中考数学试题分类大全一次函数的应用

函数与应用（22题）1．（2017虹口）某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，下图反映的是每月水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系．（1）当用水量超过10吨时，求y 关于x 的函数解析式（不写定义域）；（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费38元和27元，问四月份比三月份节约用水多少吨？2．（2017杨浦）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x 千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为1y 元和2y 元，已知1y 、2y 关于x 的函数图像分别为如图所示的折线OAB 和射线OC .（1） 当x 的值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？（2） 当x 的值为 时，在乙店批发比较便宜？ （3） 如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB 的表达式，并写出定义域.3．（2017崇明）在一条笔直的公路上有AB 两地，小明骑自行车从A 地去B 地，小刚骑电动车从B 地去A 地然后立即原路返回到B 地，如图是两人离B 地的距离y (千米)和行驶时间x (小时)之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： （1）AB 两地的距离是 ，小明行驶的速度是 ；（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，那么小刚从A 地原路返回到 B 地途中，两人能够用无线对讲机保持联系的 x 的取值范围是 ．千克）)（第22题图）4．（2017黄浦） 小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），下图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图像（线段AB ），其中设定扫地时间为x 分钟，扫地速度为y 平方分米/分钟.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）他应该设定的扫地时间为多少分钟？5．（2017至少10元，但不高于每千克20元时，销售量y （千克）与销售单价x （元）的函数图像 （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当王阿姨销售草莓获得的利润为800元时，求 草莓销售的单价．6．（2015虹口）某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现，每天销售件数y （件）是每件销售价格x (元)的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）7．（2016浦东）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示： （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）8．（2017静安） 有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒． （1）问小盒每个可装这一物品多少克？（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n 个，所有盒子所装物品的总量为w 克． ①求w 关于n 的函数解析式，并写出定义域；②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量．9．（2017嘉定）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：（1）如果该车的油箱内剩余油量（升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，求y 关于x 的函数解析式（不需要写出它的定义域）；（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）.假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少．．需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由.10．（2016杨浦）某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M 走到N ，停留后再原路返回，其间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分（x >0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前 18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度 之比为2∶3，试求点C 的纵坐标．x （分）11．（2016徐汇）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小杰跑了1400米，小明、小杰在此后所跑的路程y （米）与时间t （秒）之间的函数关系（如图3），那么这次越野跑的全程为 米．12． 甲骑自行车从A 地出发前往B 地，同时乙步行从B 地出发前往A 地，如图所示，y 甲、y 乙分别表示甲、乙离开A 地y (km )与已用时间x (h )之间的关系，且直线y 甲与直线y 乙相交于点M ．（1）求y 甲与x 的函数关系式（不必注明自变量x 的取值范围）；（2）求A 、B 两地之间距离．13．（2015崇明）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y (km)与小明离家时间x (h)的函数图像．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍． （1）小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为 小时；（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？)14．（2015长宁）到达乙地卸货后返回甲地.设汽车从甲地出发x （h 甲地的距离为y （km ），y 与x 的关系如图所示. 根据图像回答下列问题:（1）汽车在乙地卸货停留 （h ）；（2）求汽车返回甲城时y 与x （3）求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离.15．（2015徐汇）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求营销员的个人月收入y 元与该营销员每月的销售量x 万件(x ≥0)之间的函数关系式；（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相1.414 ，保留到百分位）；16．(2015宝山)已知一水池的容积V （公升）与注入水的时间t （分钟）之间开始是一次函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值．（1）求这段时间时关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）从t 为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t 为27分钟时，水池的容积为726公升，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，求这个百分率．h ）17. （2014 黄浦）已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y （厘米）与所挂重物质量x （千克）的关系可表示为y kx b =+的形式，其中k 称为弹力系数，测得弹簧A 的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图7-1所示.（1）求弹簧A 的弹力系数；（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k 与弹簧的直径d (如图7-2所示）成正比例.已知弹簧B 的直径是弹簧A 的1.5倍，且其它条件均与弹簧A 相同（包括不挂重物时的长度）.当弹簧B 挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米，求该重物的质量.18．（2014奉贤）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）求乙队在2≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到 完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？19．（2014虹口）某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量y （个）与甲品牌文具盒的数量x （个）之间的函数关系如图所示．（1）求y 关于x 的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围）；（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购了乙品牌的文具盒，乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数量．y (厘米） x (千克）810 4 8 O时)第22题/ 个）20．（2014浦东）甲、乙两车都从A 地前往B 地，如图分别表示甲、乙两车离A 地的距离S （千米）与时间t （分钟）的函数关系.已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B 地，最终甲、乙两车同时到达B 地，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？ （2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？ （3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？21．（2014松江）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式； （2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？22．(2014杨浦) 某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量．（2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x （元／支）全部销售完毕，并要求获利不低于420元，求获利y （元）关于单价x（元／支）的函数关系式及定义域，并在直角坐标系内画出它的大致图像。

2023年数学中考试题精选（一）1.(2023.大连22题)为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步，开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为 4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑到停止跑步共用时120s。

已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：（1）男女跑步的总路程为________.（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离。

2.（2023.江苏省无锡市26题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格-采购价格）•销售量】3.(2023.锦州市23题)端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系。

（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？3.(2023.湖北黄冈市22题)加强劳动教育，落实五育并举，孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地. 2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜. 经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700; 乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.（1）当x=____m2时，y=35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？4.(2023.牡丹江25题)在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地，两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是___km/h，乙车行驶的速度是______km/h; （2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案。

一次函数的几何应用，一次函数的实际问题一、选择5、（陕西省）如图，直线对应的函数表达式是（）答案： A9、( 江苏常州 ) 甲、乙两同学骑自行车从 A 地沿同一条路到 B 地, 已知乙比甲先出发 , 他们离出发地的距离 s(km) 和骑行时间 t(h) 之间的函数关系如图所示 , 给出下列说法 : 【】(1)他们都骑行了 20km;(2)乙在途中停留了 0.5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地 ;(4)相遇后 , 甲的速度小于乙的速度 .根据图象信息 , 以上说法正确的有A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案： B10、 ( 湖北仙桃等 ) 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点从点出发沿着→→→→ 方向匀速运动，最后到达点. 运动过程中的面积（）随时间（ t ）变化的图象大致是（）答案： B11、( 黑龙江哈尔滨 )9 ．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900 米，某天他从家去上学时以每分 30 米的速度行走了 450 米，为了不迟到他加快了速度，以每分 45 米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程 S（米）与他行走的时间 t （分）之间的函数关系用图象表示正确的是（）．答案： D12、(黑龙江)5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400 吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除 3 次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过 80 小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（）答案： D13、(湖北天门)均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示 ( 图中 OABC为一折线 ) ，这个容器的形状是图中（）．答案： A14、( 湖南怀化 ) 如图 1，是张老师晚上出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是()答案：D15、（山东济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用 4 小时，调进物资 2 小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）. 储运部库存物资 S（吨）与时间 t （小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A.4 小时 B.4.4小时 C.4.8小时D.5 小时答案： B16、( 重庆 ) 如图，在直角梯形 ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点 M从点 D 出发，以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 N 从点 B 同时出发，以 2cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点2也随之停止运动 . 则四边形 AMND的面积 y（cm）与两动点运动的时间 t （s）的函数图象大致答案： D二、填空1、（江苏省南通市）将点A（， 0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点 B 的坐标是 ________.答案：（ 4，－ 4）2、（江苏省无锡市）已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为答案：．3、（江苏省苏州市） 6 月 1 日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保．．购物袋，每只售价分别为 1 元、 2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公斤、 5 公斤和 8 公斤． 6 月 7 日，小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装大米，他们选购的 3 只环保购物袋至少应付．．给超市元．答案： 8、湖北荆门 ) 如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系， l 24 (反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利 ( 收入大于成本 )时，销售量必须 ____________．答案：大于 45、（山东烟台）如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度（米）与时间（天）之间的关系图象. 根据图象提供的信息，可知该公路的长度是______米.答案： 504三、解答题1、（湖北襄樊）我国是世界上严重缺水的国家之一. 为了增强居民的节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费 . 即一月用水 10 吨以内 ( 包括 10 吨 ) 用户 , 每吨收水费 a 元 ; 一月用水超过 10 吨的用户 ,10 吨水仍按每吨 a 元水费 , 超过的部分每吨按 b 元(b>a) 收费 . 设一户居民月用水 y 元 ,y 与 x 之间的函数关系如图所示 .(1) 求 a 的值 , 若某户居民上月用水8 吨 , 应收水费多少元 ?(2)求 b 的值 , 并写出当 x 大于 10 时 ,y 与 x 之间的函数关系 ;(3)已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨, 两家共收水费 46元 , 求他们上月分别用水多少吨 ?解：（ 1）当 x≤ 10 时，有 y=ax.将x=10，y=15代入，得a=1.5用水 8 吨应收水费 8×1.5=12 （元）（2）当 x＞10 时，有（3）将 x=20，y=35 代入，得 35=10b+15. b=2（4）故当 x＞10 时， y=2x－ 5（5）因 1.5 ×10＋1.5 ×10＋2×4＜46.所以甲、乙两家上月用水均超过10 吨则解之，得故居民甲上月用水16 吨，居民乙上月用水12 吨2、（湖北孝感）某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金m元；（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表 1 的办法分段处理：表 1分段方式处理办法不超过 150 元（含 150 元）全部由个人承担超过 150 元，不超过 10000 元（不含 150个人承担n%，剩余部分由公司承担元，含 10000 元）的部分超过 10000 元（不含 10000 元）的部分全部由公司承担设一职工当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的费用（包括医疗费个人承担的部分和缴纳的医疗公积金m元）为 y 元（ 1）由表 1 可知，当时，；那么，当时，y=；（用含 m、 n、x 的方式表示）（2）该公司职工小陈和大李 2007 年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表 2：职工治病花费的医疗费 x（元）个人实际承担的费用 y（元）小陈300280大李500320请根据表 2 中的信息，求 m、n 的值，并求出当时， y 关于 x 函数解析式；（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）解： 1）（2）由表2 知，小陈和大李的医疗费超过150 元而小于10000 元，因此有：（ 3）个人实际承担的费用最多只需2220 元。

一次函数的应用一、选择题1.（2011天津3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B 除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。

若上网所用时问为x 分．计费为y 元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：① 图象甲描述的是方式A ：② 图象乙描述的是方式B ；③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱．其中，正确结论的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0【答案】A 。

【考点】一次函数的图象和性质。

【分析】① 方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为y =0.1x ，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；②方式B 除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为y =0.05x +20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；③从图象观察可知，当x >400时，y 乙<y 甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱，故结论正确。

综上，选A 。

2．（2011重庆潼南4分）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的函数关系式是A 、y =0.05xB 、y =5xC 、y =100xD 、y =0.05x +100【答案】B 。

【考点】根据实际问题列一次函数关系式。

【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100³0.05毫升，则x 分钟可滴100³0.05x 毫升，据此得y =100³0.05x =5x 。

故选B 。

3.（2011浙江绍兴4分）小敏从A 地出发向B 地行走，同时小聪从B地出发向A 地行走，如图所示，相交于点P 的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B 地的距离y （km ）与已用时间x （h ）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是A 、3km/h 和4km/hB 、3km/h 和3km/hC 、4km/h 和4km/hD 、4km/h 和3km/h【答案】D 。

内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一次函数的应用（共3小题）1．（2023•内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A 种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．3．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：套餐月保底费（元）包通话时间（分钟）超时费（元/分钟）A381200.1B C118不限时设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．二．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x 轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）6．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB 上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．三．平行四边形的判定与性质（共1小题）7．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD 的延长线于点E，连接BD，AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）8．（2021•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，＝＝2，连接AC、CD、AD．CD交AB 于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．（1）求证：AC＝CD；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．五．相似形综合题（共1小题）9．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．11．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）七．频数（率）分布直方图（共2小题）12．（2023•内蒙古）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：（1）本次调查的样本容量为 ，学生成绩统计表中m＝ ；（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？学生成绩统计表组别成绩x频数A75≤x＜8020B80≤x＜85mC85≤x＜90144D90≤x＜9545E95≤x≤100n13．（2021•兴安盟）某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务．为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94二班：99 96 82 96 79 65 96 55 96（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差一班①9486147.76二班83.796②215.21根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；（4）得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．八．列表法与树状图法（共1小题）14．（2021•兴安盟）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字﹣2，0.3，，0．（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作x、y，请用列表法（或树状图）求点（x，y）在第四象限的概率．内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共3小题）1．（2023•内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【答案】（1）50，40元；（2）①y1＝32x，y2＝；②该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．【解答】解：（1）设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元．根据题意，得，解得．∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元40元．（2）①根据题意，得：y1＝0.8×40x＝32x；当x≤25时，y2＝40x；当x＞25时，y2＝25×40+0.7×40（x﹣25）＝28x+300．综上，y1＝32x；y2＝．②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x，则32x＝28x+300，解得x＝75．根据函数图象可知：当x＜75时，y1＜y2；当x＝75时，y1＝y2；当x＞75时，y2＜y1．∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A 种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，由题意，得，解得，∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据题意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且为正整数，∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，∴共有6种进货方案；（3）设总利润为W元，则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W随y的增大而减小，∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．3．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：套餐月保底费（元）包通话时间（分钟）超时费（元/分钟）A381200.1B　58 360 0.1　C118不限时设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．【答案】（1）；（2）58，360，0.1；（3）当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；当x＞960 时，C套餐所需费用最少．【解答】解：（1）当0≤x≤120 时，y1＝38；当x＞120时，y1＝38+0.1（x﹣120）＝0.1x+26，∴；（2）由图象可知，当月保底费为58元；包通话时间360分钟；超时费：（70﹣58）÷（480﹣360）＝0.1（元），故答案为：58，360，0.1；（3）当x＞360时，设：y2＝kx+b，又∵图象过点（360，58），（480，70）两点，∴，解得，∴y2＝0.1x+22；∴；当y1＝58，0.1x+26＝58，解得x＝320，∴当x＝320 时，A、B套餐所需费用一样多，都比C套餐花费少；当0≤x＜320 时，A套餐所需费用最少．当y2＝118时，0.1x+22＝118，解得x＝960，当x＝960 时，B、C套餐所需费用一样多，都比A套餐花费少；当320＜x＜960时，B套餐所需费用最少．当x＞960 时，C套餐所需费用最少，综上所述：当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；当x＞960 时，C套餐所需费用最少．二．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）PD+PE取最大值，P（﹣，）；（3）N点坐标为（0，4）．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），∴PD+PE＝﹣t2﹣2t+3+（﹣t2﹣2t）﹣t＝﹣2t2﹣5t+3＝﹣2（t+）2+，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣时，PD+PE取最大值，此时P（﹣，）；（3）设M（﹣1，m），P（t，﹣t2﹣2t+3），设PC的中点为K（t，﹣t2﹣t+3），∵N点、M点的中点为K，∴N（t+1，﹣t2﹣2t+6﹣m），∵N点在坐标轴上，∴t+1＝0或﹣t2﹣2t+6﹣m＝0，当t＝﹣1时，此时PM∥y轴，∵四边形PMCN是矩形，∴PM⊥MC，∴M（﹣1，3），∴N（0，4）；当m＝t2+2t﹣6＝（t+1）2﹣7时，∵P点在直线AC上方，∴﹣3＜t＜0，∴﹣7≤m＜﹣3，当P点与A点重合时，m＝，∴m＞，∴此时M点不存在，综上所述：N点坐标为（0，4）．5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x 轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【答案】（1）y＝﹣x2+x+，C（0，）；（2）△MBC的面积有最大值，M（，）；（3）（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，则y＝，∴C（0，）；（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+），∴MN＝﹣m2+m，∴S△MBC＝•MN•OB＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，△MBC的面积有最大值，此时M（，）；（3）令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；综上所述：P点坐标为（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．6．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB 上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）存在点F（3，5）或（，）；（3）当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，KQ的最大值为，KQ的最小值为．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝4+2，解得m＝6，∴B（4，6），把点A和B代入抛物线的解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，设F（n，n+2），直线AB与x轴交于M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交于点N，则N（0，2），∵FC∥y轴，∴C（n，2n2﹣8n+6），∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2），∴OM＝ON＝2，∴∠ONM＝45°，∵FC∥y轴，∴∠AFC＝∠ONM＝45°，若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，过点A作AD⊥FC于点D，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AF＝AC，∴DF＝DC，∴AD＝FC，∵n＝，化简得：2n2﹣7n+3＝0，解得：n1＝3，（与A重合舍去），∴F（3，5），（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AC＝CF，∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，化简得：4n2﹣16n+7＝0，解得：，（舍去），∴F（，），综上所述：存在点F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形；（3）设F（c，c+2），∵FC∥y轴，∴C（c，2c2﹣8c+6），在Rt△FEC中，∵∠AFC＝45∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，∴当CF最大时，△FEC的周长最大，∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，又∵﹣2＜0，∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，∵CF＝，由（1）知点K的坐标为（3，0），∴KF＝，∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．三．平行四边形的判定与性质（共1小题）7．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD 的延长线于点E，连接BD，AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠DEO，∵点O是边AD的中点，∴AO＝DO，在△ABO和△DEO中，，∴△ABO≌△DEO（AAS），∴OB＝OE，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BD＝CD，∴AB＝BD，∵四边形ABDE是平行四边形，∴平行四边形ABDE是菱形．四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）8．（2021•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，＝＝2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．（1）求证：AC＝CD；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】证明：（1）∵＝＝2，∴AD＝CD，B是CD的中点，∵AB是直径，∴AD＝AC，∴AC＝CD；（2）如图，连接BD，∵AD＝DC＝AC，∴∠ADC＝∠DAC＝60°，∵CD⊥AB，∴∠DAB＝∠DAC＝30°，∵BM切⊙O于点B，AB是直径，∴BM⊥AB，∵CD⊥AB，∴BM∥CD，∴∠AEB＝∠ADC＝60°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝90°﹣∠DEB＝30°，∴BE＝2DE＝4，∴BD＝＝＝2，在Rt△BDA中，∵∠DAB＝30°，∴AB＝2BD＝4，∴OB＝AB＝2，在Rt△OBE中，OE＝＝＝2．五．相似形综合题（共1小题）9．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．【答案】（1）证明见解答；（2）△FBG是等腰三角形，理由见解答；（3）的值为﹣1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，∴∠EBC＝∠EDC，∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC，∴∠FGB＝∠EBC，∵BF⊥BE，∴∠FBE＝90°，∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，∴∠FGB＝∠FBG，∴BF＝GF，∴△FBG是等腰三角形．（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∴∠BAC＝∠F，∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，∴∠AGE＝∠AEG，∴AE＝AG，∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，∵△ABE≌△ADE，∴BE＝DE＝2，∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴＝＝＝﹣1，∴＝﹣1，∴的值为﹣1．六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．【答案】64米．【解答】解：过点B作BE⊥MD于点E．则四边形AMEB是矩形．∴BE＝AM＝24，ME＝AB＝12米，∵AF∥MD，∴∠ACM＝α．在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴tanα＝＝2，∴＝2，∴MC＝12米，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠DBE＝，∴tan60°＝＝，∴DE＝24＝72（米），CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝72﹣（12﹣12）＝84﹣12≈84﹣12×1.7＝84﹣20.4＝64（米）．答：河流的宽度CD约为64米．11．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【答案】建筑物的高度AB约为31.9米．【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．七．频数（率）分布直方图（共2小题）12．（2023•内蒙古）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：（1）本次调查的样本容量为　400　，学生成绩统计表中m＝　176　；（2）所抽取学生成绩的中位数落在　C　组；（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？学生成绩统计表组别成绩x频数A75≤x＜8020B80≤x＜85mC85≤x＜90144D90≤x＜9545E95≤x≤100n【答案】（1）400，176；（2）C；（3）13.5°；（4）300名．【解答】解：（1）本次调查的样本容量为144÷36%＝400（人），学生成绩统计表中m＝400×44%＝176，故答案为：400，176；（2）∵B组的人数为176人，∴所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B组的人数和为：20+176＝196，C组人数为144，∴所抽取学生成绩的中位数落在C组；故答案为：C；（3）∵n＝400﹣20﹣176﹣144﹣45＝15，∴360°×＝13.5°，答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数13.5°；（4）2000×＝300（名）．答：估计该校成绩优秀的学生有300名．13．（2021•兴安盟）某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务．为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94二班：99 96 82 96 79 65 96 55 96（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差一班①9486147.76二班83.796②215.21根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；（4）得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．【答案】（3）84.2，89，补全的二班的频数分布直方图见解答；（4）一班完成情况较好，理由见解答．【解答】解：（3）表格中①对应的数据为：＝84.2，由（1）中二班的数据和（2）中二班对应的频数分布直方图可得，表格中②对应的数据是（82+96）÷2＝89，由二班的平均数是83.7可得，被墨水遮盖的数据是：83.7×10﹣（99+96+82+96+79+65+96+55+96）＝837﹣764＝73，则二班60～70对应的频数是1，70～80对应的频数是2，补全的频数分布直方图如图所示；（4）一班完成情况较好，理由：一班的平均数高于二班，说明一班的成绩好于二班；一班的方差小于二班，说明一班的同学成绩波动小，大部分同学都在参加锻炼，故一班的完成情况好．八．列表法与树状图法（共1小题）14．（2021•兴安盟）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字﹣2，0.3，，0．（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作x 、y ，请用列表法（或树状图）求点（x ，y ）在第四象限的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）P （分数）＝＝；（2）列表得；﹣20.30﹣2（0.3，﹣2）（，﹣2）（0，﹣2）0.3（﹣2，0.3）（，0.3）（0，0.3）（﹣2，）（0.3，）（0，）0（﹣2，0）（0.3，0）（，0）共出现12种等可能结果，其中点在第四象限的有2种（0.3，﹣2）、（0.3，），∴P （第四象限）＝．。

一次函数的应用题分类总结整理剖析一次函数应用一、确定解析式的几种方法：1.直接写出一次函数表达式，根据实际意义解决相应问题；（直接法）2.利用待定系数法构建函数表达式，已经明确函数类型；（待定系数法）3.利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等式变形法）二、重点题型1.根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想；2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题。

一）根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题。

例1：某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠。

书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。

XXX和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）。

1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；直接法：对于第一种优惠方法，每个书包都赠送1支水性笔，所以购买4个书包需要买4支水性笔，总共需要花费4×20+4×5=100元。

因此，y=100.对于第二种优惠方法，购买4个书包和4支水性笔需要花费4×20×0.9+4×5×0.9=82.8元。

因此，y=82.8-0.9x。

2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；当0≤x≤4时，第一种优惠方法更便宜；当x>4时，第二种优惠方法更便宜。

3）XXX和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济。

由于第一种优惠方法总共需要花费100元，而第二种优惠方法的费用函数为y=82.8-0.9x，因此需要求解当x=12时，y 的值为多少。

代入公式得到y=71.4元。

因此，购买4个书包和12支水性笔的最经济方法是选择第二种优惠方法。

例2：某实验中学组织学生到距学校6千米的XXX去参观，学生XXX因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去XXX，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。

一、选择题1. （四川省自贡市，8，4分）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这－过程的是 ·································· （ ）【答案】C2. （四川省巴中市，7，3分）小张的爷爷每天见识体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y （米）与时间（分钟）之间关系的大致图象是（ ）【答案】 B ．3. （重庆B 卷，11，4分）某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y （公里）和所用时间x （分）之间的函数关系．下列说法中错误的是 A ．小强从家到公共汽车站步行了2公里 B ．小强在公共汽车站等小明用了10分钟 C ．公共汽车的平均速度是30公里/小时 D ．小强乘公共汽车用了20分钟 【答案】D【解析】从图中可以看出：图象的第一段表示小强步行到车站，用时20分钟，步行了2公里；第二段表示小强在车站等小明，用时30-20＝10分钟，此段时间行程为0；第三段表示两个一起乘公共汽车到学校，用时60-30＝30分钟＝0.5小时，此段时间的行程为17-2＝15公里，所以公共汽车的平均速度为30公里/小时.故选D.4. （山东省聊城市，11，3分）小亮家与姥姥家相距24千米，小亮8:00从家出发，骑自行车去姥姥家，妈妈8:30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家，在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S （km ）与北京时间t （时）的函数图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（ ） A.小亮骑自行车的速度是12km/hB.妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家11题图(分)ABCDC.妈妈在距家12km处追上小亮D.9:30妈妈追上小亮【答案】D【解析】妈妈追上小亮反映在图象上就是两人行进的路程与时间关系的函数图象的交点，由图象可知交点在时间为9时，所以妈妈在9点时追上小亮。

一次函数的应用练习题一、选择题1. 下列哪个选项表示的是一次函数？A. y = 2x^2 + 1B. y = 3x + 5C. y = √x + 2D. y = 4/x2. 一次函数y = 3x 2的图象经过哪个象限？A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、二、三象限D. 第一、二、四象限3. 一次函数y = kx + b的图象与y轴的交点为（0，3），则b 的值为：A. 3B. 3C. 0D. 14. 下列哪个一次函数的图象是一条过原点的直线？A. y = 2x + 1B. y = 3xC. y = x 2D. y = x^2二、填空题1. 一次函数的一般形式是______。

2. 一次函数y = 5x 3的斜率为______，y轴截距为______。

3. 若一次函数y = kx + b的图象经过点（1，3）和（2，5），则k的值为______，b的值为______。

4. 当x > 0时，一次函数y = 2x + 7的值随着x的增大而______。

三、解答题1. 已知一次函数y = 4x 1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，求线段AB的长度。

2. 一次函数y = kx + b的图象经过点（1，2）和（3，4），求该一次函数的表达式。

3. 在平面直角坐标系中，一次函数y = 3x + 6与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，求三角形OCD的面积（O为坐标原点）。

4. 小明从家出发，沿直线道路去图书馆，距离图书馆的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）的关系为y = 5 4x。

求小明家到图书馆的距离，以及小明走到图书馆所需的时间。

5. 某商品的原价为1000元，商场进行打折促销，折后价格为y 元，打折系数为x（0 < x < 1）。

求折后价格y与打折系数x之间的函数关系式。

四、应用题1. 甲、乙两地相距120公里，甲地有一辆汽车以每小时60公里的速度前往乙地，同时乙地有一辆摩托车以每小时40公里的速度前往甲地。

中考一次函数的应用专题
一次函数是中考数学中的重要知识点，它既能使学生熟悉函数及它们之间的关系，又
能让学生掌握重要的数学概念，例如线性函数、平均函数、指数函数、对数函数等等。

因此，一次函数的应用在中考中显得尤为重要。

一、图形的解析
1、根据一次函数的图形，可以判断函数的性质，如函数的单调性、奇偶性、最大值、最小值、极值点、拐点等；
2、通过判断图形的斜率，可以求出函数的导数；
3、通过求出函数的导数，可以解决曲线图形的斜率变化趋势问题；
4、根据图形求出函数的表达式，并能够根据表达式求出函数的属性。

二、应用题
1、通过一次函数求两点之间的距离；
2、使用函数求某一时间内物体的位移；
3、根据函数的图像，求出函数的最大值、最小值等；
4、求函数的极限值；
5、根据函数的图像，判断函数的单调性、奇偶性；
6、求函数的导数，判断函数的斜率变化趋势；
7、求函数的拐点；
8、求函数的表达式。

以上就是中考一次函数的应用专题，通过一次函数的应用，学生可以更加深入地理解
函数的性质及其应用，从而提高中考数学的考试成绩。

一次函数中考经典题型
一次函数是中考数学中的重要知识点，以下是几个常见的中考经典题型：
1. 函数的解析式问题：给定两个点，求一次函数的解析式；或者已知函数经过两条直线，求一次函数的解析式。

2. 函数的图象问题：判断给定的两个一次函数图象是否平行，或者求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。

3. 与坐标轴的交点问题：求一次函数与x轴、y轴的交点坐标。

4. 与不等式、方程的结合问题：如求解一次函数与一元一次不等式的交点坐标，或已知某一次函数的值大于或小于某个值时，求自变量的取值范围。

5. 函数的增减性问题：判断一次函数的增减性或求函数的最大值或最小值。

6. 实际应用问题：如求最优方案、最佳时机等，通常与路程、时间、价格等实际问题结合。

7. 新定义问题：如新定义一种函数，然后根据新定义进行求解或判断。

以上只是一次函数在中考中可能出现的一些题型，实际上，由于中考的灵活性，可能会出现更多新颖的题目。

建议学生多做真题，熟悉各种题型，提高解题能力。

山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒　（200﹣x）　个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材　（200﹣y）　张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒（200﹣x）个；∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm 的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；故，解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，∴，解得：7≤a≤18，设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，整理得：w＝850+50a，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP 翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）（6，6）；（3）存在，P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a①，将点A（3，﹣3）代入y＝ax2+bx，∴9a+3b＝﹣3②，联立①②可得，a＝，b＝﹣3，∴函数的解析式为y＝x2﹣3x；（2）设B（m，m2﹣3m），如图1，过A点作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，∴△OAB的面积＝•m（m2﹣3m+3+3）﹣3×3﹣（m﹣3）（m2﹣3m+3）＝18，解得m＝6或m＝﹣3（舍），∴B（6，6）；（3）存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵A（3，﹣3），B（6，6），∴C（，），设直线OB的解析式为y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，设P（t，t），如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P，BC＝A1P，∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，∴AP＝AC，∴＝，解得t＝，∴P点坐标为（，）或（﹣，﹣）；如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC，∴＝，解得t＝+6或t＝﹣+6，∴P（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）；综上所述：P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，﹣4），∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，解得：a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4．∴C（2，﹣4），∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴P（5，﹣2），∴PQ＝OA，∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵点P是抛物线上一动点，∴设P（m，﹣m2+2m+3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n），当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；（2）；（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．【解答】解：（1）在y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵抛物线解析式为y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴D（5，2）；（2）当时，抛物线解析式为，当y＝0时，，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0），如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，，∴3m+n＝12，∴n＝12﹣3m∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，∴m2﹣7m+12＝0，解得m＝3或m＝4（舍去），∴n＝12﹣3m＝3，∴N（3，3），设直线DP的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线DP的解析式为，联立，解得或，∴P（，）；（3）①当a＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），∴EH＝EF＝FG＝4，∴H（1，6），G（5，6），当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，∴抛物线y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；∵抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过（4，6），∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F（5，2）；综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，∴，∴a2+1.5a﹣1＝0，解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，解得或（舍去）；当时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，当时，6.25a+2＞6+a﹣，∴不符合题意；综上所述，a＝0.5．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．【答案】（1）y＝；（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），∴﹣9＝a•3×（﹣6），∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；（2）如图1，抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），当y＝9时，＝9，∴x＝，∴Q2（，9），Q3（，9），综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）设△PED的面积为S，由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．∴BC＝＝3，∵sin∠PBD＝，∴，∴PD＝，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，∴，∴，∴PE＝，∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，∴当m＝时，S最大＝，∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；（2）（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）证明：如图2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为　等腰直角三角形　．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）探究一：；探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面积＝2×＝；探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，∵H是AE的中点，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四边形MHPD是平行四边形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四边形HNCP是平行四边形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，∴DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．方法二：设AC的中点为T，连接HT，∵HT是△ACE的中位线，∴HT＝CE＝1，∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，∵DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直角三角形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F；（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，∵N是CD的中点，M是AB的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN ∥BC ，PN ＝BC ，PM ∥AD ，PM ＝AD ，∵AD ＝BC∴PM ＝PN ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∵PM ∥AD ，∴∠PMN ＝∠ANM ＝60°，∴∠PNM ＝∠PMN ＝60°，∵PN ∥BC ，∴∠CGN ＝∠PNM ＝60°，又∵∠CNG ＝∠ANM ＝60°，∴△CGN 是等边三角形．∴CN ＝GN ，又∵CN ＝DN ，∴DN ＝GN ，∴∠NDG ＝∠NGD ＝CNG ＝30°，∴∠CGD ＝∠CGN +∠NGD ＝90°，∴△CGD 是直角三角形．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．【答案】（1）证明见解答．（2）BC的长为2．（3）阴影部分的面积为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵点C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．答：BC的长为2．（3）解：如图，连接OD、CD，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，在Rt△BCE中，，∴，∴∠CBE＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠CDO＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CBD，∴．答：阴影部分的面积为．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【解答】（1）证明：由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠AEB+∠ADB＝180°，∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，OD，∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD＝2∠ABC，∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵点M是边BC的中点，∴，AM⊥BC，∴，，在Rt△BGF中，，∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠ABC＝60°，在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，∴圆心P与点M距离的最小值为．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF ⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）MN＝BM+DN，理由见解答．【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是圆O的切线，∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sin E＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．【答案】（1）60°；（2）证明过程详见解答；（3）证明过程详见解答．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，∴EF＝DF＝DE，∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝BE，∴cos∠BED＝，∴∠BED＝60°；（2）证明：由（1）得：∠CFE＝90°，∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG，∴△EFG∽△BFD；（3）证明：如图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q，∴△BGQ∽△CGE，∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，∴，设∠DBF＝DEH＝α，由（1）知：BC是DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF＝α，∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE，∴BE＝EQ，∴＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC 的最小值．【答案】（1）∠BDC＝60°，；（2）；（3）4．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，此时为．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．。

中考数学复习《一次函数的应用练习题（解答题）》专项检测卷(附带答案) 1．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．（1）根据图象，直接写出剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为千米；（2）求该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？（3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶千米．2．如图，l1反映了某品牌手机一天的销售收入与销售量之间的函数关系，l2反映了该品牌手机一天的销售成本与销售量之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）分别求出l1与l2所对应的函数解析式；（2）当销售量为20部时，该品牌手机所获利润为多少元？（利润＝销售收入﹣销售成本）3．为鼓励实习员工工作积极性，某公司提供了两种实习员工月工资方案，方案一如图所示，方案二每生产一件产品25元，实习员工可以任选一种方案与公司签订合同．（1）方案一中，当x≥30时，求月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式；（2）某实习员工发现，当月选择方案一比选择方案二月工资多450元，求该实习员工生产产品的件数．4．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．5．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是千米，a＝；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）6．2023年，哈尔滨的“冰雪大世界”吸引了众多游客，小明的爸爸将容量为60升的私家车油箱加满后，带着全家从大连自驾到哈尔滨游玩．行驶过程中，车离哈尔滨的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量不超过10升时，车会自动显示加油提醒．设车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出大连到哈尔滨的路程千米；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内车应进站加油？7．2023年12月18日，甘肃积石山县发生6.2级地震，全国各地连夜出发实施紧急救援．一辆货车先从甲地出发运送赈灾物资到灾区，稍后一辆轿车从甲地急送医疗团队到灾区，已知甲地与灾区的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达灾区？8．小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系．根据记录的数据，画函数图象如图．（1）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式；（2）当甲壶中水温刚达到80℃时，求此刻乙壶中水的温度？9．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．10．洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝．已知甲、乙两家超市都以20元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动：甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打七折销售；乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，若刘小姐购买牡丹饼x袋，在甲、乙超市所需费用分别为y1元、y2元，y2与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题：（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）当x的值为多少时，在两家超市购买的费用一样？（3）若刘小姐准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？参考答案1．解：（1）由图象可知，B点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；故答案为：150；（2）当150≤x≤200时，设y关于x的函数表达式y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入得，∴∴y＝﹣0.5x+110即当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110当x＝30时，﹣0.5x+110＝30，解得x＝160答：该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米；（3）当y＝0时，﹣0.5x+110＝0，解得x＝220160﹣（220﹣160）＝100（千米）即这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶100千米．故答案为：100．2．解：（1）设l1所对应的函数解析式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．将坐标（5，1000）代入y＝k1x得5k1＝1000解得k1＝200∴l1所对应的函数解析式为y＝200x；设l2所对应的函数解析式为y＝k2x+b（k2、b为常数，且k2≠0）．将坐标（0，800）和（5，1000）代入y＝k2x+b得，解得∴l2所对应的函数解析式为y＝40x+800．（2）当x＝20时，y＝200x＝200×20＝4000；当x＝20时，y＝40x+800＝40×20+800＝1600；4000﹣1600＝2400（元）∴销售20部分该品牌的手机获利润为2400元．3．解：（1）方案一中，当x≥30时，设月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式为y＝kx+b（k ≠0）将A（30，600），（50，1400）代入y＝kx+b得：，解得：∴方案一中，当x≥30时，月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式为y＝40x﹣600；（2）根据题意得：40x﹣600﹣25x＝450解得：x＝70∴该实习员工生产产品的件数为70件．4．解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h）∴s＝20+40t；当s＝100时，100＝20+40t解得t＝2∴a＝2；∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h）设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h根据题意得：60（2﹣x）＝100解得：x＝答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．5．解：（1）∵80×＝60（千米）∴A，B两地之间的距离是60千米；∵货车到达B地填装货物耗时15分钟∴a＝+＝1故答案为：60，1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：，解得∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；（3）巡逻车速度为60÷（2+）＝25（千米/小时）∴线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2）当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15解得x＝；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15解得x＝；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15解得x＝；综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米．6．解：（1）由图象，得t＝0时，s＝900工厂离目的地的路程为900千米答：工厂离目的地的路程为900千米；故答案为：900；（2）设s＝kt+b（k≠0）将（0，900）和（4，600）代入解得：∴s关于t的函数表达式：s＝﹣75t+900（0≤x≤12）答：s关于t的函数表达式：s＝﹣75t+900（0≤t≤12）；（3）当油箱中剩余油量为10升时s＝900﹣（60﹣10）÷0.1＝400（千米）∴400＝﹣75t+900解得：t＝（小时）当油箱中剩余油量为0升时s＝900﹣60÷0.1＝300（千米）300＝﹣75t+900解得：t＝8∵k＝﹣75＜0∴s随t的增大而减小∴t的取值范围为≤t＜8．7．解：（1）∵货车的速度是60km/h∴a＝＝1.5（h）；（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150）设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h）∴货车到达乙地需6h∵s＝100t﹣150，s＝330解得t＝4.8∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h）∴货车还需要1.2h才能到达即轿车比货车早1.2h到达灾区．8．解：（1）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得∴y＝x+20．（2）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s将x＝120代入y＝x+20得y＝65即此刻乙壶中水的温度为65℃．9．解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1 则，解得：答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②解法一：设点C的坐标为（x，y）则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m解法二：5400÷100＝54，54×80＝4320∴点C（54，4320）点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．10．解：（1）根据题意得：y1＝50+20×0.7x＝14x+50；当0≤x≤10时，y2＝20x；当x＞10时，y2＝200+（x﹣10）＝12x+80；∴y1＝14x+50；y2＝；（2）当x≤10时，14x+50＝20x解得：x＝（不符合题意，舍去）；当x≥10时，14x+50＝12x+80解得：x＝15∴x的值为15时，在两家超市购买的费用一样；（3）当x＝20时，y1＝14×20+50＝330，y2＝12×20＝80＝320 ∵330＞320∴在乙超市购买更划算．。

一次函数的应用六大类常见题型一、方案择优问题1.某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式；（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？（3）怎样选择厂家？二、方案调运问题2.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．(1)设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？三、方案设计问题3、下岗职工王阿姨利用自己的一技之长开办了“爱心服装厂”，计划生产甲、乙、丙三种型号的服装共40套投放到市场销售．已知甲型服装每套成本380元，售价460元；乙型服装每套成本400元，售价500元．丙型服装每套成本360元，售价450元；服装厂预计三种服装的总成本为15120元，且每种服装至少生产6套，设生产甲种服装x套，乙种服装y套。

（1）用含x，y的式子表示生产丙种型号的服装套数（2）求出y与x之间的函数关系式；（３）求服装厂有几种生产方案？（4）按照（3）中方案生产，服装全部售出最多可获得利润多少元？6题 四、最大利润问题4.某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。

设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元. ⑴求y 关于x 的函数关系式？⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。

（注：利润＝售价－成本）五、几何问题5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠C ＝45°，上底AD ＝3，下底BC ＝5，P 是CD 上任意一点，若PC 用x 表示，四边形ABPD 的面积用y 表示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，求点P 的位置．六、行程问题6．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分 钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1） 小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟， 小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。

天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为 km/min；③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）二．二次函数综合题（共4小题）2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．三．四边形综合题（共2小题）6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．（1）填空：如图①，点C的坐标为 ，点G的坐标为 ；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 （请直接写出两个不同的值即可）．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB 所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求DE的长；（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．七．条形统计图（共1小题）11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为　0.06　km/min；③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③y关于x的函数解析式为y＝；（2）离宿舍的距离是0.3km．【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km0.12 1.2 1.20.6故答案为：0.12，1.2；0.6；②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为＝0.06（km/h），故答案为：0.06；③当50＜x≤60时，y＝0.6；张强从文具店到宿舍时的速度为＝0.03（km/h），∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；综上，y关于x的函数解析式为y＝；（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，解得x＝15，∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），∴离宿舍的距离是0.3km．二．二次函数综合题（共4小题）2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；②≤S≤．【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，由点A（4，0），得OA＝4，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝＝2，∴点B的坐标为（2，2）；（Ⅱ）①由点E（﹣，0），得OE＝，由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴∠BOA＝∠BAO＝45°，∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，∴∠FOE'＝∠OFE'，∴FE '＝OE '＝t ﹣，∴S △FOE '＝OE '•FE '＝（t ﹣）2，∴S ＝S △OAB ﹣S △FOE '＝，即S ＝﹣t 2+t ﹣（4≤t ＜）；②a ．当4＜t ≤时，由①知S ＝﹣t 2+t ﹣＝﹣（t ﹣）2+4，∴当t ＝4时，S 有最大值为，当t ＝时，S 有最小值为，∴此时≤S ＜；b ．当＜t ≤4时，如图2，令O 'C '与AB 交于点M ，D 'E '与DB 交于点N ，∴S ＝S △OAB ﹣S △OE 'N ﹣S △O 'AM ＝4﹣（t ﹣）2﹣（4﹣t ）2＝﹣t 2+t ﹣＝﹣（t﹣）2+，此时，当t ＝时，S 有最大值为，当t ＝4时，S 有最小值为，∴≤S ≤；c ．当≤t ≤时，如图3，令O 'C '与AB 交于点M ，此时点D '位于第二象限，∴S ＝S △OAB ﹣S △O 'AM ＝4﹣（4﹣t ）2＝﹣t 2+4t ﹣4＝﹣（t ﹣4）2+4，此时，当t ＝时，S 有最小值为，当t ＝时，S 有最大值为，∴≤S ≤；综上，S 的取值范围为≤S ≤；∴S 的取值范围为≤S ≤．3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．【答案】（1）①P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．②点M的坐标为（﹣2，3）．（2）点M的坐标为（﹣）．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0）．答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴在Rt△AEF中，EF＝AE，∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，∴F（m，m+3），∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴，∴﹣m2﹣3m＝2，解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），∴M（﹣2，3）．答：点M的坐标为（﹣2，3）．（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，∴﹣c2﹣bc+c＝0，得b＝1﹣c，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中．∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．如图，过点M作MQ⊥l于点Q，则，∵MP∥AC，∴∠PMQ＝45°，∴MQ＝QP，∴，即（c+2m）2＝1，解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），∴，∴，即2m2+m﹣10＝0，解得（舍去），∴点M的坐标为（﹣）．答：点M的坐标为（﹣）．4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】（Ⅰ）①顶点P的坐标为（1，﹣4）；②点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）点E（，0），点F（0，﹣）．【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．∴点E（，0），点F（0，﹣）．5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故点D（1，﹣a﹣1），由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，解得a＝或，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，解得a＝（舍去）或﹣，则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，则m+3＝，即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．三．四边形综合题（共2小题）6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．（1）填空：如图①，点C的坐标为　（，2）　，点G的坐标为　（﹣，）　；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）（，2），（﹣，）；（2）①＜t≤，②．【解答】（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，），∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1，∴G（﹣，）；连接AC，BD，交于一点H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1），AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝，∴AC＝2，∴C（，2），故答案为（，2），（﹣，）；（2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，），∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1，∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1，由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°，在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝，∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝，∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t，又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH，∴S＝t﹣，当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'，∴t的取值范围是＜t≤，②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：此时面积S最大，最大值为S＝1×＝；当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为，由①可知：∠D＝∠B＝60°，∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，∴该等边三角形的边长为2×，∴此时面积S最小，最小值为，综上所述：当时，则．7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是　3或　（请直接写出两个不同的值即可）．【答案】（Ⅰ）60°，（，）；（Ⅱ）EO′＝3t﹣6（2＜t＜3）；（Ⅲ）3或（答案不唯一）．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，∴∠PQO＝60°，由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴QH＝QO′•cos60°＝，O′H＝QH＝，∴OH＝OQ+QH＝，∴O′（，）；（Ⅱ）如图②中，∵A（3，0），∴OA＝3，∵OQ＝t，∴AQ＝3﹣t．∵∠EQA＝60°，∴QE＝2QA＝6﹣2t，∵OQ′＝OQ＝t，∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，∴PF＝＝2，∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，∴FP＝FA＝2，∴S△APF＝•AF•PG＝××3＝3，观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，∴满足条件的t的值可以为3或（答案不唯一）．故答案为：3或．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB 所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．【答案】（1）120°，30°；（2）．【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵∠CEB＝∠BOC，∴∠CEB＝30°；（2）如图，连接OE，∵半径OC⊥AB，∵＝，∴∠CEB＝∠AOC＝30°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°，∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°，∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，∵GE切圆于E，∴∠OEG＝90°，∴tan∠EOG＝＝，∵OE＝OA＝3，∴EG＝．五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求DE的长；（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．【答案】（1）DE的长为3m；（2）①线段EA的长为（3+h）m；②塔AB的高度约为11m【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝3（m），∴DE的长为3m；（2）①由题意得：BA⊥EA，在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，∴CE＝DE＝3（m），在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，∴AC＝＝h（m），∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，∴线段EA的长为（3+h）m；②过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，∵AB＝hm，∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3+h）m，∴h﹣3＝0.5（3+h），解得：h＝3+6≈11，∴AB＝11m，∴塔AB的高度约为11m．六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【答案】168海里．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．七．条形统计图（共1小题）11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为　40　，图①中m的值为　15　；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）40；15；（2）14；15；14．【解答】解：（1）a＝5+6+13+16＝40；∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，∴m＝15．故答案为：40；15；（2）平均数为＝；∵15岁的学生最多，∴众数为15；∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，∴中位数为14．。

一次函数的应用1．如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（）米．A．150B．110C．75D．702．早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图，下列描述不正确的是（）A．AB两地相距240千米B．乙车平均速度是90千米/小时C．乙车在12：00到达A地D．甲车与乙车在早上10点相遇3．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克B．甲园的门票费用是60元C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘更多4．学过一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据当加热80s时，该液体沸腾，则其沸点温度是（）时间t（单位：S）0102030液体温度y（单位：°C）15253545A．100°C B．90°C C．85°C D．95°C5．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（）A．1元B．1.1元C．1.2元D．2.5元6．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg7．王老师一家自驾游去了离家170千米的黄山，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，他们出发2小时时，离目的地还有（）千米．A．40B．60C．110D．1308．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图．则下列说法正确的是（ ）A ．进水管每分钟的进水量为4LB ．当4＜x ≤12时，y =54x +12 C ．出水管每分钟的出水量为54LD ．水量为15L 的时间为3min 或16min9．小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s （m ）与时间t （min ）之间的函数关系，已知小明购物用时30min ，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a 的值为（ ）A ．46B ．48C ．50D ．5210．声音在空气中传播的速度（简称声速）v （m /s ）与空气温度t （℃）满足一次函数的关系（如表格所示），则下列说法错误的是（ ）温度t /℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 … 声速v /（m /s ）…318324330336342348……A ．温度越高，声速越快B ．当空气温度为20℃时，声速为342m /sC ．声速v （m /s ）与温度t （℃）之间的函数关系式为v =35t +330 D ．当空气温度为40℃时，声速为350m /s11．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间有下表的关系．下列说法不正确的是（）x/kg01234y/cm1517192123A．因变量y是自变量x的一次函数B．当弹簧长度为18cm时，所挂物体的质量为0.5kgC．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加2cm12．如图，落落同学从家沿着笔直的公路去跑步锻炼，她离开家的距离y（米）与时间t（分钟）的函数关系式的图象如图所示，下列结论中不正确的是（）A．整个进行过程花了40分钟B．整个进行过程共跑了2700米C．在途中停下来休息了5分钟D．返回时休息后的速度比去的时候小60米/分13．某校增设了多种体育选修课来锻炼学生的体能，小颖从教学楼以1米/秒的速度步行去操场上乒乓球课，她从教学楼出发的同时小华从操场以5米/秒的速度跑步回教学楼拿球拍，再立刻以原速度返回操场上乒乓球课．已知小颖、小华之间的距离y（米）与出发时间x （秒）的部分函数图象，则下列说法错误的是（）A．点C对应的横坐标表示小华从操场到教学楼所用的时间B．x＝30时两人相距120米C．小颖、小华在75秒时第二次相遇D．CD段的函数解析式为y＝﹣4x+40014．如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（）A．湖水面大气压强为76.0cmHgB．函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342C．湖水深20m处的压强为256cmHgD．P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）15．声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度t的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（）温度t/℃﹣20﹣100102030声速v/（m/s）318324330336342348 A．温度越高，声速越快B．在这个变化过程中，自变量是温度t，t是v的函数C．当空气温度为20℃，声速为342m/sD．声速v与温度t之间的关系式为v=35t+33016．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值：码数x26303442长度ycm18202226根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（）A．24cm B．25cm C．26cm D．38cm17．美美在研究物体吸热与放热知识时，用相同的电加热器分别对质量为0.2kg的水和0.3kg的另一种液体进行加热，得到实验数据如图所示．下列说法错误的是（）18的关系，并画出图象（AC是线段，射线CD平行于x轴），下列说法错误的是（）19．李强一家自驾车到离家500km的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据：下列说法不正确的是（）轿车行驶的路程x/km0100200300400…油箱剩余油量y/L5042342618…A．该车的油箱容量为50L B．该车每行驶100km耗油8LC．油箱剩余油量y（L）与行驶的路程x（km）之间的关系式为y＝50﹣8xD．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余10L油20．弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系,下列说法不正确的是（）x/kg01234…y/cm88.599.510…A．y与x的函数表达式为y＝8+0.5xB．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cmC．y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”D．挂30kg物体时，弹簧长度为23cm一次函数的应用参考答案一．选择题（共20小题）1．C； 2．D； 3．D； 4．D； 5．A； 6．A； 7．A； 8．D； 9．D； 10．D；11．B；12．B；13．D；14．D；15．B；16．A；17．C；18．B；19．C；20．D；。