工程弹塑性力学-第一章

采用张量下标记号
( ij dij )l j 0 (1.9)
Kroneker delta记号
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
d ij
1, 0,
i i
j j
采用张量表示
方向余弦满足条件：
1 0 0
dij 0 1 0 (1.10)
0 0 1
l12 l22 l32 1 (1.11)
l2
11 1
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2 23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
SN2 1
SN2 2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
SSNN21
l1 l2
(1.7)
0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区
别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
(x, y, z) (x1, x2, x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
xy x xy xz
zx
y yx
B
A
z
y
用张量下标记号法
O
一点的应力状态
11 12 13
x
ij 21
22
23
(1.2)
数学上，在坐标变换时，服从一
31 32 33
下标即1、x、2、y、3表z方示向坐标x1、x2、x3
定坐标变换式的九个数所定义的
量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程
N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
2 、杨桂通
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
A0
ps A
剪应力
过C点可以做无 穷多个平面K
j 1
S
N
2
21l1
22l2
23l3
3
2 jlj
(1.3)
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
SNi ijl j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
P
P
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SOBC SOAC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
3 )l22
1 2
(
2
3 )]
0
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
l1 ( 1
3
)[(1
3
)l12
(
2
3
)l22
1 2
(1
3
)]
0
l2
(
2
3
)[(1
3
)l12
(
2
3 )l22
1 2
(
2
3
)]
0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
l1
0
及l2
0
第一组解：l1
2 2
; l2 0 ; l3
八个面组成的图形，称为八面体。
1
• 八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3 l12 l22 l32 1
l1 l2 l3 1 / 3 (1.19)
或 arccos(l1) arccos(l2) arccos(l3) 5444'
• 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P1 1l1 1 / 3, P2 2l2 2 / 3, P3 3l3 3 / 3 (1.20)
1 3
(12
2 2
2 3
)
(1.22)
• 八面体面上的剪应力为：
8
F8
2
2 8
1 3
(12
2 2
2 3
)
1 9
(1
2
3 )2
1 3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
2 3
J12 3J2
(1.23)
1.1 应力张量
例题: 已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x＝3, y＝0, z＝0,
J1 11 22 33 kk
是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
1 2
(ii kk
ik ki
)
(1.15)
11 12 13 J3 21 22 23 ij
31 32 33
代入式(1.14)后得:
3 3 2 6 8 0 ( 4)( 1)( 2) 0
解得主应力为: 1 4; 2 1; 3 2;
1.2 应力偏量张量
1).应力张量分解
物体的变形
体积改变 形状改变
球应力状态/静水压力
由各向相等的应力状态引起的
弹性性质
材料晶格间的移动引起的
～力学的语言 z
O
x
不同的面上的应 力是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
z
zx
zy yz
y
yx xz x
yz P zy
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x j xk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《固体力学导论》 《A first course in continuum mechanics 》《连续介质力学导论》
1.1 应力张量
3
八面体（每个坐标象限1个面）
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
2
8 P1l1 P2l2 P3l3 1l12 2l22 3l32
1 3
(1
2
3
)
1 3
J1
(1.21) 平均正应力
1
• 八面体面上的应力矢量为：
F8 2 P12 P22 P32 (1l1)2 ( 2l2 )2 (3l3 )2
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
(11 )l1 12l2 13l3 0
21l1 31l1
( 22 )l2 23l3 32l2 (33 )l3
0 0
l12 l22 l32 1
l1,l2,l3不全等于0
11 21 31
12 22
32
塑性性质
ij
d ij
Sij
(1.32)
球形应力张量
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
代入
SSNN21