复旦附中高一上期末解析(2020.1)

2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a= 时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）= ．4．求值：= ．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b= ．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A． f（2）＞f（3）B． f（2）＞f（5）C． f（3）＞f（5）D． f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A． 15个B． 12个C． 9个D． 8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a= ±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）= x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：= 4 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b= 3 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为 6 ．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为 3 ．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A． f（2）＞f（3）B． f（2）＞f（5）C． f（3）＞f（5）D． f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A． 15个B． 12个C． 9个D． 8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x ﹣1）；当 x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。

复旦大学附属中学2023学年第一学期高一年级物理期末考试试卷（A 卷）（考试时间：90分钟：满分：100分）一、单选题（每题只有一个选项正确，每题2分，共24分）1.描述运动物体位置变化的量是（）A.路程B.位移C.速度D.速度的变化量2.关于惯性，正确的说法是（）A.物体只有在加速或减速时才表现出它的惯性B.物体质量越小，惯性越小C.物体速度越大，惯性越大D.做自由落体运动的物体没有惯性3.如图所示，如果力F 是力F l 和力F 2的合力，则正确的是（）A.B.C.D.4.乘坐电梯的人对“加速度变化的快慢”非常敏感，“加速度变化的快慢”的单位是（）A.m/sB.2m/s C.3m/s D.22m /s 5.某品牌拉力器的弹簧的劲度系数4000N/m k ，小明左手和右手分别向相反方向各用200N 的水平力拉拉力器，这时拉力器弹簧的伸长量是（）A.5cmB.10cmC.0D.20cm6.摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它（）A.受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用B.所受的地面作用力恰好与重力平衡C.所受的合力可能不变D.所受的合力始终变化7.如图为“用DIS研究加速度与力的关系”实验的a F 关系，根据图线分析该实验过程可能存在的问题为（）A.所用小车质量过大B.所挂钩码的总质量太大C.导轨与小车间摩擦太大D.没有多次测量取平均值8.四个小球在离地面不同高度同时由静止释放做匀加速直线运动，从开始运动时刻起每隔相同的时间间隔，小球依次碰到地面。

下列各图中，能反映出各小球刚开始运动时相对地面位置的是（）A. B.C. D.9.磁铁吸着铁片保持接触面竖直一起自由下落，他们之间（）A.有一对作用力和反作用力B.有两对作用力和反作用力C.有三对作用力和反作用力D.有四对作用力和反作用力10.一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经A 、B 、C 、D 位置时的速度v 和所受合力F 的大小、方向如图所示，其中可能正确的是（）A .A 或CB.B 或DC.A 和CD.B 和D11.细绳拴着一个质量为m 的小球，小球用固定在墙上的水平轻质弹簧支撑，平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°，如图所示，已知重力加速度为g ，cos530.6︒=，sin 530.8︒=，那么剪断绳子瞬间，小球的加速度大小为（）A.35g B.45g C.43g D.53g 12.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）A.角速度相同B.线速度大小相同C.向心加速度大小相同D.受到的向心力大小相同二、多选题（每题有两个及两个以上选项正确，有错不得分，漏选得部分分。

2022-2023学年高一上物理期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：（1-6题为单选题7-12为多选，每题4分，漏选得2分，错选和不选得零分）1、一辆公共汽车在笔直的水平公路上向前匀速行驶，当司机突然紧急制动使汽车减速时，座椅上的乘客身体将A.向前倾B.向后倾C.向右倾D.向左倾2、在光滑的水平面上，质量分别为m 1和m 2的木块A 和B 之间用轻弹簧相连，在拉力F 的作用下，A 和B 均以加速度大小a 做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F ，此瞬时A 和B 的加速度a 1和a 2的大小是（ ）A.a 1=a 2 = 0B.a 1=a ，a 2=0C.a 1=212m m m a ，a 2=112m m m a D.a 1=a ，a 2=12m m a 3、惯性小的物体（ ）A.速度一定小B.加速度一定小C.体积一定小D.质量一定小4、一个人站在磅秤上，在他蹲下的过程中，磅秤的示数将（ ）A.先小于体重后大于体重，最后等于体重B.先大于体重后小于体重，最后等于体重C.先小于体重，后等于体重D.先大于体重，后等于体重5、如图所示，球A 在光滑斜面上，被竖直挡板挡住而处于静止状态，现挡板以底端为轴缓慢转到水平位置的过程中挡板和斜面给小球的弹力F N1、F N2以下说法正确的是（ ）A.F N1先变小后变大，F N2一直增大B.F N1先变小后变大，F N2一直减小C.F N1先变大后变小，F N2一直增大D.F N1不变，F N2先增大后减小6、水平恒力能使质量为m 1的物体在光滑水平面上产生大小为a 1的加速度，也能使质量为m 2的物体在光滑水平面上产生大小为a 2的加速度，若此水平恒力作用在质量为m 1+m 2的物体上，使其在光滑水平面上产生的加速度为a ，则a 与a 1、a 2的大小关系为（ ）A.a =a 1+a 2B.1212=+a a a a a C.122=a a a D.122a a a +=7、大小分别是F 1=3N ，F 2=5N 的两个力的合力可能是（ ）A.1NB.2NC.6ND.9N8、把重物压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物跟着纸带一起运动；若迅速拉动纸带，纸带就会从重物下抽出，这个现象的原因是（ ）A.在缓缓拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力大B.在迅速拉动纸带时，纸带给重物的摩擦力大C.在缓缓拉动纸带时，纸带给重物的冲量大D.在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量大9、如图所示，在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体。

复旦大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷 2020.01时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数12log (5)y x =-的定义域为________2. 函数2()1(1)f x x x =+≤-的反函数为_____________________ 3. 已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=____________________ 4. 幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈¥为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += _______ 5. 函数23log ()y x x =-的递增区间为________________________ 6. 方程22log (95)log (32)2x x-=-+的解为x =________________7. 已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为___________ 8. 若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是______9. 已知1()(33)2x xf x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+ 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_______10. 对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”。

已知()1x x e t f x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是____11. 若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个实数根，则实数m 的取值范围是_____12. 已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()lg(2)()1x g x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的{}12,|,2R x x x x x ∈∈>-，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 14.下列函数中既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是( )A 、y=||1x B 、2y x -= C 、2|log |y x = D 、23y x =15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R x ∈, 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在0R x ∈, 使得对任意R x ∈, 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0R x ∈, 使得对任意R x ∈, 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是( )A 、[0,4)B 、 [1,4)-C 、[3,5]-D 、[0,7)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数1()421xx f x a +=-⋅+.（1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）设集合4={|1}7A x x≥-，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台，其总成本为()P x (万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入()Q x 万元满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式利润销售收入总成本； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若函数f (x )满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量 x 0，都有函数值f (x 0)ÎD ，则称函数f (x )在D 上封闭. （1）若下列函数的定义域为 D =(0,1)，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由。

2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 ．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 ．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 ．5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 ．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 (2,4) ．【解答】解：由函数2()(2)f x log x +-，可得4020x x ->⎧⎨->⎩，求得24x <<， 可得定义域为(2,4)， 故答案为：(2,4)．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 (1,0)- ． 【解答】解：2233(1)(31)x x ->+，22(1)(31)x x ∴->+，2221961x x x x ∴-+>++， 2880x x ∴+<，即8(1)0x x +<，解得：10x -<<， 故答案为：(1,0)-．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 123y =⨯13x -，[0x ∈，4] ．【解答】解：函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]，所以函数的值域为[0，4]，312y x +=，可得123x =⨯13y -，所以函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．故答案为：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 2x = ． 【解答】解：222222(1)&1()||log (1)log ()1&1log x f x x x log x x log x --==-+=-=，即22x x -=，且1x >，解得2x =．故答案为：2x =． 5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ ． 【解答】解：设120x x >>， 则1212121212()()()11(1)(1)ax ax a x x f x f x x x x x --=-=++++， 若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数， 则121212()()()0(1)(1)a x x f x f x x x --=>++，110x +>，210x +>，120x x ->，0a ∴>，故答案为：(0,)+∞．6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 (1,2) ． 【解答】解设41y x=+，2log y x =， 则41y x=+在(0,)+∞上为减函数，2log y x =在(0,)+∞上为增函数， 当4x =时，41112y x=+=+=，2log 42y ==，此时两个函数值相等， 当04x <时，24log 1x x+，此时2()log (f x x =∈-∞，2]， 当4x >时，24log 1x x >+，此时4()1(1,2)f x x =+∈，即函数22,(0.4]4()1,41,(4,)log x x f x min log x x x x∈⎧⎪⎧⎫=+=⎨⎬⎨+∈+∞⎩⎭⎪⎩．若函数()()g x f x =-恰有两个零点， 则()()0g x f x =-=，即()f x =，恰有两个根，作出函数()f x 与y =的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则12<<，故实数的取值范围是(1,2)， 故答案为：(1,2)．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 1(0,)2，(1,2) ．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图示：，结合图象，函数()f x 在1(0,)2，(1,2)递减，故答案为：1(0,)2，(1,2)．8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212log ． 【解答】解：由题意可知0>，因为函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形， 则()f x m +为偶函数，图象关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， 所以220m m --⋅=，解得212m log =．故答案为：212log ．9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 322m << ． 【解答】解：由1|2|02x x m --<，得1|2|2xxm -<， ∴11222xx xm -<-<， 即112222x x x x m -<<+在区间[0，1]内恒成立， 函数1()22x x f x =-在区间[0，1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32； 令1()22x x g x =+，2(12)x t t =， 则1y t t =+在[1，2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0，1]内单调递增，()g x 的最小值为2． ∴322m <<． 故答案为：322m <<． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 11[,]83 ．【解答】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，图象关于y 轴对称，令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根， 815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴158c a b a =⎧⎨=-⎩，由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， [1x ∈，2]时，2815[3x x -+∈，8]，2111[,]81583a x x ∴=∈-+ 故答案为：11[,]83．11．（5分）若函数22()(0)1x x af x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ．【解答】解：函数222(1)11()1111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， ①当10a -时，函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，所以()(0)min f x f a ==， 此时函数的值域为[a ，)+∞， 所以1a ；②当10a ->时，1()(1)211a f x x a x -=++-+，当且仅当111a x x -+=+，即1x 时取等号，又(0)f a =，若()f x 的值域为[a ，)+∞10，即2a ， 所以12a <，综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]， 故答案为：(-∞，2]．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]【解答】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，()3x f x =，有0()1f x <<， ()f x 为奇函数，则当0x >时，有1()0f x -<<，综合可得：1()1f x -<<， 即函数的值域为(1,1)-， 故选：A ．14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时， C 大约增加了222(15000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++ 222500010005001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈120.2323%3lg -=≈=． 故选：B ．15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<【解答】解：函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e 上为增函数，f （1）110ln a =-+<，f （e ）10lne a e =-+>，可得111a e -<<故选：C ．16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题【解答】解：对于命题S ：“若1q ，则P ”； 当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，存在0a <，此时22x a x ->，而()f x 单调递减，所以(2)(2)x a x f f -<， 又因为()0f x >恒成立时，则f （a ）0>， 则有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题S 为真命题；对于命题T ：“若2q ，则P ”，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 存在0a >，则0a x >，则f （a ）0>，由于0a >，则22x a x -<，而()f x 严格递增，则(2)(2)x a x f f -<， 故(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题T 也为真命题， 两个命题S ，T 都是真命题； 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．【解答】解：（1）函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数， 2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =是奇函数，符合题意， 当5m =时，6()h x x =是偶函数，不符合题意， 所以m 的值为0．（2）由（1）可得()g x x =，令t ，则212t x -=，112x -，0123x ∴-， 03t∴，22111()222t g t t t t -∴=+=-++(03)t，()g t 在[0，1]上单调递增，在[1上单调递减， ()max g t g ∴=（1）1=，又1(0)2g =，112g =>，1()2min g t ∴=，∴函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域为1[2，1]．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，1()2h h =（2）1=，①若112a <，则()h x 在1[2，]a 上单调递减， 可得()h x 的最大值为1()12h =；②若12a <，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()12h ==，所以()h x 的最大值为 1；③若2a >，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()2h =，所以()h x 的最大值为h （a ）2|log |a =， 综上，若122a <，则()h x 的最大值为 1； 若2a >，则()h x 的最大值为2|log |a ； （2）由（1）知 ①当112a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为2(|log |a ，1)， ()f x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为[0，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1)[0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为112a <； ②当12a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为(0,1)，()h x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为2[|log |a ，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1][0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为12a <．综上可得，a 的最大值为2．19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【解答】解：（1）当060x <<时，2211100(50)4005040022y x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，64006400100(1011860)4001460()y x x x x x=-+--=-+． ∴2150400,060264001460(),60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+，∴当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；当60x 时，640064001460()146021300y x x x x=-+-=． 当且仅当6400x x=，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元． 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为1300万元． 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y∴+=， 即1121x yy y-=-=，则01y <<， 21log ()yx y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()xf x x --=，(0,1)x ∈（2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=⋅-=⋅=+⋅+⋅+++， 设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =⋅-有最大值，221112(1)max y a aa ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-+⋅+⋅，令2x t a =⋅，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<．21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min ah t h a a a -==++对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a=-++， ∴211132112a a a a a--++++恒成立，02a∴<当a >1()223223g x t --⋅+，令2113113212a a a aa --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1|f x x x =-， 当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<， 所以12x <<，当0x =时，()02f x =<恒成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <， 综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 令1x =，解得0a =，所以当0x 时，2()f x x =，显然函数在(0,)+∞单调递增， 当0x <时，2()f x x =-，在(,0)-∞上单调递增， 综上，函数()f x 在x R ∈时单调递增．（3）①当0a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-+⋯+-20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得2a -．②当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数， 所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得6a ． ③当04a <<时，()f x 在[0，2]上不单调，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-20211()()2()max f x f x f x =-，所以2()424a a f =<，f （2）2|2|4a =-<，在[0，2]上，(){()2max af x f =，f （2）}4<，所以当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数，所以122320202021|()()||()()||()()|2()8max f x f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-<， 求实数a 的取值范围(-∞，2][6-⋃，)+∞．。

复旦附中高一期末数学试卷一. 填空题1. 函数12log (5)y x =-的定义域为2. 函数2()1f x x =+（1x ≤-）的反函数为3. 已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=4. 幂函数223()(1)mm f x a x --=-（,a m ∈N ）为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m +=5. 函数23log ()y x x =-的递增区间为6. 方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x =7. 已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2， 则实数k 的取值范围为8. 若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值 范围是 9. 已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+ 的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 10. 对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意,,a b c D ∈，()f a 、()f b 、()f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”，已知()1x x e t f x e +=+是三角形函数，则实数t 的 取值范围是11. 若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个实数根，则实数m 的取值 范围是 12. 已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()log(2)1x g x a x x =⋅+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 1||y x = B. 2y x -= C. 2|log |y x = D. 23y x = 15. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R 且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值； 这些命题中，真命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7)三. 解答题17. 已知函数1()421x x f x a +=-⋅+.（1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围.18. 已知函数21()log 1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）设集合4{|1}7A x x=≥-，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围.19. 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，然后改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生成某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生成销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其 总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生成成本为10万 元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足：20.522016()22416x x x Q x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据 上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入—总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20. 若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由， 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2) 上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明，若不存在，请说明理由；（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且00(())f f x x =，求 证：00()f x x =.21. 已知函数||0()20x x a x f x x +≥⎧=⎨<⎩，其中a ∈R . （1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥； （2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --≤+-在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. (,5)-∞2. 2)y x =≥3. 22a a+ 4. 3 5. (1,)+∞ 6. 1 7. (3,0)- 8. (1,2]9. 2 10. 1[,2]2 11. (6,10 12. 3(,]4-∞-二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）2log 3x =；（2）5[1,]4a ∈.18.（1）1a =-；（2）2m >. 19.（1）20.51212016()2121016x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩；（2）生产12百台，利润最大60万元. 20.（1）1()f x 在D 上不封闭，2()f x 在D 上封闭；（2）2a =；（3）证明略.21.（1）35[2,][,)44x ∈-+∞U ；（2）65a ≥；（3）3,2](3,4)a ∈U .。

复旦附中2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.函数()2()log 2f x x =+−的定义域为____________. 【答案】()2,4【解析】由已知得，2420x x ⎧⎪⇒<<−>>2.不等式()()2233131x x −>+的解集为____________. 【答案】()1,0−【解析】()()2233131x x −>+>的解， 解得10x −<<3.函数2()log (31),[0,5]f x x x =+∈的反函数是____________.【答案】21,[0,4]3x y x −=∈【解析】由已知得，[][]312,0,5,0,4yx x y +=∈∈所以()f x 的反函数是21,[0,4]3x y x −=∈4.对于实数,,,a b c d ，定义a b ad bc c d−=. 设函数22log (1)1()log 1x f x x −−=，则方程()1f x =的解为 .【答案】2x =【解析】由已知得，222()log (1)log log (1),(1)f x x x x x x =−+=−> 令方程()1f x =，即(1)2x x −=，2,1x x ==−（舍） 故答案为2x = 5.若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是___ _____.【答案】0a >【解析】由已知得，()1()111a x a ax af x a x x x +−===−+++ 因为函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数 所以实数a 的取值范围是0a >6.已知函数24()min 1,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x k =−恰有两个零点，则k 的取值范围为_______________. 【答案】(1,2)【解析】由已知得，当04x <≤时，241log x x +≥，当4x >时，241log x x+< 故241,4()log ,04x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩ 因为函数()()g x f x k =−恰有两个零点等价于函数()f x 与y k =的图像有两个交点， 作出函数图像可知，k 的取值范围为(1,2)7.已知函数15()||(0)2f x x x x =+−>，则()f x 的递减区间是_______. 【答案】1(0,)2,(1,2)【解析】由已知得，151,021522()||5112222x x x x f x x x x x x ⎧+−<≤≥⎪⎪=+−⎨⎪−−<<⎪⎩=或，则()f x 的递减区间是1(0,)2,(1,2)8.若函数()232x x f x −=+⋅的图像关于直线x m =成轴对称图形，则m =___ . 【答案】3log 212=m 【解析】对任意的R x ∈，)()(x m f m x f −=+成立，故m x x m m x m x −−−−+⋅+=⋅+232232，整理得0)232)(22(=⋅−−−−mmxx，所以0232=⋅−−m m ，即3log 212=m9.若关于x 的不等式1202x x m −−<在区间[0,1]内恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛223，【解析】题源选自【2017年浦东一模10】 由1|2|02x x m −−<，得122x x m −<，∴11222xx xm −<−<， 即112222xx x xm −<<+在区间[0,1]内恒成立， 函数1()22xx f x =−在区间[0,1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32；令1()22x x g x =+，2(12)x t t =≤≤， 则1y t t=+在[1,2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0,1]内单调递增，()g x 的最小值为2．∴322m <<．故答案为：322m <<． 10.已知函数22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】题源选自【2020年普陀一模10】函数整理为()()()()432()815815815f x ax a b x a b c x b c x c =+++++++++，因为函数是偶函数，需80a b +=，1580b c +=，即8b a =−，15158c b a =−=，所以21ax bx c ++=可整理：281510ax ax a −+−=.令()28151g x ax ax a =−+−，对称轴4x =在区间[]1,2的右侧，可保证区间内函数()g x 单调，根据零点存在性定理：()()120g g ⋅≤，即()()81514161510a a a a a a −+−⋅−+−≤，易得11,83a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11.若函数()221++=+x x af x x ()0x ≥的值域为[),a +∞，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(],2−∞【解析】由已知得，()22(1)11(1)(0)1121x x a f x x a a x x x x x +−++++=+−==+≥++因为(0)f a =,所以①当10a −≤ 时，即1a ≤时，1()(1)1a f x x x −=+++在[)0,+∞上的增函数， 所以min ()(0)f x f a ==满足值域为[),a +∞，此时1y x =+为增函数，11a y x −=+也为增函数，因此()y f x =为增函数，②当11a −>时，即2a >时，1()(1)1a f x x x −=+++在1)−上单调递减，在单调递增，min ()1)f x f ∴=−且(0)1)f f >不满足值域为[),a +∞，舍去 ③当011a <−≤时，即12a <≤时，()y f x =在[)0,+∞上单调递增， 所以min ()()(1)f x f x f a ∴≥==满足的值域为[),a +∞ 综上所述，a 的取值范围为2a ≤，即(,2]a ∈−∞12.已知集合[][],14,9A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是____________. 【答案】1或3−【解析】题源选自【2019年上海春考12】 【法一】当0t >时，当[],1a t t ∈+，则[]4,9t t aλ∈++，当[]4,9a t t ∈++，则[],1t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ≤+；当9a t =+时，t aλ≥，即()9t t λ=+；即当1a t =+时，4t aλ≥+，当4a t =+时，1t aλ≤+，即()()14t t λ=++，所以()()()914t t t t +=++，解得1t =.当104t t +<<+时， 当[],1a t t ∈+，则[],1t t aλ∈+，当[]4,9a t t ∈++，则[]4,9t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ≤+，当1a t =+时，t aλ≥，即()1t t λ=+；即当4a t =+时，9t aλ≤+，当9a t =+时，4t aλ≥+即()()49t t λ=++，所以()()()149t t t t +=++，解得3t =−.当90t +<时，同理可得，无解【法二】存在正数λ，使得对任意1a A ∈，都存在2a A ∈，使得12a a λ=， 当0t >时， 思考 当1a t =时，()()124,9a a t t t t λ=∈++⎡⎤⎣⎦ 当11a t =+时，()()()()1214,19a a t t t t λ=∈++++⎡⎤⎣⎦ 当14a t =+时，()()()124,14a a t t t t λ=∈+++⎡⎤⎣⎦ 当19a t =+时，()()()129,19a a t t t t λ=∈+++⎡⎤⎣⎦二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3xf x =，则函数()f x 的值域为（ ）A .()1,1−B ．[)0,1C ．RD ．[]0,1 【答案】A【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f = 又因为0x <时，()3xf x =，所以()(0,1)f x ∈当0x >时，则0x −<所以()()3x f x f x −=−−=−，所以()(1,0)f x ∈− 综上所述，函数的值域为()1,1−，故选A14.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比. 按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ） A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B 【解析】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了 222log (15000)log (11000)log (11000)W W W +−++2225000lg1000log 5001log 10012lg 2lg1000log 1001lg 2lg lg −−=≈120.2323%3lg −=≈= 故选B15.若函数1()ln f x x a x=−+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围（ ） A. 01a << B.11a e << C. D. 【答案】C【解析】因为1()ln ,(1,)f x x a x e x=−+∈ 1e -1<a <11e+1<a <1所以()()10f f e ⋅<因为1(1)ln110,()ln 0f a f e e a e=−+<=−+> 所以常数a 的取值范围16.设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在a ∈R 且0a ≠，对任意的x ∈R ，均有(2)(2)()x a x f f f a +<+恒成立；1q ：()f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2q ：()f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =；用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则p ”；命题T ：“若2q ，则p ”，则关于S,T ，以下说法正确的是（ ）A. 两个命题S,T 都是真命题B. 只有命题S 是真命题C. 只有命题T 是真命题D. 两个命题S,T 都不是真命题 【答案】A【解析】本题考察函数的性质1q ：当0a >时，()0f a >，()f x 单调递减，且()0f x >而()()()222()22x a x x axx f f f f a ''++>⇒<<+ ，()()22()x a x f f f a +⇒<+，符合p所以1q 可推得p ，“若1q ，则p ”成立，所以S 为真2q ：当00a x =<时，()0f a =，()f x 单调递增而,22x a x x a x ++<<()()()()22202()x a x x x f f f f f a +⇒<=+=+ ()()222()x a x f f f a +⇒<+所以2q 可推得p ，“若2q ，则p ”成立，所以T 为真 综上所述，命题S ，T 均为真命题，故选A1e-1<a <1三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()()2151m h x m m x+=−+为幂函数，且为奇函数.（1）求m 的值；（2）求函数()()=+g x h x 在11,2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.【解析】（1）2511m m −+=， 解得0m =或5m =. 即()h x x =或()6h x x =.又因为函数()h x 为奇函数，所以()h x x =，0m =.（2）()()g x h x x ==+设t =11,2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以t ⎡∈⎣，212tx −=. 所以()22111122t y t t −=+=−−+（此处可用单调性代替）当1t =时，max 1y =，当0t =时，min 12y =，故值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()12|log |h x x =. （1）求()h x 在11,22a a ⎡⎤⎛⎫> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集），使得()()12f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”.已知12()|log |h x x =（1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦），若1,2A a ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭是函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值.【解析】（1）()1212h h ⎛⎫==⎪⎝⎭，① 若112a <≤，则()h x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()h x 的最大值为112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ② 若12a <≤，则()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,a 上单调递增，因此此时()()1212h a h h ⎛⎫≤==⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值为112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③ 若2a >，则()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,a 上单调递增， 因此此时()()122h a h h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值为()12|log |h a a =； 综上知：若122a <≤，则()h x 的最大值为1；若2a >，则()h x 的最大值为12|log |a ；（2）由已知： ①当112a <≤时，()f x 在1[,)2a 上的值域为12(|log |,1]a ， ()f x 在[,2]a 上的值域为[0,1]，因为[]12(|log ,1|]0,1a ⊆， 满足条件，所以此时1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是()f x 的“Γ区间”； ②当12a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上得到值域为[]0,1，()f x 在[],2a 上的值域为12|log |,2a ⎡⎤⎣⎦，此时，120|log |,2a ⎡⎤∉⎣⎦所以此时1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭不是()f x 的“Γ区间”； 故所求a 的最大值为1. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献. 生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()21502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x=+−. 若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【解析】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=−+−=−+− ⎪⎝⎭；当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，2150400,060,264001460,60,,x x x x N y x x x N x ⎧−+−<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪−+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =−+−=−−+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元； 当60x ≥时，6400146014601300y x x ⎛⎫=−+≤−= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x=时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x −；（2）求函数()()y f x f x ⋅−=的最大值(用a 表示) ；（3）设()()(1)g x f x f x =−−．若对任意(,0]x ∈−∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）()f x 值域(0,1)21log yx y−= 121()log (01)xf x x x−−=<<（定义域可不写） （2）21(1)(22)x x y a a −=+++2121a a ≤=++当0x =时，等号成立 所以最大值为2121a a ++ （3）2()2232x xag x a a −=⋅++， 令2(0,1]xt =∈，因此223ay a t a t−=++ 在1t =时取得最小值，即22a t t+ 在1t =时取得最小值 由函数22y a t t =+在严减，在)+∞严增得1≥整理得，0a <≤另解，222()(2)322xx x a g x a a −⋅=+⋅+令2(0,1]x t =∈，则2232aty a t at −=++，由已知，当(0,1]t ∈时，2223232at aa t at a a −−≥++++恒成立，整理得，2(1)(2)0t a t −−≥恒成立，由10t −<得，220a t −≤恒成立，得0a <≤21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数()f x x x a =−，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性； （3）若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i =，122021x x x <<<，使得122320202021()()()()()()8f x f x f x f x f x f x −+−++−=，求实数a 的取值范围.解：(1) 当1x ≥时，220x x −−<，即12x ≤< 当1x <时，220x x −+>，即1x <综上，该不等式的解集为(,2)−∞− (2)0a = 在R 上严增（分0x ≥和0x <两种情况写不给分） 证明略 (3)①当0a ≤时，()()f x x x a =−在[0,2]上是严格增函数122311()()()()()()()()n n n f x f x f x f x f x f x f x f x −∴−+−++−=−，取值范围是(0,2(2)]a −2(2)8a ∴−≥ 解得：2a ≤−②当4a ≥时，()()f x x a x =−在[0,2]上是增函数122311()()()()()()()()n n n f x f x f x f x f x f x f x f x −∴−+−++−=−取值范围是(0,2(2)]a −2(2)8a ∴−≥ 解得：6a ≥③当24a ≤<时，由三角不等式，122312()()()()()()()(0)(2)224(4)44242n n f x f x f x f x f x f x a a af f f a a −−+−++−≤−−=⨯−+=−+<不满足条件 ④当02a <<时，由三角不等式，122312()()()()()()2()(0)()(2)24(4)44222n n f x f x f x f x f x f x a a af f f a f a a −−+−++−≤−−+=−+=−+<，不满足条件综上，a 的取值范围为(,2][6,)−∞−+∞虹口区2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷2021.01一. 填空题1. 已知集合{1,1,2}A =−，2{|0}B x x x =+=，则A B =【答案】{1}−2. 不等式301x x +≤−的解集为 【答案】[3,1)−3. 函数4()f x x x =+，1[,4]2x ∈的值域为【答案】17[4,]24. 计算：7log 222220log 2log 3log 579+−+= 【答案】45. 用“二分法”求方程340x x +−=在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点 1.5x =进行判断，那么下一个取的点是x = 【答案】1.256. 已知条件:211p k x k −≤≤−，:33q x −≤<，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取 值范围为 【答案】(,2]−∞−7. 不等式|2||1|5x x ++−≤的解集为 【答案】[3,2]−8.（A 组题）已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x −=，若函数1()y f x −=的图像过 点(3,2)，则实数a 的值为 【答案】6−（B 组题）已知函数||()2x a f x −=在区间[1,)+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为 【答案】(,1]−∞9.（A 组题）已知集合1{|||3A x x m m =−<+，其中,x m ∈Z ，且0}m >，1{|||3B x x =+< 2m ，其中,x m ∈Z ，且0}m >，则AB 的元素个数为 （用含正整数m 的式子表示） 【答案】2m（B 组题）若集合2{|560}A x x x =+−=，{|30,}B x ax a =+=∈R ，且B A ⊂，则满足条件的实数a 的取值集合为 【答案】1{3,0,}2−10.（A 组题）已知函数2230()30x x x f x x x x ⎧+≥=⎨−<⎩，若2(3)(2)0f a f a −+>，则实数a 的 取值范围为【解析】画图可知，可知()y f x =是R 上的奇函数，严格增函数，由2(3)(2)0f a f a −+>得2(3)(2)(2)f a f a f a −>−=−，所以232a a −>−，解得(,3)(1,)a ∈−∞−+∞.（B 组题）已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，若()f x 在区间(0,)+∞上 是严格增函数，且(2)0f =，则不等式()0f x x≤的解集为 【答案】(,2](0,2]−∞−二. 选择题11. 已知a 、b 都是实数，那么“a b >”是“33a b >”的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 函数412x xy +=的图像的对称性为（ B ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y x =对称 13. 已知全集U =R 及集合21{|284a A a −=≤<，且}a ∈Z ，2{|3100Bb b b =+−>， 其中}b ∈R ，则AB 的元素个数为（ B ）A. 4B. 3C. 2D. 114. 已知函数2x y x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，则1x 、2x 、3x 的大小关系为（ D ）A. 123x x x <<B. 213x x x <<C. 231x x x <<D. 132x x x <<【解析】转化为123()2,()ln ,()lg xf x f x x f x x ===与y x =−交点的横坐标的大小关系，易得132x x x <<，故选D.15.（A 组题）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意 的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ A ）A. )+∞B. [2,)+∞C. (0,2]D. [1][2,3]−【解析】当0x ≥时，2()f x x =满足2())f x f =，易得在R 上，2())f x f =，则对任意[,2]x t t ∈+，不等式())f x f t +≥恒成立，易得()y f x =是定义在R 上的严格增函数，所以x t +≥恒成立，所以1)t x ≥恒成立，所以1)(2)t t ≥−+，解得)t ∈+∞. （B 组题）若函数||y x a =−−与1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a 的 取值范围为（ D ）A. (,0)−∞B. (1,0)(0,1]−C. (0,1)D. (0,1]三. 解答题16. 已知a 、b 是任意实数，求证：4433a b a b ab +≥+，并指出等号成立的条件.【解析】因为()()()()44334343a b a b ab a a b b ab +−+=−+− ()3333()()()a a b b b a a b a b =−+−=−−()22222213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫=−++=−++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故()()44330a b a b ab +−+≥，即4433a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立.17. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为12002m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 【解析】设矩形停车场的南北侧边长为x 米，则其东西侧边长为1200x 米， 人行通道占地面积为12007200(6)81200848S x x x x ⎛⎫=++−=++⎪⎝⎭，由平均值不等式，得7200848482244896S x x =++≥+=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30x =时，min 96S =，此时120040x=， 设计矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是2528m .18. 已知函数23||1x y x −=+. （1）作出这个函数的大致图像； （2）讨论关于x 的方程23||1x t x −=+的根的个数. 【解析】（1）因为235211x y x x −==−++， 故先将5y x=−的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数521y x =−+的图像，再将函数521y x =−+的图像在x 轴下方部分 翻折到x 轴上方，便得到函数23||1x y x −=+的大致图像； （2）当0t <时，方程23||1x t x −=+的根的个数为0， 当0t =或2t =时，方程23||1x t x −=+的根的个数为1， 当02t <<或2t >时，方程23||1x t x −=+的根的个数为2.19. 已知函数16()1x f x a a+=−+（0a >，1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值及函数()y f x =的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥−在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围. 【解析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数得6(0)0,10f a a=−=+，解得3a =， 此时31()31x x f x −=+，故对于任意的x R ∈，有3131()()03131x x x x f x f x −−−−+−=+=++，即()f x 是定义在R 上的奇函数，所以3a =，令31()31x x f x y −==+，则1301x y y +=>−，解得11y −<<， 即函数()y f x =的值域为(1,1)−；（2）法一：由（1）得31()31x x f x −=+，于是不等式()33x t f x ⋅≥−可化为()23(2)3(3)0xx t t −+⋅+−≤，令3[3,9]x u =∈（因为[1,2]x ∈），则不等式2(2)(3)0u t u t −+⋅+−≤在[3,9]u ∈上恒成立，令2()(2)(3)g u u t u t =−+⋅+−，则()0g u ≤在[3,9]u ∈上恒成立，等价于(3)0(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩，即(3)93(2)(3)0(9)819(2)(3)0g t t g t t =−++−≤⎧⎨=−++−≤⎩151522t t t ≥⎧⎪⇔⇔≥⎨≥⎪⎩，所以，实数t 的取值范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 法二：由（1）得31()31x x f x −=+，当[1,2]x ∈时，()0f x >，于是不等式()33x t f x ⋅≥−可化为 ()()()()2333131433431()313131x x x xx x x xt f x −+−−−≥===−−−−−， 令31[2,8]x v −=∈（因为[1,2]x ∈），则由函数4()φv v v =−在[2,8]上是严格增函数知max 15()(8)2φv φ==， 所以，实数t 的取值范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 20.（A 组题）已知函数212log (1)0()log (1)0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩.（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>； （3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +−+−=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围. 【解析】（1）2(0)log (10)0f =+=，当0x >时，0x −<，有122()log [1()]log (1)()f x x x f x −=−−=−+=−，即()()f x f x −=−，当0x <时，0x −>，有212()log [1()]log (1)()f x x x f x −=+−=−−=−，即()()f x f x −=−，综上，函数()y f x =在R 上是奇函数；（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是严格增函数，函数1u x =+在R 上也是严格增函数，故函数2log (1)y x =+在[0,)+∞上是严格增函数， 由（1）得函数()y f x =在R 上是奇函数，由奇函数的单调性得， 函数12log (1)y x =−在(,0)−∞上也是严格增函数，从而函数()y f x =在R 上是严格增函数，由120x x +>，得12x x >−，所以()()()122f x f x f x >−=−， 即()()120f x f x +>；（3）由（1）得函数()y f x =在R 上是奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a −+−=， 令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭有两 个不相等的正根，即23401343001,343344a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=−−> ⎪⎪⎪<>⎝⎭⎪⎪⎪>⇔>⇔<<>⎨⎨⎪⎪⎪⎪−>>⎩⎪⎩或或，所以实数a 取值范围为3,1(3,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（B 组题）设a 是正常数，函数2()log )f x ax =满足(1)(1)0f f −+=. （1）求a 的值，并判断函数()y f x =的奇偶性；（2）是否存在一个正整数M ，使得()M f x >对于任意x ∈恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(1)(1)0f f −+=得22log )log )0a a +=，即()22log 20a −=，注意到0a >，解得1a =，于是)2()log f x x =+，对于任意实数x ||0x x x x >=+≥，0x +>恒成立，故()y f x =的定义域是R ，在R 中任取一个实数x ，都有x R −∈，并且))22()log log f x x x −=−=)22log log ()x f x ==−+=−，故()()f x f x −=−，因此)2log y x =是奇函数；（2）设12,x x 是区间上任意给定实数，且12x x <，易知2212011x x <+<+，故120x x <+<，因为2log y x =在(0,)+∞上是严格增函数，故))2122log log x x +<+，从而)2log y x =在上是严格增函数，此时函数的最大值为2log (2，由()M f x >对于任意x ∈恒成立，得2log (2M >+， 又M 是正整数，故M 的最小值是2.附加题对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间0[,]m x 上是严格减函数，在区间0[,]x n 上是严格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P .（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件； （2）设c 是常数，若函数3y x cx =−在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围. 【解析】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图像在R 上是抛物线， 故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2bx a=−∈， 于是实数a 、b 所满足的条件为20a b −<<；（2）记3()f x x cx =−，设12,x x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有()()()()2212121122f x f x x x x x x x c −=−++−，若3c ≤，当12x x <时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−>， 故()()120f x f x −<，因此3y x cx =−在区间[1,2]上是严格增函数，舍去，若12c ≥，当12x x <时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−<， 故()()120f x f x −>，因此3y x cx =−在区间[1,2]上是严格减函数，舍去，若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−<，因此3y x cx =−在区间⎡⎢⎣上是严格减函数，当12x x <且12,x x ⎤∈⎥⎦时，总有120x x −<且2211220x x x x c ++−>，故()()120f x f x −<，因此3y x cx =−在区间⎤⎥⎦上是严格增函数，因此，当(3,12)c ∈时，函数3y x cx =−在区间[1,2]上具有性质P .控江中学2020学年度第一学期期终考试高一数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________. 【答案】[]7,102.设实数a 满足2log 4a =，则a =_________. 【答案】163.已知幂函数235()(1)m m f x m x −−=−的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】24.函数2()21f x x ax =−−在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________. 【答案】3a ≥5.函数22()log (1)f x x =−的定义域为_________. 【答案】(1,1)− 6.设函数2,0(),,0x x f x x x −≤⎧=⎨>⎩若()9f α=，则α=_________. 【答案】3或9−7.若函数()(1)xf x a a =>在[]1,2−上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】128.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3xy =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =−，则a 的值是______.【解析】3()log g x x =，3()log ()()1g a a f a −=−==−，所以13a =−. 9.如果关于x 的方程53x x a −++=有解，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】=53(5)(3)8a x x x x −++≥−−+=.10.若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f −=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【解析】()0xf x >，所以,()x f x 同号，又()f x 在(0,)+∞上是严格增函数且为奇函数，(4)0f −=，所以()f x 在(,0)(0,)−∞+∞和上是严格增函数， (4)(4)(0)0f f f −===画出大致图像，()x f x 和在(,4)(4,)−∞−+∞和上同号， 所以(,4)(4,)x ∈−∞−+∞.11. 函数()lg(221)x xf x a −=++−的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【解析】2211x xa a −++−≥+，所以101a a +≤⇒≤−.12. 若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()f x 的图像上；②,P Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“匹配点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“匹配点对”）,已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“匹配点对”有____个.【解析】根据题意：画出两函数的图像，并把2241(0)y x x x =++>的图像关于原点对称的图像，如图：观察图像可得， 他们的交点个数是：2二、选择题13.函数111y x =−+的值域是（ C ） A.(,1)−∞ B.(1,)+∞ C.(,1)(1,)−∞+∞ D.(,)−∞+∞ 14.若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ D ） A.ab bc > B.ac bc > C.a b b c > D.ab ac >15.已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ B ）A.奇函数，在(,)−∞+∞上为严格减函数B.奇函数，在(,)−∞+∞上为严格增函数C.偶函数，在(,0)−∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D.偶函数，在(,0)−∞上严格增，在(0,)+∞上严格减16.设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++−+−取得最小值时，a 的值为（ A ）2 C. 4D.【解析】2222111121025(5)()()a ac c a c a ab ab ab a a b ab a a b ++−+−+−+++−=− 211(5)()0224()a c ab a a b ab a a b =−+++−+≥++=−， 当且仅当50,1,()1ac ab a a b −==−=，即25a b c ===时取等号， 故选A.三、解答题17.已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3,2]−上的最大值为2，求实数a 的值. 【解析】（1）当1a =时，222(())11333xx x f x y +++===，严格增区间是(1,)−+∞，严格减区间是(,1)−∞−； （2）①当0a >时，对称轴1[3,2]x =−∈−，所以(2)4412f a a =++=，解得18a =， ②当0a =时，()1f x =不合题意， ③当0a <时，对称轴1[3,2]x =−∈−， 所以(1)212f a a −=−+=，解得1a =−，综上，18a =或1a =−. 18.设函数()|2|,()2f x x a g x x =−=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≤即|21|2x x −≤+，所以12212x x x ⎧≤⎪⎨⎪−+≤+⎩或12212x x x ⎧≥⎪⎨⎪−≤+⎩，解得133x −≤≤， 故解集为1,33⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；（2）反证法，假设1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则111111,,1222222a b a b a −<+<−<−<−<−<，前两式相加，得1122a −<<，由最后一个式子得1322a <<，矛盾，所以1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈ 时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时， 称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到1分钟）【解析】（1）当[0,16]x ∈时，设2()(12)84(0)f x b x b =−+<由(16)80f =，得：2(1612)84=80b −+，故14b =−...............2分 当[16,40]x ∈时，由(16)80f =，得：0.8log (16)8080a ++=， 故15a =−.................4分所以20.81(12)84,[0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧−−+∈⎪=⎨⎪−+∈⎩...........................6分（2）当[0,16]x ∈时，由21(12)84684x −−+≤，得：[0,4]x ∈......................3分当[16,40]x ∈时，由0.8log (15)8068x −+≤，得：12150.829.6x −≥+≈所以[30,40]x ∈...........................3分因此，在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分 钟..............8分.20. 已知1()log 1amxf x x −=−（0a >、1a ≠）是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈−时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值. 【解析】（1）因为函数()f x 是奇函数，所以()()0f x f x −+=在定义域内恒成立，所以11log log 011aa mx mx x x +−+=−−−，即11111mx mxx x +−⋅=−−−， 即22211m x x −=−在定义域内恒成立，所以21m =，又当1m =时，111mxx −=−−矛盾，所以1m =−； （2）由（1）得1()log 1a x f x x +=−，设11221111x x t x x x +−+===+−−−， 设12,1,)x x ∈+∞，且12x x >，则()()()211212122221111x x t t x x x x −−=−=−−−−， 因为12,1,)x x ∈+∞，且12x x >，所以122110,10,0x x x x −>−>−<， 所以120t t −<，即12t t <，当1a >时，12log log a a t t <，()()12f x f x <，()f x 严格减， 同理，当01a <<时，()f x 严格增；（3）函数()f x 的定义域为(,1)1,)−∞−+∞，①当21n a <−≤−时，01a <<，所以()f x 在(,2)n a −上严格增，要使得()f x 的值域是(1,)+∞，则1log 1121an n a +⎧=⎪−⎨⎪−=−⎩，无解； ②当12n a ≤<−时，3a >，所以()f x 在(,2)n a −上严格减，要使得()f x 的值域是(1,)+∞，则1,1log 13a n a a =⎧⎪−⎨=⎪−⎩，解得2a =+或2a =，综上，1,2n a ==+.21.若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t −增长函数.（1）已知函数()g x x =，判断()g x 是否为区间[]1,0−上的32−增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]−−上的n −增长函数，求正整数n 的最小值；（3）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =−−，且()f x 为R 上的4−增长函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈−，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+−=+−=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈−−恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈−−恒成立 因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n −+>，解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）由题意得2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤−⎪=−−<<⎨⎪−≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a −上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a −上，因此2224()2a a a >−−=，注意到()f x 在2[2,0]a −上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =−时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾，因此244a >，即(1,1)a ∈−.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数： ①当24x a +≤−，(4)()f x f x +>显然成立，②当224a x a −<+<时，2243x a a <−<−，此时2(4)(4)f x x a +=−+>−，22()2f x x a a =+<−，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+−>+≥ 因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1−.长宁区2020学年第一学期高一年级数学期末考试试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）． 1．已知全集为R ，集合{}32A x x =−≤<，则A = ． 【答案】()[),32,−∞−+∞2．函数y =的定义域为 ．【答案】[)1+∞，3．若幂函数a y x =在区间()0,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(),0−∞4．设一元二次方程2630x x −−=的两个实根为1x 、2x ，则2212x x += ． 【答案】425．已知:31x m α<−，:2x β<，若α是β充分条件，则m 的取值范围是 ． 【答案】1m ≤6．若()2log 10x −>，则x 的取值范围是 ． 【答案】2x >7．设a 、b 都为正数，且4a b +=，则11a b+的最小值为 ． 【答案】18．设关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集分别为A 、B ，则不等式组2111222200a xb xc a x b x c ⎧++≤⎪⎨++>⎪⎩的解集可以用集合A 、B 的运算表示为 ． 【答案】A B9．已知lg 2a =，103b =，试用a 、b 表示12log 25= ． 【答案】()212a a b−+10．已知函数[]()220,1y x ax x =+∈的最小值为2−，则实数a = ． 【答案】32−11．设关于x 的方程()223,x x ax b a b −+−=+∈R 解集为M ，关于x 的不等式()()2230x x −−≥的解集为N ，若集合M N =，则a b ⋅= ．【答案】15−12．若函数()121log 1,1021,0x x x y x m−−−≤<⎧⎪=⎨⎪−≤≤⎩的值域为[]1,1−，则实数m 的取值范围为 ．【答案】12m ≤≤二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13.下列四组函数中，两个函数相同的是（ C ）． .A y =2y =；.B 1y =和0y x =；.C {}()0,1y x x =∈和{}()20,1y x x =∈；.D 2log a y x =和2log a y x =．14.函数1312xy x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ B ）．.A 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；.B 11,32⎛⎫⎪⎝⎭；.C 12,23⎛⎫⎪⎝⎭；.D 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．15.在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数()0b ay x x =>图像的关系可能为（ A ）.A .B .C .D 16.已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素； ②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ B ）．.A 1个；.B 2个；.C 3个.D 4个；【解析】①④正确.三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分6分）已知集合{}23A x x =−<，集合1207x B xx −⎧⎫=>⎨⎬−⎩⎭．求集合A B ．【解析】{}()231,5A x x =−<=−，1210,772x B xx −⎧⎫⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪−⎩⎭⎝⎭，所以()1,7A B =−18．（本题满分8分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分）． 化简下列代数式（1）())1620a aa +<；（2)010a <<．【解析】（1）()163332a aa a a a a a a +=++=−−+=−；（21lg a ===−.19．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）甲、乙两城相距100km ，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P 给甲、乙两城供气．设P 站距甲城km x ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km ．已知建设费用y （万元）与甲、乙两地的供气距离()km 的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P 距甲城的距离为40km 时，建设费用为1300万元． （1）把建设费用y （万元）表示成P 站与甲城的距离()km x 的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值．【解析】（1）设比例系数为k ，则22(100)(1090)y k x x x ⎡⎤=+−≤≤⎣⎦又40,1300x y ==，所以()2213004060k =+，即14k =， 所以()22211(100)1005000(1090)42y x x x x x ⎡⎤=+−=−+≤≤⎣⎦（2）由（1）可得()22211(100)100500042y x x x x ⎡⎤=+−=−+⎣⎦， 所以()22111005000(50)125022y x x x =−+=−+， 所以当50x =时，y 有最小值为1250万元，所以天然气供气站建在距甲城50km 时费用最小，最小费用的值为1250万元.20．（本题满分14分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）．设()2121x x f x −=+．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数()y f x =在R 上是严格增函数； （3）若()()2110f t f t −+−<，求t 的取值范围． 【解析】（1）函数()y f x =为奇函数，证明如下：易知()2121x x f x −=+的定义域为(),−∞+∞，关于原点对称，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x −−−−−−−−====−+++，所以()y f x =为奇函数； （2）任取12,x x R ∈，且12x x <易知()212122=1212121x x x x xf x −+−==−+++，()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x −⎛⎫−=−−−=−= ⎪++++++⎝⎭因为12x x <，所以2112210,0,10,22212022x x x x x x >>−<+>+>，所以()()120f x f x −<，即()()12f x f x <， 所以函数()y f x =在R 上是严格增函数； （2）因为()y f x =在R 上是奇函数且严格增，所以()()()()()222110111f t f t f t f t f t −+−<⇔−<−−=−()()221120210t t t t t t ⇔−<−⇔+−>⇔+−>，解得1t >或2t <−，所以t 的取值范围是1t >或2t <−.21．（本题满分14分，共有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）设()()2af x x a x=−+∈R ． （1）求不等式()()11f x f x −−>的解集M ； （2）若函数()y f x =在()0,+∞上最小值为114a −+，求实数a 的值；。