二次函数增减性

数学二次函数的性质一、引言数学二次函数是数学中一个重要的概念，它是指由二次方程所确定的函数关系。

二次函数具有许多特殊的性质，对于我们理解函数的形态和特征有着重要的作用。

通过深入学习和探究二次函数的性质，我们能够更好地应用它们于实际问题的解决。

二、二次函数的表达式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，系数a决定了函数的开口方向，系数b影响了函数的对称轴，而常数项c则决定了函数的纵轴截距。

三、二次函数的对称性1. 对称轴：二次函数的对称轴是一个与纵轴平行的直线，它通过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过求抛物线的对称点得出，它与x 轴的交点就是抛物线的顶点的横坐标。

2. 对称中心：对称轴与抛物线的交点也是抛物线的对称中心，它具有特殊的几何意义，也是抛物线的一个重要特征。

四、二次函数的增减性与极值点1. 增减区间：二次函数的增减性是指函数在定义域内的变化趋势。

通过求导数或观察二次函数的开口方向，我们可以确定函数的增减区间。

2. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像上的最高点或最低点。

由于二次函数的抛物线形态，极值一定存在，并且也可以通过对称轴和顶点来确定。

五、二次函数的零点与根数1. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。

通过求解二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以找到二次函数的零点，进而了解函数的根数。

2. 判别式：判别式是决定二次函数零点个数的一个重要工具，它可以通过计算b² - 4ac来得到。

如果判别式大于0，则函数有两个不同的实数根；如果判别式等于0，则函数有两个相等的实数根；如果判别式小于0，则函数没有实数根。

六、二次函数的图像与应用1. 几何形态：通过改变二次函数的系数，我们可以观察到函数图像的不同变化。

a的正负决定了函数的开口方向，a的绝对值决定了抛物线的瘦胖程度。

2. 实际应用：二次函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

二次函数的增减性与凹凸性在数学中，二次函数是一类形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。

二次函数的图像通常呈现出一条平滑的弧线，这条曲线在数轴上有许多重要的性质，其中包括增减性和凹凸性。

一、二次函数的增减性二次函数的增减性是指函数图像在数轴上的增减规律。

为了分析二次函数的增减性，我们首先需要找到函数的导数。

对于f(x)=ax^2+bx+c 来说，它的导数为f'(x)=2ax+b。

当导数f'(x)大于零时，即2ax+b大于零时，二次函数的图像是上凸的，也就是说函数在该区间上是递增的。

当导数f'(x)小于零时，即2ax+b小于零时，二次函数的图像是下凸的，函数在该区间上是递减的。

具体来说，当a大于零时，二次函数的图像开口朝上，函数在整个定义域上是递增的；当a小于零时，二次函数的图像开口朝下，函数在整个定义域上是递减的。

而当a等于零时，二次函数退化成线性函数，其图像为一条直线，没有增减性。

二、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。

通过求解二次函数的二阶导数可以确定函数的凹凸性。

对于f(x)=ax^2+bx+c，它的二阶导数为f''(x)=2a。

当二阶导数f''(x)大于零时，即2a大于零时，二次函数的图像在该区间上是向上凸起的，也就是说函数是凹的。

当二阶导数f''(x)小于零时，即2a小于零时，二次函数的图像在该区间上是向下凸起的，函数是凸的。

同样地，当a大于零时，二次函数图像开口朝上，函数在整个定义域上是凹的；当a小于零时，二次函数图像开口朝下，函数在整个定义域上是凸的。

三、增减性与凹凸性的关系二次函数的增减性与凹凸性有着密切的关系。

当二次函数是递增的时，它的图像是上凸的；当二次函数是递减的时，它的图像是下凸的。

此外，当函数同时满足递增和凹时，函数在该区域内的值是不断增加的；当函数同时满足递减和凸时，函数在该区域内的值是不断减小的。

初中数学如何确定二次函数的增减性确定二次函数的增减性是初中数学中的一个重要概念。

在这篇文章中，我将详细介绍如何确定二次函数的增减性，并提供一些实例和性质来帮助你更好地理解二次函数的增减性。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解二次函数的概念。

二次函数的增减性指的是二次函数图像的上升和下降趋势。

确定二次函数的增减性可以通过以下步骤进行：Step 1: 确定二次函数的一般形式二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

确保你的二次函数写成这种形式。

Step 2: 确定二次函数的开口方向根据二次函数的系数a的正负，可以确定二次函数的开口方向。

如果a > 0，那么二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线；如果a < 0，那么二次函数的图像是一个开口朝下的抛物线。

Step 3: 确定二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的横坐标可以使用公式x = -b / (2a)来计算，其中b是二次函数的系数。

Step 4: 确定二次函数的增减性根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以确定二次函数的增减性。

1. 如果二次函数的开口朝上，那么顶点是函数的最低点，函数在顶点左侧是递增的，在顶点右侧是递减的。

2. 如果二次函数的开口朝下，那么顶点是函数的最高点，函数在顶点左侧是递减的，在顶点右侧是递增的。

例如，考虑函数y = x^2 - 4x + 3。

我们可以使用公式x = -b / (2a)来计算顶点的横坐标。

在这个例子中，a = 1，b = -4，所以顶点的横坐标为x = -(-4) / (2 * 1) = 2。

因为a > 0，所以二次函数的开口朝上。

根据顶点的位置，可以确定函数在顶点左侧是递增的，在顶点右侧是递减的。

通过确定二次函数的增减性，我们可以了解二次函数图像的上升和下降趋势。

这对于解决实际问题和理解二次函数的性质都非常有帮助。

总结起来，确定二次函数的增减性可以通过确定二次函数的开口方向和顶点的位置来完成。

二次函数的增减性与凹凸性二次函数是数学中一种重要的函数形式，它具有特定的增减性和凹凸性。

我们将在本文档中讨论二次函数的增减性和凹凸性的定义和性质。

二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数且 $a \neq 0$。

增减性二次函数的增减性指的是函数图像上的点的变化趋势。

根据二次函数的一般形式，我们可以利用一阶导数来判断二次函数的增减性。

- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。

在凹性区间内，随着$x$ 增加，函数值也会增加，所以函数是递增的。

- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凹的抛物线。

在凸性区间内，随着 $x$ 增加，函数值会减小，所以函数是递减的。

凹凸性二次函数的凹凸性指的是图像上的曲线的形状。

同样地，我们可以利用二阶导数来判断二次函数的凹凸性。

- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。

在该情况下，函数在整个定义域内都是凹的。

- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凸的抛物线。

在该情况下，函数在整个定义域内都是凸的。

值得注意的是，二次函数在顶点处取得极值。

当 $a > 0$ 时，函数取得最小值；当 $a < 0$ 时，函数取得最大值。

总结通过分析二次函数的一阶导数和二阶导数，我们可以判断二次函数的增减性和凹凸性。

增减性描述了函数图像上的点的变化趋势，凹凸性描述了函数图像的形状。

理解二次函数的增减性和凹凸性对于解决实际问题和优化函数至关重要。

希望本文档对您理解二次函数的增减性和凹凸性有所帮助。

如有任何疑问，请随时咨询。

1．2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值二次函数的增减性与最值定理定理 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0,x ∈R),当a>0(a<0)时,在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减(递增),在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增(递减),图象曲线开口向上(下),在x ＝－b 2a 处取到最小(大)值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－Δ4a ,这里Δ＝b 2－4ac.试求二次函数y ＝x 2＋2x －3的单调区间和最值．[提示] 在区间(－∞,－1]上是减函数,在[－1,＋∞)上为增函数,当x ＝－1时,y 有最小值,y min ＝－4.二次函数的单调性及应用[例1] 已知函数(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值,试比较f(－1)和f(1)的大小． [思路点拨] 配方后确定单调区间,利用单调性求解．[解] 配方,得y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－18,对称轴为x ＝34.(2)因为2>0,所以抛物线开口向上, 所以当x ＝34时,y min ＝－18.(3)∵函数y ＝2x 2－3x ＋1的对称轴为x ＝34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋x . ∴f(－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.又∵函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上是增函数,52>1>34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f(1),即f(－1)>f(1).借题发挥 配方法是解决二次函数单调性和最值的较好方法,在求函数的最值前往往需要确定函数的单调性.1．函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数的条件是( ) A ．a ∈(－∞,1] B ．a ∈[2,＋∞)C ．a ∈[1,2]D ．a ∈(－∞,1]∪[2,＋∞)解析：选D f(x)＝x 2－2ax －3＝(x －a)2－a 2－3, 若f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数, ∴a≤1或a≥2.2．已知函数y ＝(m 2－3m)xm 2－2m ＋2是二次函数,则m ＝________,该函数的值域为________．解析：由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m≠0，m 2－2m ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m≠0且m≠3，m ＝0或m ＝2，所以m ＝2,所以y ＝－2x 2.故值域为{y|y≤0}． 答案：2 {y|y≤0}二次函数的最值及应用[例2] 金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？ [思路点拨] 建立二次函数模型求解．[解] (1)当每辆的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12,所以这时租出了100－12＝88(辆)． (2)设每辆车的月租金定为x 元,则月收益f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 ＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时,f(x)最大,最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司收益最大,最大收益为307 050元. 借题发挥 二次函数是我们接触最早的基本初等函数,建立二次函数模型可以解决生活中的最值优化问题,值得注意的是在求二次函数最值时,切记要注意自变量的取值范围.3．某商店已按每件80元成本购进某种上装1000件,根据市场预测,当每件售价100元时,可全部售完,若定价每提高1元时,销售量就减少5件,若要获得最大利润,则销售价应定为( )A ．110元B ．130元C ．150元D ．190元解析：选D 设每件涨价x 元,利润函数为： y ＝(100＋x －80)(1000－5x) ＝(20＋x)(1000－5x) ＝－5x 2＋900x ＋20000.当x ＝90时,y 取最大值,故销售价定为190元．1．函数y ＝－x 2＋1的单调增区间是( ) A ．[0,＋∞) B ．(－∞,0] C ．(0,＋∞)D ．(－∞,＋∞)解析：选B ∵y ＝－x 2＋1为开口向下,对称轴为x ＝0的抛物线, ∴该函数y ＝－x 2＋1在(－∞,0]上递增．2．函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减,则a 的取值范围是( ) A ．[3,＋∞) B ．(－∞,3] C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选D ∵f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减, ∴－4a2≥6,即a≤－3.3．若y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值为2,则k ＝________. 解析：∵y ＝－x 2＋4x ＋k＝－(x 2－4x ＋4)＋4＋k ＝－(x －2)2＋4＋k, ∴其最大值为4＋k ＝2,∴k ＝－2. 答案：－24．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限,且在区间[－2,1]上的最大值和最小值分别为1和－2,求函数f(x)＝x 2－ax ＋b 在[－2,1]上的最大、最小值．解：∵y ＝ax ＋b 不经过第一象限,且最大、最小值不等,∴a<0, 从而有y max ＝－2a ＋b ＝1,y min ＝a ＋b ＝－2,∴a ＝－1,b ＝－1,即f(x)＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.∵x≤－12时,f(x)单调递减,而x≥－12时,f(x)单调递增．∴在[－2,1]上,f(x)max ＝f(－2)＝f(1)＝1,f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－54.简述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的性质函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x ＝h,h ＝－b2a,k ＝4ac －b24a；当a>0时,抛物线开口向上,函数在x ＝h 处取最小值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是减函数,在区间[h,＋∞)上是增函数；当a<0时,抛物线开口向下,函数在x ＝h 处取最大值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是增函数,在区间[h,＋∞)上是减函数．一、选择题1．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间为( ) A ．[0,＋∞) B ．[1,＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞,32]答案：D2．若f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称,则f(x)在(－3,1)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选C ∵f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称 ∴m ＝0,∴f(x)＝－x 2＋3, ∴f(x)在(－3,1)上先增后减．3．某商品进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件．通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件,商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元解析：选D 设当商品定价为x 元时,商店的销售利润为y 元,则有 y ＝(x －40)[500－10(x －50)](x≥50) ＝(x －40)(1000－10x)＝－10x 2＋1 400x －40 000(x≥50), ∴当x ＝70时,y 有最大值．4．函数f(x)＝9－ax 2(a>0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A f(x)＝－ax 2＋9开口向下,在[0,3]上单调递减,所以在[0,3]上最大值为9. 二、填空题5．用一根长为12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是________． 解析：设矩形一边长为x m, 则另一边长为12－2x2＝(6－x) m,∴面积S ＝x(6－x)＝－x 2＋6x(0<x<6), ∴当x ＝3时,S max ＝－32＋18＝9. 答案：9 m 26．函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间是(－∞,4],则a 的值为________．解析：f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2.∴f(x)的单调递减区间是(－∞,1－a]． 又∵f(x)的单调递减区间是(－∞,4], ∴1－a ＝4,即a ＝－3. 答案：－3 三、解答题7．求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－4x ＋6,x ∈[1,5)； (2)y ＝2x －x －1.解：(1)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5),∴如图所示：函数的值域为[2,11)． (2)函数的定义域是{x|x≥1}． 令x －1＝t,则t≥0,x ＝t 2＋1, ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2,问题转化为y(t)＝2t 2－t ＋2在t ∈[0,＋∞)值域的问题．用配方法解决, ∴y ＝2(t －14)2＋158,∵t≥0,如图,则y min ＝158,∴所求函数的值域为[158,＋∞)．8．已知f(x)＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上的最小值为－3,求a 的值． 解：当－a2>1,即a<－2,y min ＝f(1)＝4＋a ＝－3,∴a ＝－7. 当－1≤－a2≤1,即－2≤a≤2,y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－a 24＝－3,∴a ＝±26(舍去)． 当－a2<－1,即a>2时,y min ＝f(－1)＝4－a ＝－3, ∴a ＝7.综上可知,a ＝±7.。

高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。

2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。

二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。

2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。

三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。

2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。

2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。

五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。

2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。

5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。

六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。

2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。

3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。

七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。

二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。

下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。

1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。

2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。

对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。

3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。

我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。

另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。

4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。

当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。

通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。

5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。

关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。

6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。