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沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即.同理；；；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、、常写成、、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA ＞0 cotA ＞0.要点二、特殊角的三角函数值C a b要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（1）】【变式】在Rt△ABC中，，若a=3，b=4，则，，，，．【答案】5 ，，，，．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（3）】【变式】在Rt△ABC中，，若∠A=45°，则，，，，．【答案】45°，，，，．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵ CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴ CD＝5a-4a＝a，，∴．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC 的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
课题：锐角的三角比（专题复习一）一、复习目标1.进一步掌握锐角三角比的意义；灵活地解直角三角形.2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合等数学思想方法．3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感.二、复习重点、难点1.复习重点：锐角三角比的意义、解直角三角形.2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题. 三、复习思路 四、复习进程 （一）题组引入 1.锐角的三角比的定义（1）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ）A.c a A =cos ；B.b c B =sin ；C.b a B =tan ；D.ab A =cot ． （2）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝3 ； B ．tan A ＝12 ； C ．cosB ＝3 ； D ．tan B ＝3.（3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ．小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边.题组引入 及时反馈 例题讲解 课堂小结B C能力提升2.解直角三角形知识梳理：① 直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边（1）RtΔABC，已知∠C＝900，∠B=30°，AB=6，则∠A= °， BC= .（2）在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=2，B= °.（3）在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC ，∠A=120°，BC=6，那么AB= .（4）在△ABC 中，AC=9，AB=8，∠A=30°，则△ABC 的面积为 .小结:把非直角三角形中的几何计算问题化归为解直角三角形的问题时，常常要构造直角三角形.（二）及时反馈1.选择题：（1）在RtΔABC 中，∠C=900，则cb 是∠A 的（ ） A.正弦； B.余弦； C.正切； D.余切.（2）在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，AC =，下列判断正确的是（ ）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =；D. tan 2A =. （3）已知Rt△ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ）A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α.（4）在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形； B.△ABC 是等腰直角三角形；C.△ABC 是直角三角形；D.△ABC 是一般锐角三角形. 2.填空题：（5）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = . （6）计算：6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°= .（7）等腰三角形腰与底边之比是10：12，那么底角的正弦值为 .（8）在△ABC 中，∠ACB =135°，AC= 52，则BC 边上的高为 .（9）如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC=6，AB=10，则∠ACD 的正切值是 .（10）△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= ，则S △ABC =______.（三）例题讲解例题1：∆ABC 中，AB=6，AC=4，∠BAC=120︒，（1）求∆ABC 的面积；（2）求tanB 的值.例题2：如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=12，BE=2EC ，DM⊥AE 于M. 求：∠ADM 的余弦值.（四）能力提升21A CB D已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A’，点C 落到C’，若旋转后点C 的对应点C’和点A 、点B 正好在同一直线上，求∠A’AC’的正切值.（五）课堂小结1. 锐角的三角比的定义如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边2. 解直角三角形在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒.边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边 五、课外作业复习点要《锐角的三角比》AB C A B C。
锐角的三角比知识讲解【学习目标】1. 结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2. 会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3. 理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律” •【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtAABC 中，ZC = 90° , ZA 所对的边BC 记为a,叫做ZA 的对边，也叫做ZB 的邻 边，ZB 所对的边AC 记为b,叫做ZB 的对边，也是ZA 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c,叫做斜边.要点诠释：(1) 正眩、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是 两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.(2) sinA, cosA, tanA, cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成血•上，砂・上,• Ji , 不能理解成sin 与ZA, cos 与ZA, tan 与Z/\, cot 与ZA 的乘枳•书写时习惯上省略ZA 的角的记号“Z” ,但对三个大写字母表示成的角(如ZAEF),其正切应写成“tanZAEF” ,不能写 成"tanAEF v ；另外，3*曲•、(cocQ 3、、(cot A)2常写成taQ 3-锐角A 的对边与斜边的比叫做ZA 的正弦，记作sinA,即 sin A =ZA 的对边斜边 锐角A 的邻边与斜边的比叫做ZA 的余弦，记作cosA,即 cos A =锐角A 的对边与邻边的比叫做ZA 的正切，记作tanA,即 tan A =厶啲对边 乙4的邻边锐角A 的邻边与对边的比叫做ZA 的余切，记作cot.A,即 cot A =ZA 的邻边乙4的对边同理sin B =cos 8 =ZB 的邻边斜边ZB 的对边上励勺邻边b C lZB 的邻边ZB 的对边a ~h上4的邻边斜边Z 躺对边 斜边(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形屮而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知：要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:I锐角。
25.1（1）锐角三角比的意义教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。
教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。
教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。
教学过程：新知探究 1.探究1：如图：Rt △ABC 与Rt △ADC ’，∠C=∠B ＇C ＇A =90°，∠A=α，那么与有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 探究2：在直角三角形中，当锐角A 的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？结论：在直角三角形中，锐角∠A 的对边与邻边的比值会随着锐角A 的度数变化而发生改变。
.要求：读懂题目要求，完成探究内容；明确直角三角形中锐角与邻边、对边间的关系。
引入：如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.利用已学知识解决现有问题。
通过对“角度不变”、“角度变化”等问题的探究得到三角比。
同时渗透函数的数学思想。
掌握直角三a 对边斜边 c邻边 bCBA板书：cotA==巩固：课后练习2。
同桌合作，自画图形，说出其中锐角的正切值和余切值的表示方式（以实际情况而定）。
新知应用规范过程，板演例题。
例题1.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.例题2.在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值.要求：会求直角三角形中锐角的正切值、余切值； 感悟∠A 、∠B 两角正切值、余切值间的关系。
§25.1锐角的三角比的意义（2）教学目标：1、理解一个锐角的正弦和余弦的定义，会用符号表示.2、会根据直角三角形两边的值，正确求出锐角的三角比的值.3、知道当直角三角形的一个锐角的大小确定后，那么它的任意两边的比值都是确定的. 教学重点：锐角的正弦、余弦的概念及应用.教学难点：锐角三角比的值的取值范围.教学过程：c b A BC a2、正弦、余弦的概念 我们定义：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）.如图：在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 的正弦记作A sin ，这时caAB BC A A ===斜边的对边锐角sin直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）.锐角A 的余弦记作A cos ，这时cAB AC A A bcos ===斜边的邻边锐角概念:一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.3、锐角三角比的取值范围任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中 0tan >A ， 0cot >A ， ,1sin 0<<A.1cos 0<<A为什么？和斜边比邻边的比值是一个定值.生答：在一个直角三角形中，边长总是大于0的，所以任意两边的比值也大于0；直角三角形的直角边总是小于斜边，所以正弦和余弦是小于1的.题的能力.正弦和余弦的定义直接得出即可.三、新知运用： 例题3、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =17，BC =8，求A sin 和A cos 的值.问1：A sin 和A cos 的值是指什么？问2：已知条件中的∠A 的哪条边还不知道？ 问3：那么我们先求什么？再求什么？解：在Rt △ABC 中，∠C =90° ∵AB =17，BC =8， ∴15=AC∴178sin ==AB BC A ∴1715cos ==AB AC A .小结：已知直角三角形的两边，求锐角三角比的步骤：1、 求出直角三角形的各条边，2、 求出相应的锐角三角比.反馈练习1：练习25.1（2）/1(口答)1、如图△ABC 和△PQR 是直角三角形，∠C=∠P=90°，AC=4，BC=3，PR=12，QR=13.求；（1）sinA ，cosA ；（2）sinQ,cosQ.如果没有直角三角形，那么能否求出锐角的三角比呢？例题4：在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、生答1: AB BC A =sin ,ABACA =cos . 生答2：∠A 的邻边 AC 还不知道.生答3：先求出AC 边，再求出∠A 的正弦和余弦. 生答： （1） sinA=53， cosA=54；（2） sinQ=1312,cosQ=135；例题3是基本题目，在直角三角形中给出两条边求正弦及余弦的值. 注意解题的一般步骤.例题4是在直角坐标的背景下，掌握求正弦及余弦的方A B C。
§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系.教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型.教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计： 教学过程 设计意图 一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC//DF ，则∠C=∠F. ∴△ABC ∽△DEF ，得EFBC DEAB ，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？(5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定ABCDEF（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？ 要求：1、小组合作探究； 2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的 对边与邻边的比会改变吗？为什么？ 要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C=90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tanA..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tanA 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cotA. .cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A )三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求tanA 、tanB 、cotA 、cotB 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tanA ； 2、学生独立完成tanB 、cotA 、cotB ；3、归纳、小结：当∠A+∠B=90°时，tanA=cotB.值这一事实.理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.aC A B c bB 3B 1B 2C 3C 1 A C 2 MN CED AMNP例 2 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，求tanA 、cotA 的值.要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时， 常会用到勾股定理.书本P63—练习25.1(1)四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？ (2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题 练习册 习题25.1(1) 选做题 已知：如图，在△ABC 中， tanB=1，cotC=2，BC=6，求△ABC 的 面积. 课堂小结，对本节课内容作简要回顾.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。
25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值，对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值都不变.2、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及难点引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值，对边（或邻边）与斜边的比值都是不变的.四、教学过程设计一、 情景引入将一把梯子的下端放在地面上，它的上端靠着墙面，把墙面和地面所成的角画成一个直角，梯子画成线段AB ，得到一个直角三角形AOB 。
问题1：如果将梯子AB 的两端分别沿着墙面和地面滑动，思考要体现梯子的倾斜程度与哪些量有关？1)梯子与地面的夹角越大，则梯子越陡直。
2）梯子与墙面的夹角越大，则梯子越平缓。
问题2：如果没有度量角的工具，怎么来判断梯子与地面的夹角或梯子与墙面的夹角的大小呢？（观察发现梯子滑动过程中变化的量和不变的量）（1）两条直角边的比值2211OB OA OB OA <，O B A O B A 2211∠<∠ （2）斜边不变，可用直角边(对边)与斜边的比值来刻画梯子与地面夹角的大小。
结论：由此可见，直角三角形的锐角的大小，与两直角边长度的比值有关二、新课学习问题3：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？任意画一个锐角A ，在∠A 的一边上任意取点B 1、B 2、B 3，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C 1、C 2、C 3，得到三个直角三角形。
（这也是一般在用线段比值刻画角的大小时，常用的构造直角三角形的方法。
） （由学生给出证明，得到333222111AC C B AC C B AC C B ==） 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。
[课题]：锐角三角比的意义（一）[知识目标]：1、了解放缩变换中的不变量；2、理解并记住锐角的正切和余切的意义及其表示法和读法；3、了解同角的正切和余切之间的关系及互余两角的正切和余切之间的关系；4、能由直角三角形中任意两边的值求出锐角的正切和余切值。
[能力目标]：在探研锐角正切、余切的概念中，培养学生发散性思维，培养学生综合运用知识的能力。
[情感目标]：培养学生学习兴趣和学生思维互助，勇于探索的精神。
[教学重点]：锐角的正切和余切的意义。
[教学难点]：锐角的正切和余切表示法的理解与运用。
在各种位置下直角三角形中的锐角三角比。
[教学方法]：“引导、讨论、探索”教学法。
[教学用具]：三角尺、多媒体课件等。
[课的类型]：新授课。
[教学过程]：（一）复习提问1、任意两个等腰三角形是否一定相似？2、任意两个直角三角形是否一定相似？3、任意两个等腰直角三角形是否一定相似？4、等腰直角三角形中两直角边之比为多少？这与等腰直角三角形的大小有关系吗？两块大小不同，但同含45°角的三角尺中，45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值。
5、任意两个有一个锐角为30°的直角三角形是否一定相似？30°角所对的直角边与另一直角边（即30°角的邻边）之比为多少？、学生初步形成概念：直角三角形中，一个锐角所对的直角边、所邻的直角边和斜边中任两条线段长度之比值与直角三角形的大小无关。
讲课进程：（1）、讨论：锐角是450的那块三角尺的边长之间的关系。
类似地可得锐角是300的那块三角尺的边长之间的关系。
（2）、操作：1、任作锐角∠A （分两大组进行），画Rt ΔABC ，其中∠C=900，要求每位同学量出所画的RtΔABC 的各边长，并计算出两条直角边的比值。
2、延长AB 到P ，延长AC 到Q ，在AP 上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作AQ 的垂线，垂足为C 1、C 2、C 3。
25．1（1）锐角三角比的意义一．教学目标：理解锐角的正切、余切的定义；经历锐角的三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的过程体验，培养观察、归纳、总结数学问题的能力；能正确使用锐角的正切、余切的符号语言，会利用定义求锐角的三角比的值。
二．教学重点：锐角的正切和余切的意义。
三．教学难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。
四、教学过程教学环节教学内容设计意图一、创铺设垫情导境入1．用中国2010年上海世界博览会的介绍引入。
2．阅读：为了测量中国馆的高度，老师设计了以下的方案：在某一时刻，测量出阳光照射下的中国馆B在地面上投下的一个清晰的阴影的长度，馆顶A的影子落在地面上的点C处。
与此同时，再测量出直立地面上一根标杆DO长和留下的影子OE长。
3．思考：为什么这样测量是可靠的？4．小组讨论，（把实际问题转化成数学问题。
）结合当前生活背景，让学生体会数学服务于生活。
二、问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是不是一个确定的值？以问题为出发点，培养学生的直觉思维及数教案设计说明这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生的认知特点，我设计了以下6个教学环节：1.创设情景,铺垫导入；2.层层深入,探究新知；3.师生互动,研究新知；4.练习反馈,巩固新知；5.展示交流,总结新知；6.布置作业,分层落实。
环节1中，以当前学生最熟悉的中国馆引出，阅读材料，让学生解释老师设计测量中国馆高度的可靠性。
从相似三角形的性质得出直角三角形的两条直角边的比值是个确定的值。
为下一环节的教学做好铺垫。
环节2则通过两个问题的提出让学生进行思考，得出结论：在一个直角三角形中，给定一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是一个确定的值。
当角度变化，比值也发生变化。
并加以严格的理论证明，同时渗透函数的思想，也为后面学习“已知一个锐角的一个三角比的值求这个锐角的大小”提供依据。
教学内容：锐角三角比的意义与解直角三角形初步【热身练习】 上节课作业及讲评 【本节课内容-------基础知识】1、锐角三角比的含义及拓展。
2、特殊锐角三角比值。
3、解直角三角形。
【重点难点】（一）锐角三角比的概念与意义概念：设A ∠是直角三角形的一个锐角，则sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边，tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边；图1图1中A ∠的对边BC 还可用字母a 来表示。
范围：若A 为锐角，则tan 0,cot 0,0sin 1,0cos 1A A A A >><<<< 关系：同一个锐角A ：22tan cot 1;sin cos 1A A A A ⋅=+=sin cos tan ;cot cos sin A A A A A A==； ()()()()tan cot 90;cot tan 90;sin cos 90;cos sin 90A A A A A A A A =︒-=︒-=︒-=︒-两个互余的角：tan cot ;cot tan ;sin cos ;cos sin A B A B A B A B ==== 求值：A 为锐角，若()tan 0pA p q q q=≠、为实数且，则 2222cot ;sin ;cos qp q A A A pp qp q===++(可构造直角三角形得出)锐角与其三角比的唯一确定性：当一个锐角的大小确定后，它的四个三角比的值随之确定;当一个锐角的三角比的值确定后，这个锐角也随之确定。
例：1、已知在Rt △ABC 中，90,8,11C AC BC ∠=︒==,则tan A =2、已知在Rt △ABC 中，190,cot 2C A ∠=︒=，则cos B = 3、已知在Rt △ABC 中，190,sin 3C A ∠=︒=，则cos B =4、在直角坐标系中，已知()3,2-P ，O 为坐标原点，OP 与X 轴的夹角为α，则α的正切为 。
5、在三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=8，则tan B = ,cot 2A= （二）特殊锐角的三角比值 α sinα cosα tanα cotα 30° 45° 60°（1）设α、β都是锐角如果sin sin αβ=,那么αβ=；如果cos cos αβ=,那么αβ= 如果tan tan αβ=,那么αβ=；如果cot cot αβ=,那么αβ=如果sin cos αβ=,那么90αβ+=︒;如果tan cot αβ=,那么90αβ+=︒ （2）反之，等角(甚至可以不是锐角)的同名三角比相等，即：如果，则：例： 1、计算：cos30tan 60sin 60cot 45︒-︒-︒=2、已知α是锐角，且2tan 2tan 1αα-=-，则=α 度。
3、已知ABC ∆，60C ∠=︒，AC=6,BC=8，则ABC S ∆=4、ABC ∆中，090=∠C ，CD ⊥AB ，D 为垂足，设m AD =，DCB α∠=，则=AB(用含m 和α∠三角比的式子表示)5、已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三角A B ∠∠∠、、C 的对边，当m>0时，关于x 的方程()()2220b x m c x m a mx ++--=有两个相等的实数根，且cos cos c A a C ⋅=⋅,试判断△ABC 的形状。
（三）解直角三角形当一个直角三角形中除了直角三角形这个元素之外，再知道两个元素，其中至少一个是边元素，那么这个三角形的所有元素都可以求出。
例：解直角三角形1、解直角三角形：2,30,9000=-=∠-∠=∠b a B A C2、已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AD=2,DC=4,BC=5，求cos ,tan B BAC ∠。
3、已知ABC ∆中，BD 是中线，AE ⊥BD 交BC 于点E ，DBC ∠的正切值为45，BD=15，求AE 。
4、已知△ABC 是边长为52的等边三角形，过B 作BC 的垂线BD ，且34BD AB =,连结CD 交边AB 于点E ，求DE 。
第3题图 第4题图【巩固练习】1、已知α是锐角，且()3tan 904α︒-=,则cos α的值为 2、已知α是锐角，且()3sin 102α︒+=，则α是 3、等腰三角形的周长为223+，底边上的高为1，则其底角的余弦值为4、已知在△ABC 中，A B ∠∠、是锐角，()22sin cot 30,2A B -+-=则C ∠=度。
5、等腰三角形的两边长为4和9，那么这个三角形的底角的余弦值为6、在ABC ∆中，点D 是AB 的黄金分割点（BD AD ），BC=AD ，如果090=∠ACD ，那么=A tan 。
CABD ACBD第6题图 第12题图 第15题图7、已知，菱形的一条对角线长为16cm ，面积为96cm 2，则它较小角的一半的余弦值为 。
8、某中学升国旗时，小余同学站在离旗杆底部12米处行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角为045，他的双眼离地面3.1米，则旗杆的高度为 米。
9、在ABC Rt ∆中，90,C A B ∠=︒∠∠、的对边是a 、b ，则ba的值是( ) DABECDAEBC(A)A ∠的正弦值 (B)B ∠的余弦值 (C)A ∠的余切值 (D)B ∠的余切值 10、下列不等式成立的是 ( )(A)sin 60sin 45sin 30︒<︒<︒ (B)cos60cos 45cos30︒>︒>︒ (C)tan 60tan 45tan 30︒<︒<︒ (D)00030tan 45cot 30cot11、身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各放出线长分别是300米、250米、200米，线与地面所成的角为030、045、060，（假设风筝的线是拉直的），则三人所放的风筝（ ） A. 甲最高 B. 乙最高 C. 丙最高 D. 丙最低12、两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高为（ ）。
A. a B. αtan ⋅a C. αcot ⋅a D. ()βαtan tan -a 13、下列条件中，不能确定一个直角三角形大小的条件是（ ）。
已知两条直角边 B. 已知一条直角边和斜边 C. 已知一边和一个锐角 D. 已知两个锐角 14、计算：()()000030cos 30cot 160sin 60tan 1+--+15、 如图，在ABC ∆中，AB AD BAC C ==∠=∠,30,9000，求tanD 。
16、已知直角三角形中两条直角边的差是7cm ，斜边的长是13cm ，求较小锐角α的各三角函数值。
第17题图 第19题图 第20题图17、ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。
18、已知在ABC ∆中，2,32==AC AB ，BC 边上的高3=AD 。
（1）求BC 的长； （2）若有一个正方形的一边在AB 上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求正方形的面积。
19、已知ABC ∆中，0120=∠BAC ，AD 平分BAC ∠，AB=5，AC=3，求AD 的长。
20、如图，已知ABC ∆中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD 的面积。
21、已知ABC ∆中，AD 为中线，34,10,60===∠BC AB BAD ，求AC 的长。
第21题图 第22题图 第23题图 22、在ABC ∆中，6,12,1200===∠AC AB A 。
求C B sin sin +的值。
23、四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠BCA ＝600，∠CDA ＝1350，10=BC ，340=∆ABC S 。
求AD 边的长。
24、湖面上有一塔高15米，在塔顶A 测得一气球的仰角为45，又测得气球在水中像的俯角为60，求气球高出水面的高度。
25、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。
近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正西300公里的B 处以710海里/时的速度向南偏东60的BF 方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。
（1）通过计算说明A 市是否受到本次沙尘暴的影响？ （2）若A 市受沙尘暴影响，求A 市受沙尘暴影响的时间有多长？【课后测试】1、在EFG ∆中，10,6,900===∠EF EG G ，则=E cot 。
2、在ABC ∆中，0045,105=∠=∠B A ，C tan 的值是 。
3、在ABC ∆中，若3tan ,22cos ==B A ，则这个三角形一定是 三角形。
4、如图，在EFG ∆中，EG FH EFG ⊥=∠,900，下面等式中，错误的是（ ） A 、EG EF G =sin ；B 、EF EH G =sin ；C 、FG GH G =sin ；D 、FGHFG =sin ；第4题图 第9题图 第10题图 5、065sin 与026cos 之间的关系为 。
（比较大小） 6、已知06030<<α，下列各式正确的是（ ）A 、23cos 22<<α；B 、21cos 23<<α； C 、23cos 21<<α ；D 、22cos 21<<α 7、在ABC ∆中，52sin ,900==∠A C ，则sinB 的值是 。
8、若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是 米2。
9、铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为3:2=i ，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是 。
10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为 。
11、已知00900<<α，当=α__________时，5.0sin =α，当=α__________时，3cot =α。
12、若01cos 42=-α，则锐角=α__________。
13、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，53sin =A ，36=++c b a ，则=a __________，=b __________，=c __________，=A cot __________。
14、若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为__________。
