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乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0M x x =≤，{}2,0,1N =-，∴M N ={}2,0-，故选B .2.选B .【解析】∵()()()()121121311122i i i z ii i i +++===-+--+，对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B . 3.选A .【解析】依题意，令sin cos 0αα+=，∴22sin cos 2sin cos 0αααα++=， ∴12sin cos 0αα+=，故1sin cos 2αα=-，∴()102f =-，故选A . 4.选A .【解析】∵0xe >，∴222e ->-，又,2x x e m R ∀∈->，∴2m ≤-；由22log 1m >，得m <m >；∵ “2m ≤-”⇒“m <2m”故选A .5.选D .【解析】()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位得()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，它的图象关于原点对称，∴()3k k πϕπ+=∈Z ，即3k πϕπ=-，又2πϕ<，∴3πϕ=-，∴()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()0f =，故选D . 6.选A .【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底 面ABCD 是正方形，PC ⊥平面AC ，1AC ,2PC .222AD DC AC ,又=AD DC ,∴212AD ，∴正方形 ABCD 的面积12S，∴111123323V Sh ==⨯⨯=.故选A .7.选A .【解析】已知,x y 都是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取的一个实数，则,x y 满足的区域面积是由0,,0,22x x y y ππ====围成的正方形，其面积是2224πππ⨯=，而满足sin y x ≤的区域面积为ABCDP220sin cos 1xdx xππ=-=⎰∴22144P ππ==.故选A .8.选D .【解析】设{}n a 的公差为d ，∴1392,2,27a d a d a d =-=+=+，又139,,a a a 成等比数列，∴2319a a a =，即()()()22227d d d +=-+，0d ≠，故1d =，121a a d =-=，∴()211222n n n n n S na d -=+=+，故选D .9.选B .【解析】执行第1次运算打印点1,1，5i；执行第2次运算打印点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，，4i ；执行第3次运算打印点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，3i；执行第4次运算打印点14,4⎛⎫⎪⎝⎭，2i；执行第5次运算打印点15,5⎛⎫⎪⎝⎭，1i；执行第6次运算打印点16,6⎛⎫⎪⎝⎭，0i ；结束循环，其中在圆2210x y +=内的点有1,1，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3⎛⎫⎪⎝⎭共3个，故选B . 10.选C .【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线是by x a =±，圆()2221x y -+=的圆心是2,0，半径是12221b b，即22241c a c化简得2243c a，即3e >.故选C . 11.选D .【解析】分别过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为11A B ，，∴1BF BB =,1AA AF =.又∵2BC BF =，∴12BC BB =，∴160CBB ∠= ∴=60AFD CFO ∠∠=︒,又3AF ,∴32FD =，∴1332AA p =+=，∴32p =，∴抛物线方程为23y x =.故选D .12.选C .【解析】已知1n n a S +=，当1n时，得112a ；当2n ≥时，111n n a S --+=,两式相减，得10n n n a a a --+=，12n n a a ，由题意知，10n a -≠，∴112n n a a -=（2n ≥），∴数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，∴11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，∴nS 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选C . 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13.填2.【解析】如图可知2z x y =+的最小值是2．为的14.13.【解析】由题意得四面体ABCD 是底面边长正三角形，侧棱AD 垂直底面，且3AD =，AB AC ==BD BC DC ===球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于AD 的一半，∴R =∴3344=33V R ππ==⎝⎭球 15.填12.【解析】在PQR 中设,,P Q R ∠∠∠所对的边分别为,,p q r由题意知：rcos 7q P ∠=，236PQ PR，即222cos 36r qr P q -⋅∠+=可知2250rq又sin P ∠=∴11sin 22PQR S rq P ∆=∠==而22250qr r q ≤+=，当且仅当5q r时等号成立所以，当且仅当5q r 时()max12PQR S∆== 16.333322a.【解析】已知()322()3630f x x a x a a a =--+>则22()33f x x a①()0f x '≥恒成立，则0a，这与0a矛盾.②若()0f x '≤恒成立，显然不可能.③()0f x '=有两个根,a a ，而0a ，则()f x 在区间(),a -∞-单调递增，在区间,a a 单调递减，在区间(),a +∞单调递增.故0f a，即22630a a ，333322a.三、解答题：共6小题，共70分. 17．（12分）（Ⅰ）∵1cos cos 2a B b A c 由正弦定理得()()111sin cos sin cos sinC sin sin 222A B B A A B A B π-==⎡-+⎤=+⎣⎦ ∴1sin cos sin cos sin cos cos sin 2A B B A A B A B即13sin cos sin cos 22A B B A ，易知90A ≠︒，且90B ≠︒， 上式两边除以1cos cos 2A B ,得tan 3tan A B …………………………………… 6分（Ⅱ）∵tan 3A,∴31010sin ,cos 1010AA ， 由sin sin a bA B，又5b ，45B=，得3a而()sin sin sin cos cos sinB 1021025C A B A BA =+=+=+⨯=∴11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯= …12分 18．（12分）（Ⅰ）根据题意，建立如图空间直角坐标系1C xyz ：则(0,2,2),(2,0,2),(0,0,2),(0,0,1),(1,1,0)A B C E F(0,2,1),(2,0,0),(1,1,2)AE BC BF =--=-=--∵0AE BC ⋅= 0AE BF ⋅=∴,AE BC AE BF ⊥⊥即AE BC ⊥,AE BF ⊥，又BC ⊂平面BCF ，且BC BF B ⋂=∴AE BCF ⊥平面 …… ……6分 （Ⅱ）设平面ACF 的法向量1(,,)x y z n∵(0,2,0),(1,1,2)CA CF ==-由1100CA CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2020y x y z =⎧⎨+-=⎩，令1z，得2x，∴1(2,0,1)n同理可得平面BCF 的一个法向量2(0,2,1)n ，∴1212121cos ,5n n n n n n 由图判断二面角A CFB 的平面角为钝角，∴其余弦值为15-．………12分19．（12分）根据题意得到x 取的各组中点值依次为3,7,11,15,19；x 取这些中点值的概率依次为0.25,0.4,0.2,0.1,0.05（Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 有3种情况：3km 和15km ；3km 和19km ；7km和19km ．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 的概率为：0.250.10.250.050.40.050.0575P =⨯+⨯+⨯= ………………………… 5分（Ⅱ）答案一：依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km.乘车里程为3km 的乘客其打车总费用3001%0.2510=7.5⨯⨯⨯（万元）乘车里程为7km 的乘客其打车总费用()3001%0.410+1.34=18.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为11km 的乘客其打车总费用()3001%0.210+1.38=12.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为15km 的乘客其打车总费用()3001%0.110+1.312=7.68⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为19km 的乘客其打车总费用()3001%0.0510+1.316=4.62⨯⨯⨯⨯（万元） ∴出租车公司一天的总收入为7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28（万元）…12分 答案二：依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为： 第一组：()()3001%1020.0625+10+1 1.310.0625+10+2 1.310.0625⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦=()3001%0.062540+1+2 1.3=8.231258.23⨯⨯⨯⎡⨯⎤≈⎣⎦（万元） 第二组：()()()()3001%10+3 1.310.1+10+4 1.310.1+10+5 1.310.1+10+6 1.310.1⨯⨯⎡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎤⎣⎦=()3001%0.140+3+4+5+6 1.3=19.02⨯⨯⨯⎡⨯⎤⎣⎦（万元）第三组：()()()()3001%10+7 1.310.05+10+8 1.310.05+10+9 1.310.05+10+10 1.310.05⨯⨯⎡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎤⎣⎦=()3001%0.0540+7+8+9+10 1.3=12.63⨯⨯⨯⎡⨯⎤⎣⎦（万元） 第四组：()()()()3001%10+11 1.310.025+10+12 1.310.02510+13 1.310.025+10+14 1.310.025⨯⨯⎡⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎤⎣⎦=()3001%0.02540+11+12+13+14 1.3=7.8757.88⨯⨯⨯⎡⨯⎤≈⎣⎦（万元） 第五组：()()()()3001%10+15 1.310.0125+10+16 1.310.0125+10+17 1.310.0125+10+18 1.310.0125⨯⨯⎡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎤⎣⎦=()3001%0.012540+15+16+17+18 1.3=4.7175 4.72⨯⨯⨯⎡⨯⎤≈⎣⎦（万元）∴出租车公司一天的总收入为8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48（万元）………… 12分 以上两种答案均视为正确． 20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆22221(0)x y a ba b 即22c a ，又∵222c a b ∴222a b又∵1290F PF ∠=︒，∴1212112F PF S PF PF ∆=⋅=， 由点P 在椭圆上，∴122PF PF a ，在12Rt F PF 中，222124PF PFc可得21b，22a∴椭圆的标准方程为2212x y ………………………… 5分（Ⅱ）不妨设1F 是左焦点，11(,)P x y ，22(,)Q x y 依题意知,PQ PM PQ QN ⊥⊥,点M ,N 分别在x 轴上，∴直线PQ 的倾斜角不等于90.设直线PQ 的斜率为k ，倾斜角为，则直线PQ 的方程为:()yk x c解方程组2222()1y k x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22222222222()20b a k x a ck x a c k a b +++-=设此方程的两个根为12,x x ，由韦达定理得222222212122222222a ck a c k a b x x x x b a k b a k， 且1122(),()y kx c y k xc可得PQ= ()2222221ab k b a k +==+ 故MN =(2222221cos ab k PQ b a k θ+=+又∵22cea ，222abc ∴222a b∴2232224(1)(12)a k MN k +=+，令()211t k t =+≥ ， 32()(21)t f t t =-则()22343(21)4(21)(21)t t t t f t t ---'=-=24(21)(23)(21)t t tt∴()0f t '=，得0t，或12t，或32t 当312t ≤≤时，()0f t '≤，故函数()f t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 当32t 时，()0f t '>，故函数()f t 在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，∴()f t 有最小值327232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴MN 时，2312k ，即2k =±．………………………… 12分21．（12分）（Ⅰ）已知()ln()ln()(0)f x a x a x a =+-->则'22112()af x a x a x a x =+=+--， '222(0)a f a a，由题意知'(0)2f ，∴22a ∴1a…………… 4分（II ）令32()(x)2(0)3x g x f x x =--≥则3222222()()2()22223x a g x f x x f x x x a x '⎛⎫''=--=--=-- ⎪-⎝⎭ 4222222=((1))x a x a a a x--+-- i)当01a <≤时，210a -≤，20a a -≥当0x a ≤<时，4222(1)0x a x a a --+-≥，即()0g x '≥ ∴函数()g x 在0,a 上为增函数∴()(0)0g x g ≥=，即当01a <≤时，32()23x f x x ≥+ii)当1a 时，210a ，20a a -<∴201x a a 时，22(1)0x a ，222(1)0x x a ⎡⎤--<⎣⎦从而4222(1)0x a x a a ，即()0g x '<从而函数()g x 在21上为减函数∴201xa 当时()(0)0g x g ，这与题意不符综上所述当0x ≥时，32()23x f x x ≥+，a 的取值范围为01a <≤ …………… 12分22．（10分）（Ⅰ）∵GA GF ∴GAF GFA ∠=∠， ∵GC 与圆相切于C ∴EAC GCE FCD ∠=∠=∠ ∵,GAF EAC CAD GFA FCD CDA ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴CAD CDA ∠=∠∴CA CD . ……………………………………………………………… 5分 （Ⅱ）∵H 为AD 的中点, CA CD ，∴CH AB ⊥，连结BC ，∵AB 是直径, C 点在圆上∴90ACB ∠=︒， ∴2BH BA BC ⋅=，∵,BCF CAB CAB CDA ∠=∠∠=∠，∴BCF D ∠=∠，又∵CBF DBC ∠=∠， ∴CBF ∽DBC ，∴CB BF DB BC∴2BC DB BF =⋅，故BH BA BF BD ⋅=⋅． …………… 10分 23．（10分）（Ⅰ）以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，设点Q ,P 的极坐标分别为(),ρθ，()1,ρθ，由题意11ρρ⋅=，0ρ≠，得11ρρ=，∴点P 的直角坐标为cos sin ,θθρρ⎛⎫⎪⎝⎭， P 在直线2210x y +-=上，∴2cos 2sin 10θθρρ+-=，2cos 2sin ρθθ=+，化成直角坐标方程得22(1)(1)2x y -+-=()0,0x y ≠≠且，∴Q 点的轨迹是以(1,1)． …………………5分（Ⅱ）Q 点轨迹的参数方程为15()41x y ϕπϕϕϕ⎧=+⎪≠⎨=+⎪⎩为参数,则77810sin()x y θθϕα+++=++，其中1tan 7α= ∴7xy 的最大值是18． ………………………………………10分24．（10分）（Ⅰ）111()()()()f x f x a a x a a x x x+-=-+--≥----112x x x x=+=+≥ ……………………………………5分（Ⅱ）函数()23()(2)22322a x x a a y f x f x x a x a x a x a x a x ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=+=-+-=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩函数的图象为：当2a x时，min 2a y ，依题意，122a -<，则1a >- ∴a 的取值范围是10a …………………………………………………………10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验文科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟） 注意事项：1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷{或答题卡）的指定位置上2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚 第1卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l.已知集合 {}{}|0,2,0,1M x x N =≤=-， 则 M N =I A. {}|0x x ≤ B. {}2,0- C. {}|20x x -≤≤ D. {}0,1 2.在复平面内复数 121iz i+=-对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设函数f(x)满足 (sin cos )sin cos f αααα+=，则f(0)= A. 12- B.0 C.12D.1 4.“ ,2xx R e m ∀∈->”是“ 22log 1m >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.将函数 ()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A.32 B.12 C. 12-D.3-6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形．则这个几何体的体积为A.13 B. 23C. 1D. 437. 从1，2，3，4，5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是 A. 0.3 B. 0.4 C.0.5 D. 0.68.设 {}n a 是公差不为零的等差数列， 22a =．且 139,,a a a 成等比数列，则数列 {}n a 的前n 项和 n S =A. 2744n n +B. 2322n n +C. 2344n n + D.222n n+ 9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印出的点在 圆 2210x y +=内的个数是 A.2 B. 3C.4D.510．若双曲线 22221(0,0)x y a b a b+=>>的渐近线与圆 22(2)1x y -+=相离，则其离心率e 的取值范围是 A.e>l B ． 152e +>C.23e >D. 5e >11.过抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 的直线 l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ．若2,3BC BF AF =-=u u u r u u u r，则抛物线的方程为A. 212y x = B. 29y x = C. 26y x = D. 23y x =12.设数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且满足 1n n a S +=．则 n S 的取值范围是 A. (0,1) B. (0，+∞)C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知x ，y 满足条件 24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则 2z x y =+的最小值为________.14.正三角形ABC 的边长为 23．将它沿高AD 翻折，使二面角B-AD-C 的大小为 3π，则四面体ABCD 的外接球的体积为________.15.在△PQR 中，若 7,6PQ PR PQ PR ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r,测△PQR 面积的最大值为________.。
理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若函数，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解不等式得集合M,N，再利用集合的补集和交集的定义求解即可.【详解】由，解得.所以.由，解得.所以.则所以.故选A.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.设复数：（是虚数单位），的共轭复数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算得到结果即可.【详解】复数：（是虚数单位），的共轭复数为，则故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的运算涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据原题得到，通过同角三角函数关系得到，进而得到结果.【详解】根据条件得到已知，根据同角三角函数关系得到或，因为，，0< ,故得到.代入原式得到.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了给值求值的问题的解法，用到了用已知角表示未知角，应用到了同角三角函数关系.这类题常常会涉及到缩角问题，一般通过三角函数值的正负或者和具体的三角函数值比较得到结果.4.已知点，为坐标原点，点是圆：上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设Q（m，n），则m2+n2＝1，由向量垂直的条件，以及向量的加法及模的公式，即可得到所求值．【详解】设Q（m，n），则m2+n2＝1，由，即（m，n）=0，则，即有m﹣n＝﹣1，故答案为：【点睛】本题考查向量加减和数量积，模的运算，考查运算能力，属于基础题．5.函数的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数表达式得到函数为奇函数，再由特殊点排除选项即可。
2015年全国卷Ⅰ理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设复数z满足1+z1−z=i，则 z = A. 1B. 2C. 3D. 22. sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘= A. −32B. 32C. −12D. 123. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则¬p为 A. ∀n∈N，n2>2nB. ∃n∈N，n2≤2nC. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3125. 已知M x0,y0是双曲线C:x22−y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1⋅MF2<0，则y0的取值范围是 A. −33,33B. −36,36C. −223,223D. −233,2336. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛7. 设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，则 A. AD=−13AB+43AC B. AD=13AB−43ACC. AD=43AB+13AC D. AD=43AB−13AC8. 函数f x=cosωx+φ的部分图象如图所示，则f x的单调递减区间为 A. kπ−14,kπ+34，k∈Z B. 2kπ−14,2kπ+34，k∈ZC. k−14,k+34，k∈Z D. 2k−14,2k+34，k∈Z9. 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= A. 5B. 6C. 7D. 810. x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为 A. 10B. 20C. 30D. 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r= A. 1B. 2C. 4D. 812. 设函数f x=e x2x−1−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f x0<0，则a的取值范围是 A. −32e ,1 B. −32e,34C. 32e,34D. 32e,1二、填空题（共4小题；共20分）13. 若函数f x=x ln x+ a+x2为偶函数，则a=．14. 一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．15. 若x，y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为．16. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. S n为数列a n的前n项和，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．（1）求a n的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列b n的前n项和．18. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120∘，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．19. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y（单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响．对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i i =1,2,⋯,8 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy wx i −x 28i =1w i −w 28i =1x i −x 8i =1y i −y w i −w 8i =1y i −y 46.6563 6.8289.8 1.6 1.469108.8表中 w i = x i ，w =18 w i 8i =1．附：对于一组数据 u 1,v 1 ， u 2,v 2 ，⋯， u n ,v n ，其回归直线 v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β =i −u ni =1i −vu −u2n ，α =v −β u ． （1）根据散点图判断，y =a +bx 与 y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润 z 与 x ，y 的关系为 z =0.2y −x ．根据（2）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少?（ii ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大?20. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C :y =x 24与直线 l :y =kx +a a >0 交于 M ,N 两点．（1）当 k =0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2）y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 ∠OPM =∠OPN ?说明理由．21. 已知函数 f x =x 3+ax +14，g x =−ln x ．（1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y =f x 的切线；（2）用 min m ,n 表示 m ，n 中的最小值，设函数 x =min f x ,g x x >0 ，讨论 x 零点的个数．22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的切线，BC 交 ⊙O 于点 E ．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若OA=3CE，求∠ACB的大小．23. 在直角坐标系xOy中，直线C1:x=−2，圆C2:x−12+y−22=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；ρ∈R，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面（2）若直线C3的极坐标方程为θ=π4积．24. 已知函数f x= x+1−2 x−a ，a>0．（1）当a=1时，求不等式f x>1的解集；（2）若f x的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案第一部分1. A2. D3. C4. A 【解析】至少投中2次，包括“投中2次”和“投中3次两种情况”，p=C320.62×0.4+0.63= 0.648．5. A【解析】如图，设MF1=m，MF2=n，则m−n=22，当MF1⊥MF2时，m2+n2=F1F22= 12，可求得mn=2．由S△MF1F2=12F1F2y0=12mn可得y0=±33．当MF1⋅MF2<0时，∠F1MF2是钝角或平角，此时y0的取值范围为 −33,33．6. B 【解析】这个米堆是四分之一圆锥，由题意可求得它的底面半径为8π=163，所以它的体积为3209，所以米堆的米有3209×1.62≈22（斛）．7. A 【解析】BC=AC−AB，CD=AD−AC，因为BC=3CD，所以AC−AB=3 AD−AC，整理得AD=−13AB+43AC．8. D 【解析】由图可知f x最小正周期为254−14=2；又可推得图中f x的一个最低点为3 4,−1，一个最高点为 −14,1，所以f x的单调递减区间为 −14+2k,34+2k ，k∈Z．9. C 【解析】经过计算可发现规律S=12k 时，m=12k+1，n=k．所以当S=12时，n=7，此时刚好有S≤0.01，输出n=7．10. C【解析】x2+x+y5=x2+x+y5的通项公式为T r+1=C5r⋅x25−r⋅x+y r，又x+y r的通项公式为T k+1=C r k⋅x r−k⋅y k，所以x2+x+y5的通项公式为C5r⋅C r k⋅x10−r−k⋅y k（0≤k≤r≤5），令k=210−r−k=5得r=3，所以x 5y2的系数为C53⋅C32=30．11. B 【解析】提示：此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体．12. D 【解析】法一：考虑函数g x=e x2x−1，以及函数 x=a x−1，则题意要求存在唯一的整数x0使得g x0< x0．注意到gʹx=e x2x+1，尤其注意到y=x−1为y=g x在0,−1处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数x0=0，则f0<0f1≥0f−1≥0，解得32e≤a<1．法二：首先f0=−1+a<0，所以唯一的整数为0．而f−1=−3e +2a≥0，解得a≥32e．又a<1，对f x求导得fʹx=e x2x+1−a，当x<−12时，fʹx<0；当x>0时，fʹx>0．从而f x在 −∞,−12上单调递减，在0,+∞上单调递增．而当a≥32e时，有f−1≥0，f0<0，f1>0，故在−∞,−1∪1,+∞上f x≥0，f0<0，满足题意．所以满足条件的a的取值范围为32e,1．第二部分13. 1【解析】因为f x是偶函数，而y=x是奇函数，所以g x=ln x+2是奇函数，所以g0=0，解得a=1．14. x−322+y2=254【解析】提示：因为圆心在x轴正半轴上，所以圆经过点0,−2，0,2，4,0．15. 3【解析】y x 表示可行域中的点和原点连线的斜率，由图可知，取A1,3点时，yx最大，最大值为3．16. 6−2,6+2【解析】延长BA，CD，交于点A2，作CA1∥DA交AB于点A1，则BA1<BA<BA2．在△A1BC中BCsin∠BA1C =BA1sin∠BCA1，求得BA1=6−2；在△A2BC中，BA2sin∠BCD =BCsin∠A2，求得BA2=6+2．所以，AB的取值范围为6−6+．第三部分17. （1）由题意得a n2+2a n=4S n+3，所以a n−12+2a n−1=4S n−1+3n≥2．两式相减整理得a n+a n−1a n−a n−1−2=0．又a n>0，所以a n=a n−1+2．又由a12+2a1=4S1+3=4a1+3得a1=3（负值舍去）．所以a n是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=2n+1．（2）由（1）知b n=12n+12n+3=1212n+1−12n+3．于是数列b n的前n项和S n=1213−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3=11−1=n6n+9.18. （1）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．连接AC，BD，交于点O．以O为原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，则z轴和BE平行．可设菱形 ABCD 边长为 2，DF = >0 ．则 A 0,− 3,0 ，E 1,0,2 ，C 0, 3,0 ，F −1,0, ． ∵AE ⊥EC ， ∴AE ⋅EC=0． 而 AE = 1, 3,2 ，EC = −1, 3,−2 ， ∴−1+3−4 2=0， ∴ =22， ∴F −1,0,22． AC = 0,2 3,0 ，AE = 1, 3, 2 ，AF = −1, 3, 22． 设面 AEC 法向量为 m = x 1,y 1,z 1 ，面 AFC 法向量为 n = x 2,y 2,z 2 ， 则m ⋅AC =0,m ⋅AE =0, n ⋅AC =0,n ⋅AF=0, 求得 m = 2,0,−1 ，n = 2,0,2 ． ∵m ⋅n =0， ∴面AEC ⊥面AFC ．（2） AE = 1, 3, 2 ，CF = −1,− 3, 22， cos AE ,CF = AE ⋅CFAE CF= 33． 所以直线 AE 和 CF 所成角的余弦值为 33．19. （1） y =c +d x 适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型．（2） d =i −w 8i =1i −y w −w 28=108.81.6=68． c =y −dw =563−68×6.8=100.6． 回归方程为 y =100.6+68 x ．（3） （i ）x =49 时，y =100.6+68× =576.6． z =0.2y −x =0.2×576.6−49=66.32．当宣传费为 49 千元时，年销售量及年利润预报值分别为 576.6 千元和 66.32 千元． （ii ）z =0.2y −x=0.2 100.6+68 x −x =−x +13.6 x +20.12.当 x =6.8 即 x =46.24 时，年利润的预报值最大．20. （1）当k=0时，点M、N的坐标分别为M 2a,a ，N −2a,a ，yʹ=x2，进一步可得所求的切线方程为y=±ax−a．（2）存在，点P的坐标为0,−a，证明如下．假设存在点P使得∠OPM=∠OPN，则直线PM与直线PN关于y轴对称，即k MP+k NP=0，设M m,m 24，N n,n24，P0,y0．①当k≠0时，即m≠−n，联立直线l:y=kx+a与抛物线y=x 24得x2−4kx−4a=0，于是m+n=4k,mn=−4a.此时直线MP的斜率为m24−y0 m−0=m4−y0m.同理直线NP的斜率为n −y0 ,所以这两条直线的斜率之和为k MP+k NP=m+n4−y0m+nmn=0,即m+n14−y0mn=0，又因为mn=−4a，所以14m+n1+y0a=0，又因为m+n≠0，解得y0=−a，所以当点P取0,−a时∠OPM=∠OPN，与k的取值无关；②当k=0时，则m=−n，由（1）知M 2a,a ，N −2a,a ，当P取点0,−a时，k PN=−a，k PM=a，则k MP+k NP=0，所以∠OPM=∠OPN满足条件；综上所述，当点P的坐标为0,−a时，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN．21. （1）根据已知，fʹx=3x2+a．若x轴为曲线y=f x的切线，设切点横坐标为t，则有f t=0,fʹt=0,即t3+at+1=0,3t2+a=0,解得t=1,a=−3.所以当a的值为−34时，x轴为曲线y=f x的切线．（2）情形一：当a≥0时，fʹx=3x2+a>0，于是f x单调递增．考虑到f0=14>0，于是y=f x与y=g x有唯一交点，且交点横坐标p∈0,1，如图．此时函数 x的零点个数为1．情形二：当−34<a<0时，f x在0,−a3上单调递减，在−a3,+∞ 上单调递增，在极小值点x=−a3处的极小值f −a3=−a33+a⋅−a3+14=218−−a33>0,此时y=f x与y=g x在0,1内有唯一交点，如图．此时函数 x的零点个数为1．情形三：当a=−34时，与情形二类似，但此时极小值为0，如图．此时函数 x的零点个数为2．情形四：当−54<a<−34时，与情形三类似，但此时极小值小于0，如图．此时函数 x的零点个数为3．情形五：当a=−54时，与情形四类似，但此时y=f x与y=g x图象交于点1,0，如图．此时函数 x的零点个数为2．情形六：当a<−54时，与情形五类似，但此时y=f x与y=g x图象交点横坐标大于1，如图．此时函数 x的零点个数为1．综上，函数 x的零点个数为当a<−54或a>−34时， x只有一个零点，当a=−54或a=−34时，x只有两个零点，当−54<a<−34时， x有三个零点．22. （1）连接AE，OD，知AE⊥BC．所以△AEC是直角三角形，且∠AEC=90∘．又D为AC中点，所以DA=DE．又A、E在⊙O上，所以OA=OE，又OD=OD，所以△AOD≌△EOD，所以∠OED=∠OAD=90∘，所以OE⊥DE，所以DE是⊙O的切线．（2）由OA=3CE，∴AB=23CE．由CB为圆的割线，CA为圆的切线，知CE⋅CB=CA2．在Rt△ABC中，CA2=CB2−AB2，∴23CB=CB2−AB2，整理得−2AB 2CB+AB =0，∴ABCB =32=sin∠ACB．又∠ACB为锐角，∴∠ACB=60∘．23. （1）C1:ρcosθ=−2，C2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．（2）C3:y=x，圆C2的圆心C2到y=x的距离d=2=22，∴ MN =2⋅12−222=2，∴S△C2MN =12⋅ MN ⋅d=12⋅2⋅22=12．24. （1）a=1时，f x= x+1−2 x−1=3−x,x≥1,3x−1,−1<x<1, x−3,x≤−1.∴f x>1的解集为 x23<x<2．（2）f x=2a+1−x,x≥a,3x−2a+1,−1<x<a, x−2a−1,x≤−1.当x=a时，f x=a+1>0；当x=−1时，f x=−2a−2<0；∴令2a+1−x=0，x=2a+1，令3x−2a+1=0，x=2a−13，∴f x的图象与x轴围成的三角形的面积为12⋅2a+1−2a−13⋅a+1，因为12⋅2a+1−2a−13⋅a+1>6，解得a>2．∴a的取值范围为2,+∞．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A（全国新课标1卷） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B ）2 （C 3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ） （A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考理科数学试卷全国卷1（解析版）1．设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）（B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3．设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）（A ）2,2nn N n ∀∈> （B ）2,2nn N n ∃∈≤（C ）2,2nn N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.考点：本题主要考查特称命题的否定4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（223-，223） （D ）（233-，233） 【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y ---•-- =2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝(A )3- (B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =-(C ) 4133AD AB AC=+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为 (A )()，k (b )()，k(C )()，k(D )()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝ (A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )82rr正视图俯视图r2r12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1)B . [33,24e -)C . [33,24e )D . [32e ，1)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w8i=1∑(x i －x )28i=1∑(w i －w )28i=1∑(x i －x )(y i －y ) 8i=1∑(w i －w )(y i －y )A BC F ED 年宣传费(千元)年销售量/t6.8 289.8表中w i ，w ＝8i=1∑i w(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii ni i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围欢迎光临：蒙清牛肉干店（按ctrl 键点击即可进入淘宝店铺） 牛肉干无脂肪.减肥必备 超级抗饿.熬夜必备美食（3斤牛肉才做1斤牛肉干）2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案A 卷选择题答案 一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题（13）1 （14） 22325()24x y ±+= （15）3（16）二、 解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+（18）解：（I ）连结BD ，设BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°， 可得3.由 B E ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以3EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中，可得2故DF=22.在Rt ∆FDG 中，可得6在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=22， 可得FE=322.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.AC FG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面 所以平面AEC AFC ⊥平面（III ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得2(03,0),(102),(10),(03,0)2A E F C -，，，，，所以 2(132),(13,AE CF ==-，，故3cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅ 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为33.（19）解：（I ）由散点图可以判断，y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验文科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟） 注意事项：1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷{或答题卡）的指定位置上2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚 第1卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l.已知集合 {}{}|0,2,0,1M x x N =≤=-， 则 M N =A. {}|0x x ≤B. {}2,0-C. {}|20x x -≤≤D. {}0,1 2.在复平面内复数 121iz i+=-对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设函数f(x)满足 (sin cos )sin cos f αααα+=，则f(0)= A. 12- B.0 C.12D.1 4.“ ,2xx R e m ∀∈->”是“ 22log 1m >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.将函数 ()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A.3B.12C. 12-D.3- 6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形．则这个几何体的体积为A.13 B. 23C. 1D. 437. 从1，2，3，4，5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是 A. 0.3 B. 0.4 C.0.5 D. 0.68.设 {}n a 是公差不为零的等差数列， 22a =．且 139,,a a a 成等比数列，则数列 {}n a 的前n 项和 n S =A. 2744n n +B. 2322n n+ C. 2344n n + D. 222n n+ 9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印出的点在 圆 2210x y +=内的个数是 A.2 B. 3C.4D.510．若双曲线 22221(0,0)x y a b a b+=>>的渐近线与圆 22(2)1x y -+=相离，则其离心率e 的取值范围是 A.e>l B ． 15e +>C.23e >D. 5e > 11.过抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 的直线 l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ．若 2,3BC BF AF =-=，则抛物线的方程为 A. 212y x = B. 29y x = C. 26y x = D. 23y x =12.设数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且满足 1n n a S +=．则 n S 的取值范围是 A. (0,1) B. (0，+∞)C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知x ，y 满足条件 24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则 2z x y =+的最小值为________.14.正三角形ABC 的边长为 23．将它沿高AD 翻折，使二面角B-AD-C 的大小为 3π，则四面体ABCD 的外接球的体积为________.15.在△PQR 中，若 7,6PQ PR PQ PR ⋅=-=,测△PQR 面积的最大值为________.。
