高二数学试题(选修21)(2020年整理).pptx

高二期末考试数学试题晁群彦一．选择题（每小题5分，满分６0分）１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件２.对于两个命题：①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤， ②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（ ）。

A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真３.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222=-y x B. 1422=-y x C. 1222=-y x D. 13322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点， 则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）A2 B 12C D 13５.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为045直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是（ ）A 8B 16C 32D 64６.在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ）A ．B ．C ．D ．７.已知椭圆12222=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ∆的面积 最大值一定是（ ）A 2a B ab C D ８.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )A ．1B ．51C ． 53D ．57９.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B与1D E所成角的余弦值为（ ）A B C D １０.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为22，则m n的值是( )2.23.22.292. D C B A１１.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10１２.以12422y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）A.1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 141622=+y x D. 二．填空题（每小题４分）１３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：OCOB y OA x OM 31++=其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB等于___１５．若命题P ：“∀x ＞0，0222<--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___．１６．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___．C三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

姓名，年级：时间：模块综合试卷（时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2:x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线l1与l2平行，则a（a＋1）－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．2．命题“若a〉b，则a－1>b－1”的否命题是( ）A．“若a〉b，则a－1≤b－1"B．“若a>b，则a－1〈b－1"C．“若a≤b,则a－1≤b－1"D．“若a<b，则a－1<b－1”答案C解析否命题为“若a≤b,则a－1≤b－1”．3．设k〈3，k≠0，则二次曲线错误!－错误!＝1与错误!＋错误!＝1必有（) A．不同的顶点B．不同的准线C．相同的焦点D．相同的离心率答案C解析当0〈k〈3时,0〈3－k<3,∴错误!－错误!＝1表示焦点在x轴上的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.∴两曲线有相同焦点；当k〈0时，－k〉0且3－k〉－k,∴错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k,b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线错误!－错误!＝1的焦距是（）A．4 B．2错误! C．8 D．4错误!答案C解析依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝错误!＝错误!＝4。

所以焦距2c＝8.5．以双曲线错误!－错误!＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1答案D解析由错误!－错误!＝－1,得错误!－错误!＝1,∴双曲线的焦点为(0，4），（0,－4），顶点坐标为(0，2错误!），（0，－2错误!)．∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

北师大版高二数学选修21试卷及答案姓名：张平安一 选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．x>2是24x >的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既充分又必要条件D. 既不充分又不必要条件2．命题“在ABC 中，若21sin =A ，则A=30º”的否命题是 （ ）A.在ABC 中，若21sin =A ，则A≠30ºB. 在ABC 中，若1sin 2A ≠，则A=30ºC.在ABC 中，若1sin 2A ≠，则A≠30ºD .以上均不正确3．已知命题P ：若a b ≥，则c>d ，命题Q ：若e f ≤，则a b <。

若P 为真且Q的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤的”（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =,b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是A 、c b a ++-2121B 、c b a ++2121 C 、 c b a +-2121 D 、 c b a +--2121 5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A 、平面 B 、直线 C 、圆D 、线段6、已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =⎪⎭⎫⎝⎛--53,1,51给出下列等式：①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(c b a ++=222c b a ++④c b a ⋅⋅)( =)(c b a ⋅⋅其中正确的个数是 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个7.已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4148.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）89.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）810.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）（A ）3（B ）11（C ）22（D ）1011.过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于（ ）（A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4a12. 假如椭圆193622=+yx 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x 二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的 否定形式是 否命题是14.与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3方程 。

慈溪市2011学年度第一学期高二年级期末考试数学（理科）参考答案及评分标准（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABCACDDC二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11.若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不一定互为负倒数；真[①写成否命题形式的：若两条直线不互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，真，可给2分； ②写成这种形式的：若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，假，可给2分．] 12.255 13. 35514. 20x y +-= 15. 16π 16.①②④⑤[若出现③，则本题不给分；每少一个扣1分] 17. 24(0)y x x =≠[不写0x ≠，则扣1分] 三、解答题（本大题共5小题，共72分）18.(本小题满分14分）解.（1）在图2中，过D 作DG AC ⊥，垂足为G ……………………………………2分 Q 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD I 平面ABC =AC ， DG ⊂平面ACD∴DG ⊥平面ABC ………………………………………………………………4分又Q BC ABC ⊂平面，∴DG ⊥BC 即BC DG ⊥ ………………………………5分Q 90ACB ∠=︒即BC AC ⊥Q AC DG G ⋂=，且,AC DG ACD ⊂平面 ∴BC ⊥平面ADC ….…………7分（2）连结BG ，Q DG ⊥平面ABC ，∴DBG ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角，且DG BG ⊥ ………………….………9分 在Rt ACD V 中，=2DG ，2AG =在Rt ABC V 中,AB=4,2222cos 4510BG AG AB AG AB =+-⋅︒=,10BG = …10分在Rt DGB V 中，5tan 5DG DBG BG ∠==………………………………………………11分（3）1133D ABC ABC V sh DG S -==⋅V 423= ………………………………..……. 14分[公式1分,结论2分]19.(本小题满分14分）解.（1）设圆N 的圆心(,)N a b ,则(,)N a b 和点M (2,2)--关于直线20x y ++=对称∴222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0a =,0b = (4)分∴圆N 的方程为222x y r +=Q 圆N 过点(1,1)P ，∴由(1,1)P 代入圆N 方程得22,2λλ== …………...………6分 ∴圆N 的方程为222x y +=…………………………………………………………..……7分（2）设(,)Q x y ，Q (2,2)M --∴(1,1)PQ x y =--u u u r ，(2,2)MQ x y =++u u u u r∴(1)(2)(1)(2)PQ MQ x x y y ⋅=-++-+u u u r u u u u r224x y x y =+++- (10)分又Q Q 在圆N 上，∴222x y +=∴2PQ MQ x y ⋅=+-u u u r u u u u r (11)分Q222()22x y x y ++≥当且仅当x y =时取“=” ∴22x y -≤+≤ (13)分故PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为4-（此时1x y ==-）[不写“此时1x y ==-”不扣分了！] (14)分20.(本小题满分14分）解.以A 为原点，AF u u u r 为z 轴，AB u u u r 为x 轴，AD u u u r为y 轴，建立空间直角坐标系，……1分设1AB =∴(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ，11(,1,)22M ……………………………………………………………………………..….…3分（1）Q (1,0,1)BF =-u u u r ，11(,1,)22DM =-u u u u r ………………………………………5分Q 110022BF DM ⋅=-++=u u u r u u u u r∴BF DM ⊥u u u r u u u u r，即BF DM ⊥………………………………………….………………..…7分（2）设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0n CE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r…………………..……9分 又(1,0,1)CE =-u u u r ，(0,1,1)DE =-u u u r∴00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，又可令1x =，则(1,1,1)n =r (11)分又易证平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)v =r………………………………………….…12分∴0013cos ,3||||31u v u v u v ⋅++<>===⋅⨯r rr r r r 故二面角A CD E --的余弦值为33………………………………………………….…14分 21.(本小题满分15分）解.(1)由直线的截距式方程可知，线段AB 的方程为133x y+=，即30(03)x y x +-=≤≤…………………………………………..…………3分 (2)当直线l 的斜率不存在时，符合条件，此时公共点的横坐标为0x =…………………4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，则:3(0)l y k x -=-，即3y kx =+…………………5分由223()401y kx x k m x y x mx =+⎧⇒+-+=⎨=-+-⎩ 由条件必有0=V ，即2()160k m --=，4k m -=±…………………………….…..…8分∴此时2440x x ±+=，2x =±…………………………………………………………..10分故当直线l 与抛物线C 只有一个公共点时，此公共点的横坐标为0或2-或2. .………11分 (3)必要性：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点∴方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解消去y 得2(1)40(03)x m x x -++=≤≤∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同的实数根令2()(1)4f x x m x =-++∴必须有2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V 即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解得1033m <≤……………...…14分充分性：当1033m <≤时，对方程:2(1)40x m x -++= Q 2211(1)161(1)022m m m m x +-+-+-+=>=22210101(1)161(1)1633322m m x +-+-+++-=≤=∴方程2(1)40x m x -++=有两个不同实数根，且满足1203x x <<≤即方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同实数解故综上讨论得，所求的充要条件为1033m <≤.…………………………………………..15分 【或（3）另解：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点的充要条件是方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解 (12)分即方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤有两个不同的实数根 令二次函数2()(1)4f x x m x =-++∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同实数根的充要条件是二次函数()y f x =与x 轴有两个不同交点，且交点均在区间[0,3]内…………………………...13分 Q 二次函数()y f x =与x 轴在区间[0,3]上有两个不同交点的充要条件是2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V ，即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解之得1033m <≤………………………15分故所求的充要条件为1033m <≤.】 22.(本小题满分15分）解.（1）由已知得： 22222325c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=….5分 （2）αβπ+=为定值. ……………………………………………………………………6分 由（1）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)BQ 21//l A B ∴2112l A B k k ==-故可设直线l 的方程为12y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ………………….……7分由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->V ，即22m -<<…………………………………………8分12212222x x mx x m +=⎧⎨=-⎩………………………………………………………………..………….…9分Q ,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠∴111tan 2A P y k x α==+，1221tan B Q y k x β-==…………………………………………11分 ∴tan tan αβ+=121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+2112211222(2)x y x y y x x x +---+ Q 1112y x m =-+，2212y x m =-+……………………………………………...………12分 ∴tan tan αβ+=21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0= ……………………………… 13分 ∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==- (1)4分又Q ,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈故αβπ+= .……………………………………………………………….………….....15分[理科考试范围： 必修②：1、空间几何体；2、点、直线、平面之间的位置关系；3、直线与方程；4、圆与方程．选修2-1：1、常用逻辑用语；2、圆锥曲线与方程；3、空间向量与立体几何．]。

高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。

北师大版高二数学选修21测试试题及答案命题人：铁一中 周粉粉（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．假如方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范畴是（ ） A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(0, 1)D ． (1, +∞)3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12C.10D.8 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．3Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．3 9．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线，则k 的取值范畴是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）（A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，假如甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。

高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。

高中数学学期综合测评新人教A 版选修21学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 D解析 ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1,0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .2．有下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则xy ＝0”的否命题； ②“若x ＞y ，则x 2＞y 2”的逆否命题； ③若“x ≤3，则x 2－x －6＞0”的否命题； ④“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，否命题是“若x 2＋y 2≠0，则xy ≠0”，例如，x ＝－3，y ＝0时，x 2＋y 2≠0，但xy ＝0，是假命题；对于②，逆否命题是“若x 2≤y 2，则x ≤y ”，例如x ＝0，y ＝－1时，x 2≤y 2，但x ＞y ，是假命题；对于③，否命题为“若x ＞3，则x 2－x －6≤0”，例如x ＝4时，x 2－x －6＞0，是假命题； 对于④，“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题． 所以真命题的个数为0.故选A.3．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1 D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1答案 C解析 由特称命题的否定的定义即知．4．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316 B.38 C.163 D.83答案 A解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.①又双曲线的离心率e ＝c m＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316. 5．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，所以命题p 为假；函数y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π，k ∈Z ，所以命题q 为假，所以綈q 为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假．6．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2答案 C解析 由题意可知k >0且9－k 2＝k ＋3，所以k ＝2. 7．k ＝±52是直线y ＝kx －1与曲线x 2－y 2＝4仅有一个公共点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.当k 2＝1，即k ＝±1时，有唯一解． 当k 2≠1且Δ＝0时，也有唯一解，此时k ＝±52所以k ＝±52是直线y ＝kx －1与曲线x 2－y 2＝4， 仅有一个公共点的充分不必要条件．8．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1 答案 B解析 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3 ，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15. 9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.94 答案 D解析 由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°. ∴|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2|AC |＝|AA 1|＝|BC |＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则|AD |的长为( )A. 2B. 3 C ．2 D.22答案 A解析 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0，2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则D 点的坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设m ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝2，故选A. 11．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0) C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1＜x ≤0) 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝y x ＋4＝－x2y⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4， AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．12．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．14．以等腰直角三角形ABC 的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．答案22解析 设等腰直角三角形的直角边长为l ，则其斜边长为2l ，由题意可知，焦距2c ＝2l ，c ＝22l ，由椭圆的定义可知2a ＝2l ，a ＝l ，所以离心率e ＝c a ＝22. 15．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为________．答案 x 2－y 28＝1(x ＞1)解析 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2，∴点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故双曲线的方程是x 2－y 28＝1(x＞1)．16．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 答案355解析 直线AB 的方程为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，则点P 到直线AB 的距离d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值＝5－12＋338×38＝－219.18．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解 p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立，即Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．19．(本小题满分12分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：(1)CE ∥平面C 1E 1F ； (2)平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明 如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，∴CE →⊥n . 又∵CE ⊄平面C 1E 1F ，∴CE ∥平面C 1E 1F . (2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，。

.数学选修 2-1 综合测评时间： 90 分钟 满分： 120 分一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 )1．与向量 a ＝(1，－ 3,2)平行的一个向量的坐标是 ()1，1，1B ． － ，－ A. 3( 13,2)C. －1，3，－ 1D ．( 2，－ 3，－ 2 2)22解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即 b ≠0，a ∥b? a ＝λb ，a ＝(1，－ 3,2)＝－1 1 3，故选 C.－ ， ，－1 2 2答案： C．若命题 ： π π? x∈ － ， ，tan x>sin x ，则命题 綈 p ：()2 p 2 2π πA ．? x 0∈ －2，2 ，tan x 0≥sin x 0π πB ．? x 0∈ －2，2 ，tan x 0>sin x 0π πC ．? x 0∈ －2，2 ，tan x 0≤sin x 0ππD ．? x 0∈ －∞，－ 2 ∪ 2，＋∞ ，tan x 0>sin x 0解析： ? x 的否定为 ? x 0，>的否定为 ≤，所以命题綈 p 为? x 0∈π π－2，2 ，tan x 0≤sin x 0.答案： C3．设 α，β是两个不重合的平面， l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是 ()A ．l? α，m? β且 l ∥β，m ∥αB ．l? α，m? β且 l ∥mC ．l ⊥α，m ⊥β且 l ∥mD ．l ∥α，m ∥β且 l ∥m解析：由 l ⊥α，l ∥m 得 m ⊥α，因为 m ⊥β，所以 α∥β，故 C 选项正确．答案： C2 2 ．以双曲线 x － y＝－ 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程4412为()x2y 2x2y2A. 16＋12＝1B.12＋16＝1x 2 y 2x 2 y 2 C.16＋ 4 ＝1 D. 4＋16＝1x 2 y 2 y 2 x 2 解析：由 4－12＝1，得 12－ 4 ＝1.∴双曲线的焦点为 (0,4)，(0，－ 4)，顶点坐标为 (0,2 3)，(0，－ 2 3)．x 2 y 2∴椭圆方程为4 ＋16＝1.答案： D5．已知菱形 ABCD 边长为 1，∠ DAB ＝60°，将这个菱形沿 AC折成 60°的二面角，则 B ，D 两点间的距离为 ()31 3 3A. 2B.2C.2D.4解析：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，则 AC ′⊥BD ，沿 AC折叠后，有 BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角 B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.1 1因为 OB ＝OD ＝2，所以 BD ＝2. 答案： B．若双曲线 x2 2相切，则－y＝1 的渐近线与圆 (x － 3)2＋y 2＝r 2(r>0) 66 3r ＝()A. 3 B ．2 C ．3 D ．6x 2 y 22解析：双曲线6 － 3 ＝1 的渐近线方程为 y ＝±2 x ，因为双曲线的渐近线与圆 (x －3)2＋ y 2＝r 22(r>0)相切，故圆心 (3,0)到直线 y ＝±2 x 的.| 2×3±2×0|距离等于圆的半径 r，则 r＝＝ 3.2＋4答案： A．在长方体ABCD －1111中，底面是边长为 2 的正方形，高7ABCD为 4，则点 A1到截面 AB1D1的距离为 ()8343A.3B.8C.3D.4→→→解析：取DA，DC，DD 1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面 AB1D1的法向量为 n＝(2，－2,1)．故 A1到平面 AB1D1→|AA1·n| 4的距离为 d＝|n|＝3.答案： C8．等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点， |AB|＝43，则 C 的实轴长为 ()A. 2 B．2 2 C．4 D．8解析：抛物线 y2＝16x 的准线方程是＝－，所以点A(－4,2 3)x4在等轴双曲线 C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点 A 的坐标代入得 a＝2，所以 C 的实轴长为 4.答案： C.9．如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M ，N 分别为 A 1B 1，CC 1的中点， P 为 AD 上一动点，记 α为异面直线 PM 与 D 1N 所成的角，则 α的集合是 ()πA. 2ππB. α6≤α≤2π π C. α4≤α≤2ππD. α3≤α≤2解析：取 C 1D 1 的中点 E ，PM 必在平面 ADEM 内，易证 D 1N ⊥平面 ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案： A2210．已知 P 是以 F 1，F 2为焦点的椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)上的一点，ab→ → 2＝1，则此椭圆的离心率为 ()若PF 1· 2＝0，tan ∠PF 1 PFF21215A. 2B.3C.3D. 3→ →＝1，解析：由PF ·＝，得△为直角三角形，由∠1 PF20PF1F2tan PF1F22设|PF2|＝s，则 |PF1|＝2s，又 |PF2|2＋|PF1|2＝4c2(c＝a2－b2)，即 4c253s c5＝5s2，c＝2 s，而 |PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝2，∴e＝a＝3，故选D.答案： D二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )11．若命题“ ? x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ________．解析：原命题的否定形式为 ? x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0 恒成立，∴只需＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－ 2 2≤a≤2 2.答案： [－2 2，2 2]12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足→→OP·OA＝4，则动点 P 的轨迹方程是 __________．→→解析：由OP·OA＝4 得 x·1＋y·2＝4，因此所求动点 P 的轨迹方程为 x＋2y－4＝0.答案： x＋2y－4＝013．在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为边长是 1 的正方形，PA＝2，则 AB 与 PC 的夹角的余弦值为 __________．→ →→ →→＝→ →→ →××解析：因为 AB·＝· ＋AC)· ＋· ＝2cosPC AB (PA AB PA ABAC 1→→45°＝1，又 |AB|＝1，|PC|＝6，→ →→→AB·PC 1 6 ∴cos 〈AB，PC〉＝→ →＝1×6＝6 .|AB||PC|6答案：614．过双曲线 C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2b2a2的两条切线，切点分别为 A，B.若∠ AOB＝120°(O 是坐标原点 )，则双曲线 C 的离心率为 __________．解析：由题意，如图，在Rt△AOF 中，∠AFO＝30°，AO＝a， OF＝ c，OA a 1∴sin 30 ＝°OF＝c＝2..c∴e＝a＝2.答案： 2三、解答题 (本大题共 4 小题，共 50 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )15．(12 分)已知命题 p：不等式 |x－1|>m－1 的解集为 R，命题 q：f(x)＝－ (5－2m)x是减函数，若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数 m 的取值范围．解：由于不等式 |x－1|>m－1 的解集为 R，所以 m－1<0，m<1；因为 f(x)＝－ (5－2m)x是减函数，所以 5－2m>1，m<2.即命题 p：m<1，命题 q：m<2.因为 p 或 q 为真， p 且 q 为假，所以 p 和 q 中一真一假．m<1，当 p 真 q 假时应有m 无解．m≥2，m≥1，当 p 假 q 真时应有1≤m<2.m<2，故实数 m 的取值范围是 1≤m<2.x2y22 16．(12 分)已知椭圆b2＋a2＝1(a>b>0)的离心率为2，且 a2＝2b.(1)求椭圆的方程；.使线段 AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5 上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．c2解得 a ＝ 2，解： (1)由题意得 a ＝ 2 ，a 2＝2b ，c ＝1，所以 b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆的方程为 x 2＋y 2＝1.2(2)设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段 AB 的中点为 M(x 0，y 0)．联立直x 2＋ y 22＝1，2 2线与椭圆的方程得即 3x ＋2mx ＋m －2＝0， ＝x －y ＋m ＝0，(2m)2－4×3×(m 2－2)>0，m 2<3，所以 x 0＝ x 1＋x 2m2 ＝－3 ，y 0＝x 0＋m ＝2m m 2mm 2m 3 ，即 M － 3， 3 .又因为 M 点在圆 x2＋ y 2＝5 上，所以 －32＋ 32＝5，解得 m ＝±3 与 m 2<3 矛盾．∴实数 m 不存在．． 分 )已知点 ，圆 ： －m) 2＋y 2＝9过点A 3 2 ，17 (13 P(1,3) C (x21，－2点 F 为抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点，直线 PF 与圆相切．(1)求 m 的值与抛物线的方程；→ →(2)设点 B(2,5)，点 Q 为抛物线上的一个动点，求 BP ·BQ 的取值范围．解： (1)把点 A 代入圆 C 的方程，得;..(1－m)2＋－3222＝29，∴m＝1.9圆 C：(x－1)2＋y2＝2.当直线 PF 的斜率不存在时，不合题意．当直线 PF 的斜率存在时，设为k，则 PF：y＝k(x－1)＋3，即 kx－y－k＋3＝0.∵直线PF 与圆 C 相切，3 2∴k2＋1＝2 .|k－0－k＋3|解得 k＝1 或 k＝－ 1.当 k＝1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为－ 2，不合题意，舍去．当 k＝－1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为4，p＝16x.∴＝4.∴抛物线方程为 y22→(2)BP＝(－1，－ 2)，→设 Q(x，y)，BQ＝(x－2，y－5)，则→→BP·BQ＝－ (x－2)＋(－2)(y－5)y2＝－ x－2y＋12＝－16－2y＋12;..1＝－16(y＋16)2＋28≤28.→→∴BP·BQ的取值范围为 (－∞，28]．18．(13 分)如图，在四棱锥A－BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明： AD⊥ CE；(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°，求二面角 C－AD－E 的余弦值．解：;..①(1)证明：作 AO⊥BC，垂足为 O，则 AO⊥底面BCDE，且 O 为 BC 的中点．以 O 为坐标原点，射线OC 为 x 轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系 O－xyz.设 A(0,0，t)．→由已知条件知 C(1,0,0)，D(1，2，0)，E(－1，2，0)，CE＝(－→2，2，0)，AD＝(1，2，－ t)，→→所以 CE·AD＝0，得 AD⊥CE.(2)作 CF⊥AB，垂足为 F，连接 FE，如图②所示．→→②设 F(x,0，z)，则 CF＝(x－1,0，z)，BE＝(0，2，0)，→ →CF·BE＝ 0，故 CF⊥BE.;..又 AB ∩BE ＝B ，所以 CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角，∠CEF ＝45°.由 CE ＝ 6，得 CF ＝ 3.又 CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此 A(0,0， 3)．作 CG ⊥AD ，垂足为 G ，连接 GE.2在 Rt △ACD 中，求得 |AG|＝3|AD|.→ 1，－ 2 2，－故 G 2，2 2，3 ，GC ＝ 3 ，3 3 3 3 3 3 → 2，－ 3 .GE ＝ －5，3 3 3→→ → → → 又AD ＝(1， 2，－ 3)，GC ·AD ＝0，GE ·AD ＝0，→ →所以 GC 与GE 的夹角等于二面角 C －AD －E 的平面角．→ →→ →GC ·GE10故二面角 C －AD －E 的余弦值 cos 〈GC ，GE 〉＝ → → ＝－ 10.|GC||GE|;.。

1.已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点P 满足P A ＋PB ＝3，则动点P 的轨迹是________． 解析：由P A ＋PB ＝3>AB 结合椭圆的定义有：动点P 的轨迹是以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆．答案：以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆2.已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M 满足|MA －MB |＝4，则动点M 的轨迹为________． 解析：动点M 满足|MA －MB |＝4＝AB ，结合图形思考判断动点M 的轨迹为直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线．答案：直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线3.到两定点F 1(0，－10)，F 2(0，10)的距离之和为20的动点M 的轨迹是________．解析：MF 1＋MF 2＝20＝F 1F 2，故动点M 为线段F 1F 2上任意一点，即动点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案：线段F 1F 24.到定点(2，1)和定直线x ＋2y －4＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：点(2，1)在直线x ＋2y －4＝0上，不符合抛物线定义．答案：过点(2，1)且和直线x ＋2y －4＝0垂直的直线5.(2012·马鞍山学业水平测试)已知动点P (x ，y )满足（x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是________．解析： （x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2即动点P (x ，y )到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P 的轨迹是双曲线的一支．答案：双曲线的一支[A 级 基础达标]1.动点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .答案：椭圆2.已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF 1－PF 2＝10的点P 的轨迹应是一条射线． 答案：一条射线3.动点P 到直线x ＋2＝0的距离减去它到M (1，0)的距离之差等于1，则动点P 的轨迹是________．解析：将直线x ＋2＝0向右平移1个长度单位得到直线x ＋1＝0，则动点到直线x ＋1＝0的距离等于它到M (1，0)的距离，由抛物线定义知：点P 的轨迹是以点M 为焦点的抛物线．答案：以点M 为焦点的抛物线4.动点P 到定点A (0，－2)的距离比到定直线l ：y ＝10的距离小8，则动点P 的轨迹为________．解析：将直线l ：y ＝10沿y 轴向下平移8个单位，得到直线l ′：y ＝2，则动点P 到A (0，－2)的距离等于到定直线l ′：y ＝2的距离，故点P 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．答案：圆6.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．7.若动点P到两个定点F1(－1，0)、F2(1，0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，试求动点P的轨迹．解：当a＝0时，|PF1－PF2|＝0，从而PF1＝PF2，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．当a＝2时，|PF1－PF2|＝2＝F1F2，所以点P的轨迹为两条射线．当0<a<2时，|PF1－PF2|＝a<F1F2，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．[B级能力提升]8.过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．解析：分A点与B点是否重合两种情况讨论．答案：圆或椭圆9.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．①点M的轨迹是抛物线；②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；③点M的轨迹是抛物线或一条直线．解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F 在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．答案：③10.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MC＝r－ 2.∴MA＝r，∴MA－MC＝2，且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．11.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l 上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结P A，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，∴AN也垂直平分PB.∴四边形P ABN为菱形，∴P A＝PN.∵AB⊥l，∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。

模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题 解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a >b ，命题q ：tan 2A >tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a >b ⇔A >B .命题q ：tan 2A >tan 2B ⇔sin(A ＋B )sin(A －B )>0⇔A >B ，显然p 是q 的充要条件，故选C.答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系． 设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c成立．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P－ABC 中，取PA→，PB→，PC→分别为向量a，b，c，则a，b，c两两共面，但a，b，c不共面，故②不正确；在三棱锥P－ABC中，取AB→，BC→，CA→分别为向量a，b，c，则对向量PA→，不存在实数x，y，z使得PA→＝x a＋y b＋z c成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.答案：A8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为()A．1 B．5 2C．62D．32解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)， 所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C. 答案：C10．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，则直线B 1B 和平面CDB 1所成角的正切值为( )A ．2 2B ．322C ． 2D ．22解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC ＝BC ＝CC 1＝1， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (12，12，0)，B 1(0,1,1)，CD →＝(12，12，0)，CB 1→＝(0,1,1)，B 1B →＝(0,0，－1)．设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0，不妨取n ＝(1，－1,1)，所以cos 〈n ，B 1B →〉＝n ·B 1B →|n ||B 1B →|＝－13＝－33.设直线B 1B 和平面CDB 1所成角为α，则sin α＝33， 故cos α＝63，tan α＝22.11．已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A ．83B ．163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为__________．解析：当m >0，n >0时，可设a ＝3k ，b ＝4k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝53；当m <0，n <0时，可设a ＝4k ，b ＝3k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝54.答案：53或5415．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__________.解析：如右图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－1216. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1－AB 1－C 的余弦值．解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)．∴CA 1→·C 1A →＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，CA 1→·C 1B 1→＝4×0＋0×3＋4×0＝0. ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (2)由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝03y ＋4z ＝0，即x ＝0，令y ＝4，则z ＝－3，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0,4，－3)． 由(1)知，CA 1→是平面AB 1C 1的一个法向量， cos 〈n ，CA 1→〉＝n ·CA 1→|n ||CA 1→|＝－12202＝－3210.由图可知，二面角C 1－AB 1－C 为锐角， 故二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝32，连结CE 并延长交AD于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (0，3，0)，P (0,0，32)，故BC →＝(12，32，0)，CP →＝(－32，－32，32)，CD →＝(－32，32，0)．设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧ 12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝(1，－33，23)． 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧－32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24.22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0， 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20， 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0， 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4， 所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确． 【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件． 【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】 由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1­AB ­C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1­AB ­C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】 如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}， 由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD→||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ， ∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； 【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， ∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2021～2021学年(上)高二质量(zhìliàng)检测数学(理科)选修2—1试题试卷分A卷和B卷两局部。

满分是为150分，考试时间是是120分钟．A卷(一共100分)一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内答题。

1．以为准线的抛物线的HY方程为( )A． B． C． D．2，以下命题中，是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象开口都向上．B．对任意非正数c，假设a≤b+c，那么a≤b．C．存在一条直线与两个相交平面都垂直．D．存在一个实数x使不等式<0成立．3．设a∈R，那么a>1是<1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在平行六面体ABCD--中，用、、，表示向量(xiàngliàng)，正确的选项是( )A.B.C.D.5．a=(0，3，3)，b=(-一1，1，0)，那么向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D.，那么〔〕A． B．C．>1 D．>17．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，那么m=〔〕A． B．-4 C．4 D．8．假设椭圆的离心率，那么m值为〔〕A．3 B． C． 3或者253D．9．在正方体ABCD--1111A B C D中，N和M分别为和的中点，那么直线AN与直线CM所成角的余弦值是〔〕A． B． C． D．10．以下命题中正确的选项是〔〕①命题“实数x,y,假设，那么x,y不全为零〞的否命题②命题“正三角形都是相似三角形〞的逆命题③命题(mìng tí)“假设，那么关于x的方程有实根〞的逆否命题④命题“假设是有理数，那么x是无理数〞的逆否命题A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④11．假设椭圆和双曲线2212516x y+=的一共同焦点为、，P是两曲线的一个交点，那么的值是〔〕A． B．84 C．3 D．2112．抛物线上的点到直线间隔的最小值是〔〕A． B． C． D．3二、填空题：本大题一一共2小题，每一小题4分，一共8分．在答题卷上的相应题目的答题区域内答题．13．向量a=(1，2，-2)，b=〔-2，x，y〕，且a//b，那么x-y= 。

模块综合检测一、选择题1．命题“∃x 0∈R ，2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R ，2x －3>1 C ．∀x ∈R ，2x －3≤1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－3>12．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 5．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真6．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝07．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3] B ．[－1，3] C ．[－3，3] D ．[－1，1] 8．下列结论中，正确的为( )①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；③“p 或q 为真”是“为假”的必要不充分条件；④“为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.8310．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)11．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.9412．过M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12二、填空题13．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“”中是真命题的有________．15．已知A (0，－4)，B (3，2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．三、解答题17．已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，綈q 为真，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．19．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∠ABC ＝60°，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC ′D ′(如图)．(1)求证：AC ⊥平面ABC ′； (2)求证：C ′N ∥平面ADD ′； (3)求二面角A -C ′N -C 的余弦值．20．已知点P 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1，1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB ＝1，MD ＝2.(1)求证：AM ∥平面BCN ；(2)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值．22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．答 案1. 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2. 解析：选D ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3. 解析：选A 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．4. 解析：选A 由题意，得⎩⎨⎧4＋16＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.5. 解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.6. 解析：选A 椭圆右焦点F (5，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝43x的距离为4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.7. 解析：选B 根据题意可得∀x ∈R ， 都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.8. 解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由为假⇒p 为真⇒p∨q 为真，故③正确．9. 解析：选A 抛物线y 2＝4x的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.10. 解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有ba>2， 故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.11.＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 12. 解析：选D 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0， 整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0， Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21. ∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12. 13. 解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4，2c ＝8. 答案：814. 解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“”为真．答案：p ∨q ，15. 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t2－2t＋45＝（t－1）2＋35≥35＝355.答案：35516.解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，k＝nm，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M为AF1的中点，所以OM∥BF1，同理ON∥AF1，所以OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，即m2＋n2＝1.又m2a2＋n2b2＝1，于是有m2a2＋n2b2＝m2＋n2，从而1a2－11－1b2＝n2m2＝k2≤3，即1a2＋3b2≥4，将b2＝a2－1代入，并整理得4a4－8a2＋1≤0，解得2－32≤a2≤2＋32.又a>c＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e<1.答案：[3－1，1)17.解：因为方程x22－m＋y2m－1＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m<0，m－1>0，即m>2.故命题p：m>2；因为方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 所以Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0， 即m 2－4m ＋3<0，所以1<m <3.故命题q ：1<m <3. 因为p ∨q 为真，为真，所以p 真q 假．即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，此时m ≥3. 综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≥3}． 18. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－12(m 2－2)＞0，－3＜m ＜3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝1，解得m ＝±53. 19. 解：(1)证明：因为AD ＝12BC ，N 是BC 的中点，所以AD ＝NC ，又AD ∥BC ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN ＝DC ，又因为四边形ABCD 是等腰梯形， ∠ABC ＝60°，所以AB ＝BN ＝AN ，所以NC ＝AN ，所以四边形ANCD 是菱形，所以∠ACB ＝12∠DCB＝30°，所以∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由已知可知平面C ′BA ⊥平面ABC ，因为平面C ′BA ∩平面ABC ＝AB ，所以AC ⊥平面ABC ′.(2)证明：因为AD ∥BC ，AD ′∥BC ′，AD ∩AD ′＝A ， BC ∩BC ′＝B ，所以平面ADD ′∥平面BCC ′，又因为C ′N ⊂平面BCC ′，所以C ′N ∥平面ADD ′.(3)连接BD 交AN 于点O .由(1)知AC ⊥平面ABC ′，同理，AC ′⊥平面ABC .建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1，0，0)，C (0，3，0)，C ′(0，0，3)，N ⎝⎛⎭⎫12，32，0，设平面C ′NC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，得平面C ′NC 的一个法向量为n ＝(3，1，1)，因为AC ′⊥平面ABC ，所以平面C ′AN ⊥平面ABC ，又易知BD ⊥AN ，而平面C ′AN ∩平面ABC ＝AN ，所以BD ⊥平面C ′AN . 因为BD 与AN 交于点O ，则O 为AN 的中点，O ⎝⎛⎭⎫14，34，0，所以平面C ′AN 的一个法向量为＝⎝⎛⎭⎫34，－34，0，又由图形知二面角A -C ′N -C 为钝角，所以二面角A -C ′N -C 的余弦值为－55. 20. 解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0，0)，＝(x －x 0，y )，＝(0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9， ∴x 29＋y 24＝1，∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足，则E (1，1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0， ∴椭圆上存在点M ，N 满足，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.21. 解：因为NB ∥MD ，MD ⊥平面ABCD ， 所以NB ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为正方形，所以分别以DA ，DC ，DM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，0，2)，N (2，2，1)．(2)设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，故AN 与平面MNC 所成角的正弦值为255.所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，λ－22λ，1，由(2)知，平面MNC 的法向量n ＝(1，－2，－2)， 所以m·n ＝0，所以－2·λ－22λ－2＝0，所以λ＝23， 所以|ME |＝2，|MN |＝3，所以|ME ||MN |＝23.22. 解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，高中数学-打印版精心校对完整版 得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)， 与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．“若a >b ，则a －1≤b －1” B ．“若a >b ，则a －1<b －1” C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D ．“若a <b ，则a －1<b －1” 答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A ．不同的顶点B ．不同的准线C ．相同的焦点D ．相同的离心率 答案 C解析 当0<k <3时，0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ， ∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆． a 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．4 2 答案 C解析 依题意知，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.5．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3 D ．－1≤a ≤1 答案 B解析 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C. 3 D ．2答案 A解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33， ∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x答案 A解析 由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)， 故p2＝3，∴抛物线方程为y 2＝12x . 9．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( ) A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0) 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x 2y ⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)．10．已知命题p ：“若a >b >0，则12log a <12log b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有12log a <12log b ，则必有12log a <12log b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当12log a <12log b ＋1时，得12log a <12log 2b ，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 12．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．0 答案 D解析 ∵OB ＝OC ，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →|·|BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cos π3|OA →||BC →|＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________. 答案 －2解析 因为P 与不共线三点A ，B ，C 共面，所以2＋1＋λ＝1，所以λ＝－2.14．已知命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________． 答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．15．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7. 因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案63解析 建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真， 綈p 为真，求m 的取值范围． 解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎨⎧m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4. ∵綈p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4. 故m 的取值范围是[2＋1,4)．18．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，符合题意， 故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共焦点，且过(2，0)，求： (1)椭圆的标准方程；(2)椭圆上斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 解 (1)依题意得，将双曲线方程标准化为 x 212－y 212＝1， 则c ＝1.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，因为椭圆过(2，0)，所以2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，直线与椭圆交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b9，即⎩⎨⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，所以y ＝－14x .令Δ＝0，则64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3， 即当x ＝±43时，斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为 y ＝－14x ⎝⎛⎭⎫－43≤x ≤43. 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)， 所以平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又FG ⊄平面BOE ，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(1)证明 因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4，0,4),设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3). 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－2，且右焦点到直线x ＝a 2c 的距离等于短半轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OM →·ON →的取值范围； (3)证明：直线TN 恒过某定点． (1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－2，a2c －c ＝b ，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)解 由题意知直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0，解得0≤k 2<16. 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1， x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝12k 22k 2＋1， 从而OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝44k 2－42k 2＋1＝22－262k 2＋1. 因为0≤k 2<16， 所以OM →·ON →∈⎣⎡⎭⎫－4，52.(3)证明 由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)． 令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1. 将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入，整理得x ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8.(*) 由(2)知x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， 代入(*)式整理，得x ＝1.所以直线TN 恒过定点(1,0)．。