吉林省梅河口五中辽源五中四平四中2021届高三数学上学期第一次联考试题理【含答案】

2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =<，{|2}B x x ，C A B =，则（）A ．CB ．C B ⊆C CD 2C ∈答案：D 思路：求出C A B =，逐项排除可得答案.解：集合{|1}A x x =<，{|2}Bx x ，C A B =，{|1C x x ∴=<或2}x >，∴C ，C B ⊇C 2C ∈，故A ，B ，C 均错误，D 正确， 故选：D ． 点评：本题考查了集合的基本运算，集合间的关系、元素与集合的关系，属于基础题.2．设命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为（）A ．0,()a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 B ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 C ．(a ∀∈-∞，0]，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 D ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(-∞，1]上无零点 答案：B思路：根据命题的否定的概念判断． 解：解：命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为：(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点．故选：B ．本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键．命题的否定只要否定结论，条件不否定，但存在量词与全称量词要互换．3．已知函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)f =（） A ．5 B ．6C ．7D ．8答案：A思路：由函数的周期把(54)f 化为(4)f ，再计算函数值． 解： 解：函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)(5104)f f f =⨯+=(4)44log 4415=+=+=， 故选：A ． 点评：本题考查函数的周期性，属于基础题．4．设集合{|lg 1}A x x =<，2{|280}B x x x =+->，则A B =（）A ．(4,10)B ．(-∞，2)(4-⋃，10)C ．(2,10)D ．(-∞，4)(2-⋃，10)答案：C思路：先求出集合A ，B ，再由交集定义即可求出. 解：解：集合{|lg 1}{|010}A x x x x =<=<<，{}2280{|4B x x x x x =+->=<-或2}x >，则{|210}(2,10)A B x x ⋂=<<=． 故选：C ． 点评：本题考查交集的运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题.5．若sin α=，(2πα∈，)π，则tan(32)πα-=（）A ．73-B ．125-C ．73D ．125思路：由同角三角函数的关系求出cos α、tan α，再根据正切函数的周期及二倍角公式用tan α表示出tan(32)πα-，代入tan α的值即可得解. 解：因为sin 13α=，(2πα∈，)π，所以cos α==sin 3tan cos 2ααα==-， 所以22tan 12tan(32)tan 215tan απααα-=-=-=--．故选：B 点评：本题考查同角三角函数的关系、二倍角的正切公式，属于基础题.6．在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，且60ABE ∠=︒，9AB AC ⋅=，则AB BE ⋅=（）A ．-B ．C ．-D ．答案：A思路：根据9AB AC ⋅=求出3AB =，再解三角形求出23BE =，再利用数量积公式求解. 解：因为222||||||2||922AB AC AB AC AB AB AB ⋅=⨯=⨯⨯==， 所以3AB =． 因为60ABE ∠=︒， 所以30CBE ∠=︒， 所以23BE =故3cos120AB BE ⋅=⨯︒=- 故选：A 点评：本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（）A ．B ．C ．D ．答案：C思路：根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果. 解：由图可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()0y f x ='<在(,0)-∞上恒成立，排除选项B 和D ；函数()f x 在(0,)+∞上先递减后递增再递减，所以()y f x '=在(0,)+∞上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确； 故选：C ． 点评：本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型. 8．已知圆C 的方程为22(1)x y m +-=，则“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B思路：由题可知直线y x =与圆C 相交，且原点在圆外，建立不等式即可求出. 解：解：若直线y x =与圆C 相交，则(0,1)到直线y x =<解得12m >． 若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆外，∴1m <，由此可得，若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则112m <<． 故“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件． 故选：B ． 点评：本题考查充分、必要条件的判断，其中涉及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．若函数44()sin cos f x x x =+，则此函数的图象的对称中心为（）A ．(44k ππ+，3)()4k Z ∈B ．(44k ππ+，0)()k Z ∈C ．(84k ππ+，3)()4k Z ∈D ．(84k ππ+，0)()k Z ∈答案：C思路：利用同角三角函数的基本关系以及二倍角余弦公式将函数化为()31cos 444f x x =+，再利用正弦函数的对称轴可得42x k ππ=+，k Z ∈，求解即可.解：解：44()sin cos f x x x =+22222(sin cos )2sin cos x x x x =+-211sin 22x =-11cos 4311cos 42244x x -=-⨯=+，令42x k ππ=+，k Z ∈，可得84k x ππ=+，k Z ∈，故此函数的图象的对称中心为(84k ππ+，3)4k Z ∈．故选：C ． 点评：本题考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，掌握二倍角公式以及正弦函数的对称轴是解题的关键，属于基础题.。

2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。

但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

高三英语试卷考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例:How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.18.C.￡9.15.答案是C。

1.What time is it now?A.5:15.B.5:30.C.5:45.2.How does the man feel?A.Frightened.B.Proud.C.Excited.3.What is the man's phone number?A.560-1278.B.560-1287.C.650-1287.4.What are the speakers mainly talking about?A.How long they haven't met.B.How the woman went to college.C.How the woman's life is going.5.What does the woman think of French food?A.It is delicious.B.It is easy to make.C.It is time-consuming.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

高三上数学开学考注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．答题时请按要求用笔.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U ＝R ，A ＝{x |0＜x ≤3}，B ＝{x |x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x |1≤x ＜3}B.{x |1＜x ≤3}C.{x |1＜x ＜3}D.{x |1≤x ≤3}2.已知i,1ia a R z +∈=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （）A.1- B.0C.1D.23.已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为12y x =，则C 的焦距为（）A.B.C. D.4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3AOD π∠=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（）A.13B.4C.4D.35.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A.()32xx x f x -=B.()3exx x f x -=C.()3ln f x x x=⋅ D.()()2e 1x f x x =⋅-6.已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ⋃ð＝（）A .{2，3，4，5}B.{2，3，4，5，6}C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}7.已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（）A.45B.45-C.45i D.45-i8.已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A.[0，12） B.（﹣∞，0）∪[12，+∞）C.（0，12）D.（﹣∞，0]∪[12，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.图中0.028a =B.在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10.已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π4x =对称，则（）A.()f x 满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后与()cos3g x x =图像重合C.若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD.若()y f x =在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是3π11.已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A.MA 长度的最小值为2-B.不存在点M 使得AMB ∠为60C.当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D.若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为2812.已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AB BC BB D ⊥===是AC 的中点，O 为1AC 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥B.当直线1A P 与平面11BBC 所成的角最大时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为4πC.若三棱柱111ABC A B C -，内放有一球，则球的最大体积为43πD.1OPB △周长的最小值1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.14.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为________.15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是22，若以()0,2N 为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C 的方程是______________.16.已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知371518,10a a a a +=+=，各项均为正数的等比数列{}n b 满足351551,1616b b b b +==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()22n n n a n c b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.已知数列{}n a 中，11a =，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：2n T <.19.已知函数()21ln 2,R 2⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭x a x ax a f x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x ，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.20.在ABC ∆中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．（1）若πA 3=，3b =，求sin C 的值；（2）若22sin cossin cos 3sin 22B A A B C +=，且ABC ∆的面积25sin 2S C =，求a 和b 的值．21.已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.22.某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC ∆分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.1-5DADCB 5-8CBD 9CD 10ABC 11BD 12ABD【13题答案】【答案】314【14题答案】【15题答案】【答案】221189x y +=【16题答案】【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17【答案】（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=（2）3772n nn T +=-【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=【19题答案】【答案】（1）当12a ≤时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递减，在1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增；当1a =时，()f x 在()0,∞+上递增；当1a >时，()f x 在10,21⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上递增，在1,121⎛⎫⎪-⎝⎭a 上递减，在()1,+∞上递增；（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）21sin 7C =；（2）5a b ==【21题答案】【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦【22题答案】【答案】（1）1y =，[]2,3x ∈.2y =，[]2,3x ∈.（2）当AD =2⎫⎪⎪⎭百米.。

吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三数学上学期第一次联考试题理考生注意:1.本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3。

本试卷主要考试内容：人教A版集合与常用逻辑用语、函数导数及应用。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x｜x<1}，B＝｛x｜x>2｝，C＝A∪B，则A。

2∈C B。

C⊆B C。

3∈C D。

5－2∈C2.设命题p：∃a∈（0，＋∞），函数f(x）＝x5－ax在（1,＋∞)上有零点，则p的否定为A.∃a∈(0，＋∞）,函数f（x）＝x5－ax在(1,＋∞）上无零点B。

∀a∈(0，＋∞),函数f(x）＝x5－ax在（1,＋∞)上无零点C。

∀a∈（－∞，0］，函数f(x）＝x5－ax在（1，＋∞)上无零点D。

∀a∈（0,＋∞），函数f(x）＝x5－ax在（－∞，1]上无零点3.函数f（x）＝x2(e x＋e－x)的图象大致为4.设集合A＝｛x|lgx<1}，B＝{x|x2＋2x－8〉0}，则A∩B＝A。

（4，10) B。

(－∞，－2)∪（4，10）C。

(2，10）D。

(－∞，－4)∪(2,10)5。

曲线y＝4x＋sin2x在点（0，0)处的切线方程为A.y＝2xB.y＝3x C。

y＝5x D.y＝6x6。

设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如左下图所示,则导函数y＝f'（x)的图象为7.已知圆C的方程为x2＋(y－1)2＝m，则“m〉12”是“函数y ＝|x|的图象与圆C有四个公共点”的A.充分不必要条件B。

必要不充分条件 C.充要条件D。

既不充分也不必要条件8。

若函数f（x），g(x）满足f(x）＋xg（x)＝x2－1，且f（1）＝1，则f'(1)＋g'(1)＝A。

1 B。

2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =<，{|2}B x x ，C A B =，则（ ）A ．CB ．C B ⊆C CD 2C ∈【答案】D 【解析】求出C A B =，逐项排除可得答案.【详解】集合{|1}A x x =<，{|2}Bx x ，C A B =，{|1C x x ∴=<或2}x >，∴C ，C B ⊇C 2C ∈，故A ，B ，C 均错误，D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，集合间的关系、元素与集合的关系，属于基础题.2．设命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为（ ）A ．0,()a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 B ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 C ．(a ∀∈-∞，0]，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 D ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(-∞，1]上无零点 【答案】B【解析】根据命题的否定的概念判断． 【详解】解：命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为：(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键．命题的否定只要否定结论，条件不否定，但存在量词与全称量词要互换．3．已知函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)f =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由函数的周期把(54)f 化为(4)f ，再计算函数值． 【详解】 解：函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)(5104)f f f =⨯+=(4)44log 4415=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的周期性，属于基础题．4．设集合{|lg 1}A x x =<，2{|280}B x x x =+->，则A B =（ ）A ．(4,10)B ．(-∞，2)(4-⋃，10)C ．(2,10)D ．(-∞，4)(2-⋃，10)【答案】C【解析】先求出集合A ，B ，再由交集定义即可求出. 【详解】解：集合{|lg 1}{|010}A x x x x =<=<<，{}2280{|4B x x x x x =+->=<-或2}x >，则{|210}(2,10)A B x x ⋂=<<=． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题.5．若sin α=，(2πα∈，)π，则tan(32)πα-=（ ）A ．73-B ．125-C ．73D ．125【答案】B【解析】由同角三角函数的关系求出cos α、tan α，再根据正切函数的周期及二倍角公式用tan α表示出tan(32)πα-，代入tan α的值即可得解. 【详解】因为sin α=，(2πα∈，)π，所以cos α==sin 3tan cos 2ααα==-， 所以22tan 12tan(32)tan 215tan απααα-=-=-=--． 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、二倍角的正切公式，属于基础题.6．在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，且60ABE ∠=︒，9AB AC ⋅=，则AB BE ⋅=（ ）A ．-B ．C ．-D ．【答案】A【解析】根据9AB AC ⋅=求出3AB =，再解三角形求出23BE =公式求解. 【详解】因为222||||||2||922AB AC AB AC AB AB AB ⋅=⨯=⨯⨯==， 所以3AB =． 因为60ABE ∠=︒， 所以30CBE ∠=︒， 所以23BE =故3cos120AB BE ⋅=⨯︒=- 故选：A本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由图可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()0y f x ='<在(,0)-∞上恒成立，排除选项B 和D ；函数()f x 在(0,)+∞上先递减后递增再递减，所以()y f x '=在(0,)+∞上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型. 8．已知圆C 的方程为22(1)x y m +-=，则“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可知直线y x =与圆C 相交，且原点在圆外，建立不等式即可求出.解：若直线y x =与圆C 相交，则(0,1)到直线y x =<解得12m >． 若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆外，∴1m <，由此可得，若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则112m <<． 故“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，其中涉及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．若函数44()sin cos f x x x =+，则此函数的图象的对称中心为（ ）A ．(44k ππ+，3)()4k Z ∈B ．(44k ππ+，0)()k Z ∈C ．(84k ππ+，3)()4k Z ∈D ．(84k ππ+，0)()k Z ∈【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角余弦公式将函数化为()31cos 444f x x =+，再利用正弦函数的对称轴可得42x k ππ=+，k Z ∈，求解即可.【详解】解：44()sin cos f x x x =+22222(sin cos )2sin cos x x x x =+-211sin 22x =-11cos 4311cos 42244x x -=-⨯=+，令42x k ππ=+，k Z ∈，可得84k x ππ=+，k Z ∈，故此函数的图象的对称中心为(84k ππ+，3)4k Z ∈．故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，掌握二倍角公式以及正弦函数的对称轴是解题的关键，属于基础题.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，c =M 在AB 边上，且BM CM =，则AMAB=（ ） A ．14B ．13C ．34D ．23【答案】C【解析】由题知MBC △为等腰三角形，再由余弦定理得到cos B ，·cos 2BCBM B =得到4BM =可得答案. 【详解】因为BM CM =，所以MBC △为等腰三角形，因为3a =，b =，c =由条件可得222cos2a c b B ac +-==，所以3·cos 22BC BM B ==，解得BM =，所以AM AB BM =-=可得34AM AB =． 故选：C ． 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查运算能力. 11．已知函数321()(3)3xf x x e x x a =--++，若()0f x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．24(3e -，)+∞ B ．(0,)+∞ C ．2(23e -，)+∞ D ．(3,)+∞【答案】A【解析】求出()f x 的导数，由导数判断出函数的单调性，求出其最小值，令最小值大于0即可求出a 的范围.解：()(2)()x f x x e x '=--， 令()x g x e x =-，则1()xg x e '=-，令()0g x '>，解得：0x >，令()0g x '<，解得：0x <， 故()g x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增， 故()(0)10g x g =>，令()0f x '>，解得：2x >，令()0f x '<，解得：2x <， 故()f x 在(,2)-∞递减，在(2,)+∞递增， 故()2min 4()203f x f e a ==-+>，解得：243a e >-， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，属于中档题.12．已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】利用对数运算和对数函数的单调性比较a ，b ，c 的大小，然后再利用二次函数的单调性求解. 【详解】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．本题主要考查对数式比较大小以及二次函数单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知30B =︒，2a =，1sin 5A =，则b =__． 【答案】5【解析】利用正弦定理可求出答案. 【详解】因为30B =︒，2a =，1sin 5A =， 所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得21sin 305b=︒，解得5b =． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单. 14．设向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且1cos 3a <<，12b ><，则|2|-a b 的取值范围是__．【答案】【解析】将|2|-a b 两边平方，再利用向量数量积即可求解. 【详解】解：向量a ，b 满足||3a =，||1b =， 则22244?37431cos ,3712cos ,a b a a b b a b a b -=-+=-⨯⨯⨯=-，1cos 3a <<，12b ><， 可得412cos a <<，6b ><，612cos a ∴-<-<，4b ><-， 313712cos a ∴<-<，33b ><， ,(31a b ∈，．则|2|-a b 的取值范围是．故答案为：． 【点睛】本题考查了利用向量数量积的求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．不等式0.1(1)0.01x ln x -->的解集为__． 【答案】(1,2)【解析】利用0.1xy =和(1)y ln x =--的单调性可求得答案. 【详解】设函数()0.1(1)xf x ln x =--，0.1x y =和(1)y ln x =--均为减函数， ∴函数()f x 为减函数，f （2）0.01=，且函数的定义域为(1,)+∞，∴原不等式等价于()f x f >（2），12x ∴<<，∴不等式的解集为(1,2)．故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性解不等式的问题. 16．关于函数3()5f x x x =-有如下四个命题： ①()f x 的图象关于原点对称；②()f x 在)+∞上单调递增； ③函数|()|y f x =共有6个极值点；④方程()f x =6个实根． 其中所有真命题的序号是__． 【答案】①②④【解析】①由定义判断函数是奇函数即可；②利用导数可判断单调性；③判断函数的单调性，结合对称性即可判断极值点；④根据函数图象和极值可判断.【详解】解：对于①，()f x 的定义域为R ，3()5()f x x x f x -=-+=-，故()f x 是奇函数，()f x ∴的图象关于原点对称，故①正确；对于②，2()35f x x '=-，故当2x >时，()10f x '>>，()f x ∴在(2，)+∞上单调递增，故②正确；对于③，令()0f x '=可得53x =±， 故()f x 在5(,)3-∞-和5(3，)+∞上单调递增，在5(3-，5)3上单调递减，令()0f x =可得0x =或5x =±，作出|()|y f x =的函数图象，由图象可知|()|y f x =只有5个极值点，故③错误；对于④，()y f x =是奇函数，故|()|y f x =是偶函数，()y f x ∴=的极大值为51015()323f => ()32f x ∴=有6个根，故④正确．故答案为：①②④. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数图象的应用，属于中档题.三、解答题17．已知函数()()21f x lg x =-，()()()1g x f x lg x =--.（1）求()f x 的定义域与值域；（2）设命题():p g x 的值域为()lg2,+∞，命题():q g x 的图象经过坐标原点.判断p q ∧，p q ∨的真假，说明你的理由.【答案】（1）定义域为()(),11,-∞-+∞；值域为R ；（2）p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，理由见解析.【解析】（1）由210x ->，得1x <-或1x >，可得到定义域， 21x -可取遍所有的正数，可得()f x 的值域为R ；（2）由()g x 的定义域为()1,+∞，可得()g x 的值域为()2,lg +∞，可得p 为真命题；由()g x 的定义域为()1,+∞，可得()g x 的图象不可能经过坐标原点，可得q 为假命题，最后可得出p q ∧，p q ∨的真假. 【详解】（1）由210x ->，得1x <-或1x >， 则()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，因为21x -取遍所有正数，所以()f x 的值域为R ； （2）()()1g x lg x =+，()g x 的定义域为()1,+∞，则()g x 的值域为()2,lg +∞，p 为真命题；因为()g x 的定义域为()1,+∞，所以()g x 的图象不可能经过坐标原点，则q 为假命题， 所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域与值域，考查复合命题的真假性判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.18．已知函数2()2cos f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程； （2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2），3]2．【解析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案； （2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()sin 2cos 2f x x x =+1cos 2222xx +=+1sin(2)62x π++=，()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈． （2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2．【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.19．已知函数(2)244x f x x =-+，函数()f x 只有两个零点，设这两个零点为1x ，212()x x x <．（1）证明：1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈． （2）证明：127225x x -<-<-．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）求出()f x 解析式，利用零点存在定理即可证明；（2）由（1）知1x ，2x 是()f x 的两个零点，所以111()240xf x x =-+=，222()240x f x x =-+=，两式相减可得121222x x x x -=-，再利用（1）的结论即可证明.【详解】（1）由(2)244x f x x =-+，则()24x f x x =-+，4(4)20f --=-<，(3)0f ->，f （2）0>，f （3）0<，又函数()f x 只有两个零点，这两个零点为1x ，212()x x x <． 故1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈； （2）1x ，212()x x x <是函数()f x 的零点，111()240x f x x ∴=-+=，222()240x f x x =-+=，故121212()()220x xf x f x x x -=--+=， 即121222x xx x -=-，1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈，1275x x ∴-<-<-，即127225x x -<-<-．【点睛】本题主要考查了零点存在定理以及不等式的性质，属于中档题. 20．如图，ABC 与ACD △在同一个平面内，4CAD π∠=，2AB BC =，222AC BC AC BC -=⋅．（1）求ACB ∠；（2）若232AB =，且ACD △的面积为3，求CD 的长．【答案】（1）4π；（210． 【解析】（1）由余弦定理可求得cos ACB ∠，从而得角的大小；（2）由AB 结合（1）中结论求得BC ，再AC ，由ACD △的面积求得AD ，再由余弦定理得CD ． 【详解】解：（1）因为2AB BC =，222AC BC AC BC -=⋅，所以2222222A C C BC AB A B C BC C C B +-=-=⋅+，222cos 222AC BC AB BC ACB AC BC AC BC +-⋅∠===⋅⋅, 又因为(0,)ACB π∠∈， 故4ACB π∠=．（2）因为,2AB AB ==，所以BC =，又因为22AC BC BC -=⋅，所以22AC -=⋅，整理得21)2)0AC AC -+=，解得2AC =或2)AC =（舍去）．因为1··sin 32ACD S AC AD CAD AD =∠==△，所以=AD 由余弦定理得2222cos 10AC CD A D C A AD A D C -⋅∠==+，所以CD = 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．21．已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，求得函数的导数()331ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况讨论，即可求解；（2）由1a b ==，求得函数的导数()32321x x f x x--'=，进而求得函数的单调性和最小值，即可求解.（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减． （2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=， 又由()()()()()32322223213313111131x x x x x x x x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．已知函数()(1cos )f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(,())f ππ，处的切线方程； （2）确定()f x 在33(,)22ππ-上极值点的个数，并说明理由． 【答案】（1）2y x =；（2）极值点的个数为2，理由见解析.【解析】（1）求得函数的导数，得到()2f π'=及()2f ππ=，结合直线的点斜式方程，（2）由()1cos sin f x x x x '=-+，分(0,]x π∈和(,)x m π∈两种情况分类讨论，结合函数的奇偶性、单调性和极值的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()(1cos )f x x x =-，可得()1cos sin f x x x x '=-+，则()2f π'=， 又由()2f ππ=，所以曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程为22()y x ππ-=-，即2y x =． （2）由()1cos sin f x x x x '=-+，当(0,]x π∈时，()0f x '>，则()f x 在(0,]π上单调递增，无极值点； 设()()g x f x ='，则()2sin cos g x x x x '=+， 当3(,)2x ππ∈时，()0g x '<，则()g x 在3(,)2ππ上单调递减，因为()20g π=>，33π1022g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以存在唯一的实数3(,)2m ππ∈，使得()0g m =， 当(,)x m π∈时，()0f x '>，当3(,)2x m π∈时，()0f x '<， 所以()f x 在3(0,)2π只有一个极值点，且该极值点为m ， 因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 所以()f x 在3(,0)2π-上也只有1个极值点，且该极值点为m -． 综上可得，()f x 在上极值点的个数为2． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数极值点的个数，其中解答中熟记导数在函数中的应用，结合函数的单调性与极值求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

2021届吉林省五校联考高三上学期联合模拟考试数学〔理〕试题一、单项选择题1．假设集合(){}{}22log 2,60A x y x B x x x ==-=--≤，那么()R A B =〔 〕A ．(]2,2-B ．[]22-,C ．()2,3D ．(]2,3【答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再根据补集、交集的定义计算可得； 【详解】解：(){}{}{}2log 2202A x y x x x x x ==-=-= 所以{}|2R A x x =≤所以(){}|22R A B x x =-≤≤ 应选：B2．i 是虚数单位，那么21ii+-的虚部为〔 〕 A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】D【分析】利用复数的运算法那么即可得出．【详解】解：复数2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+，那么z 的虚部是32．应选：D ．3．()52x +的展开式中3x 项的系数为〔 〕 A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】B【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】解：()52x +的展开式的通项5152r r r r T C x -+=，令53r -=，解得2r ，所以232335240T C x x ==，所以3x 项的系数为40，应选：B4．假设数列{}n a 满足12211,1,n n n a a a a a ++===+，那么称数列{}n a 为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最 完美的经典黄金比例.作图规那么是在以斐波那契数为边的正方形拼 成的长方形中画一个圆心角为90︒的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线，如下图的5个正方形的边长分别为125,,,a a a ⋅⋅⋅， 在长方形ABCD 内任取一点，那么该点不在任何一个扇形内的概率为〔 〕 A ．1031156π-B ．14π-C ．7116π-D ．391160π-【答案】D【分析】由题意求得数列{}n a 的前6项，求得长方形ABCD 的面积，再求出4个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案．【详解】解：由题意可得，数列{}n a 的前6项依次为：1，1，2，3，5，8，∴长方形ABCD 的面积为5840⨯=．4个扇形的面积之和为222239(1235)44ππ+++=． ∴所求概率391160P π=-． 应选：D ．5．向量()(),2,1,1a x b ==，假设a b a b +=+，那么实数〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由a b a b +=+，平方可得,a b 两个向量同向，利用坐标公式求解即可. 【详解】由a b a b +=+，平方得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+， 即a b a b ⋅=⋅，那么a b ，同向，故有1210x ⨯-⨯=，得2x =， 应选：B.6．执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔 〕 A ．13B ．23C ．1321D ．610987【答案】C【分析】按箭头执行运算，一次运算后不满足判断框中的条件继续执行循环，二次运算后满足判断框中的条件退出循环，得出答案.【详解】20,1,,13i S S i ==== ，不满足判断框中的条件继续执行循环，22()1133,2221213S i +===⨯+ ，满足判断框中的条件退出循环.应选：C【点睛】直到型循环，先执行循环体，直到满足条件退出循环，注意计算的准确性.7．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，那么函数()f x 的一个单调减区间可以为〔 〕A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66- C ．π5π[,]36- D ．π2π[,]63【答案】A【分析】先利用三角函数的平移变换的应用得2()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦型函数单调减区间的整体思想的应用求出结果即可． 【详解】把()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后，得到()sin(2)2g x x ϕπ=-+=sin(2)6x π+的图象， 0ϕπ<<，23πϕ∴=，即2()sin(2)3f x x π=+.令2222,232k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，可得函数()f x 的一个单调减区间为,]1212π5π[-. 应选：A ．8．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①//,m nαβ且αβ⊥，那么//m n ；②//,//m n αβ且//αβ，那么//m n ；③,//m n αβ⊥且αβ⊥，那么m n ⊥ ； ④,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，那么m n ⊥.其中正确命题的个数是〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】对①，利用特殊情况即可判断；对②，由线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可判断；对③④，根据面面垂直两个面的法向量与方向向量的关系即可判断. 【详解】解：对①，当m β⊂时，由n β⊥得m n ⊥，故①错误；对②，由线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理可知，,m n 可能平行，相交，异面，故②错误；对③，由,m ααβ⊥⊥知：m β或m β⊂ ， 又n β，,m n ∴平行、相交或异面，故③错误；对④，由,m n αβ⊥⊥知：m 为α的法向量 ，n 为β的法向量， 又αβ⊥，m n ∴⊥，故④正确.应选：A.9．0.90.70.9log 0.9,log 0.7,0.7a b c ===，那么,,a b c 的大小关系是〔 〕 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】C【分析】可直接判断1b >，(),0,1a c ∈，再以0.7为“桥梁〞，比拟,a c 大小即可. 【详解】0.70.70.7log 0.9log 0.70.7a =<=，所以()0,0.7a ∈；0.90.9log 0.7log 0.91b =>=，所以1b >；0.910.70.70.7c =>=，所以()0.7,1c ∈，故a c b <<.应选：C.10．双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且2PF y ⊥轴，假设12PF F △的内切圆半径为45a，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．95B ．85C ．75 D ．65【答案】A【分析】由双曲线的性质结合直角三角形的内切圆半径公式，即可得到离心率.【详解】y c =代入双曲线方程，得2bx a=±，所以2221,||2b b PF PF a a a==+，12Rt PF F 内切圆半径为222(2)425b b c a a a a c a +-+=-=所以99,55a c e ==. 应选：A.11．函数()()11sin 1x x f x x e e --+=-+-，那么关于x 的不等式()0f x >的解集为〔 〕A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞【答案】B【分析】求出导函数，结合根本不等式可得()0f x '>，可得()f x 是R 上的增函数，进而可得结果.【详解】依题意可得111()cos(1)x x f x x e e --'=-++，因为11111122x x x x e e e e ----+≥⋅=， cos(1)[1,1]x -∈-，所以()0f x '>，()f x 是R 上的增函数，又(1)0f =， 所以()0()(1)1f x f x f x >⇔>⇔>. 应选：B.【点睛】关键点点睛：此题的关键点是：得出函数()f x 是R 上的增函数.12．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，那么ABC ∆的面积的最大值为〔 〕 A ．6 B ．62 C ．12 D ．122【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，那么2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，那么由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，那么2AB x =，那么211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，那么()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦， 当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =， 应选：C【点睛】此题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，此题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，那么AB BDAC CD= 二、填空题13．函数()54,0ln .0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，那么35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【答案】0【分析】从内层往外逐层代入即可求解. 【详解】解：3354155f ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31ln105f f f ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：0.14．假设x ，y 满足约束条件20030y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，那么y z x =的最大值为__________.【答案】2【分析】画出可行域，z 表示可行域上的点到原点(0,0)的斜率，分析并计算z 的最大值. 【详解】作出可行域如下图，又z 为可行域内的点到原点(0,0)O 的斜率，由图得z 的最大值为AO k ， 又(1,2)A ，得z 的最大值为AO k 2=. 故答案为：2【点睛】此题考查了线性规那么，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的根底，理解目标函数的意义是解题的关键．15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队 获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立，那么甲队以3:2获胜的概率是__________. 【答案】427【分析】甲队以3:2获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队2:2平，第五比赛甲胜，由此利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出甲队以3:2获得比赛胜利的概率．【详解】解：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立．甲队以3:2获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队2:2平，第五比赛甲胜，∴甲队以3:2获得比赛胜利的概率为：22242114()()()33227P C ==．故答案为：427． 16．抛物线2:16C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 上动点，点()4,6B -，当PBPF取最大值时，点P 的坐标为__________. 【答案】()1,4-【分析】根据抛物线的定义，PB PF 转化为PBPQ ，结合图像判断什么时候PB PF取最大值，进而求出点P 的坐标.【详解】由题意知，焦点为()4,0F ，且()4,6B -在抛物线的准线上， 设点P 在抛物线准线上的投影为点Q ，那么PF PQ =，故PB PB PFPQ=，要使PBPF取最大，只需PBQ ∠最小，此时直线PB 与抛物线相切，设直线PB ：()46x t y +=-，即64x ty t =--，联立21664y x x ty t ⎧=⎨=--⎩，得21696640y ty t -++=，由直线PB 与抛物线相切，得()()216496640t t ∆=-+=，即2t =或12t =-，结合图像，可知当12t =-时，PBQ ∠最小，故28160y y ++=，即4y =-，因此点P 的坐标为()1,4-. 故答案为：()1,4-.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 三、解答题17．等差数列{}n a 满足253,25a S ==.〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕21n a n =-； 〔2〕21nn +. 【分析】〔1〕由253,25a S ==，列出方程组，求得1a 1,d 2，即可求得数列{}n a 的通项公式；〔2〕由〔1〕求得11111()22121n n n b a a n n +==--+，结合“裂项法〞求和，即可求解. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==，可得113545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2， 所以数列{}n a 的通项公式()12121n a n n =+-=-. 〔2〕由〔1〕知21n a n =-， 可得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以数列{}n b 的前n 项和： 111()2121211111111[(1)()()](1)233557122n nS n n n n --++=-+-+-++=-=+. 【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法〞求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，以及合理利用“裂项法〞求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于根底题.18．为推动长春市校园冰雪运动，充分展示?长春市中小学“百万学子上冰雪〞行动方案?的工作成果，某 学校决定学生全员参与冰雪健身操运动.为了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽 取了20名男生和20名女生的测评成绩〔总分值为100分〕组成一个样本，得到如下图的茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢.〔1〕请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关？〔2〕从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操的概率； 〔3〕用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取1人，求其中喜欢冰雪健身操的人数X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕12；〔3〕答案见解析.【分析】〔1〕分析数据，完成列联表，套公式计算2K ，对照参数下结论； 〔2〕利用等可能性的概率公式直接求概率；〔3〕分析题意，列举X 的所有可能取值，分别求概率，写出分布列，套公式求数学期望.【详解】〔1〕列联表如下：所以()()()()()()222405101510 2.667 2.07215252020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以有85%的把握该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关.〔2〕设事件A ：随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操，那么()1111510151011202012C C C C P A C C +==. 〔3〕X 的所有可能取值：0,1,2，那么()3130428P X ==⨯=，()11311142422PX ==⨯+⨯=， ()1112428P X ==⨯=，所以X 的分布列为X 的数学期望为：()34130128884E X =⨯+⨯+⨯=.19．等边三角形ABC 的边长为3，点,D E 分别是棱,AB AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==〔如图 ①〕，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，连接11,A B A C，点F 是棱1A B 上的动点，点P 是棱BC 上的动点〔如图②〕.〔1〕假设113A F FB =，求证：//CF 平面 1A DE ；〔2〕假设1A D DB ⊥，且直线1A P 与平面1A BD 求平面1A DP 与平面1A CE 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见详解；. 【分析】(1)通过边长的比例关系，先证明平面CHF ∥平面1A DE ，进而求证//CF 平面 1A DE ；(2)根据条件，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求平面1A DP 与平面1A CE 所成锐二面角的余弦值. 【详解】(1)证明：过点C 作BD 的垂线，交BD 于点H ，连接FH .由题意易得：DE BD ⊥，CH BD ⊥，CH ∴∥DE ，DE ⊂平面1A DE ，CH ⊄平面1A DE ，CH ∴∥平面1A DE ,又12AD DB =，13DH BH ∴=， 113A F FB =，1A D ∴∥FH ， 1A D ⊂平面1A DE ，FH ⊄平面1A DE ，FH ∴∥平面1A DE ，又CH ∈平面CHF ，FH ∈平面CHF ，且FHCH H =，∴平面CHF ∥平面1A DE ，CF ⊂平面CHF ， CF ∴∥平面 1A DE ；(2)由题意易得1A D 、BD 、DE 两两垂直，故以点D 为坐标原点，DB 为x 轴，DE 为y 轴，1DA 为z 轴， 建立如以下图所示的空间直角坐标系， 过点P 作BD 的垂线交BD 于点Q ，连接1A Q ， 易得PQ ⊥平面1A BD ，又因直线1A P 与平面1ABD 那么直线1A P 与平面1A BD1PQ AQ= 再由1AQ=)PQ DQ ==-= 得1DQ =.故在空间坐标系中：()10,0,1A ，()0,0,0D ，()P，12C ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，()E ，设平面1A DP 的法向量(),,n x y z =，那么100n DA n DP ⋅=⎧⎨⋅=⎩ ，得0z x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =，那么()3,1,0n =-，同理平面1A CE的法向量(3,1,m =-，故平面1A DP 与平面1A CE所成锐二面角的余弦值为3n m n m⋅==+⋅20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，短轴长是12.〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕点P 是椭圆上任意一点，直线1PF 交椭圆于点Q ，直线2PF 交椭圆于点R ，且满足1122,,PF FQ PF F R λμ== .求证：λμ+是定值. 【答案】(1)22143x y +=；(2) λμ+为定值103. 【分析】(1)由，易求得a ，b ，进而得到椭圆C 的标准方程；(2)根据题意，对P 是否为长轴顶点分类讨论，假设P 不是长轴顶点，设直线1PF ：1x my =-，直线2PF ：1x ny =+，通过联立方程组，以及根与系数关系，用m，n 来表示λμ+，进而证明λμ+为定值.【详解】(1)由题意得212b c a ⎧=⎪⎨⎪⎩ ，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程的标准方程为：22143x y +=. (2)①当点P 是椭圆为长轴顶点时，易得103；②当点P 是椭圆不为长轴顶点时，设直线1PF ：1x my =-，直线2PF ：1x ny =+， 设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ ，得()2234690m y my +--=， ()223636340m m ∆=++>恒成立，由韦达定理得：012634m y y m +=+，012934y y m =-+， 同理得：022634n y y n +=-+，022934y y n =-+，联立11x my x ny =-⎧⎨=+⎩，得2,m n P m n m n +⎛⎫⎪--⎝⎭， 又因点P 在椭圆上，得()()()2224143m n m n m n ++=--，化简得22101639m n mn +=+， 由1122,,PF FQ PF F R λμ==，得0102,y y y y λμ-=-=， 故22000102y y y y y y λμ+=-- 2222433892m n m mn n ++=⋅-+ ， 又因22101639m n mn +=+，故4401010441033416449933933mn mn mn mn λμ⎛⎫++⎪⎝⎭+=⋅=⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 综上：λμ+为定值103. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．函数()()xf x x e a =-.〔1〕假设函数()f x 过原点切线的斜率是3，求实数a 的值； 〔2〕假设()1ln x x f x ++≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕2a =-；〔2〕0a ≤.【分析】〔1〕函数过某点处的切线，需设出切点，利用函数在切点处的导数等于切点处切线的斜率，得到关于a 的方程，求出a .〔2〕恒成立问题别离参数，转化为求函数1ln ()x x xg x e x++=-的最小值，求导，利用隐零点代换001lnx x =，求出()g x 的最小值，得到0a ≤. 【详解】〔1〕设切点为000(,()xx x e a - ，且'()(1)x f x x e a =+- ，那么切线方程为00000()[(1)]()x xy x e a x e a x x --=+--，由切线过原点，那么有00000()[(1)]()x xx e a x e a x --=+--，解得00x = ，所以000'()(1)3xf x x e a =+-= ，因此2a =- .〔2〕假设()1ln x x f x ++≤恒成立，即1ln ()x x x x e a ++≤-恒成立，即1ln xx xa e x++≤-恒成立， 令1ln ()xx x g x e x ++=-，那么22ln '()x x e xg x x+= ， 令2()ln x h x x e x =+，那么21'()(2)0x h x e x x x=++> 所以2()ln x h x x e x =+在(0,)+∞ 是增函数，又112211(1)0,()110ee h e h e e e e -=>=-=-<因此，01(,1)x e∃∈ ，使得02000()ln =0xh x x e x =+，所以，当0(0,)x x ∈ 时，()0h x < ,即)'(0g x < ，()g x 在0(0,)x 上是减函数当0(+)x x ∈∞，时，()0h x >，即'()0g x >，()g x 在0(+)x ∞，上是增函数， 那么000min 001ln ()()x x x g x g x e x ++==-，由02000()ln =0x h x x e x =+得01ln 0000001111ln ln ln x x x e x e x x x x =-==⋅又设()x x xe ϕ= ，易知()x x xe ϕ=在(0,)+∞ 是增函数，所以001lnx x = ， 故000min 001ln ()()=0x x x g x g x e x ++==-，因此0a ≤ . 【点睛】注意区别在某点和过某点的切线问题，恒成立别离参数转化为求最值问题，零点不可求，需用隐零点代换，最终得解，注意()x x xe ϕ=在(0,)+∞ 是增函数，所以001lnx x =. 22．在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，.在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AOB 的面积.【答案】〔1〕1C ：30x y +-=；2C ：()2224x y -+=；〔2【分析】〔1〕消元将直线的参数方程转化为普通方程，根据公式将极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕首先求出圆心到直线的距离，即可求出弦AB 的长，再根据原点到直线的距离即为高，即可求出三角形的面积；【详解】解：〔1〕因为曲线1C的参数方程为32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，所以1C 的普通方程为30x y +-=，因为曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=〔2〕因为2C ：()2224x y -+=的圆心坐标()22,0C ，半径2r，所以圆心到直线30x y +-=的距离d =，所以AB =点O 到直线30x y +-=的距离2h ==1122AOBSAB h == 23．()|1|| -1|f x x a x a =+++．〔1〕当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集;〔2〕假设1≥x 时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) (,2][1,)-∞-+∞．(2) [0)+∞，. 【分析】〔1〕将a =1代入f 〔x 〕中，去绝对值后分别解不等式即可；〔2〕x ∈〔0，1〕时，不等式f 〔x 〕＜x +2恒成立等价于当x ∈〔0，1〕时，|ax -1|＜1恒成立，然后分a ≤0和a ＞0讨论即可．【详解】解：〔1〕解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥. 当–1x <时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13x x +-≥，13≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1≥x ，所以1≥x ﹒ 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩ 当1x <-时，213x --≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13≥，无解；当0x ≥时，213x +≥，解得1≥x ，所以1≥x ． 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．〔2〕解法1：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥.令()(1)1g x a x =-+，那么()g x 的图像为过定点()11，斜率为a 的一条直线， 数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[1)+∞，上恒成立. 所以，所求a=解法2：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥. 由不等式的性质得11ax a -+-≤或11ax a -+≥， 即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥.当1≥x 时，a R ∀⊂，不等式2(1)2a x -≤-不恒成立； 为使不等式(1)0a x -≥恒成立，那么0a ≥. 综上，所求a=【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。

绝密★启用前吉林省三校(梅河口五中、辽源五中、四平四中) 2021届高三年级上学期第一次联考质量检测物理试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分。

考试时间90分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教版必修1。

第I卷(选择题共48分)选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求,第9～12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。

1.小雨同学从5楼楼梯口下到其正下方1楼楼梯口用了1min,已知每层楼的高度为3m,则下列说法正确的是A.小雨下楼过程中的路程为15mB.小雨的平均速度大小为0.2m/sC.小雨的平均速度大小为0.25m/sD.由于不知道楼道的总长度,无法求出小雨的平均速度2.如图所示,一只气球在风中处于静止状态,风对气球的作用力大小为F、方向水平向右。

细绳与竖直方向的夹角为α,气球受到的重力为G,则细绳对气球作用力的大小为A.sin F αB.cos F αC.cos G αD.Fsin α 3.2020年6月至8月,我国南方某些地区连日暴雨,共有433条河流发生超警戒线的洪水。

某次无风的情况下,一雨滴在空中下落过程中的速度随时间变化的图像如图所示,则下列说法正确的是A.雨滴下落过程中的加速度可能大于重力加速度B.雨滴下落过程中的加速度方向发生了变化C.当速度等于v 0时,雨滴所受空气阻力等于重力D.随着雨滴速度的增加,空气阻力逐渐减小4.一质量为2kg 的物体,在竖直向上的拉力F 作用下由静止开始向上做匀加速直线运动,第2s 内的位移为3m,取重力加速度大小g=10m/s 2,不计空气阻力,则拉力F 大小为A.2NB.4NC.12ND.24N5.通常情况下,人的反应时间和汽车系统的反应时间之和在1.39s ～1.98s 之间。

吉林省2021年高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·荆门模拟) 已知全集，集合，，则A .B . 或C .D . 或2. （2分）(2016·安庆模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=2i2016 ，则复数z的虚部为（）A . ﹣1B . 1C . ID . ﹣i3. （2分）已知正方形ABCD的三个顶点A（1，1），B（1，3），C（3，3），点P（x，y）在正方形ABCD的内部，则z=-x+y的取值范围是（）A . (-2,2)B . (-1,1)C . (-2,1)D . (0,2)4. （2分）(2017·辽宁模拟) 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）给出下列命题：①在区间上，函数中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·沈阳月考) 已知左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，则（）A . 1或33B . 1C . 33D . 1或117. （2分） (2018高三上·牡丹江期中) 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·六安月考) 如图，在直角坐标系xoy中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若，其中，则的取值范围是（）A . [2,3+ ]B . [2,3+ ]C . [3- , 3+ ]D . [3- , 3+ ]9. （2分） (2019高三上·浙江月考) 口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为，，，，，从中任取个球，以表示取出球的最大号码，则 =（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·定远月考) 给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A . 16B . 17C . 18D . 19二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为________12. （1分） (2018高一下·中山期末) 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是________．13. （1分） (2019高一上·合肥月考) 若函数的值域为，则的取值范围为________．14. （1分）周长为2的直角三角形的面积的最大值为________．三、双空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2016高二上·乐清期中) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________16. （1分）(2017·衡阳模拟) （x+ +2）3的展开式中，x2的系数是________（用数字作答）．17. （1分） (2020高一下·东莞月考) 化简 ________.18. （1分） (2019高二上·太原月考) 已知圆 .动点在直线上，过点引圆的切线，切点分别为，则直线过定点________.四、解答题 (共4题；共40分)19. （10分）(2019·南通模拟) 如图，在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP．（1）求证：MN∥平面PBC；（2）求证：MD⊥平面PAB．20. （10分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=g（x）﹣（a﹣1）lnx，g（x）=ax+ +1﹣3a+（a﹣1）lnx．（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求正实数a的取值范围．21. （10分）(2019·全国Ⅲ卷理) 已知曲线C: ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.22. （10分） (2016高三上·杭州期中) 已知函数f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a为非零实数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若y=f（x）有两个极值点x1 ， x2 ，且x1＜x2 ，求证：＜．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、双空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共4题；共40分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考数学（文科）试题一、未知(★★★) 1. 设集合，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 设命题，函数在上有零点，则的否定为（）A．，函数在上无零点B．，函数在上无零点C．，，函数在上无零点D．，函数在，上无零点(★★★) 3. 已知函数的周期为5，当时，，则（）A．5B．6C．7D．8(★★★) 4. 设集合，，则（）A．B．，，C．D．，，(★★★) 5. 若，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知圆的方程为，则“ ”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 若函数，则此函数的图象的对称中心为（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（）A．，B．C．，D．(★★★) 11. 已知函数，若，，，则（）A．（b）（c）（a）B．（b）（a）（c）C．（c）（a）（b）D．（c）（b）（a）(★★★)12. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．(★★★) 13. 设向量，满足，，且，，则的取值范围是__．(★★★) 14. 不等式的解集为__．(★★★) 15. 关于函数有如下四个命题：① 的图象关于原点对称；② 在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中所有真命题的序号是__．(★★★) 16. 已知函数，.（1）求的定义域与值域；（2）设命题的值域为，命题的图象经过坐标原点.判断，的真假，说明你的理由.(★★★) 17. 已知函数．（1）求的最小正周期及的图象的对称轴方程；（2）若，，求的取值范围．(★★★) 18. 已知函数，函数只有两个零点，设这两个零点为，．（1）证明：，．（2）证明：．(★★★) 19. 如图，与在同一个平面内，，，．（1）求；（2）若，且的面积为3，求的长．(★★★) 20. 已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）确定在，上极值点的个数，并说明理由．二、单选题(★) 21. 在正方形中，为边上一点，且，，则（）A．B．C．D．三、解答题(★★★) 22. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，且恒成立，求的取值范围．。

吉林省辽源市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-，∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.4．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.5．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离，从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.6．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．7．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ⋅=，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，OB 所在直线的斜率，作积得答案． 【详解】解：设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =，则y′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =， 由0PA PB ⋅=，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣1．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-． 故选：A ．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,ab ,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据.0PA PB =得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.8．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -C ．43i -+D ．43i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.9．二项式52x⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 10．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.11．tan570°=（ ） AB ．CD【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30°=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.12．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A ．5B ．2C ．5D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省吉林市2021届高三数学上学期第一次调研考试试题 理本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合}06|{2>--=x x x A ，}|{N x x B ∈=，则()R C A B ⋂=A. }2,1{B. }2,1,0{C. }3,2,1{D. }3,2,1,0{2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数①|sin |x y =；②)32cos(π+=x y ；③x y 2tan =A. 0B. 1C. 2D. 33. 下列向量中不是单位向量的是A. )0,1(B. )1,1(C. )sin ,(cos ααD. )0|(|||≠a a a4. 为了得到函数)421cos(π+=x y 的图象，可将函数x y 21cos=的图象 A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移2π个单位D. 向右平移2π个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“0cos <α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 等差数列{}n a 中，5101530a a a ++=，则22162a a -的值为A ． 10-B ．20-C ．10D ．207. 已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在区间),0[+∞是单调增函数，若)2()1(f a f <-，则实数a 的取值范围是 A. 31<<-a B. 1-<a 或3>a C. 13<<-aD. 3-<a 或1>a8. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α,β，且小正方形与大正 方形面积之比为25:1，则)cos(βα-的值为 A.2524B ．1C ．257D ．09. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A. x e e y xx cos )11(+-= B. 222||--=x y x C. 2||2||+-=x y x D. x x y cos )1(2-=10. 某兴趣小组对函数)(x f 的性质进行研究，发现函数)(x f 是偶函数，在定义域R 上满足)1()1()1(f x f x f +-=+，且在区间]0,1[-为减函数．则)3(-f 与)25(-f 的关系为A ．)25()3(-≥-f fB ．)25()3(->-f fC ．)25()3(-≤-f fD ．)25()3(-<-f f11．设I 为ABC Δ的内心，延长线段AI 交线段BC 于点D ，若DB CD 3=，则=C B sin :sinA. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:912. 已知函数)2()(,1,1,ln )(f kx x g x xe x x x f x '+=⎩⎨⎧<≥=，对]3,3[,21-∈∃∈∀x R x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则k 的取值范围是A. ]6131,(---∞eB. )6131[∞++，e C. ]6131,6131[+--e eD. ]6131,(---∞e ⋃)6131[∞++，e 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前数学试卷学校：题号一二三四总分得分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，C＝A∪B，则A.2∈CB.C⊆BC.3∈CD.5－2∈C2.设命题p：∃a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x5－ax在(1，＋∞)上有零点，则p的否定为A.∃a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x5－ax在(1，＋∞)上无零点B.∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x5－ax在(1，＋∞)上无零点C.∀a∈(－∞，0]，函数f(x)＝x5－ax在(1，＋∞)上无零点D.∀a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x5－ax在(－∞，1]上无零点3.函数f(x)＝x2(e x＋e－x)的图象大致为4.设集合A＝{x|lgx<1}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∩B＝A.(4，10)B.(－∞，－2)∪(4，10)C.(2，10)D.(－∞，－4)∪(2，10)5.曲线y＝4x＋sin2x在点(0，0)处的切线方程为A.y＝2xB.y＝3xC.y＝5xD.y＝6x6.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如左下图所示，则导函数y＝f'(x)的图象为7.已知圆C的方程为x2＋(y－1)2＝m，则“m>12”是“函数y＝|x|的图象与圆C有四个公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x 2－1，且f(1)＝1，则f'(1)＋g'(1)＝ A.1 B.2 C.3 D.49.函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 2－4在[1，3]上不存在零点的一个充分不必要条件是 A.a ∈(1，4)∪(5，＋∞) B.a ∈(－∞，－1)∪(1，3) C.a ∈(1，3)∪(4，＋∞) D.a ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)10.已知函数f(x)＝(x －3)e x －13x 3＋x 2＋a ，若f(x)>0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 A.(e 2－43，＋∞) B.(0，＋∞) C.(2e －23，＋∞) D.(3，＋∞)11.已知函数f(x)＝x 2－2x ，若a ＝log 827，b ＝log 511，c ＝－log 0.258，则 A.f(b)<f(c)<f(a) B.f(b)<f(a)<f(c) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a) 12.已知函数f(x)＝e x －ax 2＋2ax 有两个极值点，则a 的取值范围是A.(e ，＋∞)B.(2e，＋∞) C.(e 2，＋∞) D.(22e ，＋∞)第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省四平市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为A ．96B ．84C ．120D ．360 【答案】B【解析】【分析】【详解】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ． 3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案.【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒.故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x >B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤C ．xD ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题，所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >.故选：D【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.7．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-【答案】A【解析】分析：作出函数()f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x的图象，如图所示，若m n<，且()()f m f n=，则当ln(1)1x+=时，得1x e+=，即1x e=-，则满足01,20n e m<<--<≤，则1ln(1)12n m+=+，即ln(1)2m n=+-，则22ln(1)n m n n-=+-+，设()22ln(1),01h n n n n e=+-+<≤-，则()21111nh nn n-=+=++'，当()0h n'>，解得11n e<≤-，当()0h n'<，解得01n<<，当1n=时，函数()h n取得最小值()1122ln(11)32ln2h=+-+=-，当0n=时，()022ln12h=-=；当1n e=-时，()1122ln(11)12h e e e e-=-+--+=-<，所以32ln2()2h n-<<，即n m-的取值范围是[32ln2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.8．若a R∈，则“3a=”是“()51x ax+的展开式中3x项的系数为90”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.9．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A【解析】【分析】 计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.【详解】 由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.10．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-，且a b ⊥， ·22(2)0a b λ=+-=，则1λ=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 11．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =-C ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A 选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 12．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ）A ．20B ．18C ．16D ．14【答案】A【解析】【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。