高等代数7.6线性变换的值域与核.ppt

§7.6 线性变换的值域与核教学目的 理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构，及其与核的关系.重 点 值域的结构，值域与核的关系. 难 点 值域与核的关系. 课 型 新授课 教学过程定义6：A ——V 上的线性变换（()A L V ∈），A 的值域：{}V A AV ∈=ξξ，其维数叫A 的秩.A 的核：(){}V A A ∈==-ξξξ,001，其维数叫A 的零度. 易证：AV 与()01-A 均是V 的子空间。

例：在[]n x P 中，()()()x f x f A '=则[]()[]()P A x P x P A n n ==--0,11二者均是[]n x P 的子空间。

定理10 11A (),dim ,,,n L V V n εεε∈=L 是一个基。

1）12AV (A ,A A )n L εεε=L2）若1212A(,,)(,,)n n A εεεεεε=L L ，则秩（A ）=秩（A ）证明：1）等AV,:A αααα''∈∃=，而1A nni i i i i i la a αεαε=='=⇒=∑∑12(A ,A A )n L αεεε'∴∈L反过来12(A ,A ,A )A A()AV n i i i i L a a αεεεαεε''∈⇒=⇒←∑∑Lα'∴是i i a αε=∑的像，AV α'∈故1AV (A ,A )n L εε=L 2）11212(A ,A )A(,,)(,)n n n A εεεεεεεε==Q L L L∴ 秩1(A)dim AV dim (A ,A )n L εε==L （P271.2第六章 补充题2 ）=秩（A ）换句话说：ψ：A A →，则 秩（A ）=秩（A ）说明：()s L ααα,,,21Λ 是包含s ααα,,,21Λ的最小子空间。

解决了dimAV , 那么-1dimA ?=,定理11 设线形映射:,dim V V V n σ→=<∞，则dimIm dimker n σσ+=证 设12dim ker ,,,s s σααα=L 为ker σ的基，则扩充11,s s n αααα+L L 为V 的基111((),()(),()(),())s s n n V L L σσασασασασασα+==L L L （），（ 如果，1111()()0()0ker n ns s n n i ii ii s i s k k k a k a σασασσ++==+==+++=⇒=⇒∈∑∑L111()0,0nsni i i i i i i i s i i k a k a k a i k =+==∴=-⇒=⇒∀=∑∑∑1(),()s n σασα+∴L 线性无关，因此1dim Im (())s n s σσασα+==-L n 秩（）dimIm dimIm dimker n s σσσ∴=+=+注意：虽有A 的秩+A 的零度=n ，但这并不等于AV +()01-A =V 成立。

第六章线性变换1、教学目标：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的求解。

2、教学重、难点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。

线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点。

3、教学时数：14课时第一节线性变换的定义定义 1是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性映射.定义 2是线性空间到线性空间的一个映射,满足：则称为线性变换.本章主要研究线性变换性质 1∙∙线性变换保持线性关系式不变. 若,则∙将线性相关的元素映射为线性相关的元素.第二节线性变换的运算1.相等iff2.加法运算；负运算；减法运算.3.乘法运算以及4.数乘运算5.幂次运算6.线性变换的多项式运算,定义7.零变换(0),恒等变换(Id)8.可逆的线性变换运算性质从交换律 ,结合律,分配律上考虑定理 1设是空间上的两个线性变换, 则都是上的线性变换；如果是可逆的,则也是上的线性变换.定理 2设是空间上的线性变换, 则∙乘法满足结合律∙,∙∙乘法一般不满足交换律 (见下例),但对于线性变换的多项式,总有交换律,即定义 1线性空间上的所有线性变换的集合在线性变换的加法和数乘运算下是一个线性空间, 称为线性空间的对偶空间.线性变换的乘法运算不满足交换律.例子 1假设,那么有结论:第三节线性变换的矩阵我们从两个方面来讨论线性变换的矩阵.定义 1设是维线性空间的一组基,为一个线性变换, 则元素组在的坐标,即构成的矩阵称为在基下的矩阵.定理 1线性变换的唯一存在定理任给线性空间的一组基和它的任意一组元素,则必存在唯一的线性变换,使得.证明利用线性空间的特征,可以构作映射;则即为所求下面的定理说明线性变换和矩阵的本质联系.定理 2设是数域上维线性空间的一组基,在这组下, 线性变换的矩阵用来表示.则存在从到的同构映射,满足:1. ;2. ;3. ;4. ;定理 3和在基下的坐标分别为,且的矩阵为.则.已知两组基.现在我们关心在这两组基础下的矩阵的联系.定理 4已知线性空间的两组基,线性变换在这两组基础下的矩阵分别为.则存在可逆的矩阵,使得证明根据已知条件,可得假设从基到基的过渡矩阵记为.则经过运算,可以得到结论.为了研究在这两组基础下的矩阵的这种联系联系,故此定义定义 2矩阵称为相似的,若存在可逆的矩阵,使得.继矩阵的等价、合同关系之后,相似关系是矩阵的新关系.性质 2相似关系是等价关系.性质 3相似,即,则.一般的,对任意的多项式, 均有.矩阵的这种相似关系可以用来计算矩阵的幂次方.例子 1计算.第四节特征值与特征向量现在,我们来讨论线性变换的简单化问题,即研究线性变换在什么条件下他的矩阵为对角矩阵？存在与否一组基,使得他的矩阵为对角矩阵？利用这些想法,我们不难得到一些必要条件.在这些必要条件的基础上我们来逐步判断线性变换的对角化问题.分析：假设我们果真找到了一组基,在其下的矩阵为.则得到定义 1线性变换的特征值,特征向量.再假设我们有一组基,满足代入上式,得到定义 2矩阵的特征值,特征向量计算问题：若何求特征值和特征向量？一些重要的基本概念：定义 3特征多项式.迹；特征子空间特征多项式的基本性质性质 4,则,定理 1相似的矩阵有相同的特征多项式；反之不然.例子 1定理 2Hamilton-Caylay定理设.则.证明令为的伴随矩阵,则有可令则代入第一式中,比较对应项的系数,得到即对应求和,得到结论.定义 4矩阵的零化多项式：,则称为的零化多项式. 次数最低的零化多项式称为的最小多项式.Hamilton-Carlay 定理的应用举例：例子 2设. 证明：提示：例子 3计算上例子中.问题：如何计算,使得?提示：用待定系数法.第五节对角矩阵本节给出线性变换或矩阵对角化问题的一系列判别条件.定理 1设是维线性空间的一个线性变换, 存在一组基使得在此基下的矩阵是对角矩阵的分必要条件是有个线性无关的特征向量.那么如何保证一定有线性无关的特征向量呢？定理 2属于不同的特征值的特征向量是线性无关的. 利用归纳法证明.推论 1有个不同的特征根, 则必有个特征向量.推论 2在复数域上,的特征多项式没有重根,则必有个特征向量.定理 3如果是线性变换的不同的特征值, 而是属于特征值的线性无关的特征向量,. 那么也线性无关.证明：设有判别式令则上式等价于可以验证或为的特征向量或为零向量. 如为前者, 则与上定理的结论相矛盾. 则只能为后者.等价于, 故原命题成立 .定理 4可以对角化的充要条件是任何一个特征值的代数重数等于它的几何重数.第六节线性变换的值域与核定义 1值域和核；数学表示；性质 1值域和核都是线性子空间定义 2线性变换的秩与零度： dimdim分别称为线性变换的秩和零度定理 1设是维线性空间的线性变换, 是的一组基,在这组基下的矩阵是,则∙;∙的秩=.线性变换的秩和零度存在下面的联系-维数公式定理 2设是维线性空间的线性变换,则dim dim推论 1对于有限维线性空间的线性变换,它是1-1的充分必要条件是它是满射.例子 1设是一个线性变换,满足: .求证：可以对角化证明只证明其中. 又分别从两个子空间选取一组基.那么在这一组基下的矩阵为第七节不变子空间定义 1是线性空间的子空间, .如果,则称为-不变子空间.线性不变子空间的基本性质性质 51.特征子空间是不变子空间；2.线性变换的值域和核均为子空间3.不变子空间的交与和仍然是不变子空间；4.和是不变子空间.例子 1假如是相互交换的线性变换,则的核与值域都是子空间.不变子空间的作用1.简化矩阵计算定理 1设是一个-不变子空间,则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为推论 1设是一个-不变子空间, 并且, 则一定存在一组基使得在此基下的矩阵为2.线性空间的直和分解定理 2设线性变换的特征多项式为,它可以分解成一次因式的乘积则可以分解成不变子空间的直和其中证明: (I)先证由已知条件可设故可知即存在个多项式,使得故对线性变换而言也有所以, ,必有令.可验证ker(II)再证只证明零元素的分解是唯一的.为此假设对上式两端同时用作用,注意到. 因此,我们可以得到同时由故得作用到之上,可以建立综合上述,原命题得证明.。

第七章 线性变换学习单元6： 线性变换的值域与核_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性变换的值域与核的概念；掌握线性变换的值域的结构；掌握线性变换的核的结构；会求线性变换的值域的维数与基；会求线性变换的核的维数与基。

学习建议：建议大家多读定义及定理，认真理解定义及定理的条件与结论，结合例题、习题掌握理论内容。

重点难点：重点：掌握线性变换的值域与核的维数与基的计算。

难点：深刻理解线性变换的值域与核的结构。

_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的值域与核的概念及基本性质定义 设V 为数域P 上线性空间，(),A L V ∈V 的全体向量在A 下的像组成的集合称为A 的值域，记为()A V ，即(){()|}A V A V αα=∈。

V 的零向量在A 下的原像组成的集合称为A 的核，记为1(0)A -，即1(0){|()0}A V A αα-=∈=。

注 也记()A V 为Im A (the image of A )，1(0)A -为ker A (the kernel of A )。

命题 1(),(0)A V A V -≤。

定义 称dim ()A V 为A 的秩，记为()R A ，称1dim (0)A -为A 的零度，记为()N A 。

二、()A V 及1(0)A -的结构及关系定理 设V 为P 上n 维线性空间，(),A L V ∈1,,n εεL 为V 的一个基，A 在1,,n εεL 下的矩阵为A ，则（1）12()((),(),,())n A V L A A A εεε=L ；（2）()()R A R A =；注：由于A 在不同基下的矩阵相似，而相似矩阵有相同的秩，故计算()R A 时与基的选择无关。

线性变换的值域与核§6 线性变换的值域与核一、定义设 A 是线性空间V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用A V 表示.所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用A )0(1-表示.若用集合的记号则A V ={}|V σξξ∈, A )0(1-={}|0,V ξσξξ=∈ 这里用σ 表示 A ，公式里打不出来. 1．线性变换的值域与核都是V 的子空间.2．A V 的维数称为 A 的秩，A )0(1-的维数称为A 的零度.二、如何求值域、核1．如何求线性变换的值域？定理10 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下A 的矩阵是A ，则1）A 的值域A V 是由基像组生成的子空间，即A V =12(,,,)n L σεσεσε2）A 的秩=A 的秩.定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变. A V =12(,, ,)n L σεσεσε，实质上是求它的一个线性极大无关组，即求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组例1 在线性空间[]n P x 中，令D )())((x f x f '=则D 的值域就是1[]n P x - .例2．令 11122122ij x x V X x x x==??是实数，定义变换:V V σ→，对于X V ∈，1112()1111X X σ=-，（1）证明σ 是线性变换（2）求σ 的秩证明：（1）对于任取,,,a b R X Y V ∈∈，我们有1112()()()()1111aX bY aX bY a X b Y σσσ+=+=+ ? ?-，从而σ 是一个线性变换（2）显然 123410010000,,,00001001E E E E==== ? ? ? ?????????是 V 的一组基。

1312()()12E E σσ??==，2411()()11E E σσ-??== ?-??，从而 V 的像空间V σ由1211,1211-???? ? ?-????生成，再证它们线性无关，得到σ 的秩是 2， 2．如何求线性变换的核对于1(0)ξσ-∈，n εεε,,,21 是V 的一组基，在这组基下 A 的矩阵是A ，则()0σξ=， 1212(,,,)n n x x x ξεεε??= ? ???，我们得到 ] 11221212()(,,,)(,,,)0n n n n x x x x A x x σξσεεεεεε???? ? ? ? ?=== ? ? ? ???。