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如何培养学生小学数学创新思维能力概要：小学数学教学要重视通过教学各环节培养和开发学生的创新思维能力，学生创新思维能力的提高必将促进学生数学能力的提高。
所以处理好数学教学中的数学能力的提高与创新思维能力的培养之间的关系是提高学生综合素质的一个重要环节。
小学数学是小学教育的一门主要学科，从小让学生掌握数学的基础知识和基本技能，这是我国公民具备的文化素质之一。
心理素质的形成，小学数学的教学，直到今天还严重地受到“应试教育”的影响，特别是我们这些欠发达地区的学校，还存在着重考试轻能力，重结果轻过程，重智育轻德育，重讲解轻学习，重课内轻课外，重“学会”轻“会学”的现象，束缚了学生的主动性的发挥，影响了学生个性的发展和创新思维的培养，要培养学生的创新思维，就必须克服这些不良的倾向。
创新思维是不依常规而寻求变异，对给出的材料、信息从不同的程度，向不同的方面，用不同的方法和途径进行分析和解决问题的一种思维方式，创新思维反映了思维的发散和创新，对问题尽快联想、进行假设和提出多种解决方案的特点。
因此，小学数学教学在培养学生初步的逻辑思维的同时，应该从以下几个方面有意识地培养学生的创新思维能力。
一、在求异、变通中培养学生思维的灵活性，强化创新意识创新思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作内驱力。
教师要善于选择具体的题材，创设问题情境，精心诱导学生的求异意识，对于学生在思维过程中不时出现的求异因素，教师要及时予以肯定，使学生感觉到自已求异成果的价值，反馈出更大程度的求异积极性，在学生欲寻异解而不能时，教师及时给予指导，帮助学生获得成功，让学生在获得问题多解的追求中得到更大的乐趣，备受创新思维的成功喜悦，渐渐养成求异的意识，发展稳定的心理倾向，这样遇到具体问题时就会能动地做出“还有其它的解法吗”、“再从另外一个角度考虑一下”的求异思考。
只有在这种心理倾向的驱使下，相遇的基础知识，解题经验等才会处于活跃状态，才可能对问题的数量作出各种不同形式的思考，逐步提高创新思维的能力。
数学思维报告心得体会
2. 数学思维不仅仅是解决数学问题，还可以应用到其他学科和实际生活中。
3. 数学思维培养了我的逻辑思维能力，让我更善于分析问题和寻找解决方法。
4. 通过数学思维，我学会了将问题拆分为更小的部分，从而更好地理解问题的本质。
5. 数学思维让我懂得了不怕失败和反复尝试的重要性，因为数学问题的解决往往需要多次尝试。
6. 数学思维教会了我如何在一堆复杂的信息中找到关键点，并结合它们来解决问题。
7. 数学思维让我更加注重细节和精确性，因为在数学中，一个小错误可能会导致整个答案错误。
8. 数学思维培养了我的创造力，让我更善于发现问题中的隐藏规律和特点。
9. 数学思维教会了我如何进行合理的推理和证明，从而提高了我的思维能力。
10. 数学思维让我对抽象概念产生了浓厚的兴趣，并愿意去探索和学
习。
11. 数学思维帮助我培养了解决问题的耐心和毅力，因为有时候一个问题可能需要很长时间才能找到解决方法。
12. 数学思维使我学会了不怕挑战和困难，因为通过不断的努力，我相信我能克服任何数学难题。
13. 数学思维让我更加注重逻辑和推理的合理性，从而培养了我的严密思维能力。
14. 数学思维提高了我的问题解决能力，我能够运用数学方法去解决生活中的实际问题。
15. 数学思维使我学会了灵活性和变通性，因为在解决数学问题时，有时候需要转变思维方式和方法。
16. 数学思维让我明白了数学与其他领域的联系，从而更好地理解了各学科之间的综合性和相互关联。
17. 数学思维是一个持续学习的过程，我会继续努力培养和提升我的数学思维能力。
肥城市第六中学校本研修评估考核材料二 0 一五年十一月目录课程开发与实施安排表校本课程实施纲要第一部分数学思维的变通性（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化第二部分数学思维的反思性(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误(2) 验算的训练(3) 独立思考，敢于发表不同见解校本课程开发与实施安排表《数学思维》校本课程纲要一、基本项目课程名称：《数学思维》授课老师：授课对象：高一、高二年级部分学生教学材料：相关网站、资料二、课程目标以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。
1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活；3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力课程内容：第一部分数学思维的变通性第二部分数学思维的反思性第三部分数学思维的严密性第四部分数学思维的开拓性四、课程实施建议基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。
五、课程评价评价指标（一）：学生自评与互评相结合，即上课出勤情况、课堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况；评价指标（二）：平时模拟训练与考查相结合；评价指标（三）：教师综合评定给与相应等级；评价等级均为：优秀、良好、中等、须努力四档第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。
原创文章：发散思维，变通为用在现实生活当中，“变通为用，此物彼用”的现象比比皆是。
可以说，世界上任何事物都有多种功能，只要人的思维灵活机动一点，往往能因地制宜，物尽其用，在紧急情况中，更是化险为夷，转危为安的妙计。
在日常生活中，只要灵活的运用这种变通方法，就能取得很多意想不到的神奇效果。
没有哪个权威者把宇宙间的物质分配要某一固定岗位，而不允许他们有多个用途，只是人们心理定势的作用太强大了，只看到事物最通用的功能。
我们要是能够“发散思维，变通为用”，往往能让思维开出美丽的花朵，让智慧结出奇异的果实。
1983年在中国召开过一次创造学会，日本的创造学家村上信雄走上主席台拿出了一枚曲别针，同时提出一个问题：“曲别针有多少用途？请与会的中国学者回答。
”当时在场的一位中国学者逐一说出了30多种，人们都觉得想法真是奇妙，于是都鼓起掌来；接下来一位日本人说出300多钟，然后放了一个幻灯片，证明有300多种，大家给与他更加热烈的掌声。
这是台下有一人递上来一张条子，上面写到，我明天将发表一个观点，证明这个曲别针可以有无数种用途，于是，他第二天就此做了一个演讲。
这个人叫徐国泰，他提出这个方案后来被称为“魔球现象”。
但是怎么分析呢？他说，按曲别针最基本的解剖，它的颜色是什么样的，它的形状是什么样的，它的重量有多大，他的质地是金属，它的柔软度等一整套因素，把它们都解剖了，列成一个横坐标，一个纵坐标，就是他在数学，物理，化学，语文，外语等各方面的用途。
曲别针的重量可以做各种砝码；作为一个金属物，曲别针可以和各种酸性类及其他化学物质产生不知道多少种反应；曲别针可以弯成1、2、3、4、5、6、7、8、9和加减乘除、开方等各种数学符号，演变成所有的数学和物理学公式；曲别针可以完成英文26个字母，可以是拉丁文，可以是俄文，于是乎，天下所有语言能够表达的东西都能够用曲别针来表现；曲别针是金属，在磁场中有磁性反应；还可以导电；在艺术中，把它绷直了，肯定有琴弦的作用。
数学思维好的孩子的特点数学思维好的孩子通常具有以下几个特点：第一，善于抽象思维。
数学是一门高度抽象的学科，需要学生具备良好的抽象思维能力。
数学思维好的孩子能够从具体的事物中抽象出共性和规律，形成逻辑思维的基础。
他们能够将抽象的数学概念运用到实际问题中，寻找解决问题的方法。
第二，注重逻辑推理。
数学是一门逻辑性极强的学科，需要学生具备严密的逻辑思维能力。
数学思维好的孩子能够运用逻辑思维方法分析问题、解决问题。
他们善于发现问题中的规律，进行逻辑推理，找出问题的解决方案。
第三，善于问题解决。
数学是解决问题的学科，需要学生具备良好的问题解决能力。
数学思维好的孩子能够通过确定问题、分析问题和解决问题的步骤，逐步推导出问题的解决方案。
他们具备较强的问题分析能力和创新思维能力，能够针对不同类型的问题提出有效的解决方案。
第四，勤于实践。
数学是一门实践性较强的学科，需要学生进行大量的练习和实践。
数学思维好的孩子善于通过实际操作和练习巩固数学知识，培养数学思维能力。
他们注重自主学习和自我实践，通过解决实际问题来提高自己的数学思维能力。
第五，思维灵活。
数学思维好的孩子具备较高的思维灵活性和创造性。
他们能够从不同的角度思考问题，寻求多种解决方案。
他们善于运用不同的数学方法解决问题，具备较强的变通能力和创新思维能力。
总之，数学思维好的孩子具备抽象思维、逻辑推理、问题解决、实践能力和灵活思维等特点。
家长和教师可以通过培养孩子的抽象思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力，激发他们的数学兴趣，提高他们的数学思维能力，从而帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
同时，家长和教师也应关注孩子的个体差异，因材施教，科学引导，培养孩子的数学能力。
巧借变式题型，引导变通思维襄阳市三十三中学刘敏关键词：变式题型，变通思维，构造几何图形，辩证统一关系。
摘要：初中几何推理的学习一直是学生学习的难点，在八年级学习平等四边形的时候更是学生成绩分化的时候，本文根据平等四边形的图形变化特点，构造出多种变式题型，引导学生打通思维，学会用变化的眼光看几何图形，从而突破推理难点，使数学课堂成为高效课堂。
时常听到家长和老师讲：“老师，我拿他没有办法了，你帮我管管吧！”有的家长甚至哭着求老师不要放弃孩子。
但是到了八年级下学期学习平等四边形的时候，有些孩子无论如何也是跟不上大部队了，他们的几何推理思维没有建立起来，无法看到几何图形之间的关系，看到几何证明题就“头大”，就想逃避，渐渐地就完全没有证明思路了。
面对这种现象，我也一直想方设法地帮助这些孩子，希望他们能从某一个方面突破学数学难的思想。
而变式题型则是使学生理解图形的一种绝好的方法。
一．变式题型从书本中得到，能从书本中找到原型，让学生倍感熟悉，不再惧怕。
如下题：如图，在□ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF。
求证：四边形BFED为平行四边形。
证明一个四边形为平行四边形的方法有很多，因为平行四边形的判定方法有五种之多。
而这个题目最简单的证明方法是连接对角线BD，利用平行四边形对角线互相平分的性质来解决问题。
在老师没有讲到这种辅助线方法的时候学生是不太容易想到的，他们的思维还停留在证明三角形全等的时候，所以他们就不能把这个题与所学的新内容联系到一起来。
在这时我就启发他们：“你们有没有发现这个图形是我们书本上例题的亲戚？”提到“亲戚”，学生们有些疑惑，我又加一句：“似曾相识？”有些头脑反映快的学生马上去看书本，很快他们就发现了书本上有这样一个例题，就只比这个图形多加了一条对角线BD。
其它条件不变。
于是他们很快就解决了这个问题，并且形成了利用平行四边形的对角线来解决问题的常规思维，遇到类似的题就会想到连接对角线了。
论数学学习的精髓数学学习的根本目的在于培养我们的思维能力。
要做到这一点，首先要培养我们良好的思维品质。
事实上，良好的思维品质往往包括以下几个方面：思维的变通性、思维的反思性、思维的严密性和思维的发散性。
培养良好思维品质的途径是课上、练习、思考等过程中进行有素的训练。
一、数学思维变通性：在数学学习中，思维变通性表现为：能善于根据题设中的具体情况，提出新的构想和解题方案。
它体现学生在智力活动中灵活程度上的差异，是数学思维的重要品质之一。
数学问题千变万化，要想既快又准的解决好数学问题，用一套固定的方案，是行不通的，必须视其具体情况，灵活确定解题方案。
也就是说，必须具有思维的变通性。
小资料：《怎样解题》G.波利亚（数学、物理、哲学家）第一：你必须弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。
你能否把它们写下来？第二：找出已知数与未知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。
拟订计划：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三：实现你的计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。
例谈数学思维的变通性
数学思维的变通性一直是数学教学的重要内容，可以帮助学生拓展和广泛他们的解决问题的能力。
这种思考方式不但能帮助学生解决数学题目，有时也能应用对实际问题的解决。
数学思维的实践是高校教育时期的重要课题，它有助于培养学生解决实际问题的能力。
首先，应学习抽象的概念，包括数学家在头脑风暴的时候找出的抽象模型和抽象数学公式。
在大脑受到这种训练之后，学生就能把抽闲的概念应用到实际问题的解决中去，想出新的办法去解决问题。
其次则是要培养学生把实际问题抽象或者把抽象问题添加到实际问题中去。
高校教育要求学生有这种变通性思维，逆向思考，从而使得学生在解决实际问题时可以有创造性，在一般问题和非常规问题中展示出来自己的表现，不拘一格。
最后，还需要对数学思维的变通性注意到，其实也是培养学生的逻辑思维和智力活动的重要内容，培养学生的独立思考能力、分析解决问题的能力以及认识事物发展规律的能力。
因此，在高校教育中，应该时刻强调数学思维的变通性，并把它作为一个综合实验课，教授学生如何在抽象思维和概念之间建立联系，以求他们更好的应用自身的才智和聪明才智来解决实际问题，最终达到发展学生自己、服务社会的目的。
初中数学与高中数学的思维差异及措施分析万德智◆关键词：初中数学；高中数学；思维差异；解决措施一、引言初中数学与高中数学之间的差异是巨大的，不仅包括思维上的差异，还包括学生的自主学习意识、学习方法、学习知识、定量变量等方面上的差异，本文介绍数学思维层面上的差异，是因为思维是决定数学学习的核心，作为初中的数学教师，只有未雨绸缪，深入认识到二者之间存在的思维差异，并不断创新教学模式与教学思想，才能在未来真正帮助学生解决初高中衔接时遇到的问题。
二、初中数学与高中数学的思维差异分析初中数学体系与高中数学体系，其思维差异主要体现在以下几点，第一点，思维的抽象性问题，分析初中与高中的数学语言，高中的数学语言更具有逻辑性与抽象性，这意味着高中数学思维要比初中数学思维更具有逻辑性与抽象性。
第二点，思维体系上的差异，分析初中与高中数学的知识框架，初中数学是较为严谨的系统型，整体性较高，利于学生进行知识的记忆、提取、应用。
而高中数学知识体系“分散性”较高，是由几个相对独立的模块组成的，各模块中又包括好几种小模块。
第三点，初中数学思维相比较高中数学思维，缺乏一定的严密性，且思维模式缺乏一定的变通性与深刻性，过于表面化，在解题过程中过于“僵化”。
综上所述，初中学生与高中学生在思维上存在的差异是初中学生学习数学知识的“体量”小，知识范围小，知识面窄，在加上个别教师只注重教学成绩，忽视了学生数学能力的培养，导致一部分在初中学生成绩很好的学生到了高中完全跟不上，这是一种“教学畸形”现象，高中数学知识是多元化的，所以初中教师在进行实际教学时，要具有创新意识，注重培养学生的逻辑思维能力，只有这样，才会促進学生的综合素质发展。
三、解决措施（一）注重新旧知识的思维衔接上文中提高，知识层面的差异是导致思维上差异的重要原因，初中教师要想培养学生的数学思维能力，首先需要注重新旧知识的思维衔接，在初中阶段就培养学生思维衔接能力，初中教师要充分理解新课标改革的内涵，并结合初中数学教材深入分析初中教学的知识要求与概念要求，在进行初中数学教学时，灵活的将数学新旧知识进行衔接。
数学思维的变通性吉小卫一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。
所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知da,,,都是实数，求证.)bc(2)(222d22≥-++++ba-baccd思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。
根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示， 则.)()(22d b c a AB -+-=,,2222d c OB b a OA +=+=在OAB ∆中，由三角形三边之间的关系知：AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 62322=+得 .20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。
上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+，知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-（2）联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩⎨⎧-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。
由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，所以⎩⎨⎧=-=31y x 或⎩⎨⎧-==13y x .可见，联想可使问题变得简单。
例4 在ABC ∆中，若C ∠为钝角，则tgB tgA ⋅的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定 思路分析 此题是在ABC ∆中确定三角函数tgB tgA ⋅的值。
因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgBtgA tgB tgA B A tg ⋅-+=+1)(可得下面解法。
解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ∆中)(B A C C B A +-=∴=++ππ 且均为锐角，、B A[].1.01,0,0.01)()(<⋅>⋅-∴>><⋅-+-=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgBtgA tgB tgA B A tg B A tg tgC 即 π 故应选择（B ）例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：思路分析 此题一般是通过因式分解来证。
但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。
于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： 1=--yx z y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有z x y +=2. 例6 已知c b a 、、均为正实数,满足关系式222c b a =+,又n 为不小于3的自然数，求证:.n n n c b a <+思路分析 由条件222c b a =+联想到勾股定理,c b a 、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设c b a 、、所对的角分别为A 、B 、.C 则C 是直角，A 为锐角，于是 ,cos ,sin cb Ac a A ==且,1cos 0,1sin 0<<<<A A 当3≥n 时，有A A A A n n 22cos cos ,sin sin <<于是有1cos sin cos sin 22=+<+A A A A n n即 ,1)()(<+n n cb c a 从而就有 .n n n c b a <+（3）问题转化的训练数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知cb ac b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。
要证的结论，可以转化为：0))()((=+++a c c b b a思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。
思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。
它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。
要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
○1 转化成容易解决的明显题目例11 已知,1111=++=++cb ac b a 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。
首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。
a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说111---c b a 、、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明 .,1111abc ab ac bc c b a =++∴=++于是 .0)()1()1)(1)(1(=+++-++-=---c b a bc ac ab abc c b a∴ 111---c b a 、、中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。
因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线L 的方程为2p x -=，其中0>p ；椭圆E 的中心为)0,22(p O +'，焦点在X 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为)0,2(p A ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线px y 22=（1）是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为14)]22([22=++-y p x （2）因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p 的取值范围。
将（2）代入（1）得：.024)47(22=++-+p p x p x （3）确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--0470240)24(4)47(222p p p p p p在0>p 的条件下，得.130<<p本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。
○2 逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。
当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数n mx x x f ++=22)(，求证)1(f 、)2(f 、)3(f 中至少有一个不小于1.思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。
当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即)1(f 、)2(f 、)3(f 都小于1。
则⎪⎩⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<17319729131318112811211)3(1)2(1)1(n m n m n m n m n m n m f f f③②①①＋③得 9211-<+<-n m ， 与②矛盾，所以假设不成立，即)1(f 、)2(f 、)3(f 中至少有一个不小于1。
○3 一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。
通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
