[初三数学]初中三年级数学《弧、弦、圆心角》PPT课件

二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
D
(1)
. A
o
.
∵∠AOB=∠COD
C ∴ A︵B=CD︵ AB = CD
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
D
(2)
. A
o
.

∵ AB=CD
C ∴ ∠︵AOB︵=∠COD AB = CD
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
∴AB=AC
O·
又∵∠ACB=60°
B
C
∴AB=BC=CA
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
四.典型例题
例2:已知:AB是⊙O 的直径, BC＝CD DE, ∠COD=35°, 求∠AOE 的度数．
解： BC CD DE
ED
BOC=COD=DOE=35
(2)若 AC = BC,∠BOC=70°,
则∠AOC=__7_0_°_.
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
六.考题链接 相信自己一定行!
2.
40°
DA
3. 如图已知点C、D
C·
是 的三等分点,
B
若圆心角∠AOB=120°,

应用三：求解多边形内角和
弧弦圆心角定理
多边形内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
弧弦圆心角在多边形中的应用
通过弧弦圆心角定理，可以求解多边形内角和，进而解决与多边形内角相关的问题。同时，也可以利 用多边形内角和的求解方法，推导其他几何图形的内角和公式。
05
弧弦圆心角在三角函数中应用
心角之差。
弧弦圆心角在波动中的应用
02
利用弧弦圆心角可以直观地表示波动的相位，从而方便地描述
两个波之间的相位差以及波的干涉、衍射等现象。
应用实例
03
利用弧弦圆心角分析两个同频率波的干涉现象，可以方便地得
出干涉加强或减弱的条件。
应用三：描述圆周运动中角速度与线速度关系
角速度与线速度关系
在圆周运动中，角速度与线速度之间的关系可以通过弧弦圆心角来描述。具体地，角速度 等于单位时间内转过的弧弦圆心角所对应的弧度数，而线速度则等于角速度与半径的乘积 。
要点二
利用弧弦圆心角关系判断三角函 数方程的解的存在性
在解三角函数方程时，有时需要判断方程是否有解。此时 ，可以利用弧弦圆心角关系来判断方程是否有解。例如， 当方程中的三角函数值超出其定义域时，可以判断该方程 无解。
06
弧弦圆心角在物理中应用
应用一：描述简谐振动中相位差
相位差定义
两个同频率简谐振动的相位之差，等于它们所对应的弧弦圆心角 之差。
。
性质定理二
在同圆或等圆中，如果两条弧相等 ，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦也相等。
性质定理三
在同圆或等圆中，如果两条弦相等 ，那么它们所对的弧相等，所对的 圆心角也相等。
判定方法二：利用三角函数判定

探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大 知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定 理动活的3 应大 弧用胆度探 相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM， 求证：AB=CD。
【思路点拨】 由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得 到线段与角度的相等关系， 可以为证明全等三角形创 造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活 动2
集思广益 证明新 知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？ 说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活 动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB
上两点， 且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，

⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它
们 所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
当AB=CD时
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别相等。
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C（A）
O1
D（B）
在同圆或等圆 中，如果两个圆 心角、两条弧、 两条弦中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余 各组量也相等。
圆是不是中心对称图形 ？如果是，对称中心在哪里？ 把圆绕圆心旋转任意一个角度，和原来的圆会出现什 么结果? （重合）
因此：圆具有旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形_重合.
下列图形中，哪一个图形无论绕中心旋转多少度，都能与自
身重合？( ④ )
①
②
③
④
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
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1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
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课本P89 习题24.1 第2、3题
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课本P85练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B____=___C_D，____A_O__B_____C__O_D__．

在Rt△CEO和Rt△DFO中，
∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),
∴∠COA=∠DOB,∴AC=BD.
课堂总结
孤
概念
顶点在圆心的角叫做圆心角.
、
弦
、
圆
(1)圆心角相等
心
在同圆或等圆
角
中，弧、弦与
(2)弧相等
知 一 得
圆心角的关系
二
(3)弦相等
THANKS
感谢观看
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A.35°
B.55°
C.75°
D.95°
解析：∵BC=CD=DE,∠COD=35°, ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°.
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°. 故选C.
4.如图，已知点A、B、C、D 都在00上，OB⊥AC,BC=CD, 下列说法错误的是(
A.AB=BC
B(B)
ABa
BK
A(A)
0
AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B′
∠AOB=∠A'OB'
ABO
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和 劣弧分别相等.
探索新知 知识点2圆心角、弦、弧之间的关系
B. 如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D.拱形不一定是弓形
解析：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A 选项不符合题意；

如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： （1）如果 AB=CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A__O_B_=__∠__C_O_D__；
（2）如果 AB= CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A_O__B_=_∠__C__O_D__； （3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B__=_C__D_，_A_B_=__C_D_； （4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 相等．
n°
N′
N 60°
O
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2．性质
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把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
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2．性质
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
24.1 弧、弦、圆心角的关系
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
• 学习重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
2．性质
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把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
60°
N′
N
30°
O
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24.1.3 弧、弦、圆心角
九年级上册
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
【教材P85练习 第2题】
解：∵ ，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又=∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+ ∠DOE=105°,则∴∠AOE=180°-∠BOE=75°
1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距
2.四个相等关系：
① 圆心角② 弧 弦④ 弦心距
⌒
⌒
⌒
7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展延伸
(1)证明：连接AD.∵AB=CD, ∴AB=CD. ∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC. ∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).

1．思考
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心，
·
它具有旋转不变性.
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
三、 探究
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ A′ O B′ 的位置，你能
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
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2．性质
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
所对的弦_相__等___；
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__， 所对的弧_相__等___．
同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相等．
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5．巩固
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24.1 弧、弦、圆心角的关系
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．

，
∠ACB=60°，求证：
∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ A⌒B = A⌒C
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又∵∠ACB=60°,
O·
∴△ABC是等边三角形
B
C
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
_（ _2A _）_O _如B __果 __ _C A_⌒B_O _=D _C_⌒D__．，那么___A_B_=_C_D_____，
__ _A __O _B __ __ __C _O _．D
（ __3_）__如__A果_⌒B_∠=_A_CO⌒_D．B=∠ACBO=DCD，那么_____________，
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。

在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【注意】：
A B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
立。
o
C
O
D
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等。
A
B
C
D
应用新知：
圆心角定理
例 已知：如图,∠1=∠2.求证：AC=BD.
证明：∵ ∠ 1= ∠ 2
∴DC=BA（ 圆心角定理）
∴ DC+BC= BA+BC
即 BD=AC 【变式】 已知：如图,∠1=∠2.
求证：AC=BD.
反思：圆心角相等
所对弧相等 所对弦相等
所对弦的弦心距相等
课堂小结：
1、圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性；
2、圆心角定理：
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对弦的弦心距相等.
1、圆是 轴对称 图形，
每一条 直径所在的直线 都是它的对称轴。
2、由圆的轴对称性得到：
垂径定理及逆定理
A
C
O
E
B
D
探究新知：
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
探究新知：
圆绕圆心旋转
探究新知：
圆绕圆心旋转
人教版数学九年级上册24.弧、弦、圆 心角PP T课件
探究新知：
圆绕圆心旋转
人教版数学九年级上册24.弧、弦、圆 心角PP T课件
N
O
人教版数学九年级上册24.弧、弦、圆 心角PP T课件
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继续探究：
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'

(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
෢ = ,
෢ ⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
෢
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
෢
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
෢ =
෢ = ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
෢
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
෢ = ,
෢ ∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）

圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆 重合。
180°
所以圆是中心对称图形。
做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
① ②
③
④
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？（请举出
两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）
如果： ∠AOB=∠ COD
B’
☺ A’
o B
A
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： ∠AOB=∠ COD B’
A’
☺
o
B
A
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： ∠AOB=∠COD B’ A’
o
B
A
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？ 如图： ∠AOB= ∠COD B’ A’
求∠AOE的度数。
C
解：∵
⌒⌒ ⌒
BC=CD=DE
A
B
O
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35O
∴∠AOE=180O-3×35O
=75O
1、如图，AB，AC都是⊙O的弦，且∠CAB=∠CBA，求证： O ∠COB=∠COA
证明：∵∠CAB=∠CBA（已知），
A
B
∴AC=BC（等角对等边）
C
∴∠COB=∠COA（在同一圆中，如果两条弦相等，
A’
☺
o
B
A
已知:如图∠AOB=∠ COD,
求证: AB=CD，A⌒B = C⌒D。 证明:∵OA=OC ，OB=OD， ∠AOB=∠COD,

N'
N

O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N

O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做 圆心角.
A
O· B
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
Cห้องสมุดไป่ตู้
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒DE,
∠COD=35°，
求∠AOE的度数．
E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
合，B与B′重合．
∴A⌒B与A⌒' B ' 重合，AB与A′B′重合．
A⌒ B

⌒
A'B
',
AB A' B '.
（三）定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心
=
⌒
DE
BOC=COD=DOE=35
C
AOE 180 335