圆板受力分析

周边固定支撑的圆平板受到轴向均布载荷时的mises应力公式的推导过程周边固定支撑的圆平板受到轴向均布载荷时的Mises应力公式的推导过程在工程力学中，我们经常需要计算结构物体受力情况下的应力分布。

而当一个圆平板受到轴向均布载荷时，我们可以通过推导出Mises应力公式来计算其应力分布情况。

首先，我们考虑一个半径为R、厚度为t的圆平板，其受到轴向均布载荷P。

我们将载荷P沿着圆平板的周边均匀分布，这意味着载荷P在每个单位长度上的大小为P/2πR。

我们可以通过将圆平板分割为无数个扇形片段来进行分析。

我们先考虑一个扇形片段，其弧长为ds。

在这个扇形片段上，载荷P在垂直于圆平板的方向上产生的力为P/2πR。

假设该扇形片段的角度为dθ，它的面积可以近似为dA=Rds。

因此，载荷在这个扇形片段上产生的应力σ可以通过应力=力/面积的公式推导出来：σ = (P/2πR)/(Rds) = P/(2πR^2ds)接下来，我们考虑整个圆平板。

由于圆平板是一个连续体，我们可以将其视为无数个扇形片段的叠加。

因此，整个圆平板上的应力可以通过将所有扇形片段上的应力叠加起来求得。

考虑一个角度为θ的扇形片段，它的应力σ可以表示为：σ = P/(2πR^2ds)我们可以将ds表示为扇形片段的弧长与半径的乘积，即ds=Rdθ。

将其代入上式得到：σ = P/(2πR^2Rdθ) = P/(2πR^3dθ)现在，我们要将整个圆平板上的应力叠加起来。

整个圆平板的周长为2πR，因此，角度为θ的扇形片段所占的比例为dθ/2π。

将这个比例乘以扇形片段上的应力得到该扇形片段在整个圆平板上的应力分布：dσ = (P/(2πR^3dθ)) * (dθ/2π) = P/(4π^2R^3)dθ最后，我们将所有扇形片段的应力叠加起来，得到整个圆平板上的应力分布：σ = ∫dσ = ∫(P/(4π^2R^3)dθ)对上式进行积分，得到：σ = P/(4π^2R^3) ∫dθ = P/(4π^2R^3) θ + C其中，C为积分常数。

2.3.1 概述（1）板与壳板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较其它两个方向的尺寸小的多。

但是，板和壳的不同点在于，其初始形状分别为平板和曲面。

显然，板壳结构是工程上常用到的结构之一。

（2）板的分类①按形状分②按受力形式分③按板的厚度分薄膜板－薄板－厚板－1100 11001515t bt bt b≤<<≥（对于圆平板b = D ）（3）本章节所讨论的对象石油化工设备上的平板结构，多数属于薄板。

其承受载荷后引起的变形，多属于小挠度变形。

在承受的载荷特性方面，绝大多数情形为轴对称载荷。

此外，板的形状多为圆形板。

因此，本章节讨论的问题是：圆形薄板在轴对称载荷下的弹性小挠度问题。

（4）基本假设中性面假设－板的中间面变形后，只弯曲不伸长，即中间面同时也是中性面。

（这样，可以只考虑弯曲的作用，而忽略拉压力的作用。

对于微元体分析，各面上只考虑弯矩的作用，）直法线假设－原垂直于中间面的各直法线，变形后仍保持直法线，且垂直于变形后的中性面。

（这样，可以认为板的变形为轴对称变形。

在考虑微元体受力时，部分面上的剪力可认为是零。

）互不挤压假设－薄板的各层纵向纤维变形前后均互不挤压。

（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力ϭz ）上述假设，又称为Kirchoff假设,是下面对圆薄板进行力学分析的基础。

2.3.2圆平板对称弯曲微分方程通过弹性力学的位移法，导出平衡方程、几何方程和物理方程，从而得到以挠度位移为自变量的微分方程。

（1）平衡方程微元体的取出：一对相距dr 的圆柱面；一对相差d θ的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为t ）。

微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和剪力；根据轴对称性，只有剪力Q r 存在；此外，微元表面有外力p z 。

上述内力均为单位长度上的内力：N·M / M ；N / M（2）几何方程在板内z处，取径向微段AB，微段长度为dr。

板的中性面仅弯曲变形，而AB被纵向拉伸为A’B‘。

第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。

第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。

图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。

周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+=== （1） 对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为： 2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。

3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD K σδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。

为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD D K K θσσδδδ== （5） 可见圆平板的应力是圆柱体的2D K δ倍，此值非常大。

第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。

以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。

第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。

第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。

图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。

周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+=== （1） 对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为： 2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。

3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD K σδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。

为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD D K K θσσδδδ== （5） 可见圆平板的应力是圆柱体的2D K δ倍，此值非常大。

第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。

以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。

气体的压强审稿：唐挈责编：郭金娟本周内容：1、气体的状态和状态参量：温度、体积、压强。

2、计算气体的压强。

学习重点：1、理解气体压强概念的物理意义。

2、正确计算密闭气体的压强。

学习内容：一、气体的状态参量生活中气体的热现象例如：热气球在空中悬浮，压缩缸中气体突然膨胀，气缸中气体被压缩等等，热运动的情景与物体机械运动不同，因此需要根据气体热运动的特征引入新的物理量来描述它的状态。

此时气体在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间而改变，可以用具有可确定的宏观物理量来对气体进行描述。

这样的物理量为气体的状态参量。

例如气体的几何参量——体积Ｖ；气体力学参量——压强Ｐ；热学参量——温度Ｔ。

1、气体的体积Ｖ：因为气体分子的自由移动，总是充满整个容器，所以容器的容积就是气体分子所占据的空间，也就是气体的体积。

〔1〕气体的体积是指气体分子充满的空间，即容器的容积。

〔2〕这个体积不是气体分子本身体积之和。

〔3〕国际单位制：米３(m３)、分米３(d m３)、厘米３(cm３)、升(l)关系：１l＝10－３m３=1dm３。

2、气体的压强Ｐ：气体分子无规则的运动，使得它们撞击容器壁造成对容器壁的压力，从统计的规律可以理解压力向四面八方各个方向，因此容器壁的各处均有气体作用产生的且大小相等的压强。

〔1〕气体的压强是气体对器壁单位面积上的压力。

①如何理解？从气体分子运动论的观点来看，容器中气体充满容器，气体分子做无规则运动，运动速率很大，并不断碰撞容器壁；大量分子对器壁频繁地碰撞的结果产生压强。

对气体中某一个分子讲对器壁碰撞是断续的、偶然的，但对大量分子碰撞整体表现为一持续的恒定的压力。

这好比雨滴打在雨伞上，使伞面受到的作用力，单个雨滴对伞面的作用力是断续的，但大量密集的雨接连不断打在伞面上就形成一持续均匀的压力一样。

②气体压强大小和哪些因素有关？Ｉ、单位体积内的分子数即气体的分子密度：分子密度越大，在单位时间内器壁的单位面积上受到分子撞击次数越多，产生的压强也就越大。

（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。

将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。

此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。

类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。

薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。

②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。

③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。

（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。

以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。

122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。

11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。

圆形提升盖板的设计计算1前言平板是化工设备中最常见的部件。

例如，各种容器的顶盖或顶板，设备的人孔盖板、法兰盖，施工中的管道试压盲板都属于此种类。

其中圆形平板最为常见，本文提及的设备吊装用的圆形提升盖板就属于这一类。

石油化工装置中的一些特殊设备，如反应器、反应釜，由于其体积大、重量大、壁厚大，常用耐热合金钢制造，且经过整体热处理，所以在设计中往往不在壳体上布置吊耳，而是利用其顶部管口来进行吊装，提升盖板式吊耳设计正是为了满足这一要求而产生的。

本文就有关的结构及强度计算进行论述。

2圆形提升盖的结构形式2.1结构如图1提升盖的主要结构由法兰盖板和吊耳板组成，吊耳板可为单个也可使用二个。

吊耳板与盖板间采用焊接形式。

当板厚特别大时也可采用铸钢件，盖板与设备接口的连接采用法兰螺栓连接形式，可使用设备带来的螺栓。

为增加耳板的侧向刚度和耳板与盖板连接强度可在二者间设置肋板。

通常吊耳板用卡环及钢丝绳与吊装机械连接，故耳板尺寸与所用卡环应匹配。

重型吊装盖板也可通过专用连接件与吊装机械连接。

吊装盖板通常应随设备提供。

2.2提升盖的结构种类按照提升盖板与设备管口的接触部位分类：a、不承受螺栓弯矩的盖板此盖板与设备接口的接触部位仅为法兰螺栓圆部位见图2-1a、b。

b、承受螺栓弯矩的盖板此盖板与设备接口的密封面部位相接触，因此螺栓预紧时产生的弯矩会叠加到盖板上（见图3）。

这二类盖板在设计结构形式上有所差别，其力学模型不同，在设计计算中所用公式也不一样。

由于设备接口密封面往往高于法兰螺栓接圆面，设计盖板时应予以充分注意。

3圆形盖板计算的理论3.1薄板理论基础从设计观点看，板可分为厚、薄两种，厚板和薄板的理论基础和计算方法是不一样的，薄板的计算方法是厚板算法的一个特例，故掌握厚板理论完全可以解决问题。

但厚板理论比较复杂，对于一般化工设备而言，大部属于薄板范围。

薄板理论又称为薄膜理论，其特点是只受拉力，不存在弯曲应力，该理论还有几点假设：1）板的厚度较其它尺寸小得多。