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二次函数一、二次函数的定义例1、已知函数y=m －1x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值.若函数y=m 2+2m －7x 2+4x+5是x 的二次函数,则m 的取值范围为 . 二、五点作图法的应用 例2. 已知抛物线y x x =-+123522, 1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长． 1、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 A-2,7 B-2,-25 C2,7 D2,-92、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =3、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 三、a b c ，，及b ac 24-的符号确定例3. 已知抛物线y ax bx c =++2如图,试确定：1a b c ，，及b ac 24-的符号；2a b c ++与a b c -+的符号.1、已知二次函数2y ax bx c =++0a ≠的图象如图所示,有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<,其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是11 1-Ox yA ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列关系式中错误．．的是 A ．a ＜0 B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞04、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象,给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时,y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时,13x -<<．其中,正确的说法有 ．请写出所有正确说法的序号5、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a －2b+c,2a+b,2a －b 中,其值大于0的个数为 A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式： 1抛物线过0,2,1,1,3,5； 2顶点M-1,2,且过N2,1；3已知抛物线过A1,0和B4,0两点,交y 轴于C 点且BC ＝5,求该二次函数的解析式.练习：根据下列条件求x 的二次函数的解析式（1）当x=3时,y 最小值=－1,且图象过0,7（2）图象过点0,－21,2且对称轴为直线x=错误! （3）图象经过0,11,03,0五、二次函数与x 轴、y 轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、 已知抛物线y ＝x 2-2x-8,1求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积xO1 －1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为2、如图所示,二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为B.43、若二次函数y＝m+5x2+2m+1x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6已知：二次函数为y=x2－x+m,1写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标；2m为何值时,顶点在x轴上方,3若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式．1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 .2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点.例7 已知x的二次函数y=x2－mx+212m+与y=x2－mx－222m+,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．1试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点；2若A点坐标为－1,0,试求B点坐标；3在2的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x•值的增大而减小练习如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB＝2OA,点A的坐标是－1,2．1求点B的坐标；2求过点A、O、B的抛物线的表达式；3连接AB,在2中的抛物线上求出点P,使得S△ABP ＝S△ABO．例8 已知：m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n,如图所示．1求这个抛物线的解析式；2设1中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出P点的坐标．七、用二次函数解决最值问题例9 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y件之间的关系如下表：x 元152030…y件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元例3.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m八、二次函数应用一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y件是价格X的一次函数.1试求y与x的之间的关系式.2在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少总利润=总收入－总成本2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元. 1设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出PX 的函数关系式.2如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出QX 的函数关系式.2该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润利润=销售总额—收购成本—费用,最大利润是多少自我检测一. 选择题.1. 用配方法将12322x x ++化成()a x b c ++2的形式A. ()123522x +-B. 1232542x +⎛⎝ ⎫⎭⎪- C. ()12322x ++ D.()12372x +- 2. 对于函数y ax a =<20(),下面说法正确的是A. 在定义域内,y 随x 增大而增大B. 在定义域内,y 随x 增大而减小C. 在()-∞，0内,y 随x 增大而增大D. 在()0，+∞内,y 随x 增大而增大 3. 已知a b c <<>000，，,那么y ax bx c =++2的图象4. 已知点-1,33,3在抛物线y ax bx c =++2上,则抛物线的对称轴是A. x a b=-B. x =2C. x =3D. x =15. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象6. 函数y x x =-++33322的最大值为 A. 94B. -32C. 32D. 不存在二. 填空题.7. ()()y m x m x m =++-++11321是二次函数,则m =____________.8. 抛物线y x x =--52222的开口向_____,对称轴是________,顶点坐标是_______. 9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是2,3,且过点3,1,则a =___,b =___,c =______. 10. 函数y x x =---123522图象沿y 轴向下平移2个单位,再沿x 轴向右平移3个单位,得到函数________的图象. 三. 解答题.抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243,m 为非负整数,它的图象与x 轴交于A 和B,A 在原点左边,B 在原点右边. 1求这个抛物线解析式.2一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C,且S ABC ∆=10,求一次函数解析式.◆强化训练 一、填空题1．右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像,•观察图像写出y 2≥y 1时,x 的取值范围_______．2．已知抛物线y=a 2+bx+c 经过点A －2,7,B6,7,C3,－8,•则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点m,0,则m 的值为______． 4．若二次函数y=x 2－4x+c 的图像与x 轴没有交点,其中c 为整数,•则c=_______只要求写出一个．5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点1,2与－1,4,则a+c•的值是______．6．甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离sm 与其距地面高度hm 之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如下左图所示,•已知球网AB 距原点5m,乙用线段CD 表示扣球的最大高度为94m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m•的取值范围是______．7．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为______．8．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,•房子的价格y 元/m 2随楼层数x 楼的变化而变化x=1,2,3,4,5,6,7,8,已知点x,y•都在一个二次函数的图像上如上右图,则6楼房子的价格为_____元/m 2． 二、选择题9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是A ．a<0B ．abc>0C ．a+b+c<0D ．b 2－4ac>0第9题 第12题 第15题10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过点A1,2,B3,2,C5,7．若点M －2,y 1,N －1,y 2,K8,y 3也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是 A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 211．抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是x=2,且经过点P3,0,则a+b+c的值为A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示,抛物线的函数表达式是A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2,平移方法是A．向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位,再向上平移3个单位C．向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位,再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3,当x=－1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是,0 B．1,0 C．2,0 D．3,0A．1216．在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2m是常数,•且m≠0的图像可能是三、解答题17．如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+ta>0交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为－1,0．1求抛物线的对称轴及点A的坐标；2过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP•是什么四边形并证明你的结论；3连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式．18．如图所示,m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n．1求这个抛物线的解析式；2设1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD 的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出点P的坐标．19．某地计划开凿一条单向行驶从正中通过的隧道,•其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车．按规定,•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,•建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC．20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．1求抛物线的对称轴；2平行于x轴的直线L的解析式为y=254,抛物线与x轴交于A,B两点．•在抛物线的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．如图5－76所示,二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x•轴交于A,B两点,其中A点坐标为－1,0,点C0,5,D1,8在抛物线上,M为抛物线的顶点．1求抛物线的解析式；2求△MCB的面积．22．如图所示,过y轴上一点A0,1作AC平行于x轴,交抛物线y=x2x≥0于点B,交抛物线y=12x2x≥0于点C；过点C作CD平行于y轴,交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴,交抛物线y=14x2于点E．1求AB：BC；2判断O,B,E三点是否在同一直线上如果在,写出直线解析式；如果不在,请说明理由．。
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大； 当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数 的图象如图： ，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题 第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】 ，； 【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2． 即所求关系式为S=-x 2+x+2． （2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。
北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。
2.y=ax^2+c的性质：上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。
性质：当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。
当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。
3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
4.y=a(x-h)^2+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。
性质：当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。
当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。
三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下：保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。
