第14章 弯曲变形
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机械原理 第14章
刚性转子的静平衡设计 刚性转子的动平衡设计 刚性转子的静平衡实验 刚性转子的动平衡实验 平衡精度和剩余不平衡量
刚 性 转 子 的 平 衡 设 计 和 平 衡 实 验
平衡设计：利用在转子上加减配重的方法，使转子上的惯性力和惯 平衡设计 性力偶矩的和为零，即满足 不平衡的广泛性：设计、加工、安装中的误差 不平衡的广泛性
不过， 不过，理论上中心主惯性轴线
m1r1 =
(∑ li mi ri cos θ i ) 2 + (∑ li mi ri sin θ i ) 2 l
= 133.8 kg ⋅ mm
θ = tan −1
∑ (−l m r sin θ ) = 348 ∑ (−l m r cosθ )
i i i i i i i i
i i i
i i
i
mr = 227.8 kg ⋅ mm
227.8 kg ⋅ mm m= = 2.85 kg 80 mm
θ = tan −1
− 203 = 297 o 103.4
刚 性 转 子 的 平 衡 设 计 和 平 衡 实 验
刚性转子的动平衡设计
b 1 ≥ d 5
长圆柱状转子：动平衡设计
转子不平衡质量：分布在多个平面内
3
i =1
按单面平衡原理，可分别对两面进行平衡计算。 按单面平衡原理，可分别对两面进行平衡计算。
刚 性 转 子 的 平 衡 设 计 和 平 衡 实 验
刚性转子的动平衡设计
结论： 结论：任何具有不平衡质量的刚性转 子，无论在多少个回转平面内具有偏 心质量，都可以在任选的两个平衡基 心质量，都可以在任选的两个平衡基 面分别加、减一个适当的配重， 面分别加、减一个适当的配重，使转 子得到完全的平衡 完全的平衡。 子得到完全的平衡。
建筑力学第十二章-第十五章
图 12-1
第一节 弯曲变形的概念
1.挠度 2.转角 3.挠度和转角的关系
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 为了得到挠曲线方程，必须建立变形与外力之间的关系。本书第 十一章在推导梁的应力公式时，已经求得挠曲线曲率ρ和弯矩M之 间的关系，即式（11⁃1）
二、用积分法求梁的变形
图 12-2
第三节 用叠加法求梁的变形
表12-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移
例12-3 简支梁AB所受荷载如图12-8所示。求跨度中点C的挠度和 支座A的转角。截面抗弯刚度EI
第三节 用叠加法求梁的变形
图 12-8
解：由表12-1查得，在力偶单独作用下，跨度中点C的挠度为
第三节 用叠加法求梁的变形
例12-4 悬臂梁AB受载如图12-9所示。截面抗弯刚度EI为常数。 试用叠加法求截面B的挠度和转
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
自由端受一集中力P作用，梁的弯曲刚度为EI，度求梁的挠度方程 和转角方程，并计算梁的最大挠度和最大转角。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
图 12-5
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
解：(1)列弯矩方程。
图 12-6
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
(2)列挠曲线近似微分方程。 (3)积分。 (4)确定积分常数。 (5)确定挠度方程和转角方程。 (6)求最大挠度和最大转角。 例12-2 如图12-7所示承受均布荷载q作用，梁的抗弯刚度为EI。 求
解：由表12-1查得，均布荷载q单独作用下截面B的挠度和转角为
第四节 梁的刚度条件
一、刚度条件 在建筑工程中，为了能保证梁正常工作，除了满足强度条件外， 还应满足刚度条件，即把梁在荷载作用下产生的变形控制在工程 允许的范围内。
第一节 弯曲变形的概念
1.挠度 2.转角 3.挠度和转角的关系
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 为了得到挠曲线方程，必须建立变形与外力之间的关系。本书第 十一章在推导梁的应力公式时，已经求得挠曲线曲率ρ和弯矩M之 间的关系，即式（11⁃1）
二、用积分法求梁的变形
图 12-2
第三节 用叠加法求梁的变形
表12-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移
例12-3 简支梁AB所受荷载如图12-8所示。求跨度中点C的挠度和 支座A的转角。截面抗弯刚度EI
第三节 用叠加法求梁的变形
图 12-8
解：由表12-1查得，在力偶单独作用下，跨度中点C的挠度为
第三节 用叠加法求梁的变形
例12-4 悬臂梁AB受载如图12-9所示。截面抗弯刚度EI为常数。 试用叠加法求截面B的挠度和转
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
自由端受一集中力P作用，梁的弯曲刚度为EI，度求梁的挠度方程 和转角方程，并计算梁的最大挠度和最大转角。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
图 12-5
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
解：(1)列弯矩方程。
图 12-6
第二节 梁的挠曲线近似微分方程
(2)列挠曲线近似微分方程。 (3)积分。 (4)确定积分常数。 (5)确定挠度方程和转角方程。 (6)求最大挠度和最大转角。 例12-2 如图12-7所示承受均布荷载q作用，梁的抗弯刚度为EI。 求
解：由表12-1查得，均布荷载q单独作用下截面B的挠度和转角为
第四节 梁的刚度条件
一、刚度条件 在建筑工程中，为了能保证梁正常工作，除了满足强度条件外， 还应满足刚度条件，即把梁在荷载作用下产生的变形控制在工程 允许的范围内。
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
第14章 结构的极限荷载复习思考题1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？答：（1）极限状态和极限荷载的含义：①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。
2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。
因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。
（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。
因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：（1）机构条件机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。
（2）内力局限条件内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。
（3）平衡条件平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。
4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。
（2）与极限荷载的关系极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。
第14章：结构的计算简图
结构与支承物连接的简化： 以理想支座代替结构与其支承物（一般是大地）
之间的连结 。 １）活动铰支座：
允许沿支座链杆垂直方向的微小移动。沿支座链 杆方向产生约束力。 ２）固定铰支座：
允许饶固定铰铰心的微小转动。过铰心产生任意 方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）。 ３）固定支座：
不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖 直及限制转动的约束力。计算简图的概念 ２、结构计算简图的简化原则是：
１）计算简图要能反映实际结构的主要受力和变 形特点，即要使计算结果安全可靠；
２）便于计算，即计算简图的简化程度要与计算 手段以及对结果的要求相一致。
图14---1
３、结构计算简图的几个要点：
空间杆件结构的平面简化 杆件构件的简化：以杆件的轴线代替杆件； 杆件之间连接的简化：理想结点代替杆件与杆件 之间的连接。 １）铰结点： 汇交于一点的杆端是用一个完全无磨擦的光滑铰 连结。铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动， 即各杆端之间的夹角可任意改变。 ２）刚结点： 汇交于一点的杆端是用一个完全不变形的刚性结 点连结，形成一个整体。刚结点所连各杆端相互之 间的夹角不能改变。 ３）组合结点（半铰)： 刚结点与铰结点的组合体。
组合结构：由梁式构件和拉压构件构成。 拱：一般由曲杆构成。在竖向荷载作用下有水平 支座反力。
2、按计算方法分类： 静定结构, 超静定结构。
§14-2 杆件结构的分类
1、按结构的受力特点分类： 梁：由水平（或斜向）放置杆件构成。梁构件主
要承受弯曲变形，是受弯构件。 刚架：不同方向的杆件用结点（一般都有刚结点）
连接构成。刚架杆件以受弯为主，所以又叫梁式构 件。
桁架：由若干直杆在两端用铰结点连接构成。桁 架杆件主要承受轴向变形，是拉压构件。
工程力学第14章 动载荷与交变应力
当构件为一运动体时,由于有加速度,因而随构件质量分布,将产生分布的惯性
力,惯性力的大小等于运动物体的质量m与加速度a的乘积,其方向与加速度的方 向相反。从图14-1所示的矿井升降机为例,若起吊重量为W的重物,以加速度a 上升,若钢绳横截面面积为A,不计钢绳自重,可求钢绳横截面上的动荷应力。 计算运动构件内力,仍应用截面法,在图14-1a中截取如图14-1b所示部分,它受 到重物的重力 W和向上的加速度 a的作用,则重物的惯性力为 Wa/g。在运动构 件上加上与加速度a方向相反的惯性力(图14-1b),这时构件在重力、内力和惯 性力作用下处于平衡。由平衡方程,可得
14.4.2 交变应力的循环特征
构件在交变应力下工作时,应力变化情况可用应力随时间变化的曲线来表示 ,如 图 14-6b 、图 14-7b 。应力每重复变化一次称为一个应力循环 ( 图 14-9),重复 变化的次数称为循环次数。而把最小应力和最大应力之比称为交变应力的循环 特征,用r表示即
14.4.3 对称循环交变应力下材料的疲劳极限
设杆件受重物冲击后 ,产生最大压缩变形为Δd(图14-3b),则冲击物在冲击终了 时所减少的重力势能为 V=P(h+Δd)(a) 由于冲击物的初速度和下落终止时的终速度都为零,故动能无变化,即 T=0(b) 因为杆件的应变能Vd等于冲击载荷Fd在冲击过程中所做的功,由于冲击载荷Fd与 动变形 Δd 都是由零开始增加到最终值 , 且成线性关系 ( 图 14-4), 故此功可按图 14-4中的有阴影线的三角形面积来求得,即
第14章 动载荷与交变应力
14.1
概述
前面所讨论的问题中,构件所承受的载荷都是静载荷。在静载荷作用下,构 件内各点的加速度为零或微小到可忽略不计。如果构件有了明显的加速度, 则作用于构件上的载荷就是动载荷。
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
第14章 压杆稳定
14.2 理想压杆临界力的计算 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳 ”临界力的概念都是针对这一力学模型而言的。 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。
2l
)
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 Fcr 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 M ( x) Fcr w M e (a) 代入挠曲线近似微分方程，得 EIw ( Fcr w M e ) (b)
F
当 x=0时,w=0， 有 B 。 当 x=0时,w’=0 ，有 A=0。 将 A、B 值代入式(d)得 w (1 cos kx) (f) 再将边界条件 x l , w ， 代入式(f)，即得
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。
2l
)
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 Fcr 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 M ( x) Fcr w M e (a) 代入挠曲线近似微分方程，得 EIw ( Fcr w M e ) (b)
F
当 x=0时,w=0， 有 B 。 当 x=0时,w’=0 ，有 A=0。 将 A、B 值代入式(d)得 w (1 cos kx) (f) 再将边界条件 x l , w ， 代入式(f)，即得
机械设计基础课件第十四章 轴
第十四章
• • • • • • 轴的功用和类型 轴的材料 轴的结构设计 轴的强度计算 轴的刚度计算 轴的临界转速的概念
轴
第一节 轴的功用和类型
一、轴的功用
● 支撑回转零件，如齿轮、带轮； 传递运动和转矩 ●
二、轴的类型
● 心轴 — 只承受弯矩 按受载 ● 传动轴 — 只承受转矩 ● 转轴 — 既受弯矩、又受转矩 ● 直 轴（光轴、阶梯轴） ●曲 轴
第三节 轴的结构设计
倒角
砂轮越程槽
第三节 轴的结构设计
轴环
第三节 轴的结构设计
• 三、轴上零件的轴向定位和固定 • 定位 － 使轴上零件处于正确的工作位置；
• 固定 － 使轴上零件牢固地保持这一位置。 阶梯轴上截 • 目的 － 防止轴上零件工作时发生轴向蹿动。 面变化处 • 常用的轴向定位和固定方法：
第三节 轴的结构设计
为保证轴上零件紧靠在定位面（轴肩），轴 肩的圆角须大于C1或R。
第三节 轴的结构设计
• 四、改善轴的受力状况，减小应力集中 • 合理布置轴上零件可以改善轴的受力状况。
第三节 轴的结构设计
• 减小应力集中 • 零件截面发生突 然变化的地方， 都会产生应力集 中。合金钢对应 力集中比较敏感， 尤需加以注意。
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
• 若计算的截面有一个键槽，则将计算出的轴的直 径 d加大4%左右，若两个键槽，则增大8%，然 后圆整成标准直径。 • 对于一般用途的轴，按上述方法设计计算即可。 对于重要的轴，还需进一步的强度校核（如安全 系数法） • 安全系数的校核计算包括疲劳强度和静力强度两 项内容。 • 疲劳强度的校核即计入应力集中、表面状态和绝 对尺寸影响以后的精确校核。 • 静强度校核的目的在于校核轴对塑性变形的抵抗 能力。
• • • • • • 轴的功用和类型 轴的材料 轴的结构设计 轴的强度计算 轴的刚度计算 轴的临界转速的概念
轴
第一节 轴的功用和类型
一、轴的功用
● 支撑回转零件，如齿轮、带轮； 传递运动和转矩 ●
二、轴的类型
● 心轴 — 只承受弯矩 按受载 ● 传动轴 — 只承受转矩 ● 转轴 — 既受弯矩、又受转矩 ● 直 轴（光轴、阶梯轴） ●曲 轴
第三节 轴的结构设计
倒角
砂轮越程槽
第三节 轴的结构设计
轴环
第三节 轴的结构设计
• 三、轴上零件的轴向定位和固定 • 定位 － 使轴上零件处于正确的工作位置；
• 固定 － 使轴上零件牢固地保持这一位置。 阶梯轴上截 • 目的 － 防止轴上零件工作时发生轴向蹿动。 面变化处 • 常用的轴向定位和固定方法：
第三节 轴的结构设计
为保证轴上零件紧靠在定位面（轴肩），轴 肩的圆角须大于C1或R。
第三节 轴的结构设计
• 四、改善轴的受力状况，减小应力集中 • 合理布置轴上零件可以改善轴的受力状况。
第三节 轴的结构设计
• 减小应力集中 • 零件截面发生突 然变化的地方， 都会产生应力集 中。合金钢对应 力集中比较敏感， 尤需加以注意。
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
第四节 轴的强度计算
• 若计算的截面有一个键槽，则将计算出的轴的直 径 d加大4%左右，若两个键槽，则增大8%，然 后圆整成标准直径。 • 对于一般用途的轴，按上述方法设计计算即可。 对于重要的轴，还需进一步的强度校核（如安全 系数法） • 安全系数的校核计算包括疲劳强度和静力强度两 项内容。 • 疲劳强度的校核即计入应力集中、表面状态和绝 对尺寸影响以后的精确校核。 • 静强度校核的目的在于校核轴对塑性变形的抵抗 能力。
第14章 梁的弯曲强度
点受集中力P作用，画出此梁的 A
剪力图和弯矩图。
B
解题步骤： （1）求支座反力。
RA
x1 x2
RB
（2）列剪力方程和弯矩方程。
（3）按方程分段绘图。
（4）讨论。
例题2： 一简支梁受集中力偶m作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。
解题步骤：
RA
a
b
（1）求支座反力。 （面WZ不同。工字形截面最合
z
理，圆形截面最差。所以钢结
b
构中的抗弯杆件，常用工字形、
h b
P z
h
矩形截面。
截面形状
截面面积
抗弯截面模量
圆 形 矩 形 工字钢
61.05 61.05 61.05
67 124 534.3
1.097 2.031 8.752
3、截面形状与材料性能相适应 经济的截面形状应该使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到 材料的许用应力。抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用对称于中性 轴的截面形状，如空心圆形、工字形等；对抗压强度大于抗拉强度的脆 性材料，应采用中性轴靠近受拉一边的截面形状。
左
Ｑ Ｑ′
右
n
ΣP
(-)
(b)
1
P1 P2
2
左 C右
1
左
2
C 右
P1
P2
Σ 0(P) M M ′ Σ 0(P)
左
右
左 Σ 0(P) M
右 M ′ Σ 0(P)
(+)
(-)
(a)
(b)
例题：外伸梁的载荷均已 知，试“根据外力直接写出 力”求图中各指定截面上的 剪力和弯矩。
q1
1
a
RA
结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载
即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
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弯矩分段,要分段积分
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
要求：（1）约束处满足边界条件 （2）梁中间的点满足连续与光滑条件
边界条件
y A
x =0 , w=0 y ( = 0)
x
x = l , w= 0 =0
2
B
x
x = l , w=0 ( = 0)
光滑连续条件：
wc wc
P
c
c
梁的挠曲线近似微分方程式：
(-) M 0
w 0
EI
d2w dx2
M
(x)
M w或EIw M
EI z
3.积分法求梁的挠曲线
dx2
EI M (x)dx C dx o
xx
EIw [ M (x)dx]dx Cx D 00
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
挠曲线近似微分方程
EIw1
M1
x
F
b l
x
EIw2
M2
x
F
b l
x
F
x
a
积分得
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
(1) D1 (2)
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
b l
F
x 2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
弹性变形，以满足特
定的工作需要,例如
车辆上的板弹簧。缓 P / 2
P/2
解车辆受到的冲击
和振动作用。
P
二、弯曲变形的基本概念
1.挠曲线(平坦的曲线）
挠曲线方程：w f (x)
w
2.挠度和转角
y
挠度w：横截面形 心处的铅垂位移。
x
挠曲线
转角θ：横截面绕中 性轴转过的角度。
w
规定:y正向的挠度 为正，顺针向的转
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql3
24 EI 5ql 4
wm a x
w
x l 2
384EI
[例]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。
P
解：AC段：M(x) P x A EIw P x 2 2
C
[例]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均
布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定
θmax和wmax。
q
解：M(x) ql x q x2 A
22
x
B
x
EIw ql x q x2 22
y
l
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
M1(x1) qax1 (0 x1 a)
M2 (x2
)
qax2
q 2
(x2
a)2
(a x2 2a)
EIw1 qax1
EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
y
q
A
C
D
E
B
x
qa x1
qa
x2
a
a
a
a
EIw1 qax1
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
x13
C1x1
D1
EIw2
qax2
x
l
C
l
B
x
EIw P x2 C
y2
2
4
EIw P x3 Cx D 12
由边界条件： x 0时，w 0 得：D 0
由对称条件： x l 时，w 0 2
得： C
Pl 2 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4x2 l 2 )
16EI A
w Px (4x2 3l 2 )
q 2
(x2
a)2
EIw2
qa 2
x22
q 6
( x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
(x2
a)4
C2
x2
D2
由连续条件：
x1 x2 a时,w1 w2,w1 w2
得C1 C2 D1 D2
由边界条件：x1 0时,w1 0 得 D1 0
由对称条件：x2 2a时,w2 0
得C2
11 qa3 6
例题
试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。梁的EI
为常量
解: 1.分段列弯矩方程
FA
F
b， l
FB
F
a l
M1x
FA
x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
a x l
2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：
由边界条件：
EIw ql x2 q x3 C
46
x 0时，w 0; x l时，w 0
得： C ql3 ,D 0
24
A
梁的转角方程和挠曲
线方程分别为：
EIw ql x3 q x4 Cx D
q12 24
B
x θA
θB
x
l
q (6lx2 4x3 l 3 ) y
24EI
x
48EI
l
y2
最大转角和最大挠度分别为：
P
C
l 2
B
x
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
讨论： c 0
[例]：已知梁抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的 转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
y
CL9TU5
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
b l
F
x
2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
C2 x D2
(2)
在x=0处 w1=0， D1=D2 =0
在 x=l 处 w2=0
EIw2
|xl
F
b l
l3 b
F
l
6
a 3
C2l
0
C1
C2
Fb 6l
l2
b2
4. 建立转角方程和挠度方程
将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
C2 x D2 (2)
3. 确定积分常数
连续条件:x=a时，w1 '=w2'及w1=w2，得C1=C2，D1=D2 。
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
EIw M x F b x
1
1
l
EIw2
M2x
F
b l
x
F
x
a
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
(1) D1 (2)
第 14 章 弯曲变形
§14-1梁的位移-挠度和转角
一.工程实例 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够
的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够 的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困 难，出现爬坡现象。
另外一些情况却
要求构件具有较大的
y
角为正。
x
转角θ与挠度w 关系：
tan
df f (x)
dx
§14-2梁的挠曲线近似微分方程式
1.曲率公式
材力 曲线 y f (x) 的曲率为 数学
M 1 w w
EI z
(1 w2 )3 / 2
2.曲率与弯矩的符号关系
M 0
(+)
x
w 0
如图：w ”与弯矩的符号相反。 y