新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册精品教学课件(共541页)

第四章
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).

an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.

追问2：如果函数f(பைடு நூலகம்)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说 函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;

＝
1 12
+
1 8
+
1 4
＝
11 24
，所以事件A，B，C只发生两个的概率为
11 24
.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，
则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
【变式训练2】端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家 3
过节的概率分别为 1 ，1 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段 45
时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
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所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B相互独立.

()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．[多选]下列各组数列能构成等差数列的为( ) A．2,2,2,2,2 B．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3 C．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a D．a－1，a＋1，a＋3 解析：A．∵2－2＝2－2＝2－2＝2－2＝0，∴该数列是等差数列．B.∵cos 1 －cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)－3m＝(3m＋ 2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等差数列．D.∵(a＋1) －(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差数列． 答案：ACD
[对点练清] 1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求a20，an.
解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式．
[典例1] 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴aa11＋＋74dd＝＝2－，1， 解得ad1＝＝1－. 5， (2)设数列{an}的公差为 d. 由已知得，aa11＋ ＋a31d＋＝57d，＝12， 解得ad1＝＝21.， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也成等差数列．

解:(1)∵a1=3,q=-3,{an}为等比数列,
∴an=a1·qn-1=3·(-3)n-1=-(-3)n.
(2)(方法一)∵{an}为等比数列,∴
2 = 1 =
6 = 1 5 = 8,②
②
由 ,得 q4=16,∴q=±2.
①
(方法二)∵{an}为等比数列,
又 a6=a2·q ,∴q
答案:-3 9
,ac=
.
本 课 结 束
求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.
【变式训练2】 在等比数列{an}中,
(1)若a2=4,a5=-
1
,求an;
2
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)由题意可知
2 = 1 = 4,
4
5 = 1 =
故 an=a1qn-1=-8×
2
3
3
an=Sn-Sn-1= an- an-1,
2
2
1
3

得 an= an-1,即 =3.
2
2
-1
故数列{an}是首项为 6,公比为 3 的等比数列.
3
n= 2 an-3.求证:{an}
反思感悟 判断一个数列{an}是等比数列的方法:
+1
(1)定义法:若数列{an}满足 =q(q
答案:D
x=n 时
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列的判定
【例1】 (1)下列数列为等比数列的是(
)
A.2,22,222,…
1 1 1
B. , 2 , 3 ,…
C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…

都可确定 一个数列，
可根据第一项(或前几项)的值，通过 也 都 可 求
一次(或多次)赋值，逐项求出数列的 出 数 列 的
项，直至求出所需的an，也可通过变 任意一项
形转化，直接求出an
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
___3_____.
－1n an－1
(n≥2)，则a5＝
解析：a1＝1，a2＝1＋a11＝2，a3＝1－a12＝12， a4＝1＋a13＝3，a5＝1－a14＝23. 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝__4_n_－__1__. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1) ＝4n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.
首项，
1 2
为公差的等差数列．所以
1 an
＝
1 a1
＋(n－1)×
1 2
＝
n 2
＋
1 2
.
所以an＝n＋2 1.
形如an＋1＝
Aan Ban＋C
A，B，C为常数的数列，将其变形
为
1 an＋1
＝
C A
1 ·an
＋
B A
.①若A＝C，则
1 an
是等差数列，且公差为
B A
，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.

令 ′ = 0 ，解得 = 2 或 = 2 .
①当 = 1 时, 2 = 2 ，因此 ′ = − 2
2
≥ 0 ，故 在 上单调递增，函数不
存在极值.
角度2.含参数的函数求极值
②当 < 1 时, 2 < 2 ，当 变化时， , ′ 随 的变化情况如下表：
知识点1 函数极值的概念
>
/m
<
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极
（1） =
解
2
;
e
函数 的定义域为 , ′ =
2
e
′ = 2 − e−
令 ′ = 0 ,得 2 − ⋅ e− = 0 ,解得 = 0 或 = 2 .
当 变化时, ′ , 的变化情况如下表:
0
2
-
0
0
单调递减
极小值0
个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一
般地,当函数 在区间 [, ] 上连续且有有限个极值点时,函数 在区间 [, ] 上的
极大值点\,极小值点是交替出现的.
过关自诊
1.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示 不一定.如图所示,
极大值 1 小于极小值 2 .
名师点睛
导数等于0的点不一定是极值点；反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,

2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x
＋x2，则f′(2)＝
(C)
12－8ln 2 A. 1－2ln 2
2 B.1－2ln 2
4 C.1－2ln 2
D．－2
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·
2ln 2＋2，解得f′(1)＝1－22ln 2，所以f′(x)＝1－22ln 2·2xln 2
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
5．曲线y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线方程为 _2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：∵y′＝x＋2 22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝n·xn－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a
f′(x)＝ex f′(x)＝xln1 a
f′(x)＝1x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx为f(x)
的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常 数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x

x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
(1)因为切线与直线 y＝4x－5 平行，
所以 2x0＝4，解得 x0＝2，故 y0＝4，即 P(2,4)．
(2)因为切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，
所以 2x0·13＝－1，得 x0＝－32，故 y0＝94，即 P－32，94.
(3)因为切线的倾斜角为 135°，所以其斜率为－1，
5.1.2 导数的概念及其几何意义
【学习目标】
课程标准：1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导 函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 学习重点：对导数几何意义的理解及求切线方程． 学习难点：对导数几何意义的理解.
【知识导学】
知识点一 割线的斜率 如图，容易发现，平均变化率ΔΔyx＝___f_x_0_＋__ΔΔ_x_x－__f__x0____， 表示割线 P0P 的_斜__率___.
(2)设切点为 P(x0，x30)， 由(1)知切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x02， 故切线方程为 y－x30＝3x02(x－x0)． 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x03＝3x20(1－x0)，即 2x30－3x20＋1＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y－1＝3(x－1)或 y－1＝34(x－1)， 即 3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0.
即 2x0＝－1，得 x0＝－12，故 y0＝14，即 P－12，14.
规律方法 利用导数求切点坐标的解题步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)由于点(x0，y0)在曲线 y＝f(x)上，将 x0 代入求 y0 得切点坐标．

根据导数的几何意义，可知函数y＝f (x)的切线斜率在[a，b]内单调
递增，观察图象，只有A选项符合．
发现规律 导数几何意义理解中的两个关键点
f ′(x0)＞0
关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔_________;
f ′(x0)＜0
f ′(x0)＝0
k＜0⇔__________；k＝0⇔_________．
[解]
Δ
+Δ 3 +1− 3 −1
＝
Δ
Δ
3 Δ 2 +3 2 Δ+ Δ 3
＝
Δ
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
Δ
则 lim ＝3x2，因此y′＝3x2．
Δ→0 Δ
设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点(0 ，03 ＋1)，根据
导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝302 ①，过点M和
如图，割线P0P的斜率k＝_____________．记Δx＝x－x
0，当点P沿着
曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝
f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0
切线P0T
处的导数f ′(x0)就是_________的斜率k
0，即
0 +Δ − 0
1
2
3
4
5
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(
)
A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率
C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率

第二部分
新知讲解
导入新课
3
引例：求函数 = +
1 2

2
− 2 + 4 的单调区间.
′
解析： =3 2 + − 2 = 3 − 2 + 1
′
令 < 0 得 −1 < <
′
2
3
2
3
令 > 0 得 > 或 < −1
导入新课
∴ = 的单调递减区间是(−1,
o
x
例如： = 的极大值是 −1 ，极小值是
2
极大值点是-1，极小值点是
3
2
3
，
知识梳理
结论: 函数 = 的极值点为, , … ，
则一定有′()=0 , ′()=0 ,……
反之，若′()=0 ,则 , , … ,不一定是 = 的极值点.
比如： = = 3 在R上单调递增， ′()=3 2 =0 时，
1

′()=4 − =
4 2 −1 2+1 2−1
=


令 ′() > 0 得 >
1
2
令 ′() < 0 得0< <
1
2
课堂互动
∴ 的单调递增区间是
∴ 的极小值为
没有极大值.
1
2
1
, +∞
2
=2 ×
1
4
1
,单调递减区间是(0, )
2
1
−
2
1
解析: 的定义域为 0, +∞
1

课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
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第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
情
2．数学归纳法的框图表示
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第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
11
情 境 导
2．用数学归纳法证明
1
＋
a
＋
a2
＋
…
＋
an
＋
1
＝
1－an＋2 1－a
(a≠1
，
课 堂 小
学
结
探 n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算所得的项是( )
养
合 作
(2)归纳递推：以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件， 课
探
时
究 推出“当__n_＝__k_＋__1__时命题也成立”．
分 层
释
作
疑 难
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 业
数 n 都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
返
首
页
第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
新
素
知 妇女的意思)，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子 养

探究点一
由递推公式求前若干项
【例1】 [苏教版教材例题]试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
1
(2)a1=2,an+1=2- ,其中

n∈N*.
解 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以
所以a2=3+2=5,a3=5+2=7,a4=7+2=9,a5=9+2=11,综上所
述,a1=3,a2=5,a3=7,a4=9,a5=11.
知识点2
数列的通项公式与前n项和
共有n项
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作
Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应
思考辨析
已知数列{an}的前n项和Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,那么a1, Sn -1
(n≥2),an分别是什么?(Sn-1可以用一个式子表示)
提示 a1=1,Sn-1=1+2+3+…+(n-2)+(n-1),an=n.
自主诊断
1.[人教B版教材习题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1,则
式.
3, = 1,
∴an=
2 , ≥ 2.
★【例3-2】 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),求数列{an}