第二章 压力容器应力分析2.4讲解
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2、压力容器应力分析
线与平行圆走同一个圆；
r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
24
b. 球形壳体
压力容器应力分析
任一点M：p=ρgR(1-cosφ)
注：充满液体
25
经推导得：
gR 2
6t
(1 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 6 cos 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 2 cos2 ) 1 cos
t
gx
, 则
(0 gx)R
t
注：容器上方是封闭的
23
p0
t
R
σφ
σφ
径向朝外的p0相互抵消，产生σθ而与σφ无关，朝下的p0由筒底承担， 筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与σφ相平衡：
2πRtσφ=πR2p0
则
p0R 2t
若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，σφ=0
薄壁圆筒 厚壁圆筒
Do/Di≤1.1 Do/Di>1.1
压力容器应力分析 t——壳体厚度 R——中间面曲率半径
Do——圆筒外径 Di——圆筒内径
3
2.1.1 薄壁圆筒的应力
压力容器应力分析
σφ ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr— —径向应力，很小、忽略
4
压力容器应力分析
r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
24
b. 球形壳体
压力容器应力分析
任一点M：p=ρgR(1-cosφ)
注：充满液体
25
经推导得：
gR 2
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(1 2 cos2 ) 1 cos
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, 则
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t
注：容器上方是封闭的
23
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σφ
σφ
径向朝外的p0相互抵消，产生σθ而与σφ无关，朝下的p0由筒底承担， 筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与σφ相平衡：
2πRtσφ=πR2p0
则
p0R 2t
若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，σφ=0
薄壁圆筒 厚壁圆筒
Do/Di≤1.1 Do/Di>1.1
压力容器应力分析 t——壳体厚度 R——中间面曲率半径
Do——圆筒外径 Di——圆筒内径
3
2.1.1 薄壁圆筒的应力
压力容器应力分析
σφ ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr— —径向应力，很小、忽略
4
压力容器应力分析
第2章 压力容器应力分析
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
图2-12 组合壳
图2-13 连接边缘的变形
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
w1 w2
1 2
Q M 0 w1p w1 0 w1M 0 w2p wQ2 w2 0 Q M 1p 1Q 1M 2p 2 2
图2-11 储存液体的球壳
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.4 无力矩理论的应用
三、无力矩理论的 应用条件 为保证回转薄壳处于薄膜状态，壳体形状、 加载方式及支承一般应满足如下条件： 1、几何形状、载荷、材料连续； 2、壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭 矩作用。 3、壳体的边界处的约束沿经线的切线方向， 不得限制边界处的扭角与挠度。
第2章 压力容器应力分析
第2.2节
回转薄壳应力分析
过程设备设计
第2-2节 回转薄壳应力分析
压力容器的各种壳体，多属于回转薄壳。 壳体—以两个曲面为界，且曲面之间的距 离远比其他方向尺寸小得多的构件。 壳体的厚度—两曲面之间的距离，用“t或 δ”表示。 壳体的中面—与壳体内、外两个曲面等距 离的曲面。
过程设备设计
第2章
压力容器应力分析
第2章 压力容器应力分析
第2.1节 载荷分析
过程设备设计
第2-1节 载荷分析
载荷：能够在压力容器上产生应力、 应变的 因素，如：压力、风载荷、地震载荷等。 2.1.1 载荷分类：压力载荷和非压力载荷。 1、压力载荷：它是压力容器承受的基本载荷。 一般采用表压。 压力容器中的压力载荷主要来源有： ①泵或压缩机； ②液体膨胀或汽化； ③饱和蒸汽压。 (另外，液体重量产生液体静压力) 压力容器上的压力，可能是内压、外压或两 者都有。
压力容器应力分析
εθ = [σθ − µ(σr +σz )]
dεθ 1+µ = (σr −σθ )L< 4 > dr rE dεθ 1 dσθ dσr = ( −µ )L<5 > dr E dr dr
1 E
d2σr dσ 综合<1>～<5>式求得 r ⋅ 2 +3 r = 0 dr dr B B σr = A− 2 σθ = A+ 2 解得 r r
∴
p
d1 l dl 又 R= 1 Q1 dϕ
δ
=
σϕ
2
sin
ϕ ⋅d +
σθ
d2 l
2
=
2
⋅d θ
dl2 R2 = dθ
∴
σϕ
R 1
+
σθ
R 2
=
δ
p
微元平衡方程
4.薄膜理论的应用 4.薄膜理论的应用
c = 2 σϕ = 两个基本方程： 两个基本方程： 区域平衡方程 2 ⋅sin ϕ 2 δ δ
pr
A点 点
R1=∞ R2=R
R1=R2=R
R1=∞ R2=R／cosα
2.两个基本假设 2.两个基本假设
直法线假设： 直法线假设：壳体在变形前垂直于中间面的直线段， 在变形后仍保持直线并垂直于变形后的中间面，且 直线长度不变。由此假设，沿厚度各点的法向位移 相同，变形前后壳体厚度不变。 。 互不挤压假设： 互不挤压假设：壳体各层纤维变形后均互不挤压， 由此假设壳壁的法向应力与壳体其它应力分量相比 是可以忽略的小量。
承受均匀压力的厚壁圆筒弹性应力分布
仅受内压时应力分布规律： （1）σz σθ 为正， σr 为负
压力容器应力分析
载荷
2.1.1 载荷
压力（包括内压、外压和液体静压力）
非压力载荷 载荷
重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力
整体载荷 局部载荷
压力容器
应力、应变的变化
上述载荷中，有的是大小和/或方向随时间变化的交 变载荷，有的是大小和方向基本上不随时间变化的静载荷
压力容器交变载荷的典型实例：
分析载荷作用下压力容器的应力和变形， 是压力容器设计的重要理论基础。
●2.1 载荷分析
2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工 况
●2.2 回转薄壳应力分析
●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析 ●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力
2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
a.正常操作工况：
容器正常操作时的载荷包括：设计压力、液体静压力、重力 载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管 系及支承在容器上的其他设备重量)、风载荷和地震载荷及 其他操作时容器所承受的载荷。
b. 特殊载荷工况
特殊载荷工况包括压力试验、开停工及检修等工况。 制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试 验压力、容器自身的重量。
有力矩理论或 弯曲理论 （静不定）
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。 因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小， 其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可 以代表薄壳的应力和变形。
二、无力矩理论与有力矩理论 平行圆
j
j
jq
Nq
q
qj
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
压力容器应力分析
第二章压力容器应力分析Str ess Analy si s o f Pr essur e V essel s容器设计的核心问题是研究容器在各种机械载荷与热载荷作用下，有效地限制变形和抵抗破坏的能力。
因此，容器设计的理论基础就是对容器进行充分的应力和变形分析。
2．1载荷分析L oadin g An aly si s2.1.1 载荷 L oadin g（１）压力是压力容器承受的基本载荷（２）非压力载荷分整体载荷与局部载荷：整体载荷是作用于整台容器上的载荷，重力，风，地震，局部载荷是作用与容器局部区域上的载荷，管系载荷，支座反力，吊装力等．［１］重力载荷 Gravi ty［２］风载荷 Wi ndi ng［３］地震载荷 Earth qu ake［４］运输载荷 Tran sport［５］波动载荷 Un dul ate［６］管系载荷 pi pi ng（３）交变载荷2.1.2载荷工况 L oa d State(1) 正常操作工况(2) 特殊载荷工况压力试验 ,开停车及检修(3) 意外载荷工况突然停车,化学爆炸,2.2回转薄壳应力分析 Stress Analysis of Revolution Shells壳体：一种以两个曲面为界，且曲面之间距离远比其它方向尺寸小得多的构件。
壳体的中面：与壳体两曲面等距离的点所组成的曲面。
回转壳：其中面由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成的壳体。
壳体的厚度：二曲面之间的距离。
薄壳：厚度t/中面曲半径R 的比值101≤为薄壳，反之为厚壳。
在薄壳应力分析中，采用弹性力学薄壳理论。
几个假设：材料连续、均匀、各向同性，小变形，各层间不挤压。
受载后的变形是小变形： 壳壁各层纤维在变形后互不挤压：2.2.1薄壁圆筒的应力 Stress in Thin －ｗalled Cylinders薄壁圆筒在内压P 作用下，产生三个方向的应力 轴向应力Φσ, 周向应力θσ, 径向应力r σ 故任一点的应力状态为二向的..求解θσσ,Φ: 采用材料力学中，“截面法”保留右边，如下图（a ）根据力的平衡：内P 作用在封头上产生向右的轴向外力 24DiP π⋅在筒壁上向左的轴向内力为 Φ⋅⋅σπDt 对薄壳：D Di ≈ 故Φ=⋅σππDt DP 24得：tPD 4=Φσ取1单位长圆环，过y 轴，作上χ轴的平面，将圆环截成两半，取右半如上图（b ）。
第二章压力容器应力分析24
dw ?
dr
?
dd2rw2 ????
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M? 表
示成 ? 的形式。由式（2-57）可见，? r 和? ? 沿着厚度（即
?
dw ??
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
?r
?
?
z
d2 dr
w
2
??
?
?
z dw r dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
?r
?
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d?
r
r+dr
r
d?
o y
z
d?
Qr+
dQr dr
dr
P M?
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M?
t
Qr dr
c.
P M?
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
压力容器应力分析_壳体的稳定性分析
2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述2.4.1 概述（1）失稳现象（Buckling or Instability） 在工程应用中，某些结构是在承受压力的情况下工 作的。
例如，用于石油炼制的常减压塔、带夹套的反 应器、潜水艇等。
通常，结构承受压力时，其破坏形 式将有别于拉力时的强度破坏。
以圆筒形容器为例， 进行分析。
2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述圆筒在外压作用下，可能会有二种可能的失效形式： ① 因强度不足，导致压缩屈服失效；② 因刚度不 足，导致失稳破坏。
圆筒失稳破坏：承受外压的圆筒，当外压载荷增大到 某一值时，圆筒会突然失去原有的形状，被压瘪或出 现波纹，圆筒失去承载能力。
这种现象成为外压圆筒 的屈曲（Buckling）或失稳（Instability）。
实际上，当结构出现失稳后，最终导致结构破坏 的原因，是由于结构失稳变形后产生的附加弯矩。
下 面以杆件的失稳破坏过程进行说明。
2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述2.4 壳体的稳定性分析（2）外压圆筒受载形式2.4.1 概述圆筒承受外载的形式，有以下三种：理论分析表明，在相同外载时，轴向外压对圆筒 壳体失稳的影响，要小于横向外压的影响。
本节主要 讨论横向受载失稳。
2.4 壳体的稳定性分析（3）外压圆筒失稳类型2.4.1 概述外压圆筒失稳类型有以下二种 ① 弹性失稳：圆筒为薄壁时，发生失稳时筒壁中的压 应力小于材料的屈服极限，即此时筒体的受力变形为 弹性阶段。
② 非弹性失稳：对于壁较厚的筒体，有可能在筒壁中 的应力应变进入塑性阶段后出现失稳，即此时筒体中 的压应力超过了材料的屈服点。
在本节的分析中，主要讨论弹性失稳计算。
而对 于非弹性失稳，则借助弹性失稳的结果，采用简化计 算方法。
2.4 壳体的稳定性分析（4）外压圆筒失稳形貌2.4.1 概述圆筒承受横向外载后的失稳形貌2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述水下圆筒管节承受横向外载后的失稳形状2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述水下圆锥形过渡管节承受横向外载后的失稳形状2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述2.4 壳体的稳定性分析2.4.1 概述轴向外压圆筒的失稳形状（试验照片和计算结果）周向外压圆筒失稳后，其横截面形状如下表所示。
2 压力容器应力分析
无力矩理论或 薄膜理论（静定）
有力矩理论或 弯曲理论 （静不定）
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。
因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力 不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应 力和变形。
11
第十一页，编辑于星期二：二点 四十二分。
2.1 载荷分析
三、交变载荷
2.1.1 载荷（续）
载荷
过程设备设计
交变载荷
定义——
大小和/或方向随 时间变化
静载荷
定义—— 大小和方向基本上
不随时间变化
12
第十二页，编辑于星期二：二点 四十二分。
2.1 载荷分析
三、交变载荷（续）
2.1.1 载荷（续）
压力载荷
非压力载荷
交变载荷
2
第二页，编辑于星期二：二点 四十二分。
2.1 载荷分析
一、压力
2.1.1 载荷（续）
压内压 外压 内、外压
绝对压力
●以绝对真空为基 准测得的压力。
●通常用于过程 工艺计算。
表压
●以大气压为基准测 得的压力。
●压力容器机械设 计中，一般采用表 压。
厚壳： t / R＞1/10 。
薄壁圆柱壳或薄壁圆筒：外直径与内直径的比值 Do/Di ≤1.1~1 .2 。
厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di ＞1 .2 。 轴对称问题:
22
第二十二页，编辑于星期二：二点 四十二分。
2.2 回转薄壳应力分析
2.2 回转薄壳应力分析
推导思路
特殊壳体（薄壁圆筒）
典型实例
过程设备设计
●间歇生产的压力容器的重复加压、减压； ●由往复式压缩机或泵引起的压力波动； ●生产过程中，因温度变化导致管系热膨胀或收缩，从而
2压力容器应力分析
2.2.1 薄壁圆筒的应力
A t
B 点 受力 分析
A
Di
Di D Do
图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力 B点
轴向：经向应力或轴向应力σ
φ θ
内压P
圆周的切线方向：周向应力或环向应力σ 壁厚方向：径向应力σ r
σ
三向应力状态
θ 、 φ
σ >>σ r
二向应力状态
θ
因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σ φ 和σ
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ
STRESS ANALYSIS OF
PRESSURE VESSELS
河北科技大学装控系
1
压力容器受到介质压力、支座反力等 多种载荷的作用。 确定全寿命周期内压力容器所受的各种 载荷，是正确设计压力容器的前提。 分析载荷作用下压力容器的应力和变形， 是压力容器设计的重要理论基础。
p R1 R2 t
（2-3）
■ 微元平衡方程，又称拉普拉斯方程。
三、区域平衡方程（图2-6）
图2-6 部分容器静力平衡
环带所受压力在0-0′轴方向的分量：
d V 2 r p d l c o s
压力在0-0′轴方向产生的合力：
r m 0
dr cos dl
V 2 prdr
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.4 无力矩理论的应用
◇ 分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 球形壳体 承受气体内压的回转薄壳 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体 圆筒形壳体 储存液体的回转薄壳
球形壳体
2.2.4 无力矩理论的应用
一、承受气体内压的回转薄壳
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Mr
过程设备设计
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr+
dMr dr
dr
切线T的力矩代数和为零， o
即Σ MbT=.0
Qr
M
(d)
T
图2-29 圆平板d对.称弯曲时的
内力分量及微元体受力
M
r
dM r dr
drr又 drsdindMr rd d2M dr sin
d
2
Qr rddr
微元体外力
z
上表面 r
Qr+
dQr dr
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
P=pzrdθdr
Mr M
t
d
Qr dr
o
z
y
图2-29
圆平c板(.c)对称弯曲时的 12
内力分量及微元体受力
r+dr
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（R 1）平衡方d程
r
微体内力与外力对圆柱面
y z
d
c.
P M
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d
r
r d
o y
z
d
Qr+
dQr dr
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
7
2.4.1 概述
过程设备设计
弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff
① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线ωw的挠度 。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程 根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
r
E
1 2Leabharlann pz rddrdr 2
0
22
Mr
dMr dr
r
M
Qrr
0
（2-54）
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程 13
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（2）几何方程
W~ε
取 AB dr
径向截面上与
a.
中面相距为z，
半径为 r 与 r dr
两点A与B构成的微段
图2－30 圆平板对称弯曲的变形b关. 系
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M
t
Qr dr
c.
P M
Qr+
dQr dr
dr
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Mr
Mr+
dMr dr
dr
r+dr
o
Qr
M
T
b.
d.
图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力 9
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ 、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ 、Qr 三个内力分量
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M 表
示成 的形式。由式（2-57）可见， r 和 沿着厚度（即
第二章 压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.4 平板应力分析
1
2.4 平板应力分析
主要内容
过程设备设计
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2
R
d
r
r+dr
b.(b)
图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体1受1 力
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程
微元体内力
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ
(单位长度) (单位长度)
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr (单位长度)
r
E
1 2
r
（2-56）
16
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式：
r
Ez
1 2
d 2w dr 2
r
dw dr
1
Ez
2
1 r
dw dr
d 2w dr 2
（2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷）
载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
过程设备设计
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力， 且产生弯扭变形
6
2.4.1 概述
过程设备设计
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多
轴对称性
几何对称，载荷对称，约束对称，
在r、θ 、z 圆柱坐标系中
w 挠度 只是 r 的函数，而与θ 无关。
10
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
a.
过程设备设计
挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程
微元体：
用半径为r和r+dr的 两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2 －29（a）、（b）
反应器触媒床支承板等。
4
2.4.1 概述
（1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面
几何特征 厚度小于其它 方向的尺寸
过程设备设计
厚板与薄板 分类
大挠度板和小挠度板
图2-27 平板载荷和扰度关系曲线
t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
o
x
yz
图2-28 薄板
5
2.4.1 概述
2.4 平板应力分析
2.4 平板应力分析
过程设备设计
教学重点： （1）圆平板对称弯曲微分方程； （2）承受均布载荷时圆平板中的应力。
教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。
3
2.4.1 概述
应用
2.4.1 概述
过程设备设计
平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
过程设备设计
r dr
m
m1
zA
B
r
z
n n1
d
wm zA
m1 B
n n1
r dw
z
+d
14
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
板变形后： 微段的径向应变为
r
z
d
dr
z
z
d
dr
过A点的周向应变为
2 r z 2r
2r
z
r
作为小挠度 dw
过程设备设计
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr+
dMr dr
dr
切线T的力矩代数和为零， o
即Σ MbT=.0
Qr
M
(d)
T
图2-29 圆平板d对.称弯曲时的
内力分量及微元体受力
M
r
dM r dr
drr又 drsdindMr rd d2M dr sin
d
2
Qr rddr
微元体外力
z
上表面 r
Qr+
dQr dr
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
P=pzrdθdr
Mr M
t
d
Qr dr
o
z
y
图2-29
圆平c板(.c)对称弯曲时的 12
内力分量及微元体受力
r+dr
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（R 1）平衡方d程
r
微体内力与外力对圆柱面
y z
d
c.
P M
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d
r
r d
o y
z
d
Qr+
dQr dr
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
7
2.4.1 概述
过程设备设计
弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff
① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线ωw的挠度 。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程 根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
r
E
1 2Leabharlann pz rddrdr 2
0
22
Mr
dMr dr
r
M
Qrr
0
（2-54）
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程 13
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（2）几何方程
W~ε
取 AB dr
径向截面上与
a.
中面相距为z，
半径为 r 与 r dr
两点A与B构成的微段
图2－30 圆平板对称弯曲的变形b关. 系
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M
t
Qr dr
c.
P M
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
dMr dr
dr
r+dr
o
Qr
M
T
b.
d.
图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力 9
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ 、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ 、Qr 三个内力分量
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M 表
示成 的形式。由式（2-57）可见， r 和 沿着厚度（即
第二章 压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.4 平板应力分析
1
2.4 平板应力分析
主要内容
过程设备设计
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2
R
d
r
r+dr
b.(b)
图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体1受1 力
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程
微元体内力
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ
(单位长度) (单位长度)
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr (单位长度)
r
E
1 2
r
（2-56）
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2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式：
r
Ez
1 2
d 2w dr 2
r
dw dr
1
Ez
2
1 r
dw dr
d 2w dr 2
（2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷）
载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
过程设备设计
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力， 且产生弯扭变形
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2.4.1 概述
过程设备设计
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多
轴对称性
几何对称，载荷对称，约束对称，
在r、θ 、z 圆柱坐标系中
w 挠度 只是 r 的函数，而与θ 无关。
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2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
a.
过程设备设计
挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程
微元体：
用半径为r和r+dr的 两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2 －29（a）、（b）
反应器触媒床支承板等。
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2.4.1 概述
（1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面
几何特征 厚度小于其它 方向的尺寸
过程设备设计
厚板与薄板 分类
大挠度板和小挠度板
图2-27 平板载荷和扰度关系曲线
t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
o
x
yz
图2-28 薄板
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2.4.1 概述
2.4 平板应力分析
2.4 平板应力分析
过程设备设计
教学重点： （1）圆平板对称弯曲微分方程； （2）承受均布载荷时圆平板中的应力。
教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。
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2.4.1 概述
应用
2.4.1 概述
过程设备设计
平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
过程设备设计
r dr
m
m1
zA
B
r
z
n n1
d
wm zA
m1 B
n n1
r dw
z
+d
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2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
板变形后： 微段的径向应变为
r
z
d
dr
z
z
d
dr
过A点的周向应变为
2 r z 2r
2r
z
r
作为小挠度 dw