2015年世界数学团体锦标赛

九年级 第1页 九年级 第2页2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC 的斜边BC 与∠F=30°的直角三角板DEF 的直角边EF 重合，则∠a 的度数为 。

2、若a 、b 都为实数，且b = 20131-a + 2014a -1+ 2015 则a b= 。

3.设x 1，x 2是方程x 2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x 13+2014x 22-2013= 。

4、已知三个实数x ，y ，z 中，x 与y 的平均数是127，y 与z 的和的31是78，x 与z 的和的41是52，则这三个数x ，y ，z 的平均数是 。

5、如图，矩形ABCD 中，已知AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 与E ，PF ⊥BD 与F ，则PE+PF= 。

6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = Rt, CA ⊥x 轴，垂足为点A ，点B 在反比例函数y 1=x4(x>0)的图像上，反比例 函数y 2=x2(x>0)的图像经过点C ，交AB 于点D ，则点D 的坐标 。

7、若有理数x ，y ，z 满足2121=-+-+z y x （x+y+z ）则(x-zy)2= 。

8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH,正方形MNKT 的面积，分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3 = 10 ,则S 2的值是 。

第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛----------------------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥－2 B ．x ＞－1 C ．x ≠－1 D ．x ≥－2且x ≠－1 2．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°， 则∠PEC 等于（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图 第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（ ）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运 行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点 的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止） 的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若关于x 的分式方程qpx n m x =--22有解，则必须满足条件（ ）A ．m ≠nB ．m ≠－nC ．np ≠－mqD ．p ≠－q，m ≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最 小值为（ ）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积 是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形 的面积是（单位：平方厘米）（ ） A ．40 B ．25 C ．26 D ．36第6题图 第7题图 第8题图 第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（ ）A ．34秒 B ．25秒或38秒 C ．25秒 D ．34秒或38秒 9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5 厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存 放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内 部高度至少是（ ）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图① 图② 图③ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25，25） B ．（3，3） C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1(+m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________． 12． 若实数a 、b 、c 满足a+b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______ 象限． 13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连 接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________． 15．已知ax +by =3，ay －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则 PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（abb a -）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调 出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米） 甲养殖场200 0.012 乙养殖场140 0.015 （1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安 排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32-x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB 沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处． （1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点 E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正 方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =qp mqnp 22++，由原分式方程有解，得n －2x =qp mq np nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC 时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥ BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯， ∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米， 可得ab +a （b －a ）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米， 可得（b －a ）2=41a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5， ∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38， ∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52， 11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17， 因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3， 把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－1 12.三 13.－i 14.26° 15.34 16.3 11.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数， ∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经 过第一、二、四象限，不可能经过第三象限． 13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°， ∴EC =21FG =AC ， ∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设 ∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°， ∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3 ①，ay －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴ (a 2+b 2)(x 2+y 2)=34． 16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交 于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形． 易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ， 则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分 线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中， 设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6， m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（abb a -）=1－（a ab b ab -）=1－（a b 11-）=1－（ab b a -）=1－（a － b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324． 所以能被45整除．19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形， 得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ， ∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°， ∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ． 20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋， 根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800）， ∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省． 21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ， ∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3）， ∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等， ∴21a +3=21×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－32×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b， 令x =0，则y =b ，所以，OE =2b，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于 Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE = PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3， ∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边 形EFMP 为正方形．图① 图②。

2015年第56届国际奥林匹克数学竞赛（2015年7月10-11日，泰国清迈）试题选讲【分析】AO是O的弦FG的中垂线，要证明X在AO上，只要证明XF XG∠=∠。

=或者XFG XGF（下面只是证明本题最关键的步骤，略去了大量的文字阐述和引用的常用中间结论，这在正式竞赛中是不允许的。

所以，同学们如果要自己动手做一做、练一练，一定要把过程写详细、写清楚!) Array【证一】∵AFX AFK FKB FAB FDB FCB DFC∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，AGX AGL CLG CAG CEG CBG EBG∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴F N M G，，，四点共圆，可得NFM NGM DFC EGB∠=∠⇒∠=∠，∴AFX AGX∠=∠。

而AF AG AFG AGF∠=∠。

，，则XFG XGF=∠=∠这样，A X，两点都在弦FG的中垂线上。

而弦FG的中垂线必过圆心O，可知A X O，，三点共线。

【证二】【另证F N M G，，，四点共圆】=∠。

FMG【本题剖析，及拓展】如图，可以证明以下诸多结论：（1）JHF KIG ∆∆——JHF JBF ABF KIG KCG ACG JHF KIG F G A AF AG A F B C G O ∠=∠=∠⎧⎪∠=∠=∠⎪⇒∠=∠⎨=⎪⎪⎩，在上，，，，，在上； AFX AFJ FJB FAB FDB FCB DFC LFM AFX AFJ FJB FAB FDB FGB FGE FGB BGE LGM AFX AFJ FHB FGB HBG AGX AGK GKC GAC GIC GFC FCI AGX AGK GKC GAC GEC GBC EGB LGM AGX AGK ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠或或或或AFX AGX GKC GAC GEC GFC GFD GFC DFC LFM⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒∠=∠⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-∠=∠-∠⎪=∠-∠=∠=∠⎪⎩；而AF AG AFG AGF =⇒∠=∠，可知JFH KGI ∠=∠，FJH GKI ∠=∠。

24.2点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝30°，则∠C的度数是（）A．70°B．45°C．30°D．20°2．等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，点P是圆上不与A、B、C重合的点，∠BPC的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．无法确定3．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（）A．小于60°B．等于60°C．大于60°D．大于或等于60°4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB 的长是（）A．2B．4C．6D．85．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交P A，PB 于点E，F，若P A＝4，则△PEF的周长是（）A．4B．8C．10D．126．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（）A．1B．4﹣2C．2D．4﹣47．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．13D．149．如图，⊙O的直径AB＝8cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数图象是（）A．xy＝16B．y＝2x C．y＝2x2D．xy＝810．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠P＝30°，AP＝12，则CD的长为（）A．2B．3C．2D．4二．填空题11．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P 是AB的中点，则OP的最小值是．12．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是．13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．14．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．15．如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y 轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．三．解答题16．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点A的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求P A的长度．17．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．18．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．19．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠C＝30°．故选：C．2．【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BPC＝∠A＝60°，∵∠A+∠P′＝180°，∴∠P′＝180°﹣60°＝120°，∴当P点在上时，∠BPC＝120°．故选：C．3．【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．故选：A．4．【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．∴AP＝AC，BD＝BP，∴AB＝AP+BP＝AC+BD，∵AC＝5，BD＝3，∴AB＝5+3＝8．故选：D．5．【解答】解：∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE＝CE，FB＝CF，P A＝PB＝4，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝P A+PB＝8．故选：B．6．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，∴OB⊥BC，∵∠A＝15°，∴∠BOC＝2∠A＝30°，∵BC＝2，∴OC＝2BC＝4，OB＝OD＝2，∴DC＝OC﹣OD＝4﹣2．故选：B．7．【解答】解：连接OD，如图，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝，即＝，∴BE ＝．故选：B ．8．【解答】解：连接PE 、PF 、PG ，AP ，由题意可知：∠PEC ＝∠PF A ＝PGA ＝90°，∴S △PBC ＝BCPE ＝×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S △PFC +S △PBG ＝S △PBC ＝4，∴S 四边形AFPG ＝S △ABC +S △PFC +S △PBG +S △PBC ＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S △APG ＝S 四边形AFPG ＝， ∴＝×AGPG ，∴AG ＝， 由切线长定理可知：CE ＝CF ，BE ＝BG ，∴△ABC 的周长为AC +AB +CE +BE＝AC +AB +CF +BG＝AF +AG＝2AG＝13，故选：C ．9．【解答】解：作DF ⊥BN 交BC 于F ，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+CF2，∴（x+y）2＝64+（x﹣y）2，∴xy＝16故选：A．10．【解答】解：∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵∠P＝30°，∴OP＝2OC，∠POC＝90°﹣∠P＝60°，∵AP＝12，即OA+OP＝12，∴3OC＝12，解得OC＝4，∴∠AOC＝120°，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠AOD＝∠COD＝60°，而OD＝OC，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝4．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意，当P在⊙O内，且OP+P A＝OA时，OP有最小值，如图，∵A（8，0），⊙O半径为3，∴OA＝8，OB＝3，∴AB＝8+3＝11，∵P是AB的中点，∴AP＝5，5，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5，∴OP的最小值是2.5，故答案为2.5．12．【解答】解：作OB⊥AB，连接OA，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的半径是3cm．故答案为：3cm．13．【解答】解：如图1所示，S＝r（AB+BC+AC）＝r×42＝21r，△ABC过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，设CD＝x，由勾股定理得：在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，解得：x＝9，∴AD＝12，＝BC×AD＝×7×12＝42，∴S△ABC∴21r＝42，∴r＝2，该圆的最大面积为：S＝πr2＝π22＝4π（cm2），故答案为：4πcm2．14．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC ，作直角△ABO 斜边中线OE ，连接ED ，则DE ＝OC ＝2，AE ＝OB ＝5． 因为AD ＜DE +AE ，所以当DE 、AE 共线时AD ＝AE +DE 最大为7cm ．故答案为：7．15．【解答】解：连接OO 1、AO 1、BO 1，作O 1 D ⊥OB 于D ，O 1 E ⊥AB 于E ，O 1 F ⊥OA 于F ，如图所示：则O 1 D ＝O 1 E ＝O 1 F ＝r 1，∵M 是AB 的中点，∴B （0，2），A （2，0），则S △OO 1B ＝×OB ×r 1＝r 1，S △AO 1O ＝×AO ×r 1＝r 1S △AO 1B ＝×AB ×r 1＝××r 1＝2r 1S △AOB ＝×2×2＝2；∵S △AOB ＝S △OO 1B +S △AO 1O +S △AO 1B ＝（3+）r 1＝2， ∴r 1＝＝﹣1；同理得：r 2＝，r 3＝…∴r n ＝，依此类推可得：⊙O 2014的半径r 2014＝；故答案为：．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠F AO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠P AE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠P AE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CP A，∴，即P A2＝PBPC，∴，解得P A＝．17．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．18．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．19．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝4024.3正多边形和圆一．选择题1．半径为R的圆内接正六边形边长为（）A．R B．R C．R D．2R2．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm3．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．正六边形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对边5．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（）A．EM：AE＝2：B．MN：EM＝：C．AM：MN＝：D．MN：DC＝：26．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（）A．5B．6C．7D．87．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A．B．C．D．128．第六届世界数学团体锦标赛于2015年11月25日至11月29日在北京举行，其会徽如图所示，它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC 全等的四边形依次环绕而成的正七边形．设AD＝a，AB＝b，CF＝c，EF＝d，则该会徽内外两个正七边形的周长之和为（）A．7（a+b+c﹣d）B．7（a+b﹣c+d）C．7（a﹣b+c+d）D．7（b+c+d﹣a）9．用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（）A．mm B．mm C．mm D．mm 10．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC＝30°二．填空题11．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC 是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为．12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A →B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．13．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为．14．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．三．解答题16．已知正方形的面积为2平方厘米，求它的半径长、边心距和边长．17．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝R．故选：B．2．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3，得CD＝1.5，Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴AB＝2BD＝a，∴AD＝＝a，即a＝1.5，∴a＝（cm），故选：A．3．【解答】解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选：C．4．【解答】解：A、正六边形和菱形均具有，故不正确；B、正六边形和菱形均具有，故不正确；C、正六边形具有，而菱形不具有，故正确；D、正六边形和菱形均具有，故不正确；故选：C．5．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝AE＝AB，∠AED＝∠EAB＝108°，∴∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2＝ADAM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝ADAM，设AE＝DE＝DM＝2，∴22＝AM（AM+2），∴AM＝﹣1，（负值设去），∴EM＝BN＝AM＝﹣1，AD＝+1，∵BE＝AD，∴MN＝BE﹣ME﹣BN＝3﹣，∴MN：CD＝：2，故选：D．6．【解答】解：如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°，∴∠1＝108°×2﹣180°＝216°﹣180°＝36°，∵360°÷36°＝10，∵360°÷36°＝10，∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10﹣3＝7．故选：C．7．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，∵OG＝OA cos 30°，∴OA＝＝＝2，∴这个正六边形的面积＝6S＝6××2×＝6．△OAB故选：C．8．【解答】解：如图，∵它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形，∴AM＝BM﹣AB＝AD﹣AB＝a﹣b，FN＝EF+EN＝EF+CF＝c+d，∴内外两个正七边形的周长之和为7（a﹣b）+7（c+d）＝7（a﹣b+c+d），故选：C．9．【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为mm，如图所示：则OB＝，∴BD＝OB sin30°＝×＝（mm），则BC＝2×＝（cm），完全覆盖住的正六边形的边长最大为mm．故选：A．10．【解答】解：∵OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，选项A正确，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，AC＝BC，弧AC＝弧BC，∴＝12，∠BAC＝∠BOC＝15°，∴选项B、C正确，选项D错误，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，连接OE，根据题意可知：AB⊥CD，AE＝AO＝EO，∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOC＝30°，∴EC是该圆内接正12边形的一边，∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，∴EG＝OE＝，＝12×OCEG＝12×1×＝3．∴正12边形的面积为：12S△COE故答案为：3．12．【解答】解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故答案为：21．13．【解答】解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：则∠AEO＝∠AED＝90°，∵∠AOD是正八边形的中心角，∴∠AOD＝＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．14．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．15．【解答】解：连接P A，P A，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为AB＝，边心距OC＝AB＝，对角线长为2，∴半径为1，∴正方形的半径为1，边心距为，边长为．17．【解答】解：延长P A到E，使AE＝PC，连接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴P A+PC＝PE＝PB．即：＝，∴为定值．18．【解答】解：连接CO、DO，∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）＝6（﹣25）＝100π﹣150．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM；（2）解：连接OA、OB、OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵M为的中点，∴∠AOM＝45°，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．24.4弧长和扇形面积一．选择题1．圆锥的母线长为9，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为（）A．18πB．36πC．54πD．72π2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过长度（）cm A．πB．πC．πD．π3．一个圆锥的侧面积是6π，母线长为3，则此圆锥的底面半径为（）A．πB．2C．3D．44．已知扇形的圆心角为120°，半径为5cm，则此扇形的弧长为（）A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm5．一个扇形的圆心角为120°，半径为，则这个扇形的面积是（）A．B．4πC．2πD．π6．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．πcm2B．2πcm2C．4πcm2D．nπcm27．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD，若AC＝10，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．5πB．7.5πC．D．π8．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成树叶形（阴影）图案，则树叶形图案的面积为（）A．B．π﹣2C．2π﹣2D．2π﹣49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且的长度恰好是的倍，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝1，则阴影部分面积为（）A．πB．π﹣1C．+1D．二．填空题11．圆锥的底面半径为5，母线长为7，则圆锥的侧面积为．12．圆锥的高为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积是cm2．13．如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝cm．14．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝2，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，求图中阴影部分的面积．（保留π）17．已知：如图，C为半圆O上一点，AC＝CE，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F．（1）求证：AD＝CD；（2）若DF＝，∠CAE＝30°，求阴影部分的面积．18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．（1）求⊙O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积．19．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．（1）请在图1中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵底面圆的直径为8，∴底面圆的半径为4，∴圆锥的侧面积＝×4×2π×9＝36π．故选：B．2．【解答】解：分针40分钟转过的度数为：360°×＝240°，分针针端转过长度＝＝cm，故选：B．3．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr3＝6π，解得r＝2，即圆锥的底面半径为2．故选：B．4．【解答】解：l＝＝π（cm）．故选：B．5．【解答】解：由扇形面积公式得：，故选：A．6．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm，＝＝4πcm2，∴S阴影故选：C．7．【解答】解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，AC＝10，∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，∠ACB＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠AOD ＝60°，∵S △AOD ＝S △DOC ＝S △BOC ＝S △AOB ，∴S 阴＝2S 扇形OAD＝2×＝ 故选：C ．8．【解答】解：观察图形可知：S 树叶形图案＝2S 扇形﹣S 正方形＝2×﹣22＝2π﹣4故选：D ．9．【解答】解：如图，连接ED ，作AM ⊥EC 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝x ，BC ＝2x ，∵∠C ＝90°，∴x 2+（2x ）2＝5，∴x ＝1，2x ＝2，AC ＝1，BC ＝2，∵∠AMC ＝∠BNC ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACM +∠CAM ＝90°，∠ACM +∠BCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CAM ，∵∠CBN +∠BCN ＝90°，∴∠CAM +∠CBN ＝90°，∵AE ＝AC ，AM ⊥EC ，BC ＝BD ，BN ⊥CD ，∴∠CAE ＝2∠CAM ，∠CBD ＝2∠CBN ，∴∠CAE +∠CBD ＝180°， ∵的长度恰好是的倍，设∠CBD ＝m ，∠CAE ＝n ，∴＝×，∴4m ＝5n ，∵m +n ＝180°，∴m ＝100°，n ＝80°，∴S 阴＝+＝，故选：B ．10．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，OA ＝OB ＝1，∴AC ＝BC ＝， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝2OA ＝2，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转点A 在A ′处，∴BA ′＝AB ＝2，∴BA ′＝2OB ，∴∠OA ′B ＝30°，∴∠A ′BA ＝60°，即旋转角为60°，S 阴影＝S 扇形BAA ′+S △A ′BC ′﹣S △ABC ﹣S 扇形BCC ′，＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′， ＝﹣， ＝﹣＝．故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：根据题意得，圆锥的侧面积＝×2π×5×7＝35π． 故答案为35π．12．【解答】解：∵圆锥的底面半径为2cm ，高为3cm ， ∴圆锥的母线长为cm ，∴圆锥的侧面积为π×2×＝2π（cm ）．故答案为：2π．13．【解答】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝10π（cm），∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝5（cm），故答案为：5．14．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S＝＝10π扇形OBC∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．15．【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD＝＝，BD＝AB＝，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝75°，∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，CM ＝OC ＝＝1，∴S 阴影＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAB +（S 扇形OBC ﹣S △BOC ）＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △BOC ＝+×﹣﹣ ＝1+﹣π．故答案为1+﹣π．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：连接AD ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝2，⊙A 与BC 相切于点D ，则AD ⊥BC ，，，∴∠B ＝30°，，∴S △ABC ﹣S 扇形AMN ＝．17．【解答】（1）证明：∵AC＝CE，∴弧AC＝弧CE，∴∠CAE＝∠B．∵CP⊥AB，∴∠CPB＝90°∴∠B+∠BCP＝90°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ACP+∠BCP＝90°．∴∠B＝∠ACP．∴∠CAE＝∠ACP．（2）解：连接OC，∵∠CAE＝30°，∴∠ACD＝30°，∠COA＝60°．∴∠CDF＝60°．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BCP＝60°．∴∠BCP＝∠DCF＝∠CFD＝60°．∴AD＝CD＝DF＝．∴DP＝AD sin30°＝．∴CP＝CD+DP＝2．（5分）∴S阴影＝S扇形﹣S△AOC＝﹣＝．（6分）18．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴BD＝＝4∴BO1＝BD＝∴⊙O1的半径＝．（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E ∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ABO＝45°∵O1E＝O1B∴∠BEO1＝∠EBO1＝45°∴∠BO1E＝90°∴S1＝S扇形O1BE ﹣S△O1BE＝＝﹣1根据图形的对称性得：S1＝S2＝S3＝S4∴S阴影＝4S1＝2π﹣4．19．【解答】解：（1）如图；（2）∵，∴点P经过的路径总长为6π．。

五年级第1页五年级第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

五年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、一桶油连桶重120千克，用去一半后，连桶还重65千克。

这桶里原有油千克，空桶重千克。

4、今天是星期日，从今天算起，第60天是星期。

5、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处，需要4分钟。

全部锯完需要分钟。

6、如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的边长是厘米.7、苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，苹果还剩7个，梨正好全部吃完。

原来有苹果个。

8、在一次登山活动中，小红上山每分钟行50米，然后按原路下山，每分钟行75米。

小红上山和下山平均每分钟行米。

9、一个数减去16加上24，再除以7得36，这个数是。

10、自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，……问第100个数是。

二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、9999+999+99+9+812、（425×5776—425+4225×425）÷125÷8省市学校姓名赛场参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密封线内不要答题五年级第3页五年级第4页三、解答题。

（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、哥哥和弟弟共有画片38张，弟弟给哥哥3张后还比哥哥多2张，弟弟原有多少张画片，哥哥原有多少张画片？14、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163，那么被除数是多少？除数是多少？15、小明家和小华家在一条直路上，两人从家中同时出发相向而行，在离小明家500米处第一次相遇。

人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 2018·眉山如图所示，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于()A．27°B．32°C．36°D．54°3. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内，则实数a的取值范围是()A．a＞2 B．a＞8C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞84. (2019•益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD5. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少．”答案是()A．3步B．5步C．6步D．8步7. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是()A．1 B．2C．3 D．48. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为()A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定二、填空题9. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．10. 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则直线BC与⊙A的位置关系是________.11. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=.12. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A 上，点________在⊙A外．13. (2019•河池)如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=__________ ．14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．15. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题17. 2020·凉山州模拟如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求AC，AD的长．18. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10.点P在AC上，AP＝2.若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC分别切于点D，E.求：(1)△BAP的面积S；(2)⊙O的半径．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析]∵AB为☉O的切线，∴∠OAB=90°.∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B二、填空题9. 【答案】1610. 【答案】相切11. 【答案】60°[解析]连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与☉O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为60°.112. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO ＝BO＝CO＝DO.设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO＝22＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙A外．13. 【答案】76【解析】∵PA PB 、是O 的切线，∴PA PB PA OA =⊥，， ∴90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，，∴90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴180525276P ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：76．14.【答案】254【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵B C 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图15. 【答案】135°[解析] 连接CE.∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°.∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°.由“边角边”可知△AEC ≌△AEB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°.16. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB 于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD ＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°，而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°，∴∠OCE＋∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．(2)连接BD，如图所示．在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝22AB＝5 2(cm)．18. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.19. 【答案】解：(1)∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝6，∴△BAP的面积S＝12AP·BC＝12×2×6＝6.(2)连接OD，OE，OA.设⊙O的半径为r，则S△BAP＝12AB·r＋12AP·r＝6r，∴6r＝6，解得r＝1.故⊙O的半径是1.24.3正多边形和圆一．选择题1．半径为R的圆内接正六边形边长为（）A．R B．R C．R D．2R2．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b ＝3cm，则螺帽边长a等于（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm3．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．正六边形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对边5．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（）A．EM：AE＝2：B．MN：EM＝：C．AM：MN＝：D．MN：DC＝：26．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A．B．C．D．128．第六届世界数学团体锦标赛于2015年11月25日至11月29日在北京举行，其会徽如图所示，它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形．设AD＝a，AB＝b，CF＝c，EF＝d，则该会徽内外两个正七边形的周长之和为（）A．7（a+b+c﹣d）B．7（a+b﹣c+d）C．7（a﹣b+c+d）D．7（b+c+d﹣a）9．用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（）A．mm B．mm C．mm D．mm 10．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC＝30°二．填空题11．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为．12．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．13．如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边向⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为．14．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．三．解答题16．已知正方形的面积为2平方厘米，求它的半径长、边心距和边长．17．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10；求图中阴影部分的面积．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）求∠BOM的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝R．故选：B．2．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3，得CD＝1.5，Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴AB＝2BD＝a，∴AD＝＝a，即a＝1.5，∴a＝（cm），故选：A．3．【解答】解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选：C．4．【解答】解：A、正六边形和菱形均具有，故不正确；B、正六边形和菱形均具有，故不正确；C、正六边形具有，而菱形不具有，故正确；D、正六边形和菱形均具有，故不正确；故选：C．5．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝AE＝AB，∠AED＝∠EAB＝108°，∴∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴，∴AE2＝ADAM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝ADAM，设AE＝DE＝DM＝2，∴22＝AM（AM+2），∴AM＝﹣1，（负值设去），∴EM＝BN＝AM＝﹣1，AD＝+1，∵BE＝AD，∴MN＝BE﹣ME﹣BN＝3﹣，∴MN：CD＝：2，故选：D．6．【解答】解：如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5＝108°，∴∠1＝108°×2﹣180°＝216°﹣180°＝36°，∵360°÷36°＝10，∵360°÷36°＝10，∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10﹣3＝7．故选：C．7．【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，∵OG＝OA cos 30°，∴OA＝＝＝2，∴这个正六边形的面积＝6S＝6××2×＝6．△OAB故选：C．8．【解答】解：如图，∵它的内围与外围分别是由七个与四边形ABCD全等的四边形和七个与四边形BEFC全等的四边形依次环绕而成的正七边形，∴AM＝BM﹣AB＝AD﹣AB＝a﹣b，FN＝EF+EN＝EF+CF＝c+d，∴内外两个正七边形的周长之和为7（a﹣b）+7（c+d）＝7（a﹣b+c+d），故选：C．9．【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为mm，如图所示：则OB＝，∴BD＝OB sin30°＝×＝（mm），则BC＝2×＝（cm），完全覆盖住的正六边形的边长最大为mm．故选：A．10．【解答】解：∵OA＝AB＝OB，∴△OAB是等边三角形，选项A正确，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，AC＝BC，弧AC＝弧BC，∴＝12，∠BAC＝∠BOC＝15°，∴选项B、C正确，选项D错误，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，连接OE，根据题意可知：AB⊥CD，AE＝AO＝EO，∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOC＝30°，∴EC是该圆内接正12边形的一边，∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，∴EG＝OE＝，＝12×OCEG＝12×1×＝3．∴正12边形的面积为：12S△COE故答案为：3．12．【解答】解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故答案为：21．13．【解答】解：连接OA、OD，过A作AE⊥OD于E，如图所示：则∠AEO＝∠AED＝90°，∵∠AOD是正八边形的中心角，∴∠AOD＝＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∴DE＝OD﹣OE＝﹣1，∴AD2＝AE2+DE2＝1+（﹣1）2＝4﹣2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．14．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．15．【解答】解：连接P A，P A，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OP A＝＝60°，PO＝P A，∴△POA是等边三角形，∴PO＝P A＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OP A＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故答案为：（3，3）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵正方形的面积为2，∴正方形的边长为AB＝，边心距OC＝AB＝，对角线长为2，∴半径为1，∴正方形的半径为1，边心距为，边长为．17．【解答】解：延长P A到E，使AE＝PC，连接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴P A+PC＝PE＝PB．即：＝，∴为定值．18．【解答】解：连接CO、DO，∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）＝6（﹣25）＝100π﹣150．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM；（2）解：连接OA、OB、OM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∵M为的中点，∴∠AOM＝45°，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝135°．人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本大题共10道小题）1. 2019·湖州已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是()A．60π cm2 B．65π cm2C．120π cm2 D．130π cm22. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A．2π B．4πC．12π D．24π3. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是()A．240π cm2B．480π cm2C．1200π cm2D．2400π cm24. 在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°5. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是()A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 26. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°7. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm ，则该圆锥的底面周长是( ) A . 3π cm B . 4π cm C . 5π cm D . 6π cm8. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶99. 如图，一根5 m 长的绳子，一端拴在围墙墙脚的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A 在草地上的最大活动区域的面积是( )图A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2D.7712π m210. 已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以B 为圆心，作如图所示的无滑动旋转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止，扇形工件所在圆的直径为6 m ，则圆心O 所经过的路线长是(结果用含π的式子表示)( )A ．6π mB ．8π mC ．10π mD ．12π m二、填空题（本大题共8道小题）11. 将母线长为6 cm ，底面半径为2 cm 的圆锥的侧面展开，得到如图所示的扇形OAB ，则图中阴影部分的面积为________ cm2.12. 如图所示，有一直径是2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC ，则： (1)AB 的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．13. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．14. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为________．15. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．16. 如图，在圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD＝30°，OC＝4，则挖去圆锥后剩余部分的表面积是________．17.如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝_____ ___．18. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为 6 cm，则该莱洛三角形的周长为________ cm.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).链接听P50例2归纳总结20. 如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°，(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．21. 如图，点A，B，C，D均在圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15.(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．22. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积课时训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] ∵r＝5 cm，l＝13 cm，∴S圆锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.2. 【答案】C[解析] 根据扇形的面积公式，S＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】A[解析] ∵扇形的弧长l ＝2·π·10＝20π(cm)，∴扇形的面积S ＝12lR ＝12×20π×24＝240π(cm 2)．4. 【答案】A [解析] 设长为2π cm 的弧所对的圆心角的度数为n°，则nπR180＝2π，解得n ＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] 设所需扇形铁皮的圆心角为n °，圆锥底面圆的半径为4x ，则母线长为5x ，所以底面圆周长为2π×4x ＝8πx ，所以n180×π×5x ＝8πx ，解得n ＝288.7.【答案】D 【解析】如解图，由题意可知，OA ＝4 cm ，AB ＝5cm ，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求得OB ＝3 cm ，∴该圆锥的底面周长是6π cm.8. 【答案】D9. 【答案】D[解析] 如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5 m ，∴其面积为90π×25360＝25π4(m2)；小扇形的圆心角是180°－120°＝60°，半径是1 m ，则其面积为60π360＝π6(m2)，∴小羊A 在草地上的最大活动区域的面积为25π4＋π6＝7712π(m2)．10. 【答案】A[解析] 如图，∠AOB ＝360°－270°＝90°，则∠ABO ＝45°，则∠OBC ＝45°，点O 旋转的长度是2×45π×3180＝32π(m)，点O 移动的距离是270π×3180＝92π(m)，则圆心O 所经过的路线长是32π＋92π＝6π(m)．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】(12π－93) [解析] 由题意知，扇形OAB 的弧长＝圆锥的底面周长＝2×2π＝4π(cm)，∴扇形的圆心角n ＝4π×180÷6π＝120，即∠AOB ＝120°. 如图，过点C 作OC ⊥AB 于点C.∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝30， ∴OC ＝12OA ＝3 cm ， ∴AC ＝3 3 cm ，∴AB ＝2AC ＝2×3 3＝6 3(cm)， ∴S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝120π×62360－12×3×6 3＝(12π－9 3)cm2.12. 【答案】(1)1(2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r米．根据题意，得2πr＝90·π·1 180，解得r＝1 4.13. 【答案】2π－4[解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S扇形OAB－S△OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故答案为2π－4.14. 【答案】32π cm2[解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．15. 【答案】12π16. 【答案】(16＋8 3)π[解析] ∵∠OCD＝30°，∴∠OCB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴挖去的圆锥的高为2 3，底面圆的半径为2，∴圆柱的高为1＋2 3，则挖去圆锥后该物体的表面积为(1＋2 3)×4π＋π×22＋12×4π×4＝(16＋8 3)π.17. 【答案】13π4－9 [解析] ∵S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.18. 【答案】6π [解析] 以边长为半径画弧，这三段弧的半径为正三角形的边长，即6 cm ，圆心角为正三角形的内角度数，即60°，所以每段弧的长度为60·π·6180＝2π(cm)，所以该莱洛三角形的周长为2π×3＝6π(cm)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)连接OD ，OC ，如图．∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，∴∠CAB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD ＝60°.∵OA ＝OD ，AB ＝4，∴△OAD 是等边三角形，OA ＝OD ＝2.∵DE ⊥AO ，∴AE ＝OE ＝12OA ＝1，∴DE ＝OD2－OE2＝3，∴S 阴影＝S 扇形OAD －S △OAD ＝60×π×22360－12×2×3＝23π－ 3.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵AD ＝AB ，∠D ＝30°，∴∠B ＝∠D ＝30°，∴∠DAB ＝120°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠DAC ＝30°，∴∠BCA ＝60°.∵AO ＝CO ，∴△ACO 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∴∠DAO ＝∠CAO ＋∠DAC ＝90°，即AD ⊥AO.又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线AD 是⊙O 的切线．(2)由(1)知Rt △ADO 中，AO ＝2，∠D ＝30°，∴OD ＝2AO ＝4，∴AD ＝2 3，∴SRt △ADO ＝12×2 3×2＝2 3.∵△ACO 是等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∴S 扇形OAC ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝SRt △ADO －S 扇形OAC ＝2 3－2π3.21. 【答案】解：(1)∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∠ADB ＝∠DBC.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴AB ︵＝AD ︵＝DC ︵，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝DC ，∠BDC ＝90°，∴BC是圆的直径，BC＝2DC，∴BC＋32BC＝15，解得BC＝6，∴此圆的半径为3.(2)设BC的中点为O，由(1)可知点O为圆心，连接OA，OD. ∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°.根据“同底等高的三角形的面积相等”可得S△ABD＝S△OAD，∴S阴影＝S扇形OAD＝60×π×32360＝32π.22. 【答案】13π4解：(1)如图(2)23πa103πa10πa(3)15πa 2(4)①30nπa②m（m＋1）nπa。

初二年级初赛试题姓名_____________ 学校_____________ 得分____________ 一、填空题Ⅰ（每小题6分，共60分）1. 三角形的两条中线长分别为6和9，如果第三边长为整数，那么其最大值为答案：9 解答：如图，根据重心定理得到OB =6，OC =4，BC <4+6=10，故第三边长最大值为2. 如图，小正方形的面积为2，弓形过A 、B 、C 三个格点，那么这个弓形的面积为___________；答案：5.7解答：如图，圆心在O 处，OC =∠AOC =90°,2211=510 5.742S ππ-=-=阴.3. 在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =2，BC =3，E 是AD 的中点，BE 平分∠ABC ，则①CD =1；②CE ⊥BE ；③CE 平分∠BCD ；④12BCE S S ∆=梯形；⑤BE ．成立的结论共有___________个；答案：5解答：5个结论都对．4. 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-=___________；答案：2(1)(2)(5)x x x x -+++解答：原式=222(1)(1)12x x x x +++++- =22(14)(13)x x x x +++++- =2(1)(2)(5)x x x x -+++5. 一个凸多边形的内角均不相等，按从小到大排列后，最小的内角为120°，每一个都比前一个大5°，则这个多边形的对角线为___________条； 答案：27解答：设这个多边形为凸n 边形，(1)1205(2)1802120(1)5180n n n n n -⎧+⨯=-⨯⎪⎨⎪+-⨯<⎩，解得n =9，对角线有9⨯6÷2=27条．6. 如图，正方形ABCD 和菱形DBEF ，延长FE 过C 点，则∠EBC =___________度； 答案：15解答：如图，连结AC 交BD 于O ，过E 作EG ⊥BD 于G ，可以得到12GE BE =，所以∠EBD =30°，∠EBC =45°-30°=15°．7. 正整数m 、n满足915m n +-=___________；答案：3解答：2150--=3)0=30+>5=所以，41m n =⎧⎨=⎩原式=22+31+42412⨯⨯⨯-+=3．8. 如图，一牧童在A 处放马，牧童家在B 处，A 、B 到河岸CD 的距离分别为500米和700米，且CD 长为500米，天黑前牧童从A 点将马牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走_________米； 答案：1300解答：如图，作点A 关于河边的对称点E ，连结BE ，过E 作EF ⊥BF 于根据勾股定理得到BE =1300，即牧童最少走1300米．9. 已知2a ≤，3b ≤，6c ≤，且214a b c --=，则201320142015a b c⨯=答案：112-解答：222223614a b c a b c a b c --≤++≤++≤+⨯+=，当且仅当b 、c 同号、a 与它们异号时取等号．1）当a =2、b =-3、c =-6时，原式=1232(3)1(6)12⨯-=--； 2）当a =-2、b =3、c =6时，原式=123(2)31612-⨯=-． 综上所述：原式=112-．10. 一个直角三角形的两条边之差为2，另一边长为10，那么这个三角形的周长为___________；答案：24或60解答：设其中一边为x ，222(2)10x x ++=或22210(2)x x +=+ 解得x =6或x =24，求得周长为24或60．二、填空题Ⅱ（每小题8分，共40分）11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,M 、N 分别为AB 的三等分点，且CM=，CN=，那么△ABC 的面积为___________cm 2；答案：解答：如图，分别过M 、N 作BC 的垂线，交BC 于D 、E ，设BE =x ，NE =y ， 利用勾股定理列方程组．2222448427x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得正数解2x y =⎧⎪⎨⎪⎩ABC 的面积为(2⨯3)⨯(32=12.已知2013M ++，48124028=13355720132015N -+-+⨯⨯⨯⨯，那么2(21)2M N +=___________；答案：1008解答：2015M ++ 111111111201611335572013201520152015N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC MNAB CMND E原式=20162015201510082⨯=．13. 已知22()()2015c a b b a c +=+=，且b c ≠，则abc =___________；答案：-2015解答：由b c ≠，22()()()()0c a b b a c c b ab ac bc +-+=-++=，得到0ab ac bc ++=，所以2()()2015abc ac bc c c a b =--=-+=-．14. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE =15°，则∠AOE =___________°； 答案：135解答：可证△AOB 为等边三角形，△BOE 为等腰三角形，0006075135AOE ∠=+=．15. 像三棱锥、长方体、五棱台等都是简单的几何体，又叫做多面体，著名的数学家欧拉发现这些多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间的规律为V +F -E =2．根据这个规律，若一个多面体恰好由一些正五边形和正六边形构成，则这个多面体是___________面体；答案：32解答：设正五边形有x 个，正六边形有y 个，1156(56)231(56)22V x y x y E x y F x y V F E ⎧==⨯=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪+-=⎩，解得1220x y =⎧⎨=⎩，所以这个多面体共12+20=32个面．。

P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为　
42016
8
23
≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。

斯诺克神童丁俊晖的故事丁俊晖的早年经历篇一丁俊晖的父母曾是从事副食品生意的普通个体户，父亲丁文钧爱好台球。

8岁时丁俊晖就开始接触台球，不过他真正走上斯诺克台球的道路缘于一次偶然经历。

他在小学三年级暑假时，他父亲与一位当地的台球高手切磋球技。

在其他人的怂恿下，丁俊晖在父亲上厕所的间隙替父亲打了几杆球，竟出人意料地替父亲战胜了对手。

自此，丁父亲便开始有意识地培养儿子的台球兴趣。

望子成龙的父亲为了保证丁俊晖的训练，甚至顶着家庭和社会的各种压力要求丁俊晖就读的学校允许让丁俊晖只修语文和数学，半天学习，半天练球。

另外还放弃原先的生意，自己开了一家球房。

假期里，还送丁俊晖到斯诺克台球环境相对较好的上海接受系统的斯诺克专业训练。

而凭着自己的努力和天赋，丁俊晖很快就在江苏省内崭露头角。

1998年底，家人为了丁俊晖的进一步发展，举家迁往广东东莞。

小学毕业后，台球和学业之间，11岁的丁俊晖选择了完全放弃学业，为东莞的一家台球城打球。

对台球的热情使得他常常是每天训练超过八个小时。

同时那段时间也是丁家生活最为拮据的时期，最后父母把老家宜兴的房子变卖以供丁俊晖继续打球。

丁俊晖人物排名篇二1、世界排名丁俊晖(6)2023年12月3日，世界台联宣布，中国斯诺克选手丁俊晖确定世界排名榜上跃居第一，也是首位登上世界第一的亚洲球员。

2023年4月7日，世界台联7日公布的最新世界排名显示，赢得中国公开赛冠军的丁俊晖已经超过英国选手塞尔比，升至第二位，这也是他职业生涯中世界排名最高的一次。

2023年4月22日，世锦赛首轮比赛，丁俊晖在9-8领先的情况下连丢两局，最终爆冷输给韦斯利。

虽然无缘世锦赛剩余比赛让丁俊晖在积分榜上由第二跌至第三，但小晖仍高居奖金榜榜首。

由于该赛季末斯诺克采取奖金排名的办法，也就是说，丁俊晖仍存在夺取世界第一的可能。

2023年5月6日，年终排名正式采用奖金排名，取代原有的积分排名，塞尔比凭借世锦赛上30万英镑冠军奖金，在最后时刻超越丁俊晖，连续3个赛季荣登年终世界第一、在德国赛夺冠之后，丁俊晖攀升到临时奖金排名榜第一位，然而世锦赛上丁俊晖发挥不佳，首轮便遭淘汰出局。

2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖2015年，中国队在世界奥林匹克数学竞赛（IMO）中国区选拔赛中荣获金奖，这是一项极具荣誉和挑战性的数学竞赛。

在这篇文章中，我们将探讨2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖的相关内容。

世界奥林匹克数学竞赛是一个国际性的数学竞赛，旨在挑战学生的数学思维能力和解决问题的能力。

每年，各国派出代表队参加这一盛事，他们需要在一系列的数学问题中展示自己的才能。

中国队作为其中的一支强队，多年来一直在国际舞台上取得了辉煌的成绩。

2015年的中国区选拔赛是选拔中国队参加世界奥林匹克数学竞赛的关键赛事。

在这个比赛中，中国的数学精英们展示了他们的才华和实力。

经过激烈的角逐，最终有若干名选手脱颖而出，获得了金奖的荣誉。

金奖的获得者们不仅在数学知识方面表现出色，同时也展现了他们的解题能力和创造力。

这些问题往往需要学生们运用数学思维和逻辑推理来解决，而金奖获得者们能够巧妙地运用已有的知识和技巧，将问题一一攻破。

他们的解题过程不仅仅是简单的计算，而是需要他们灵活运用数学工具和方法，思考问题的本质和深层次的逻辑关系。

这些金奖获得者们的成功不仅仅是个人的荣誉，也是中国数学事业的骄傲。

他们的成绩证明了中国数学教育的高质量和培养学生创新思维的能力。

同时，他们的成功也鼓舞了更多的学生对数学的兴趣和热爱，激励他们在数学领域追求卓越。

获得金奖的学生们在数学竞赛中展现出色的表现，也给其他学生树立了榜样。

他们的成功不仅源于他们对数学的深入理解和扎实的基础，更重要的是他们的坚持和努力。

他们每天都投入大量的时间和精力来学习数学，不断解决各种难题，不断提高自己的能力。

正是这种刻苦钻研的精神，让他们能够在竞赛中取得优异成绩。

金奖的获得者们也经历了很多挫折和困难，但他们从不放弃，始终坚持下去。

他们在解题过程中遇到困难时，不畏惧，勇于挑战。

他们学会从失败中汲取经验教训，不断改进自己的方法和策略。

2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖2015年世界奥林匹克数学竞赛中国区金奖是中国数学竞赛史上的一次重大突破。

这是中国队在该年度的世界奥林匹克数学竞赛中所取得的最高荣誉，也是中国数学界的一项重要成就。

在这次比赛中，中国队派出了一支实力强大的队伍，由六名优秀的高中生组成。

在经过了长时间的备战和训练后，他们迎来了这场激烈的竞赛。

世界奥林匹克数学竞赛是全球范围内最具影响力的数学竞赛之一，每年都吸引着来自全球各地的顶尖数学选手参与。

这项竞赛旨在通过一系列严谨且富有挑战性的数学问题，考察选手们的数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。

中国队在比赛中展现出了出色的数学水平和团队合作精神。

他们充分发挥各自的优势，密切合作，共同攻克了一道又一道难题。

他们的解题思路独到，推理严密，解决问题的能力令人惊叹。

其中一道题目是关于数论的，要求选手们证明在一定条件下，存在无穷多个满足特定性质的整数。

中国队的选手们充分运用了数论的基本理论和技巧，通过巧妙的构造和推理，成功地证明了这一命题，给出了详细的解答过程。

他们的解答思路清晰，逻辑性强，将数学的美妙展现得淋漓尽致。

另一道题目涉及几何学中的平面几何知识，要求选手们证明一条特殊的直线与一个已知图形的边相切。

中国队的选手们用几何证明的方法，通过构造与推理，成功地给出了证明过程。

他们的证明思路严密，推理过程清晰，展现了几何学的美妙和严谨。

这次比赛的金奖是中国队多年来对数学竞赛的积极探索和努力的结果。

中国自1985年起参加世界奥林匹克数学竞赛，凭借着一次次的成功和经验，不断提升自己的竞赛水平。

中国队在过去的几十年中，屡获佳绩，多次斩获金牌和奖牌，为中国在国际数学领域的声誉做出了巨大贡献。

这次金奖的获得不仅是中国队选手们的个人荣誉，更是中国数学界的骄傲。

他们的成功彰显了中国数学教育的成果和实力，也为国内其他数学爱好者树立了榜样。

这次金奖的获得将进一步推动中国数学竞赛事业的发展，激励更多的学生对数学的学习和研究。

2015年DI全球决赛实录2015年5月2025日，2015年DI创新思维全球总决赛在美国田纳西州立大学举行，在5月25日晚闭幕式上，五星红旗一次又一次地飘扬在美国田纳西州立大学体育馆内。

中国代表团共派出84支参赛团队700多名师生参加本届赛事，经过与来自17个国家和地区的1468支队伍17000多名选手的较量，最终获得8个前3名、5个特别奖、14个前10名。

其中北京史家小学、北京中关村一小、北京人大附小和上海汇贤中学获得各自组别的第1名。

中国代表团的总成绩仅次于东道主美国队（见表1）。

DI全球赛是一项培养青少年创新思维及创造力的国际性全新赛事。

5～7人1队，比赛分为未来之星组（小学2年级及以下）、小学组、初中组、高中组、大学组5个组别，参加挑战A技术类、挑战B科技类、挑战C艺术类、挑战D 即兴类、挑战E结构类5类赛题其中一个。

每个参赛队要完成团队挑战（上一年度9月公布各个挑战赛题）和即时挑战（现场公布赛题）2部分，团队挑战满分300分，即时挑战满分100分，2个分数相加，分数高者获胜。

本届比赛团队挑战的赛题如下。

挑战A-生物风云要求选手制作1个生物，并以该生物为主角表演1次冒险，使用技术性方法展示故事发生所在世界的特点。

必须在8分钟内完成，且使用材料总花费不超过175美元。

挑战B-制造声波要求设计1个可以产生2种不同声音的神奇发声机；创作出2种可视的声波展示，并融入在表演里；创作并表演1个故事，其中必须包括1次改变故事叙述的速度，加快或是减慢；创作并展示2个能展现队员们的爱好、技能、强项和天赋的参赛队自选项目。

必须在8分钟内完成，且使用材料总花费不超过150美元。

挑战C--恐怖童话要求设计并制作1个假象，将不可能变成似乎可能；创作并表演1个恐怖童话故事，故事发生的地点、年代、真实性都不限；必须有1位患有恐惧症的角色，恐惧症可以是参赛队自创的或实际存在的；表演中有恐惧症的角色必须面对并处理恐惧。

2015amc8答案解析中文2015年AMC8数学竞赛已经结束，相信很多数学爱好者都在等待市面上的答案解析。

这里给大家提供一份中文的解析，让大家更快地了解自己的成绩表现。

首先，我们先来看看AMC8的考试模式。

AMC8是一场60分钟的考试，共25个题目，每个题目分值为1分。

AMC8的内容以中学数学为主，主要测试学生对中学数学知识的掌握和应用。

考试内容涉及到的数学知识包括代数、几何、概率、统计学、数学推理等方面。

接下来，我们就来看看2015年AMC8数学竞赛的部分题目解析。

1. 问题：三个整数的和为2015，其中最小的数是107，那么这三个整数的平均数是多少？解析：三个整数的和为2015，其中最小的数是107，那么另外两个数的和为2015-107=1908。

所以，这三个整数的平均数为（107+1908/2）/3=677。

2. 问题：一个以长度为4和宽度为3的矩形为底的梯形的高为5，那么这个梯形的面积是多少？解析：这个梯形的底由长度为4和长度为3的矩形构成，所以梯形的底长为4+3=7。

梯形的高为5，所以梯形的面积为（4+3）*5/2=17.5。

3. 问题：一个正方体的八个角点与它的中心分别相连，那么这些线段的总长度是多少？解析：八个角点与中心共有8条线段，每条线段的长度为正方体的对角线长度的一半，即（3^0.5 a）/ 2，其中a为正方形的边长。

所以总长度为4*(3^0.5 a)=2(6^0.5 a)，其中a为正方形的边长，所以总长度为2*(6^0.5)=4.24。

以上就是2015年AMC8数学竞赛的部分题目解析，希望对大家有所帮助。

此外，想要在数学竞赛中取得好成绩，不仅要熟练掌握中学数学知识，还需要注重思维能力的培养和提高。

只有多思考、多练习，才能在数学竞赛中取得好成绩！。

第一届世界数学团体锦标赛青年组试题
佚名
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】团体赛 1．已知A,B是两个非空集合．在如图1所示的韦恩图中，定义集合A※B为阴影部分所表示的集合。

【总页数】11页(P33-43)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究
2.穷源竞流话最值,数形结合助析题——一道世界数学团体锦标赛试题引发的思考
3.一道世界数学团体锦标赛试题的探究
4.一道世界数学团体锦标赛试题的另解与随想
5.再谈《一道世界数学团体锦标赛试题的另解与随想》
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2020年第10期10-31一道世界数学团体锦标赛试题的探究邹峰"范广哲$(1.武汉职业技术学院商学院，湖北武汉430074；2.上海市行知中学，上海201999)1问题呈现问题已知a、b>0,且满足a+2b=1.求a +y/ab的最大值.这是一道2017年世界数学团体锦标赛不等式试题，笔者给出其解法，并对其进行拓展,给岀一些变式与推广，希望对读者有所帮助、启发.2问题解答及推广解：引入常数入>0,由均值不等式得：bI------入a+—a+y/ab=a+Xa•—Wa+-----------=7入2(1+l)a+(^)2几令(1+旬=赤=筑解出入=汽二，k=此时a+丿亦Wk(a+26)当且仅当a=~,b=463-/6-时取等号，故a*应的最大值为常数入>0,则a+6+/ab的最大值为1+A+丿入？一入+12A最大值在a二%/入2-入+1+入-1\/入彳一入+1_入+] -------7-------------,b=-—~—2丿入$-入+1-----------------2A丿入2-入+1时取得请有兴趣的读者完变式2已知a、b M0,且满足a+入6二仁其中常数h、k满足0W入Wl,E>0.求a+ J a+62的最小值.解：由柯西不等式得：a +J&+护二a+^/(°2+i2)(cos20+sin20)M a+acos0+6sin0=(1+cos0)a+6sin0,2+^6~~*7T其中0e0,—，贝!j sin0=A(1+cos&)•代入sir?。

+cos20=1,整理得(入$+1)cos20+ 2A2cos0+入2-1=0.1_122A解得cos0=-----,sin0-------，此时1+A21+A2______22ka+J a+62M--------(a+入b)=---------,当且1+A1+A推广类似可得：若a、b>0,且满足入e+ A26=1,其中常数入1、入2〉0,则q+丿石的最仅当cos0bsin01-A2k(l—A2)1+A2b=―时取等号,a+Va2+b21+A3问题变式变式1若a、b>0,且满足°+肮二1,其中的最小值为一?1+A注1：如入>1,则上述方法失效,这种情况是本文最后一个结果的特例,结果是最小值在a=0,b=：时取得，最小值为AA10-322020年第10期注2： 2015年清华大学自主招生不等式试题就属于变式2：若条件为已知a 、b > 0,且满 足 a + tan ab = A ；,其中 a g (0,于)，常数 k >0,则a + J a + b 2的最小值为2kcos 2a ，取等号条件为 a = fccos 2a , b = Esin 2a.变式3 已知a 、b M 0,且满足a + Ab = l,常数A 满足* W 入W2.求a+b + J a + b 2的最小值.解：由柯西不等式得：a + b + J a + Z>2= a + b +^/(a 1 +62)(cos 20 +sin 20) M a + 6 + acos 0 + 6sin 0 = (1+ cos 0) a + ( 1 + sin 0) 6,其中& e o, -y]，则1 + sin 0 = A ( 1 + cos 0 ),sin 0 =Acos 0 + 入 一 1.代入sin 20 +cos 20二1,整理得(入$ + 1)・cos 20 + 2A (A - 1)cos 0 + A 2 - 2A = 0.结合㊁W 入W 2,解得A (1 — A ) + J 2入cos 0 =------1--------------,A 2 + 11 +入+丿2入1 + cos 0 =----1-----------,A 2 + 11 •门、八 八入+入彳+入1 + sin 0 = A (1 +cos 0)=-----------------------,+ A6)= f + ]得 sin 0 二----' /2入. 此时丿°2 + 护 + 口 +A 2 + 1,1 + A +丿2入 b 3---;—-—(a A 2 + 1式当且仅当二=cos 0]+入+ 等亠时成立，即当sin 6A — A 2 + J 2入acos 0cos 0 + 入 sin 0sin 0cos 0 + A sin 0,b(A 2 + 1) 72T~ 1 + A %/2A,时，a + b (A 2 + 1) 72T府市达到最小值号护A +注：变式3可等价表述为：若a 、b > 0,且 满足 a + SinQ ； + = 其中 a e [0,手]，则cos a + 1 2 .a + b + J a +62的最小值为1 + cos a ，取等号条件为(1 + cos a ) cos a (1 + cos a ) sin aa =------------:---,b =------------:---・1 + cos a + sin a 1 + cos a + sin a4问题拓展已知a 、6、c > 0,且满足a+b+c = 6,求 a + 皿 + 海的最大值.(这是《中等数学》2016年增刊陶平生教授出的一道训练题)解：引入常数P > 0, g > 0,由均值不等式得=仁解出1—?c・3『1 4 3___ 4p — Q — ~, k =亍,得 a + Jab + Jabc W 亍(a +1 3?b +c) = 8,当且仅当亍i = 2b = 8c,即 a , b =y, c =扌时取等号，故a + ^/ab + ^abc 的最大 值为8.变式4已知a 、b 、c M 0,且满足a + ~—b +*c = 1.求 a + J a + b 2 + c 2 的最小值.解：引入常数%、y 、z > 0,使%2+/+?=1,由柯西不等式得：a + ^/a 2 +62 + c 2=a + a /( a 2 + b 2 + c 2 ) ( %2 + y 2 + z 2)M (% + 1 )a + yb + zc・2020年第10期数学款学10-33理解越深刻解题越高效姜志远I 潘超$（1•四川省雅安中学，四川 雅安625000； 2.重庆第二师范学院，重庆400065）高中生在数学学习中经常出现“课堂上能 听懂，课堂下不会做”，“老师讲了好多遍，题目练了一大堆,考试还是做不对”的现象,这种现 象俗称为“懂而不会”的现象，反映了学生对数,设 y = +（兀 + , Z = *（兀 + ］） , %2 +y2 +Z 2 =X 2 + —（ X + l ）2 + —（ X + 1 ）2 = 1 ,解得 x =23 MI 而则72 36 2449'丿 49'49此时 a +-J a + b 2 + cM (1+/ b c \72 t z ,2336x)(a + T + T)04=巫，当且仅当a 49i = —, b =49'49?c =—时取等号，故a + y/a + b 2 + c 2的最小值5变式4的推广推广1若a 。

世界少年奥林匹克数学竞赛2015年全国初赛总决赛世界少年奥林匹克数学竞赛 2015年(全国初赛)总决赛选拔赛七年级（A 卷）参考答案一、 选择题(共8题,每题5分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的.请将表示正确答案的英文字母写在答题卷上二、填空题(共20题,每题4分,共80分)初赛□ 决赛□ 地区 学校 姓名 年级 考号 手机 密—————————————————————————封—————————————————————————线世界少年奥林匹克数学竞赛2015年全国初赛总决赛三、解答题(共2题,每题10分,共20分)29. 解：由2111=++z y x ，得，()12x y z x y z ++=+，即2y zx x y z +=++ 同理3111=++x z y ，得3z x y x y z+=++ ； 4111=++y x z 得4x yz x y z +=++带入所求式子z y x 432++=y z x y z ++++z x x y z ++++x yx y z+++ =()2x y z x y z++++= 230. 四个队进行单循环赛，共要赛（4×3）÷2=6场。

如果每场都踢平，则6场比赛四个队共得了（2×6＝）12分；如果每场都分出胜负，则6场比赛四个队共得了（3×6=）18分，因此四队的总得分在12分～18分。

因为四个队的得分是四个连续的自然数，而1＋2＋3＋4＝10，2＋3＋4＋5=14，3＋4＋5＋6＝18，显然，四个队的总得分是14分，各队的得分分别是2、3、4、5分。

根据平分办法：踢平每队各得1分，分出胜负，胜队得3分，负队得0分，可知6场比赛分出胜负的场数：（14－12）÷（3－2）＝2场。

假设A 队得5分，B 队得4分，C 队得3分，D 队得2分。

由C 队得3分，可知C 队与A 、B 、D 队比赛均踢平；由D 队得2分，可知D 队与A 、B 队比赛时一场平一场负；由A 、B 两队得分都高于3分，又只有两场比赛分出胜负，可知A 、B 两队各踢胜一场，又由于5=3＋1+1，4=3＋1＋0，所以A 队一胜两平，B 队一胜一平一负。