传动轴的强度和刚度计算教学内容
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轴的结构设计,轴的强度计算,轴的刚度计算
挡圈、套筒、锁紧挡圈（加紧定螺钉）、锥形轴头、紧定 螺钉、圆螺母、紧配合、轴端挡圈等结构。
详见 P311 图16.3
16.2 轴的结构设计
轴肩处
r C或R 定位轴肩h 3 ~ 5mm，但 C或R 采用套筒、轴端挡圈、 圆螺母处： l轴 B轮
➢ 轴肩由定位面和内圆角组成
b
D h
d D
h C d
k、k 弯矩和转矩作用的有效 应力集中系数 (见附录表1、2， 配合零件的综合影响系 数见附录表3)
16.3 轴的强度计算
a、 a
a
a弯bb 曲和((扭bb 转WMWM应)力) 幅，
MPa；
b b
m、 m 弯曲和扭转平均应力， MPa；
m 0
m
2
表面状态系数（附录表 4及5）；
bmax b
16.2 轴的结构设计
2.轴上零件的周向固定 常用的周向固定方法有键、花键、成形、弹性环、销和过
盈配合等联接。
配合处＋键可传递较大T 配合处设置大倒角 装方便（对中性 ）
16.3 轴的强度计算
设计思路： (1)类比定结构 必要校核计算 (2)强度计算为依据 逐步结构细化（设计， 节约材料） 轴的强度计算主要由三种方法（据轴受载及对安全要求） （1）按许用切应力计算 （2）许用弯曲应力计算； （3）安全系数校核计算。 16.3.1 按许用切应力计算 1.应用（仅与T有关） (1)传动轴计算（主要T） (2)需初步结构化的转轴（只知T）
现在，又开发了一种可更换式主轴 系统， 具有一 机两用 的功效 ，用户 根据不 同的加 工对象 选择使 用，即 电主轴 和镗杆 可相互 更换使 用。这 种结构 兼顾了 两种结 构的不 足，还 大大降 低了成 本。是 当今卧 式镗铣 床的一 大创举 。电主 轴的优 点在于 高速切 削和快 速进给 ，大大 提高了 机床的 精度和 效率。
详见 P311 图16.3
16.2 轴的结构设计
轴肩处
r C或R 定位轴肩h 3 ~ 5mm，但 C或R 采用套筒、轴端挡圈、 圆螺母处： l轴 B轮
➢ 轴肩由定位面和内圆角组成
b
D h
d D
h C d
k、k 弯矩和转矩作用的有效 应力集中系数 (见附录表1、2， 配合零件的综合影响系 数见附录表3)
16.3 轴的强度计算
a、 a
a
a弯bb 曲和((扭bb 转WMWM应)力) 幅，
MPa；
b b
m、 m 弯曲和扭转平均应力， MPa；
m 0
m
2
表面状态系数（附录表 4及5）；
bmax b
16.2 轴的结构设计
2.轴上零件的周向固定 常用的周向固定方法有键、花键、成形、弹性环、销和过
盈配合等联接。
配合处＋键可传递较大T 配合处设置大倒角 装方便（对中性 ）
16.3 轴的强度计算
设计思路： (1)类比定结构 必要校核计算 (2)强度计算为依据 逐步结构细化（设计， 节约材料） 轴的强度计算主要由三种方法（据轴受载及对安全要求） （1）按许用切应力计算 （2）许用弯曲应力计算； （3）安全系数校核计算。 16.3.1 按许用切应力计算 1.应用（仅与T有关） (1)传动轴计算（主要T） (2)需初步结构化的转轴（只知T）
现在，又开发了一种可更换式主轴 系统， 具有一 机两用 的功效 ，用户 根据不 同的加 工对象 选择使 用，即 电主轴 和镗杆 可相互 更换使 用。这 种结构 兼顾了 两种结 构的不 足，还 大大降 低了成 本。是 当今卧 式镗铣 床的一 大创举 。电主 轴的优 点在于 高速切 削和快 速进给 ，大大 提高了 机床的 精度和 效率。
扭转刚度计算.
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
轴的设计计算
轴的设计计算轴的计算通常都是在初步完成结构设计后进行校核计算，计算准则是满足轴的强度和刚度要求。
一、轴的强度计算进行轴的强度校核计算时，应根据轴的具体受载及应力情况，采取相应的计算方法，并恰当地选取其许用应力。
对于仅仅承受扭矩的轴(传动轴),应按扭转强度条件计算；对于只承受弯矩的轴（心轴），应按弯曲强度条件计算；对于既承受弯矩又承受扭矩的轴（转轴），应按弯扭合成强度条件进行计算，需要时还应按疲劳强度条件进行精确校核。
此外，对于瞬时过载很大或应力循环不对称性较为严重的轴，还应按峰尖载荷校核其静强度，以免产生过量的塑性变形。
下面介绍几种常用的计算方法：按扭转强度条件计算。
1、按扭转强度估算轴的直径对只受转矩或以承受转矩为主的传动轴，应按扭转强度条件计算轴的直径。
若有弯矩作用，可用降低许用应力的方法来考虑其影响。
扭转强度约束条件为：[]式中：为轴危险截面的最大扭剪应力(MPa)；为轴所传递的转矩(N.mm)；为轴危险截面的抗扭截面模量()；P为轴所传递的功率(kW)；n为轴的转速(r/min)；[]为轴的许用扭剪应力(MPa)；对实心圆轴，,以此代入上式，可得扭转强度条件的设计式：式中：C为由轴的材料和受载情况决定的系数。
当弯矩相对转矩很小时，C值取较小值，[]取较大值；反之，C取较大值，[]取较小值。
应用上式求出的值，一般作为轴受转矩作用段最细处的直径，一般是轴端直径。
若计算的轴段有键槽，则会削弱轴的强度，作为补偿，此时应将计算所得的直径适当增大，若该轴段同一剖面上有一个键槽，则将d增大5%，若有两个键槽，则增大10%。
此外，也可采用经验公式来估算轴的直径。
如在一般减速器中，高速输入轴的直径可按与之相联的电机轴的直径估算：；各级低速轴的轴径可按同级齿轮中心距估算，。
几种轴的材料的[]和C值轴的材料Q2351Cr18Ni9Ti354540Cr,35SiMn,2Cr13,20CrMnTi []12～2012～2520～3030～4040～52160～135148～125135～118118～107107～982、按弯扭合成强度条件校核计算对于同时承受弯矩和转矩的轴，可根据转矩和弯矩的合成强度进行计算。
机械设计基础 第十二章轴
3.
球墨铸铁、合金铸铁 (高强度铸铁)
价廉、吸振性好、耐磨性好，对应力集中的敏感性较低，铸造 成形，但性脆，可靠性低，品质难控制。 常用于制造外形复杂的轴，如曲轴、凸轮轴。
轴的常用材料及其主要力学特性见
轴的结构设计
12
设计任务：使轴的各部分具有合理的形状和尺寸。
设计要求： 1.轴应便于制造，轴上零件要易于装拆；(制造安装) 2.轴和轴上零件要有准确的工作位置；(定位) 3.各零件要牢固而可靠地相对固定；(固定) 4.改善应力状况，减小应力集中。
第十二章
轴的设计
1
第一节 第二节 第三节
概述 轴的设计举例 轴的强度、刚度计算
2
本章重点：
① 轴的类型，轴的常用材料； ② 轴的结构； ③ 轴上零件的轴向定位和固定方法； 轴上零件的周向定位和固定方法；
④ 按扭转强度计算轴的直径。
轴的功用：主要用于支承传动零件 (齿轮、带轮等) 并
传递运动和动力。
越程槽和退刀槽
17
（3）为去掉毛刺，利于装配，轴端应制出45°倒角。
45°倒角 45°倒角
( 4)当采用过盈配合联结时，配合轴段的零件装入端，常加工 成半锥角为30°的导向锥面。若还附加键联结，则键槽的长度 应延长到锥面处，便于轮毂上键槽与键对中。
18
（5）如果需从轴的一端装入两个过盈配合的零件，则轴上两配 合轴段的直径不应相等，否则第一个零件压入后，会把第二个零件 配合的表面拉毛，影响配合。
一般情况下，直轴 做成实心轴，需要 减重时做成空心轴
6
轴的功用和类型
分类： 按承受载荷分有： 类 型 按轴的形状分有：
7
转轴---传递扭矩又承受弯矩
传动轴---只传递扭矩 心轴---只承受弯矩 直轴 曲轴 光轴 阶梯轴
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
轴的设计计算
轴的设计计算轴的设计计算【⼀】能⼒⽬标1.了解轴的功⽤、分类、常⽤材料及热处理。
2.能合理地进⾏轴的结构设计。
【⼆】知识⽬标1.了解轴的分类，掌握轴结构设计。
2.掌握轴的强度计算⽅法。
3.了解轴的疲劳强度计算和振动。
【三】教学的重点与难点重点重点：轴的结构设计难点：难点：弯扭合成法计算轴的强度【四】教学⽅法与⼿段采⽤多媒体教学（加动画演⽰），结合教具，提⾼学⽣的学习兴趣。
【五】教学任务及内容任务知识点轴的设计计算1. 轴的分类、材料及热处理2. 轴的结构设计3. 轴的设计计算⼀、轴的分类（⼀）根据承受载荷的情况，轴可分为三类1、⼼轴⼯作时只受弯矩的轴，称为⼼轴。
⼼轴⼜分为转动⼼轴（a）和固定⼼轴(b)。
2、传动轴⼯作时主要承受转矩，不承受或承受很⼩弯矩的轴，称为传动轴。
3、转轴⼯作时既承受弯矩⼜承受转矩的轴，称为转轴。
（⼆）按轴线形状分：1、直轴（1）光轴作传动轴（应⼒集中⼩）（2）阶梯轴优点：1）便于轴上零件定位；2）便于实现等强度2、曲轴另外还有空⼼轴（机床主轴）和钢丝软轴（挠性轴）——它可将运动灵活地传到狭窄的空间位置。
如⽛铝的传动轴。
⼆、轴的结构设计轴的结构设计就是确定轴的外形和全部结构尺⼨。
但轴的结构设计原则上应满⾜如下要求：1)轴上零件有准确的位置和可靠的相对固定；2)良好的制造和安装⼯艺性；3)形状、尺⼨应有利于减少应⼒集中；4）尺⼨要求。
（⼀）轴上零件的定位和固定轴上零件的定位是为了保证传动件在轴上有准确的安装位置；固定则是为了保证轴上零件在运转中保持原位不变。
作为轴的具体结构，既起定位作⽤⼜起固定作⽤。
1、轴上零件的轴向定位和固定：轴肩、轴环、套筒、圆螺母和⽌退垫圈、弹性挡圈、螺钉锁紧挡圈、轴端挡圈以及圆锥⾯和轴端挡圈等。
2、轴上零件的周向固定：销、键、花键、过盈配合和成形联接等，其中以键和花键联接应⽤最⼴。
（⼆）轴的结构⼯艺性轴的结构形状和尺⼨应尽量满⾜加⼯、装配和维修的要求。
转轴扭转强度、刚度校核
max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa＜[ ]
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
2024年机械设计基础课程教案讲义轴的设计教案
2024年机械设计基础课程教案讲义轴的设计教案一、教学内容本节课选自《机械设计基础》教材第四章第二节，主题为轴的设计。
详细内容包括：轴的类型与结构特点、轴的材料选择、轴的强度计算、轴的刚度计算、轴的振动分析等。
二、教学目标1. 理解并掌握轴的类型、结构特点及其在机械系统中的应用。
2. 学会根据工作条件选择合适的轴材料，并进行轴的强度和刚度计算。
3. 了解轴的振动原因及防治措施，提高轴的设计水平。
三、教学难点与重点重点：轴的材料选择、强度计算、刚度计算。
难点：轴的振动分析及防治措施。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：计算器、教材、笔记本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过展示不同类型的轴及其在机械设备中的应用，激发学生对轴设计的学习兴趣。
详细内容：介绍汽车传动轴、涡轮轴、曲轴等轴的类型及结构特点。
2. 理论讲解（15分钟）：讲解轴的材料选择、强度计算、刚度计算及振动分析。
详细内容：（1）轴的材料选择：介绍常用轴材料及其性能，如碳钢、合金钢等。
（2）轴的强度计算：讲解轴的扭转强度、弯曲强度计算方法。
（3）轴的刚度计算：介绍轴的扭转刚度、弯曲刚度计算方法。
（4）轴的振动分析：分析轴振动的原因、危害及防治措施。
3. 例题讲解（15分钟）：讲解一道轴的设计计算题，巩固所学知识。
详细内容：某汽车传动轴设计计算。
4. 随堂练习（10分钟）：布置一道轴设计计算题目，让学生独立完成。
详细内容：某涡轮轴设计计算。
六、板书设计1. 轴的类型与结构特点2. 轴的材料选择3. 轴的强度计算4. 轴的刚度计算5. 轴的振动分析七、作业设计1. 作业题目：（1）简述轴的类型及结构特点。
（2）某轴的材料为45钢，直径为50mm，工作扭矩为1000N·m，试计算其扭转强度。
（3）某轴的材料为40Cr，直径为60mm，工作弯矩为1000N·m，试计算其弯曲强度。
2. 答案：（2）扭转强度计算公式：τ = T/(πd^3/16)，其中T为扭矩，d为轴径。
传动轴的强度及刚度计算
➢圆轴扭转变形与刚度计算
•刚度条件
最 大 单 位 长 度 扭 转 角 θmax 不 超 过 许 用 的 单 位 长 度 扭 转 角
［θ］。即：
maxLT GmpaIx180[]
式中θ的单位为°/m。
精密机器的轴：［θ］=0.25～0.50(°/m)。
一般传动轴： ［θ］=0.50～1.00(°/m)。
②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
3.2课题二：轴
3.2.1 轴的分类与材料 3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 3.2.3 心轴的强度和刚度计算计算 3.2.4 转轴的强度设计
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢传动轴的概念与实例 ➢外力偶矩、扭矩与扭矩图 ➢圆轴扭转的切应力与强度计算 ➢圆轴扭转变形与刚度计算 ➢剪切与挤压的实用计算 ➢思考与练习
(a )
B1
C
A
2
1 5 0 0 N ·m
T1
(b )
1 2 2 0 0 0 N ·m
5 0 0 N ·m
T2 (c )
2 T ( N ·m )
B
C
5 0 0 N ·m
(d )
O
x
－ 1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所
•刚度条件
最 大 单 位 长 度 扭 转 角 θmax 不 超 过 许 用 的 单 位 长 度 扭 转 角
［θ］。即：
maxLT GmpaIx180[]
式中θ的单位为°/m。
精密机器的轴：［θ］=0.25～0.50(°/m)。
一般传动轴： ［θ］=0.50～1.00(°/m)。
②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
3.2课题二：轴
3.2.1 轴的分类与材料 3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 3.2.3 心轴的强度和刚度计算计算 3.2.4 转轴的强度设计
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢传动轴的概念与实例 ➢外力偶矩、扭矩与扭矩图 ➢圆轴扭转的切应力与强度计算 ➢圆轴扭转变形与刚度计算 ➢剪切与挤压的实用计算 ➢思考与练习
(a )
B1
C
A
2
1 5 0 0 N ·m
T1
(b )
1 2 2 0 0 0 N ·m
5 0 0 N ·m
T2 (c )
2 T ( N ·m )
B
C
5 0 0 N ·m
(d )
O
x
－ 1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
轴的设计计算
轴的设计计算轴的计算通常都是在初步完成结构设计后进行校核计算，计算准则是满足轴的强度和刚度要求。
一、轴的强度计算进行轴的强度校核计算时，应根据轴的具体受载及应力情况，采取相应的计算方法，并恰当地选取其许用应力。
对于仅仅承受扭矩的轴(传动轴),应按扭转强度条件计算；对于只承受弯矩的轴（心轴），应按弯曲强度条件计算；对于既承受弯矩又承受扭矩的轴（转轴），应按弯扭合成强度条件进行计算，需要时还应按疲劳强度条件进行精确校核。
此外，对于瞬时过载很大或应力循环不对称性较为严重的轴，还应按峰尖载荷校核其静强度，以免产生过量的塑性变形。
下面介绍几种常用的计算方法：按扭转强度条件计算。
1、按扭转强度估算轴的直径对只受转矩或以承受转矩为主的传动轴，应按扭转强度条件计算轴的直径。
若有弯矩作用，可用降低许用应力的方法来考虑其影响。
扭转强度约束条件为：[]式中：为轴危险截面的最大扭剪应力(MPa)；为轴所传递的转矩(N.mm)；为轴危险截面的抗扭截面模量()；P为轴所传递的功率(kW)；n为轴的转速(r/min)；[]为轴的许用扭剪应力(MPa)；对实心圆轴，,以此代入上式，可得扭转强度条件的设计式：式中：C为由轴的材料和受载情况决定的系数。
当弯矩相对转矩很小时，C值取较小值，[]取较大值；反之，C取较大值，[]取较小值。
应用上式求出的值，一般作为轴受转矩作用段最细处的直径，一般是轴端直径。
若计算的轴段有键槽，则会削弱轴的强度，作为补偿，此时应将计算所得的直径适当增大，若该轴段同一剖面上有一个键槽，则将d增大5%，若有两个键槽，则增大10%。
此外，也可采用经验公式来估算轴的直径。
如在一般减速器中，高速输入轴的直径可按与之相联的电机轴的直径估算：；各级低速轴的轴径可按同级齿轮中心距估算，。
几种轴的材料的[]和C值[]2、按弯扭合成强度条件校核计算对于同时承受弯矩和转矩的轴，可根据转矩和弯矩的合成强度进行计算。
计算时，先根据结构设计所确定的轴的几何结构和轴上零件的位置，画出轴的受力简图，然后，绘制弯矩图、转矩图，按第三强度理论条件建立轴的弯扭合成强度约束条件：考虑到弯矩所产生的弯曲应力和转矩所产生的扭剪应力的性质不同，对上式中的转矩乘以折合系数，则强度约束条件一般公式为：式中：称为当量弯矩；为根据转矩性质而定的折合系数。
圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学
•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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精品课件！
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• （五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤
•
1）求出轴上外力偶矩；
•
2）计算扭矩和作出扭矩图；
•
3）分析危险截面；
•
4）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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• 二 剪应力计算：
• 1 几何关系： • • 2 物理关系：
P G
• • 3 静力关系：
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式：
p
M n Ip
max
Mn Wp
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•三
• •
截面极惯性矩 ；抗扭截面模量
ax
•
故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
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• （4）由刚度条件，得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面：
•
a 强度校核
•
b 截面选择
•
c 许可荷载确定
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• 例1 如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
轴结构设计及强度计算
轴结构设计及强度计算§11—1 概述一、轴的用途与分类1、功用：1）支承回转零件；2）传递运动和动力2、分类按承基情况分转轴——T和M的轴——齿轮轴心轴——而不受扭矩：转动心轴（图11-2a）；固定心轴（图11-2b）传动轴——主要受扭矩而不受弯矩或弯矩很小的轴按轴线形状分直轴——光轴（图11-5a）——作传动轴（应力集中小）阶梯轴（图11-5b）：优点：1）便于轴上零件定位；2）便于实现等强度曲轴——另外还有空心轴（机床主轴）和钢丝软轴（挠性轴）——它可将运动灵活地传到狭窄的空间位置（图11-8），如牙铝的传动轴。
二、轴的材料及其选择碳素钢——价廉时应力集中不敏感——常用45#，可通过热处理改善机械性能，一般为正火调质和合金钢——机械性能（热处理性）更好，适合于大功率，结构要求紧凑的传动中，或有耐磨、高温（低温）等特殊工作条件，但合金钢对应力集中较敏感。
注意：①由于碳素钢与合金钢的弹性模量基本相同，所以采用合金钢并不能提高轴的刚度。
②轴的各种热处理（如高频淬火、渗碳、氮化、氰化等）以及表面强化处理（喷丸、滚压）对提高轴的疲劳强度有显著效果。
表11-1，轴的常用材料及其主要机械性能表三，轴设计的主要内容：结构设计——按轴上零件安装定位要求定轴的形状和尺寸交替进行工作能力计算——强度、刚度、振动稳定性计算§11—2 轴的结构设计轴的结构外形主要取决于轴在箱体上的安装位置及形式，轴上零件的布置和固定方式，受力情况和加工工艺等。
轴的结构设计要求：①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置；②轴上零件装拆、调整方便；③轴应具有良好的制造工艺性等。
④尽量避免应力集中（书上无）一、拟定轴上零件的装配方案根据轴上零件的结构特点，首先要预定出主要零件的装配方向、顺序和相互关系，它是轴进行结构设计的基础，拟定装配方案，应先考虑几个方案，进行分析比较后再选优。
原则：1）轴的结构越简单越合理；2）装配越简单、方便越合理。
25轴的设计之 传动轴的强度和刚度计算
95npcnpdt?????长春职业技术学院课程教案用纸教学环节教学内容备注2求水平面支反力rh1rh2作水平面弯矩图3求垂直平面内支反力rv1rv2作垂直平面内的弯矩图4作合成弯矩图5作扭矩图6作当量弯矩图结合实物举例22tmmca???22tmmca???长春职业技术学院课程教案用纸教学环节教学内容备注小结巩固学习mca2mca1mca7校
教学环节 教 学 内 容 备 注
2、求水平面支反力 RH1、RH2 作水平面弯矩图
3、求垂直平面内支反力 RV1、RV2，作垂直平面内的弯矩图
4、作合成弯矩图
结合实物 举例
5、作扭矩图
M ca M 2 (T ) 2
6、作当量弯矩图
M ca M 2 (T ) 2
导言
T
T 9.55 106 P [ ] T 3 W 0.2d n T
5 9.55 10 6 P P C3 [ T ]n n
设计公式
d 3
求出的直径值，需圆整成标准直径，并作为轴的最小直径。如 轴上有一个键槽，可将值增大 3%—5%，如有两个键槽可增大 7%—10%。 二、按弯扭合成强度条件计算 条件：已知支点、扭距，弯矩 步骤： 1、作轴的空间受力简图 举例分析 说明
长春职业技术学院课程教案用纸
教学环节
组织教学 提问
教
学
内
容
备 注
检查学生出勤 联系实际，在实际生产中，在哪些机械系统当中有轴，其作用 是什么？ 大家说的这些轴有什么样的特点呢？有应用到什么场合 呢？ 学习情境四：轴系总成结构分析与设计 任务 4-3：轴的设计 一、按扭转强度条件计算 用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径 dmin 强度条件 举例导入
教学环节 教 学 内 容 备 注
2、求水平面支反力 RH1、RH2 作水平面弯矩图
3、求垂直平面内支反力 RV1、RV2，作垂直平面内的弯矩图
4、作合成弯矩图
结合实物 举例
5、作扭矩图
M ca M 2 (T ) 2
6、作当量弯矩图
M ca M 2 (T ) 2
导言
T
T 9.55 106 P [ ] T 3 W 0.2d n T
5 9.55 10 6 P P C3 [ T ]n n
设计公式
d 3
求出的直径值，需圆整成标准直径，并作为轴的最小直径。如 轴上有一个键槽，可将值增大 3%—5%，如有两个键槽可增大 7%—10%。 二、按弯扭合成强度条件计算 条件：已知支点、扭距，弯矩 步骤： 1、作轴的空间受力简图 举例分析 说明
长春职业技术学院课程教案用纸
教学环节
组织教学 提问
教
学
内
容
备 注
检查学生出勤 联系实际，在实际生产中，在哪些机械系统当中有轴，其作用 是什么？ 大家说的这些轴有什么样的特点呢？有应用到什么场合 呢？ 学习情境四：轴系总成结构分析与设计 任务 4-3：轴的设计 一、按扭转强度条件计算 用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径 dmin 强度条件 举例导入
第四章扭转的强度与刚度计算
Mnn+MC亠MB=0
Mnn=—MC-MB=—702(N•m)
AD段：Mnm—MD=0
Mnm=MD=468(N•m)
根据所得数据，即可画出扭矩图［图19—5(e)］。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA段内，且Mnmax=702N•m
如图19-15所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径
D=90mm,壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn=1.5kNm，材料的许用剪应力［」=
60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件 下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解 （1）校核AB轴的强度：
d D _2t
ot=—=
D D
90一22・5=0.944
90
轴的最大剪应力为
力偶矩m’=0.8kN -m,M3=1.5kN -m,已知材料的剪切弹性模量G=80GPa，试计算:AC
BC段：以Mn1表示截面1一1上的扭矩，并任意地把mn1的方向假设为图19-5(b)
所示。根据平衡条件'mx=0得：
Mn1亠MB=0
Mn1_-MB_-351(N•m)
结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC段内各截面上的
扭矩不变，均为351N•m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：
和最大的单位长度扭转角咖。
解(1)画扭矩图：用截面法逐段求得：
mn1=m’=0.8kN-m
Mn2- -M3--1.5kN-m
画出扭矩图[图19-16(b)]
(2) 计算极惯性矩：
3b1N-m
¥
1
702Nm
图Байду номын сангаас9-5
Mnn=—MC-MB=—702(N•m)
AD段：Mnm—MD=0
Mnm=MD=468(N•m)
根据所得数据，即可画出扭矩图［图19—5(e)］。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA段内，且Mnmax=702N•m
如图19-15所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径
D=90mm,壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn=1.5kNm，材料的许用剪应力［」=
60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件 下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解 （1）校核AB轴的强度：
d D _2t
ot=—=
D D
90一22・5=0.944
90
轴的最大剪应力为
力偶矩m’=0.8kN -m,M3=1.5kN -m,已知材料的剪切弹性模量G=80GPa，试计算:AC
BC段：以Mn1表示截面1一1上的扭矩，并任意地把mn1的方向假设为图19-5(b)
所示。根据平衡条件'mx=0得：
Mn1亠MB=0
Mn1_-MB_-351(N•m)
结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC段内各截面上的
扭矩不变，均为351N•m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：
和最大的单位长度扭转角咖。
解(1)画扭矩图：用截面法逐段求得：
mn1=m’=0.8kN-m
Mn2- -M3--1.5kN-m
画出扭矩图[图19-16(b)]
(2) 计算极惯性矩：
3b1N-m
¥
1
702Nm
图Байду номын сангаас9-5
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M 9549P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m；
P——轴所传递的功率, 单位: kW；
n——轴的转速, 单位: r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min， 试计算此传动轴传递的外力偶矩。
T Wp
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。
实心圆轴：
Wp
d 3
16
空心圆轴：
Wp
D3
16
(14)
其中α=d/D。
d
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
•强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小 于或等于材料的许用切应力，即：
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
Me
n
(＋ )
T
x
(a )
(＋ )
n
x T
Me
(b )
扭矩方向规定
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
简便的方法：受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩 的代数和。外力偶矩的正负号仍用右手螺旋法则：以右手四指表 示外力偶矩转向，拇指指向与截面外发线方向相反时取正值，相 同时取负值。
为15 kW，B、C轮
A MA
1
B MB
2
C MC
1
T1
MA
1
例题3-3图
为输出轮，输出轮B
上输出功率为10 kW， ( c )
轴 的 转 速 为 n=1000 r/min 。 试 求 各 段 轴
MA T
2
T2
MB
2
横截面上的扭矩， (d ) 0 并绘出扭矩图。
x － 4 7 . 7 5 N ·m
－ 1 4 3 . 2 4 B N ·m
②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
τmax≤［τ］
对于等截面圆轴有：
max
Tmax Wp
[]
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-4】 一阶梯圆 轴如图 (a)所示，轴 上受到外力偶矩
(a)
M1=6 kN·m，
M2=4kN·m
1 00 0 M
1
A
M3=2kN·m ， 轴 材 料
T
的许用切应力［τ］
=60 MPa，试校核此 (b ) 0
实心圆截面：Ip来自d 4 32空心圆截面： Ip3d42(14)
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，
即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半
径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
max
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴（受扭圆轴）实例
F d
F
A
F
M
F
Me
B
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是
圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间
的关系， 即：
扭矩图
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。
2 0 0 0 N ·m
2
1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
解 (1) 计算外力偶矩M。
MA
9549 15 143.24Nm 1000
MB
9549 10 95.49Nm 1000
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
T1+MA=0 T1= -MA=-143.24N·m
由图 (c)可得：
示。 由平衡方程T1-500=0 得： T1 =500 N·m AB段：如图（c）所示。 T2+2000-500=0 T2 =-1500 N·m (2) 绘制扭矩图如图 (d)所示。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
1
2
(a )
【例3-3】 已知一传
动 轴 如 图 (a) 所 示 ，
主动轮A上输入功率 (b )
(a )
B1
C
A
2
1 5 0 0 N ·m
T1
(b )
1 2 2 0 0 0 N ·m
5 0 0 N ·m
T2 (c )
2 T ( N ·m )
B
C
5 0 0 N ·m
(d )
O
x
－ 1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩 最大，其值为-143.24 N·m。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶 矩M使其产生扭转变形，可 观察到如下现象：
①圆周线的形状和大小 不变，相邻两圆周线的间 距保持不变，仅绕轴线作 相对转动。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴的强度和刚度计算
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢传动轴的概念与实例
T
T
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。
受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。
变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 转角，以φ表示。
解：
M9547.5 923 .782 N5 m 300
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
M1
m
M2
M3
(a)
M1
(b )
截 面 法
(c)
m
T （扭矩，单位为N·m ）
TM 10 TM 1
T
M2
M3
T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算