第41讲-三角比化简求值证明-基础

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三角比的各个知识点和公式与解斜三角形锐角三角比的定义sinA=角A的对边/斜边cosA＝角A的邻边/斜边tanA=角A的对边/邻边cotA=角A的邻边/对边同角的三角比关系tanA×cotA=1互为余角的三角比关系sinA=cos(90—A）cosA=sin(90-A）,tanA=cot(90—A）cotA=tan(90—A)直角三角形边、角关系边与边a^2+b^2=c^2角与角∠A+∠B=90°边与角:锐角三角比概念所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。

任意角的三角比象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角其三角比的定义：正弦sinθ=y/r余弦cosθ=x/r正切tanθ=y/x余切cotθ=x/y正割secθ=r/x余割cscθ=r/y公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α)＝cosα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π＋α）＝－sinαcos(π＋α）＝－cosαtan(π＋α）＝tanαcot(π＋α)＝cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(－α)＝－sinαcos（－α）＝cosαtan(－α）＝－tanαcot(－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α)＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α)＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α)＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot(π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为:对于k·π/2±α（k∈Z）的个三角函数值，①当k是双数时,得到α的同名函数值，即函数名不改变;②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin;tan→cot，cot→tan。

高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。

三角形中的求值与证明知识精讲一. 三角函数的化简1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=+-±=±±=±-；；12. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tancos cos cos sin sin cos 22221122212122122111122222αααααααααααααααααααααα==-=-=-=-=±+=±-=±-+=-=+；；；；；（右边的“”由所在象限决定±α2）。

3. 万能公式sin cos tan tan .αααα=+=-+==-21112212222tt t t t tt ；（其中）；4. 积化和差与和差化积[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-12[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--121212；；；sin sin sincos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x y+=+--=+-+=+--=-+-222222222222；；；运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。

化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

三角比的性质与计算三角比是指三角形中各边之间的比值关系。

在数学中，三角比具有一些重要的性质和计算方法。

了解和掌握这些性质与计算方法对于解决三角形相关问题非常重要。

本文将介绍三角比的性质和计算方法，并给出一些示例来帮助读者更好地理解。

一、正弦、余弦和正切的性质1. 正弦（sine）的性质：在任意三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个角，a、b、c 分别为对应的边长。

则有以下性质：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- S = (1/2)absinC （S为三角形的面积）2. 余弦（cosine）的性质：在任意三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个角，a、b、c 分别为对应的边长。

则有以下性质：- 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC- 余弦值的范围：-1 ≤ cosA, cosB, cosC ≤ 13. 正切（tangent）的性质：在任意三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C分别为三个角，a、b、c 分别为对应的边长。

则有以下性质：- 正切定理：tanA = a/b, tanB = b/a, tanC = c/a二、三角比的计算方法1. 已知两边求角的三角比计算：若已知三角形的两边a和b，以及它们夹角C的大小，可以利用余弦定理计算出第三边c的长度。

- c = sqrt(a^2 + b^2 - 2abcosC)2. 已知一边一角求另一边的三角比计算：若已知三角形的一边a和它与另一边b所夹角A的大小，可以利用正弦定理计算出b的长度。

- b = (a*sinB) / sinA3. 已知两边求角的三角比计算：若已知三角形的两边a和b，以及它们夹角A的大小，可以利用正切定理计算出夹角A的正切值。

- tanA = a/b （以弧度为单位）三、示例分析接下来，我们通过一些示例来应用三角比的性质和计算方法。

示例一：已知三角形的两边分别为a = 5cm，b = 12cm，夹角C的大小为60度，求第三边c的长度。

三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。

在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。

本文将探讨三角函数的化简和证明方法。

一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。

它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。

下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。

2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。

例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。

这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。

在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。

这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。

二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。

通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。

在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。

具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。

2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。

三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。

在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。

通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。

需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。

中考知识点三角比的计算三角比是中考数学中的重要知识点之一，它涉及到角的度量、相似三角形以及三角函数的计算等内容。

熟练掌握三角比的计算方法对于解题起到至关重要的作用。

本文将介绍三角比的计算方法，并以实例进行详细说明。

一、角度与弧度的转换在进行三角比的计算过程中，常常需要将角度转化为弧度或将弧度转化为角度。

为了方便起见，我们一般以弧度为单位，进行计算。

当需要将角度转化为弧度时，可以使用如下公式：弧度 = 角度× π/180当需要将弧度转化为角度时，可以使用如下公式：角度 = 弧度× 180/π二、正弦、余弦、正切函数的计算1. 正弦函数（sin）的计算正弦函数是指任意角的正弦值与其对边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正弦函数的计算公式为：sin(α) = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）的计算余弦函数是指任意角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则余弦函数的计算公式为：cos(α) = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）的计算正切函数是指任意角的正切值与其对边与邻边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为α，则正切函数的计算公式为：tan(α) = 对边/邻边三、实例演示下面我们以一个实例来演示如何计算三角比。

例：已知直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，求其正弦、余弦和正切值。

解：根据给定的直角边长，可以计算出斜边的长度为5cm。

接下来进行计算：正弦值sin(α) = 对边/斜边= 3/5 ≈ 0.6余弦值cos(α) = 邻边/斜边 = 4/5 = 0.8正切值tan(α) = 对边/邻边 = 3/4 = 0.75四、总结通过以上的论述和实例演示，我们可以看出，三角比的计算方法是基于角度的正弦、余弦、正切函数的性质推导得出的。

对于中考数学中有关三角比的计算题目，我们需要熟练掌握角度与弧度的转换方法，并能灵活运用正弦、余弦、正切函数的计算公式。

三角比的定义与计算三角比是在三角形中使用的一种数学比例关系，用于描述三角形的边长和角度之间的关系。

三角比分为三种：正弦比、余弦比和正切比。

在本文中，我们将详细介绍三角比的定义和计算方法。

一、正弦比（sin）正弦比是指一个角的对边长度与该角所对的斜边长度之比。

在一个任意三角形中，假设角A的对边长度为a，斜边长度为c，那么角A的正弦比记作sin(A)，计算公式为：sin(A) = a / c其中，a是角A的对边长度，c是角A的斜边长度。

二、余弦比（cos）余弦比是指一个角的邻边长度与该角所对的斜边长度之比。

在一个任意三角形中，假设角A的邻边长度为b，斜边长度为c，那么角A的余弦比记作cos(A)，计算公式为：cos(A) = b / c其中，b是角A的邻边长度，c是角A的斜边长度。

三、正切比（tan）正切比是指一个角的对边长度与该角的邻边长度之比。

在一个任意三角形中，假设角A的对边长度为a，邻边长度为b，那么角A的正切比记作tan(A)，计算公式为：tan(A) = a / b其中，a是角A的对边长度，b是角A的邻边长度。

通过正弦比、余弦比和正切比，我们可以计算出三角形中的角度以及其他边长。

下面让我们通过一个具体的例子来演示如何计算三角比。

例：假设在一个直角三角形中，已知斜边长度为5，邻边长度为3，求对应角的正弦比、余弦比和正切比。

解：根据定义和计算公式，可以得到：正弦比 sin(A) = 对边长度 / 斜边长度= 3 / 5 ≈ 0.6余弦比 cos(A) = 邻边长度 / 斜边长度= 4 / 5 ≈ 0.8正切比 tan(A) = 对边长度 / 邻边长度= 3 / 4 ≈ 0.75通过计算，我们得到了该直角三角形中角A的正弦比、余弦比和正切比的近似值。

除了使用计算公式，我们还可以通过三角函数表或计算器来查找三角比的精确值。

无论是使用近似值还是精确值，三角比的计算对于解决实际问题和推导三角形性质都具有重要意义。

三角比的计算方法与应用在数学中，三角比是指与角有关的一组比例关系，包括正弦、余弦和正切。

这些三角比在计算中起到了重要的作用，不仅用于几何学和三角学，还广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将介绍三角比的计算方法及其在实际应用中的作用。

一、正弦、余弦和正切的定义与计算方法1. 正弦（Sine）是指一个角的对边与斜边的比值，通常用sin表示。

计算公式为sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦（Cosine）是指一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos表示。

计算公式为cosθ = 邻边/斜边。

3. 正切（Tangent）是指一个角的对边与邻边的比值，通常用tan表示。

计算公式为tanθ = 对边/邻边。

这些计算公式通过三角函数表可以找到相应的数值，也可以通过计算器或计算软件进行计算。

在实际运用中，我们可以根据已知的角度和边长，通过三角比的计算方法求出其他未知的边长或角度。

二、三角比的应用1. 几何学中的应用三角比在几何学中有着广泛的应用，包括测量角度、计算边长、解决三角形的各类问题等。

例如，我们可以利用三角比计算三角形的各边长，以及判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。

通过已知角度和边长，可以使用三角比的计算方法求解未知边长，从而解决实际问题。

2. 物理学中的应用三角比在物理学中也有重要的应用，尤其是在研究运动学和力学方面。

在运动学中，我们可以利用正弦定理来计算物体的位移、速度和加速度。

在力学中，三角比可以帮助我们计算物体所受到的力的大小和方向。

以力的合成为例，我们可以通过分解力的向量成分，并利用三角比计算出合力的大小和方向。

这对于解决实际物理问题以及进行工程设计和建模具有重要意义。

3. 工程学中的应用在工程学中，三角比的应用广泛存在于各个领域，如土木工程、建筑设计和电路电子等。

例如，在土木工程中，通过利用三角比可以计算出各角的大小，进而设计出符合需要的建筑物结构，确保建筑物的安全性和稳定性。

三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。

2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。

3、等价转化思想以及三角变换的基本技能重难点归纳1求值问题的基本类型①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2技巧与方法①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法④求最值问题，常用配方法、换元法来解决二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角① k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；② 90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。