运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案.doc

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清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案

st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
基可行解
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Z 0 3 0 0 3.5 0 3
0 0 1.5 0 8 0 3
0003500
page 10
0.7 0 0 0 2 2.2 2.2 10
5 13 April 2021
5 5 School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 5x1 2x2 3x3 2x4
(2)
st
2x1x1 22x2x23xx33
4 x4 2 x4
7 3
x j 0, ( j 1,4)
x1 0 0 2/5
page 11 13 April 2021
基可行解
6 x2 2 x2
6 4
x1, x2 0
无穷多最优解，
x1
1, x2
1,Z 3
3是一个最优解
max Z 3x1 2x2
(2)
st.32xx11
x2 2 4x2 12
x1, x2 0
该问题无解
4
School of Management
运筹学教程
page 5 13 April 2021
a=3, j=5, k= -1.5
page 23 13 April 2021
23
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.9 若X(1)、X(2)均为某线性规划问题的
最优解，证明在这两点连线上的所有点也是
该问题的最优解。 max Z CT X
设X (1)和X (2)满足： AX b

运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）

运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。

并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。

1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。

运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案

P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。

其余（非基）变量全等于零。

此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。

或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。

运筹学基础及应用第五版胡运权第三章

例3
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假
定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价表如下，试决定使总的运费最节省的化肥调拨方案。
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为
160万t，四个地区最低需求为110万t ，最高需求为无限。当其它地区都是满足最低需求时，第Ⅳ地区每年最多能分配到60万t ，这样最高需求就是210万t，大于产量。为建立产销平衡表，在表中增加一假想化肥厂D ，其年产量为50万t 。并把各地区的最低需求和额外需求区分开来，建立产销平衡表。
例1
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样一类运输问题：有某种物资需要调运，这种物资的计量
单位可以是重量、包装单位或其他。已知有m个地点可以
供应该种物资（以后通称产地，用 i 1,, m 表示），有 n个地点需要该种物资（以后通称销地，用 j 1,, n 表示），又知这m个产地的可供量（以后通称产量）为（可通写为 a i ），n个销地的需要量（以后 a1 , a2 ,, am
第三章运输问题
§1．运输问题的典例和数学模型
§ 2．表上作业法
§ 3．产销不平衡的运输问题及其应用
§1．运输问题的典例和数学模型
某食品公司经销主要产品之一是糖果，它下面设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为： A1 7t ， A3 9t。该公司把这些糖果分别运往四个地区 A2 4t ，的门市部销售，各地区每天的销售量： B1 3t ， B2 6t， B4 6t 。已知从每个加工厂到各销售门市部每 B3 5t，吨糖果的运价如下表：单位：元/t
产销平衡表
当一个产地的产量不能运往某一个销地的时候，认为运价为M(表示任意大正数)。额外需求部分的销量，由于是否满足都可以，所以假想厂运往这些销地的运价定为 0。

运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析

B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则：当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0，则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的调运方案。
5、运输问题解的情况

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案

3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4 x1 1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
3
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
小于0 ,因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 2 5 ,9 / 5,1,0T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
39
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格,试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
6 4
x1 , x2 0
无穷多最优解
(蓝色线段上的点都是最优解）
x1
6 5
,
x2

运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)

产地Ai（i=1,...,n）分配到销地Bj（j=1,...,n）物资的和=产地Ai的产量ai 销地Bj（j=1,...,n）接收到产地Ai（i=1,...,n）分配的物资和<销地Bj的产量bj
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运筹帷幄之中
第三章
运输问题
决胜千里之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型表上作业法运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量

二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)

表3-37
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。

运筹学胡运权部分课后习题答案

第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。

所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。

P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。

单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。

P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。

两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。

P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。

运筹学(胡运权第三版)第三章运输问题

§1 运输问题及其数学模型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…

x1m x21 x22
1 1 1
…

x2m
1
… xm1
1
解的最优性检验
1.闭回路法闭回路：从空格出发，遇到数字格可以旋转90度，最后回到空格所构成的回路；原理：利用检验数的经济含义；检验数：非基变量增加一个单位引起的成本变化量。当所有非基变量的检验数均大于或等于零时，现行的调运方案就是最优方案，因为此时对现行方案作任何调整都将导致总的运输费用增加。闭回路法的主要缺点是：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解的最优性检验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n

运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析

A1 A2 A3 bj
B1 3 1 7
3
B2 11 9 4
6
B3 3 2
10
5
B4
ai
10 7
84
59
6 20
3、运输问题的数学模型
对于m产n销运输问题，设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资数量，则其数学模型如下：
mn
min z
cij xij
i1 j1
n

xij ai
空格（A3,B1）的闭回路
Ïú µØ ²ú µØ
A1 A2 A3 bj
B1 3
③1
B2
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
9
2
①
84
7
4
⑥
3
6
10 ③
59
5
6 20
31 (7 10 2) (5 3 1) 10
表示新方案的费用要增加10元
空格（A3,B3）的闭回路
Ïú µØ ²ú µØ
x24 1, x23 0, x13 5, x14 2
此时x23=0，可看成非基变量。
得到新的调运方案：
Ïú µØ ²ú µØ
A1
B1 3
B2
B3
B4
ai
11 ⑤
3 ②
10 7
1
A2
③
9
2 ①
84
A3
7
4
⑥
10 ③
59
bj
3
6
5
6 20
该方案就是用沃格尔法得到的初始方案。
其检验数表为
2 - 12 2-1-

运筹学基础及应用运输问题胡运权

x12
…
c21
c22
A2
x21
x22
…
Bn c1n
x1n c2n
x2n
产量 a1 a2
┇
Am 销量
┇
┇
┇
cm
cm
1
2
…
xm1
xm2
b1
b1
…
┇
┇
cmn
xmn
am
bn
1.运输规划问题的典例和数学模型运输问题的求解思路
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
2.表上作业法
计算步骤： (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
运筹学基础及应用
Operations Research
运
第三章
决
筹
胜
帷
运输问题
千
幄
里
之
之
中
Transportation Problem
外
1 运输规划问题的典例和数学模型 2 表上作业法 3 运输问题的应用
CONTENTS
目
录
1.运输规划问题的典例和数学模型
例B33，.1各某产公地司的从产两量个、产各地销A地1、的A销2将量物和品各运产往地三运个往销各地销B地1每, B件2, 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
步骤
描述
方法
第一步求初始基行可行解（初始调运方案）
最小元素法、西北角法、伏格尔法
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验
数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若存在检验数σi j <0，说明还没有达到最优，转第三步。

运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案

运筹学基础及丨、V:用习题解答习题一 P461.1(a)2 = 3。

(b)用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公：it•范W，所以该问题无可行解。

1.2(a)约束方程组的系数矩阵最优解A.=(o，i a o,7，o，o)r(b)约束方程组的系数矩阵 f I 2 3 4、4 = l2 2 I 2,最优解1 = (^,0，11，0^ V55 )"1.3(a)(1)图解法⑵单纯形法首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式max z = 10a-, +5a'2 +0x3 +0a4[3a-. +4 义2 + A3 = 9 si.<[5a-j + 2X2 + a'4 = 8则A，P4组成个猫《=令 A = ;c2 = 0得-站可行解a_ = (0.0.9,8)，山此列出初始单纯形表cr 2 >0， 0 - minj 2Ax2xi =~，a-3 =0, a 4最优解即为严+2X2=24的解x =卩，2V 最大值z : IA"i + X y =5I 2 2 /新的单纯形农为A', Xo X A14 14_5_ _25M ~T?q.qcO ，表明已找到问题垴优解.(b)(1)图解法17(2)单纯形法苘先在外约朿条件.h 添加松弛变M ，将问题转化为标准形式 max z = 2.v, + x 2 + Ox 3 + 0.v 4 + Oa 5 5a'2 + = 15 6.y, + 2x 2 + .v 4 = 240 00 --2 *^4o A :5、Q 0 一4(7,^2 <0,表明已找到问题最优解^ =1，X 2=- , A-32L估• 17Hi Z =——21.6(a)在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量，且令k = jc 2 -a :； (a*2 > 0,.v ； > o)Xx = ~X->该问题转化为max z' = -3a, - x 2 + .v 2 - 2a 3 + 0.v 4 + (Xv 5 2x | + 3a -2 - 3a 2+ 4a 3 +a 4 =12攀 M I4a'| +x 2 -A*2 -2a*3 —^5 =8 3a*, -X 2 +X 2 — 3a*3 = 6A*,, A '2，X 2, x 3，A-4 , A 3 ^ 0-K 约朿系数矩陴为23 -34 I 0 4 丨-1-20-13 -丨丨一3 0 0在A 屮人为地添加两列单位向虽/>7，2 3 -3 4 1 0 0 0 4 丨-1 -2 t) -1 丨 0 3-1 I -3 0 0 0 1令 max z'= -3a -i - x 2 +x 2- 2.v 3 + Oa:., + 0.v 5 - Mx 6 - Mx 7 得初始单纯形表15最大a 4 = 0，x 5SS ^ Xi x 2x 4 x 5 x 6-2 0 0M -M4 10 -I 0 00 0 0-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0-I-5(b)在约朿条件中添加松弛变M 或剩余变M ，.R 令a:3 (jc 3>0,.x ；>0)该问题转化为max z • = 一3^ - 5.v 2 + x ?- x ? + 0,v 4 + Ox 5 x, + 2X 2 + x^- x^-x 4 =6 2.v, + x 2- 3jc 3 - 3^：3 + a*5 = 16 x 2+ 5 a*3 一 5a*3= 10 •v p A ：2，“x 4，A 5^0艽约柬系数矩阵为213-30-1 115-50 0v/ft A 屮人为地添加两列单位向觉p 7, 121-1-1010、2 13-30 100 115 -5 0 0 01、 /令 max z , = -3a*, 一 5,v 2 + .v 3 一 x 3 + 0x 4 + 0x s 一 Mx b - Mx 1衍初始单纯形表0 0 -M - M X. X, X,X, X, X, X, x n-A/ x 616-M x 7 10-3 + 2A/ 5 + 3M 1+6M -1-6M -M 0 0 0(a)解1:大\1法在上述线性规划问题中分别减去剩余变萤x 4，x 6,〜再加上人工变蛩15，17，'，得max z = 2x t - x2 + 2x3 + 0,v4 - Mx s + 0,v6 - Mx7 + 0a8- Mx^-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0A', + X 2 + A ：3 - + JC 5 = 6 -2x l + jc 3 — a*6 + x 1 —2 2x z — j c 3 - a *8+ j c 9 =0a-,,.v 2,a*3,j:4,a:5,^6,x 7,x 8,a-9 >0，r,其中MS 个任意人的正数-据此可列出单纯形表22MMMjc, x 2x 4X5 X6 A-M x s 6 -M x 7一2 —Ma 、00 0 0[2]0 M 02-M 3A/-1 2 + A/ -M 1/2 -1/2 0 0-1/2 -1/2x s-M x,—Ix\ [1]1/2^ 5M 3 … ^… A/ I 1 3A/ 2-M0 ----- + — - M0 -M 0 ------------------ 一十 ---2 2 2 2 2 2-M jr 5 3 2 .v 3 2 -I x 2 I 3/2 -3/2 1/2 -1/2 -11-1/2 1/2 -1/2 1/20 0 0 1 1 03/40 0?>M +3 -5M -3 M-3M4Af+5 0 ■M22 2x, 3/4 A 3 7/2 7/40 00 1 0| 43/8 - 8 8-5/4 -M8山单纯形表计算结果可以ft 出，ct 4 >0且％<0(/ =丨，2，3),所以该线性规划问题有无界解解2:两阶段法。

运筹学第三章课后习题答案

＋1×5＝36
2020/1/1
22
经过调整和检验，得到最后一表3-30才是本问题的最优解即z*=36。
经检查，沃格尔法计算所得结果z=35虽然不是最优解，但是比较接近最优解。
2020/1/1
23
知识回顾 Knowledge Review
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3
3
71 5
1
销量
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ14=6-0+5-4=7
2020/1/1
12
第三个闭回路σ22，走2→1→4→5线路
产地销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3 销量
3
71 5
1
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ22=2-1+4-5=0
量 1 2 34
4 51 34
6 8 302
④
A2 A3 销量
31
2
25
30 8 1 1 5
⑤
3
7 15
1 4 224 ⑥
6
5
6
3
列12 罚22 数3
vj 4
111 11 11 1
②
①⑦
③
2020/1/1
9
从上表计算知：x12=5，x13=3，x21=3，x23=2，x24=3， x33=1。总费用=5×1＋3×4＋3×1＋2×5＋3×0＋ 1×5=35，在上述三种计算方法中，这种方法计算所需运输费用是最省的。但还不知是否最优。现用闭回路法检验如下：闭回路法检验如下：

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其余（非基）变量全等于零。

或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。

246685143228116410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=131421243234其余（非基）变量全等于零。

此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6)。

总运费为（目标函数值）： ∑∑===3141i j ij ij x c Z 244685149228114412=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=三、解的最优性检验⒈ 闭回路法（以下的闭回路都是顺时针方向）看非基变量的检验数是否满足：（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知非基变量分别为：x 11，x 12，x 22，x 24，x 31，x 33。

σ11 = C 11 + C 23 - (C 13 + C 21) = 4 + 3 –( 4 + 2 ) =1σ12 = C 12 + C 34 - (C 14 + C 32) = 12 + 6 –( 11 + 5 ) =2σ22= C 22 + C 13 + C 34 - (C 23 + C 14 + C 32) = 10 + 4 + 6 – ( 3 + 11 + 5 ) = 20 – 19 =1.0≥ij σσ24 = C24 + C13 - (C14 + C23) = 9 + 4 –( 11 + 3 ) = -1σ31= C31 + C14 + C23 - (C34 + C13 + C21) = 8 + 11 + 3 – ( 6 + 4 + 2 ) = 22 – 12 = 10σ33 = C33 + C14 - (C13 + C34) = 11 + 11 –( 4 + 6 ) =12由于σ24 = C24 + C13 - (C14 + C23) = 9 + 4 –( 11 + 3 ) = -1 < 0，所以当前方案不是最优方案。

（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知非= C23 + C14 - (C13 + C24) = 3 + 11– ( 4 + 9 ) = 14-13=123= C33 + C14 - (C13 + C34) = 11 + 11– ( 4 + 6 ) = 22-10 = 1233由于所有非基变量的检验数都大于零，说明当前方案是最优方案，最优解为：x11=12，x14=4，x21=8，x24=2，x32=14，x34=8。

2位势法（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知基变量分别为：x构造方程组：+ v3 = c13 = 4uu1 + v4 = c14 = 11u2 + v1 = c21 = 2u2 + v3 = c23 = 3u3 + v2 = c32 = 5u3 + v4 = c34 = 6令自由变量u1 = 0 ，将其代入方程组，得：u1 = 0，v3 = 4，v4 = 11，u3 = -5，v2 = 10，u2 = -1，v1 = 3，将其代入非基变量检验数：σij=C ij - (u i+ v j)，得：σ11=C11 - (u1 + v1) = 4 – ( 0 + 3 ) = 1σ12=C12 - (u1 + v2) = 12 – ( 0 + 10 ) = 2σ22=C22 - (u2 + v2) = 10 – ( -1 + 10 ) = 1σ24=C24 - (u2 + v4) = 9 – ( -1 + 11 ) = -1σ31=C31 - (u3 + v1) = 8 – ( -5 + 3 ) = 10σ33=C33 - (u3 + v3) = 11 – ( -5 + 4 ) = 12与闭回路法计算的结果相同。

（2）然后对用伏格尔法所确定的初始基本可行解进行检验。

参见前面的计算结果，可知基变量分别为：x13，x14，x21，x24，x32，x34。

构造方程组：+ v3 = c13 = 4uu1 + v4 = c14 = 11u2 + v1 = c21 = 2u2 + v4 = c24 = 9u3 + v2 = c32 = 5u3 + v4 = c34 = 6令自由变量u1 = 0 ，将其代入方程组，得：u1 = 0，v3 = 4，v4 = 11，u3 = -5，v2 = 10，u2 = -2，v1 = 4，将其代入非基变量检验数：σij=C ij - (u i+ v j)，得：σ11=C11 - (u1 + v1) = 4 – ( 0 + 4 ) = 0σ12=C12 - (u1 + v2) = 12 – ( 0 + 10 ) = 2σ22=C22 - (u2 + v2) = 10 – ( -2 + 10 ) = 2σ23=C23 - (u2 + v3) = 3 – ( -2 + 4 ) = -1σ31=C31 - (u3 + v1) = 8 – ( -5 + 4 ) = 9σ33=C33 - (u3 + v3) = 11 – ( -5 + 4 ) = 12与闭回路法计算的结果相同。

四、解的改进（用闭回路法调整）在使用最小元素法求得的初始方案中，由于σ24<0，说明当前方案不是最优，需要改进或调整。

见表1中非基变量x 24所在的闭回路，调整量为ε = min{2,6} = 2。

调整过程见表2：调整后的结果如表3所示，此结果正好与使用伏格尔法求得的结果相同，因此最优性检验过程同前，由于非基变量的检验系数都大于等于零，因此该方案是最优方案，最优解为： x 13=12，x 14=4，x 21=8，x 24=2，x 32=14，x 34=8。

将最优解代入到目标函数中，得总运费为（目标函数值）：∑∑===3141max i j ij ij x c Z 244685149228114412=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=P66： 9.解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表1。

表1一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1. 最小元素法343332312423222131411413121151047829103113min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,06563947342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭第1步，从表1中找出最小运价为1，表示应先将A2的产品供应B1。

在表中A2和B1的交叉格处填上3，得表2。

将表2中的B1列运价划去，得表3第2步，2 1 t物资供应B3。

得表4。

将表4的A2行运价划去，得表5第31B3。

得表6。

将表6的B3列运价划去，得表7。

第4步，在表7未划去的元素中再找出最小运价为4，确定A3的6 t物资供应B2。

得表8。

将表8的B2列运价划去，得表9。

第5步，在表9未划去的元素中再找出最小运价为5，确定A3的3 t物资供应B4。

得表10。

将表10的A3行运价划去，得表11。

第6步，在表11未划去的元素中再找出最小运价为10，确定A1的3 t物资供应B4。

得表12。

将表12的A3行运价划去，得表13。

在表13中，所有元素都被划去，说明在产销平衡表上已得到一个调运方案，即初始基可行解，x13 = 4, x14 = 3, x21 = 3,x23 = 1, x32 = 6, x34 = 5。

（基变量个数：3 + 4―1 = 6）基变量对应的运输量为零，非基变量对应的运输量为零。

运输费用为：Z = 3×4 + 10×3 +1×3 +2×1 +4×6 +5×3 = 12+30+3+2+24+15 = 862. 伏格尔（Vogel)法第1步：在表1中分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表2。

表1表2第2步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。

在表2中，可确定A3的产品应首先供应B2，得表3。

将单位运价表中的列的数字划去，得表4。

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