实际问题与一元二次方程(第1课时)教案汇编

21.3实际问题与一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述情感态度价值观：1.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，2.了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重难点】教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系【教学过程】一、自主学习1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．二、合作学习【探究1】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．【探究2】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。

21.3实际问题与一元二次方程（第一课时）教学设计一、复习回顾1.师：我们学习过列一元一次方程解应用题，列方程解应用题的一般步骤是怎样的？（课件出示）一般步骤：（1）审题（分析题意，找出等量关系）（2）设未知数，（分析题中的等量关系，巧设未知数）（3）列方程；（4）解方程；（5）检验作答（二层含义：检验准确性；是否符合实际）二、探究体验1.试一试（1）有一人得了流感，他把流感传染给了5个人，第一轮传染后，共有人得流感；所有得流感的人每人又把流感传污染给5个人，经过两轮传染后，共有人得流感。

（2）有一个得了流感，他把流感传染给了x个人，经过一轮传染后，共有人得流感；所有得流感的人每人又把流感传污染给x个人，经过两轮传染后，共有人得流感。

经过两轮传染后，共有人得流感。

第3轮呢？2.教材19页“探究1”（1）出示“探究1”：有1人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好读几遍。

（生默读）师：这个题目怎么解答？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

（2）（板书）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x。

（多让几名学生回答，然后板书：1+x）师：（在黑板的其他位置板书：第二轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让学生思考一会儿再指名回答）生：1+x+x(1+x)。

[多让几个学生回答，然后板书：1+x+x(1+x)。

（3）师：下面大家根据题目的意思列一列方程。

（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得：）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121。

（生答，师板书）（4）师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解。

（让学生解方程）解出的结果是什么？生：x1=10,x2=-12。

（生答，师板书）师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数学比较大，解起来比较麻烦。

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2=.解方程，得x1=，x2=（不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。

本节课通过具体案例让学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次三项式、一元二次方程的基本概念和求解方法，具备一定的数学基础。

但学生在解决实际问题时，往往不能将实际问题与数学知识有效结合，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学模型，并用一元二次方程进行求解。

三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系，学会将实际问题转化为数学模型。

2.掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。

3.培养学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程。

2.教学难点：如何引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法，引导学生主动参与课堂，提高学生的实践能力和合作意识。

六. 教学准备1.准备相关实际问题案例。

2.准备一元二次方程的解法教学资源。

3.准备教学课件和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题案例，如物体运动、面积计算等，引导学生思考如何将这些实际问题转化为数学模型。

2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题，如一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数，已知初速度、末速度和运动时间，求物体运动的位移。

引导学生将这个问题转化为一元二次方程。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程。

每组选一个实际问题进行操作，其他组进行评价。

4.巩固（10分钟）教师选取几个不同类型的实际问题，让学生独立完成转化为一元二次方程并求解的过程。

人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（1）》这一节主要讲解了一元二次方程在实际问题中的应用。

教材通过引入具体的问题情境，让学生了解一元二次方程在生活中的应用，培养学生的数学应用能力。

教材内容安排合理，由浅入深，通过实例让学生理解一元二次方程的实际意义，并学会运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程的方法有一定的了解。

但在实际问题中的应用，还需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，但需要在实际问题的解决中进一步培养和提高。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法，培养学生的数学建模能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：让学生学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。

2.难点：如何引导学生理解并掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实际问题，引导学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

2.问题驱动法：引导学生主动思考实际问题，自主探索一元二次方程的解法。

3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题与一元二次方程的关系。

2.实例材料：准备一些实际问题，作为教学案例。

3.计算器：为学生提供计算器，方便计算。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题，激发学生的学习兴趣。

人教版九年级数学上册21.3.2《实际问题与一元二次方程(第1课时)》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.3.2《实际问题与一元二次方程(第1课时)》主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得出实际问题的解答。

本节课的内容是学生学习一元二次方程的重要环节，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的相关知识，对一元二次方程有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为方程。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生学会从实际问题中提取关键信息，并将其转化为方程。

三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系。

2.学会将实际问题转化为一元二次方程。

3.掌握求解一元二次方程的方法。

4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为一元二次方程的方法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中提取关键信息，并将其转化为方程。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究，发现实际问题与一元二次方程之间的关系。

2.案例分析法：分析典型实例，让学生掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题案例。

2.准备一元二次方程的求解方法。

3.准备教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入实际问题，激发学生的学习兴趣。

如：某商场举行打折活动，原价100元的商品现价为80元，求打折力度。

2.呈现（10分钟）呈现一组实际问题，引导学生观察、分析，发现实际问题与一元二次方程之间的关系。

如：某工厂生产一批产品，已知生产x个产品时的总成本为C元，求生产50个产品的总成本。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

《实际问题与一元二次方程（一）》教学设计一、教学内容分析本单元探究的几个问题，比以前出现的实际问题在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际问题也更接近.本节课以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题.本节课的核心内容是根据实际问题情境列出一元二次方程并求解.教学过程中注重让学生感受一元二次方程与实际问题的密切联系以及模型思想，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.“探究1”以流感问题为背景，讨论按一定的传播速度逐步传播的问题，这类问题在现实世界中有许多原型，例如细胞分裂、信息传播，疾病传染扩散，当传播速度为定值时，这类问题与等比数列有联系，其中探究讨论的两轮传播，用一元二次方程刻画.“探究2”以成本下降为背景，讨论平均变化率的问题，这类问题在现实世界中有很多原型，如经济增长率、人口增长率等，本探究中讨论的是两个时间段的变化率，用一元二次方程描述.通过学习本节课，学生可进一步经历列方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答.二、学情分析学生已经学习了用一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识解决实际问题，感受了方程模型的重要作用和应用价值，积累了一些利用方程解决实际问题的经验.而方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它可以在更高、更深层面上表达实际问题中含有未知数的数量关系，是一种应用更为广泛的数学模型.学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题，对发展学生运算能力、推理能力、模型思想和应用意识有重要的意义.学习本节课之前学生刚刚学习了一元二次方程的解法，因此，在灵活选用恰当的方法解一元二次方程上还存在一定的欠缺，教学过程中要继续加强练习.学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，因此，本节课适合采用自主探究、合作交流的方式学习.九年级学生具有丰富的想象力、强烈的好奇心，本节课从生活中的实际问题入手，容易激发他们的主观能动性.三、教学目标1.会根据具体问题（有一定速度的传播问题和平均增长率、下降率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.体会方程是刻画现实世界某些问题中数量关系的有效数学模型.2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤.4.通过经历列一元二次方程解决实际问题的过程，体会数学的实用价值，提高学习兴趣.●重点列一元二次方程解实际问题（有一定速度的传播问题和平均增长率、降低率问题）●难点发现问题中的数量关系.四、评价设计学习评价量表标准等级能找出题目中的已知量和未知量，并能合理地设出未知数 A找出能够表达实际问题全部含义的一个等量关系，然后列方程表达这个等量关系B会解方程，求出未知数的值；检验方程的根能否使得实际问题有意义，并能准确地答题B 五、教学活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动复习回顾问题 1 之前我们已经学习了用一元一次方程、二元一次方在教师的提示下回答.为学生创设一个回忆、思程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识解决实际问题，感受了方程模型的重要作用和应用价值，积累了一些利用方程解决实际问题的经验，今天我们继续讨论如何利用一元二次方程分析解决实际问题你还记得列方程解应用题的关键步骤是什么吗？审：审清题意，搞明白哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间存在怎样的数量关系；设：指设元，也就是设未知数，可以直接设未知数或间接设未知数，如果直接设比较难列方程可以间接设未知数；列：列方程是关键的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表达这个等量关系；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的根能否使得实际问题有意义；答：写出答案，一定遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则.考的情境，同时为引入新课、研究一般结论做铺垫.问题与情境问题2 固定速度传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮已知量：有一人患了流感，两轮传染后共有121人患流感.教师帮助学生分析问题，能帮助学生传染中平均一个人传染了几个人？分析：题中已知量和未知量分别是什么？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后，共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后共有人患了流感.（均用含x的代数式表示）请学生完成该题的解答. 未知量：每轮传染中平均一个人传染了x个人；第一轮传染后，共有（1+x）人患了流感；第二轮传染后共有[1+x+x（1+x）]人患了流感.解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列方程得1+x+x（1+x）=121.解得1x=10，2x=-12（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.更好地理解题意，为后面解应用题奠定基础，同时也培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯，发展自主探究的能力.举一反三问题 3 某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到控制，经过三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？请你先独立完成，然后和同学交流一下你的解答在学生解分析：设平均一台电脑会感染x台，第一轮感染后会新增x台，第二轮感染后会新增（1+x）x台，第二轮感染后共有1+x+（1+x）x=2x（1+）台电脑被感染病毒，三轮感染后总共有2x（1+）+2x（1+）x=以上练习的设计，主要是为了给学生创造一个知识迁移运用的机会，同时也能吸引和调动全班同学参与到积极动脑、各抒己见的活跃答的过程中，老师巡视，观察出现的错误以及遇到的困难，及时点拨，提醒学生注意解题的严谨性、规范性.3x（1+）台电脑被感染解设每轮传染中平均一台电脑感染了x台电脑.根据题意，列方程得1+x+（1+x）x=81.整理，得2x（1+）=81.解得1x=8，2x=-10（不合题意，舍去）.所以，第三轮感染后，被感染的电脑总台数为3x（1+）=3（1+8）=729.因为729>700，所以会超过700台.答：每轮传染中平均一台电脑感染8台电脑.经过三轮感染后，被感染的电脑超过700台.气氛中来.问题与情境问题4 平均变化率问题两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？解设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为50002x（1-）元，于是有这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等.教学过程中让学生体会到数分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000—3600）÷2=1200（元）.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）.请同学们先独立思考，然后小组交流.乙种药品的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率.思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？总结：如果a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，请你总结出平均增长率的公式或平均下降率的公式. 50002x（1-）=3000.解方程，得1x≈0.225，2x≈1.775（不合题意，舍掉）.即甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.对于乙种药品，同理可得60002x（1-）=3600.解方程，得1x≈0.225，2x≈1.75（不合题意，舍掉）.即乙种药品成本的年平均下降率为22.5%.所以两种药品成本的年平均下降率相等.成本下降额和成本下降率是两个接近而不同的概念，前者是绝对变化量，单位是元；后者是相对变化量，是表示率的数字.平均增长率的公式：a(1+x)n b（x为平均增长率）；学来源于生活又服务于生活，通过这个问题，使学生认识到分析问题时应对变化额和变化率兼顾，这样才能全面地比较对象的变化情况.平均下降率的公式：a(1-x)n b=（x为平均下降率）.举一反三问题5 某城市计划用两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则绿地面积平均每年的增长率是多少？问题6 某商场销售一种服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元.经市场调查发现：如果每件服装降价1元，平均每天能多售出2件.国庆节期间，商场决定采取降价销售的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的如果销售这种服装每天盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？解设平均每年增长率为x，根据题意可列方程为2144(1+x)=225.整理，得225(1+x)=.16解得1x=14，2x=94-其中2x=94-不合题意，应舍去.答：绿地面积平均每年增长率应为25%.解设每件服装降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200解方程，得1x=10，2x=20因为要达到减少库存的目的，所以应取答：每件服装应降价20元.深化对所学内容的理解、内化研究问题的方法，提升学生总结概括反思的能力.六、板书设计实际问题与一元二次方程（一）复习列方程解应用题的步骤：例1：……审：已知量、未知量及它们的关系；分析：设：设未知数（直接设未知数或间接设未知数）；列：找表达应用题全部含义的一个等量关系；解：求出方程未知数的值；例2：……验：方程的根能否使得实际问题有意义；分析：答：问啥答啥.七、达标检测与作业列方程解应用题1.某种植物的主干长出若干数目的分支，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、分支和小分支的总数是91，每个分支长出多少小分支？2.某工厂由于管理水平提高，生产成本逐年下降，原来每件产品的成本是1600元，两个月后，降至900元，则生产成本平均每月降低多少？3.青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200 kg，2012年平均每公顷产8450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元.以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该种植多少株？5.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3 月份的14000元/2m 下降到5 月份的12600元/2m.（1）请问：4、5两个月份平均每个月降价的百分率是多少？（参考数据：0.9（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m？请说明理由6.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？八、教学反思本节课抓住了培养方程模型思想的关键问题，通过设置恰当的问题，循序渐进地培养学生的审题能力和审题习惯，再由学生独立完成同类题，最后小组讨论.通过辨析研讨、总结提升等手段和途径，进一步激发学生的学习热情，培养他们动脑和思辨习惯.本节课还重在使学生经历和体会用各种不同的方法寻找数量关系，突出建立方程模型的一般方法，强调了问题中的基本数量关系和相等关系.因此，本节课在培养学生分析问题的能力方面做得非常到位.我们生活在一个丰富多彩的世界，其中大量问题涉及数量关系的分析，方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要的数学模型.因此，我们的教学要让学生通过探究活动，经历从实际问题抽象岀方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一种有效的数学模型.设未知数、列方程是用数学模型表示和解决问题的关键步骤.而正确地理解问题情境，分析其中的数量关系是设未知数、列方程的基础，因此在具体教学时，教师需要从多角度引导学生思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找出数量关系，抓住培养方程模型思想的关键问题，引导学生在独立思考、自主探究和合作交流的前提下，让他们经历“问题情境—建立模型—求解验证（问题解决）”的过程，体现模型思想的基本要求.经历类比、归纳、创新的过程，有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识和技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质，更有利于学生主动去发现、提出、分析和解决问题，培养创新意识.。

22.3实质问题与一元二次方程（第 1 课时）教课目的：1.经过学生自学研究感觉用一元二次方程解决实质问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实质问题的种类（流传问题、百分率问题）及解题的详细步骤。

教课要点：一元二次方程解决流传问题、百分率问题.教课难点：如何理解流传问题的流传过程.教课过程：一、出示学习目标：1.阅读研究 1与 2并进行填空，掌握流传问题与增加率（减少率）的解题思路；2. 在理解的基础上，达成P48第 4、7 题。

三、成效检测：1．例题评论：研究 1：有一个人患了流感, 经过两轮传染后有 121 人患了流感 , 每轮传染中均匀一个人传染了几个人 ? 1+x+x(x+1)=121由中基层学生口答书中填空，而后上层学生说出流传问题的注意点，老师再赐予增补。

注意 :1.此类问题是流传问题 .2.计算结果要切合问题的实质意义 .思虑 : 假如依据这样的流传速度 , 三轮后有多少人患流感 ?121+121× 10=1331（人）（齐答）研究 2：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元 , 生产 1 吨乙种药品的成本是6000 元, 随着生产技术的进步, 此刻生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元 , 生产 1 吨乙种药品的成本是3600 元 , 哪一种药品成本的年均匀降落率较大?2则： 5000 (1 x) 3000解: 设甲种药品成本的年均匀降落率为x,由学生口答：乙的降落率的方程：设乙种药品成本的年均匀降落率为y, 则：2(1 y) 36006000由中基层学生口答书中填空，而后上层学生说出百分率问题的注意点。

注意 : （ 1）若问的是第三年，则a（1+x）2=b；（ 2）若问的是前三年，则a+a（ 1+x） +a（ 1+x）2=b思虑：什么是成本降落额与成本降落率？2.P48 第 4、 7 题中基层学生在自学完以后先板演成效检测时，由同座的同学赐予评论与纠正四、当堂训练：1. 某旅行景点用于2007 年绿化投资 20 万元， 2009 年用于绿化投资25 万元，求这两年绿化投资的年均匀增加率．设这两年绿化投资的年均匀增加率为x ，依据题意所列方程为（） BA.20 x 225B.20(1x) 225 C .20(1x) 25 D.20(1 x)20(1 x )2252. 某农机厂四月份生产部件50 万个，第二季度共生产部件182 万个 . 设该厂五、六月份均匀每个月的增加率为x，那么 x 知足的方程是（） BA.50(1x) 2182B.5050(1x )50(1x)2182C .50(12x )182D .50 50(1x)50(12x )1823. 某种电脑病毒流传特别快，假如一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识剖析，每轮感染中均匀一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超出700 台？22.3实质问题与一元二次方程（第 2 课时）教课目的：1.经过学生自学研究感觉用一元二次方程解决实质问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实质问题的种类（裁边切割问题）及解题的详细步骤。

22.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）教学目标：1.通过学生自学探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2.在阅读的过程中，掌握实际问题的类型（传播问题、百分率问题）及解题的具体步骤。

教学重点：一元二次方程解决传播问题、百分率问题.教学难点：如何理解传播问题的传播过程.教学过程：一、出示学习目标：1.阅读探究1与2并进行填空，掌握传播问题与增长率（减少率）的解题思路；2.在理解的基础上，完成P48第4、7题。

三、效果检测：1．例题点评：探究1：有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 1+x+x(x+1)=121 由中下层学生口答书中填空，然后上层学生说出传播问题的注意点，老师再给予补充。

注意:1.此类问题是传播问题.2.计算结果要符合问题的实际意义.思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?121+121×10=1331（人）（齐答）探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?解:设甲种药品成本的年平均下降率为x, 则：30005000)1(2=-x由学生口答：乙的下降率的方程：设乙种药品成本的年平均下降率为y,则：36006000)1(2=-y由中下层学生口答书中填空，然后上层学生说出百分率问题的注意点。

注意:（1）若问的是第三年，则a （1+x ）2=b ；（2）若问的是前三年，则a+a （1+x ）+a （1+x ）2=b思考：什么是成本下降额与成本下降率？2. P48第4、7题 中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正四、当堂训练：1.某旅游景点用于2019年绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（） B2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（） B3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？。

数学《实际问题与一元二次方程》教案
一、教学目标
1. 了解实际问题如何转化成一元二次方程。

2. 学会解决实际问题，运用一元二次方程进行计算。

3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重难点
1. 学生如何把实际问题转化成一元二次方程。

2. 立法方程及解题。

三、教学方法
1. 教师讲授。

2. 板书法。

3. 案例分析法。

四、教学过程
1. 导入
教师通过几个生活中的实际问题，引导学生思考问题的解决方法，以及如何把问题转化成一元二次方程。

2. 观察示范
教师可以通过板书或者投影展示一道实际问题，并演示如何通
过分析问题、列出方程解决问题的过程。

3. 实际操作
让学生自己动手尝试解决一些实际问题，引导学生分析问题、列出方程，进行计算。

4. 案例解析
通过一些实际案例的解析，让学生进一步理解如何把问题转化成方程，如何解决问题。

五、教学建议
1. 教师可以提前准备一些生活中的实际问题，作为教学案例。

2. 学生需要掌握一些常见的一元二次方程解法，例如配方法、因式分解、公式法等，以便更好地解决实际问题。

3. 学生需要注意实际问题中的一些条件限制，例如时间、空间限制，以免影响问题的解决。

4. 教师需要鼓励学生多思考，多尝试，提高解决问题的能力和思维水平。

21.3 实际问题与一元二次方程第1课时实际问题与一元二次方程（1）【知识与技能】会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度】通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.一、情境导入，初步认识问题在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.【教学说明】让学生在回顾解实际问题过程中的思路方法，为进一步学习新的问题作好铺垫，导入新课.二、思考探究，获取新知探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？【教学说明】教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有人患了流感；（2）第二轮传染后，被传染的人数为人，故第二轮传染后共人患了流感.最后师生共同完成解答过程：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后共有（1+x）人患了流感，第二轮传染后共［1+x+(1+x)·x］人患流感，依题意可列方程为1+x+(1+x)·x=121方程可整理为(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，故平均一个人传染了10个人.想一想（1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新认识吗？【教学说明】（1）的问题学生可通过前面的分析获得结论，进一步加深对传播问题中数量关系的理解和认识；（2）中问题应让学生相互交流，总结规律.探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为元，第二年后的成本为元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.三、典例精析，掌握新知例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),即每个支干长出9个小分支.例2某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：2.25%（1-a%）2=1.98%解得a1≈6.19,a2≈193.81(不合题意，应舍去).即平均每次降息的百分率约为6.19%.【教学说明】让学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决问题，加深对知识的领悟，其中例2可借助计算器来帮助解决问题.教学时，教师在学生探究期间应巡视全场，帮助困难学生找出解决问题的思路方法，最后给出完整解答过程，培养学生良好的解题习惯.四、运用新知，深化理解1.一台电视机的成本价为a元，原销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为.2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?【教学说明】设置这几道题有利于学生进一步掌握一元二次方程应用题的解法，题目稍难，老师应巡视给予指导，然后共同完成.【答案】1.（1+25%）a·(1-x%)2元2.设每一天的传染中平均一只小鸡传染了x只小鸡，由题意，得（1+x）+(1+x)·x=169，解得x1=12,x2=-14(不合题意，舍去)，故每一天平均一只小鸡传染了12只小鸡.3.设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a人，由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，解得x1=0.5,x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.【教学说明】教师可向学生提问，以进一步巩固列方程解应用题的方法和解题步骤，为后续学习作好铺垫.1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、学习目标1.根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

2.根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力.二、学习重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题和增长率（降低率）问题；.2.难点：根据数量关系列方程.三、新课探究：（一）挑战自我、创设情境：填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了2个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了2个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.（二）新知探究：例1：有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？课堂练习：1、有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.2.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.3.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？只列方程为：------------------------------------例2、某生物实验室需培植一群有益菌，现有2个活体样本，经过两轮培植后，总和达64个，其中每个有益菌每一次可分裂出相同数目的有益菌，每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？探究二：1、某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。