复习题
一、判断题 1．若sin 2()cos x
f x x
=
，()2sin g x x =，则()()f x g x =.
( ) 222
0011lim sin
lim limsin 0x x x x x x x →→→=?= ( ) 3
．
cos d x
a
y t t
=?在
x a
=处的
导
数
为
cos a
.
( )
4．若2
lim (,)y kx f x y A =→=对任意k 的都成立，则必有0
lim (,)x y f x y A →→=成5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数00(,)x f x y '，
00(,)y f x y '都存在，则函数在该点不连续。
（ ）
6．微分方程4
2
[,,,()]0F x y y y '''=的通解中含有2个任意常数. ( ) 二、选择题 1．极限20tan sin lim
sin x x x
x x
→-的值为( ).
A ．0
B ．16
C ．1
2
D ．∞
2．设2tan ln cos x
y x x x =+-?，则y '=( ). A ．2
112ln 2cos sin ln 1x
x x x x x
+
--+
B ．211
2ln 2cos sin ln 1x
x x x x x
+
-++ C ．2
12ln 2sec cos sin ln x x x x x x
+-+
D ．12ln 2sec tan cos sin ln x
x x x x x x
+?-+
3．设d (12ln )x
I x x =
+?，则I =( ).
A ．ln(1)x
e C -+ B ．ln 12ln x C ++
C ．
1ln 12ln 2x C ++ D ．1
ln 12ln 2
x + 4．定积分1
d x x
e x -?
的值为( ).
A ．21e -
B ．1
1e - C ．1 D ．1-
5．曲线2
y x =和y =
( ).
A ．13
B ．1
C ．1
2
D ．
32
6．由3
y x =，2x =，0y =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积为( ).
A ．
656π B ．1287 C ．128
7
π
D ．646
π 7．设2
2
ln x
y z e xy +=+，则y z '=( ).
A ．22
12x y xe
x
++ B ．22
12x y xe
y ++ C ．22
1
2x y ye
x
++ D ．2212x y ye y ++
8．设(,)f x y
为连续函数，则1
d (,)d x f x y y ?化为极坐标形式的
二次积分为( ).
A ．1
20
(cos ,sin )d f r r dr π
θθθ??
B ．1
40
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ??
C ．1
40
(,)d f x y rdr π
θ?
?
D ．
1
20
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ?
?
9．0xy y '''-=，满足1|1x y ='=，11
|2
x y ==
的特解是( ). A ．y x =+2414 B ．y x =2
2
C ．y x =-
2
12 D ．y x =-+2
12
10．微分方程(4)
(,,,)0F x y y y '''''=，用变换 ( ) 可降为二阶方程.
A ．y x =
B ．
y p '= C ．y p ''= D ．(4)
y p =
11．设()sin f x x =，则()f x 在0x =处( ).
A ．无定义
B ．左右极限存在但不相等
C ．极限不存在
D ．连续 12．关于函数()f x 在点0x 的导数，下列说法不正确的是( ). A ．
00()()
f x x f x x
+?-?
B ．函数改变量与自变量改变量之比当后者趋于零时的极限
C ．0
00
()()
lim
x x f x f x x x →--
D ．000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-?
三、填空题
1．当a =___时，使得()f x 在0x =处连续，其中
1
sin 0()201
sin 10
x x x f x a x x x x ??
=+=????+>?
.
2．求
()
d 1()f x x f x '=+?___.
3．函数2
2
(,)3f x y x y x =+-的极小值为___.
4．设23
2
2y
z x e x y xy =+-+，求
2z
y x
?=??___. 5．设D ：22
1,0,0x y x y +≤≥≥
，则根据二重积分的几何意义
d D
x y =___.
四、计算题
1．计算极限0lim sin x x
x e e x
-→-.
2．Solve the indefinite integral ：4221
d 1
x x x x +++?
. 3．计算定积分
20
sin d x x x π
?
.
4．设函数(,)z z x y =由3
2
sin()ln()1x z y z y z +++++=所确定，求
z x
??. 五、主观题
1
a b ≤-.
2．在直径为10cm 的半球形容器内盛有深度为3cm 的溶液，求此溶液
的体积.
复习题
一、判断题
二、选择题
三、填空题 1、1-
2、ln 1()f x c ++
3、94
-
4、
22261y z
xe x y y x
?=+-?? 5、
6
π 四、计算题
1、原式0lim x x
x e e x -→-=
0lim 1
x x
x e e →+= 2=
2、原式2222(1)1
d d 11x x x x x x +=+++?? 22
1
d d 1
x x x x =++??
31
arctan 3
x x c =++
3、原式2
00
cos 2
cos d x x x x x π
π
=-+?
分
2
00
2sin 2sin d x x x x ππ
π=+-?
2
02cos x π
π=+2
4π=-
4、令3
2
(,,)sin()ln()1F x y z x z y z y z =+++++- 则
2
3x F x '=
21
12cos()z F z y z y z
'=+++
+ 故22
3112cos()x z F z x x F z y z y z
??=-=-+++
+
五、主观题
1、设2()1f x x =+，在(,)a b
上()f x 满足拉格朗日中值定理条件，根据定理，应有
2
()()()(),(,)1f a f b f a b a b a b ξ
ξξξ
'-=-=
?-∈+
由于2
011ξ
ξ
≤
≤+，因此上式即为
2211a b a b +-+≤-
2、建立坐标如图所示
2
25
(25)d V y y π--=-?
2
3
5253y y π--??
=- ??
?36π=