[配套K12]2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第81讲 圆锥曲线常见题型解法

2018高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.23 B 62 D. 3【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题教师用书1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e＝c a＝ a 2＋b 2a 2＝2，选D. 2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋－432＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.3．(2016·山西质量监测)已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx (k >0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积的最大值为2c 2，则椭圆的离心率为( )A.13B.12C.33D.22 答案 D解析 设C (x 1，y 1)(x 1>0)，D (x 2，y 2)， 将y ＝kx 代入椭圆方程可解得x 1＝ab b 2＋a 2k2，x 2＝－abb 2＋a 2k 2，则|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2ab 1＋k 2b 2＋a 2k 2.又点A (a,0)到直线y ＝kx 的距离d 1＝ak1＋k2，点B (0，b )到直线y ＝kx 的距离d 2＝b1＋k2，所以S 四边形ACBD ＝12d 1|CD |＋12d 2|CD |＝12(d 1＋d 2)·|CD |＝12·b ＋ak 1＋k 2·2ab 1＋k2b 2＋a 2k 2＝ab ·b ＋akb 2＋a 2k 2.令t ＝b ＋akb 2＋a 2k 2，则t 2＝b 2＋a 2k 2＋2abk b 2＋a 2k 2＝1＋2ab ·k b 2＋a 2k2＝1＋2ab ·1b 2k＋a 2k ≤1＋2ab ·12ab＝2， 当且仅当b 2k ＝a 2k ，即k ＝ba时，t max ＝2，所以S 四边形ACBD 的最大值为2ab . 由条件，有2ab ＝2c 2，即2c 4＝a 2b 2＝a 2(a 2－c 2)＝a 4－a 2c 2,2c 4＋a 2c 2－a 4＝0,2e 4＋e 2－1＝0， 解得e 2＝12或e 2＝－1(舍去)，所以e ＝22，故选D.4．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2， ∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A 解析 由e ＝33，得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由题意得2ba 2＋b2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.题型二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53(2)(2016·天津)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________． 答案 (1)D (2) 6解析 (1)由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(p >0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， |AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为____________．答案2－1解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设椭圆另一焦点为E .当x ＝p2时，代入抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝p 2＋p22＋p 2＝2p ，|PF |＝p ，|EF |＝p .故2a ＝ 2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.题型三 最值、范围问题例3 若直线l ：y ＝3x 3－233过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行． (1)求双曲线的方程；(2)若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 在y 轴上的截距的取值范围． 解 (1)由题意，可得c ＝2，ba ＝33， 所以a 2＝3b 2，且a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a ＝3，b ＝1.故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知B (0,1)，依题意可设过点B 的直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kx －6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 1－3k2，Δ＝36k 2＋24(1－3k 2)＝12(2－3k 2)>0⇒0<k 2<23，且1－3k 2≠0⇒k 2≠13.设MN 的中点为Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3k 1－3k 2，y 0＝kx 0＋1＝11－3k2， 故直线m 的方程为y －11－3k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3k 1－3k 2， 即y ＝－1k x ＋41－3k 2.所以直线m 在y 轴上的截距为41－3k2， 由0<k 2<23，且k 2≠13，得1－3k 2∈(－1,0)∪(0,1)，所以41－3k2∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)．故直线m 在y 轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________． 答案2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 2＋2y 2－2＝0，得3x 2＝2，∴x ＝±63，设点A 在第一象限， ∴A (63，63)，B (－63，－63)，∴|AB |＝433. 设与l 平行的直线l ′：y ＝x ＋m 与椭圆相切于P 点． 则△ABP 面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4m )2－4×3×(2m 2－2)＝0，∴m ＝±3.∴P 到AB 的距离即为l 与l ′的距离，∴d ＝32.∴S △ABC ＝12×433×32＝ 2.题型四 定值、定点问题例4 (2016·全国乙卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)． 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值． 题型五 探索性问题例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0. 又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， ∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程， 化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件．当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意；②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一根，满足题意；③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．(2016·山东枣庄八中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点(1，32)．若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N (x 0a ，y 0b )称为点M 的一个“椭点”．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又1a 2＋94b2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)△AOB 的面积为定值．理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 12，y 13)，Q (x 22，y 23)，∵以PQ 为直径的圆经过坐标原点，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 24＋y 1y 23＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 得3＋4k 2－m 2>0.x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2. y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2， 代入x 1x 24＋y 1y 23＝0，即y 1y 2＝－34x 1x 2，得 m 2－4k 23＋4k 2＝－34·m 2－3＋4k2，即2m 2－4k 2＝3， ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k 2－m 2＋3＋4k2，由点O 到直线AB 的距离公式得d ＝|m |1＋k2，∴S △AOB ＝12|AB |d ＝121＋k 2·k 2－m 2＋3＋4k 2·|m |1＋k 2＝12k 2－m 2＋|m |3＋4k2，把2m 2－4k 2＝3代入上式，得S △AOB ＝ 3.1．(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.2．(2016·金华十校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上，下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P (21313，23913)在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1)求椭圆C 的方程；(2)设不经过顶点A ，B 的直线l 与椭圆交于两个不同的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且1x 1＋1x 2＝2，求椭圆右顶点D 到直线l 距离的取值范围． 解 (1)∵点P (21313，23913)，∴k OP ＝3，又∵AF ⊥OP ，－b c×3＝－1，∴c ＝3b ，∴a 2＝4b 2. 又点P (21313，23913)在椭圆上，∴413a 2＋1213b 2＝4134b 2＋1213b 2＝1313b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝1，此时d ＝1. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠±1)， 联立椭圆方程得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝m 2－4k 2＋1， 由Δ>0⇒4k 2－m 2＋1>0，①由1x 1＋1x 2＝2⇒x 1＋x 2＝2x 1x 2⇒－8km 4k 2＋1＝2m 2－4k 2＋1， 即km ＝1－m 2⇒k ＝1m－m (m ≠0)，②把②式代入①式得m 2>43或0<m 2<1.椭圆右顶点D (2,0)到直线l 的距离 d ＝|2k ＋m |k 2＋1＝|2m－m |1m2＋m 2－1＝|2－m 2|m 4－m 2＋1＝m 4－4m 2＋4m 4－m 2＋1＝1－m 2－m 4－m 2＋1，令m 2－1＝t ∈(－1,0)∪(13，＋∞)，则d ＝1－3tt 2＋t ＋1＝1－3t ＋1t＋1∈[0,1)∪(1,2)， 综上可知d ∈[0,2)．3．(2017·浙江新高考预测)已知曲线C 的方程是mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，且曲线C 过A (24，22)，B (66，33)两点，O 为坐标原点． (1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求证：直线MN 恒与一个定圆相切． (1)解 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1.所以曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1.(2)证明 由题得y 21＋4x 21＝1，y 22＋4x 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝0， 原点O 到直线MN 的距离d ＝|OM |·|ON ||MN |＝x 21＋y 21x 22＋y 22x1－x 22＋y 1－y 22＝ x 21＋y 21x 22＋y 22x 21＋x 22＋y 21＋y 22＝ －3x 21－3x 222－x 21＋x 22＝1－x 21＋x 22＋9x 21x 222－x 21＋x 22. 由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得x 21x 22＝y 21y 22＝(1－4x 21)(1－4x 22)＝1－4(x 21＋x 22)＋16x 21x 22， 所以x 21x 22＝415(x 21＋x 22)－115， d ＝－x 21＋x 22＋125x 21＋x22＋252－x 21＋x 22＝25－35x 21＋x 222－x 21＋x 22＝55， 所以直线MN 恒与定圆x 2＋y 2＝15相切．4．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB 和AC 分别与直线x ＝4交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝3， 从而椭圆的半焦距c ＝a 2－b 2＝1.所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12.(2)依题意，直线BC 的斜率不为0， 设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2.易知直线AB 的方程是y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，从而可得M (4，6y 1x 1＋2)，同理可得N (4，6y 2x 2＋2)． 假设x 轴上存在定点P (p,0)使得MP ⊥NP ， 则有PM →·PN →＝0. 所以(p －4)2＋36y 1y 2x 1＋x 2＋＝0.将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得 (p －4)2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2＋9＝0，所以(p －4)2＋－t2－＋3t －6t ＋＋3t2＝0，即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7. 所以x 轴上存在定点P (1,0)或P (7,0)， 使得MP ⊥NP .5．(2016·浙江名校第一次联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →. (1)若λ＝34，求椭圆C 的离心率；(2)若△PF 1F 2为等腰三角形，求λ的值．解 (1)因为A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点， 所以A ，B 的坐标分别为(－a e，0)，(0，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2ac ＝a 2＋b 2所以点M 的坐标是(－c ，b 2a)，由AM →＝λAB →，得(－c ＋a e，b 2a)＝λ(a e，a )．即⎩⎪⎨⎪⎧a e －c ＝λa e ，b 2a ＝λa ，解得λ＝1－e 2，因为λ＝34，所以e ＝12.(2)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角， 要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|， 即12|PF 1|＝c .设点F 1到l 的距离为d ， 由12|PF 1|＝d ＝|e －c ＋0＋a |1＋e 2＝|a －ec |1＋e2＝c ，得 1－e21＋e2＝e ，所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23.即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．。

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。

（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。

（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。

圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。

二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ=则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。

第九章 圆锥曲线一．基础题组1. 【2017高考上海，6】设双曲线()22109x y b b2-=> 的焦点为12,F F ，P 为该双曲线上的一点.若15PF = ,则2PF = . 【答案】11.2. 【2014上海,理3】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【解析】椭圆22195x y +=的右焦点为(2,0)，因此22p =，4p =，准线方程为2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质.3. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．【解析】 (如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b+＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2＝43，2c .4. 【2013上海,文18】记椭圆22441x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n n M →∞＝( )A ．0B ．14` C ．2D ．【答案】D5. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线22=19y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】16 【解析】6. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【答案】x y 82=【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题7. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE e =，22OE e =.任取双曲线Γ上的点P ，若12O P a e b e =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等 式是 ； 【答案】41ab =【解析】设00(,)P x y ，易知1(2,1)e =，2(2,1)e =-，由12O P a eb e =+，得00(,)(2,1)(2,1)x y a b =+-，即00(,)(22,)x y a b a b =+-，∴022x a b =+，0y a b =-，代入1422=-y x 整理得41ab =，故答案为：41ab =. 【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.8. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP ＝ae 1＋be 2(a 、b ∈R)，则a 、b 满足的一个等式是________． 【答案】4ab ＝1【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±12，可得双曲线方程为24x －y 2＝λ，即：24x λ－2y λ＝1.又∵双曲线的一个焦点坐标为0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.∴双曲线的方程为24x －y 2＝1.而OP ＝ae 1＋be 2＝(2a ，a )＋(2b ，－b )＝(2a ＋2b ，a －b )， 又∵P 在双曲线上，∴2(22)4a b +－(a －b )2＝1.整理得4ab ＝1.9. (2009上海,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b=______________. 【答案】3【解析】∵21PF ⊥,∴∠F 1PF 2=90°, ∴△F 1PF 2为直角三角形. ∴|PF 1|2+|PF 2|2=(2c)2. 又∵|PF 1|+|PF 2|=2a,∴|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|, 即(2c)2=(2a)2-4×21|PF 1|·|PF 2|,9||||212121=∙=∆PF PF S F PF . ∴4c 2=4a 2-4×9=0, ∴4b 2=4×9.∴b=3.10. (2009上海,理14)将函数2642--+=x x y (x ∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________. 【答案】32arctan11. (2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为4π的直线,与抛物线y 2=2x 交于M 、N 两点,则|MN|=___________.【答案】62 【解析】斜率14tan==πk ,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线y 2=2x,得x 2-4x+1=0.因为判别式Δ=16-4＞0,所以可设其两根为x 1,x 2, 于是x 1+x 2=4,x 1x 2=1.故6241624)(1||212212=-∙=-++=x x x x kMN12. 【2008上海,文6】若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =___． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-13. 【2008上海,文12】设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==14. 【2007上海,理8】已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____15. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．【答案】141622=+y x【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，∴22312c b ==，∴ 224,16b a ==，该椭圆的标准方程是141622=+y x ．16. 【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.【答案】221916x y -= 【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -=. 17. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.【答案】1922=-y x 【解析】由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab， 它的一个焦点是()0,10，知1022=+b a，因此3,1==b a双曲线的方程是1922=-y x 18. 【2005上海,理15】过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 【答案】B19. 【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【答案】2218020x y +=【解析】由题意可知，2ab=，c =222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题. 二．能力题组20. 【2016高考上海理数】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【解析】试题解析：（1）因为C 上的点到直线ΕΗ与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形ΕFG Η内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点Μ的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭． 所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.21．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）5±. 【解析】()110F ΑF ΒΑΒ+⋅=即10F ΜΑΒ⋅=，从而得到11F Μkk ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),ΑΑΑx y ．由题意，()2,0F c，c ，()22241Αy b c b =-=，因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以2Αc =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ．由11()0F A F B AB +⋅=即10F ΜΑΒ⋅=，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-． 而2122223Μx x k x k +==-，()2623ΜΜk y k x k =-=-，12323F Μk k k =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为．【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.22. 【2016高考上海文数】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x . 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 23.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .【解析】（1）直线1l 的方程为011=-y x x y ， 由点到直线的距离公式得点C 到1l 的距离为21211221||yx y x x y d +-=，因为2121||y x OA +=，所以||21||211221y x y x d OA S -=⋅=. （2）由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，消去y 解得221211k x +=， 由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kxy ，的221211k x +=，同理2222222)(211m k k km x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-=22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ， 由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021640182222m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．24. 【2015高考上海理数】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =． 【答案】2【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．25.【2015高考上海理数】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C的渐近线方程为y x = 【考点定位】双曲线渐近线【名师点睛】(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分b m a =或am b=讨论． (2)与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；(4)相关点法求动点轨迹方程．26. 【2015高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）详见解析（2）S =【解析】证明：（1）直线1:l 110y x x y -=，点C 到1l的距离d =2AB =OA =所以C 122112222S S d x y x y ∆AB ==⨯AB ⋅=-. 解：（2）设1:l y kx =，则2:l 12y x k=-.设 ()11,x y A ，()22C ,x y .由2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，得212112x k =+. 同理2222212211122k x k k ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 由()1，2121221211221222x x k S x y x y x kx x x k k⋅+=-=+⋅=⋅=整理得S =【考点定位】直线与椭圆位置关系【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.27. 【2014上海,文22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-+∞；（3）证明见解析. 【解析】二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）可直接设动点M 坐标为(,)x y ，代入已知条件即可求出轨迹E 的方程为1x =，化简为2221(2)x y x+-=，y 轴的方程为0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证． 试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞. 又对任意的11(,][,)22k ∈-∞-+∞，点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是11(,][,)22-∞-+∞．（3）由题得，设(,)M x y 1x =， 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= 当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.因为对任意的0y R ∈，点0(0,)y 不是方程222[(2)]1x y x +-⋅=的解，所以直线0x =与曲线E 没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线y 轴是E 分隔线．【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.28. 【2013上海,理22】如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”； (3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 【答案】(1) x＝y＝(k x ，其中|k|≥3. (2) 参考解析;(3)参考解析 【解析】(1)C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x＝y＝(k x ，其中|k|≥3(2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点， 所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝1||x x +＞1.若原点是“C 1C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点． 考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k-＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点． 因此原点不是“C 1C 2型点”．因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 29. 【2012上海,理22】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 【答案】(1)8;(2)参考解析; (3)参考解析 【解析】(1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为y x =，即1y +.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||||2S OA y ==. (2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因直线PQ 与已知圆相切，1=，即b 2＝2. 由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则122122,1.x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2， 则O 到直线MN当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx (显然|k |＞2)， 则直线OM 的方程为1y x k=-. 由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 所以2221||4k ON k +=+.同理2221||21k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以22222111333||||1kd OM ON k+=+==+，即3d=.综上，O到直线MN的距离是定值．30. 【2012上海,文22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若||MF=M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.【答案】(1) M4; (3)参考解析由M点是右支上一点，知x≥，所以||2MF=+=得x=.所以M．(2)左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y=.过点A与渐近线y=平行的直线方程为)2y x=+，即1y+.解方程组,1yy⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得41.2xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝4. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b . 因直线PQ与已知圆相切，故1=，即b 2＝k 2＋1.(*) 由22,21,y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则12221222,21.2kb x x k b x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2222222222(1)(1)21222k b k b b k b k k k +---+-++=---.由(*)知，0OP OQ ⋅=，所以OP ⊥OQ .31. 【2010上海,理23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221x y a b+=（0a b >>），点P 的坐标为（b a ,-）.（1）若直角坐标平面上的点M 、(0,)A b -，(,0)B a 满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；（2）设直线1l ：1y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线2l ：2y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点(cos ,sin )Q a b θθ（0θπ<<），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，写出求作点1P、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【答案】（1）)2,2(b aM -;（2）参考解析;（3）(0,arcsin44π+因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点； (3) 求作点P 1、P 2的步骤：1︒求出PQ 的中点(1cos )(1sin )(,)22a b E θθ-+-， 2︒求出直线OE 的斜率2(1sin )(1cos )b k a θθ+=--，3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率2122(1cos )(1sin )b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：(1sin )(1cos )(1cos )()2(1sin )2b b a y x a θθθθ+---=++， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 1、P 2的坐标． 欲使P 1、P 2存在，必须点E 在椭圆内，所以22(1cos )(1sin )144θθ-++<，化简得1sin cos 2θθ-<，sin()4πθ-<又0<θ <π，即3444πππθ-<-<，所以44ππθ-<-<，故θ的取值范围是(0,4π+． 【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．32. 【2010上海,文23】已知椭圆Γ的方程为22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，A (0，b )，B (0，－b )和Q (a,0)为Γ的三个顶点．(1)若点M 满足AM ＝12(AQ ＋AB )，求点M 的坐标； (2)设直线l 1：y ＝k 1x ＋p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2：y ＝k 2x 于点E .若k 1·k 2＝－22b a，证明：E 为CD 的中点；(3)设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点P 1、P 2满足1PP ＋2PP ＝PQ ？令a ＝10，b ＝5，点P 的坐标是(－8，－1)，若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足1PP ＋2PP ＝PQ ，求点P 1、P 2的坐标． 【答案】(1) (a 2，－b2); (2) 参考解析;(3) P 1(8,3)，P 2(－6，－4)【解析】(1)解：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由题意可知AQ ＝(a ，－b )，AB ＝(0，－2b )，∴AM ＝12 (AQ ＋AB )＝(2a ，－32b )＝(x 0，y 0－b )， ∴点M 的坐标为(a2，－b2)．(2)证明：由122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(b 2＋a 221k )x 2＋2a 2k 1px ＋a 2p 2－a 2b 2＝0，∴CD 中点坐标为(－212221a k p b a k +，22221b pb a k +)．∵k 1·k 2＝－22b a ，∴k 2＝－221b a k .由1221y k x pb y x a k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 得l 1与l 2的交点E 的坐标为(－212221a k p b a k +，22221b p b a k +)． ∴l 1与l 2的交点E 为CD 的中点．(3)解：设OF 的斜率为k 1，过F 作斜率为k 2＝－21bk a的直线交椭圆于P 1、P 2两点． 由(2)可知，F 是P 1P 2的中点，四边形PP 1QP 2是平行四边形，所以1PP ＋2PP ＝PQ ，直线P 1P 2即为所求．由a ＝10，b ＝5及点P (－8，－1)得PQ 中点为S (1，－12)，OS 的斜率k OS ＝－12. 过点S 且斜率k ＝－22510os k ＝12的直线l 的方程是y ＝12 (x －2)．记l 与Γ的交点为P 1、P 2，则1PP ＋2PP ＝PQ .由221100251(2)2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得P 1(8,3)，P 2(－6，－4)．33. (本题满分16分)(2009上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.已知双曲线C:1222=-y x ,设过点A(23-,0)的直线l 的方向向量e =(1,k). (1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时,求直线l 的方程及l 与m 的距离; (2)证明:当22>k 时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 【答案】(1) 0232=+±y x; (2) 参考解析(2)证法一:设过原点且平行于l 的直线b:kx-y=0, 则直线l 与b 的距离21||23kk d +=,当22>k 时,6>d . 又双曲线C 的渐近线为02=±y x , ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方,∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 证法二:假设双曲线C 右支上存在点Q(x 0,y 0)到直线l 的距离为6,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-)2(,22)1(,61|23|2020200y x kk y kxx 02-2y 02=2,(2)由(1),得2001623k k kx y +∙±+=,设21623k k t +∙±=, 当22>k 时,016232>+∙±=k k t ; 01312616232222>++-⨯=+∙-=kk k k k t .将y 0=kx 0+t 代入(2)得(1-2k 2)x 02-4ktx 0-2(t 2+1)=0,(*)∵22>k ,t ＞0,∴1-2k 2＜0,-4kt ＜0,-2(t 2+1)＜0. ∴方程(*)不存在正根,即假设不成立,故在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6.34. (2009上海,文22)已知双曲线C 的中心是原点,右焦点为F(3,0),一条渐近线m:02=+y x ,设过点A(23-,0)的直线l 的方向向量e =(1,k). (1)求双曲线C 的方程;(2)若过原点的直线a ∥l,且a 与l 的距离为6,求k 的值;(3)证明:当22>k 时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6. 【答案】(1) 1222=-y x ; (2) 22±=k ;(3)参考解析 【解析】(1)设双曲线C 的方程为x 2-2y 2=λ(λ＞0), ∴32=+λλ,解得λ=2.∴双曲线C 的方程为1222=-y x . (2)直线l:023=+-k y kx , 直线a:kx-y=0. 由题意,得61|23|2=+k k ,解得22±=k . (3)证法一:设过原点且平行于l 的直线b:kx-y=0, 则直线l 与b 的距离21||23kk d +=,当22>k 时,6>d . 又双曲线C 的渐近线为02=±y x , ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方.∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为6. 证法二:假设双曲线C 右支上存在点Q （x 0,y 0)到直线l 的距离为6，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-②y x ①kk y kx ,22,61|23|2020200由①得2001623k k kx y +∙±+=,设21623k k t +∙±=, 当22>k 时，016232>+∙+=k k t ; 01312616232222>++-⨯=+∙-=kk k k k t .将y 0=kx 0+t 代入②得（1-2k 2)x 02-4ktx 0-2(t 2+1)=0.(*) ∵22>k ,t ＞0. ∴1-2k 2＜0,-4kt ＜0,-2(t 2+1)＜0. ∴方程（*）不存在正根，即假设不成立.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为6.35. 【2008上海,理18】(6’+9’)已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。

专题09 圆锥曲线一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A．6 B ．13 C ．12 D．3【答案】：D∴32a x ==，∴3c e a ===. 2. 【2012全国新课标，文4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 【解析】设直线32ax =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，232a F M c =-，故22312cos6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =．3. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )【答案】D【解析】b a ＝24＝12e 4. 【2006全国2，文5】已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )（A ） （B ）6 （C ） （D ）12 【答案】C【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a =，所以选C.5. 【2005全国2，文5】抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）(A) 2 (B) 3(C) 4(D) 5【答案】D6. 【2005全国2，文6】双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±【答案】C【解析】由题意知：2,3a b ==，∴双曲线22149x y -=的渐近线方程是32y x =±.7. 【2017新课标2，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8. 【2015新课标2文数】已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】2214x y -= 【解析】【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是在y 轴上.一般的结论是：以()0,0by x a b a=±>>为渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y m m a b-=≠. 二．能力题组1. 【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）3（B ） （C ）12 （D ）【答案】C【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==，故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 2. 【2013课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )． A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝1)3x -或y ＝(1)3x --C ．y 1)x -或y ＝1)x -D ．y 1)x -或y ＝1)x - 【答案】：C设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2， 在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t =+，解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°.∴斜率k y 1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y ＝1)x －，故选C.3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为( )A ．．4 D ．8 【答案】 C4. 【2006全国2，文9】已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( ) （A ）53 （B ）43 （C ）54 （D ）32【答案】A【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，与43y x =相同，∴3,4a t b t ==，∴53c e a ===. 5. 【2005全国3，文9】已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C D 【答案】C∴1212||||||3MF MFdF F===.6.【2017新课标2，文12】过抛物线2:4C y x=的焦点FC于点M （M在的轴上方），为C的准线，点N在上且MN l⊥,则M到直线NF的距离为AB．C．D．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x=-，与抛物线24y x=联立得231030x x-+=，解得121,33x x==，所以M，因为MN l⊥，所以(1N-，因为(1,0)F，所以:1)NF y x=-. 所以M到直线NF=【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.7.【2016新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（A）12（B）1 （C）32（D）2【答案】D【解析】试题分析：因为F是抛物线24y x=的焦点，所以(1,0)F，又因为曲线(0)ky kx=>与C交于点P，PF x⊥轴，所以21k=，所以2k=，选D.【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对于函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数. 三．拔高题组1. 【2010全国2，文12】已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，过右焦点F且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF ＝3FB ，则k 等于( ) A ．．2 【答案】：B又∵AF ＝3FB ， ∴AF ＝3FB ，∴|AA 1|＝3FBe，∴|AM |＝|AA 1|－|MA 1|＝|AA 1|－|BB 1|＝2FBe，而|AB |＝|AF |＋|FB |＝4|FB |， 在Rt △BAM 中，cos ∠BAM ＝AM AB＝24FBe FB ＝12e＝3，∴sin ∠BAM＝3k ＝tan ∠BAM2. 【2007全国2，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )(A) 13(B)33 (C)21 (D)23 【答案】：D3. 【2007全国2，文12】设F 1,F 2分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点，若点P 在双曲线上,且120PF PF ∙=，则12||PF PF +=( ) (A)10 (B)102(C)5 (D) 52【答案】：B【解析】∵120PF PF ∙=，∴12PFPF ⊥，∴221212||||4(19)40PF PF F F +==+=，∴12||PF PF +=4. 【2006全国2，文11】过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 【答案】D 【解析】5. 【2005全国3，文10】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A．2D1【答案】D6. 【2010全国2，文15】已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________. 【答案】：2 【解析】：l ：x ＝－2p，过M (1,0)yx －1)，联立得21)p x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得21)2p x p y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴A (－2p2p ＋1))． 又∵AM ＝MB ，∴M 点为AB 的中点．∴B 点坐标为(2p ＋22p＋1))． 将B (2p ＋22p ＋1))代入y 2＝2px (p ＞0)，得3(2p ＋1)2＝2p (2p ＋2)，解得p ＝2或p ＝－6(舍)．7. 【2010全国2，文22】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．1 2×2224ab a-＝1，即b2＝3a2，②故c2a，所以C的离心率e＝ca＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－2432a+＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|a－2x1，|FD|2x2－a.所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．8. 【2006全国2，文22】（本小题满分１２分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

高中数学圆锥曲线解答题解法题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。

AB=21k=+d=22122kk k+=解得k=53x=。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。