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二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一。
在学习二次函数的过程中，最值问题是一个常见的考点。
了解和掌握二次函数的最值问题对于解决实际问题和应用数学知识具有重要的意义。
一、二次函数的定义二次函数是一种具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数类型，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
它的图像呈现出抛物线的形状。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值是指函数的最大值和最小值。
最大值是图像的顶点，也叫抛物线的顶点；最小值是函数的最低点。
三、最值问题的求解方法要解决二次函数的最值问题，可以通过求导或通过抛物线的顶点来确定最值。
1. 求导法通过二次函数的导数来找到最值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，先求导得到f'(x) = 2ax + b。
然后令f'(x) = 0，解方程得到x的值。
将解得的x代入原函数f(x)中，即可求得最值。
2. 抛物线的顶点法由于二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的顶点是最值点。
可以通过顶点的坐标来求得最值。
a. 利用顶点的横坐标二次函数的顶点横坐标为x = -b/2a。
将这个横坐标代入原函数中，即可得到最值的纵坐标。
b. 完全平方公式对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过将其转化为完全平方的形式求得最值。
将二次幂的项进行完全平方，在此过程中求得顶点的纵坐标。
四、最值问题的实际应用二次函数的最值问题在现实生活中有着广泛的应用。
1. 最佳投影距离假设有一条铁丝长10米，我们需要利用它搭建一个人字形的支架，要求两边支架的高度和底座的宽度之和最小。
这个问题可以转化为求解二次函数的最小值问题。
2. 最大面积某地修建一个有围墙的公园，公园的一段外墙已经确定，剩余的三段墙需要设计。
已知外墙一段的长为10米，求其它三段的长度使园的面积最大。
以上只是二次函数最值问题的两个简单实际应用举例，实际问题种类繁多，只要问题可以用二次函数表示，就可以应用最值问题进行求解。
二次函数的最值二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的最值问题，包括最小值和最大值的求解方法以及在实际问题中的应用。
一、最值的概念和求解方法在讨论最值问题之前，首先需要了解最值的概念。
最值即函数在定义域内的最大值和最小值，也就是函数的取值范围的上下界。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其最值的求解方法有两种：图像法和公式法。
1. 图像法：通过绘制二次函数的图像，观察图像的凹凸性和开口方向，可以初步判断出最值的位置。
当二次函数开口朝上时，最小值位于顶点上；当二次函数开口朝下时，最大值位于顶点上。
2. 公式法：通过一些公式，可以准确地求解二次函数的最值。
首先，对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标可以通过公式x=-b/(2a)求得。
其次，将顶点的横坐标代入二次函数中，得到顶点的纵坐标，即函数的最值。
最小值为y=-D/(4a)，最大值为y=D/(4a)，其中D=b^2-4ac称为二次函数的判别式。
二、最值问题的实际应用二次函数的最值问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下以两个实际问题为例，说明最值问题的应用。
1. 弯道设计：考虑到汽车在转弯时会受到离心力的作用，为确保车辆在弯道上行驶的安全性，需要进行合理的弯道设计。
而二次函数的最值问题能够帮助我们确定弯道的最小转弯半径。
例如，假设一辆车在速度为v的情况下，在转弯半径为R的圆弧上行驶。
根据运动学原理，车辆受到的离心力为F=mv^2/R，其中m为车辆的质量。
为确保车辆在弯道上不产生侧滑或翻滚等危险情况，我们可以通过最值问题来确定离心力的最大值，进而确定合理的转弯半径。
2. 成本最小化问题：在经济学中，有时我们希望找到一个最优解，使得某一目标的成本达到最小化。
而二次函数的最值问题可以帮助我们解决这类问题。
例如，假设某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=ax^2+bx+c，其中x为产品的产量，a、b、c为常数。
第四节 二次函数最值内容讲解二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法． 二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2ba时，y随x•增大而增大；当x=-2ba时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a时，y随x 增大而减小；当x=-2ba时，y 取最大值244ac b a -．2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得． 3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）．（A）3 （B）5914（C）92（D）6分析：设x-1=1223y z+-==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值．解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914．评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值解：y=x2-x+1x=（x-1）2+（x+1x）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x2-x+1x取最小值1．评注：函数y=x2-x+1x含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法．例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0, 2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．解：如图，先作抛物线y=x2-23x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-23x-1│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f（3）=|（3）-23·3-1|=4，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6 求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥∴评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是_______．分析：由条件可构造以x 、y 为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z ，xy=3-z （x+y ）=3-z （5-z ）=z 2-5z+3．∴x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2-（5-z ）t+z 2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z ）2-4（z 2-5z+3）≥0，即 3z 2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z ≤133，当x=y=13时，z=133．故z 的最大值为133．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x 2+bx+c 过已知两点可确定a 、b 、c 之间关系，并利用根的判别式求出b+c 最值．解：由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点， 所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a 是正整数，故a>1，所以a ≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x 轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法． 例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•且24b ac -=b-4ac ，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ，由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，• 所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）， 因为x 1x 2=ca<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a ≤0，于是 │x 1│24b b ac -+-24b b ac--，所以244ac b a-≥c=242b b ac a -≥-242b ac a -，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立． 所以b 2-4ac 的最小值为4。
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值求解方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，研究二次函数的最值求解方法对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
本文将介绍二次函数的最值求解方法，并通过实例进行说明。
我们来了解一下二次函数的基本形式。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负。
要求解二次函数的最值，首先需要找到函数的顶点。
由于二次函数的图像是一个抛物线，其最值就是抛物线的顶点。
求解二次函数的顶点的方法有两种：完成平方与配方法。
下面分别介绍这两种方法。
一、完成平方法：完成平方法是一种将二次函数转化为平方的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成平方的形式。
3. 根据平方的性质，将平方项重新组合，并添加适当的常数项，使得二次项和一次项可以写成平方的形式。
4. 将等式两边进行整理，得到f(x) = a(x - h)^2 + k的形式。
5. 根据顶点的坐标(h, k)，求得二次函数的最值。
二、配方法：配方法是一种通过配方将二次函数转化为标准形式的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - p)(x - q)的形式，其中p和q为实数，p不等于q。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成两个因式的形式。
3. 根据二次函数展开的结果，将二次项和一次项转化为两个因式相乘的形式。
4. 根据配方法的原理，将二次函数转化为标准形式f(x) = a(x - p)(x - q)。
5. 根据标准形式，求得二次函数的顶点，进而求得最值。
在实际应用中，求解二次函数的最值需要根据具体的问题进行分析和求解。
二次函数的最值精选题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．2．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．3．【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．4．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．5．【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴当x＝1时，y＝1；当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．9．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．10．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．11．【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．13．【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．14．【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键．二．填空题（共18小题）15．【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．16．【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．19．【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．【点评】本题考查了二次函数的最值、顶点式的运用及顶点坐标的求法．20．【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜5．故答案为：a＜5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．21．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．22．【分析】根据二次函数的性质，可以得到在2≤x≤5范围内，该函数的最小值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．【分析】由当x＝﹣1时y取得最大值知﹣＝﹣1且m＜0，解关于m的方程可得答案．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的性质得出关于m 的方程．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．24．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．25．【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，在△AOE与△ADC中，，∴△AOE∽△ADC，∴＝，即＝，解得EO＝，∵点B（0，2），∴OB＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．26．【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．37．【分析】根据题意求出当菱形EGFH的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出GH长度，即可求出面积．【解答】解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．【点评】本题考查了求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，根据临界值即可求出答案，属于中档题．28．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．29．【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．三．解答题（共8小题）30．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．31．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．32．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．33．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．34．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．35．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．36．【分析】物线的顶点式解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1＝a（0﹣3）2+4，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．37．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S＝AC•BD＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．。
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。
对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。
通过求导数，可以得到函数的极值点。
当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。
举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。
将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。
将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。
所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。
其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。
我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。
考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。
先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。
所以函数的最小值为$-1$。
通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。
“二次函数最值”4种解法
二次函数作为初中函数知识板块中最复杂的函数，无论是平常的考试中，还是中考中都占据非常重要的位置。
作为初三数学学习中的一个重点，也是难点，在平常的考试，乃至中考中占有很大的比重，尤其是在大型考试的最后三题中，必有一题是二次函数的综合题。
在学习二次函数过程中，我们时常会碰见一类题目，试图让你求竖直线段最大值，抑或三角形面积最大值，我们常用的解题伎俩是几何问题代数化，从而将问题得到完美的转化，只不过在求解的过程中，对于逻辑性不是很好的同学思考路程难免有些长！
但就近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，一般作为中考的压轴题存在。
可在实际的学习中，无数学生一提到二次函数，都会异口同声的说二次函数太难了！在考试里一做到二次函数的压轴题就一脸茫然，怀疑自己到底有没有学过二次函数。
针对这一现状，今天，老师就特地为大家整理了一份“二次函数最值”4种解法，并附有例题+解析，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。
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二次函数最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一。
它的研究包括函数的图像、平移、缩放等内容，而其中一个重要的研究方向就是二次函数的最值问题。
本文将介绍二次函数最值问题的求解方法及其应用。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
二次函数的一些性质如下：1. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 最值点：对于开口向上的抛物线，最值点为最小值点；对于开口向下的抛物线，最值点为最大值点。
最值点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
3. 对称轴：对于任意二次函数，存在一个与横坐标轴垂直的线，称为对称轴。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，对称轴上的任意点关于对称轴对称。
二、二次函数最值问题的求解方法对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，求解最值问题的方法如下：1. 确定开口方向：根据二次函数的系数a的正负，确定抛物线的开口方向。
2. 求解最值点：根据最值点的横坐标公式x = -b/(2a)，求出横坐标x；然后将x带入函数f(x)中，计算得到纵坐标f(x)的值。
3. 判断最值类型：根据开口方向和最值点的值，判断最值类型是最小值还是最大值。
三、二次函数最值问题的应用二次函数最值问题的求解方法可以应用于各种实际问题。
以下是几个实际应用的例子：1. 抛物线的最大高度：若已知抛物线的高度函数为h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中t为时间，v为初速度，h0为起始高度。
通过求解h(t)的最值点，可以确定抛物线的最大高度以及达到最大高度时的时间。
2. 成本最小化问题：假设某厂商制造商品的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为产品数量，a、b、c为常数。
第四节 二次函数最值内容讲解二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a-．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2ba时，y随x•增大而增大；当x=-2ba 时，y 取最小值244acb a-． 当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2ba时，y随x 增大而减小；当x=-2ba 时，y 取最大值244acb a-． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得． 3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）．（A）3 （B）5914（C）92（D）6分析：设x-1=1223y z+-==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值．解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914．评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值解：y=x2-x+1x=（x-1）2+（x+1x）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x2-x+1x取最小值1．评注：函数y=x2-x+1x含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法．例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0, 2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．解：如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2│的图象，对称轴是直线x22．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4³2³（2m2+3m-2）≥0得m≤2 3，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2³（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6 求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u²x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4³3³（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥∴评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x 2-x-2及实数a>-2，求 （1）函数在-2<x ≤a 的最小值；（2）函数在a ≤x ≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a 的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解． 解：函数y=x 2-x-2的图象如图． （1）当-2<a<12时，y min =y │x=a =a 2-a-2；当a ≥12时，y min = 12|x y ==-94．（2）当-2<a 且a+2<12，即-2<a<-32时，y min =y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a 2+3a ；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min = 12|x y ==-94．评注：将a 相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x 2-2（2k-1）x+3k 2-2k+6的最小值为m ，则当m 达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a （x+n ）2+m 的形式，再根据m 的形式确定m 的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k 2+2k+5，当x=2k-1时，y 最小值是m=-k 2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m 达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是_______．分析：由条件可构造以x 、y 为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z ，xy=3-z （x+y ）=3-z （5-z ）=z 2-5z+3．∴x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2-（5-z ）t+z 2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z ）2-4（z 2-5z+3）≥0，即 3z 2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z ≤133，当x=y=13时，z=133． 故z 的最大值为133．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x 2+bx+c 过已知两点可确定a 、b 、c 之间关系，并利用根的判别式求出b+c 最值．解：由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点， 所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a 是正整数，故a>1，所以a ≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x 轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法． 例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ，由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，• 所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）， 因为x 1x 2=c a <0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│=|2b a -|=2b a =c ，所以244ac b a -≥c=2b a ≥-2a，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立． 所以b 2-4ac 的最小值为4。
评注：有的给出的问题不是二次函数，但经过适当变形后，•可以转化为二次函数的问题，我们要领会这种转化思想．例12 （2003年天津市竞赛题）已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x 为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x=212aa-+=（a-2）+32a+，因0<32a+≤1，a-2<212aa-+≤a-1，故函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，212aa-+时达到，所以，•解决本例的关键在于分类讨论．解：y=（a+2）（x-212aa-+）2+1-22(1)2aa-+，其对称轴为x=212aa-+=（a-2）+32a+．因为a为正整数，故0<32a+≤1，a-2<212aa-+≤a-1．因此，函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，212aa-+时达到．（1）当212aa-+=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值．（2）当a-2<212aa-+<a-1，即a>1时，由于x是正整数，而212aa-+为小数，故x=212aa-+不能达到最小值．当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1．又y1-y2=4-a．（i）当4-a>0，即1<a<4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；（ii）当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；（iii ）当4-a<0，即a>4且为整数时，x 取a-2，使y 1为最小值．综上，x=1,1,1,14,23,4,2,4.a a a a a a =⎧⎪-<<⎪⎨=⎪⎪->⎩当时当时或当时当时（其中a 为整数）评注：求二次函数y=a x 2+bx+c 在给定范围的最值，•关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较．例13 （1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题）已知二次函数y=（a 2-a+1）x 2+bx+16a 的图象与x 轴交点为A （x 1，0），B （x 2，0），其顶点横坐标为12，设t=x 13+x 23． （1）试用a 把t 表示出来；（2）问实数a 取何值时，t 取最小值，最小值是多少？分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t 的表达式；•再通过根的判别式法求出t 的最值．解：根据题意得21221221,22(1),16.1b a a b x x a a a x x a a ⎧⎪=-⎪-+⎪⎪+=-⎨-+⎪⎪⎪=⎪-+⎩∴b=-（a 2-a+1），x 1+x 2=1． 此时，△=b 2-4（a 2-a+1）²6a=（a 2-a+1）2-23a （a 2-a+1） =（a 2-a+1）（a 2-53a+1） =[（a-12）2+34][（a-56）2+1136]>0，∴a 可取任意实数值．（1）t=（x 1+x 2）3-3x 1x 2（x 1+x 2）=1-3x1x2=1-12²2222321222a a aa a a a-+=-+-+．（2）将t=22232222a aa a-+-+变形，得2（t-1）2a2+（3-2t）a+2（t-1）=0，显然，当a=0时，t=1．当t≠1时，△a=（3-2t）2-4³2（t-1）³2（t-1）≥0，即12t2-20t+7≤0，∴12≤t≤76．综上所述，t min=12，仅当a=1时取得．评注：在求二次函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△≥0与二次项系数不为0的条件．例14生产某商品xt需费用1000+5x+110x2元，出售该商品xt时的价格是每吨a+xb元，•其中a，b是常数，如果生产出的商品都能卖掉，并且当产量是150t时利润最大，这时的价格是每吨40元，求a，b的值．分析：首先表示出利润是y的函数关系式，然后再求取二次函数的最值．解：设卖出xt的利润是y元，则y=x（a+xb）-（1000+5x+110x2）=（1b-110）x2+（a-5）x-1000．又由题设知，当x=150时，y最大，因此5300150,35, 112()1015015040.40.aabbaa bb-⎧-=⎧⎪+=⎪-⎪⎪⎨⎨⎪⎪+= +=⎪⎪⎩⎩即解得a=45，b=-30．当b=-30时，1b -110<0， ∴函数有最大值．∴a=45，b=-30为所求．评注：这是一个关于商品的利润问题，解决此类问题的关键是函数建模，使之转变为函数问题，再利用一元二次函数在顶点处取最值的方法来求解．例15 （2000年全国数学竞赛题）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，•它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32•人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，•可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（•有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．分析：设电梯停在第x 层，在第一层有y 个人没有乘电梯而直接上楼，•那么首先用x 、y 表示出不满意总分的函数关系式，再用配方法来求取最值．解：对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设P 层的人乘电梯，而住Q 层的人直接上楼，P<Q ．交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少，即P>Q ．设电梯停在第x 层，在第一层有y 个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为S=3[1+2+3+…+（33-x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x-y-2）] =3(34)(33)3(1)(2)(1)222x x y y x y x y --+----++ =2x 2-（y+102）x+2y 2+3y+1684=2（x-210215)48y ++（y-6）2+316≥316． 当y=6，x=61024+=27时S 取最小值为316． 评注：通过配方，把S•的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用的方法应掌握．例16 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.1•≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？分析：由于时间不同所建立的函数解析式就不同，故本题需要分类讨论．解：依题意，可建立的函数关系式为：y=202(1)(16)218(16)30(611)30(611) 302(11)(1216)252(1216) x x x xx xx x x x +-≤≤+≤≤⎧⎧⎪⎪≤≤≤≤⎨⎨⎪⎪--≤≤-+≤≤⎩⎩即y=（2）设销售利润为W，则W=售价-进价故W=2221202(8)14(16)8130(8)12(611) 81(8)240(1216)8x x xx xx x x⎧++--≤≤⎪⎪⎪+--≤≤⎨⎪⎪--+≤≤⎪⎩化简得W=222114(16)81226(611) 81448(1216) 8x xx x xx x x⎧+≤≤⎪⎪⎪-+≤≤⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩①当W=18x2+14时，∵x≥0，函数y随着x增大而增大，∵1≤x≤6∴当x=6时，W有最大值，最大值=18.5．②当W=18x 2-2x+26时，∵W=18（x-8）2+18，当x ≥8时，函数y 随x 增大而增大 ∴在x=11时，函数有最大值为1918． ③当W=18x 2-4x+48时，∵W=18（x-16）2+16，∵12≤x ≤16，当x ≤16时，函数y 随x 增大而减小，∴在x=12时，函数有最大值为18．综上所述，当x=11时，函数有最大值为1918． 评注：本题以分段函数为背景，与分类讨论思想相结合，解题时要紧扣题设条件，根据自变量的不同取值范围，实施分类解答，并做到不重不漏，逐层讨论求解．巩固练习一、选择题1．已知二次函数y=a x 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有（ ）（A ）最小值0 （B ）最大值1 （C ）最大值2 （D ）有最小值-142．如图，四个二次函数的图象，哪一个函数在x=2时，有最大值（ ）3．正实数x 、y 满足xy=1，那么114x y 的最小值为（ ）（A ）12 （B ）58 （C ）1 （D ）54（E 二、填空题1．函数y=-2x 2+x 图象的对称轴是_______，最大值是______．2．如果二次函数y=x 2-6x+m 的最小值是1，那么m 的值是_______．3．已知二次函数y=（x-1）2+（x-3），当x=_______时，函数达到最小值．4．当0≤x ≤3时，二次函数y=-x 2+4x-2的最大值是_______，最小值是_______．5．已知二次函数y=12（x-1）2+1，如果当1≤x ≤a （a>1）•，•y•的最大值恰好是a ，•则a=_______．6．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为______元．7．用长为16米的细绳围成一个矩形，矩形的长为x ，面积为y ，则y 与x•之间的函数关系式为，y 的最大值为_______．8．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为________、________米．9．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ax+a=2的两个实数根，则（x 1-2x 2）（x 2-2x 1）的最大值为_________．10．若抛物线y=x 2-（k-1）x-k-1与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为________．11．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B•船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为_______km ．12．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为________．三、解答题1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？2．某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，•又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）•的关系可近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x的关系式；（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为s（元），•则销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？此时的销售量是多少件？3．某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大模高为3.1m，那么他能否获得成功？4．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．•考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？•最大利润为多少？5．用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．（1）试写出扇形花园的面积y（m2）与半径x（m）之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）用描点法作出函数的图象；（3）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？此时这个扇形的圆心角是多少？（精确到0.1度）（4）请回答：如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园，这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？6．如图，已知抛物线y=12x2+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，•与y•轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．（1）求抛物线的解析式．（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF 的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y 有最大值．7．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租车的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出_______辆车（直接填写答案）；（2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：（3）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？•最大月收益是多少元？8．某商品的价格下降x%，则卖出的商品增长mx%（常数m>0）．（1）当m=1.25时，应降价百分之几，才能使售出总金额最大？（2）如果适当地降价，能求使售出总金额增加m的取值范围．9．某公司生产一件产品的成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，•为了获得更好效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费是x（万元）时，产量的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-277101010xx++，•如果把利润看作销售额减去成本费和广告费，（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获利最大，最大利润是多少万元．（2）把（1）中的最大利润再留出3万元作广告费用，其余用于投资新项目，•现有六个项目供选择，各项目每股投资金额和预计收益如下表所示：如果每个项目只能投资一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1．6万元，•问有几种符合要求的投资方案．写出每种投资方案所选项目．10．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售这种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）•的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：•当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（•维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y （元）．（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费；（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？•此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a （x+2b a ）2+244ac b a的形式，并据此说明：当x•为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？12．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q•分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．13．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．14．（1997年太原市初中数学竞赛试题）对于x的二次三项式a x2+bx+c（a>0）．（1）当c<0时，求函数y=-2│a x2+bx+c│-1的最大值；（2）若不论k为任何实数，直线y=k（x-1）-24k与抛物线y=a x2+bx+c•有且只有一个公共点，求a，b，c的值．答案:一、1～3．DAC二、1．x=14，182．10 3．24．2，-2．提示：∵y=2-（x-2）2，0≤x≤3，∴当x=2时，y max=2，当x=0时，y min=-2．5．3．提示：因为当1≤x≤a时，y=12（x-1）2+1随x增大而增大，∴y max=12（x-1）2+1，又y max=a，∴12（x-1）2+1=a⇒a2-4a+3=0⇒a=1，3，但a>1，所以a=3．6．1760．提示：设池底的尺寸为xm与4x m，则水池的总造价W表示为x的函数为W=480+320（x+4x），x>0，∵x+4x-4=2(2)xx-≥0，∴当m=2（m）时，W min=480+320³4=1760．7．y=-x2+8x，16 8．3、29．-638．提示：原式=-2（x1+x2）2+9x1x2=-2（a-94）2-638．10．设A（x1，0），B（x2，0），又C（2125,24k k k-++-），S△ABC=12225||4k k++-=18．∵k2+2k+5=（k+1）2+4≥4，当k=-1时，•等号成立，∴S△ABC≥18．11．t 小时后，A 、B 船分别航行到A 1、B 1，设AA 1=x ，BB 1=2x ，A 1B 1=．12．设原来商品单价为a 元时，售出的数量为b ，则单价上涨m%时，销售的总金额W=ab （1+m%）（1-150m ）=15000ab [-（m-25）2+15625]，故当W=25时，W max =15625． 三、1．（1）y=-x+40．（2）产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 2．（1）设y=kx+b ，将（60，40），（70，30）代入得：604017030100k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得: ∴y=-x+100． （2）S=（-x+100）（x-50）=-x 2+150x-5000． ∵a=-1，b=150，c=-5000， ∴当x=-2ba=75时， S 最大值=244ac b a -=24(1)(5000)15020000225004(1)4a⨯-⨯---=- =625．当x=75时，y=-75+100=25．所以当销售价是75元时，最大利润是625元， 此时销量为25件．3．（1）设解析式为y=a （x-4）2+4，当x=7，y=3时，解得a=19， ∴y=-19（x-4）+4，当x=0时，y=209．∴能准确投中； （2）当x=1，y=3<3．1，∴能获得成功．4．（1）每个面包的利润为（x-5）角，卖出的面包个数为（300-20x ）或[160-（x-7）³20]）．（2）y=（300-20x ）（x-5）=-20x 2+400x-1500，即y=-20x 2+400x-1500．（3）y=-20x 2+400x-1500=-20（x-10）2+500，∴当x=10时，y 的最大值为500．∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角． 5．（1）∵扇形半径为xcm ，∴扇形的弧长为（32-2x ）m ，由扇形面积公式得y=12（32-2x ）x ，即y=-x 2+16x ．自变量的取值范围是0<x<16． （2）将函数关系式写成y=-（x-8）2+64．列表其图象如图所示．（3）由图象可知，当x=8时，有最大值64．即当扇形半径为8m 时，花园面积最大，最大面积为64m 2．设此时扇形的圆心角约为n °，则360n²2 ²8=16，解得n ≈114.6°． 因此，扇形的圆心角约为114.6°．（4）这个矩形花园的面积也是54m 2，与最大扇形花园面积相等 （或答：•周长相等的最大矩形面积与最大扇形的面积相等）． 6．（1）∵抛物线y=12x 2+mx+n 与y 轴交于点C ，∴C （0，n ），∵BC ∥x 轴，∴B 点的纵坐标为n ．∵B 、A 在y=x 上，且OA=OB ，∴B （n ，n ），A （-n ，-n ）．∴221212n mn n n n mn n n ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 解得：n=0（舍去），n=-2；m=1．∴所求解析式为：y=12x 2+x-2．（2）作DH ⊥EG 于H ，∵D 、E 在直线y=x 上，∴∠EDH=45°，∴DH=EH ．∵，∴DH=EH=1．∵D （x ，x ），∴E （x+1，x+1）．∴F 的纵坐标：12x 2+x-2，G 的纵坐标：12（x+1）2+（x+1）-2． ∴DF=x-（12x 2+x-2）=2-12x 2，EG=（x+1）-[12（x+1）2+（x+1）-2]=2-12（x+1）2．∴y=12 [2-12x 2+2-12（x+1）2]³1，y=-x 2-x+312，y=-（x+12）2+334，∴x 的取值范围是-2<x<1，当x=-12时，y 最大值=334．7．（1）88；（2）300050x -；100-300050x -；300050x -³50；x-150；（3）设每辆车的月租金为x 元，租赁公司的月收益为y 元，则有y=（100-300050x -）（x-150）-•300050x -³50=-150（x-4050）2+307050，∴当x=4050时，y min =307050．8．（1）设降价前每件定价为a 元，销售量为b 件，则价格下降x%后销售总额为y=•a （1-x%）²b （1+mx%）=2100ab[-mx+100（m-1）x+100]． 当m=1.25时，y=2100ab[-1.25x 2+25x+1002]． ∴当x=252 1.25⨯=10时，y 取最大值，故降价10%时，售出总金额最大．（2）由y=2100ab [-m x 2+100（m-1）x+1002]知， 当x=50(1)m m-时，y 的值最大．降价后，•销售总额有所增加，就是当0≤x ≤50(1)m m-时，y 随x 增大而增大，所以050(1)0m m m-<⎧⎪⇒-⎨>⎪⎩ m>1． 9．（1）S=10y-x=-x 2+6x+7，当x=3时，获利最大，最大为16万元． （2）投资金额=16-3=13万元，经分析，有两种投资方案符合要求．一种是取A 、B 、E 各一股，投入奖金为13万元， 收益为：0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元．另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12万元， 收益为：0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元． 10．（1）设y=kx+b ，它过点（60，5），（80，4）．∴1560204808k b k k b b ⎧=+=-⎧⎪⎨⎨=+⎩⎪=⎩解得∴y=-120x+8．（2）z=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x 2+10x-440．∴当x=100时，最大年获得为60万元． （3）令z=40，得40=-120x 2+10x-440，整理得：x 2-200x+9600=0．解得：x 1=80，x 2=120．•由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间． 又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．11．（1）未租出的设备为27010x -套，所有未出租设备支出的费用为（2x-540）元； （2）y=（40-27010x -）x-（2x-540）=-110x 2+65x+540（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套． 因为出租37•套和32套设备获得同样的收益， 如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；• 如果考虑市场占有率，应该选择37套． （4）y=-110x 2+65x+540=-110（x-325）2+11102.5．∴当x=325时，y 有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数， 故出租设备应为34（•套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，•租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．12．（1）S △PCQ =12PC ²CQ=12（3-t ）²2t=（3-t ）t=2，解得t 1=1，t 2=2． ∴当时间t 为1秒或2秒时，S △PCQ =2厘米2；（2）①当0<t ≤2时，S=-t 2+3t=-（t-32）2+94； ②当2<t ≤3时，S=45t 2-185t+6=45（t-94）2+3920； ③当3<t ≤4.5时，S=-35t 2+274255t -=-35（t-92）2+154； （3）有．①在0<t ≤2时，当t=32，S 有最大值，S 1=94； ②在2<t ≤3时，当t=3，S 有最大值，•S 2=125； ③在3<t ≤4.5时，当t=92，S 有最大值，S 3=154， ∵S 1<S 2<S 3，∴t=92时，S 有最大值，S 最大值=154． 13．（1）①y=(120)2x x -，当x=60时，y 最大值=1800； ②过点B 作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，设AB=CD=xcm ，梯形的面积为Sc m 2，则BC=EF=（120-2x ）cm ，AE=DF=12x ，BE=CF=2x ，AD=120-x ，∴S=12x （240-3x ）．当x=40，S 最大值S 最大值>y 最大值．。
