21.2.1解一元二次方程----直接开平方法

章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。

2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。

过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。

情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。

教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。

板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。

教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。

21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。

21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。

21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思第一篇：21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思21.2解一元二次方---直接开平方法的教学反思解一元二次方程是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。

在这节教材编写中还突出体现了换元、转化等重要的数学思想方法。

因此，这节课不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

本节课我以出示学习目标开场，让学生明确本节课的学习任务，抓住学习重点。

在复习近平方根的知识，为本节课的教学做好准备，符合学生的认知规律。

然后接着从实际问题切入向学生提出问题，激发学生的学习热情和问题探索的强烈欲望，然后通过一系列的问题让学生在合作与探究中逐步理解并掌握直接开平方法解一元二次方程，同时在问题的解决过程中让学生体会类比的学习方法和换元、转化的数学思想，从而培养学生良好的数学学习学习方法和数学思维方式。

其中教学问题的设计围绕目标环环相扣，同时注重层次性与启发性;在典例解析、巩固新知和达标检测环节中，注重突出重点，分层评价。

整节课学生的参与积极性较高，达到了预期的教学效果。

当然，这节课也存在不足之处，还有学生参与讨论的过程中个别学生参与程度不足，教师应关照这些边缘人员。

今后，我会更努力,多渠道向优秀老师学习，不断地提升自我、完善自我，使课堂教学更高效。

第二篇：配方法解一元二次方程教学反思在“一元二次方程”这一章里，《配方法》是作为解一元二次方程的第三种解法出现的，学生往往会把配方法和前面学过的直接开平方法以及因式分解法等同理解，所以在用配方法解题时只是简单模仿老师的解题步骤，对为什么要配方理解不到位，因此在需要用配方法证明一个代数式一定为正数或负数时往往不知所措。

而我认为配方法更多的是一种代数式变形的技巧，她可以为解一元二次方程服务，但不仅仅只是一种解方程的方法。

事实上，一个一元二次方程在配方后还是要结合直接开平方法才能解出方程的解。

21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程知识点梳理 ：解一元二次方程- - -直接开平方法形如x 2＝p 或（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程．◆如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得 ；◆如果方程能化成（nx+m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么 ． ◎◎◎注意事项：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ①降次的实质是由一个二次方程转化为 个一元一次方程． ①方法是根据 的意义开平方．知识点训练：知识点1：解形如x 2＝p （p ≥0）的一元二次方程1．方程 12x 2﹣2＝0的根为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝±2C ．x ＝±√2D ．x ＝±2√22．方程9x 2﹣16＝0的根是 ． 3．解下列方程：（1）x 2﹣3＝5； （2）3x 2﹣1＝26； （3）12x 2﹣8＝0．4．已知x ＝3是一元二次方程x 2﹣p ＝0的一个根，求p 的值和方程的另一根．知识点2：解形如（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程5．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 ．6．若关于x 的一元二次方程ax 2+k ＝0的一个根为1，则方程a （x ﹣1）2+k ＝0的解为 ． 7．解下列方程：（1）3（x ﹣1）2＝12； （2）2（x ﹣1）2=18． （3）14（3x+1）2＝64知识点提升训练：【●基础题●】1．如果2是方程x 2﹣c ＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．±√22．方程（x ﹣1）2＝0的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是．4．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是．5．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0），若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A．n≠0B．m、n异号或n＝0C．n是m的整数倍D．m、n同号6．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．【●提升题●】7．若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x 的一元二次方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解是．8．若（x2+y2﹣5）2＝64，则x2+y2等于（）A．13 B．13或﹣3 C．﹣3 D．以上都不对9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2−8x+16=510．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【●拓展题●】11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下；a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（1）√3◎√2=．（2）若（m+2）◎（m﹣3）＝24，求m的值．。

§21.2.1降次解一元二次方程(1)──直接开平方法一、学习目标目标A: 复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。

目标B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。

目标C ：理解并熟练降次解一元二次方程。

二、问题引领问题A ：复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。

1. 已知x 2=16，则x= .2. 3的平方根为 .3. 填空：(1) =++222b ab a ( )2 ; (2) x 2-8x+16=(x-______)2; (3) 29x + +4=( + )2; (4) = 2)25(-x 问题B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。

问题一桶油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm ，则一个正方体的表面积为 dm 2根据一桶油漆可刷的面积，可以列出方程：________________________解得：x 2=______________ 则 x =______________∵ ∴正方体的棱长是 【归纳】一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，由平方根的定义得x 1= ,x 2= ,这样我们就将一元二次方程降次为两个 方程, 然后求出方程的解，这种解方程的方法叫做直接开平方法,降次是解一元二次方程的基本策略.【归纳】(1)应用直接开平方法解形如x 2=p(p ≥0),那么x=(2)应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p ≥0),那么mx+n=问题C.理解并熟练降次解一元二次方程。

例1（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0解下列方程： 例2解下列方程：⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x ）2－3 =例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2【归纳】一元二次方程化为(x+n)2=p 的形式时，原方程的解的情况为：若p>0,则原方程 ； 若p=0，则原方程 ； 若p<0,则原方程 。

21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。