2)试确定λ的值使得二面角Q-BD-P 的平面角为45°.参考答案单元质检卷七 立体几何(B )1.A 对于A 选项,过直线l 作一个平面与平面α相交,因l ∥α,则l 与交线平行,又l ⊥β,则交线也垂直b ,所以α⊥β,A 选项正确.对于B 选项,直线l 可能在平面β内,故B 选项是假命题.对于C 选项,两个平面可能相交,故C 选项是假命题.对于D 选项,直线l 可能在平面β内,故D 选项是假命题.故选A .2.C 由三视图还原该几何体如图,该几何体为圆柱挖去两个圆锥,圆柱的底面半径为2,高是4,圆锥的底面半径为2,高分别为1和3.则V=π×22×4-13π×22×(1+3)=32π3.故选C.3.D由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1,高为2的圆锥,如图,所以该几何体的表面积为:S=6×22-πr2+πrl=24-π×12+π×1×√12+22=24+(√5-1)π.故选D.4.D取BC的中点H,连接EH,AH,∠EHA=90°,设AB=2,则BH=HE=1,AH=√5,所以AE=√6,连接ED,ED=√6,因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,在△EAD中,cos∠EAD=2×2×√6=√66.故选D.5.C该直三棱柱的底面外接圆直径为2r=√12+(√3)2=2.所以外接球的直径为2R=√(2r)2+ℎ2=√22+(2√3)2=4,则R=2.因此,该三棱柱的外接球的体积为4 3πR3=323π.故选C.6.B如图,过点P作PD⊥平面ABC于D,连接并延长AD交BC于E,连接PE,△ABC是正三角形,∴AE是BC边上的高和中线,D为△ABC的中心.∴∠PEA为侧面与底面所成的二面角的平面角,∴∠PEA=60°.∵PD=6,∴DE=2√3,PE=4√3,AB=12,∴S△ABC=√34×122=36√3,S△PAB=S△PBC=S△PCA=12×12×4√3=24√3.∴S表=108√3.设球的半径为r,以球心O为顶点,棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,∵PD=6,∴V P-ABC=13·36√3·6=72√3.由等体积可得r=√31083=2,∴S球=4π×22=16π.故选B.7.√213在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A-BD-C的大小为150°,四面体ABCD外接球,如图:则△BCD在球的一个小圆上,BD的中点为小圆的圆心N,△ABD是正三角形,也在球的一个小圆上,小圆的圆心为M,作OM⊥平面ABD,ON⊥平面BCD,O为球心,二面角A-BD-C的大小为150°,作NP⊥BD,则∠ANP=150°,可得∠ONM=60°,MN=√33,则ON=2√33,BN=1,外接球的半径r=OB=2+BN2=√(2√33)2+12=√213.8.√24要使截面SDE的周长最短,则SE+ED最短,将平面ABCD沿BC折至A'BCD',使SBC 与A'BCD'共面, 连接SD'交BC 于E ,连接ED , 此时△SDE 周长最短, 作EF ∥CD 交AD 于F , 则∠SEF 即为所求角, 在Rt △SAB 中,求得SB=2,∴由SB SA '=BEA 'D '得BE=2. ∴在Rt △SBE 中,求得SE=2√2. ∴在Rt △SFE 中,cos ∠SEF=EF SE =2√2=√24.故SE 与CD 所成角的余弦值等于√24.9.(1)证明 依题意,可以建立以A 为原点,分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,1,0),E (0,0,2).依题意,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量,又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,h ),可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为直线BF ⊄平面ADE ,所以BF ∥平面ADE.(2)解 依题意,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量,则{n ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +2z =0,不妨令z=1,可得n =(2,2,1).因此有cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-49.所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (3)解 设CF=h (h>0),则F (1,2,h ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,h ). 设m =(x ,y ,z )为平面BDF 的法向量,则{m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,2y +ℎz =0,不妨令y=1,可得m =1,1,-2ℎ.由题意,有|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=|4-2ℎ|3√2+4ℎ2=13,解得h=87,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为87.10.(1)证明 由题知,平面FNH ⊥平面NHG ,平面FNH ∩平面NHG=NH ,因为NH ⊥FH ,FH ⊂平面FHN , 所以FH ⊥平面NHG. 所以FH ⊥NG (2)解以点O 2为坐标原点,分别以O 2G ,O 2E ,O 2O 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O 2-xyz ,所以N (0,-1,2),G (1,0,0),F (0,1,2),NG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设H (m ,n ,2),则m 2+n 2=1(0<m<1,-1<n<0),NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,n+1,0). 设平面NFG 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1), 因为{n 1·NG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{(x 1,y 1,z 1)·(1,1,-2)=0,(x 1,y 1,z 1)·(0,2,0)=0,所以{x 1+y 1-2z 1=0,2y 1=0,即法向量n 1=(2,0,1). 因此sin α=|NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1||NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=√5×√m 2+(n+1)=√5×√m 2+n 2+2n+1=2m √5×√2n+2=√155,所以2m 2=3n+3,解得n=-12,m=√32,所以点H √32,-12,2. 设平面NHG 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2), 因为{n 2·NG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{(x 2,y 2,z 2)·(1,1,-2)=0,(x 2,y 2,z 2)·(√32,12,0)=0,所以{x 2+y 2-2z 2=0,√32x 2+12y 2=0,即法向量n 2=1,-√3,1-√32.因为平面MNFE 的法向量n 3=(1,0,0),所以cos θ=|n 2·n 3||n 2||n 3|=√4+(1-√32) 2<12.所以平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于π3.11.(1)证明 因为DC=2AB ,BC=√2,过B 作BE ⊥DC 于E ,则E 为DC 中点,所以BD=BC=√2,又BC ⊥BD ,所以DC=2.所以AD=AB=1,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD ⊥DC ,PD ⊥AD.在Rt △PDC 中,由勾股定理,得PC=√PD 2+DC 2=√12+22=√5,当λ=15时,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =15PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PQ=15PC=√55.因为PD=1,所以PQ PD =√55=PD PC ,又∠DPQ=∠CPD ,所以△DPQ ∽△CPD ,所以∠DQP=∠CDP=90°,即PC ⊥DQ.因为PD ⊥AD ,又AD ⊥DC ,PD ∩DC=D ,所以AD ⊥平面PDC , 所以AD ⊥PC.又AD ∩DQ=D ,所以PC ⊥平面ADQ ,所以AQ ⊥PC ,命题得证.(2)解 以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图). 由(1)得,AD=AB=1,DC=2,则点P (0,0,1),C (0,2,0),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),令Q (x 0,y 0,z 0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0,z 0-1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0,z 0),因为PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(x 0,y 0,z 0-1)=λ0(0,2,-1),所以点Q (0,2λ,1-λ). 由题可知BC ⊥平面PBD ,所以平面PBD 的法向量n =BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0).设平面QBD 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +y =0,2λy +(1-λ)z =0, 即{x =-y ,z =2λλ-1y .令y=1,得m =-1,1,2λλ-1.因为二面角Q-BD-P 为45°,所以|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n | =√2·√2+(2λλ-2) =√22, 解得λ=√2-1,λ=-√2-1,因为Q 在棱PC 上,则0<λ<1,所以λ=√2-1.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。