《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．我们先引进一些术语．定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B 的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，T是一个可数集}容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149 1．本章总结：（1），Lindeloff空间是重点．（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

对于点集的拓扑空间关系的理解1、点集拓扑的基本知识所谓度量空间即为在抽象集合中引进了度量，设有任意元素（点）的集合R，对于集合的任意两点x，y确定了他们间的距离p（x，y）并满足如下度量空间的公理：（1）p（x，y）>0,当x≠y；p（x，y）=0（2）p（x，y）= p（y，x）（对称公理）（3）p（x，y）+ p（y，z）p（x，z）（三角形不等式）则集合R就形成了空间度量。

所谓拓扑空间即为满足下列条件的元素（点）的集合X，对于R的每一元素（点）x选定了一个以x的子集为成员的非空组，这个子集叫做x的一个邻域，并且满足下列拓扑空间公理：（1）x在它自己的每个邻域里；（2）x的任意两个邻域的交集为x的一个领域；（3）若Ｎ是ｘ的邻域，Ｕ为Ｘ的子集包含Ｎ，则Ｕ是ｘ的邻域；（4）若N是x的邻域，并且若Ｎ°表示集合｛ｚ∈Ｎ｜Ｎ是ｚ的邻域｝，则Ｎ°是ｘ的邻域，集合Ｎ°叫作Ｎ的内部。

邻近的集合理论使得邻近的度量概念一般化，由Ｒ的某一度量ｄ得到的一个关于Ｒ的拓扑称为有ｄ定义的度量拓扑。

由此可见，每一个度量空间也是拓扑空间，但是相反的提法却是不准确的，即存在这样的拓扑空间，它不可能使成为度量空间。

拓扑空间Ｘ的子集Ｎ的余是一个集合｛ｘ｜ｘ∈Ｘ且ｘ N｝，表示为X|N。

点X称为集合N的边界点，如果它既不是集合N的内部点又不是它的余集X|N的内部点，所有边界点的集合成为集合N的边界，记为аN。

设X与Y是拓扑空间，映射f：X Y为连续，假如对于X的每点x，以及f(x)在Y内的任意邻域N，集合f-1 (N)为x在X内的邻域，则映射f：X Y叫作是一个同胚。

若此映射为一对一之连续漫射并且有连续的逆映射，则称X同胚于Y，或X拓扑等价与Y。

在同胚下拓扑空间的特性得以保持，即一个特性为某个拓扑空间所具有时它也为每一个同胚的空间所具有，这种特性就称为拓扑不变量。

拓扑关系即是拓扑变换下的拓扑不变量。

点集拓扑讲义
点集拓扑学是数学中的一个分支，研究的是点集之间的关系和性质。

在点集拓扑学中，我们关注的是点集中的点之间的距离和位置关系，而不是点集中的点的具体数值。

点集拓扑学的基本概念包括：1.拓扑空间：一个拓扑空间是一个集合，其中的元素被称为点，同时还有一个拓扑结构，它描述了点之间的关系和性质。

2.拓扑结构：一个拓扑结构是一个集合，其中包含了一些子集，这些子集被称为开集，它们满足以下条件：-空集和整个集合都是开集；
-任意多个开集的交集仍然是开集；
- 有限个开集的并集仍然是开集。

3. 连通性：一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能被分成两个非空的开集。

4. 紧性：一个拓扑空间是紧的，当且仅当它的任意开覆盖都有有限子覆盖。

5. Hausdorff性：一个拓扑空间是Hausdorff的，当且仅当对于任意两个不同的点，它们都有不相交的邻域。

6. 同胚：两个拓扑空间是同胚的，当且仅当它们之间存在一个双射函数，同时这个函数和它的逆函数都是连续的。

点集拓扑学的应用非常广泛，它可以用来研究各种数学问题，如微积分、代数拓扑、流形等。

此外，它还可以应用于物理学、计算机科学、生物学等领域。

§5.2可分空间本节重点:掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；掌握稠密子集的定义及性质.定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义．定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|，则ε＞0．令＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有，f（y）=g（y）∈，矛盾．我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间．定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点∈B．令D={|B∈B，B≠}这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间．可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到：推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间．特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间．例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间．我们依次给出以下三个论断：（1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集．（2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理．事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的．（3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.根据这三个论断，我们可有以下两个结论：（A）可分空间可以不满足第二可数性公理．因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X*，T *）．（B）可分空间的子空间可以不是可分空间．因为如果选取（X，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X*，T *）以(X，T)为它的一个子空间．(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理．证明(略)根据定理5.2.4及推论5.2.3可知：推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间．有关可分性是拓扑不变性质，有限可积性质，可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中，由读者自己去研究.作业:P144 2.4。

熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。

它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。

它是抽象代数学的一部分。

它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。

点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。

点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。

二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。

通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。

给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。

定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。

由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。

设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。

若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。

三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。

连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。

定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。

《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。

它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。

本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。

拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。

四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。

河北师大点集拓扑第五章教案一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》第五章的内容，主要涉及教材的第810节。

详细内容包括：拓扑空间的定义及性质、拓扑空间中的开集和闭集、聚点与极限点、连续映射及其性质、紧致性及其判定定理。

二、教学目标1. 理解拓扑空间的定义，掌握其基本性质。

2. 学会判断开集、闭集、聚点、极限点，并能运用这些概念解决实际问题。

3. 掌握连续映射的定义及其性质，了解其在拓扑学中的应用。

三、教学难点与重点难点：拓扑空间的定义，开集、闭集、聚点、极限点的判断，连续映射的性质。

重点：拓扑空间的基本概念，连续映射的定义及其性质。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实际例子，引入拓扑空间的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：详细讲解拓扑空间的定义、性质，以及相关概念如开集、闭集、聚点、极限点、连续映射等。

1）拓扑空间的定义及性质2）开集、闭集的判断方法3）聚点、极限点的定义及判断4）连续映射的定义及其性质3. 例题讲解：结合实际例题，讲解如何运用所学知识解决问题。

4. 随堂练习：设计相关习题，让学生独立完成，巩固所学内容。

六、板书设计1. 拓扑空间的定义及性质2. 开集、闭集的判断方法3. 聚点、极限点的定义及判断4. 连续映射的定义及其性质5. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：1）证明：任意两个开集的并集是开集。

4）证明：连续映射的复合映射仍然是连续映射。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对拓扑空间的概念及性质掌握情况，对连续映射的理解程度。

2. 拓展延伸：引导学生学习更深入的拓扑学知识，如连通性、紧致性等，提高学生的拓扑学素养。

重点和难点解析1. 拓扑空间的定义及性质2. 开集、闭集的判断方法3. 聚点、极限点的定义及判断4. 连续映射的定义及其性质一、拓扑空间的定义及性质1. 空集和全集属于这个子集族。

2. 任意个集合的并集属于这个子集族。