2008年各省市中考数学压轴题解析

2008年全国中考数学压轴题精选(九)81.（08广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·························································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···························································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··························································································· 4分 解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2－3bx +12=0的两个根．（第25题图）x∴x =4969b 32-±b ， ································································· 2分∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·················································································· 3分 （以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···················································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ···················································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分82.（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）解：（1）由5x x 122+=0， ··································································· （1分） 得01=x ，5122-=x ． ······································································· （2分）∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ································· （3分） （2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分） 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ············································· （5分） =22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······························· （6分）=5（个单位面积） ······························································ （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ······························································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ． 3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··········· （9分） ∴)(3123y y y -=． ········································································ （10分）83.（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E 在y 轴上 ············································ 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=x第26题图306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ······························································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，OM =点D 在第一象限，∴点D的坐标为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ············································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ··············································································· 6分 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =-+ ················································ 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······························································ 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ···················································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P 在抛物线2829yx =-+上 282299m m ∴--+=解得，10m =，28m=-1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时， 点Q的坐标分别为1(Q ，2Q ； 当点2P 的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q 的坐标分别为32Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ········································ 14分84.（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁12市26题解析）解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C．(10)A ∴-，，(0C ············································································· 1分 xx点A C ，都在抛物线上，0a c c ⎧=+⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为233y x x =-················································· 3分 ∴顶点13F ⎛- ⎝⎭， ·················································································· 4分 （2）存在 ································································································ 5分 1(0P ······························································································ 7分 2(2P ····························································································· 9分 （3）存在 ······························································································ 10分理由： 解法一：延长BC 到点B '，使BC B C '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．········································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''== 6BH H '=，3OH ∴=，(3B '∴--， ········································ 12分 设直线B F'的解析式为y kx b=+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=················································································· 13分xy y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分 解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ····························· 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B，． 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH．即点H 为点F 关于AC 的对称点．0H ⎛∴- ⎝⎭， ······································ 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=············································································ (13)分y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛- ⎝⎭，． ·· 14分85.（08内蒙古赤峰25题）（本题满分14分）在平面直角坐标系中给定以下五个点17(30)(14)(03)(10)24A B C D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，．（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；（3）已知点1514F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线的对称轴上，直线174y =过点1714G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且垂直于对称轴．验证：以(10)E ，为圆心，EF 为半径的圆与直线174y =相切．请你进一步验证，以抛物线上的点1724D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心DF 为半径的圆也与直线174y =相切．由此你能猜想到怎样的结论． （08内蒙古赤峰25题解析）25．解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，且过点(30)(03)(10)A C E -，，，，，， 由(03)，在2y ax bx c =++H ． 则3c =． ·························································································· （2分） 得方程组9330a b a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-=-，． ∴抛物线的解析式为223y x x =--+ ·············· （4分） （2）由2223(1)4y x x x =--+=-++ ··········· （6分）得顶点坐标为(14)-，，对称轴为1x =-． ········· （8分）（3）①连结EF ，过点E 作直线174y =的垂线，垂足为N ， 则174EN HG ==．xx在Rt FHE △中，2HE =，154HF =，174EF ∴==， EF EN ∴=，∴以E 点为圆心，EF 为半径的E 与直线174y =相切． ························ （10分） ②连结DF 过点D 作直线174y =的垂线，垂足为M ．过点D 作DQ GH ⊥垂足为Q ， 则1771054442DM QG ==-==． 在Rt FQD △中，32QD =，15782444QF =-==．52FD ==．∴以D 点为圆心DF 为半径的D 与直线174y =相切． ··························· （12分） ③以抛物线上任意一点P 为圆心，以PF 为半径的圆与直线174y =相切． ···· （14分）86.（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分 二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩····································································· 2分 解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ······································· 3分 （2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ······················································ 4分图14OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130OOM ∴∠= ························ 5分1cos302OM OO ∴===在Rt MOF △中，3cos30322OF OM ===． 1sin 30322MF OM ===． ∴点M 坐标为322⎛ ⎝⎭， ············································································· 6分 设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴=····· 7分 ∴切线OM 的函数解析式为y x =··························································· 8分 （3）存在． ····························································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MOO △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==，11P ⎛∴ ⎝⎭····································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2PH OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt APO O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似） 在2Rt OP A △中，1OA =，23cos30OP OA ∴==在2Rt OP H △中，223cos 4OH OPAOP =∠==，2221sin 224P H OP AOP =∠==，234P ⎛∴ ⎝⎭································· 11分 ∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，，344⎛ ⎝⎭， ·············································· 12分87.（08青海省卷28题）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间． （1）求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式； （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）（08青海省卷28题解析）解：（1）设y kx =，把(24)，代入，得2k =． 2y x ∴=． ························································································ （1分）自变量x 的取值范围是：030x ≤≤． ···················································· （2分）（2）当05x ≤≤时，设2(5)25y a x =-+， ········································································ （3分）把(00)，代入，得25250a +=，1a =-． 22(5)2510y x x x ∴=--+=-+． ························································ （5分）第28题图 图甲 图乙。

1．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB=，OB=ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2y ax bx c=++过点A E D，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：矩形ABOC的面积3AB BO==∴以O B P Q，，，为顶点的平行四边形面积为OB为此平行四边形一边，又3OB=OB∴边上的高为2，依题意设点P的坐标为(2)m，点P在抛物线2829y x x=--+上28229m∴-+=解得，1m=，28m=-1(02)P∴，，228P⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭以O B P Q，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB∴∥，PQ OB==∴当点1P的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，22)Q；x第26题图当点2P 的坐标为5328⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，时，点Q 的坐标分别为313328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，43328Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 14分5、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△∽△ 7分BN NPBE EO∴= 8分 图14yxOA B MO 1由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< 10分2312(2)55S t =--+ 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． 12分 11、抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ．由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3==OC y ．∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方． 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO．∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,M ． ……………………………12分综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123((2,M M M -．12、（08四川达州23题）如图，将AOB △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(30)，，60ABO ∠=．（1）若AOB △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．（2）若点C 的坐标为(10)-，，试猜想过D C ，的直线与AOB △的外接圆的位置关系，并加以说明．（3）二次函数的图象经过点O 和A 求此函数的解析式．（3）依题意可设二次函数的解析式为 ： y=α（x －0）(x －3)由此得顶点坐标的横坐标为：x=a a 23-=23; 即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝21∠B ＝300得到EF ＝3EA ＝323 可得一个顶点坐标为（23，323） 同理可得另一个顶点坐标为（23，321-） 分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为332-，932则得到二次函数的解析式是y=332-x(x －3)或y=932 x(x －3)14、（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△． PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 8分（ii）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AMAE ==（如图②）在Rt AOD △中，AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 555AMAE t AP AD ⨯∴====12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=-∴当t =（05<<），此时M 点坐标为(5-．11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-．12分。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（三）21（08江西南昌24题）如图，抛物线2212191128y ax ax P y ax ax ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭经过点且与抛物线，，相交于A B ，两点． （1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？（08江西南昌24题解析）解：（1） 点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，1191428a a ∴-++=， ··························· 2分解得12a =． ······························· 3分（2）由（1）知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--． ··· 5分当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =． 点M 在点N 的左边，2M x ∴=-，1N x =． ···· 6分当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． 点E 在点F 的左边，1E x ∴=-，2F x =． ················· 7分 0M F x x += ，0N E x x +=，∴点M 与点F 对称，点N 与点E 对称． ··················· 8分（3）102a => ．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． ······ 9分 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ·············· 11分A B x x x ≤≤，∴当0x =时，CD 有最大值2．·············· 12分 说明：第（2）问中，结论写成“M N ，，E F ，四点横坐标的代数和为0”或“MN EF =”均得1分．22（08江西南昌25题）如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=）．（1）当0α= 时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G 落在对角形AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）：（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形． 1.732sin150.259sin 750.966==，，．）（08江西南昌25题解析）解：（1）过G 作MN AB ⊥于M 交CD 于N ，GK BC ⊥于K ．60ABG ∠= ，1BG =，图1 图2 B (E A (F D图3 H DAC B 图42MG ∴=，12BM =． ························· 2分12x ∴=-，12y =． ·························· 3分（2）当45α=时，点G 在对角线AC 上，其理由是： ············· 4分 过G 作IQ BC ∥交AB CD ，于I Q ，， 过G 作JP AB ∥交AD BC ，于J P ，．AC 平分BCD ∠，GP GQ ∴=，GI GJ ∴=．GE GF = ，Rt Rt GEI GFJ ∴△≌△，GEI GFJ ∴∠=∠．60GEF GFE ∠=∠= ，AEF AFE ∴∠=∠． 90EAF ∠= ，45AEF AFE ∴∠=∠= ．即45α=时，点G 落在对角线AC 上． ··················· 6分 （以下给出两种求x y ，的解法）方法一：4560105AEG ∠=+=，75GEI ∴∠=．在Rt GEI △中，sin 754GI GE ==，1GQ IQ GI ∴=-=． ······················ 7分1x y ∴==． ·························· 8分 方法二：当点G 在对角线AC 上时，有122+= ··························· 7分解得1x =1x y ∴==． ·························· 8分 （3）α153045607590x0.130.030.030.130.290.50B (EA (FDQy0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13··················· 10分 （4）由点G 所得到的大致图形如图所示：······················· 12分说明：1．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得2分，求出x y ，的值各得1分；2．第（3）问表格数据，每填对其中4空得1分；3．第（4）问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一部分的得1分．23（08山东滨州23题）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.BDCA（2）结论应用：①如图2，点M 、N 在反比例函数y=)0( k xk的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.y xONMF E②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与E 是否平行.H AC DB（08山东滨州23题解析）（1）证明：分别过点C 、D 作.CG AB DH AB ⊥⊥、 垂足为G 、H ，则090.CGA DHB ∠=∠=CG DHABC ABD ∴∴∴∴ 与的面积相等CG=DH四边形CGHD 为平行四边形AB CD.（2）①证明：连结MF ，NE设点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ， ∵点M ，N 在反比例函数()0ky k x= 的图象上， ∴11x y k =，22x y k =2,ME y NF x OF x ⊥⊥∴= 1轴，轴OE=y112211221122EFM EFN EFM EFN S x y k S x y k S S ∴====∴=由（1）中的结论可知：MN ∥EF 。

2008年全国中考数学压轴题精选（一）1（08福建莆田26题）（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.（1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-） （08福建莆田26题解析）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333y x x x x =-+-=-++解法二：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以 所求的抛物线的解析式为211433y x x =-++（2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，2222345AB AO BO =+=+= 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =?7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。

∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CABDQ CD AB CA = 即210,577DQ DQ ==所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525177t =÷= 所以t 的值是257（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-= 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线12x =对称 连接AQ 交直线12x =于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABOQE DQDE BO ABAO == 即 107453QE DE== 所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，87）设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得 8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由此得128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241则：在对称轴上存在点M 128(,)241，使MQ+MC 的值最小。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）50.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC 的面积；（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．（08云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）∵AB ＝8，OC ＝8∴S △ABC ＝12×8×8=32（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）50.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．（08云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）∵AB ＝8，OC ＝8∴S △ABC ＝12×8×8=32（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（四）39（08山西省卷）（本题答案暂缺）26．（本题14分）如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动。

点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<<t ）。

（1）求直线2l 的解析式。

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。

（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？40（08山西太原）29．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出BE CD（08山西太原29题解析）29．解：（1）在1y x =+中，当0y =时，10x +=，1x ∴=-，点B 的坐标为(10)-，． ······················ 1分在334y x =-+中，当0y =时，33044x x -+=∴=，，点C 的坐标为（4，0）． · 2分 由题意，得1334y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得87157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ∴点A 的坐标为81577⎛⎫⎪⎝⎭，． ························· 3分（2）当C B D △为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D 的坐标为()x y ，．由（1），得(10)(40)B C -，，，，5BC ∴=． ①当11BD D C =时，过点1D 作11D M x ⊥轴，垂足为点1M ，则1112BM M C BC ==． 11553312222BM OM x ∴==-==，，．33153428y ∴=-⨯+=，点1D 的坐标为31528⎛⎫⎪⎝⎭，． ··············· 4分②当2BC BD =时，过点2D 作22D M x ⊥轴，垂足为点2M ，则2222222D M M B D B +=．21M B x =--，2223354D M x D B =-+=，，2223(1)354x x ⎛⎫∴--+-+= ⎪⎝⎭．解，得121245x x =-=，（舍去）．此时，312243455y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭． ∴点2D 的坐标为122455⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······················· 6分③当3CD BC =，或4CD BC =时，同理可得34(03)(83)D D -，，，． ······· 9分 由此可得点D 的坐标分别为12343151224(03)(83)2855D D D D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，． 评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．（3）存在．以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形11AE OD为平行四边形时，1120BE CD =． ·············· 10分图（1）图（2）②当四边形21AD E O为平行四边形时，1210BE CD =·············· 11分 ③当四边形12AOD E为平行四边形时，2120BE CD =． ············· 12分 41（08陕西省卷）25、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

中考数学压轴题精选精析41（08浙江宿迁27题）（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．（08浙江宿迁24题解析）如图，在矩形ABCD 中，9AB =，AD =点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求CQP ∠的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？ （3）①求y 与x 之间的函数关系式；②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？第27题D QC B PR A（第24题）BADC（备用图1）BADC（备用图2）42（08浙江温州24题）（本题14分）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．（08浙江温州24题解析）（本题14分） 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， A BCD ER P H Q（第24题图）ABCD ERPH QM 2 11364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．43(08安徽省卷23题)（本题满分 14 分）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a （0≤a ≤3）小时再往A 镇参加救灾。

2008年全国中考数学压轴题精选(八)71.（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AO H Q C H ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ························································································ （1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点．····································································· （2分）法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ························································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ··················································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114P Q m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，x2114AP m PQ====+=．∴平行四边形APQR为菱形． ··············································································（6分）（3）设直线P R为y kx b=+，由O H C H=，得22mH⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m⎛⎫⎪⎝⎭，代入得：221.4mk bkm b m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，221.4mkb m⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R为2124my x m=-．························（7分）设直线P R与抛物线的公共点为214x x⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线P R关系式得：2211424mx x m-+=，21()04x m-=，解得x m=．得公共点为214m m⎛⎫⎪⎝⎭，．所以直线P H与抛物线214y x=只有一个公共点P． ············································（8分）72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C-，，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足10OA-=．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线C B运动，连结A P．设A B P△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P，，为顶点的三角形与A O B△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）10O A -=230OB ∴-=，10O A -= ·················································································· （1分）O B ∴=，1O A =点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，， ······························································································· （2分） （2）求得90ABC ∠= ························································································· （3分）(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）························································ （6分） （3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P （每个1分，计4分） ·····························································································································（10分） 注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（08海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x xy -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. （3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k .∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴21x -1=x x -241. ………………………………（13分）解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（08广东东莞22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP .…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则F K B K ==∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2B K t =-.在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分∴ △FBP 的面积11(8))226S FB PK t t =⋅⋅=⋅--，∴ S 与t 之间的函数关系式为： 2(8)12S t =-，或24123S t t =-+分DCE图9 图10t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5O A =，4O C =．（1）在O C 边上取一点D ，将纸片沿A D 翻折，使点O 落在B C 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标； （2）如图19-2，若A E 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿A E 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作E D 的平行线交A D 于点M ，过点M 作A E 的平行线交D E 于点N ．求四边形P M N E 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕A D 是四边形O A E D 的对称轴，∴在R t A B E △中，5AE AO ==，4A B =．3BE ∴===．2C E ∴=．E ∴点坐标为（2，4）．································································································ 2分 在R t D C E △中，222DC CE DE +=， 又D E O D = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52C D =．D ∴点坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，···································································································· 3分 （2）如图①PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△．P M A PE DA E ∴=，又知A P t =，52E D =，5A E =5522t tP M ∴=⨯=， 又5P E t =- ．而显然四边形P M N E 为矩形．215(5)222P M N E t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形·························································· 5分21525228PM N ES t ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭四边形，又5052<< ∴当52t =时，PM N E S 矩形有最大值258． ········································································ 6分x（3）（i ）若以A E 为等腰三角形的底，则M E M A =（如图①） 在R t AED △中，M E M A =，PM AE ⊥ ，P ∴为A E 的中点，1522t A P A E ∴===．又PM ED ∥，M ∴为A D 的中点．过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ，则M F 是O AD △的中位线，1524M F O D ∴==，1522O F O A ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，A M E △为等腰三角形． 此时M 点坐标为5524⎛⎫⎪⎝⎭，．··························································································· 8分（ii ）若以A E 为等腰三角形的腰，则5A M A E ==（如图②） 在R t A O D △中，AD ===过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△． A P A M A E A D∴=．55AM AE t AP AD⨯∴====12P M t ∴==．M F M P ∴==5O F O A AF O A AP =-=-=-，∴当t =（05<<），此时M点坐标为(5-． ·························· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-． ·······················································································12分76.（08天津市卷26题）（本小题10分） 已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．x（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ··············································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ······································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ································· 4分 ②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，cc y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤． ··············································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ············································································································ 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ····························· 8分 又该抛物线的对称轴ab x 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<ab ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ············································10分77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0．（1）请你确定n 的值和点B 的坐标；（2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝115x上时，求这时四边形OABC 的面积．（08湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P从O 向A 运动时，△POC 的面积S ＝12mz ， z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ，故OA ＝2，n ＝2 . (1分) 同理，AB ＝1，故点B 的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0),∴c ＝0，b ＝－am ，(3分) ∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标为(2m，－14 am 2).(4分)如图1，设经过点O ，C ，P 的抛物线为l. 当P 在OA 上运动时，O ,P 都在y 轴上， 这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时，双曲线y ＝115x不可能经过P ,故也不存在m 的值.②(5分)(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时，即当0<x 0≤1时，y 0＝2，(第25题)抛物线l 的顶点为P (2m ，2).∵P 在双曲线y ＝115x上，可得 m ＝115，∵115>2,与 x 0＝2m ≤1不合，舍去.(6分)③容易求得直线BC 的解析式是：2211myx mm=---，(7分)当P 在BC 上运动，设P 的坐标为 (x 0,y 0)，当P 是顶点时 x 0＝2m ，故得y 0＝02211m x mm---＝1m m -，顶点P 为(2m ，1m m -)，∵1< x 0＝2m <m ，∴m>2，又∵P 在双曲线y ＝115x上，于是，2m ×1mm -＝115，化简后得5m 2－22m ＋22＝0,解得110m =210m =分)2,2220,>∴-<2222,10m -∴=<与题意2<x 0＝2m <m 不合,舍去.④(9分)故由①②③④，满足条件的只有一个值：2210m +=.这时四边形OABC 的面积＝1(1)22m +⨯＝165+.(10分)(2)解法二：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0) ∴c ＝0，b ＝－am ，(3分)∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标P 为(m 2 ，－14 am 2). (4分)∵m ＞1，∴m 2 ＞0，且m2≠m ，∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)∵P 在双曲线y ＝115x 上，∴m 2 ×(－ 14 am 2)＝115 即a ＝－ 885m 3 ..①当1＜m ≤2时，12 ＜m2≤1，如图2,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，此时点P 在线段AB 上，且纵坐标为2， ∴－14 am 2＝2，即a ＝－8m 2 .而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3＝－8m 2 ，m ＝115＞2，而1＜m ≤2，不合题意，舍去.(6分)11 ②当m ≥2时，m 2＞1，如图3,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，ON ＞OM ， 此时点P 在线段CB 上，易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ，∴BM ∶PN ＝MC ∶NC ，即: 2∶PN ＝(m －1)∶m 2 ，∴PN ＝m m －1(7分) 而P 的纵坐标为－ 14 am 2，∴m m －1 ＝－ 14 am 2，即a ＝4m(1－m)而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝4m(1－m)化简得：5m 2－22m ＋22＝0.解得：m ＝ 11±11 5，(8分) 但m ≥2，所以m ＝11－115 舍去，(9分)取m ＝ 11＋115 .由以上,这时四边形OABC 的面积为：12(AB ＋OC ) ×OA ＝12 (1＋m ) ×2＝16＋115 . (10分)12 由A 、B 两点可知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的方程式为y=a(x-1)^2+b ，代入B 、C 坐标可解得a=-1,b=9,抛物线解析式为y=-(x-1)^2+9=-x^2+2x+8,顶点D 的坐标为（1，9）由C 、D 坐标可求出直线CD 的解析式为x-y+8=0，线段OB 的垂直平分线为x=2,设存在P(2,m)令P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离，那么有√(4+m^2)=|2-m+8|/√2，m^2+20m-92=0,解得m=-10±8√3形如y=a(x+b)^2+c 的抛物线沿其对称轴平移时,a 与b 均不变，只有c 变可得到F(4,12),抛物线最多可向下平移到与直线CD:y=x+8相切为止，此时两者只有一个交点，联立y=-(x-1)^2+b 与y=x+8消去y ,得到x^2-x+9-b=0只有一个根，求出b=9-1/4=35/4，向下最多平移四分之一个单位长度向上平移最多可至抛物线过E 点，即(-8,0)在y=-(x-1)^2+b 上，解得b=81，向上最多可平移(81-9=)72个单位长度27．（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-．228y x x ∴=-++2(1)9x =--+， 顶点(19)D ， ··········································································································· （2分） （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，由(08)(19)C D ，，，求得直线C D 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45 ，设O B 的中垂线交C D 于H ，则(210)H ，． 则10PH t =-，点P 到C D的距离为2d PH t ==-．又PO == ··············································································· （4分）t ∴=-．平方并整理得：220920t t +-=10t =-±∴存在满足条件的点P ，P的坐标为(210-±，． ········································· （6分） （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．①若抛物线向上平移，可设解析式为228y x x =-+++13 当8x =-时，72y m =-+．当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．072m ∴<≤． ······················ （8分）②若抛物线向下移，可设解析式为228(0)y x x m m =-++->．由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩，有20x x m -+=．140m ∴=-≥△，104m ∴<≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移14个单位长．····························（10分）6、解：（1）（-4,-2） ……（2分） （-m ,－k'm ）或 （－m , km - ） ……（只要写出一种表示方法就得2分）（2）① 由勾股定理OA=OB=∴OA=OB同理可得OP=OQ ，所以四边形APBQ 一定是平行四边形. ……（2分） ②四边形APBQ 可能是矩形 ……（1分） m,n 应满足的条件是mn=k ……（1分） 四边形APBQ 不可能是正方形 ……（1分） 理由：点A,P 不可能达到坐标轴,即∠POA ≠900. ……（1分）25.⑴213222y x x =-++；⑵43k =；⑶M （3，2），N （1，3）。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）1.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC 的面积；（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．2. （08浙江湖州）24．（本小题12分）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B C，重合），过F点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF SS S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3.（08浙江嘉兴）24．如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．（1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？4.（08浙江丽水）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x交于点P ，顶点M到A 点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若 不存在，请说明理由．5．（08浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。

2008年全国中考数学压轴题精选(六)51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？（08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG 1分 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△ ··············································································· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．····················································· 4分 理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ··············································································· 6分 理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====，所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ···································· 6分图10MBDCEF Gx AA M xH GFED CB（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=-- ······························· 8分配方得：2655121()2566y x =--+． 所以，当556x =时，y 有最大值． ·································································· 9分最大值为1216．···························································································· 10分52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）如图13，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于()()8006A B --，、，两点．（1）求出直线AB 的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得A BC P DE S S ∆∆=101？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=∵()(),6,0,0,8--B A ∴⎩⎨⎧=-+-=.6,80b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.6,43b k∴直线AB 的函数表达式为364y x =--． ·························································· 3分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。

2008年全国中考数学压轴题精选（一）1（08福建莆田26题）（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-）（08福建莆田26题解析）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111(3)(4)4333y x x x x =-+-=-++ 解法二：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以 所求的抛物线的解析式为211433y x x =-++（2）连接DQ ，在Rt △AOB中，5AB ==所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。

∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CABDQ CD AB CA = 即210,577DQ DQ == 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525177t =÷=所以t 的值是257（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122b x a =-= 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线12x =对称 连接AQ 交直线12x =于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABOQE DQ DE BO AB AO == 即 107453QE DE==所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，87）设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠则2087730k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得 8412441k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由此得128244141x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241则：在对称轴上存在点M 128(,)241，使MQ+MC 的值最小。

2008年全国中考数学压轴题精选精析（三）21（08江西南昌24题）如图，抛物线2212191128y ax ax P y ax ax ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭经过点且与抛物线，，相交于A B ，两点． （1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？（08江西南昌24题解析）解：（1）点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，1191428a a ∴-++=， ··························· 2分解得12a =． ······························· 3分（2）由（1）知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--． ··· 5分当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =． 点M 在点N 的左边，2M x ∴=-，1N x =． ···· 6分当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． 点E 在点F 的左边，1E x ∴=-，2F x =． ················· 7分0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 对称，点N 与点E 对称． ··················· 8分（3）102a =>． ∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． ······ 9分根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ·············· 11分A B x x x ≤≤，∴当0x =时，CD 有最大值2． ·············· 12分说明：第（2）问中，结论写成“M N ，，E F ，四点横坐标的代数和为0”或“MN EF =”均得1分．22（08江西南昌25题）如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=）．（1）当0α=时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G 落在对角形AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）：（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F ，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形．62621.732sin150.259sin 750.96644-+==，≈，≈．）图1图2B (E A (F D图3H DACB图4（08江西南昌25题解析）解：（1）过G 作MN AB ⊥于M 交CD 于N ，GK BC ⊥于K ．60ABG ∠=，1BG =，2MG ∴=，12BM =． ························· 2分12x ∴=-，12y =． ·························· 3分 （2）当45α=时，点G 在对角线AC 上，其理由是： ············· 4分 过G 作IQ BC ∥交AB CD ，于I Q ，， 过G 作JP AB ∥交AD BC ，于J P ，．AC 平分BCD ∠，GP GQ ∴=，GI GJ ∴=．GE GF =，Rt Rt GEI GFJ ∴△≌△，GEI GFJ ∴∠=∠．60GEF GFE ∠=∠=，AEF AFE ∴∠=∠． 90EAF ∠=，45AEF AFE ∴∠=∠=．即45α=时，点G 落在对角线AC 上． ··················· 6分 （以下给出两种求x y ，的解法） 方法一：4560105AEG ∠=+=，75GEI ∴∠=．在Rt GEI △中，6sin 754GI GE ==，14GQ IQ GI ∴=-=-． ······················ 7分1x y ∴== ·························· 8分方法二：当点G 在对角线AC 上时，有122+=， ··························· 7分解得14x =-1x y ∴== ·························· 8分 （3）B (EA (FDQα0 15 30 45 60 75 90x 0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 y0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13··················· 10分 （4）由点G 所得到的大致图形如图所示：······················· 12分说明：1．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得2分，求出x y ，的值各得1分；2．第（3）问表格数据，每填对其中4空得1分；3．第（4）问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一部分的得1分．23（08山东滨州23题）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.BDCA（2）结论应用：①如图2，点M 、N 在反比例函数y=)0(>k xk的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.y xONMF EH AC DB②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与E 是否平行.（08山东滨州23题解析）（1）证明：分别过点C 、D 作.CG AB DH AB ⊥⊥、 垂足为G 、H ，则090.CGA DHB ∠=∠=CG DHABC ABD ∴∴∴∴与的面积相等CG=DH四边形CGHD 为平行四边形AB CD.（2）①证明：连结MF ，NE设点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ， ∵点M ，N 在反比例函数()0ky k x=的图象上，∴11x y k =，22x y k =2,ME y NF x OF x ⊥⊥∴=1轴，轴OE=y112211221122EFM EFN EFM EFN Sx y k S x y k S S ∴====∴=由（1）中的结论可知：MN ∥EF 。