新浙教版数学八年级下册特殊平行四边形精讲

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线分别交轴于两点．矩形的顶点上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1 A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABC O例题2：如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题3：如图，△ABC中，AD是边BC 上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题4：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．例题5：如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2-） B、（2,2-） C、（3,3-） D、（2,2--）知识点3：正方形考点1: 直角平行四边相等45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理综合应用例题1：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG 于F．求证：．DE AG⊥BF DE∥AF BF EF=+ DCBAEFG例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mx BO MAP N y l mxBE PF 图。

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABCOA DB EOCF x yy（G ）例题2：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题3：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题4：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ．例题5：如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）A 、（2,2-）B 、（2,2-）C 、（3,3-）D 、（2,2--） 知识点3：正方形考点1: 直角 平行 四边相等 45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理 综合应用例题1：如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，于E ，，交AG 于F ．求证：． DE AG ⊥BF DE ∥AF BF EF =+ DC BA EF G例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mxBOMAP N y l mxB E P F 图22。

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABCOA DB EOCF x yy（G ）例题2：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D作DE//AB ，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题3：如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题4：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．例题5：如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2-） B、（2,2-） C、（3,3-） D、（2,2--）知识点3：正方形考点1: 直角平行四边相等45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理综合应用例题1：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG 于F．求证：．DE AG⊥BF DE∥AF BF EF=+ DCBAEFG例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mxBOMAP N y l mxB E P F 图。

初二数学特殊的平行四边形某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：特殊的平行四边形二、重、难点：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

（长方形和正方形都是矩形） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、判定：①矩形：有三个角是直角的四边形。

对角线相等的平行四边形②菱形：四条边相等的四边形。

对角线互相垂直的平行四边形。

③正方形：按照定义。

3、性质：①矩形：四个角都是直角，对角线相等。

②菱形：四条边都相等，对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角。

③正方形：四个角都是直角，四条边相等，对角线相等，互相垂直平分并且每条对角线平分一组对角。

【典型例题】例1、如图，平行四边形ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，BE ⊥DE 于E 。

求证：四边形ABCD 是矩形。

略证：∵平行四边形ABCD ∴对角线AC 、BD 互相平分 又已知△AEC 为Rt △AEC ∴取AC 中点O ，连接OE ∴AC 21OE =同理，对于Rt △BED ，BD 21OE =，∴AC=BD 。

∴四边形ABCD 是矩形（对角线相等的四边形是矩形）例2、△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是BC 中点，P 在BC 的延长线上。

过点P 分别作两腰AB 、AC 的垂线PE ，PF 。

垂足分别为E 、F 。

求证：DE=DF 并且DE ⊥DF 。

略证：∵D 为等腰△ABC 的底边BC 上的中点 ∴连接AD∵∠EAF=∠AFP=∠AEP 为Rt ∠∴四边形AEPF 是矩形（三个角是直角的四边形是矩形） ∴AE=FP=FC ∴BE=AF又可证明)SAS (ADF BDE ∆≅∆∴DE=DF ，∠BDE=∠ADF ∴∠ADE=∠FDP∵∠ADE+∠EDP=90° ∴∠FDP+∠EDP=90° ∴DE ⊥DF例3、如图，AB//CD ，∠ACB=90°，E 为AB 中点，CE=CD ，DE 和AC 相交于点F 。

特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）命题点一：利用性质解决相关问题例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )A．6.5 B．6 C．5.5 D．5命题点二：根据相应的判定方法解题例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ，DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．命题点三：利用图形的轴对称性解题例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE ＝6＋22. 命题点四：利用图形的中心对称性解题例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 的大小为( D )A．35° B．45° C．50° D．55°例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .命题点五：用旋转的方法解决问题例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .命题点六：巧用公式解决面积有关的问题例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为255.命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)A．① B．② C．③ D．④例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3课后练习1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于( C )A ．38B ．23C ．35D ．453．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )A ．310B ．4 5C ．8D ．104．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )A ．1＋ 2B ． 6C ．23－1D ．1＋ 35．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )A．①或③ B．② C．④ D．以上选项都可以6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH ＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB ＝∠NBC＋33°，则∠MPA的度数为 33°.8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE 的值为 4.8 .9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 (t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为103.10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为 160 .11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为4103.12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝C D．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD.(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 (选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝23，BE＝219.求四边形ADPE的面积．解：(2)仍然成立．选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝C A．∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥A D．选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥A D．(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥A D．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥B C．∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝2192－232＝8. ∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，BD＝2BO＝2AB·32＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝2. ∴OP＝5，AP＝AO2＋OP2＝27.S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋12×27×27×32＝3＋73＝8 3.14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝ 30°.则∠BAD的大小为( B )A．25° B．30° C．35° D．45°15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为30＋3344.16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．(1)判断与操作如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．(2)探究与计算已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．(3)归纳与拓展已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b<c)，且它是4阶奇异矩形，求b∶c(直接写出结果)．解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．(2)裁剪线的示意图如下．(3)b∶c的值为15，45，27，37，47，57，38，58.。