人教A版选修2-33.1回归分析的基本思想及其初步应用能力提升(含答案解析)

课后导练基础达标1.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y-=50+80x 下列判断正确的是（ ）（1）劳动生产率为1 000元时，工资为130元 （2）劳动生产率提高1 000元则工资提高80元 （3）劳动生产率提高1 000元则工资提高130元 （4）当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元A.（1）B.（2）C.（3）D.（4） 解析：由回归系数b 的意义知，b ＞0时，自变量和因变量按同向变化;b ＜0时，自变量和因变量按反向变化.B=80，可知只有（2）正确.B 2.相关关系与函数关系的区别是____________. 答案：函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性.3.为考虑广告费用x 与销售额y 之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用（千元）1.0 4.0 6.01 0.0 14.0 销售额（千元）19.0 44.0 40.0 52.0 53.0 现要使销售额达到6万元，则需广告费用为______________.（保留两位有效数字）解析：先求出回归方程yˆ=bx+a,令y ˆ=6,得x=1.5万元. 答案：1.5万元4.假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的，若10个学生初一（x ）和初二（y)数学分数如下： x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 试求初一和初二数学分数间的回归方程. 解析：因为x =71，∑2ix=50 520, y =72.3,∑iiyx =51 467,所以，b=27110505203.7271101051457⨯-⨯⨯⨯-≈1.218 2;a=72.3-1.218 2×71=-14.192. 回归直线方程是： yˆ=1.218 2x-14.192. 5.部分国家13岁学生数学测验平均分数为： 中国 朝国 瑞士 俄罗斯 法国 以色列 加拿大 英国 美国 约旦 授课天数251 222 207 210 174 215 188 192 180191 分数80 73 71 70 64 63 62 61 55 46试作出该数据的散点图并由图判断可否存在回归直线，若有则求出直线方程. 解析：（图略）由图知，存在回归直线方程. 因为x =203，∑2i x =416 824,y =64.5,∑iiyx =132 418,所以b=2203104168245.6420310132418⨯-⨯⨯-≈0.313 3; a=64.5-0.313 3×203=0.900 1,回归直线方程是：yˆ=0.313 3x+0.900 1. 综合运用6.电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电.由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式u=Ae bt （b ＜0）表示.现测得时间t(s)时的电压U （V ）如下所示： t: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10U:100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 试求电压U 对时间t 的回归方程. 解析：对u=Ae bt 两边取自然对数得令y=lnu a=lnA 即y=a+bt t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.9 3.4 2.9 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6即ln uˆ=-0.3t+4.6 ∴uˆ=-0.3t+4.6 拓展探究 7.称SST=∑=-ni iy y12)(为总偏差平方和，SSE=∑=-ni i iyy12)ˆ(为残差平方和，SSR=∑=-ni i iy y12)ˆ(为回归平方和.在线性回归模型中，有∑=-ni iy y12)(=∑=-ni i i yy 12)ˆ(=∑=-ni i i y y 12)ˆ(. 解释总偏差平方和、残差平方和、回归平方和以及该等式的统计含义.解析：SST 度量y 自身的差异程度，即数据总的变动.SSE 度量实际值与拟合值之间的差异程度，即被回归方程解释的部分.SSR 度量因变量y 的拟合值自身的差异程度，即未被回归方程解释的部分. 统计含义：如果x 引起的变动部分在y 的总变动中占很大比例，那么x 很好地解释了y ，否则x 不能很好地解释y.即：在总偏差平方和中，回归平方和占所占比重越大，则线性回归效果就越好，否则效果就越差. 备选习题8.用721分光光度计在730 nm 波长处测定SiO 2含量，得以下数据（见表1） 表1 SiO 2含量（x ）与吸光度（y)对应关系 SiO 2含量/（mg·mL -1） 吸光度 SiO 2含量/（mg·mL -1） 吸光度0 0.032 0.08 0.359 0.02 0.135 0.10 0.435 0.04 0.187 0.12 0.511 0.06 0.268若未知磷铵试液吸光度为0.250,未知磷铵中SiO 2含量是多少？用一元线性回归方程求之. 解析：先根据表1数据确定线性回归方程系数a 和b 的计算数据（见表2），然后按以下算式计算a 、b 值.y =7927.1=0.275 x =742.0=0.06 b=22)(1))((1∑∑∑∑∑--i i i i i i x n x y x n y x=2)42.0(710364.0)927.1)(42.0(711597.0--=3.94 a=bx y -=0.275-3.94×0.06=0.039 于是求得回归方程：y=0.039+3.94x9.现随机抽取了我校10名学生在入学考试中数学成绩（x ）与入学后的第一次考试数学成绩（y),学生号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 X 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71请问：这10个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关系？ 解析：因为x =107.8, ∑2ix=116 584, y =68,∑2iy=47 384,∑ii y x =73 796,所以相关系数为： r=)68104738)(8.10710116584(688.107107379622⨯-⨯-⨯⨯-≈0.750 6,查表：显著性水平0.05，自由度10—2相应的相关关系临界值r 0.05=0.602 1，由r ＞r 0.05知，两次数学考试成绩有显著性的线性相关关系.。

典题精讲【例1】下列五个命题,正确命题的序号为_____________。

①任何两个变量都具有相关关系②圆的周长与该圆的半径具有相关关系③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究思路解析：变量的相关关系是变量之间的一种近似关系,并不是所有的变量都有相关关系,而有些变量之间是确定的函数关系.例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系;另外,线性回归直线是描述这种关系的有效的方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的. 答案:③④⑤绿色通道：相关关系是一种不确定关系，但是它们之间也有一定的规律，根据回归分析可以对它们之间的关系进行估计。

变式训练 两个变量之间的相关关系是一种 ( ）A.确定性关系B.线性关系C.非线性关系 D 。

可能是线性关系也可能不是线性关系思路解析：变量之间的相关关系是一种非确定性的关系,如果所有数据点都在一条直线附近,那么它们之间就是一种线性相关关系，否则不是线性相关关系. 答案：D【例2】为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2。

已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都是t ，则下列说法正确的是（ ）A 。

l 1与l 2有交点(s,t ） B.l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ） C.l 1与l 2必定平行 D.l 1与l 2必定重合思路解析：回归直线yˆ=a+bx 中的系数x b y a -=,所以，方程又可以写成：bx x b y y +-=ˆ.显然,当x=x 时,y=y ,所以，回归直线一定通过定点（y x .）。

教学设计3．1 回归分析的基本思想及其初步应用错误!教材分析1．教材的地位和作用高中新课程中增加了有关统计学初步的内容,先后出现在必修3和选修12（文科）、选修23(理科)中．《数学3（必修)》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路．“线性回归分析”是其介绍的一种分析、整理数据的方法．在这一部分中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想、利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容．然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，它们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系,本节就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型．通过本节的学习,使学生了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，学会以科学的态度评价两个变量的相互关系,培养学生运用所学内容解决实际问题的能力．2．课时划分《回归分析的基本思想及其初步应用》的教学分四个课时完成．第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时:从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果,以及建立回归模型的基本步骤;第三课时：介绍两个变量非线性相关关系;第四课时：回归分析的应用．第一课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用．过程与方法让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用;通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．情感、态度与价值观从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心、求知欲；通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力；通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用,增强数学“取之生活,用于生活”的意识，提高学习兴趣．重点难点教学重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．教学难点:掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．错误!错误!“名师出高徒"这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间是否有关？活动设计：学生独立思考回答问题．学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生"．教师提问：为什么?学情预测:两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒,二者之间是相关关系．设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫．提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．上面所提的“名师"与“高徒"之间的关系就是相关关系．那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172 cm的女大学生的体重．学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法,从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172 cm女生的体重．其步骤:收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报．设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策．错误!若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：。

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用1. 关于回归分析，下列说法错误的是()A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图能明确反映变量间的关系解析：用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差．答案：D2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关系数r分别如下表：A．甲B．乙C．丙D．丁解析：相关系数r越大，表示回归模型的效果越好．答案：A3. 某学校以模拟考试的数学成绩预报高考数学成绩的回归方程为y＝0.5x＋62.5，用这个方程预报一位模拟考试数学成绩为100分的同学的高考数学成绩，下列叙述正确的是()A．该同学的高考数学成绩一定是112.5分B．该同学的高考数学成绩在112.5分以上C．该同学的高考数学成绩在112.5分以下D．该同学的高考数学成绩在112.5分左右解析：根据回归直线方程的特征，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本点的中心，当x ＝100时，y ＝62.5＋0.5×100＝112.5，所以该同学的高考数学成绩在112.5分左右，故选D.答案：D4.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)，∴40＝－2×10＋a .∴a ＝60.∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ＝(－2)×(－4)＋60＝68.答案：685. 五个学生的数学与物理成绩如下表，求其相关系数.解：由表中给出数据可以得出：x ＝70；y ＝66；∑i ＝15x 2i ＝24750；∑i ＝15y 2i ＝21820；∑i ＝15x i y i ＝23190. ∴r ＝∑i ＝15x i y i －5x y(∑i ＝15x 2i －5x 2)(∑i ＝15y 2i －5y 2)＝23190－5×70×66(24750－5×702)(21820－5×662)＝0.9.。

第四课时教学目标 知识与技能通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想和求回归方程的步骤． 过程与方法通过对回归模型的选择，使学生进一步体会建立回归模型的步骤，体会各个步骤的功能和重要性． 情感、态度与价值观通过案例的分析,培养学生的探索精神，提高对数据的处理能力，并且使学生了解回归分析在生活实际中的应用,增强数学的应用意识,提高学习兴趣．重点难点教学重点:掌握在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，总结求回归方程的步骤，会用合适的方法进行模型分析．教学难点：如何根据散点图选择合适的回归模型并对其拟合效果进行检验． 错误! 错误!（1)试建立y 与x 之间的回归方程;(2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1。

2倍为偏胖，低于平均值的0。

8为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为82 kg 的在校男生的体重是否正常?学生活动：合作交流，探讨方案并计算检验． 学情预测：方案一：计算相关系数r≈0。

96>0。

75，故y 与x 之间具有很强的线性相关性． 设y 与x 之间的回归方程为错误! ＝错误! x ＋错误! ,则错误! ＝错误!≈0.431 9，错误! ＝错误!－错误! 错误!≈－25.679，故回归方程为： 错误! ＝0.431 9x －25.679。

当x ＝175时，错误! ≈55.15。

因为55.15×1。

2＝66。

18＜82，故这名男生偏胖．方案二:画出散点图如图所示：由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为错误!＝0.693＋0.020x，则有错误!＝e0。

693＋0。

020x.当x＝175时，错误!≈66.22，由于66.22×1.2＝79。

464〈82，所以这名男生偏胖．设计目的：复习回归分析的基本步骤,让学生体会回归思想在实际问题中的应用,在操作过程中锻炼学生的数据处理能力．错误!提出问题：虽然两种解法的结论是一致的，但分析过程同学们可以发现，两种解法中求得的体重平均值是不同的，试分析两种模型哪种更合适？学生活动：讨论交流．学情预测：可能学生会出现争论：一种观点:原因出在选取的回归模型不同，从散点图上观察，选取指数型模型可能更好，得到的答案可信度可能更高．另一种观点：计算x与y的相关系数可得：r≈0。

1 【优化方案】2013-2014学年高中数学 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用能力提升（含解析）新人教A 版选修2-31．如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位:亿元),其中b ＝0.8,a＝2,|e |≤0.5,如果今年该地区财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10.5亿D ．9.5亿解析:选C.∵x ＝10时,y ＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ,又∵|e |≤0.5,∴y ≤10.5.2．面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位:千箱)与单位成本(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:x ＝72,y ＝71,∑i ＝16x 2i ＝79,∑i ＝16x i y i ＝1 481. 则销量每增加1 000箱,单位成本下降________元．解析:由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2, a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36,y ^＝－1.818 2x ＋77.36,销量每增加1千箱,则单位成本下降1.818 2元．答案:1.818 23．为了研究某种细菌繁殖的个数随时间x 变化的情况,收集如下数据:天数x (天) 1 2 3 4 5 6繁殖个数y (个) 6 12 25 49 95 190(1)(2)观察散点图是否可用曲线y ＝c 1e c 2x 拟合,描述解释变量与预报变量之间的关系． 解:(1)作出散点图,如图所示:(2)由散点图可以看出样本点分布在一条指数型函数y ＝c 1e c 2x 曲线的周围,于是令z ＝ln y ,则x 1 2 3 4 5 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25由计算得z ^＝0.69x ＋1.115,则有y ^＝e 0.69x ＋1.115.。

课堂探究探究一 求线性回归直线方程(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．【典型例题1】某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系(1)y 与x (方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34， 则求得b ^＝∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝－370125≈－3. a ^＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.∴y ^＝－3x ＋161.5.(2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845. ∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426.即预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．规律总结 先根据所给数据画出散点图，判断y 与x 是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识求出日销售利润最大时的销售单价．探究二 线性回归分析解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．【典型例题2】在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：且知x 与y 解：x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－4640＝－1.15. ∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为∴∑i ＝15(y i －y i ^)2＝0.3，∑i ＝15(y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15(y i －y i ^)2∑i ＝15(y i －y )2≈0.994.故R 2≈0.994，说明拟合效果较好．规律总结 “相关指数R 2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R 2是用来刻画回归效果的，由R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y i ^)2∑i ＝1n(y i －y )2可知R 2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高， 回归方程预报精度越高．探究三 求非线性回归方程非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图．把它与必修模块数学1中学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．【典型例题3】假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用y (万元)，有如下表的统计资料：若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ (3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和．(4)求R 2并说明模型的拟合效果． 解：(1)将已知条件制成下表设回归方程为y ＝b x ＋a ，于是有b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a ^＝y －b ^ x ＝5－1.23×4＝0.08，所以线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元． (3)总偏差平方和：∑i ＝15(y i －y )2＝15.78，残差平方和：y 1^＝2.46＋0.08＝2.54，y 2^＝3.77，y 3^＝5，y 4^＝6.23，y 5^＝7.46，∑i ＝15(y i －y i ^)2＝0.651，回归平方和：15.78－0.651＝15.129.(4)R 2＝1－∑i ＝15(y i －y i ^)2∑i ＝15(y i －y )2＝1－0.65115.78≈0.958 7，模型的拟合效果较好，使用年限解释了95.87%的维修费用支出． 规律总结 把非线性回归问题转化为线性回归问题，拓展了解题思路． 探究四 易错辨析易错点 残差平方和与相关指数的理解不清致误【典型例题4】对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 错解：B错因分析：对残差平方和和相关指数R 2理解错误．正解：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好． 答案：C。

3．1 回归分析的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤． [知识链接]1．什么叫回归分析？答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法． 2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等． [预习导引] 1．线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系． (2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (3)对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i－nx －y－∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －，其中(x －，y －)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 是模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． 2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n ，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差． 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用R 2刻画回归效果R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2；R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好.要点一 求线性回归方程例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解 (1)散点图如图．(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i ＝1x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054. ∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．跟踪演练1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解 (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x －＝15∑5i ＝1x i ＝109，∑5i ＝1(x i －x －)2＝1 570， y －＝23.2，∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^， 则b^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －＝0.181 42.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线如上图所示．(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． 要点二 线性回归分析例2 为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R 2； (3)进行残差分析． 解 (1)散点图如图x －＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y －＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i ＝1x 2i＝2 275，∑6i ＝1x i y i ＝1 076.2 计算得，b^≈0.183，a ^≈6.285， 所求回归直线方程为y ^＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以∑6i ＝1(y i －y ^i )2≈0.013 18，∑6i ＝1(y i －y －)2＝14.678 4.所以，R 2＝1－0.013 1814.678 4≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．规律方法 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e ^1，e ^2，…，e^n来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．跟踪演练2 已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解 x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1x i y i＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以b^＝∑5i ＝1x i y i－5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15.a^＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以，∑5i ＝1(y i －y ^i )2＝0.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2，R 2＝1－∑5i ＝1 （y i －y ^i ）2∑5i ＝1 （y i －y －）2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好． 要点三 非线性回归分析 例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为求得回归直线方程为z ^＝0.272x －3.849， ∴y ^＝e 0.272x －3.849. 残差(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.规律方法解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．跟踪演练3为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数．解(1)作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为由计算器得：z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ^＝e 0.69x ＋1.115. (3)y －＝3776，∑n i ＝1e ^21＝∑n i ＝1(y i －y ^)2＝4.816 1， ∑n i ＝1(y i－y －)2＝24 642.8，R 2＝1－4.816 124 642.8≈0.999 8， 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A ．出租车费与行驶的里程 B ．学习成绩与学生身高 C ．身高与体重 D ．铁的体积与质量 答案 C2．若劳动生产率x (千元)与月工资y (元)之间的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 B3．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200答案 A解析由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.4．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解(1)设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑5i＝1（x i－x－）（y i－y－）∑5i＝1（x i－x－）2＝1020＝0.5，a^＝y－－b^x－＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．回归分析的基本思路(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a^)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.一、基础达标1．在下列各量之间，存在相关关系的是( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．A ．②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④ 答案 D2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 由回归方程为y ^＝0.85x －85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y ^＝b ^x ＋a ^＝b ^x ＋y －－b ^x －(a^＝y －－b ^x －)，所以回归直线过样本点的中心(x －，y －)；利用回归方程可以估计总体，所以D 不正确．3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2如下表哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 答案 D5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________． 答案 0 0 16．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________． 答案 y ^＝－10＋6.5x解析 由题意知x －＝2，y －＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －－b ^x －＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)求样本中心点； (2)画出散点图；(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程． 解 (1)x －＝6，y －＝79.86，中心点(6，79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2≈4.75， a ^＝y －－b ^x －≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.二、能力提升8．(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b^＝∑ni ＝1x i y i－nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx －2＝57，a ^＝y －－b ^x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b^，a ′＝－2＜a ^. 9．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过( )A.点(2，3) B ．点(1.5，4) C ．点(2.5，4) D ．点(2.5，5) 答案 C解析 回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，即(2.5，4)．10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．答案 D (3，10)解析 去掉D (3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大． 11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：对处理的数据，容易算得x －＝0，y －＝3.2，b ^＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29－5×0×3.2（－4）2＋（－2）2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入—成本)解 (1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80∵b ^＝－20，a ^＝y ^－b ^x －， ∴a^＝80＋20×8.5＝250 ∴回归直线方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20(x －334)2＋361.25∴该产品的单位应定为334元，工厂获得的利润最大． 三、探究与创新13．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x －＋a^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－bx －， 其中x －，y －为样本平均值． 解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑n i ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －nx －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（2）【学情分析】：教学对象是高二理科学生，学生已掌握建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。

在教学中，要结合实例，让学生了解随机误差产生的原因。

初步了解可以通过求回归模型的相关指数或利用残差分析不同的回归模型的拟合精确度。

在起点高的班级中通过让学生观察、思考与讨论，进一步体会回归分析中的数理计算，及运用相关指数与残差分析来刻画模型拟合效果，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

【教学目标】：（1）知识与技能：了解求线形回归方程的两个计算公式的推导过程，、回归平方和；了解随机误差产生的原因；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。

（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。

（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

【教学重点】：1.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2.通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

【教学难点】：1.了解随机误差产生的原因，用残差平方和衡量回归方程的预报精度；2.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析。

列表计算出各个量编号 1 2 3 4 5温度x/°C21 23 25 27 29产卵数y/个7 11 21 24 66 115 =ln y 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 x i2441 529 625 729 841 1024 x i z i40.9 55.2 76.1 85.8 121.5 151.8=x27.429 =z∑==niix125414 ∑=niix1练习与测试1． 下面4 个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ A ）A ．B ．C ．D ．2． 将非线性模型xe y 32=进行适当变形使之线性化。