2019年湖南省怀化市高三一模数学（理）试题

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019年高三第一次模考理科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，再和求交集即可.【详解】解不等式得，即，因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. 1B. -1C. 0D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法先求出复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型.3.有下列四个命题：：，.：，.：的充要条件是.：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】逐项判断命题的真假即可.【详解】根据正弦函数的值域，可判断：，为真；当时，，所以：，为真；时，，但无意义，所以：的充要条件是为假命题；若是真命题，则或有一个为真即可，所以“：若是真命题，则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合相关知识点判断即可，属于基础题型.4.两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两正数的等差中项为，等比中项为，求出，进而可求出结果.【详解】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记公式即可，属于基础题型.5.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下：(1)甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；(2)甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；综上，所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，以及分类讨论思想，分两种情况讨论即可得出结果，属于基础题型.6.设函数的图像关于原点对称，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由辅助角公式整理函数解析式，再由函数关于原点对称，即可求出结果.【详解】因为，又函数关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记性质即可得出结果，属于基础题型.7.在的展开式中，项的系数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式先求出，再由微积分基本定理即可求出结果.【详解】因为，展开式的通项为，所以在的展开式中，项的系数为，即；所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，熟记定理即可，属于基础题型.8.的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由面积公式和余弦定理，可将化为，进而可求出结果.【详解】因为为的面积，所以，又,所以可化为，所以，因为为三角形内角，所以为钝角，又，所以，整理得，解得，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型.9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：，，）A. 3，3.1056，3.1420B. 3，3.1056，3.1320C. 3，3.1046，3.1410D. 3，3.1046，3.1330【答案】B【解析】【分析】按程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】当时，，输出；当时，，输出；当时，，输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，同理可求出，再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出弦长，进而可求解，属于常考题型.11.如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥，进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及几何体外接球的相关计算，先由三视图确定几何体的形状即可求解，属于常考题型.12.设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设，由以为切点可作直线与两曲线都相切，可得两函数在点处切线斜率相同，再由导数的方法即可求解.【详解】设，由于点为切点，则，又点的切线相同，则，即，即，又，，∴，于是，，设，则，所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，一般需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性等，属于常考题型.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设等比数列的前项的和为，且满足，，则_______．【答案】32【解析】【分析】先设等比数列的公比为，再由，求出首项和公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记其通项公式和前项和公式，即可求出结果，属于基础题型.14.已知实数满足，则目标函数的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，结合可行域即可求出结果. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数可化为，因此表示直线在轴截距的相反数，求的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线过点B时截距最小，由解得，所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解，属于基础题型.15.已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】-4【解析】【分析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，，，，所以，，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象（如图所示）．不妨令，则由已知和图象，得，且，则，则，因为在恒成立，所以在单调递减，所以，三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】【分析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，即可得到；（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型.19.在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人，镇有基层干部60人，镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，，，，，，绘制成如下频率分布直方图.（1）求这40人中有多少人来自镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】【分析】（1）先确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则，，，所以的分布列为所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.21.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，函数在区间上单调递增；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.∴时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2），【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为∵直线的极坐标方程是：∴∴直线的直角坐标方程为（2）∵点是曲线上的动点，∴设，则到直线的距离：，∴当时，点到直线距离取最大值当时，点到直线距离取最小值【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由分类讨论的思想，先求出函数的最小值，再解函数绝对值不等式即可；（2）由分析法证明即可.【详解】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，分析法是常用的一种证明方法，属于常考题型.。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（一）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

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第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={02|2≥++-∈x x N x }，则满足条件的集合B 的个数为 A. 3B. 4C. 7D. 82.已知i 为虚数单位，且复数2满足|34|)21(i i z -=+，则复数z 的共轭复数为A.1-2iB. l+2iC. 2-iD. 2+i3.双曲线14822=-y x 与双曲线14822=-x y 有相同的 A.渐近线B.顶点C.焦点D.离心率4.已知倾斜角为α的直线与直线012:=-=y x l 垂直，则αα22sin cos -的值为 A. 53- B. 53 C. 56D. 0 5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是A.月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元 6.已知0x 0221<),,0[x 0,>1,,:a ax ax R x p +∞∈∃++∈0，若q p ∧为真，则实数a 的取值范围为 A. (0,1) B. [0,1) C. (0,1]D. 07.已知数列{n a }满足xdx a a n a a a n n n 2sin 4),2(2084112π=⋅≥=+-，且0>4a ,则=⋅)3tan(6πa A.33- B. 33C.3- D. 38.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为 A.1 B.2 C.3 D.2 9.如图所示为函数)20,>)(sin()(πϕωϕω≤+=x A x f 的部分图象，点M 、N 分别为图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点A(0，1)与点B 关于点P 对称，且向量NB 在x 轴上的投影恰为1，229=AP ，则)(x f 的解析式为A.)36sin(332)(ππ+=x x f B. )63sin(2)(ππ+=x x fC. )66sin(2)(ππ+=x x fD. )632sin(2)(ππ+=x x f 10.在正方体中，过AB 作一垂直于直线B1C 的平面交平面ADD1A1于直 线l ，动点M 在直线l 上，则直线B1M 与直线CD 所成的角的正弦值的最小值是A. 33B.23 C. 22 D. 21 11.过抛物线C: y x 42=的焦点F 作斜率分别为21,k k 的两条直线21,l l ，其中A 交C 于A 、B 两 点，2l 交C 于D 、E 两点，若221=k k ,则|AB| + |DE|的最小值为 A. 12 B. 16 C. 24 D. 3012.对于函数:)(x f y =与)(x g y =，若存在0x ，使)()(00x g x f -=，则称))(,()),(,(00o o x g x N x f x M --是函数)(x f 与)(x g 图象的一对“隐对称点已知函数1)1ln()(),2()(--=+=x x x g x m x f ，若函数)(x f 与)(x g 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为 A.(-1，0) B.(-∞,一1)C.(0，1) U (1，+∞)D.(-∞,-1)U( -1,0) .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年湖南省怀化市城关中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知sin2α＝，则＝A．－B．－C．D．－参考答案：D略2. 如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9 C．45 D．90参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m=225，n=135，225÷135=1…90，r=90，不满足退出循环的条件；m=135，n=90，135÷90=1…45，r=45不满足退出循环的条件m=90，n=45，90÷45=2…0，r=0满足退出循环的条件故输出m=45．故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．3. 已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（?U B）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先化简集合A、B，求出?U B，然后借助数轴即可求得答案．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则C U B={x|x≤1}，∴A∩（?U B）={x|x＜0}，故选D．【点评】本题考查指数、对数不等式的解法和集合的运算，属基础题，指数、对数不等式常化同底后利用函数单调性求解．4. 在中，点是上的一点，且，是的中点，与的交点为，又，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：C5. 已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为（A） (B)(C) (D)参考答案：A略6. 已知命题，则A． B．C． D．参考答案：A略7. 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则∴∴∴故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；8. 已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）A．[0，3] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，集合B={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤3}=[2，3]．故选：B．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．9.“,成立”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ▲ )A．27 B．30 C．33 D．36参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，.若存在，使得，则实数b的取值范围是．参考答案：(－2,0)当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.12. 已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是．参考答案：13. 二项式的展开式中常数项为 . （用数字表达）参考答案：-16014. 已知a>0，且a≠1，,则实数a的取值范围是 .参考答案：15. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为．第14题图参考答案：略16. 由曲线y＝－x2＋2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为参考答案：17. 已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；转化法；简易逻辑．【分析】①令x=﹣2，可得f（﹣2）=0，从而可判断①；②由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，再利用f（x）是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判断②；③依题意知，函数y=f（x）在[0，2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断③；④由题意可知，y作出函数在（﹣8，6]上有的图象，从而可判断④．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=﹣2，则f （﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），即f（﹣2）=0，即①正确；②：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x），而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），则直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；③：当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，而f（x）的周期为4，∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误；④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，在[﹣2，0]上为减函数，∴作出函数在（﹣8，6]上的图象如图：则函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，故④正确．故答案为．①②④【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省怀化市2019 届高三数学统一模拟考试试题（二）理本试卷共 4 页 ,23 题 ( 含选考题 ) 。

全卷满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项 :1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答 : 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5.考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。

第 I 卷一、选择题 : 本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 i 为虚数单位，a, b R，复数1i i a bi ，则 a biA. 12 i 1 2 i2 i2 1 i 2 1 iB. C. D.5 5 5 5 5 5 5 52. 已知集合 A x 2 x 3 , B x log(2x2 2x 2) 0，则A B =A. 2, 1B. [ 2, 1)C. (1,3]D. 0,2,33.某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.教育督导一年后 . 分别随机抽查了初中 ( 用 A 表示 ) 与小学( 用 B表示 ) 各 10 所学校 . 得到相关指标的综合评价得分( 百分制 ) 的茎叶图如图所示 . 则从茎叶图可得出正确的信息为 (80 分及以上为优秀)①初中得分与小学得分的优秀率相同②初中得分与小学得分的中位数相同③初中得分的方差比小学得分的方差大④初中得分与小学得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 等差数列 a 的前 n 项和为S n，且a3a7 22, S11 143 ，若 S n 195 ，则 n 的最小值为nA. 13B. 14C. 15D.165. 函数 f ( x) ln x (cos x 1) sin x 的部分图象大致是6. 已知抛物线 C：x2 1 y 的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，过P 点作抛物线的切线交 y2轴于点 Q，. 若2 OQ PF (O为坐标原点)，则点P的横坐标为2 2 2 1A. B. C'. D.4 4 4 47.某组合体的三视图如图所示 . 则该组合体的体积为A. 4B. 84 8C. D.3 38. 如图所示，在边长为 2 的菱形 ABCD中，BAD 120 ，点E，F分别为对角线BD上两个三等分点，则 AE CF4 4 28 28A. B. C. D.3 3 3 310. 已知点 G在△ ABC内，且满足2GA 3GB 4GC 0 ，现在△ABC内随机取一点，此点取自?GAB、?GAC、?GBC的概率分别记为P1、 P2、 P3，则A.P =P=PB. P3 >P>P C. P1> P >P3D. P >P >P1 2 3 2 1 2 2 1 311. 已知双曲线 C：x2y21(a 0, b 0) ，O为坐标原点，F:为C的右焦点，过点 F 作倾斜角为a2 b2135 的直线与C在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为M，N。

2019届怀化三中高三5月模拟考试数学（理）（2）试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设集合，集合，则等于 ( )A ．B ．C ．D ．2．若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．1C ．12iD ．12- 3．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若，则，）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65874．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．升B ．升C ． 升D ．升 5．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．86．某城市有连接8个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他不经过市中心的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A． B． C． D．8．执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A． B． C． D．9．已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为（）A．B．C．D．10．设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设平面向量，若，则等于 ______．。

2019届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得到集合，再和求交集即可.【详解】解不等式得，即，因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．1 B．-1 C．0 D．【答案】A【解析】由复数的除法先求出复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型.3．有下列四个命题：：，.：，.：的充要条件是.：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】逐项判断命题的真假即可.【详解】根据正弦函数的值域，可判断：，为真；当时，，所以：，为真；时，，但无意义，所以：的充要条件是为假命题；若是真命题，则或有一个为真即可，所以“：若是真命题，则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合相关知识点判断即可，属于基础题型.4．两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两正数的等差中项为，等比中项为，求出，进而可求出结果. 【详解】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记公式即可，属于基础题型.5．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下：(1)甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；(2)甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；综上，所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，以及分类讨论思想，分两种情况讨论即可得出结果，属于基础题型.6．设函数的图像关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由辅助角公式整理函数解析式，再由函数关于原点对称，即可求出结果. 【详解】因为，又函数关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记性质即可得出结果，属于基础题型.7．在的展开式中，项的系数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二项展开式的通项公式先求出，再由微积分基本定理即可求出结果. 【详解】因为，展开式的通项为，所以在的展开式中，项的系数为，即；所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，熟记定理即可，属于基础题型.8．的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由面积公式和余弦定理，可将化为，进而可求出结果.【详解】因为为的面积，所以，又,所以可化为，所以，因为为三角形内角，所以为钝角，又，所以，整理得，解得，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型. 9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：，，）A．3，3.1056，3.1420 B．3，3.1056，3.1320C．3，3.1046，3.1410 D．3，3.1046，3.1330【答案】B【解析】按程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】当时，，输出；当时，，输出；当时，，输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】先由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，同理可求出，再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出弦长，进而可求解，属于常考题型.11．如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥，进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及几何体外接球的相关计算，先由三视图确定几何体的形状即可求解，属于常考题型.12．设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先设，由以为切点可作直线与两曲线都相切，可得两函数在点处切线斜率相同，再由导数的方法即可求解.【详解】设，由于点为切点，则，又点的切线相同，则，即，即，又，，∴，于是，，设，则，所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，一般需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性等，属于常考题型.二、填空题13．设等比数列的前项的和为，且满足，，则_______．【答案】32【解析】先设等比数列的公比为，再由，求出首项和公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记其通项公式和前项和公式，即可求出结果，属于基础题型.14．已知实数满足，则目标函数的最大值为_______．【答案】4【解析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数可化为，因此表示直线在轴截距的相反数，求的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线过点B时截距最小，由解得，所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解，属于基础题型.15．已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】-4【解析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，，，，所以，，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象（如图所示）．不妨令，则由已知和图象，得，且，则，则，因为在恒成立，所以在单调递减，所以，三、解答题17．已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析【解析】（1）先证明平面，即可得到；（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型. 19．在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人，镇有基层干部60人，镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，，，，，，绘制成如下频率分布直方图.（1）求这40人中有多少人来自镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】（1）先确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则，，，所以的分布列为所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解. 【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型. 21．已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果； （2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可； （3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】 解：（1）因为，所以，①当时，，函数在区间上单调递增；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. （2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.∴时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2），【解析】（1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为∵直线的极坐标方程是：∴∴直线的直角坐标方程为（2）∵点是曲线上的动点，∴设，则到直线的距离：，∴当时，点到直线距离取最大值当时，点到直线距离取最小值【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）由分类讨论的思想，先求出函数的最小值，再解函数绝对值不等式即可；（2）由分析法证明即可.【详解】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，分析法是常用的一种证明方法，属于常考题型.。

怀化市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．i 是虚数单位，复数131ii--为 A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若{ }M =直线, { }N =抛物线, 则M N 的元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为A ．+1πB ．1+2πC ．+2πD ．2+1π4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有 A ．16种 B ．18种 C ．20种 D ．22种5.若在区域00x y x y ⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 恰好在单位圆221x y +=内的概率为 A ．4π B ．6π C ．8π D ．12π6.设直线l 的方程为：sin 20130x y θ+-= (R θ∈)，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．下列命题正确的有①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“理想距离”为：(,)d P Q = 1212x x y y -+-；若()y x C ,到点()3,2A 、()8,8B 的“理想距离”相等，其中实数x 、y 满足 80≤≤x 、80≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和是A ．B ．152C ．10D ．5 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．计算1213x dx -⎰的值等于 ．10．如右图，点,,A B C 是圆O 上的点，且32=BC ，32π=∠BAC ，则圆O 的面积等于 ．11．若曲线C 的极坐标方程为 θθρsin 2cos 2=，则曲线C 的普通方程为 .（二）必做题（12～16题）12．看右边程序运行后的输出结果s = ．13．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：βα//， 则p 是q 的 条件． 14．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为2log (2)y x =+(>0a 且1a ≠)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 ． 15．已知a ,b ,c 成等差数列且公差不为零，则直线0ax by c -+=被圆22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为_______． 16．已知,*x y N ∈，且2112341999x y -+++++=+++++，当2x =时,y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知(),f x m n =⋅ 设0>ω， )cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于2π． （1）求ω的值；（2）在AB C ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC a S ∆==．当()1f A =时，求,b c 的值．18．（本小题满分12分）在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜.(1) 求该考生8道题全答对的概率；(2) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分 数的分布列. 19．（本小题满分12分）正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．（1）求证：A 1C ⊥面AEF ；（2）求截面AEF 与底面ABCD 所成二面角θ的正切值．20．（本小题满分13分）)京广高铁于2019年12月26日全线开通运营，808G 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程()S t (单位：m )和时间t (单位：s )的关系为：2315165()ln(1)422S t t t t =-+++.（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 21．（本小题满分13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（2）对于抛物线上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，求a 的取值范围． 22．（本小题满分13分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立．设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，n T =1231232222n n b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T ；（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。

2019年怀化市高考数学第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+3．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-114．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．196．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．37．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i8．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->11．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)二、填空题13．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．15．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 17．若45100a b ==，则122()a b+=_____________． 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．函数232x x --的定义域是 .三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为6，求PF 的长度. 24．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 25．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1xf x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23ˆy x a =+．又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =⨯+， ∴0.08a =，∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．2．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.3．C解析：C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断4．A解析：A 【解析】 【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．5．D解析：D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D6．C解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C7．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={02|2≥++-∈x x N x }，则满足条件的集合B 的个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 82.已知i 为虚数单位，且复数2满足|34|)21(i i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A.1-2i B. l+2i C. 2-i D. 2+i3.双曲线14822=-y x 与双曲线14822=-x y 有相同的A.渐近线B.顶点C.焦点D.离心率4.已知倾斜角为α的直线与直线012:=-=y x l 垂直，则αα22sin cos -的值为A.53-B. 53C. 56D. 05.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是A.月收入的极差为60 B. 7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元6.已知0x 0221<),,0[x 0,>1,,:a ax ax R x p +∞∈∃++∈0，若q p ∧为真，则实数a 的取值范围为A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. 07.已知数列{na }满足xdxa a n a a a n n n 2sin 4),2(2084112π=⋅≥=+-，且0>4a ,则=⋅)3tan(6πaA.33-B. 33C. 3-D. 38.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为 A.1 B.2 C. 3 D.29.如图所示为函数)20,>)(sin()(πϕωϕω≤+=x A x f 的部分图象，点M 、N 分别为图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点A(0，1)与点B 关于点P 对称，且向量的投影恰为1，229=AP ，则)(x f 的解析式在x 轴上为A.)36sin(332)(ππ+=x x f B. )63sin(2)(ππ+=x x fC.)66sin(2)(ππ+=x x f D. )632sin(2)(ππ+=x x f 10.在正方体中，过AB 作一垂直于直线B1C 的平面交平面ADD1A1于直 线l ，动点M 在直线l 上，则直线B1M 与直线CD 所成的角的正弦值的最小值是A. 33B.23C. 22D. 2111.过抛物线C:y x 42=的焦点F 作斜率分别为21,k k 的两条直线21,l l ，其中A 交C 于A 、B两 点，2l 交C 于D 、E 两点，若221=k k ,则|AB| + |DE|的最小值为 A. 12 B. 16 C. 24 D. 3012.对于函数: )(x f y =与)(x g y =，若存在0x，使)()(00x g x f -=，则称))(,()),(,(00o o x g x N x f x M --是函数)(x f 与)(x g 图象的一对“隐对称点已知函数1)1ln()(),2()(--=+=x x x g x m x f ，若函数)(x f 与)(x g 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为A.(-1，0)B.(-∞,一1)C.(0，1) U (1，+∞)D.(-∞,-1)U( -1,0) .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上．2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回．4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2019年高三第二次模考 理科数学命题人：怀铁一中 陈朦 审题人：彭斌、刘华、张理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．时量：120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上．1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{2,5}N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4} 2．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：x R ∀∈，210x x ++≠； C ．若命题“p q ∨”为真命题，则p 为假命题； D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件．3．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②将某校参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为92；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．设{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S为（ ） A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 5若20192019012019(1)(1)(1)x a a x a x -=+++++L ，x R ∈，则20191201933a a ⋅++⋅L 的值为（ ）A ．201912-B ．201912-+C ．201912-D ．201912+6．已知向量,a b r r满足||2a =r ，()1a b a ⋅-=r r r ，则||a b -r r 等于（ ）A ．23B ．22C ．7D ．37．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE <<的概率约为（参考数据：5 2.236≈）（ ）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.6188．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）A ．74 B ．94 C ．52D ．2 9．已知函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x 的图象向左平移6π个单位后得到()g x ，()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和17,212a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．517,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．55,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1117,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．115,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当[0,2)x ∈时，()2xf x =，当[2,0)x ∈-时，21()log f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L 等于（ ）A ．1008B ．1009C ．1010D ．101111．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某个球面上，PC 为该球的直径，ABC V 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．683π B ．．163π C ．643π D ．803π12．已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应横线上． 13．若复数z 满足(1)17i z i +=-，则||z =_____．14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，点A ，点P 为双曲线右支上的动点，且APF V 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______．15．,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若4ABC π∠=，OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，则m n +最小值为_____．16．在右图所示的三角形数阵中，用,()i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()*,i j N∈，已知()*,11112i i i i a a i N -==-∈,，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即,1,11,(21)i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若,2100m a >，则正整数m 的最小值为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在ABC V 中，4C π=，48CA CB ⋅=u u r u u u r ，点D 在BC 边上且5AD =，3cos 5ADB ∠=．（Ⅰ）求,AC CD 的长； （Ⅱ）求cos BAD ∠的值． 18．（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，,E F 分别是,AB CD 的中点，将ADE V 沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<．（Ⅰ）证明：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）若ACD V 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的正弦值． 19．（本小题满分12分）某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率．（Ⅰ）求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并求图1中,,a b c 的值；（Ⅱ）若从这批树苗中随机选取3株，记ξ为高度在(1.40,1.60]的树苗数量，求ξ占的分布列和数学期望； （Ⅲ）若变量S 满足()0.6826P S μδμδ-<≤+>且(22)0.9544P S μδμδ-<≤+>，则称变量S 满足近似于正态分布的概率分布()2,Nμδ．如果这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.5,0.01)N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收试问：该批树苗能否被签收？ 20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过2)M ，6,1)N 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数()ln ()au x x a R x=-∈． （Ⅰ）若曲线()u x 与直线0y =相切，求a 的值； （Ⅱ）若12e a e +<<，设ln ()|()|xf x u x x=-，求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21x x e -<.（e 为自然对数的底数）请考生在第22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选中的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与曲线C 的交点为,O P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|3||2|f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|21|x x m -+<的解集； （Ⅱ）已知||10m a <，||10mb <，证明：|41|2||ab a b ->-． 怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2019届高三二模 理科数学参考答案一、选择题（12560''⨯=）12. 提示：因为函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=的图象上，而直线10kx y +-=关于直线1y =的对称图象为10kx y -+-=，所以函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点.又直线10kx y -+-=恒过点(0,1)A ，设直线AC 与2ln y x x x =-相切于点(,2ln )C x x x x -，则1ln y x '=-，所以2ln 11ln x x x x x-+-=，解得1x =，故1AC k =-， 设直线AB 与232y x x =--相切与点23,2B x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则23y x x '=--，所以231223x x x x x--+--=，解得1x =-，所以12AB k =-，所以112k -<-<-，故112k <<，故选C ．二、填空题（4520''⨯=）：13．5；14．2；15．2；16．103． 16．提示：,11112n n a -=-Q ，1,1211,(2)2n n a n --∴=-≥ 下面求数列{},2n a 的通项，由题意可知,21,11,2,(3)n n n a a a n --=+≥,21,21,12112n n n n a a a ---∴-==-即,21,22112n n n a a ---=-，(3)n ≥又()()(),2,21,21,22,23,22,22,221522n n n n n n a a a a a a a a n ----=-+-++-+=+-L ，数列{},2n a 显然为递增数列，又易知102,2103,2100a a <<，所以m 的最小值为103． 三、解答题17．解：（Ⅰ）在ABC V 中，3cos 5ADB ∠=，4sin 5ADB ∴∠= sin sin()sin coscos sin44CAD ADB ACD ADB ADB ππ∴∠=∠-∠=∠⋅-∠⋅42322525210=⨯-⨯= 在ADC V 中，由正弦定理得sin sin sin AC CD ADADC CAD ACD==∠∠∠即52 422 5AC==，解得：8AC=，2CD=（Ⅱ）48CA CB⋅=u u r u u u rQ，4Cπ=，||||cos48CA CB C∴⋅⋅=u u r u u u r，解得62CB=在ABCV中，由余弦定理可得2222cosAB AC BC AC BC C=+-⋅⋅2228(62)28622102AB=+-⨯⨯⨯=在ABCV中，由余弦定理可得：222cos2AB BD ADBADAB BD+-∠=⋅222(210)(52)(52)5221052+-==⨯⨯即5cos BAD∠=．18解：（Ⅰ）证明：,E F分别是正方形ABCD的边,AB CD的中点，//EB FD∴且EB FD=，则四边形EBFD为平行四边形，//BF ED∴．又ED⊂平面AED，而BF⊄平面AED，//BF∴平面AED．（Ⅱ）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连接,GC GD．ACDQV为正三角形，AC AD∴=，GC GD∴=，G∴在CD垂直平分线上，又EFQ是CD的垂直平分线，∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．过G作GH ED⊥，垂足为H，连接AH，则AH DE⊥，AHG∴∠是二面角A DE C--的平面角，即AHG θ∠=．设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF V 中，AF =，22EF AE a ==，AEF ∴V 直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，AG ∴=．在Rt ADE V 中，=AH DE AD ⋅，AH ∴=。

2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}5B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】试题分析：Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B【考点】集合的运算 2．下列命题错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：x R ∀∈，210x x ++≠C ．若命题“p q ∨”为真命题，则p 为假命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】A. 根据逆否命题的定义判断.B. 根据命题的否定的定义判断.C. 根据命题“p q ∨”，一真则真判断.D. 由2320x x -+>解得2x >或1x <，再用集合法判断. 【详解】A. 由逆否命题的定义知，正确.B. 由命题的否定的定义知，正确.C. 若命题“p q ∨”为真命题，则,p q 一真一假或都为真，所以p 可以为真命题，故错误.D. 因为2320x x -+>，解得2x >或1x <，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.不变；②将某校参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为92；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①根据均值与方差的计算公式判断.②根据系统抽样的间隔数判断.③根据线性回归分析判断.④根据独立性检验的前提判断. 【详解】①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，故错误； ②样本间隔为12002450=，若第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为()20412492+-⨯=，正确；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ，正确；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使推断出现错误，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．已知为等比数列，是它的前项和. 若，且与2的等差中项为，则= ( ) A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1，代入等比数列的求和公式即可． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，则可得a 1q•a 1q 2=2a 1，因为即a 1q 3==2，又a 4与2a 7的等差中项为 ，所以a 4+2a 7=，即2+2×2q 3=，解得q=，可得a 1=16，故S 5==31．故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题． 5．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+【答案】A【解析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.6．已知向量,a b r r 满足||2a =r ，||3b =r ，()1a b a ⋅-=r r r ，则||a b -r r等于( )A ．23B ．22C 7D 3【答案】D【解析】根据||2a =r ，||3b =r ，由()1a b a ⋅-=r r r，求得a b ⋅r r，然后再由()()()222||2a b a ba ab b-=-=-⋅+r r r r r r r r .【详解】因为||2a =r ，||3b =r，所以()2()1a b a a b a ⋅-=⋅-=r r r r r r ，解得5a b ⋅=r r，所以()()()222||242593a b a ba ab b-=-=-⋅+=-⨯+=r r r r r r r r .故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下:（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点｡若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为（ ）（参考数据:5 2.236≈）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.618【答案】A【解析】由已知条件及勾股定理求出AE ,BE ，则0.764 1.236AF 剟，利用几何概型中的线段型计算公式计算即可. 【详解】由勾股定理可得22215,1AC CD =+==，则51 1.236AD =≈，1.236,20.764AE BE AE ==-=，所以0.764 1.236AF 剟，由几何概型中的线段型可知使得BE AF AE ≤≤的概率约为1.2360.7640.2362-=.故选：A 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.8．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 9．已知函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x 的图象向左平移6π个单位后得到()g x ，()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则实数a 的取值范围是( )【答案】D【解析】由最小正周期为π，易得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得其单调减区间，再根据()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()g x 减区间的子集求解. 【详解】因为函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=，2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2()2sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令23222232k x k πππππ+≤+≤+，解得521212k x k ππππ-+≤≤+， 当50,,1212k ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，当11171,,1212k ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，所以5,,2461212a πππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，41117,,231212a πππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即561211212a a ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得11562a ππ≤≤. 则实数a 的取值范围是11562a ππ≤≤. 故选：D本题主要考查三角函数的图象和性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知函数()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当[0,2)x ∈时，()2x f x =，当[2,0)x ∈-时，21()log f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L 等于( ) A ．1008 B ．1009 C ．1010 D ．1011【答案】C【解析】根据函数()f x 是奇函数，得到()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，两者可推出()4()f x f x +=，得到函数()f x 是以4为周期的周期函数，可计算(2)(1)(0)(1)2f f f f -+-++=，然后利用周期性求解. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数， 所以(1)(1)f x f x +=-+，所以()(11)(11)(2)f x f x f x f x =---+=-++=-+， 所以()2(()4)f x f x f x -+=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，(2)(1)(0)(1)10122f f f f -+-++=-+++=，所以对任意整数t 均有()(1)(2)(3)2f t f t f t f t ++++++=， 所以(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L ，50521010=⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对称性以及周期性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某个球面上，PC 为该球的直径，ABC V 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积A ．683πB ．163πC ．643πD ．803π【答案】D【解析】根据题意作出图形，设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，利用截面圆的性质可求出1OO ，进而得到底面ABC 上的高，根据三棱锥的体积为163，求得半径即可. 【详解】 如图所示：设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ， 则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则PD ⊥平面ABC ， 因为143CO =，所以21163OO r =-所以2116223PD OO r ==-23443ABC S ==V ， 所以V 三棱锥P-ABC 21161643333r =⨯-=， 解得2203r =， 所以三棱锥的外接球的表面积为28043r ππ=. 故选：D12．已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将问题转化为()y f x =与直线1y kx =+的图象，在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点，借助函数图象与导数的几何意义求出直线1y kx =+与()y f x =的两段图象相切时的斜率，即可得到k 的范围. 【详解】因为函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=的图象上，而直线10kx y +-=关于直线1y =的对称图象为10kx y -+-=，所以函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点.当0x >时，()1ln f x x '=-，所以当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减， 当0x ≤时，()232f x x x =--作出()y f x =与直线10kx y -+-=的图象， 如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切于点(,2ln )C x x x x -，则1ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩，解得1x =，故1k =， 设直线1y kx =+与232y x x =--相切与点23,2B x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得1x =-，所以12k =， 因为函数()y f x =与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点 所以函数()y f x =与1y kx =+的图象在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点. 故112k <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的图象，导数的几何意义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．若复数z 满足(1)17i z i +=-，则||z =_____. 【答案】5再求模. 【详解】因为复数z 满足(1)17i z i +=-， 所以()()17(1)173411(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以||5z ==.故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，点A ，点P 为双曲线右支上的动点，且APF V 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______. 【答案】2【解析】设双曲线的右焦点为()2,0F '，根据APF V 的周长为=++l AF PF AP ，结合双曲线的定义，转化为32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值求解. 【详解】设双曲线的右焦点为()2,0F '，又3AF =，所以APF V 的周长为3=++=++l AF PF AP PF AP ， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即2PF a PF '=+， 即32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值. 此时，3PF AP AF ''+==， 所以3238a ++=， 解得1a =，所以2ce a==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若4ABC π∠=，OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则m n +最小值为_____.【答案】 【解析】由4ABC π∠=，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得到2AOC π∠=，设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再根据OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，建立m n +关于θ的函数求解.【详解】因为,,A B C 为单位圆上三个不同的点，且4ABC π∠=，所以2AOC π∠=，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 因为OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，所以cos ,sin m n θθ==，所以cos sin 4m n πθθθ⎛⎫+=+ ⎝+≥⎪⎭=，当且仅当54πθ=时，取等号.所以m n +最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在下图所示的三角形数阵中，用(),i j a i j ≥表示第i 行第j 个数（*,i j N ∈），已知,1,1112i i i i a a -==-（*i ∈N ），且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即,1,11,i j i j i j a a a ---=+（21)j i ≤≤-，若,2100m a >，则正整数m 的最小值为__________．【答案】103【解析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列,2{}n a 的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解． 【详解】 因为,11112n n a -=-，所以，()1,121122n n a n --=-≥ 由题意可知,21,11,2n n n a a a --=+，（3n ≥），∴,21,21,12112n n n n a a a ----==-，（3n ≥），即,21,22112n n n a a ---=-，（3n ≥），∴()(),2,21,21,22,2n n n n n a a a a a ---=-+- ()3,22,22,221522n a a a n -++-+=+-L ， 又由,21,2232321515111()[(1)]()110,(3)2222222n n n n n n n a a n n n -------=+--+-=-+=->≥所以当3n ≥时,数列{},2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<， ∴m 的最小值为103，故应填103. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列{},2n a 的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，,484C CA CB π=⋅=u u u v u u u v ，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长；（Ⅱ）求cos BAD ∠的值.【答案】(1) 8,2AC CD ==5cos BAD ∠=【解析】试题分析：（1）由34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∠=得，进而得2sin CAD ∠=，然后利用正弦定理求边长；（2）由48CA CB ⋅=u u u v u u u v，得62CB =. 52BD =余弦定理得210AB =，从而5cos BAD ∠= 试题解析： （Ⅰ）在ABD ∆中，∵34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∴∠=.∴()sin CAD sin ADB ACD ∠=∠-∠ sin coscos sin44ADB ADB ππ=∠-∠ 42322525210=⨯-⨯=. 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin sin AC CD AD ADC CAD ACD==∠∠∠，即524225102AC ==，解得8,2AC CD ==（Ⅱ）∵48CA CB ⋅=u u u v u u u v，∴2848CB ⋅=，解得62CB =∴52BD CB CD =-=ABC ∆中，()22286228622102AB =+-⨯⨯⨯=ABD ∆中，22221052525cos 5221052BAD +-∠==⨯⨯.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．已知正方形ABCD ，E F ，分别是AB CD ，的中点，将ADE ∆沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为()0θθπ<<（1）证明：BF ADE ∥平面（2）若ACD ∆为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的身影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）154【解析】（1）ADE ∆沿DE 折起，其它边不变，可知EB FD ∥且EB FD =，则有四边形EBFD 为平行四边形，那么BF ED ∥，又由于ED AED ⊂平面，BF AED ⊄平面，故BF AED ∥平面；（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，，由于AC AD =，则有AGD AGC ≅V V ，故点A 在CD 的中垂线EF 上，过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，由已知得ED AGH ⊥平面，故AH DE ⊥，则AHG ∠即是θ，设原正方形ABCD 的边长为2a ，根据已知边和角的关系可以求得sin θ；方法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED 的法向量，再求平面ADE 的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到sin θ． 【详解】解：（1）证明：E F ，分别是正方形ABCD 的边AB CD ，的中点， ∴EB FD ∥且EB FD =，则四边形EBFD 为平行四边形， ∴BF ED ∥.又ED AED ⊂平面，而BF AED ⊄平面， ∴BF AED ∥平面（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，.∵ACD ∆为正三角形，AC AD ∴=，∴GC GD =， ∴G 在CD 垂直平分线上，又∵EF 是CD 的垂直平分线， ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin 4θ=.解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，连接AF ，在平面AEF 内过点A 作1AG EF ⊥，垂足为1G∵ACD ∆为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥.又∵EF CD ⊥，∴CD AEF ⊥平面. ∵1E G A A F ⊂平面，∴1CD AG ⊥平面 又∵1AG EF ⊥且CD EF F ⋂=，CD BCDE EF BCDE ⊂⊂平面，平面∴1D G C E A B ⊥平面∴1G 为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin θ=.解法三：（同解法一）点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，如图，连接AG ，以G 点为坐标原点，GA u u u v 为z 轴，GF u u u v为y 轴，过G 点作平行于DC的向量为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，32AF a AE a EF a ===，，.所以()0,0,0G ，3002a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，302a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，302a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，002a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，. 又平面DEC 的一个法向量为()001n =r，，，设平面ADE 的一个法向量为()m x y z =r，，.则00AD m DE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即3330322202y z ax ay az ax ay x y⎧⎧=-+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，所以32y m y y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭r ，， 所以3314131cos 4n mn may a yθ-⋅++⋅===⋅r rr r ，即15sin 4θ=. 【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识，是常考题型．19．某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度于1.60米的概率，并求图1中,,a b c 的值；（2）若从这批树苗中随机选取4株，记ξ为高度在(]1.40,1.60的树苗数量，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()220.9544P S μσμσ-<≤+>，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布，如果这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗是否被签收？ 【答案】（1）概率为0.15，0.2a =， 1.3b =， 3.5c =（2）详见解析（3）将顺利被公司签收【解析】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15，记X 为树苗的高度，结合图1，图2求得()1.20 1.30P X <≤，()1.70 1.80P X <≤，()()1.30 1.40, 1.60 1.70P X P X <≤<≤，()()1.40 1.50, 1.50 1.60P X P X <≤<≤，即可求得答案；（2）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，可得随机变量()~4,0.7B ξ，即可求的分布列，进而求得()E ξ；（3）利用条件，计算出()P X μσμσ-<≤+= (1.40 1.60)0.7P X <≤=，从而给出结论. 【详解】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15， 记X 为树苗的高度，结合图1，图2可得：()()21.20 1.30 1.70 1.800.02100P X P X <≤=<≤==， ()()131.30 1.40 1.60 1.700.13100P X P X <≤=<≤==， ()()()11.40 1.50 1.50 1.60120.0220.130.352P X P X <≤=<≤=-⨯-⨯=， ∴组距为0.1，∴0.2a =， 1.3b =， 3.5c =.（3）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，∴随机变量()~4,0.7B ξ，分布列为：ξ0 1 2 3 4 P0.00810.07560.26460.41160.2401∴()40.7 2.8E ξ=⨯=.（3）由()1.5,0.01N ，取 1.5μ=，0.1σ=， 由（2）可知()()1.40 1.600.70.6826P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，又Q 结合（1）可得()()22 1.30 1.700.960.9544P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，∴这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，应该认为这批树苗是合格的，将顺利被公司签收. 【点睛】本题解题关键是掌握频率直方图基础知识和求二项式分布列，及其正态分布的实际应用,考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 20．设椭圆E:（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）2283x y +=【解析】试题分析：（1）因为椭圆E:22221x y a b+=（a,b>0）过M （22），6,1)两点,所以2222421{611a b a b +=+=解得22118{114a b ==所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22{184y kx m x y =++=得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>1222122412{2812km x x k m x x k +=-+-=+， 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r,需使,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>, 所以222{38m m >≥,所以283m ≥,即26m ≥26m ≤, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21m r k =+,222228381318m m r m k===-++,26r =, 所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥26m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线为26x =22184x y +=的两个交点为或2626()满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r．【考点】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系． 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．21．已知函数()ln ()au x x a R x=-∈ （Ⅰ）若曲线()u x 与直线0y =相切，求a 的值. （Ⅱ）若12e a e +<<设ln ()xf x ux x=-求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21x x e -<.（e 为自然对数的底数）【答案】(Ⅰ)1.a e=-(Ⅱ)证明见解析.【解析】（Ⅰ）设切点()0,0P x ，由导数的性质可得0.a x =-结合切点在函数()u x 上，可得1.a e=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，则()u x 在()0,+∞上单调递减，由函数零点存在定理可得存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，分类讨论有：①当00x x <≤时，在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<.②当0x x >时,在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.据此即可证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）设切点()()00022,0',0,.a x a x P x u x k a x x x ++=∴==∴=---Q 又切点在函数()u x 上，()00,u x ∴=即00001,alnx lnx x -=⇒=- 011,.x a e e∴=∴=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，所以()u x 在()0,+∞上单调递减，又()()10,2202a a u e u e ln e e e=->=-<， 所以必存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，即.①当00x x <≤时，()()()2222111110lnx x a x x a a lnx f x x x x x x'--+---+-=---=≤<， 所以()f x 在区间(]00,x 上单调递减， 注意到()110a f e e e=-->，()00000000lnx lnx a f x lnx x x x =--=-< 所以函数()f x 在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<. ②当0x x >时,()()2221110lnx x a a lnx f x x x x x++---='=+>所以()f x 在区间()0,x +∞上单调递增，又，且()2124141122212?022*******a ln e ln f e ln e ln e ln e e e e e e=-->--->->->， 所以()f x 在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与曲线C 的交点为,O P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）根据C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数得到直角坐标方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简即可.（Ⅱ）由直线l 的极坐标方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点P 到原点的距离1ρ，曲线C 的方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点Q 到原点的距离2ρ，再由||PQ OQ OP =-求解.【详解】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得：2cos ρθ= 即曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=（Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=相交，交点P到原点的距离132cos 36OQ ρππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 曲线C 与射线:3OM πθ=相交，交点距离22cos 13OP πρ===，则12||2PQ OQ OP ρρ=-=-=.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的转化以及直线与直线，直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．设函数()|3||2|f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|21|x x m -+<的解集；（Ⅱ）已知||,||1010m ma b <<，证明：|41|2||ab a b ->-. 【答案】（Ⅰ）(4,2)-；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出5m =，然后利用绝对值的几何意义解不等式即可.（Ⅱ）将不等式两边同时平方作差即可证出. 【详解】（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x ++-≥+--= 当(3)(2)0x x +-≤，即32x -≤≤时取等号 所以()f x 的最小值为5，所以5m = 由|21|5x x ++<，得210(21)5x x x -<⎧⎨--+<⎩或210(21)5x x x -≥⎧⎨-+≤⎩解得:142x -<<或122x ≤<，即42x -<< 所以不等式的解集是(4,2)-（Ⅱ）222222(41)4()16441ab a b a b a b ---=--+()()22244141a b b =---()()224141a b =--因为5m =，所以1||2a <，即241a <，同理241b <. 所以22(41)4()ab a b ->-，即|41|2||ab a b ->-. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式求最值、利用绝对值的几何意义解不等式、比较法证明不等式，属于中档题.。

湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019届高三一模 理科数学参考答案一、选择题（12560''⨯=）9提示：当n =12 时 ， S =12×12×sin30°=3，输出S =3；当n =24 时， S =12×24×sin15°≈12×0.2588=3.1056，输出S =3.1056；当n =48 时 ，S =12×48×sin7.5°≈24×0.1305=3.1320，输出S =3.1320. 故选B.10提示：显然焦点F 的坐标为（1,0），所以可设直线AB 的方程为y =k(x −1)，代入y 2=4x 并整理得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，所以x 1+x 2=2+4k 2， ||=AB x 1+x 2+2=4+4k 2，同理可得||=CD 4+4k 2，所以22222222114(+1)(+1)1||||4(+1)88(2)3222k k S AB CD k k k k k ==⋅⋅=⋅=++≥ 故选C.11提示：显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然2R =2√3，所以R =√3，所以选A.12提示：设00(,)P x y ，由于点P 为切点，则200122x ax +=203ln a x b +， 又点P 的切线相同，则0()f x '=0()g x '，即20032a x a x +=，即00(3)()0x a x a +-=, 又000,0,a x x a >>∴=，于是2253ln (0)2b a a a a =->，设225()3ln (0)2h x x x x x =->， 则()2(13ln )(0)h x x x x '=->，所以1133()0+h x e e ∞在（，）单调递增，在（，）单调递减，b 的最大值为12333(e )2h e =,故选B 二、填空题（4520''⨯=）：13. 32; 14. 12； 15. 4-； 16. 212+,2)e e e +（.B AC DPS O N E 16提示：图略，由()()=()f a f b f c =，得|ln ||ln |=2ln ,a b c =-显然211a b e c e e<<<<<< 所以ln ln 2ln a b c -==-，故ln ln 0,ln ln 2a b b c +=⎧⎨+=⎩从而21,ab bc e =⎧⎨=⎩ 所以2211e e a b c b b b b b +++=++=+，令21()(1),e g b b b e b+=+<< 可得222(1)()0,b e g b b-+'=<所以21()(1)e g b b e b +=+在，上单调递减. 所以212+=()()(1)2e g e g b g e e <<=+，故a b c ++的取值范围为212+,2)e e e +（ 17解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3105,100a S ==，所以11251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩ …………2分 解得112a d =⎧⎨=⎩ ⋯⋯⋯⋯4分 所以数列{}n a 的通项公式为=21n a n -.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 （II ）由（I ）可知221111()(5)(24)(2)22n n b n a n n n n n n ====-++++⋯⋯⋯⋯8分 121111111111[(1)()+()++()()]232435112n n T b b b n n n n ∴=++⋅⋅⋅+=-+--⋅⋅⋅-+--++ 1323[]22n+1)(n+2)n +=-（ ⋯⋯⋯⋯10分 33,,44n T m m ∴<∴≥∴ 的最小正整数为1 ⋯⋯⋯⋯12分 18解法一：（Ⅰ）连BD 交AC 于O ，由题意.在正方形ABCD 中，，所以,得…………3分(Ⅱ)设正方形边长，由题知SO ⊥平面ABCD ， 则，又，所以=30DSO ∠︒……3分 SO AC ⊥AC BD ⊥ACSBD ⊥平面AC SD ⊥a SD =2OD =连，由（Ⅰ）知AC OS ⊥，又,所以,所以POS ∠是二面角P AC S --的平面角…………5分由,知,所以=60POS ∠︒,即二面角的大小为60︒…………8分（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使，由（Ⅱ）可得， 故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为.连BN ,在中知，又由于,故平面，得 由于,故即:=32SC SE ：…………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一(Ⅱ)由题设知，连,设交于于，由题意知.以O 为坐标原点，,,OB OC OS 分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高. 则 又SD ⊥平面PAC ，则平面的一个法向量， 平面SAC 的一个法向量2(,0,0)2OD a =-， 则1cos ,2⋅<>==-⋅DS ODDS OD DS OD , 又二面角为锐角，则二面角为60︒；（Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知DS 是平面的一个法向量，且 26(,0,)22DS a a =，26(0,,)22CS a a =- 设 CE tCS =，[0,1]t ∈OP AC SBD ⊥平面AC OP ⊥SD PAC ⊥平面SDOP ⊥P AC D --//BE PAC 平面4PD a =SP N PN PD =N PC SC E BDN //BN PO //NE PC //BEN PAC 平面//BE PAC 平面21SN NP =：：21SE EC =：：BD AC BD OSO ABCD ⊥平面x y z O xyz -a2SO a =(0,0,),(,0,0)22S a D a-(0,,0)2C a PAC (,0,)22DS a a =P AC D --P AC D --SC E //BE PAC 平面PAC则 226(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=-- 又，所以0BE DS ⋅=，则 13t =. 即当:=32SC SE ：时，BE DS ⊥而不在平面内，故.19解：（I ）因为A B C ，，三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取4080=16200⨯（人）， 所以这40人中有16人来自C 镇 …………2分因为 =100.15200.25300.3400.2500.128.5x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户…………4分 （II ）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35………6分 显然X 可取0,1,2,3，且335X B （，），则328(0)()5125P X ===， 11233236(1)()()55125P X C ===, 22133254(2)()()55125P X C ===, 3327(3)()5125P X ===…………10分所以数学期望()E X =0×8125+1×36125+2×5427931251255+⨯=…………12分 20解：（I ）由题设条件可得1,32c a c a =+=，解得2,1a c ==…………2分 2223b a c ∴=-=,所以椭圆C 的方程为22143x y += …………4分 （II ）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积S=5分//BE PAC 平面BE PAC //BE PAC 平面当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不妨设AB,CD 所在直线斜率为k ，则BC,AD 斜率为-1k， 设直线AB 的方程为y=kx+m,与椭圆联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 22243)84120k x kmx m +++-=（,由22222=8443)(412)0,=43km k m m k ∆-+-=+（）（得…………7分 显然直线CD 的直线方程为y=kx-m,直线AB,CD 间的距离1d ===同理可求得BC,AD间的距离为1d ==…………9分 所以四边形ABCD 面积为12ABCD S d d ====14≤=（=1±等号当且仅当k 时成立）…………11分又ABCD S >=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是[14]…………12分21解：（I ）因为()x f x e ax a =--，所以()x f x e a '=-，① 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间∞∞（-，+)上单调递增； ② 当0a >时，()0ln xf x e a x a '>⇒>⇒>， ()0ln x f x e a x a '<⇒<⇒<所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …………4分（II ）因为对任意的(0,2],x ∈不等式()f x x a >-恒成立，即不等式+1)x a x e <（恒成立.即当(0,2],x ∈时1x e a x<-恒成立. 令()1(0,2]),xe g x x =-∈ （x 则2(1)().x x e g x x -'=显然当(0,1),()0,(1,2]()0,g x g x ''∈<∈>x 时x 时, 所以(0,1),(1,2]1 1.x e ∴=-g(x)在上单调递减在上单调递增.时g(x)取最小值 所以实数a 的取值范围是1)e ∞-（-，…………8分（III ）在（I ）中，令=1a 可知对任意实数x 都有10,xe x --≥即1(=0x x e +≤等号当且仅当x 时成立） 令11=(=123),,k n k k x k n e n n -+⋅⋅⋅<，，，则 即()k n k n n k e e n e -<= 故1231231(1)()()()()()(1)(1)n n n n n n nn n e e e e e e e n n n n e e e e -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=<--………12分 22解（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin 3cos 2y x , ∴曲线C 的普通方程为＝1........................................2分 ∵直线l 的极坐标方程是：6sin cos 21θθρ+= ∴6sin cos 2=+θρθρ...........................3分∴直线l 的直角坐标方程为062=-+y x .........................5分（Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，∴设P （2cos φ，3sin φ），则P 到直线l 的距离： ()56sin 5146sin 3cos 4-+=+-+=θϕϕϕd ,tan θ＝34...............8分 ∴当sin （θϕ+）＝﹣1时，点P 到直线l 距离取最大值d max ＝＝...............9分 当sin （θϕ+）＝1时，点P 到直线l 距离取最小值d min ＝＝..........................10分23解：（I ）由已知可得12,0()1,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，所以m i n ()1f x =…………5分 因为()|1|f x m ≥-恒成立，所以|1|1m -≤，从而可得02m ≤≤所以实数m 的最大值M=2…………5分 （II ）由（I ）知，M=2，所以222,a b +=要证2.a b ab +≥，只需证22()(2),a b ab +≥即证22224,ab a b +≥ 即证22210,a b ab --≤即(21)(1)0,ab ab +-≤ 又因为,a b 是正数，所以210,ab +>故只需证10,ab -≤即1,ab ≤而2=222a b ab +≥，可得1,ab ≤ 故原不等式成立……………………10分.。

湖南怀化2019高三第一次重点考试统一检测试卷--数学（理）数学〔理〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分. 时量：120分钟.第一卷〔选择题 共40分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1、假设11a bi i+=-〔a 、b 是实数，是虚数单位〕，那么复数z a bi =+对应的点在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2.{|ln(1)}M x y x ==-，(2){|21}x x N x -=<，那么M N 为〔 〕A 、{|02}x x <<B 、{|01}x x ≤≤C 、{}|01x x <<D 、}10{≤<x x A 、命题“假设2560x x -+=，那么2x =”的逆否命题是“假设2x ≠，那么2560x x -+≠”B 、对命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，那么:,p x R ⌝∀∈那么210x x ++≥C 、命题p 和q ，假设p ∨q 为假命题，那么命题p 与q 中必一真一假D 、假设x 、y R ∈，那么“x y =”是“22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”成立的充要条件4.执行右图的程序框图，假设输出的5n =，那么输入整数p 的最大值是〔〕A 、15B 、14C 、7D 、65.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作圆 222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P 、假设M 为线段FP 的中点，那么双曲线的离心率为〔〕A 、2 BCD6.首项为正数的递增等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，那么点(,)n n S 所在的抛物线可能为〔〕7.函数1(10)()(01)x x f x x +-≤≤⎧=<≤,那么11()f x dx -⎰的值为〔〕 A 、21π+ B.421π+ C.41π+ D.221π+8.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，那么有理项都不相邻的概率为〔〕 A.16 B 、14 C 、13 D 、512第二卷〔非选择题共110分〕【二】填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分，共35分.把答案填在答题卡上的相应横线上.〔一〕选作题〔请考生在9、10、11三题中任选2题作答，假如全做，那么按前2题记分〕9.设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数，0>a )，直线的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，假设曲线C 与直线只有一个公共点，那么实数a 的值是、10、设函数()f x =R ，那么实数a 的取值范围是、11.如图，⊙o 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，且4CD =，8BD =， 那么⊙o 的半径等于______.〔二〕必作题〔12~16题〕12、某几何体的三视图如右，其中正视图与侧视图上半部分为半圆，那么该几何体的表面积为、13.设随机变量()2~1,5X N ，且()()01P X P X a ≤=>-，那么实数a 的值为.14、P 为ABC ∆内一点，且20PB PC PA ++=，现随机将一颗豆子撒在ABC ∆内，那么豆子落在PBC ∆内的概率为、 15.平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.假设(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,那么z OM OA =⋅的最大值为.16、以下命题:①当1x ∀>时，1lg 2lg x x+≥； ②1m n +>是m n >成立的充分不必要条件；③关于任意ABC ∆的内角A 、B 、C 满足：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-；④定义：假如对任意一个三角形，只要它的三边长a 、b 、c 都在函数()y f x =的定义域内，就有()f a 、()f b 、()f c 也是某个三角形的三边长，那么称()y f x =为“三角形型函数”.函数()1,[2,)h x nx x =∈+∞是“三角形型函数”.其中正确命题的序号为.〔填上所有正确命题的序号〕【三】解答题：本大题共6小题，共75分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++〔1〕求A 的大小；〔2〕求sin sin B C +的最大值.18、〔本小题总分值12分〕某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规那么如下：消费额每满100元可转动如下图的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.假设指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.〔1〕假设某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； 〔2〕假设某位顾客恰好消费280元，并按规那么参与了活动，他获得返券的金额记为X 〔元〕，求随机变量X 的分布列和数学期望.19、〔本小题总分值12分〕如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=〔如图2所示〕、〔1〕当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；〔2〕当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC 、AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小、20、〔本小题总分值13分〕、数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，且311b =，前9项和为153.〔1〕求数列{}n a 、{}n b {的通项公式；〔2〕设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{}n c 的前n 和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数K 的值；〔3〕设**(21,)()(2,)n n a n k k N f n b n k k N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成立？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由.21、〔本小题总分值13分〕直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，||5OM =，25ON OM =.过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，N N M M OT 11+=.记点T 的轨迹为曲线C ，点(5,0)A 、(1,0)B ，过点A 作直线交曲线C 于两个不同的点P 、Q 〔点Q 在A 与P 之间〕.〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕是否存在直线，使得||||BP BQ =，并说明理由.22、〔本小题总分值13分〕函数()1x f x e ax =--〔0a >，e 为自然对数的底数〕.〔1〕求函数()f x 的最小值；〔2〕假设()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； 〔3〕在〔2〕的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n n n n e n n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中 参考答案【一】选择题【二】填空题选做题：9、7；10、3a ≤；11、5；必做题：12、7π；13、3；14、12；15、4；16、①③④、题号 12 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A B D B D【三】解答题：17.解：〔1〕由，依照正弦定理得()()2222a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos ,1202A A =-=………………6分〔2〕由〔1〕得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+-1sin sin(60),0602B B B B =+=+∴<< 故当30B =时，sin sin BC +取得最大值1.………………12分18.解：设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C. 那么111(),(),()632P A P B P C ===………………3分 〔Ⅰ〕假设返券金额不低于30元，那么指针落在A 或B 区域. 因此111()()632p p A p B =+=+=………………4分 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. 〔Ⅱ〕由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………5分111(0)224P X ==⨯=；111(30)2233P X ==⨯⨯=； 11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=；111(90)2369P X ==⨯⨯=； 111(120)6636P X ==⨯=…………10分 因此，随机变量X 的分布列为：其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分 19.解：〔1〕解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，那么3CD x =-、由AD BC ⊥，45ACB ∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，因此3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后〔如图2〕，AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =， 因此AD ⊥平面BCD 、又90BDC ∠=，因此11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-、因此 1111(3)(3)2(3)(3)33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--…………4分 312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立…………5分故当1x =，即1BD =时,三棱锥A BCD -的体积最大、…………6分 解法2：同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+、 令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =、 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<、因此当1x =时，()f x 取得最大值、故当1BD =时,三棱锥A BCD -的体积最大、〔2〕解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D-xyz . 由〔Ⅰ〕知，当三棱锥A-BCD 的体积最大时，BD ＝1,AD ＝CD ＝2.因此可得D 〔0,0,0,〕，B 〔1,0,0〕，C 〔0,2,0〕，A 〔0,0,2〕M 〔0,1,1〕E 〔12，1,0〕，且BM ＝〔-1，1,1〕.…………7分设N 〔0,λ,0〕，那么EN ＝12-,λ-1,0).因为EN ⊥BM 等价于EN ·BM ＝0,即〔12-，λ-1,0〕·〔-1,1,1〕＝12+λ-1＝0，故λ＝12，N 〔0,12，0〕………8分因此当DN ＝12时〔即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点〕时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n=(x ,y ,z ),由2y x z x=⎧⎨=-⎩可取n ＝(1,2,-1〕……10分设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，那么由11(,,0)22EN =--，(1,2,1)=-n ，可得|sin cos(90)||||EN EN θθ-⋅=-===⋅n n ，即60θ=、…………11分故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.…………12分 解法2：由〔Ⅰ〕知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==、 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，那么MF ∥AD . 由〔Ⅰ〕知AD ⊥平面BCD ，因此MF ⊥平面BCD . 如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP ，DP ，那么四边形DBPF 为正方形，因此DP BF ⊥.取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，那么EN ∥DP ，因此EN BF ⊥.因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，因此MF EN ⊥. 又MF BF F =，因此EN ⊥面BMF .又BM ⊂面BMF ，因此EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，因此点N 是唯一的. 即当12DN =〔即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点〕，EN BM ⊥、 连接MN ，ME ，由计算得NB NM EB EM ==== 因此△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ， 那么BM ⊥平面EGN 、在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 那么EH ⊥平面BMN 、故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角、 在△EGN 中，易得EG GN NE ===，因此△EGN 是正三角形，故60ENH ∠=，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.20.解：〔1〕由题意，得111,22n S n n =+即211122n S n n =+…………1分故当2n ≥时，221111111()(1)(1)52222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎢⎥⎣⎦当n =1时，116a S ==，而当n =1时，n +5＝6, 因此，()5n a n n N *=+∈…………2分又2120n n n b b b ++-+=，即()211n n n nbb b b n N ︒+++-=-∈…………3分 因此〔n b 〕为等差数列，因此()3191532b b +=而311b =，123b =，2311373d -==- 因此，n b ＝()33332b n n +-=+，即n b ＝()32n n N ︒+∈…………4分〔2〕]1)23(2][11)5(2[3)12)(112(3-+-+=--=n n b a c n n n ).121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n …………5分 因此，)]121121()7151()5131()311[(2121+--++-+-+-=+++=n n c c c T n n .12)1211(21+=+-=n n n …………6分由于)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ， 因此T n 单调递增，故.31)(min=n T …………7分 令.18,19,5731max =<>K k k所以得…………8分 〔Ⅲ〕**5,(21,),()32,(2,).n n k k N f n n n k k N ⎧+=-∈⎪=⎨+=∈⎪⎩…………9分 ①当m 为奇数时，m +15为偶数.如今255)5(5)(5,4732)15(3)15(+=+=+=++=+m m m f m m m f ，因此.11,255473=+=+m m m …………11分 ②当m 为偶数时，m +15为奇数.如今1015)23(5)(5,20515)15(+=+=+=++=+m m m f m m m f ， 因此*75,101520Nm m m ∉=+=+〔舍去〕.…………12分 综上，存在唯一正整数m =11，使得)(5)15(m f m f =+成立.…………13分21.解：(Ⅰ)设点T 的坐标为),(y x ，点M 的坐标为),(y x ''，那么M 1的坐标为〔0，y '〕，2525,)ON OM x y ''==，因此点N 的坐标为)552,552(y x ''，N 1的坐标为)0,552(x '，因此11(,0),).M M x N N y ''==…………2分 由⎪⎩⎪⎨⎧'='='+'=+=.552,),552,0()0,(),(,11y y x x y x y x N M 所以有 由此得.25,y y x x ='='…………4分由,145,5)25(,5,5||222222=+=+='+'=y x y x y x OM 得所以有即所求的方程表示的曲线C 是椭圆.……………………6分 (Ⅱ)点A 〔5，0〕在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，因此直线l 斜率存在，并设为k . 直线l 的方程为).5(-=x k y ………7分由方程组.02012550)45()5(,145222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 得 依题意.5555,0)8016(202<<->-=∆k k 得…………9分当5555<<-k 时，设交点),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点为),(00y x R ，那么.45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又,1||||-=⋅⇔⊥⇔=BR k k l BR BQ BP …………11分,420201204204525145202222222-=⇔-=-=+-+⋅=⋅k k k k k k k kk k k BR而4202022-=k k 不可能成立，因此不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|……13分22.解：〔1〕由题意0,()x a f x e a '>=-， 由()0x f x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时,()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值，其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.a f a e a a a a a =--=--………………5分 〔2〕()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n ()0f x ≥. 由〔1〕，设()l n 1.g a a aa =--，因此()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，∴()g a 在1a =处取得最大值，而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.………………9分〔3〕由〔2〕知，对任意实数x 均有1x e x --≥0，即1x x e+≤. 令k x n =-(*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，那么01k nk e n - <-≤. ∴(1)()k n nk n k e en- --=≤. ∴(1)(2)21121()()()()1n nn n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤ (1111111)n e e e e e ----=<=---…………13分。

4
由 PQ
a 得 ( t 2 a) 2 t 2 a 2 ,t 2(t 2 16 8a) 0, --------------- （ 9 分） 4
t 2 16 8a 0,t2 8a 16 恒成立 ------------------ （ 10 分）
则 8a 16 0, a 2 ---------------- （ 12 分）
A ． +1
1 B． +
2
C． +2
D ． 2 +1
4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选 人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组
织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有
A ． 16 种
B ． 18 种
C． 20 种
D． 22 种
xy 20
即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为
10 s .-----------6 分
（ 2）由（ 1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为
10 s,
又由列车的速度 V (t )
3 15 165
t
-----------7 分
2 2 2(t 1)
∴火车正常行驶的速度当 t 0 时， V (0) 90 m s ---------9 分 （ 3） 紧急刹车后列车运行的加速度 a(t) V (t)
2 个选项是错误的， 还有 1 道
(1) 求该考生 8 道题全答对的概率；
(2) 若评分标准规定： “每题只选一个选项，选对得 数的分布列 .
5 分，不选或选错得 0 分 ”，求该考生所得分
19．（本小题满分 12 分）
正四棱柱 ABCD － A 1B1C1D 1 的底面边长是