《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．我们先引进一些术语．定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B 的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，T是一个可数集}容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149 1．本章总结：（1），Lindeloff空间是重点．（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

对于点集的拓扑空间关系的理解1、点集拓扑的基本知识所谓度量空间即为在抽象集合中引进了度量，设有任意元素（点）的集合R，对于集合的任意两点x，y确定了他们间的距离p（x，y）并满足如下度量空间的公理：（1）p（x，y）>0,当x≠y；p（x，y）=0（2）p（x，y）= p（y，x）（对称公理）（3）p（x，y）+ p（y，z）p（x，z）（三角形不等式）则集合R就形成了空间度量。

所谓拓扑空间即为满足下列条件的元素（点）的集合X，对于R的每一元素（点）x选定了一个以x的子集为成员的非空组，这个子集叫做x的一个邻域，并且满足下列拓扑空间公理：（1）x在它自己的每个邻域里；（2）x的任意两个邻域的交集为x的一个领域；（3）若Ｎ是ｘ的邻域，Ｕ为Ｘ的子集包含Ｎ，则Ｕ是ｘ的邻域；（4）若N是x的邻域，并且若Ｎ°表示集合｛ｚ∈Ｎ｜Ｎ是ｚ的邻域｝，则Ｎ°是ｘ的邻域，集合Ｎ°叫作Ｎ的内部。

邻近的集合理论使得邻近的度量概念一般化，由Ｒ的某一度量ｄ得到的一个关于Ｒ的拓扑称为有ｄ定义的度量拓扑。

由此可见，每一个度量空间也是拓扑空间，但是相反的提法却是不准确的，即存在这样的拓扑空间，它不可能使成为度量空间。

拓扑空间Ｘ的子集Ｎ的余是一个集合｛ｘ｜ｘ∈Ｘ且ｘ N｝，表示为X|N。

点X称为集合N的边界点，如果它既不是集合N的内部点又不是它的余集X|N的内部点，所有边界点的集合成为集合N的边界，记为аN。

设X与Y是拓扑空间，映射f：X Y为连续，假如对于X的每点x，以及f(x)在Y内的任意邻域N，集合f-1 (N)为x在X内的邻域，则映射f：X Y叫作是一个同胚。

若此映射为一对一之连续漫射并且有连续的逆映射，则称X同胚于Y，或X拓扑等价与Y。

在同胚下拓扑空间的特性得以保持，即一个特性为某个拓扑空间所具有时它也为每一个同胚的空间所具有，这种特性就称为拓扑不变量。

拓扑关系即是拓扑变换下的拓扑不变量。

点集拓扑讲义
点集拓扑学是数学中的一个分支，研究的是点集之间的关系和性质。

在点集拓扑学中，我们关注的是点集中的点之间的距离和位置关系，而不是点集中的点的具体数值。

点集拓扑学的基本概念包括：1.拓扑空间：一个拓扑空间是一个集合，其中的元素被称为点，同时还有一个拓扑结构，它描述了点之间的关系和性质。

2.拓扑结构：一个拓扑结构是一个集合，其中包含了一些子集，这些子集被称为开集，它们满足以下条件：-空集和整个集合都是开集；
-任意多个开集的交集仍然是开集；
- 有限个开集的并集仍然是开集。

3. 连通性：一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能被分成两个非空的开集。

4. 紧性：一个拓扑空间是紧的，当且仅当它的任意开覆盖都有有限子覆盖。

5. Hausdorff性：一个拓扑空间是Hausdorff的，当且仅当对于任意两个不同的点，它们都有不相交的邻域。

6. 同胚：两个拓扑空间是同胚的，当且仅当它们之间存在一个双射函数，同时这个函数和它的逆函数都是连续的。

点集拓扑学的应用非常广泛，它可以用来研究各种数学问题，如微积分、代数拓扑、流形等。

此外，它还可以应用于物理学、计算机科学、生物学等领域。

§5.2可分空间本节重点:掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；掌握稠密子集的定义及性质.定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义．定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|，则ε＞0．令＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有，f（y）=g（y）∈，矛盾．我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间．定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点∈B．令D={|B∈B，B≠}这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间．可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到：推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间．特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间．例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间．我们依次给出以下三个论断：（1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集．（2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理．事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的．（3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.根据这三个论断，我们可有以下两个结论：（A）可分空间可以不满足第二可数性公理．因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X*，T *）．（B）可分空间的子空间可以不是可分空间．因为如果选取（X，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X*，T *）以(X，T)为它的一个子空间．(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理．证明(略)根据定理5.2.4及推论5.2.3可知：推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间．有关可分性是拓扑不变性质，有限可积性质，可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中，由读者自己去研究.作业:P144 2.4。

熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。

它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。

它是抽象代数学的一部分。

它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。

点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。

点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。

二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。

通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。

给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。

定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。

由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。

设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。

若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。

三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。

连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。

定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。

《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。

它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。

本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。

拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。

四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。

河北师大点集拓扑第五章教案一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》第五章的内容，主要涉及教材的第810节。

详细内容包括：拓扑空间的定义及性质、拓扑空间中的开集和闭集、聚点与极限点、连续映射及其性质、紧致性及其判定定理。

二、教学目标1. 理解拓扑空间的定义，掌握其基本性质。

2. 学会判断开集、闭集、聚点、极限点，并能运用这些概念解决实际问题。

3. 掌握连续映射的定义及其性质，了解其在拓扑学中的应用。

三、教学难点与重点难点：拓扑空间的定义，开集、闭集、聚点、极限点的判断，连续映射的性质。

重点：拓扑空间的基本概念，连续映射的定义及其性质。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实际例子，引入拓扑空间的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：详细讲解拓扑空间的定义、性质，以及相关概念如开集、闭集、聚点、极限点、连续映射等。

1）拓扑空间的定义及性质2）开集、闭集的判断方法3）聚点、极限点的定义及判断4）连续映射的定义及其性质3. 例题讲解：结合实际例题，讲解如何运用所学知识解决问题。

4. 随堂练习：设计相关习题，让学生独立完成，巩固所学内容。

六、板书设计1. 拓扑空间的定义及性质2. 开集、闭集的判断方法3. 聚点、极限点的定义及判断4. 连续映射的定义及其性质5. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：1）证明：任意两个开集的并集是开集。

4）证明：连续映射的复合映射仍然是连续映射。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对拓扑空间的概念及性质掌握情况，对连续映射的理解程度。

2. 拓展延伸：引导学生学习更深入的拓扑学知识，如连通性、紧致性等，提高学生的拓扑学素养。

重点和难点解析1. 拓扑空间的定义及性质2. 开集、闭集的判断方法3. 聚点、极限点的定义及判断4. 连续映射的定义及其性质一、拓扑空间的定义及性质1. 空集和全集属于这个子集族。

2. 任意个集合的并集属于这个子集族。

§5.3Lindeloff空间本节重点:掌握Lindeloff空间的定义；掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．我们先引进一些术语．定义5.3.1 设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得A B令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此B A．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且所以是A的一个子覆盖．此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．定理5.3.3 每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．证明设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．x∈X和x的任何一个邻域U，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．例5.3.2 Lindeloff 空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，T是一个可数集}容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A 使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．另外，容易验证T ．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空间．所以不是一个Lindeloff空间．此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：定理5.3.4 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．证明设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪{}是X的一个开覆盖，它有一个可数子覆盖，设为（即使可以找到一个子覆盖不包含，但添上一个元素也无何不可．）这时易见，{,…},其中，便是A的一个（关于子空间Y的）可数子覆盖．定理5.3.5 设拓扑空间X的任何一个子空间都是Lindeloff空间．如果A X是一个不可数集，则A中必定包含A的某一个凝聚点，即．特别，如果X是一个满足第二可数性公理的空间，则X的每一个不可数子集A中都包含着A的某一个凝聚点．证明设A X是一个不可数集．如果A中没有A的凝聚点，则对于每一个a∈A，存在a在X中的一个邻域，这说明单点集{a}是子空间A中的一个开集．从而子空间A便是一个包含着不可数多个点的离散空间，它必然不是一个Linde1off空间，这与定理的条件矛盾．我们将本章中讨论过的各类拓扑空间之间的关系列为图表作业:P149 1．本章总结：（1），Lindeloff空间是重点．（2）掌握，Lindeloff，可分是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的性质．（3）掌握这些空间之间的关系（上述关系图）．（4）掌握空间中序列的性质及定理5.1.8的内容与作用．。

第五章 有关可数性的公理① 几种可数性的关系定理 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。

证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。

对于每一个x ∈X ，根据定理，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ．定理 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集．定理 （Lindelöff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间．② 可数性的定义定义 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为2A 空间。

定义 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。

定义 设X 是一个拓扑空间，X D ⊂．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间． 定义 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ⊃⋃A∈则称集族A 是集合B 的一个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A 是集合B 的一个覆盖．如果集族A 的一个子族A1也是集合B 的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B ）的一个子覆盖．设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A 是X 的子集B 的一个覆盖，则称集族A 是集合B 的一个开（闭）覆盖．定义 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindel öff 空间．③ 可数性与序列定理 设X 是一个拓扑空间．如果在x ∈X 处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域基{}+∈Zi i U 使得对于任何+∈Z i 有1+⊃i i U U ，即.........21⊃⊃⊃⊃i U U U定理 设X 是一个满足第一可数性公理的空间，X A ⊂.则点x ∈X 是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A －{x}中有一个序列收敛于x ．④ 性质 Ⅰ. 拓扑不变性定理 设X 和Y 是两个拓扑空间，f: X →Y 是一个满的连续开映射．如果X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ. 遗传性定理 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间。

点集拓扑学教案为开设数学专业本科自学考试及宁德师专数学系数学教育专业“点集拓扑”课程,按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。

自考生授课30学时,专科生授课45学时。

教学内容与进度安排如下。

章节自考生授课主要内容时数1朴素集合论22.1-2.3度量空间、拓扑空间、连续映射、邻域42.4-2.7闭集闭包、内部、边界、基、序列43子空间、积空间、商空间34连通、连通分支、局部连通、道路连通35第一、二可数性、可分性、Lindelöf性36.1-6.4各种分离性公理T0-T436.5-6.6分离公理的运算保持、Urysohn度量化定理27.1-7.3紧致性、分离性及R n中的紧致子集37.4-7.5各种紧致性、度量空间中的紧致性27.6局部紧致空间、仿紧致空间1章节专科生授课主要内容时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论5习题课时11.1集合、映射与关系21.2无限集、选择公理2二拓扑空间与连续映射14习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射22.3邻域与邻域系1不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包3不讲例2.4.4,定理2.4.8 2.5内部、边界12.6基与子基1部分证明定理 2.6.3,邻域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列1三子空间、有限积空间、商空间5习题课时13.1子空间 1.5嵌入在6.6中介绍3.2积空间 1.53.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性6习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支0.54.4局部连通空间14.5道路连通空间0.5道路连通分支不讲五有关可数性的公理5习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1定理5.2.1不讲5.3Lindelöf空间1六分离性公理8习题课时26.1T0、T1、Hausdorff空间 1.56.2正则、正规、T3、T4空间1例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理0.5不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时3(含总复习)7.1紧致性 2.5定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理0.5引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R n中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系 1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.一.集合的运算幂集P(X),交∩、并∪、差－(补,余CA,A').运算律:De Morgan律:(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记A i.A1∪A2∪…∪A n=(A1∪…∪A n-1)∪A n=∪i≤n A i=∪ni=1规定0个集之并是∅,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即R⊂X×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若∀x∈X,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x)|x∈X},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)|x,y∈R,x<y},小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,∀x∈X,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y∈X|xRy},[x]R的元称为[x]R的代表元;商集X/R={[x]R|x∈X}.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则(1)∀x∈X,x∈[x]R;(2)∀x,y∈X,或者[x]R=[y]R,或者[x]R∩[y]R=∅.证(2).设z∈[x]R∩[y]R,则zRx,zRy,于是[x]R⊂[y]R且[y]R⊂[x]R,于是[x]R=[y]R.三.映射函数f: X→Y. ∀A⊂X,f(A)={f(x)|x∈A}像;∀B⊂Y,f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}原像.满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i X、限制f|A、扩张、内射i X|A: A→X.X i={(x1,…,x n)|x i∈X i,i≤n}到第i个坐标集集合X i,i≤n,笛卡儿积X1×X2×…×X n= Пi≤n X i=Пni=1X i的投射p i:X→X i定义为p(x)=x i,其中x=(x1,…,x n).对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R.四.集族数列{x n}={x n}n∈Z+,有标集族{Aγ}γ∈Γ,指标集Γ,与{Aγ|γ∈Γ}不同,可记有标集族A={A}A∈A;类似地,定义其并∪γ∈ΓAγ(或∪A)、交∩γ∈ΓAγ(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律A-(∪γ∈ΓAγ)=∩γ∈Γ(A-Aγ),A-(∩γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γ(A-Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γf(Aγ),f(∩γ∈ΓAγ)⊂∩γ∈Γf(Aγ),f-1(∪γ∈ΓBγ)=∪γ∈Γf-1(Bγ),f-1(∩γ∈ΓBγ)=∩γ∈Γf-1(Bγ).五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(∅或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(∅或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集⇔X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为card A,或|A|.|Z+|=ℵ0,|R|=ℵ.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数α,使得ℵ0<α<ℵ.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则∀A∈A,可取定ε(A)∈A.由选择公理可证明,若α,β是基数,则下述三式中有且仅有一成立:α<β,α=β,α>β.第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.§2.1度量空间与连续映射在R 上,|x-y|表示点x 与y 之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X 是一集合,ρ:X ⨯X →R .如果ρ满足正定性、对称性和三角不等式,则称ρ是X 的一个度量.(X,ρ)称为度量空间,ρ(x,y)表示两点x,y 之间的距离.例2.1.1实数空间R .ρ(x,y)=|x-y|,R 的通常度量.例2.1.2n 维欧氏空间R n =R ⨯R ⨯…⨯R .对于x ∈R n,记x=(x i ).定义ρ(x,y)=∑=n1i 2i i )y -(x ,R n 的通常度量,n 维欧氏空间.R 2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert 空间H .H ={x=(x 1,x 2,…)|x i ∈R ,i ∈Z +;∑∞=1i 2ix <∞}.定义ρ(x,y)=∑∞=1i 2i i )y -(x ,则度量空间(H ,ρ)称为Hilbert 空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,ρ)称为离散的,若∀x ∈X,∃δx >0,使得不存在X 中的点y ≠x,满足ρ(x,y)<δx .如对集合X,按如下方式定义ρ:X ⨯X →R 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y.x 1,y,x 0,y)(x,ρ定义2.1.2设(X,ρ)是度量空间.B(x,ε)={y ∈X |ρ(x,y)<ε}称为以x 为心,ε为半径的球形邻域,或ε邻域,或球形邻域.对(R ,|.|),B(x,ε)=(x-ε,x+ε).定理2.1.1度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质:(1)∀x ∈X,ε>0,x ∈B(x,ε);(2)∀x ∈X,ε1,ε2>0,∃ε>0,使B(x,ε)⊂B(x,ε1)∩B(x,ε2);(3)若y ∈B(x,ε),∃δ>0使B(y,δ)⊂B(x,ε).证(2)0<ε<min{ε1,ε2};(3)δ=ε-ρ(x,y),则B(y,δ)⊂B(x,ε).定义2.1.3X的子集A称为(X,ρ)的开集,若∀a∈A,∃ε>0,使B(a,ε)⊂A.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.∀x∈(a,b),让ε=min{x-a,b-x},则B(x,ε)⊂(a,b).同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1)X,∅是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,x∈X,U⊂X.U称为x的邻域,若∃开集V,使x∈V⊂U.定理2.1.3U是X中点x的邻域⇔∃ε>0,使B(x,ε)⊂U.定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,称f在x0连续,若∀f(x0)的球形邻域B(f(x0),ε)(∀ε>0),∃x0的球形邻域B(x0,δ)(∃δ>0),使f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)(当ρX(x,x0)<δ时,ρY(y,f(x0))<ε).称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,那么(1)f在x0连续⇔若U是f(x0)的邻域,则f–1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续⇔若U是Y的开集,则f–1(U)是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.(2)“⇒”f–1(U)是每一点的邻域.“⇐”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.§2.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,∅∈T;(2)∀A,B∈T⇒A∩B∈T;(3)∀T1⊂T,∪T1∈T;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2(X,ρ)度量空间.Tρ由X的所有开集构成的族.(X,Tρ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间.简称Tρ为度量拓扑.度量空间⇒拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑T={X,∅}.平庸空间.例2.2.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.∪∅}.例2.2.4有限补拓扑T={U⊂X|U'是X的有限子集}{验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)∀A,B⊂X,讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是∅,二是A,B都不是∅.(3)设T1⊂T,不妨设∃∅≠A0∈T1,利用De Morgan律.有限补空间.∪∅}.例2.2.5可数补拓扑T={U⊂X|U'是X的可数子集}{定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚⇒f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.§2.3邻域定义2.3.1设(X,T)是拓扑空间.x∈X,U⊂X称为x的邻域,如果存在V∈T使x∈V⊂U;若U 是开的,U称为x的开邻域.定理2.3.1设U⊂X.U是X的开集⇔U是它的每一点的邻域.证由定义得“⇒”;利用开集之并为开得“⇐”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为U x.定理2.3.2U x的性质:(1)X∈U x;∀U∈U x,x∈U;(2)U,V∈U x⇒U∩V∈U x;(3)U∈U x且U⊂V⇒V∈U x;(4)U∈U x⇒∃V∈U x使V⊂U且∀y∈V,V∈U y.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足x∈V⊂U的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从U x(∀x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义T={U⊂X|∀x∈U,U∈U x},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是U x.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射f:X→Y称为在点x∈X连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理 2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设f:X→Y. 则f连续⇔f在每一x∈X连续.证“⇒”若U是f(x)的邻域,∃开集V使f(x)∈V⊂U,x∈f-1(V)⊂f-1(U).“⇐”若U是Y的开集,∀x∈f-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.§2.4导集、闭集、闭包定义2.4.1设A⊂X.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x 的点,即U∩(A-{x})≠∅.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩(A-{x})=∅,即U∩A⊂{x}.例2.4.1X是离散空间.若A⊂X,则d(A)=∅.∀x∈X,取U={x},则U∩A⊂{x},所以x∉d(A).例 2.4.2X是平庸空间,A⊂X.若A=∅,则d(A)=∅;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|>1,则d(A)=X.对于x∈X,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩(A-{x})≠∅⇔A-{x}≠∅⇔A⊄{x},由此,易计算d(A).定理2.4.1A,B⊂X,则(1)d(∅)=∅;(2)A⊂B⇒d(A)⊂d(B);∪∪;(3)d(A B)=d(A)d(B)(4)d(d(A))⊂A d(A).∪证由定义2.4.1得(1)和(2).∪分别存在x的邻域U,V使得关于(3).由(2)得d(A)∪d(B)⊂d(A B)∪.设x∉d(A)d(B),∪)⊂{x}.U∩A⊂{x},V∩B⊂{x},令D=U∩V,则D∩(A B∪存在x的邻域U,使得U∩A⊂{x},取x的开邻域V⊂U,则V∩A=∅,关于(4).设x∉A d(A),∀y∈V,V∩(A-{y})=∅,y∉d(A),V∩d(A)=∅,x∉d(d(A)).定义2.4.2A⊂X称为X的闭集,如果d(A)⊂A.定理2.4.2A闭⇔A'开.证“⇒”∀x∈A',由于d(A)⊂A,存在x的邻域U使U∩A=∅,于是U⊂A'.“⇐”∀x∈A',A'∩A=∅, x∉d(A),所以d(A)⊂A.例2.4.3R的闭区间是闭集.∪+∞)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.[a,b]'=(-∞,a)(b,定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,∅∈F;(2)A,B∈F⇒A B∪∈F;(3)∅≠H⊂F⇒∩H∈H H∈F.证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={U'|U∈T}.直接验证可得(1)、(2).(3)令U={H'∣H∈H}.则∪H∈H H'∈T,从而∩H∈H H=∩H∈H H''=(∪H∈H H')'∈F.Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.∪称为A的闭包,记为A,A-或c(A).定义2.4.3A d(A)定理2.4.5对A,B⊂X,有(1)∅-=∅;(2)A⊂A-;(3)(A∪B)-=A-∪B-;(4)(A-)-=A-.∪∪∪∪∪∪A-∪B-.证(3)(A∪B)-=A B d(A B)=A d(A)B d(B)=(4)(A-)-=(A∪d(A))-=A-∪d(A)-=A d(A)d(d(∪∪A))=A-.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T={U⊂X|c(U')=U'},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A-,详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1)x∈A-⇔对x的任一邻域有U∩A≠∅.(定义2.4.3后)(2)d(A)=(A-{x})-.(3)A闭⇔d(A)⊂A⇔A=A-.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理2.4.6)(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交,则A⊂F⊂A-,A-⊂F,所以F=A-.)定义2.4.5(X,ρ)是度量空间.对非空的A⊂X,x∈X,定义ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}.定理2.4.9对度量空间(X,ρ)的非空子集A,(1)x∈A-⇔ρ(x,A)=0;(2)x∈d(A)⇔ρ(x,A-{x})=0.证ρ(x,A)=0⇔∀ε>0,∃y∈A,ρ(x,y)<ε⇔B(x,ε)∩A≠∅⇔∀U∈U x, U∩A≠∅⇔x∈A-.定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)∀A⊂X,f(A-)⊂f(A)-.证(1)⇒(2)B是Y的闭集,B'是Y的开集,f-1(B')=f-1(B)'是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)⇒(3)f(A)⊂f(A)-,A⊂f-1(f(A)-),A-⊂f-1(f(A)-),f(A-)⊂f(A)-.(3)⇒(1)设U是Y的开集,U'是Y的闭集且f(f-1(U')-)⊂f(f-1(U'))-⊂U'-=U',f-1(U')-⊂f-1(U'), f-1(U')=f-1(U)'是闭,f-1(U)是开.§2.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A︒.定理2.5.1对A⊂X,A︒=A'-',A-=A'︒'.证x∈A︒,由于A∩A'=∅,于是x∉A'-,从而x∈A'-'.反之,x∈A'-',x∉A'-,∃x的邻域V∩A'=∅, V⊂A,x∈A︒.因此,A︒=A'-'.从而A'︒=A''-'=A-',A︒-=A'︒'.定理2.5.3对A,B⊂X,有(1)X︒=X;(2)A︒⊂A;(3)(A∩B)︒=A︒∩B︒;(4)A︒︒=A︒.证(1)、(2)是显然的.(A∩B)︒=(A'∪B')-'=A'-'∩B'-'=A︒∩B︒.而A︒︒=A'-''-'=A'-'=A︒.关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域⇔x∈A︒.(2)A︒是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集⇔A=A︒.(定理2.5.2)(4)A︒是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A︒=A'-'是开集.(3)A开⇔A'闭⇔A'=A'-⇔A=A'-'=A︒.(4)设O是含于A内的所有开集之并,A︒⊂O⊂A,O⊂A︒,所以O=A︒.定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A'中的点.A的边界点之集称为边界,记为∂A.定理2.5.6对A⊂X,有(1)∂A=A-∩A'-=∂(A');(2)A-=A︒∪∂A;(3)A︒=A--∂A.∪︒-)=A-.∪'-)=A-∩(A︒A∪-)∩(A︒A∪-∩A'-)=(A︒A证(2)A︒∪∂A=A︒(A(3)A--∂A=A--(A-∩A'-)=A--A'-=A-∩A'-'=A︒.§2.6基与子基度量空间→球形邻域→开集→拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑,B⊂T,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设B⊂T.B为X的基⇔∀x∈X及x的邻域U x,∃V x∈B使x∈V x⊂U x.证“⇒”∃开集W x使得x∈W x⊂U x,∃B1⊂B使得W x=∪B1,∃V x∈B1⊂B使x∈V x⊂U x.“⇐”设U∈T,∀x∈U,∃V x∈B使x∈V x⊂U,从而{V x|x∈U}⊂B且U=∪x∈U V x.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足:(i)∪B=X;(ii)∀B1,B2∈B,x∈B1∩B2,∃B3∈B使x∈B3⊂B1∩B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T={∪B1|B1⊂B},则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)∅=∪∅.(2)先设B1,B2∈B,∀x∈B1∩B2,∃W x∈B使x∈W x⊂B1∩B2,于是B1∩B2=∪{W x|x∈B1∩B2}∈T.如果A1,A2∈T,设A1=∪B1,A2=∪B2,则A1∩A2=∪{B1∩B2| B1∈B1,B2∈B2}∈T.(3)设T1⊂T,∀A∈T1,∃B A⊂B,使得A=∪B A,那么∪T1=∪(∪{B A|A∈T1}).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii')∀B1,B2∈B,B1∩B2∈B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B={[a,b)|a,b∈R,a<b},则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为R l.开区间是R l中的开集,因为(a,b)=∪i∈Z+[a+1/i,b).定义2.6.2设(X,T)是拓扑空间,S⊂T.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族{S1∩S2∩…∩S n S∣i∈S,i≤n∈Z+}.显然,空间X的基是子基.∪-∞,b)b∣∈R}是R的子基.∣∈R}{(例2.6.2S={(a,+∞)a对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是∪S=X.(定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设X,Y是两拓扑空间,f:X→Y,下述等价:(1)f连续;(2)Y基B,使得B中每一元的原像在X中开;(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)⇒(2)设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足(2).(2)⇒(1)设U在Y中开,则U=∪B1,于是f-1(U)=∪{f-1(B)|B∈B1}在X中开.类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.§2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列x i→x.极限,收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-{x}中序列x i→x⇒x∈d(A).证∀x的邻域U,U∩(A-{x})≠∅,所以x∈d(A).定理2.7.3f在x0连续且x i→x0⇒f(x i)→f(x0).证设U是f(x0)的邻域,则f-1(U)是x0的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈f-1(U),从而f(x i)∈U.上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑,则(1)在X中x i→x⇔∃n∈Z+,当i>n时有x i=x;(2)若A是X的不可数子集,则d(A)=X.证(1)的必要性.令D={x i|x i≠x,i∈Z+},则D'是x的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈D',即x i=x.证(2)∀x的邻域U,A-{x}⊄U'(可数集),所以U∩(A-{x})≠∅,x∈d(A).定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定x0∈X,让A=X-{x0},则x0∈d(A),但A中没有序列收敛于x0.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑,让i:X→R是恒等映射,若在X中x i→x,则在R中f(x i)→f(x),但i在x不连续,因为x在R的开邻域(x-1,x+1)的原像i-1((x-1, x+1))=(x-1,x+1)在X中不是开的.定理2.7.4设{x i}是度量空间(X,ρ)中的序列,则x i→x⇔ρ(x i,x)→0.证x i→x⇔∀x的邻域U,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈U⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈B(x,ε)⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有ρ(x i,x)<ε⇔ρ(x i,x)→0.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.§3.1子空间对于空间X的子集族A及Y⊂X,A在Y上的限制A|Y={A∩Y|A∈A}.(定义3.1.2)引理3.1.2设Y是空间(X,T)的子集,则T|Y是Y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设T1⊂T|Y,∀A∈T1,∃B A∈T,使得A=B A∩Y,于是∪T1=∪{B A∩Y|A∈T1}=(∪{B A|A∈T1})∩Y∈T|Y.定义3.1.3对Y⊂X,(Y,T|Y)称为(X,T)的子空间,T|Y称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证,若Z是Y的子空间,且Y是X的子空间,则Z是X的子空间.(定理3.1.4)定理3.1.5(3.1.7)设Y是X的子空间,y∈Y,则(1)若T,T*分别为X,Y的拓扑,则T*=T|Y;(2)若F,F*分别为X,Y的全体闭集族,则F*=F|Y;(3)若U y,U y*分别为y在X,Y中的邻域系,则U y*=U y|Y;(4)若B是X的基,则B|Y是Y的基.证(2)F*∈F*⇔Y-F*∈T|Y⇔Y-F*=U∩Y,U∈T⇔F*=(X-U)∩Y,U∈T⇔F*∈T|Y.(4)∀U开于Y,∃X的开集V,使得U=V∩Y,∃B1⊂B,满足V=∪B1,则U=∪(B1|Y).在R的子空间(0,+∞)中(0,1]是闭集.定理3.1.6设Y是X的子空间,A⊂Y,则(1)d Y(A)=d X(A)∩Y;(2)c Y(A)=c X(A)∩Y.证(1)y∈d Y(A),∀y在X中的邻域U,U∩(A-{y})⊃(U∩Y)∩(A-{y})≠∅,所以y∈d X(A)∩Y.反之,设y∈d X(A)∩Y,∀y在Y中的邻域V,∃y在X中的邻域U使V=U∩Y,于是V∩(A-{y})=(U∩(A-{y}))∩Y=U∩(A-{y})≠∅,所以y∈d Y(A).∪X(A)∩Y)=(A d∪c X(A)∩Y.∪X(A))∩(A Y)=∪Y(A)=A(d(2)c Y(A)=A d§3.2有限积空间就平面的球形邻域B d(x,ε)而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如B1(x1,ε1)⨯B2(x2,ε2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X⨯Y中可考虑形如U⨯V的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X1,X2,…,X n,可考虑形如U1⨯U2⨯…⨯U n的集合.定理3.2.2设(X i,T i)(i≤n)是n个拓扑空间,则X=X1⨯X2⨯…⨯X n有唯一的拓扑,以X的子集族B={U1⨯U2⨯…⨯U n|U i∈T i,i≤n}为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii').(1)X=X1⨯X2⨯…⨯X n∈B,∪B=X;(2)若U1⨯U2⨯…⨯U n, V1⨯V2⨯…⨯V n∈B,则(U1⨯U2⨯…⨯U n)∩(V1⨯V2⨯…⨯V n)=(U1∩V1)⨯…⨯(U n∩V n)∈B.定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X1⨯X2⨯…⨯X n上的唯一拓扑,称为拓扑T1,T2,…,T n的积拓扑.(X,T)称为(X1,T1),…,(X n,T n)的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1⨯X2⨯…⨯X n是积空间,B i是X i的基,则B*={B1⨯B2⨯…⨯B n|B i∈B i,i≤n}是积拓扑T的基.证利用定理2.6.2.设x ∈U ∈T ,∃U i ∈T i 使x ∈U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U,∃B i ∈B i 使x i ∈B i ⊂U i ,那么x ∈B 1⨯B 2⨯…⨯B n ⊂U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U.例3.2.1形如(a 1,b 1)⨯(a 2,b 2)⨯…⨯(a n ,b n )的集合构成 n 的基.设(X 1,ρ1),(X 2,ρ2)是两个度量空间.令ρ(x,y)=22222211)y ,x ()y ,x (ρρ+,则ρ是X 1⨯X 2上的度量,导出X 上的度量拓扑T .对于n 个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理3.2.1度量空间的有限积:积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B 1(x 1,ε/2)⨯B 2(x 2,ε/2)⊂B(x,ε)⊂B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε),于是每一B(x,ε)是积拓扑的开集,且每一B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε)是度量拓扑的开集,所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 以S ={p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}为子基,其中T i 是X i 的拓扑,p i :X →X i 是投射.仅证n=2的情形.p -11(U 1)=U 1⨯X 2,p -12(U 2)=X 1⨯U 2,所以p -11(U 1)∩p -12(U 2)=U 1⨯U 2∈B .定义3.2.3f:X →Y 称为开(闭)映射,若U 开(闭)于X,则f(U)开(闭)于Y .定理3.2.6p i :X →X i 是满、连续、开映射,未必是闭映射.由于p -1i (U i )=X 1⨯X 2⨯…⨯U i ⨯…⨯X n ,所以p i 连续.由于p i (U 1⨯U 2⨯…⨯U n )=U i ,所以p i 是开的.但是p 1:R 2→R 不是闭的.定理3.2.7设映射f:Y →X,其中X 是积空间X 1⨯X 2⨯…⨯X n .则f 连续⇔∀i ≤n,p i ◦f:Y →X i 连续.证充分性.对X 的子基S ={p -1i (U i )|i ≤n,U i ∈T i },f -1(p -1i (U i ))=(p i ◦f)-1(U i )开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设T 是积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 的积拓扑,若集合X 的拓扑T *满足:每一投射p i :(X,T *)→X i 连续,则T ⊂T *.证由于{p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}⊂T *,所以T ⊂T *.§3.3商空间回忆,商集X/R,及自然投射p:X →X/R 定义为p(x)=[x]R .问题:设X 是拓扑空间,要在X/R 上定义拓扑,使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形,设(X,T )是拓扑空间且f:X →Y 是满射.赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑.若f连续,且U是Y的开集,则f-1(U)是X的开集.让T1={U⊂Y|f-1(U)∈T},易验证T1是Y上的拓扑.定义3.3.1(3.3.2)称T1是Y的相对于满射f而言的商拓扑,f:(X,T)→(Y,T1)称为商映射.这时,U在Y中开⇔f-1(U)在X中开;F在Y中闭⇔f-1(F)在X中闭.定理3.3.1商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设f:(X,T)→(Y,T1)是商映射.显然,f是连续的.如果T2是Y的拓扑使f:(X,T)→(Y,T2)连续,则∀U∈T2,f-1(U)∈T,于是U∈T1,即T2⊂T1,所以T1是使f连续的最大拓扑.定理3.3.2设f:X→Y是商映射.对于空间Z,映射g:Y→Z连续⇔映射g◦f:X→Z连续.证设g◦f:X→Z连续,∀W开于Z,(g◦f)-1(W)=f-1(g-1(W))开于X,由于f是商映射,所以g-1(W)开于Y,故g连续.定理3.3.3连续,满开(闭)映射⇒商映射.证设f:(X,T X)→(Y,T Y)是连续的满开(闭)映射,T1是Y的相对于f而言的商拓扑,要证T Y= T1.由定理3.3.1,T Y⊂T1.反之,∀V∈T1,f-1(V)∈T X.对于开映射的情形,V=f(f–1(V))∈T Y;对于闭映射的情形,V=Y-f(X-f–1(V))∈T Y,所以总有T1⊂T Y.定义3.3.3设R是空间(X,T)的等价关系,由自然投射p:X→X/R确定了X/R的商拓扑T R,称(X/R,T R)为商空间,这时p:X→X/R是商映射.例3.3.1在R中定义等价关系~:∀x,y∈R,x~y⇔或者x,y∈Q,或者x,y∉Q.商空间R/~是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集,也不是闭集,所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集.习惯上,把R/~说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在[0,1]上定义等价关系~:∀x,y∈[0,1],x~y⇔或者x=y,或者{x,y}={0,1}.[0,1]/~是在[0,1]中粘合0,1两点所得到的商空间,这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.§4.1连通空间在拓扑中怎样定义连通,分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),[1,2)的关系不同,虽然他们都不相交,但相连的程度不一样.定义4.1.1设A,B⊂X,若A∩B-=A-∩B=∅,则称A,B是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离,但区间(0,1)与[1,2)不隔离.几个基本事实:(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的,若X中有非空的隔离子集A,B使X=A∪B,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通,平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价:(1)X是不连通的;(2)X可表为两非空不交闭集之并;(3)X可表为两非空不交开集之并;(4)X存在既开又闭的非空真子集.证(1)⇒(2)设隔离集A,B之并是X,B-=B-∩(A∪B)=(B-∩A)∪(B-∩B)=B.同理,A也是闭的.(2)⇒(3)设X是两非空不交闭集A,B之并,则X是两非空不交开集A',B'之并.(3)⇒(4)设X是两非空不交开集A,B之并,则A,B都是X的既开又闭的非空真子集.(4)⇒(1)若A是X的开闭集,则A,X-A隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间,因为Q=(Q∩(-∞,π))∪(Q∩(π,+∞)).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通,则R是两非空不交Array闭集A,B之并.取定a∈A,b∈B,不妨设a<b.令A*=[a,b]∩A,B=[a,b]∩B,则A*,B*是R两非空不交闭集且[a,b]=A*∪B*.让c=supA*.因A*是闭的,c∈A*,c<b,(c,b]⊂B*.因B*是闭的,c∈B*,从而A*∩B*≠∅,矛盾.定义4.1.3若X的子空间Y是连通的,则称Y为连通子集,否则,称为不连通子集.定理4.1.3设A,B⊂Y⊂X,则A,B是Y的隔离集⇔A,B是X的隔离集.证c Y(A)∩B=c X(A)∩Y∩B=c X(A)∩B;同理,c Y(B)∩A=c X(B)∩A.定理4.1.4设Y是X的连通子集.如果X有隔离子集A,B,使Y⊂A∪B,则Y⊂A或Y⊂B.证A∩Y,B∩Y是Y的隔离集,所以A∩Y=∅,或B∩Y=∅,于是Y⊂B或Y⊂A.定理4.1.5若Y是X的连通子集且Y⊂Z⊂Y-,则Z是连通的.证若Z不连通,∃X的非空隔离集A,B使Z=A∪B⊃Y,于是Y⊂A或Y⊂B,不妨设Y⊂A,那么Z⊂Y-⊂A-,于是B=Z∩B=∅,矛盾.定理4.1.6设{Yγ}γ∈Γ是空间X的连通子集族.如果∩γ∈ΓYγ≠∅,则∪γ∈ΓYγ连通.证若∪γ∈ΓYγ是X中隔离集A,B之并,取定x∈∩γ∈ΓYγ,不妨设x∈A,则∀γ∈Γ,Yγ⊂A,所以∪γ∈ΓYγ⊂A,于是B=∅.定理4.1.7设Y⊂X.若∀x,y∈Y,∃X的连通子集Y xy使x,y∈Y xy⊂Y,则Y连通.证设Y≠∅.取定a∈Y,则Y=∪y∈Y Y ay且a∈∩y∈Y Y ay,所以Y连通.定理4.1.8(连续映射保持)设f:X→Y连续.若X连通,则f(X)连通.证若f(X)不连通,则f(X)含有非空的开闭真子集A.由于f:X→f(X)连续,于是f-1(A)是X的非空开闭真子集.连续映射保持性⇒可商性⇒拓扑不变性.有限可积性.对于拓扑性质P,要证有限可积性,因为X1⨯X2⨯…⨯X n同胚于(X1⨯…⨯X n-1)⨯X n,所以只须证:若X,Y具性质P,则X⨯Y具有性质P.定理4.1.9(有限可积性)设X1,X2,…,X n连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n连通.证仅证若X,Y连通,则X⨯Y连通.取定(a, Array b)∈X⨯Y.∀(x,y)∈X⨯Y,令S xy=(X⨯{y})∪({a}⨯Y),由于X⨯{y}同胚于X,{a}⨯Y同胚于Y,所以X⨯{y},{a}⨯Y都连通且(a,y)∈(X⨯{y})∩({a}⨯Y),由定理4.1.6,S xy连通且(x,y)∈S xy,再由定理 4.1.7,X⨯Y=∪{S xy|(x,y)∈X⨯Y}连通.§4.2连通性的应用利用R连通性的证明(定理4.1.2)知,区间都是连通的.区间有9类：无限区间5类：(-∞,+∞),(a,+∞),[a,+∞),(-∞,a),(-∞,a].有限区间4类：(a,b),[a,b),(a,b],[a,b].定理4.2.1设E⊂R,则E连通⇔E是区间.证若E不是区间,∃a<c<b,使a,b∈E但c∉E.令A=(-∞,c)∩E,B=(c,+∞)∩E,则E是不交的非空开集A,B之并.定理4.2.2设X连通,f:X→R连续,则f(X)是R的一个区间.注∀x,y∈X,如果t介于f(x)与f(y)之间,则∃z∈X,使f(z)=t.事实上,不妨设f(x)≤t≤f(y),则t∈[f(x),f(y)]⊂f(X),所以∃z∈X,使f(z)=t.定理4.2.3(介值定理)设f:[a,b]→R连续,若r介于f(a)与f(b)之间,则∃z∈[a,b]使f(z)=r.定理4.2.4(不动点定理)设f:[0,1]→[0,1]连续,则∃z∈[0,1]使f(z)=z.证不妨设0<f(0),f(1)<1.定义F:[0,1]→R使F(x)=x-f(x),则F连续且F(0)<0<F(1),∃z∈[0,1]使得F(z)=0,即f(z)=z.定义f:R→R2为f(t)=(cos2πt,sin2πt),则f连续且f(R)=S1,于是S1是连通的.对x=(x1,x2)∈S1, -x=(-x1,-x2)∈S1称为x的对径点,映射r:S1→S1定义为r(x)=-x称为对径映射,则r连续.定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)设f:S1→R连续,则∃x∈S1,使得f(x)=f(-x).证定义F:S1→R为F(x)=f(x)-f(-x),则F连续.若∃a∈S1,使得f(a)≠f(-a),则F(a)⋅F(-a)<0,由定理4.2.2,∃z∈S1,使得F(z)=0,即f(z)=f(-z).定理4.2.6R n-{0}连通,其中n>1,0=(0,0,⋯,0)∈R n.证只证n=2的情形.令A=[0,+∞)⨯R-{0},B=(-∞,0]⨯R-{0},则A∪B=R2-{0},A∩B≠∅.由于(0,+∞)⨯R⊂A⊂c((0,+∞)⨯R),所以A连通.同理,B连通,从而A∪B连通.定理4.2.7R2与R不同胚.证若∃同胚f:R2→R,令g=f|R2-{0}:R2-{0}→R,则g连续,从而g(R2-{0})=R-{f(0)}连通,矛盾.§4.3连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义4.3.1x,y∈X称为连通的,若∃X的连通子集同时含x,y,记为x~y.点的连通关系~是等价关系：(1)x~x;(2)x~y⇒y~x;(3)x~y,y~z⇒x~z.定义4.3.2空间X关于点的连通关系的每一等价类称为X的一个连通分支.x~y⇔x,y属于X的同一连通分支.X是X的全体连通分支的互不相交并.定理4.3.1设C是空间X的连通分支,则(1)若Y是X的连通子集且Y∩C≠∅,则Y⊂C;(2)C是连通的闭集.证(1)取定x∈Y∩C,∀y∈Y,则x~y,所以y∈C.(2)取定c∈C.∀x∈C,∃X的连通集Y x∍c,x,由于Y x∩C≠∅,Y x⊂C,于是C=∪{Y x|x∈C}且c∈∩{Y x|x∈C},所以C是连通的.从而C-连通且C-∩C≠∅,于是C-⊂C,故C闭.以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集.Q的连通分支都是单点集,不是Q的开子集.∀x,y∈Q,由定理4.2.1,不存在Q的连通子集同时含有x,y,所以Q的连通分支都是单点集.§4.4局部连通空间例4.4.1(拓扑学家的正弦曲线)令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]},T={0}⨯[-1,1],S1=S∪T,则S-=S1,于是S,S1连通.在S1中,S中点与T中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性.定义4.4.1设x∈X.若x的每一邻域U中都含有x的某一连通的邻域V,称X在x是局部连通的.空间X称为局部连通的,若X在每一点是局部连通的.S1是连通,非局部连通的.多于一点的离散空间是局部连通,非连通的.定理4.4.1对空间X,下述等价:(1)X是局部连通;(2)X的任一开集的任一连通分支是开集;(3)X有一个基,每一元是连通的.证(1)⇒(2)设C是X的开集U的连通分支.∀x∈C,∃x的连通的邻域V⊂U,于是V∩C≠∅, V⊂C,所以C是x的邻域,故C开.(2)⇒(3)令B={C⊂X|C是X的开集U的连通分支},则B是X的基.(3)⇒(1)设U是x的邻域,∃开集V使x∈V⊂U,∃连通开集C使x∈C⊂V⊂U,所以X局部连通.定理4.4.2设f:X→Y是连续开映射.若X局部连通,则f(X)局部连通.证∀y∈f(X),及y在f(X)中的邻域U,取x∈f-1(y),则f-1(U)是x的邻域,∃X的连通开集V使x∈V⊂f-1(U),于是y=f(x)∈f(V)⊂U.定理4.4.3局部连通性是有限可积性,即设X1,X2,…,X n局部连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n局部连通.证仅证若X1,X2局部连通,则X1⨯X2局部连通.设B1,B2分别是X1,X2的由连通开集组成的基,则{B1⨯B2|B1∈B1,B2∈B2}是X1⨯X2的由连通开集组成的基(定理3.2.4).。

2024年河北师大点集拓扑第五章教案一、教学内容1. 拓扑空间的定义与性质2. 开集与闭集的概念及其性质3. 连通空间与紧空间的定义及性质4. 闭包与内部的概念及其运算5. 例题与实践应用二、教学目标1. 理解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集、连通空间和紧空间等概念及其性质。

2. 学会运用闭包、内部等运算，解决实际问题。

3. 能够运用所学知识，分析并解决简单的拓扑问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的基本概念、连通空间和紧空间的性质。

2. 教学重点：开集、闭集的概念及其性质，闭包、内部运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，引出拓扑空间的概念。

2. 讲解：详细讲解拓扑空间、开集、闭集、连通空间和紧空间等概念，结合例题进行讲解。

3. 随堂练习：让学生练习一些具有代表性的题目，巩固所学知识。

4. 知识拓展：介绍闭包、内部运算及其在拓扑学中的应用。

六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念2. 开集、闭集的定义与性质3. 连通空间、紧空间的定义及性质4. 闭包、内部运算5. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：一个集合是闭集的充要条件是它包含所有极限点。

a. 实数集Rb. 区间[0,1]和[1,2]的并集c. 离散空间2. 答案：见附录。

八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生进一步学习拓扑学的相关知识，如拓扑空间的同伦、同调等概念。

附录：作业答案1. （1）略（2）a. 连通且紧；b. 连通但不紧；c. 紧但不连通。

重点和难点解析1. 开集、闭集的定义与性质2. 连通空间、紧空间的定义及性质3. 闭包、内部运算的应用4. 例题及解答一、开集、闭集的定义与性质1. 一个集合的补集是开集当且仅当该集合是闭集。

2. 有限个开集的交集是开集，无限个开集的交集不一定是开集。

3. 任意个开集的并集是开集。

点集拓扑学练习题参考答案(第5章)一、单项选择题1、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③2、整数集Z作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③4、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③5. 实数集合R的可数补空间是)3()2()1(空间A)4(T可分空间空间空间Lindeloff12答案：(4)6、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③7、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②可分性③离散性④第一可数性公理答案：②8. 下列拓扑学的性质中，对开子空间不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 第二可数性公理 ③ 可分性 ④ Lindelorff答案：④二、填空题1、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理2、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质3、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集4、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间5、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一 个 ；答案：Lindel Öff 空间6、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质7、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质8. Lindelorff 空间的每一个 都是Lindelorff ；这说明Lindelorff 空间具有 . 闭子空间，闭遗传9. 每一个可分的度量空间都满足 公理；每一个正则且正规的空间一定是空间.第二可数；完全正则三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.2、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.3、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.4．度量空间中任一不可数子集，必含有凝聚点。

河北师大点集拓扑课件第五章教学内容：1. 集合的基本概念：集合的定义，集合的元素，集合的表示方法，集合的运算（并、交、补）。

2. 映射的基本概念：映射的定义，映射的性质，映射的表示方法，映射的反射和象。

3. 拓扑空间的基本概念：拓扑空间的定义，拓扑空间的基本性质，拓扑空间的表示方法，拓扑空间的例子（欧几里得空间、度量空间、拓扑向量空间）。

教学目标：1. 理解并掌握集合的基本概念和运算，能够运用集合的知识解决实际问题。

2. 理解并掌握映射的基本概念和性质，能够运用映射的知识解决实际问题。

3. 理解并掌握拓扑空间的基本概念和性质，能够运用拓扑空间的知识解决实际问题。

教学难点与重点：重点：集合的基本概念和运算，映射的基本概念和性质，拓扑空间的基本概念和性质。

难点：映射的反射和象的概念，拓扑空间的基本性质。

教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

学具：笔记本、笔、课本。

教学过程：1. 引入：通过讲解集合的基本概念和运算，让学生理解集合的概念和作用。

2. 讲解映射的基本概念和性质，通过实例让学生理解映射的概念和性质。

3. 讲解拓扑空间的基本概念和性质，通过实例让学生理解拓扑空间的概念和性质。

4. 练习：通过课堂练习，让学生巩固所学的知识，提高解题能力。

板书设计：1. 集合的基本概念和运算。

2. 映射的基本概念和性质。

3. 拓扑空间的基本概念和性质。

作业设计：1. 定义集合的基本概念，并给出例子。

答案：集合是由一些确定的元素构成的整体，元素的性质和相互关系是唯一的。

例如，全体自然数构成的集合N={1,2,3,4,5,…}。

2. 定义映射的基本概念，并给出例子。

答案：映射是一种从集合A到集合B的规则，对于集合A中的每一个元素，都有一个唯一的元素与之对应于集合B中。

例如，函数f(x)=x²，定义域是全体实数R，值域是非负实数R²。

3. 定义拓扑空间的基本概念，并给出例子。

答案：拓扑空间是一种具有拓扑结构的集合，拓扑结构是由开集构成的。

第5章有关可数性的公理§ 5.1 第一与第二可数性公理本节重点：掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系；掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题；掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间，哪些是第二可数性公理空间.从§ 2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便.因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如：欧氏空间、度量空间等.以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的.某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基.定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为V空间.定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理证明令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族•显然B是一个可数族.p £设U是R中的一个开集，对于每一个x€ U,存在实数・>0,使得以x为中心以•为半径的球形邻域B (x, ) =(x- ■ ,x+) _ U选取有理数使得"-：1■人-■- 'L I于是我们有•这也就是说U可以表示为B中某些成员之并•这证明了B是R的一个基.R有可数基B,所以R满足第二可数性公理.由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集. 所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为:空间.定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理.证明设X是一个度量空间，x€X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x 处的一个可数邻域基.例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子.设X是包含着不可数多个点的可数补空间. 我们证明X在它的任一点处都没有可数邻域基•因此X不满足第一可数性公理.用反证法来证明这一点.设X在点x€X处有一个可数邻域基则对于任何y€ X,y丰x, ■匚八""…八\ 一,,因此.一'：，将这个包含关系式的两边分别对于X中所有的异于x的点求并，可见小1-」..：汀T由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集；由于“中只有可数个元素，并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集.矛盾.定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理.证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基.对于每一个x€ X,根据定理2.6.7 ,DE ={B € B x € B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族. 于是X在点x处有可数邻域基B.定理5.1.3的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理.定理5.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X -Y是一个满的连续开映射. 如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.（这是关于连续映射下是否保持的性质）证明设X满足第二可数性公理，，一是它的一个可数基•由于f是一个开映射，J={f（B）|B € ■ _}是由Y中开集构成的一个可数族.只需证明J是Y的一个基.设U是Y中的一个开集，则」'（U）是X中的一个开集.因此存在由于f是一个满射，我们有卩叮（厂©））〜却疋）即U是 '中某些元素的并.这完成 '是Y的一个基的证明.本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.根据定理5.1.4可见，拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质.例如离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的.拓扑空间的某种性质称为对于开子空间（或闭子空间）可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间（闭于空间）也都具有这个性质.例如，局部连通性虽然不是可遗传的性质，但对于开子空间却是可遗传的. （参见§ 4.4习题第3题）将来我们会接触到一些对闭子空间可遗传的性质.紧接着的两个定理表明拓扑空间满足第一（或第二）可数性公理的性质是可遗传的，也是有限可积的.定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间.证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基.如果Y是X的一个子集，根据定理 3.1.7，集族- I ={B A Y|B€ B}是子空间丫的一个基，它明显是可数族.本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.定理5.1.6 设■--J是n个满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间•则积空间-< -―：满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.证明我们只要证明n = 2的情形.设都是满足第二可数性公理的空间，月1，^2分别是它们的可数基•根据定理3. 2 • 4,集族是积空间的一个基，它明显是一个可数族.本定理当n=2时关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证.根据定理5.1.1 ，定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即可知：（事实上，这个推论也容易直接证明（参见习题1）.）推论5.1.7 n维欧氏空间'、的每一个子空间都满足第二可数性公理.本节的余下部分我们讨论满足第一可数性公理的空间中序列的性质. 读者将会看到在这种拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中见到过的有着较多的类似之处，特别是定理 2.7.2和定理2.7.3的逆命题对于这类拓扑空间成立.定理5.1.8 设X是一个拓扑空间•如果在x€X处有一个可数邻域基，则在点x处有一个可数邻域基八-■-使得对于任何i €「有- L :.,即比吗D--DU- D--V7证明设｛ :｝是点x €X处的一个可数邻域基•对于每一个i € ；•,令4谒码小诩容易直接验证便是点x处的满足定理要求的一个可数邻域基.(即是个邻域基套，一个套一个的•这个定理常用来选取趋向于x的序列中的点.)定理5.1.9 设X是一个满足第一可数性公理的空间，A_X.则点x€X是集合A的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A—｛x｝中有一个序列收敛于x .证明定理的充分性部分的证明已见于第二章定理 2.7.2，以下完成必要性部分的证明.设x €X是集合A的一个凝聚点，并且根据定理 5.1.8 是点x处的一个可数邻域基套，满足条件：对于每一个，i €：，, J --:一，由于--'1亠」，可选取:- .序列｛舟｝是在A一｛x｝中的.我们证明lim *i=x(x“)如下：如果U是x的一个邻域，则由于-■- > :.是x处的一个邻域基套，所以存在N>0使得.于是当i时，我们有定理5.1.10 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理；x€ X.则映射f:X -Y在点x€X处连续的充分必要条件是：如果X中的序列｛1｝收敛于X,则Y r中的序列｛f( ；)｝收敛于f(x).证明定理的必要性部分的证明已见于定理 2.7.3，以下完成充分性部分的证明.假设定理中陈述的条件成立，我们要证明映射f:X T Y在点x处连续.用反证法.假设映射f在点x处不连续，这也就是说f(x)有一个邻域V,使得「(V)不是x的邻域.而这又意味着，x的任何一个邻域U都不能包含在「(V)中，即对于x的任何一个邻域U,包含关系'■ ' -■ 「，不成立，也就是说您)宀0总括上一段的论证可见：f (x)有一个邻域V使得对于x的任何一个邻域U有现在设是点x处的一个可数邻域基，满足条件：对于每一个.选取：二-'：使得f（ :）€ f（u）n 「'，即宀二•明显地，序列｛ :｝收敛于x.然而序列｛f（J｝在f （x）的邻域V中却没有任何一个点，所以不收敛于f （x）•这与反证假设矛盾•因此反证假设不成立，所以映射f在点x处连续.定理5.1.11 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理•则映射f:X -Y是一个连续映射的充分必要条件是：如果X中的序列收敛于x€ X,贝V Y中r的序列｛f（；）｝收敛于f （x）.证明这是因为一个映射是一个连续映射当且仅当这个映射在它的定义域的每一个点处连续•（参见定理 2.3.5 .）作业：P139 1 . 6 .。