2019-2020学年湖北省石首市第一中学高一下学期摸底考试数学试题(解析版)

2019-2020年高一下学期摸底考试数学试题含答案一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求．）1.已知全集，集合，则为（）A． B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A．B．C．D．3．化简的结果是（）4．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为（）A. B. C. D.5．过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．6．若函数在上为单调递减函数，则的取值范围是（）A． B. C．D．7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④8．函数的值域（）A.[-3，0）B.[-4,0)C.(-3,0]D.(-4,0]9．若函数，则=（）A.lg101B.2C.1D.010．设直线过点，且与圆相切，则直线的斜率是（）A．B．C．D．11．函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.12．函数的图象可能是（）数学第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或中性笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目填写好.二、填空题：（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案写在答题纸上）13．函数所过定点是 .14．函数的定义域 .15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 .16．圆内有一点Ｐ（－１，２），ＡＢ为过点Ｐ且被点Ｐ平分的弦，则ＡＢ所在的直线方程为 .三、解答题：（本题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内）17. （本小题满分12分）已知直线经过点，其倾斜角是.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成三角形的面积．18. （本小题满分12分）已知函数在实数集中满足：，且在定义域内是减函数. 求（Ⅰ）的值；（Ⅱ）若,试确定的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，点是的中点. 求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面. A1C1 B1 ABCD20. （本小题满分12分）已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为.求圆的方程.21. （本小题满分12分）某桶装水经营部每天的的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？22．（本小题满分14分）已知是上的奇函数，当时，解析式为．（Ⅰ）求在上的解析式；（Ⅱ）用定义证明在上为减函数．高一数学答案一．选择题C C C A AD A B B C B D二.填空题13．14. 15. 16.三.解答题17. 因为直线的倾斜角的大小为,故其斜率为tan 60°＝，…………3分又直线经过点，所以其方程为x－y－2＝0 …………………6分由直线的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，－2，……………9分所以直线与两坐标轴围成三角形的面积S＝··2＝．…………12分18.解：∵∴……………………3分∴………………………………………5分∵且∴……………………………………8分∵在上是减函数∴……………………………………11分∴………………………………12分19.证明：在直三棱柱中，平面，所以，，……………………………2分又，，A1C1 B1 ABCDO所以，平面，……………………………4分又所以，. ……………………………………6分设与的交点为，连结，为平行四边形，所以为中点，………………8分又是的中点，所以是三角形的中位线，，…………10分又因为平面，平面，所以平面.…………12分20.解：圆心在直线上，设圆心为…………………………2分又圆和轴相切半径…………………………………………4分又被直线截得的弦长为……………………………………………6分又………………………………………8分………………………………………………10分圆的方程为…………………………12分21.解：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶. ………………2分设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量为480-40（x-1）=520-40x桶. ………………4分由于x>0，且520-40>0,即0<X<13, ………………6分于是可得：=，0<X<13………………8分易知当x=6.5时，y 有最大值. ………………10分所以只需将销售单价定位11.5元，就可获得最大的利润. ………………12分22．解:设则………………………………………2分又 是上的奇函数……………………………………4分又奇函数在0点有意义…………………………5分函数的解析式为()23,010,023,01x x x f x x x x x -+⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪+⎪>⎪+⎩……………………7分设且 …………………………8分则()()()()()()()()12211212122312311111x x x x x x x x x x ++-++=++-+=++ …………9分…………………………………12分函数在上为减函数．…………………………14分注：如果把解析式化简为 则更简单。

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，月用电量在，的用户有（户，月平均用电量在，的用户有（户，抽取比例为：，月平均用电量在，的用户中应该抽取：（户．【点睛】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱的中点.，.（1）求证：；（2）若是的中点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.（2）通过构造面面平行的方法来证得平面.【详解】（1）因为，，所以三角形是等边三角形，由于是的中点，所以.因为平面平面且两个平面的交线为，所以平面，又平面，所以.（2）取中点，连结，.因为是的中点，是的中点，所以在中，，由于平面，平面，所以平面.又在三棱柱中，所以，即，且.所以四边形平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.因为，所以平面平面，又平面.所以平面.【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21. 在平面四边形中，已知，.（1）若，求；（2）求.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】(1)在中，利用余弦定理求出，进而在中求出；(2)在和中分别使用余弦定理表示，联立方程组可得出的值．【详解】(1)在中，，，，，得，所以，，；(2)在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，得，所以为定值1.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题．22. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中，，均为正方形，且，.其中，为加强支撑管.（1）若时，求到地面距离；（2）若记，求支撑管最长为多少？【答案】（1）米；（2）3米.【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算可得到的距离，即可求解；（2）在中，分别应用余弦定理和正弦定理，以及辅助角公式和正弦函数的值域，即可求得其最大值，得到答案.【详解】（1）当时，，点离的距离，所以点离地面的距离为米；（2）在中，由于，利用余弦定理得，所以，设，在中，利用余弦定理得，所以，①在中，由正弦定理得，所以，②②代入①式得，其中，所以当时，最大，最大值为，所以加强钢管最长为3米.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，。

2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C【解析】求出A 的补集，根据()U C A B ≠∅，求出a 的范围即可．【详解】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<， 若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ． 【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题．2．已知复数z 满足()14i z +=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出复数z ，再求出z 【详解】 因为()()()41422111i z i i i i -===-++-，所以(22z i -，所以复数z ()22-所在的象限为第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知1sin()3πα+=，则3sin(2)2πα+=（ ）A ．79-B ．79C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式及倍角公式变形求解即可． 【详解】解：1sin()sin 3παα+=-=，则1sin 3α=-， 2327sin(2)cos 22sin 11299πααα∴+=-=-=-=-．故选：A ． 【点睛】本题考查诱导公式及倍角公式的应用计算，是基础题．4．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y R ∈，且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【解析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】①()1f x x -=只满足值域是{y y R ∈，且}0y ≠；③()3f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；④()13f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；②()2f x x -=是偶函数，在(),0-∞上是增函数，但其值域是{}0yy >.故选：B. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题. 5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率. 【详解】分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6．设锐角ABC 的三个内角分别为角A 、B 、C ，那么“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由诱导公式推导出“2A B π+>” ⇔ “sin cos B A >”，从而“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件． 【详解】解：设锐角ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ， “2A B π+>” ⇒ “2B A π>-” ⇒ “sin sin 2B A π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ ”⇒“sin cos B A >”，“sin cos B A > ”⇒ “sin sin()2B A π>- ”⇒ “2B A π>- ”⇒“2A B π+>”， ∴ “2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7．根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．猕猴桃的极差为32 B．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数C．猕猴桃的方差小于柚子的方差D．柚子的中位数为121【答案】C【解析】根据所给数据求出极差即可判断A，分别求出猕猴桃和柚子的平均数，比较即可判断B，分别求出其方差判断C，结合数据求出柚子的中位数判断D即可．【详解】解：对于A，猕猴桃的极差为：13410232-=，故A正确；对于B，猕猴桃的平均数是1(104102113121122134)1166x=+++++=，柚子的平均数是1(113114121121131132)1226y=+++++=，故B正确；对于C，猕猴桃的方差是：2111 (19614492536324)122 63s=+++++=，柚子的方差是：221(81641181100)54.67 6s=+++++=，故猕猴桃的方差大于柚子的方差，故C错误；对于D，柚子的中位数是121，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查了极差，方差，中位数，平均数问题，属于基础题． 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．42()3ab a b ab >+> B ．42()3ab a b ab <+< C ．23()4ab a b ab <+< D ．23()4ab a b ab >+>【答案】B【解析】由对数的换底公式可以得出113,22a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b +的不等关系. 【详解】因为0.1log 2a =，30log 2b =， 所以0ab <，222113log 0.1log 30log 3,22a b ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭所以31122a b<+<，所以()423ab a b ab <+<，所以选B. 【点睛】本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题. 9．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）A ．BCD 【答案】B【解析】设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则由题设条件可得,x y 的关系为()()()()12120x x y y --+--=即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求2c x =+最大值. 【详解】因为a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故可设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =， 则()1,a c x y -=--，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-=，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2c x y =+， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积以及向量模长的计算，注意根据问题的特点将向量问题坐标化，从而降低问题的思维难度和计算难度，本题属于中档题.10．在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的体积是（ ）A ．B ．60πC ．D ．48π【答案】A【解析】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，根据线面垂直的判定定理，证明AC ⊥平面BSP ，推出SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，根据题中数据求出半径，再由球的体积公式，即可求出结果. 【详解】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，因为在正三棱锥S ABC -中，底面为正三角形，各棱长都相等， 记AB AC BC ==，SA SB SC ==， 所以BP AC ⊥，SP AC ⊥， 又SPBP P =，BP ⊂平面BSP ，SP ⊂平面BSP ，所以AC ⊥平面BSP ， 因此AC SB ⊥，因为AM MN ⊥，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点， 所以AM SB ⊥， 又AMAC A =，AM ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ， 因此SB SC ⊥，SB SA ⊥，又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以SA SC ⊥，即SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，又25SA =，所以2222202020215R SA SB SC =++=++=，即15R =， 因此，正三棱锥S ABC -外接球的体积是3420153V R ππ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及几何体结构特征即可，属于常考题型.11．设点D 为ABC 的边AB 上一点，点P 为ABC 内一点，且分别满足关系212AD AB λλ+=+，1AP AD BC λλ=++，0λ>，则APD ABCS S 的最大值为（ ）A ．2B ．24C ．22D ．23【答案】B【解析】根据向量关系得到:1DP BC λλ=+，212AD AB λλ+=+，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】1AP AD BC λλ=++，1DP BC λλ∴=+，所以:1DP BC λλ=+，又212AD AB λλ+=+， 所以ADP △的高：ABC 的高21:2AD AB λλ+==+，22112122APD ABCS Sλλλλλλλλ+∴=⨯==++++，0λ>，222λλ∴+≥，当且仅当2λ=.∴当2λ=APD ABCS S取得最大值2. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题. 12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654-B ．65-C ．1314-D ．1312-【答案】C【解析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5x f f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果． 【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数，1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题．二、填空题13．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是__________． 【答案】(π2)rad -【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长l ，根据题意2R l R π+=，解得2lRπ=-，而圆心角2lRαπ==-.故答案填2π-. 【考点】扇形的弧长、圆心角．14．E F 、分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，10,6PC AB ==，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为_____.【答案】60︒【解析】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，通过余弦定理即可容易求得. 【详解】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，如下图所示：因为,,E M F 分别为,,PA AC BC 中点， 故可得EM //PC ，MF //AB ，故可得EMF ∠即为AB 与PC 所成的角或其补角.在EMF 中，222122EM MF EF cos EMF EM MF +-∠==-⨯.故120EMF ∠=︒，故AB 与PC 所成的角为60︒. 故答案为：60︒. 【点睛】将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题. 15．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 【答案】23【解析】求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可． 【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 【答案】6【解析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值． 【详解】 解：a b >，A B ∴>，31cos()32A B-=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴=，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B∴=-+=---⨯-=，可得sin A =，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯+=，∴由余弦定理可得6c =．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．三、解答题17．已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由存在实数x ∈R ，使210x ax -+成立得0∆，得实数a 的取值范围；（2）由对勾函数单调性得1522x x+，得54a ，由已知得p 假q 假，两范围的补集取交集即可． 【详解】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos23cos 10C C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若3b a =，ABC sin A B ，求c 的值.【答案】（1）13C π=；（2）c =. 【解析】（1）由已知结合二倍角公式可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合余弦定理可得a ，c 的关系，然后结合正弦定理可求sin A ，sin B ，结合已知及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）cos23cos 10C C +-=，22cos 3cos 20C C ∴+-=，解得，1cos 2C =或cos 2C =-（舍）而()0,C π∈所以13C π=.（2）因为3b a =，由余弦定理可得，2219223a a ca a +-⋅⋅=，整理可得，c =.由正弦定理可得，sin sin c aC A=si n aA=，所以sin 14A =，sin sin 314B A ==，故ABC 128s 2in sin A ab B C ==，2132228a ⨯⨯=，所以217a =，73c a ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的综合应用，属于中档题．19．如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.4AB BC ==，2CD SD ==.（1）求证：SD AB ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，通过证明AB ⊥面SDE ，可得SD AB ⊥； （2）作SF DE ⊥，垂足为F ﹐求出点F 到平面的距离d ，则AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为dBE. 【详解】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，因为CD BE =且//CD BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又BC CD ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以AB DE ⊥，又三角形SAB 为等边三角形，所以AB SE ⊥，又SE DE E =，所以AB ⊥面SDE ，故SD AB ⊥.（2）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE ，作SF DE ⊥，垂足为F ﹐则SF ⊥平面ABCD ，所以SF BC ⊥，作FG BC ⊥，垂足为G ，连结SG ， 因为SFFG F =，则BC ⊥平面SFG ，所以平面SBC ⊥平面SFG ，作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ， 因为三角形SAB 为等边三角形，4AB =，所以3342322SE AB === 因为2,4SD DE ==，所以222SD SE DE +=，所以SD SE ⊥， 所以2233SD SF DE SE ⨯===⨯ 因为2FG DC ==，所以22347SG SF FG =++= 所以322177SF FH SG FG ==⨯=， 即F 到平面SBC 的距离为217，由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为2217， 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则221217sin 27d EB α===.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定与性质，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了求直线与平面所成角，属于中档题.20．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示： 年份序号x12 3 4 5 维修费用y （万元） 1.1 1.622.52.8（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+. （2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.430.71y x =+；（2）预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【解析】（1）根据最小二乘法，先求回归直线的中心，再代入公式求斜率和截距；（2）利用回归直线解不等式，即可得答案； 【详解】 （1）由题可得()11234535x =⨯++++=，()1 1.1 1.62 2.5 2.825y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以，1222134.35320.435553ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，20.4330.71a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.430.71y x =+. （2）由题329280.430.714784343x x x ⇒>=⇒+≥>，所以预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解、及回归直线方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题.21．某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率. 【答案】（1）中位数为73.9；（2）914. 【解析】（1）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；（2）由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】解：（1）根据频率分布直方图，所以10.040.10.120.560.01810y ----==由()0.010.018100.28+⨯=，()0.010.0180.056100.840.5++⨯=> 所以中位数位于[)70,80内， 所以中位数为0.50.28701073.90.56-+⨯=；（2）由茎叶图知，A 等级的学生有3人，D 等级的学生有0.1505⨯=人， 记A 等级的学生为A 、B 、C ，D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h ， 从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh 共28个；至少有一名是A 等级的基本事件是：概率．AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 共18个；故所求的概率为1892814P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题．22．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析： 解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， ∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆=∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.。

数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列四个命题正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C. 共线的单位向量必相等 D. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【★答案★】B 【解析】 【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得★答案★． 【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题． 2.下列向量的运算结果为零向量的是（ ） A. BC AB +B. PM MN MP ++C. MP GM PQ QG +++D. BC CA AB CD +++【★答案★】C 【解析】 【分析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得★答案★. 【详解】对A ，BC AB AB BC AC +=+=； 对B ，PM MN MP PM MP MN MN ++=++=；对C ，()()0MP GM PQ QG GM MP PQ QG GP PG +++=+++=+=；对D ，()0BC CA AB CD AB BC CA CD CD CD +++=+++=+=. 综上所述，只有C 符合题意 故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握向量加法运算规律，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 3.函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2πC. πD.π2【★答案★】C 【解析】 由题意22T ππ==，故选C ． 【名师点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2.T πω=(3)由()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间.4.若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（ ） A. ()4,6 B. ()4,6-C. ()2,2--D. ()2,2【★答案★】A 【解析】 【分析】直接根据AC AB BC =+,将坐标代入运算即可得出结果. 【详解】解:()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=. 故选:A【点睛】本题是一道最基本的向量坐标运算题,直接按照运算法则计算即可,属于简单题. 5.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A.45B.35C. 35-D. 45-【★答案★】D 【解析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以4cos 5x r α==-.故选D. 考点：三角函数的概念.6.若4cos 5α=-，且α是第三象限角，则tan α=( ) A. 34-B. 43-C.34D.43【★答案★】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，结合角的范围，先求出正弦，即可求出正切. 【详解】因为4cos 5α=-，且α是第三象限角， 所以23sin 1cos 5αα=--=-， 所以sin 3tan cos 4ααα==. 故选：C .【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 7.13sin 6π的值为 ( ) A. 12-B.12C. 32-D.32【★答案★】B 【解析】 【分析】利用诱导公式可得所求之值. 【详解】131sinsin 2sin 6662ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.8.对于非零向量a ，b ，“20a b +=”是“//a b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】【详解】解：因为于非零向量a ，b ，当“20a b +=”时，//a b ，反之，//a b 时，可能3a b =，故“20a b +=”是“//a b ”的充分不必要条件，选A9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A. 91.5和91.5B. 91.5和92C. 91和91.5D. 92和92【★答案★】A 【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是87+89+90+91+92+93+94+968=91.510.“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（ ） A. 21 B. 32 C. 09 D. 20【★答案★】C 【解析】 【分析】【详解】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…..故第三个数据为09. 故★答案★为C ．11.2sin 1y x =-+的单调递减区间为（ ）A. π3(π,ππ),Z 22k k k ++∈ B. π3[π,2ππ],Z 22k k k ++∈ C. ππ[π,π],Z 22k k k -+∈D. ππ(2π,2π),Z 22k k k -+∈【★答案★】D 【解析】 【分析】结合复合函数单调性法则，利用三角函数的图象和性质即可得到结论． 【详解】因为2sin 1y x =-+，所以2sin 1y x =-+的单调递减区间为sin y x =的单调增区间， 由-2π+2k π≤x ≤2k π2π+，k ∈Z， 得函数2sin 1y x =-+的单调递减区间是()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，观察选项可知D 正确， 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，复合函数单调性法则，属于基础题目. 12.函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( ) A.B.C.D.【★答案★】D 【解析】 用排除法求解．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，故可排除A 、C ； 当x ＝32π时，y ＝－sin 32π＝1，故可排除B ． 选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.13.某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取 名学生． 【★答案★】40 【解析】【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40. 考点：本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比． 14.若sinα＜0 且ta nα＞0，则α是第 _________ 象限角． 【★答案★】第三象限角 【解析】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0， 可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0， 则α是第三象限角． 考点：三角函数值的象限符号.15.设sin 3x t =-，x ∈R ，求t 的取值范围________________ 【★答案★】24t ≤≤ 【解析】 【分析】由1sin 1x -≤≤建立关于t 的不等式，解不等式即可得解.【详解】因为1sin 1x -≤≤，所以131t -≤-≤，解之得：24t ≤≤.【点睛】本题考查三角函数的值域，考查计算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.16.已知(2,5)AB =和向量(1,)a y =，若向量//AB a ，则a 的纵坐标y =___________【★答案★】52【解析】 【分析】根据向量平行的条件建立关于y 的方程，求解即可.【详解】因为//AB a ，所以有：2510y ⨯-⨯=，解之得：52y =. 故★答案★为：52【点睛】本题考查向量平行充要条件的应用，考查计算能力，侧重基础知识的理解的掌握，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x ，后取的小球的标号为y ，这样构成有序实数对(),.x y （1）写出这个试验的所有结果；（2）求“第一次取出的小球上的标号为2”的概率.【★答案★】（1）()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3；（2）14. 【解析】 【分析】（1）先将第一个小球的可能情况x 列出，再针对每种情况x 列出第二个小球的可能情况y ，注意无放回地取出两个小球，然后写出结果即可；（2）“第一次取出的小球上的标号为2”的试验结果为3种，而这个试验的所有结果为12种，结合古典概型的定义计算概率即可.【详解】（1）当1x =时，2y =，3，4；当2x =时，1y =，3，4；当3x =时，1y =，2，4；当4x =时，1y =，2，3.因此，这个试验的所有结果是()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3；（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A ，则()()(){}2,12,32,4A =，，，而这个试验的所有结果为12种，则31()124P A ==. 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是熟练掌握列举法的应用，考查分析和计算能力，属于常考题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【★答案★】（1）0.3 （2）75%；71 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值． 【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3p =-+⨯++⨯=， 频率分布直方图第四小组的纵坐标是：0.30.0310=， 则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=， 所以，抽样学生成绩的合格率是75%， 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 123456455565758595p p p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.1550.15650.15750.3850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题． 19.求下列函数的最大值，并写出使函数取得最大值的自变量x 的集合. （1）11sin 2y x =+； （2）23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 【★答案★】（1）max 32y =，对应的自变量x 的集合为2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）max 174y =，对应的自变量x 的集合为32,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的有界性可得出当sin 1x =时，函数11sin 2y x =+取得最大值，由此可得出对应的自变量x 的集合；（2）根据二次函数的基本性质可得出当sin 1x =-时，函数23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值，由此可得出对应的自变量x 的集合.【详解】（1）1sin 1x -≤≤，所以，当sin 1x =时，函数11sin 2y x =+取得最大值max 32y =，此时，对应的自变量x 的集合为2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； （2）1sin 1x -≤≤，由二次函数的基本性质可知，当sin 1x =-时，函数23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值2max3171224y ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.此时，对应的自变量x 的集合为32,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查利用正弦函数的有界性求函数的最大值，同时也考查了二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 20.（1）化简：sin(2)tan()tan()cos()tan(3)πααπαππαπα-+----（2）求证：442sin cos 2sin 1ααα-=- 【★答案★】（1）2tan α；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角函数诱导公式、同角三角函数的商数关系化简即可得解； （2）由题意利用同角三角函数的平方关系即可证明左边等于右边，即可得证. 【详解】（1）原式()()2sin tan tan sin tan tan cos tan cos ααααααααα-⋅⋅-==⋅=-⋅-；（2）证明：左边()()222244sin cos sin cos sincos αααααα=-=+-()22222sin cos sin 1sin 2sin 1ααααα=-=--=-=右边.得证.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，考查了同角三角函数的平方关系、商数关系的应用，属于基础题.21.（1）已知(2,1)a =，(1,3)b =-，(3,5)c =，把,a b 作为一组基底，试用,a b 表示c . （2）在直角坐标系xoy 内，已知点A (-1，-1)，B (1，3)，C (2，5)，证明A 、B 、C 三点共线.【★答案★】（1）2c a b =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设c a b λμ=+，由平面向量基本定理可得2335λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解方程即可得解； （2）由题意用坐标表示平面向量()2,4AB =、()3,6AC =，进而可得23AB AC =，即可得证. 【详解】（1）设c a b λμ=+，(2,1)a =，(1,3)b =-，(3,5)c =，∴(3,5)(2,1)(1,3)λμ=+-，∴2335λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得21λμ=⎧⎨=-⎩， ∴2c a b =-；（2）点A (-1，-1)，B (1，3)，C (2，5)，∴()2,4AB =，()3,6AC =， ∴23AB AC =， ∴ A 、B 、C 三点共线.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，考查了用基底表示向量及用坐标解决三点共线问题，属于基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2019-2020年高一下学期第一次考试数学含答案注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.第Ⅰ卷(共50分)一:选择题（每小题5分，共5分）1: 圆x 2+y 2+4x-2y+4=0的点到直线y=x-1上的最近距离为（ ） (A) 2 2 (B) 2 –1 (C) 2 2 –1 (D) 12: 过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为（ ）A.40x y +-=B.30x y -=C.40x y +-=或30x y +=D.40x y +-=或30x y -=3:若过点P(-2,1)作圆(x-3)2+(y+1)2=r 2的切线有且仅有一条，则圆的半径r 为（ ） (A) 29 (B) 29 (C)小于 29 (D) 大于294:直线 y=33 x 绕原点按逆时针方向旋转π6后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ）（A ）直线过圆心 （B ） 直线与圆相交，但不过圆心 （C ）直线与圆相切 （D ） 直线与圆没有公共点 5:若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上，则y 的值是（ ）(A) 12 (B) 32(C) 1 (D) -16:已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ） (A) 4 (B) 2 1313 (C) 5 1326 (D) 7 13267:设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）(A) k ≥34 或k ≤-4 (B) k ≥34 或k ≤ - 14 (C) -4≤k ≤34 (D) 34 ≤k ≤48:圆x 2+y 2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2 的点共有（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个9:把直线x-2y+m=0向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，与圆C:x 2+y 2+2x-4y=0相切，则实数m 的值是（ ） (A) –13或3 （B ）13或-3 （C ）13或3 （D ）-13或-310:若P （2，-1）为圆（x-1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 方程是（ ） （A ）x-y-3=0 (B) 2x+y-3=0 (C) x+y-1=0 (D) 2x+y-5=0第Ⅱ卷（共100分）二:填空题（每小题5分，共25分）11、以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是__________________12、设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________13、三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=______________14、过点M （0，4）、被圆(x-1)2+y 2=4截得的线段为2 3 的直线方程为___________________15:设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ． Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 以上说法正确的是 ．三、解答题（共6小题，计75分。

2020年7月湖北省高一年级统一联合测试数学试题本试题卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★预祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷纸和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，已知集合{}39A x x x =<≥或，集合{}B x x a =≥．若()UA B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤2．已知复数z 满足()1i 4z +=（i 为虚数单位），则复数z （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知()1sin 3πα+=，则3sin 22πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．D 4．有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{},0y R y y ∈≠且；（3）在(),0-∞上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．④ B ．③ C ．② D ．①5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，但劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，但劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．16 B ．15 C ．14 D ．136．设锐角ABC 的三个内角分别为角A 、B 、C ，那么“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量在30~50毫克．现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的极差为32B ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数C ．猕猴桃的方差小于柚子的方差D ．柚子的中位数为121 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．()423ab a b ab >+>B ．()234ab a b ab >+> C ．()234ab a b ab <+<D ．()423ab a b ab <+<9．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）A B ．2 C ．2 D ．510．在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的体积是（ ）A ． B.60π C ． D ．48π11．设点D 为ABC 的边AB 上一点，点P 为ABC 内一点，且分别满足关系212AD AB λλ+=+，1AP AD BC λλ=++，0λ>，则APD ABCS S的最大值为（ ）A． B．4 C．2 D．312．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+．且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654-B ．65-C ．1314-D ．1312-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________弧度．14．如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为________．15．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________． 16．在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知命题:p 存在实数x R ∈，使210x ax -+≤成立． （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立．如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos23cos 10C C +-=． （1）求角C 的大小；（2）若3b a =，ABCsin A B ，求c 的值． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面S AB 为等边三角形．4AB BC ==，2CD SD ==．（1）求证：AB SD ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值． 20．（本小题满分12分）某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+．（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车．参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．21．（本小题满分12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．22．（本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，3DE =，1AF =（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将多面体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置：若不存在，请说明理由．湖北省2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题参考答案一、填空题．二、填空题 13．2π- 14．3π（或60︒) 15．23 16．6三、解答题17．（1）:p 存在实数x R ∈，使210x ax +≤-成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞.（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥，由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．（1）cos23cos 10C C +-=，22cos 3cos 20C C ∴+-=，解得，cos 12C =或cos 2C =-（舍）而()0,C π∈所以3C π=．（2）因为3b a =，由余弦定理可得，2219223a a c aa +-⋅⋅=，整理可得，c =．由正弦定理可得，sin sin c aC A =si 2n a A=，所以in s A =，sin sin 3B A ==，故ABC 的面积为128s 2in sin A ab B C ==，2132a ⨯=，所以7a =，c ==19．（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，那么AB DE ⊥，而又三角形SAB 为等边三角形，所以AB SE ⊥，且SEDE E =，所以AB ⊥面SDE ，故AB SD ⊥.（2）由AB ⊥平面S DE 知，平面ABCD ⊥平面SDE ，作SF DE ⊥，垂足为F ﹐则SF ⊥平面ABCD，SESD SF DE==⨯FG BC ⊥，垂足为G ，则2FG DC ==． 连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G =，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC，7FG SF FH SG ==⨯，即F 到平面SBC的距离为7， 由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d也为7，设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin 7d EB α==． 20．（1）由题可得()11234535x =⨯++++=，()11.1 1.622.5 2.825y =⨯++++=， 511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555i i x ==++++=∑，所以1222134.35320.435553ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，20.4330.71a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为0.430.71y x =+．（2）由题329280.430.714784343x x x ⇒>=⇒+≥>，所以预计一般第8年后可以申请报备更换新车． 21．（1）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为0.22701073.90.56+⨯=.（2）由茎叶图知，A 等级的学生有3人，D 等级的学生有0.1505⨯=人， 记A 等级的学生为A 、B 、C 、D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h ，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、A h 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、CF 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh ，共28个； 至少有一名是A 等级的基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch ，共18个； 故所求的概率为1892814P ==． 22．（1）证明：DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ∴，//AF ∴平面DCE ，ABCD 是正方形，//AB CD ，//AB ∴平面DCE ，AB AF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）解：假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG ，BM ， 由()()()1333311213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=. 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=. 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，即32h t =， 则2133224EGMt St t ⨯=⨯=，21113933332344GFBME B EFG B EGM V V V t t --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯， 即2230t t +-=解得1t =，或3t =-（舍），则存在点G ，满足1EG =，即G 为ED 的一个靠近E 点的三等分点时满足条件．。

2019-2020学年湖北省部分省重点中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．cos10sin70sin10sin20︒︒-︒︒＝（ ）A ．2B ．C ．12D ．12-【答案】A【解析】由sin20cos70︒=︒及两角差的正弦公式即可求出答案． 【详解】 解：cos10sin70sin10sin20︒︒-︒︒sin70cos10cos70sin10=︒︒-︒︒sin(7010)sin 60=︒-︒=︒=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．2．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤B ．12k ≥-C ．1322k -≤≤ D ．12k ≤-或32k ≥【答案】D【解析】直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，分别求出PM k 和PN k ，结合图形，可求出答案. 【详解】由题意，直线10kx y k ---=可化为()110k x y ---=，令1x =，得1y =-，即该直线过定点()1,1P -，111312PM k +==---，213312PN k +==-，所以当12k ≤-或32k ≥时，直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线系方程的应用，以及过两点的直线的斜率的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．2C ．22D ．-1【答案】B【解析】求出a b ⋅和b ，由向量a 在向量b 方向上的投影为a b b⋅，可求出答案.【详解】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-， 所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()223332b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为232a b b⋅==.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．79B ．13 C ．89D ．23【答案】A【解析】首先将5sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭变换为5sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和二倍角公式计算即可. 【详解】5sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 27cos 212sin 669ππαα⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A 【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式和二倍角公式，属于简单题.5．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．4【答案】B【解析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题. 6．为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD =a米，再测得∠ACD =90°，∠BCD =30°，∠ADC =45°，∠CDB =105°，据此计算A 、B 两地之间的距离是（ ）A ．6aB 6C ．(31)a +D 3a【答案】B【解析】在△ACD 中，可求出AD ，在△BCD 中，由正弦定理可求出BD ，在△ABD 中，利用余弦定理，可求出AB . 【详解】由题意，在△ACD 中，CD a =，90ACD ︒=∠，45ADC ︒∠=，所以2AD a =，在△BCD 中，CD a =，30BCD ︒∠=，105CDB ︒∠=，所以45CBD ︒∠=， 由正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，即sin 45sin 30a BD ︒︒=，解得22BD =， 在△ABD 中，1054560ADB ︒︒︒∠=-=， 由余弦定理得，2222cos60AB AD BD AD BD ︒=+-⋅⋅2221213222222a a a a =+-⨯=， 所以6AB =. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.7．用一根长为36cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A ，B ，C ，将半径为4cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为（ ）A ．7233cmB ．21633cmC ．2433cmD ．633cm【答案】A【解析】设球的球心为O ，半径为R ，△ABC 内切圆圆心为1O ，由等边三角形的性质，可求出△ABC 的内切圆半径r ，且221OO R r =-，可得四面体MABC 的高max 1h OO R =+，则四面体MABC 体积的最大值max max 13ABCV Sh =⋅.【详解】设球的球心为O ，半径为R ，△ABC 内切圆圆心为1O ， 由题意知△ABC 三边长均为12cm ， 则△ABC 内切圆半径1cos3023cm 3r AB =⋅⋅︒=，则22116122cm OO R r =-=-=，所以四面体MABC 的高max 16cm h OO R =+=.因为221sin 60363cm 2ABCSAB ︒=⋅=， 所以四面体MABC 体积的最大值max max 311363672333cm ABC V S h =⋅=⨯⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离，属于中档题.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）.A ．3：2和1：1B ．2：1和3：2C ．3：2和3：2D ．2：1和1：1【答案】C【解析】根据已知条件确定球的半径、圆柱底面半径和圆柱的高，根据柱体、球的体积和表面积公式，分别求解出体积和表面积后求得比值. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，23π22πV R R R ∴=⋅=柱圆，343V R =π球，332π342π3V R V R ∴==柱球圆； 222π22π6πS R R R R =⋅+=柱圆，24πS R =球， 226π34π2S R S R ∴==柱球圆. 故选：C. 【点睛】本题考查柱体、球的表面积和体积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9．若0,0x y >>，且11112x x y+=++，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．23C ．1+32D ．3【答案】C【解析】设1,2x a x y b +=+=，可将题目转化为已知111a b +=，求()1212b a a -+-+的最小值，由()13321222b a a b a -++-+=-，且()1133a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式可求出3a b +的最小值，进而可求出2x y +的最小值. 【详解】设1,2x a x y b +=+=，则11,2b a x a y -+=-=，且0,0a b >>， 题目转化为已知111a b +=，求()1212b a a -+-+的最小值， ()13321222b a a b a -++-+=-，而()11333444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭，当且仅当3a b b a =，即a b ==时等式成立.则()13121222b a a -+-+≥=故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A B ．2-C ．D 【答案】B【解析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a b a b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin θ==， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B=+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，O 为ABC的外心，且有AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A C A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则x y -=（ ）A ．2-B ．2CD．【答案】A【解析】由AB BC AC +=，利用正弦定理得到c a +=，再由sin (cos cos sin 0C A C A +=，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到b =，进而得到a c =，然后利用余弦定理，求得角B ，A ，C ，再由AO x AB y AC =+的两边点乘,AB AC ，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x ，y 的方程组求解. 【详解】因为3AB BC AC +=，所以c a +=，又因为sin (cos cos sin 0C A C A -+=，所以sin cos cos sin 3sin C A C A C +=， 所以()sin 3sin C A C +=， 所以sin 3sin B C =， 即3b c =， 所以a c =，所以222222231cos 222a cbc c c B ac c +-+-===-， 所以120,30B A C ===， 如图所示：由正弦定理得：12sin cR AO c C===，因为AO x AB y AC =+， 则2x AO AB AB AB A y C ⋅=+⋅， 所以2223231c c x y c =+， 即231x y +=，则2AO AC xAB AC yAC ⋅=⋅+， 所以22223323x c c y c =+， 即21x y +=，1,1x y =-=，2x y -=-.故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．已知||3,||1,(2,1)||||AB ACAB AC AB AC ==+=-，则AB AC ⋅＝_______________ . 【答案】32【解析】由||3,||1AB AC ==，可得13||AB AB AB =，||ACAC AC =，则1(2,1)3AB AC +=-，两边平方可求出AB AC ⋅的值. 【详解】因为||3,||1AB AC ==，所以13||AB AB AB =，||ACAC AC =， 所以1(2,1)3AB AC +=-， 两边平方得，2212393AB AC AB AC ++⋅=， 即2211339139922233AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅===. 故答案为：32. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．已知(0,)2πα∈，若sin 22cos22αα-=，则sin α＝_________________ .【解析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-化简可得解. 【详解】2sin 22sin cos ,cos 22cos 1,∴原式可化为22sin cos22cos 12，即2sin cos 2cos 0ααα-=，(0,)2πα∈,cos 0α∴≠,sin 2cos αα∴=,22sin cos 1αα+=,sin α∴=.. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式及同角的三角函数关系，属于基础题.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；②若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；③若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ．以上结论中正确的有____________.（填正确结论的序号） 【答案】①③【解析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案. 【详解】对于①，由正弦定理sin sin a bA B=，所以由sin A ＞sin B ，可推出a b >，则A B >，即①正确；对于②，取15,75A B ︒︒==，则sin 2sin 2A B =，而△ABC 不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=， 则222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，故△ABC 为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC 为锐角三角形，取80,40A B ︒︒==，此时sin80cos40sin50︒︒︒>=，即sin cos A B >，故④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.16．已知,M N为直线34150x y+-=上两点，O为坐标原点，若π3MON∠=，则OM ON⋅的最小值为___.【答案】6【解析】过点O作直线34150x y+-=的垂线，垂足为A，可求出3OA=，设AOMα∠=，可表示出OM，ON，进而可得出OM ON⋅关于α的关系式，从而可求出OM ON⋅的最小值.【详解】过点O作直线34150x y+-=的垂线，垂足为A ，则2215334OA-==+，设AOMα∠=，则π3AONα∠=-，则3cos cosOAOMαα==，3ππcos cos33OAONαα==⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π9cosπ32cos cos3OM ON OM ONαα⋅=⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭2cos3sin cosααα=+113cos2sin2αα=++91πsin226α=⎛⎫++⎪⎝⎭，当ππ262α+=，即π6α=时，πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，91πsin 226OM ON α⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭取得最小值96112=+. 故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，考查三角函数恒等变换，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 【答案】(1)18；(2)12λ=-. 【解析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =，(32323)，AF =++λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,C ，E ，(2,D ，所以(4AC =，(3，AE =，所以4318AC AE ⋅=⨯+=；(2)(0BD =，(32)AF =+λ， 因为BD AF ⊥，所以23)0BD AF ⋅==， 解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 18．已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.【答案】（1）(4,3)C （2）6590x y --=【解析】（1）先求AC 所在边的直线方程，然后与CM 所在直线方程建立方程组求解.（2）先设(,)B m n ，求出5m 1(,)22nM ++，代入CM 直线方程，再根据(,)B m n 在BH 所在直线上，代入BH 的直线方程，建立方程组求出点B 的坐标，再用两点式写出BC 所在的直线方程. 【详解】（1）因为AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=， 所以2AC k =-，又因为点(5,1)A ，所以AC 所在边的直线方程为：2110x y +-=又因为AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，由2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得43x y =⎧⎨=⎩所以(4,3)C（2）设(,)B m n ，则AB 的中点5m 1(,)22nM ++在中线CM 上 所以5m 125022n++⨯--=，即210m n --= 又点(,)B m n 在BH 所在直线上 所以250m n --= 由250210m n m n --=⎧⎨--=⎩，解得13m n =-⎧⎨=-⎩所以(1,3)B -- 所以直线BC 的方程333141y x ++=++，即6590x y --= 【点睛】本题主要考查两条直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．△ABC 中，a b c 、、分别是角、、A B C 的对边，已知45,3B b c ∠==，D 是边BC 的中点且55AD =-.（1）求sin A 的值； （2）求△ABC 的面积. 【答案】（1）1536；（251 【解析】（1）由正弦定理可求出sin C ，结合三角函数恒等变换可求出sin A ； （2）先求出cos A ，利用()12AD AB AC =+，可求出c ，进而由△ABC 的面积1sin 2S bc A =可得出答案.【详解】（1）△ABC 中，由正弦定理，sin sin b c B C =，则3sin 45sin c cC︒=，解得sinC ︒===，因为b c >，所以B C >，则cos 6C ===， 所以()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+26626=+=.（2）由（1）知，sin 2C =<，且90C ︒<，所以45C ︒<， 所以90B C ︒+<，则90A ︒>.则cos 6A ====⎝⎭， D 是边BC 的中点，则()12AD AB AC =+，则()222124AD AB AC AB AC =++⋅，即2215324c c c ⎡⎤⎛=++⋅⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 解得24c =，所以2c =（2c =-舍去）.所以b =所以△ABC 的面积11sin 21226S bc A ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查解三角形，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 20．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+． （1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin =β，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．【答案】（1）－2（2）74π【解析】（1）由向量m ＝(cosx ，sinx )，n ＝(cosx ，－sinx )，利用数量积运算得到f (x )＝cos2x ＋12，根据f (2x )＝1，求得cosx ＝12，得到x ＝3π，然后利用两角和的正切公式求解.（2）由f (α)＝－110，得到cos 2α＝－35，进而得到sin 2α＝－45，再由sinβ＝10，得到 cosβ＝10， 然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）因为向量m ＝(cosx ，sinx )，n ＝(cosx ，－sinx )， 所以f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． 因为f (2x)＝1， 所以cosx ＋12＝1， 即cosx ＝12． 又因为x ∈(0，π) ， 所以x ＝3π， 所以tan (x ＋4π)＝tan (3π＋4π)＝tantan341tan tan 34ππππ+-＝－2（2）若f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35．因为α∈(2π，34π)， 所以2α∈(π，32π)， 所以sin 2α45． 因为sinβ，β∈(0，2π)，所以cosβ10， 所以cos (2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－35)×10－(－45)×10＝2．又因为2α∈(π，32π)，β∈(0，2π)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为74π．【点睛】本题主要考查三角恒等变换与平面向量，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．已知正三棱锥S ABC-，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点,,A B C'''分别在正三棱锥的三条侧棱,,SA SB SC上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为18cm，底面边长为15cm，内接正三棱柱的侧面积为1802cm.（1）求三棱柱的高；（2）当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，求三棱锥B ABC''-的体积.【答案】（1）6cm或12cm；（21253.【解析】（1）设内接正三棱柱的高为x，底面的边长为a，解方程231832182315x-=⨯⨯则5156xa=-，所以518033(15)6xa x x==-，解方程即得解；（2）分析得到527B ABC S ABCV V'-'-=，求出6753S ABCV-即得解.【详解】（1）设内接正三棱柱的高为x，底面的边长为a，由直角三角形相似得231832182315x-=⨯⨯，则5156xa=-．∴内接正三棱柱的侧面积为：518033(15)6xa x x==-，整理得：218720x x-+=，6x∴=或12x=．∴正三棱柱的高为6cm或12cm.（2）当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，三棱柱的高为6．如图，正三棱锥的高为18，三棱柱的高为6，则23SBSB'=．∴49SB CSBCSS''∆=，59BCC BSBCSS''∆=，可得527BB CSBCSS''∆=．∴552727B ABC A BB C A SBC S ABCV V V V'-'-''--===．正三棱锥的高为18cm，底面边长为15cm，∴113675315151832S ABCV-=⨯⨯⨯=．∴三棱锥B ABC''-的体积为56753125327．【点睛】本题主要考查几何体的表面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供([0,10])∈x x(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t kx⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k为工厂工人的复工率（[0.5,1]k∈）.A公司生产t万件防护服还需投入成本(20950)x t++(万元).（1）将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[0,10]x∈(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.【答案】（1）3601808204ky k xx=---+，[0,10]x∈，[0.5,1]k∈；（2）354k；（3）0.65【解析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544k x x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204k k x x =---+， 即3601808204k y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544k x x ++≥=+4544k x x +=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦ 故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+， 令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x m m ++++==+++， 由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+， 所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.。

湖北省名校2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．设12log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B 【解析】 【分析】根据与特殊点的比较可得因为1230a log =<,01b <<,1c >,从而得到c b a >>,得出答案.【详解】 解:因为11223log 10a log =<=,0.2110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1133212c =>=,所以c b a >>. 故选:B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如1a log a =,log 10a =,01a =.3．圆22(3)(2)4x y -++=与圆22(7)(1)36x y -+-=的位置关系是( ) A ．相切 B ．内含C ．相离D ．相交【答案】D 【解析】 【分析】写出两圆的圆心，根据两点间距离公式求得两圆心的距离||AB ，发现R r |AB|R r -<<+，所以两圆相交。

比较三者之间大小 R r,|AB|,R r -+判断位置关系。

【详解】两圆的圆心分别为：(3,2)A -，(7,1)B ， 半径分别为：2r，6R =，两圆心距为：||5AB ==R r |AB|R r -<<+，所以，两圆相交，选D 。

2020年湖北省荆州市石首第一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A．或B．或2 C．或2 D．或参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：A．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．2. 若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=﹣i，=+i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积==．故选：A．3. 设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1 B．S n=3a n﹣2 C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．【解答】解：由题意可得a n=1×=，∴S n==3﹣=3﹣2=3﹣2a n，故选D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题．4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.参考答案：B5. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）参考答案：C令.则，排除A,D.又，所以排除B,选C.6. 等比数列{a n}中，前n项的和为S n，已知a3=，则S6等于( )A．B．9或C．D．9或参考答案：B考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：分类讨论：当q=1时S6=9；当q≠1时可得a1和q的方程组，解方程组代入求和公式可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，当q=1时，显然满足a3=，此时S6=6×=9；当q≠1时，可得a1q2=a3=，a1+a1q+a1q2=S3=，解得a1=6，q=，∴S6==综上可得S6等于9或故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．7. 已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，若，，则的最小值是（）A. B. C. D.参考答案：D略8. 对于常数，，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略9. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝( )A. －12B. －2 C. 0 D. 4参考答案：C10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.3B.－6C.10D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，若,则__________.参考答案：2在中，两边同除以得.12. 若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.参考答案：-2解析：合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.13. 设抛物线的一条弦AB以为中点, 则该弦所在直线的斜率为 .参考答案：214. 已知数列的各项均为正整数，对于，有若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为___▲___.参考答案：15. 设函数其中若存在唯一的整数使得，则的取值范围是参考答案：16. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．参考答案：解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．17. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( ) A ．37B ．34 C ．32或37D ．34或372．在锐角ABC 中，若30,4,42A BC AC ︒===，则角B 的大小为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．564．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF=∠BCE=90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB=DE=2BC=2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直 A ．0B ．1C ．2D ．35．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．126B ．127C ．128D ．1296．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥7．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．16B 3C ．13D ．338．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅= A 33+ B ．92C 3D ．99．设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A ．23π B ．56πC ．πD ．43π 10．设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（）A ．(1,2)B ．[1,)-+∞C ．(1,2]D ．(,1]-∞-11．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性 ( ) A ．均不相等 B ．不全相等C ．都相等，且为251007D ．都相等，且为14012．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．8-D ．8二、填空题：本题共4小题13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________． 14．已知3,5AB BC ==，则AC 的取值范围是_______； 15．对于数列{}n a 满足： {}()*11121,,,,n n n a a a a a a n N +=-∈∈，其前n 项和为n S 记满足条件的所有数列{}n a 中，5S 的最大值为a ，最小值为b ，则a b -=___________16．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年湖北省荆州市石首小河口镇中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有意义，则的取值范围是（）A. B. 且 C. D.参考答案：B2. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为A. B. C． D．参考答案：A3. 半径为1，圆心角为的扇形的面积为（）A. B. C.D.参考答案：A由扇形面积公式得：.故选A4. 已知是R上的单调递增函数，则实数的取值范围( )A．B．C．D．参考答案：D略5. 设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（）A. 20B. 15C. 9D. 6参考答案：C试题分析：不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，故.考点：向量运算.6. 用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27 B．86 C．262 D．789参考答案：C【考点】算法思想的历程．【分析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可【解答】解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x故v3=（（7x+6）x+5）x+4当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262故选C．7. 曲线与过原点的直线l没有交点，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】作出曲线图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.作出曲线的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.8. 已知，为不共线的非零向量，且||=||，则以下四个向量中模最小者为（）A．B．C．D．参考答案：A9. 已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)参考答案：C略10. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=( )A.2B.2C.D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则f（4）= ．参考答案：23【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，直接求解函数值即可．【解答】解：知，则f（4）=f（）=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题．12. 平面向量，，．若对任意实数t都有，则向量.参考答案：设，由于对任意实数都有，化为：，∵对任意的实数上式成立，∴，∴∴，解得，∴ .13. 若角的终边经过点(－1,－2)，则____________.参考答案：14. 若是一次函数，，则参考答案：略1 5.参考答案：增；减16. 函数的定义域为参考答案：要使函数有意义，需满足，解得。

湖北省荆州市石首新厂中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：①方程一定没有实数根；②若a>0，则不等式对一切实数x都成立；③若a<0，则必存在实数，使;④函数的图象与直线y=-x一定没有交点，其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的编号）．参考答案：①②④2. 设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而逐一分析四个答案中命题的真假，可得答案．【解答】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，故命题p为假命题；函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q为假命题；则￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题，故只有C判断错误，故选：C3. 已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，{b n}是1为首项、2为公比的等比数列．设，T n=c1+c2+…+c n（n∈N*），则当T n＞2013时，n的最小值是（）C4. 已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=2，则直线AF的倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出F（），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P点的纵坐标，这样即可得出A点的坐标，从而求出直线AF的斜率，根据斜率便可得出直线AF的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；∴P点的横坐标为；∴，P在第一象限；∴P点的纵坐标为；∴A点的坐标为；∴AF的斜率为；∴AF的倾斜角为．故选：D．5. 已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，1），x2∈（1，4），则2a+b的取值范围是A (-6,-4) B(-6,-1) C(-10,-6) D(-10,-1)参考答案：D略6. 已知向量若时，∥；时，，则A． B.C. D.参考答案：C7. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．参考答案：D9. 设向量，若，则（）A．B．C． D．参考答案：D略10. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有A. 45B. 50C. 55D. 60参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在锐角中,若,则的范围是________________.参考答案：12. 数列{a n}满足，，且，则4a2018﹣a1的最大值为．参考答案：﹣【考点】数列递推式．【分析】先由数列的递推公式得到=﹣，再用累加法求出得++…+=﹣，根据，得到a2018=﹣，再根据基本不等式即可求出最值．【解答】解：∵，∴a n+1﹣1=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴=﹣，=﹣，…，累加可得++…+=﹣，∵，∴﹣=2，∴﹣2=，即a2018=+1==﹣，∵a1＞，∴2a1﹣3＞0，∴4a2018﹣a1=2﹣﹣a1=2﹣（+）≤2﹣2﹣=2﹣2﹣=﹣，当且仅当a1=取等号，故答案为：．13. 某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．（1）；（2）函数的零点个数是 .参考答案：(1) (2) 214. 如下图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为. ______参考答案：15. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则__参考答案：16. 已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时__________，面积最大时，__________．参考答案：2 1或717. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为，高为3，圆O是三角形ABC的内切圆，点P是圆O上任意一点，则三棱锥P-A1B1C1的外接球的体积为__________．参考答案：【分析】求出三角形的内切圆的半径，再求出三角形的外接圆的半径，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的体积．【详解】解：∵正三棱柱底面边长为，∴等边三角形的内切圆的半径为，的外接圆的半径为．设球心到上下底面的距离分别为，，则，解得．∴．则三棱锥的外接球的体积为．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年湖北省荆州市石首茅草街乡晏家巷中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的部分图象如图所示，则（）A、 B、C、 D、参考答案：A2. 在中则等于（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是（）A． B. C. 2 D.参考答案：C4.参考答案：C5. 若指数函数在上是减函数，那么（）A． B. C. D.参考答案：B6. 设集合，若A∩B≠，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C7. 命题p：“不等式的解集为”；命题q：“不等式的解集为”，则（）A．p真q假 B．p假q真C．命题“p且q”为真 D．命题“p或q”为假参考答案：D 解析：不等式的解集为,故命题p为假;不等式的解集为,故命题q为假.于是命题“p或q”为假.8. 已知直线l1：（k﹣1）x+y+2=0和直线l2：8x+（k+1）y+k﹣1=0平行，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．或﹣参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由平行可得（k﹣1）（k+1）﹣8=0，解之，验证排除直线重合的情形即可．【解答】解：由题意可得（k﹣1）（k+1）﹣8=0，解得k=3或k=﹣3，经验证当k=﹣3时，两直线重合，应舍去，故选：A．9. 已知lg2≈0.3010，且a = 2×8×5的位数是M，则M为( )．(A)．20 (B)．19 (C)．21 (D)．22参考答案：A 解析：∵lga = lg(2×8×5) = 7lg2＋11lg8＋10lg5 = 7 lg2＋11×3lg2＋10(lg10－lg2) =30lg2＋10≈19.03，∴a = 10，即a有20位，也就是M = 20，故选(A)．10. 函数是（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 化简 .参考答案：12. 在半径为2的圆中，圆心角为所对的弧长是。