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第五章解线性方程组的直接方法⏹预备知识⏹消元法⏹矩阵分解法⏹追赶法⏹误差分析线性代数是数值计算方法的基础，学习它对数值计算方法其它内容的学习会有很大的帮助。
无论是插值公式的建立，还是微分方程的离散格式的构造，其基本思想都是转化为代数问题来处理，即归结为解线性方程组。
MATLAB的强大功能是建立在矩阵和向量运算基础上的，线性代数的学习也可以大大提高对MATLAB的掌握程度。
线性方程组的基本解法：直接解法：经过有限步算术运算,在不考虑舍入误差的情况下求得方程组的精确解；迭代解法：用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。
5.1 预备知识: 矩阵和向量及线性方程组的解方阵：m=n 的矩阵；零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
在MATLAB中零矩阵由zeros 命令定义。
如A＝zeros（m,n）定义一个m×n 零矩阵，n×n 零矩阵可以用命令A＝zeros(n)定义。
单位矩阵：所有对角元为1而其余元素均为0的方阵。
单位矩阵记为I。
在MATLAB 中单位矩阵由eye命令定义。
如A＝eye（n）定义一个n阶单位矩阵。
元素都是1的矩阵：在MATLAB中元素都是1的矩阵由ones命令定义。
如A＝ones（m,n）定义一个m×n阶的元素都是1的矩阵。
矩阵的加法和减法：行列数相同的矩阵之间才可以进行加法和减法。
矩阵的乘法：若A的行数和B的列数相等，则它们可以相乘C＝AB。
其中C的第i 行第j列元素等于A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。
逆矩阵：若两个方阵A和B满足：AB＝I且BA＝I，则称A和B互为逆矩阵。
在MATLAB 中M的逆矩阵由inv(M) 命令计算。
对于任一非奇异矩阵都可用inv命令计算其逆矩阵。
若MATLAB拒绝计算一个方阵的逆矩阵，则此矩阵一定是奇异的。
一个奇异矩阵的行列式是0（或者至少有一行（列）可以用其它行（列）通过多次加法和减法表示）。
行列式：方阵A的行列式是一个标量值，用det(A)或|A|表示。
求解线性方程组的直接解法5.3 特殊矩阵的三角分解① 实对称矩阵的LDL T 分解设A 是实对称阵,且A 的所有顺序主子式均不为零，则LDR 分解中R =L T , 故可用以作LDL T 分解.这就是说,当A 的对角元素非零时，我们可以作LU 分解,也就得到LDL T 分解,L 相同,是单位上三角阵,U 的对角元素构成D .不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。
试用n =3的计算表格说明如何实现节省。
这样,。
引进輔助量t 1, t 2代替u 1j ,u2j ,并利用对称性得到：据此不难写出LDL T 分解A =LDL T 的计算公式和程序(逐行计算L,D ).d 1=a 11for i =2:nfor j =1:i -1t j =a ij -l j 1t 1-l j 2t 2-…-l j ,j-1t j-1l ij =t j /d j end d i =a ii -l i 1t 1-l i 2t 2-…- l i ,i-1t i-1 end存储约n (n +1)/2单元,乘加运算各约n 3/6. 利用LDL T 分解解Ax =b 分四步: 1．分解A =LDL T 2．解 Lg =b 求g 3．解 Dy =g 求y 4．解 L T x =y 求x② 实对称正定矩阵的LL T 分解A 实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDL T ,D 的对角元素皆正,有正的平方根。
因此有LL T 分解A =LL T ,L 下三角阵,对角元素皆正,是LDL T 中的LD 1/2.乃可用上半部元素逐列计算L T .l 11=a 111/2 for i =2:nfor j =1:i -1l ij =(a ij -l i 1l j 1-l i 2l j 2-…-l i ,j-1l j ,j-1)/d jjend2/121,2221)(-----=i i i i ii ii l l l a l end存储量,运算量同LDL T 分解,但要n 次求平方根.利用LL T 分解解Ax =b 分三步:1．分解A =LL T 2．解 Lg =b 求g 3．解 L T x =g 求x③ 三对角方程组的追赶法消去法或LU 分解用于三对角方程组有特殊形式,即称追赶法.设Ax =f : b 1x 1+ c 1x 2=f 1a i x i-1+b i x i +c i x i+1=f i i=2,3,n -1 a n x n-1+b n x n =f nA 是三对角阵,则L ,U 同样结构.L 的对角元素为α2,α3,…，αn ,U 的对角元素为β1,β2,…,βn ,上对角元素同A .1．分解A =LU : β1= b 1,αi =a i /βi-1,βi = b i -αi c i -1, i=2,3,…,n 2．解 Lg =f 求g : g 1=f 1,g i =f i -αi f i -1, i=2,3,…,n 3．解 U x =g 求x : x n =g n /βn ,x i =(g i -c i x i +1)/βi , i=n -1,n -2,…,1编程时，A 可用三个一维数组，f 用一个一维数组.L ,U 存入A 。
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
目录摘要 (1)1 前言 (3)2 直接法简介 (4)2.1 Gauss消去法 (4)2.1.1 实例 (4)2.1.2 Gauss消去法的运算量 (5)2.1.3 Gauss消去法能够进行下去的条件 (6)2.2 列主元Gauss消去法 (7)2.2.1 实例 (7)2.2.2 列主元Gauss消去法的运算量 (8)2.3 全主元Gauss消去法 (8)2.3.1 实例 (9)2.3.2 全主元Gauss消去法的运算量 (9)2.4 平方根法 (9)2.4.1 实例 (10)2.4.2 平方根法的运算量 (11)2.5 改进的平方根法 (11)2.5.1 实例 (12)2.5.2 改进的平方根法的运算量 (12)2.6 追赶法 (12)2.6.1 实例 (13)2.6.2 追赶法的运算量 (14)3 直接法的误差分析 (15)3.1 线性方程组的敏感性和条件数 (15)3.2 误差分析 (17)4 数值算例 (19)4.1 算例1 (19)4.2 算例2 (19)4.3 算例3 (20)4.4 算例4 (21)5 总结 (22)参考文献 (23)致谢 (24)摘要本文采纳Matlab软件计算，介绍了解线性方程组常用的几种直接法：Gauss消去法、列主元Ga uss消去法、全主元Gauss消去法、平方根法、改进的平方根法、追逐法，及其的基本思想、解题实例和运算量；并对直接法进行了误差分析；最终通过数值算例比较前五种直接法的误差，商议其适用矩阵及其差异。
关键词：线性方程组，Gauss，平方根法，误差分析。
AbstractIn this paper, Matlab software is used to calculate and introduce several common direct methods for solving linear equations: Gauss elimination method, Column principal element Gauss elimination, Full Principal Component Gauss Elimination, Square root method, Improved square root method, Chasing method and their basic ideas, problem solving examples, and computational load.And error analysis of the direct method.Finally, the errors of the first five direct methods are compared by numerical examples, and the applicable matrix and its differences are discussed.Keywords: Linear equations, Gauss, Square root method, Error analysis.1 前言在自然科学和工程计算的领域中，很多问题往往可以归结为解线性代数方程组。
