八年级 完全平方公式
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八年级奥数完全平方公式讲解
性质：两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.注意：1左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。
2右边是⼆项平⽅和，加上(或减去)这两项乘积的⼆倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后⼀项都是加号，不要因为前⾯的符号⽽理所当然的以为下⼀个符号。
概念：完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2。
该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。
【使⽤误解】①漏下了⼀次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。
【学习⽅法】公式特征学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。
这两个公式的结构特征：左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.【完全平⽅公式】前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
即 (a+b)∧2=a∧2+b∧2+2ab(a-b)∧2=a∧2+b∧2-2ab【公式变形】变形的⽅法(⼀)、变符号：(⼆)、变项数：(三)、变结构【注意事项】1、左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。
人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT
合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
人教版八年级数学上册完全平方公式
例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(1) a+b−c=a+( +b−c ) ； 添括号法则：
+b −c
括号前面是正号，到括号 里的各项都不变符号．
例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(2) a−b+c=a−( +b−c )； +b −c
添括号法则： 括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号．
(1) (−2x+5)2
= [−(2x−5)] 2
解： (1) ( − 2 x + 5 ) 例 在等号右边的括号内填上适当的项：
2
= [−(a−b)]2
=[(a−2b)−1]2
= [− ( 2 x − 5 ) ] 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
= 4x2−20x+25;
2
方法二：
(−x)2=x2.
巩固练习
练习 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D ) ．
A ． (a−b)2 C．−(a+b)2
B．(−a−b)2 D．−(a−b)2
添括号法则： 括号前面是负号， 括到括号里的各项 都改变符号．
2ab−a2−b2
= −(a2−2ab+b2) 两数差的完全平方公式：
= −(−2ab+a2+b2) = −(a−b)2 ．
探究新知
∵(−a+b)2 = [−(a−b)]2 = (a−b)2 ， ∴ (−a+b)2= (a−b)2 ．
∵(−a−b)2 = [−(a+b)]2 = (a+b)2 ， ∴(−a−b)2 =(a+b)2 ．
人教版八年级数学上《完全平方公式》知识全解
《完全平方公式》知识全解
课标要求
掌握完全平方公式，会用它进行运算，会逆用这个公式。
知识结构
（1）完全平方公式
公式：（a+b)2=a2+2ab+b2; （a-b)2=a2-2ab+b2
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
（2）添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
内容解析
本小节从探究另一种特殊形式的多项式乘法入手，介绍了完全平方公式的运算方法，并从图形的角度说明了它的正确性。
接着给出了一些适合用公式解决的问题，让学生熟悉、巩固公式的应用。
第二部分介绍了添括号法则，这个法则应用很广泛，添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验。
重点难点
重点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。
难点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。
教法导引
教师以引导为主，鼓励学生自主学习，讨论交流。
学法建议
学生阅读教材，以自主学习为主，注意与同学的交流。
人教版数学八年级上册第十四章第二课《完全平方公式》
探究新知
a−b
b
几何解释
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2= a2 −ab−b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式：
(a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
问题4： 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2. (a–b)2= a2–2ab+b2.
探究新知
素养考点 4 添括号法则的应用
例4 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1原) 式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= x2–(4y2–12y+9)
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
巩固练习
3.对应训练.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_5_2___. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=_1_8_或__–_1_8_ . (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为__1____.
基础巩固题
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
八年级上册第二单元《完全平方公式》
八年级上册第二单元《完全平方公式》一、教案背景完全平方公式是继平方差公式之后的又一个重要的乘法公式，它是进行整式乘法计算的重要方法，也是后面进行因式分解的基础，因此这一节的内容非常重要。
基于此，我确定了如下的教学目标及学习的重、难点。
二、教学目标1、探究掌握完全平方公式。
2、能灵活运用完全平方公式进行简化计算。
3、结合图形，体会公式的几何意义。
三、情感、能力目标1、体会数形结合的教学方法和整体思想。
2、通过研究学习的过程，激发求知欲，培养学生自主学习与合作交流的能力，享受成功的喜悦，提高学习兴趣。
学习重点：完全平方公式学习难点：对公式的灵活运用和正确计算。
四、教材分析由于学生有了前面学习平方差公式的基础，因此学习本节课的学习过程应该不算太难。
教学过程中，可多放手，尽量让学生自主学习、小组合作交流来完成。
教师对于公式的特征等关键地地方进行点拨。
课堂中教师的作用是组织学生学习，并适时、恰当地进行点拨。
五、教学过程设计本节课的学习将分为学前探究、新知学习、整合提升、课堂小结、布置作业这五个环节进行。
【学前探究】1、用代数式表示：（2）a、b两数的平方和。
（1）a 、b两数的和的平方；2、用多项式乘法计算：（1）（m + n ) 2(2)(2x + y)2本环节的设计意图有两个：一是复习旧知识，让学生清楚平方和与和的平方的区别，为后面理解完全平方公式打下基础；二是通过2的计算，引导学生掌握完全平方公式的的推导。
在具体的教学工程中可让学生在导学案上完成两题，小组交流结果。
教师巡视，指错，解疑。
【新知学习】这一部分将分为公式探究、公式延伸两个环节来完成。
（一）公式探究1、公式推导自学要求：观察学前探究中的2（2）中的式子及计算结果，分析其特征，小组交流讨论。
你能否用式子和语言来表达你的发现？。
2、公式的几何意义自学要求：自学课本第36页，结合图形，理解完全平方公式的几何意义3、对应练习利用公式进行计算：（1）（a+5）2; （2）（3X +y)2; (3)(m+7) (m-7)设计意图：利用学生已经计算出结果的两个题目来推导公式，引起学生的兴趣，让其体会到公式的的得出是有根源的，并能比较出运用公式进行计算的简单性。
八年级数学完全平方公式
八年级数学完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
知识要点
1．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．即：两数的和（或差）的平方，•等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍，这两个公式叫做完
全平方公式．
2．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符合；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
典型例题
例．计算：①（2a+3b）2（2a-3b）2 ；②2（x+y）（x-y）-（x+y）2- （x-y）2 ；
③（a-b+c）（a+•b-c）
分析：直接用多项式的乘法比较复杂，可抓住式子的特征确定简单的方法．•第①题先逆用积的乘方，再利用平方差公式和完全平方公式计算；第
②题可将x+y 看着a，•把x-y 看着b，再逆用完全平方公式计算．第③题可以先利用添括号法则将式子变为能用平方差公式计算的结构形式，再运用完
全平方公式计算
解：①（2a+3b）2（2a-3b）2=[（2a+3b）（2a-3b）]2
=（4a2-9b2）2=16a4-72a2b2+81b4
②2（x+y）（x-y）-（x+y）2-（x-y）2
=-[（x+y）2-2（x+y）（x-y）+（x-y）2]
=-[（x+y）-（x-y）]2
=-（2y）2=-4y2。
人教版数学八年级上册15.2.2《完全平方公式》教学设计
人教版数学八年级上册15.2.2《完全平方公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册15.2.2《完全平方公式》是初中数学中的一部分，主要让学生掌握完全平方公式的概念和应用。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的，对于学生来说，完全平方公式较为抽象，需要通过具体例子让学生理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的数学基础，但对于完全平方公式，由于其抽象性，学生可能需要通过具体的例子和实际操作来理解和掌握。
在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，需要给予个别辅导和指导。
三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的概念和意义。
2.让学生掌握完全平方公式的运用和计算方法。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式的概念和意义。
2.完全平方公式的运用和计算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解和掌握完全平方公式。
2.采用小组合作学习法，让学生在小组内讨论和探究，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
3.采用问题驱动法，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和演示。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“一个正方形的边长为a，求它的面积。
”让学生思考和讨论，引导学生发现正方形的面积可以表示为a^2，进而引出完全平方公式的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现完全平方公式的定义和表达式，同时给出一些具体的例子，让学生观察和分析，引导学生理解和掌握完全平方公式的概念和意义。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给出一些数字，要求学生运用完全平方公式进行计算。
在学生练习的过程中，教师进行巡回指导，帮助学生解决遇到的问题。
八年级数学完全平方公式
例如，将一个边长为 $a+b$ 的正方形划分为多 个小正方形和矩形，每个部分的面积都可以表 示为 $a^2$、$ab$ 或 $b^2$，从而得到 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。
八上完全平方公式
八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。
下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。
一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。
这个公式可以用来求解a、b的平方和。
二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。
其中最常见的是求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。
三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。
当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。
四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。
完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。
通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。
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倍：222()
2a b a ab b ．
5、已知a=
201x ＋20，b=201x ＋19，c=20
1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值。
题型五、数形结合
1．如图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；
（3）观察图2，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ．
（4）根据题（3）中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．
2．课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
2
2)
-C、
+
1xy
B．4
B
1、如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2
D ．a(a －b)＝a 2－ab 2、从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A ．222()a b a b -=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．222()2a b a ab b -=-+
D ．22a b -＝()()a b a b +-
3、若x 2＋2(m －3)x ＋16是一个完全平方式，则m ＝___________
4、已知6=+y x ，4=xy ，则y x -=
5、若x 2＋mxy ＋25y 2是完全平方式，则m ＝__________
6、利用乘法公式计算：
（1）(2x －3)(－3－2x)＋(2x －1)2
（2）(x ＋2y ＋1)(x －2y ＋1)－(x －2y －1)2。