高等代数7.6线性变换的值域与核.ppt
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高等代数7.6线性变换的值域与核
1, 2 ,L , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
.
证：1） V , 设 x11 x2 2 L xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) L xnA ( n )
.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
.
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
并把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , r ,L , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ),L ,A ( n )
生成的.
.
但 A ( i ) 0, i 1,2,L , r.
A (V ) LA (r1),L ,A (n )
下证A ( r1),L ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ),L ,A ( n ) 的秩
§7.6 线性变换的值域与核.
§7.6 线性变换的值域与核教学目的 理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构，及其与核的关系.重 点 值域的结构，值域与核的关系. 难 点 值域与核的关系. 课 型 新授课 教学过程定义6：A ——V 上的线性变换（()A L V ∈），A 的值域：{}V A AV ∈=ξξ，其维数叫A 的秩.A 的核：(){}V A A ∈==-ξξξ,001，其维数叫A 的零度. 易证：AV 与()01-A 均是V 的子空间。
例：在[]n x P 中，()()()x f x f A '=则[]()[]()P A x P x P A n n ==--0,11二者均是[]n x P 的子空间。
定理10 11A (),dim ,,,n L V V n εεε∈=L 是一个基。
1）12AV (A ,A A )n L εεε=L2）若1212A(,,)(,,)n n A εεεεεε=L L ，则秩（A ）=秩（A ）证明：1）等AV,:A αααα''∈∃=，而1A nni i i i i i la a αεαε=='=⇒=∑∑12(A ,A A )n L αεεε'∴∈L反过来12(A ,A ,A )A A()AV n i i i i L a a αεεεαεε''∈⇒=⇒←∑∑Lα'∴是i i a αε=∑的像，AV α'∈故1AV (A ,A )n L εε=L 2）11212(A ,A )A(,,)(,)n n n A εεεεεεεε==Q L L L∴ 秩1(A)dim AV dim (A ,A )n L εε==L （P271.2第六章 补充题2 ）=秩（A ）换句话说：ψ：A A →，则 秩（A ）=秩（A ）说明：()s L ααα,,,21Λ 是包含s ααα,,,21Λ的最小子空间。
解决了dimAV , 那么-1dimA ?=,定理11 设线形映射:,dim V V V n σ→=<∞，则dimIm dimker n σσ+=证 设12dim ker ,,,s s σααα=L 为ker σ的基，则扩充11,s s n αααα+L L 为V 的基111((),()(),()(),())s s n n V L L σσασασασασασα+==L L L （），（ 如果，1111()()0()0ker n ns s n n i ii ii s i s k k k a k a σασασσ++==+==+++=⇒=⇒∈∑∑L111()0,0nsni i i i i i i i s i i k a k a k a i k =+==∴=-⇒=⇒∀=∑∑∑1(),()s n σασα+∴L 线性无关，因此1dim Im (())s n s σσασα+==-L n 秩（）dimIm dimIm dimker n s σσσ∴=+=+注意：虽有A 的秩+A 的零度=n ，但这并不等于AV +()01-A =V 成立。
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s1/m/dbec90e8a32d7375a51780ae.png)
=xcosq - ysinq
同样 y’= xsinq + ycosq )。
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6
记 A = cosq sinq
sinq
cosq
则rq (a ) = Aa，称为旋转变换.
可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。 （如何证明？）
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7
例4 设A:R3R3, "a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换
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25
例用在D表线示性.空显间然Pn有[l]中,求微商是线性变换,
Dn = O 又变量的平移
f(l) | f(l+a) (aP)
也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式
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17
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
(kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a)) ．
1、kA也是线性变换．
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18
2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB
f(l+a)=f(l)+af ’(l)+a 2 f ’’(l)+… +
高等代数7-6线性变换的值域与核
(V ) L (1), (2 ), (3 ), (4 ) L (1), ( 2 )
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基 ：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
(1), (2 ) 就是 (V ) 的一组基.
法二： (V )=L( (1), (2 ), (3 ), (4 )) ( (1 ), (2 ), (3 ), (4 ))=(1,2,3,4 ) A
1 0 2 1
是单射 是满射. 证明： 是单射
1(0) 0
dim 1(0) 0 dim (V ) n (V ) V 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一
组基1,2, ,n下的矩阵，即
在 (V ) 中取一组基 ：1,2 ,r 在 1(0) 中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
显然有，
1 1, 2 2, , r r , r1 0, r2 0, , n 0.
用矩阵表示即
1
1
(1,2 ,n ) (1,2 ,n )
1 0 2 1
A
1
2
1
3
行变换
0
2
3
4
1 2 5 5 ~ 0 0 0 0
2
2 1 2
0
0
0
0
故 (1 ), (2 ), (3 ), (4 ) 的秩为2， (1 ), (2 )是它
的一组最大无关组。
因此， (V ) L (1 ), (2 )
2）因为
1 0 2 1
1
,
2
,1
,
2
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为 0 0, 若 为单射，则 1(0) 0. 反之 ，若 1(0) 0, 任取 、 V , 若
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...
•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
线性变换的值域与核
1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )
高等代数【北大版】7.6
σ 2)由1), 的秩等于基象组 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) ),
的秩, 的秩,又
(σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n, ) A.
由第六章§ 由第六章§5的结论3知, σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 的秩 结论 知 等于矩阵A的秩 等于矩阵 的秩. 的秩 ∴ 秩(σ ) =秩 ( A).
σ (V ) + σ 1 (0) 未必等于 未必等于V.
如在例1中 如在例 中,
D ( P[ x ]n ) + D 1 ( 0 ) = P[ x ]n1 ≠ P[ x ]n
§7.6 线性变换的值域与核
3. 设 σ 为n 维线性空间 的线性变换,则 维线性空间V的线性变换 的线性变换,
ⅰ) σ 是满射 σ (V ) = V
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) A
§7.6 线性变换的值域与核
A2 = A, 知 σ 2 = σ . 由
任取 α ∈ σ (V ), 设 α = σ ( β ), β ∈ V ,
σ (α ) = σ (σ ( β )) = σ 2 ( β ) = σ ( β ) = α 则
σ ( kα ) = kσ (α ) = k 0 = 0, α + β ∈ σ 1 (0), kα ∈ σ 1 (0), 即
k ∈ P
∴ σ (0) 对于 的加法与数量乘法封闭. 对于V的加法与数量乘法封闭 的加法与数量乘法封闭
1
的子空间. 故 σ (0) 为V的子空间 的子空间
1
7[1].6 线性变换的值域与核
证毕
（A 的秩、零度与空间维数的关系） 的秩、零度与空间维数的关系） 定理 2 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换 则有 (1) A 的秩 + A 的零度 = n . (2) dimAV+ V+dim A -1(0)=dimV = (3) A V 的一组基的原像及 A -1(0)
的一组基合起来就是 V 的一组基. 的一组基.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §5 对角矩阵 §2 线性变换的运算 §6线性变换的值域与核 §3 线性变换的矩阵 §7不变子空间 §4 特征值与特征向量
第六节 线性变换的值域与核
主要内容
值域与核的定义及性质
有关的性质定理 举例
一、定义
的一个线性变换, 定义 1 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换,
证毕
小 结
1.值域与核的定义及性质 1.值域与核的定义及性质
2.有关的性质定理 2.有关的性质定理
这个式子说明， 这个式子说明， A ξ ∈ L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) , 这个式子还 因此 A V ⊂ L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) . 表明基像组的线性组合还是一个像， 表明基像组的线性组合还是一个像，也即 L(A ε1 , A ε2 , … , A εn ) ⊂ A V.
例 5 设 A 是一个 n × n 矩阵，A2 = A . 证明 矩阵，
A 相似于一个对角矩阵
1 1 ⋱ 1 . 0 ⋱ 0
(1)
证明
取一 n 维线性空间 V 以及 V 的一组基
ε1 , ε2 , …, εn . 定义线性变换 A 如下： 如下：
7.6 线性变换的值域与核
（43;dimA 该性质说明：dimA V+dimA －1(0) = n. 但此时不能断 定A V+A －1(0) =V. 例如在 P[x]n 中, W P[x]n = P[x]n-1, V+A W
－1(0)
= P, W P[x]n + W
－1(0) －1(0))
A 的零度 = n, 即
A V + A (0) = V V = A V ⊕ A −1(0) →
−1 A V∩A −1 (0)={0}
→ A V中取基η1,⋯,ηr ， A −1(0) 中取基ηr+1,⋯,ηn → η1,⋯,ηr ，
ηr+1,⋯,ηn 构成 V 的基， Aη1 =η1,⋯, Aηr =ηr , Aηr+1 =⋯= Aηn = 0, 且
例 线性空间 P[x]n 中 W (f (x)) = f /(x). 则 W 的值域为P[x]n/(x). 的值域为P[x]n1, W 的核为子空间P. 的核为子空间P.
二. 值域与核的性质
1 (定理10) A ∈L(V), ε1, ··· ,εn是V的基，且 A 在 定理10) ,εn是 的基， 该基下的矩阵为A 该基下的矩阵为A，则 1) A V= A (L(ε1, ···, εn )) = L( A ε1, ···, Aεn )； (L(ε )； 2) A 的秩 = A的秩. A的秩 的秩.
⋱ 1 0 ⋱
证明：
A∈Pn×n → ∃A ∈L(V), A (ε1,⋯, εn ) = (ε1,⋯, εn )A ，且因
A2 = A 得 A 2 = A .现证 A V ∩ A −1(0) = {0} .
∀α ∈A V ∩ A −1(0) → α ∈A V, α ∈A −1(0) → α ∈A V →
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从而 A 1(0) 0, 即 = . 故A 是单射.
4. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 是单射 A 是满射. 证明：A 是单射
A 1(0) 0
dimA 1(0) 0 dimA (V ) n A (V ) V A 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证明：A相似于
并把它扩充为V的一组基：1, 2 , , r , , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
生成的.
但 A ( i ) 0, i 1,2, , r.
A (V ) LA ( r1), ,A ( n )
下证A ( r1), ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
高等代数__
§6 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1：设A 是线性空间V的一个线性变换，
集合 A (V ) A ( ) | V
称为线性变换A 的值域，也记作ImA , 或 A V .
集合 A 1(0) | V ,A ( ) 0
称为线性变换A 的核，也记作 ker A . 命题:A (V ), A 1(0)皆为V的子空间.
证明: A (V ) V ,A (V ) ,且对
A ( ),A ( ) A (V ), k P 有 A ( ) A ( ) A ( ) A (V )
kA ( ) A (k ) A (V )
即A (V )对于V的加法与数量乘法封闭. A (V )为V的子空间. 再看A 1(0). 首先，A 1(0) V ,A (0) 0,
LA (1),A (2 ), ,A ( n ) 即 A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n )
又对 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n ) 有 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n )
A ( x11 x2 2 ... xn n ) A (V )
因此有 A (V ) A 1(0) 0
从而A (V ) A 1(0)是直和 . 又 dimA (V ) dimA 1(0) n 所以有 V A (V ) A 1(0).
在 A (V )中取一组基 ：1,2 ,r 在A 1(0)中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
1, 2 , , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ), ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
证：1） V , 设 x11 x2 2 xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) xnA ( n )
LA (1),A (2 ), ,A (n ) A (V ). 因此，A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n ).
2）由1），A 的秩等于基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
的秩，又
A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) (1, 2, , n, ) A.
线性无关.
设
kr
A
1
( r1 )
knA ( n ) 0
则有 A kr1 r1 kn n 0
kr1 r1 kn n A 1(0) 即 可被 1, 2 , , r 线性表出.
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k 1, 2 , , n V的基.
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) 的秩
等于矩阵A的秩. ∴ 秩(A )＝秩 ( A).
2. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 的秩＋A 的零度＝n 即 dimA (V ) dimA 1(0) n.
证明：设A 的零度等于r ，在核A 1(0)中取一组基 1,2, ,r
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
3. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
ⅰ) A 是满射 A (V ) V
ⅱ) A 是单射 A 1(0) 0
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为A 0 0, 若A 为单射，则 A 1(0) 0. 反之 ，若 A 1(0) 0, 任取 、 V , 若
A ( ) A ( ), 则 A ( ) A ( ) A ( ) 0,
一个对角矩阵 1
1
0
0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换A 在一
组基1, 2 , , n下的矩阵，即
A 1,2, ,n, (1,2, , n, )A
由 A2 A, 知 A 2 A .
任取 A (V ), 设 A ( ), V , 则A ( ) A (A ( )) A 2( ) A ( ) 故有 A (V ), A ( ) 0当且仅当 0.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
k1 k2 kn 0
故A ( r1), ,A ( n )线 性无关，即它为A (V )的一组基.
A 的秩＝n－r . 因此，A 的秩＋ A 的零度＝n.
注意：
虽然A (V )与A 1(0)的维数之和等于n ，但是 A (V ) A 1(0) 未必等于V.
如在例1中,
D P[ x]n D 1 0 P[ x]n1 P[ x]n
4. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 是单射 A 是满射. 证明：A 是单射
A 1(0) 0
dimA 1(0) 0 dimA (V ) n A (V ) V A 是满射.
例2、设A是一个n阶方阵，A2 A, 证明：A相似于
并把它扩充为V的一组基：1, 2 , , r , , n 由定理10，A (V ) 是由基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
生成的.
但 A ( i ) 0, i 1,2, , r.
A (V ) LA ( r1), ,A ( n )
下证A ( r1), ,A ( n )为A (V )的一组基，即证它们
高等代数__
§6 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1：设A 是线性空间V的一个线性变换，
集合 A (V ) A ( ) | V
称为线性变换A 的值域，也记作ImA , 或 A V .
集合 A 1(0) | V ,A ( ) 0
称为线性变换A 的核，也记作 ker A . 命题:A (V ), A 1(0)皆为V的子空间.
证明: A (V ) V ,A (V ) ,且对
A ( ),A ( ) A (V ), k P 有 A ( ) A ( ) A ( ) A (V )
kA ( ) A (k ) A (V )
即A (V )对于V的加法与数量乘法封闭. A (V )为V的子空间. 再看A 1(0). 首先，A 1(0) V ,A (0) 0,
LA (1),A (2 ), ,A ( n ) 即 A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n )
又对 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n ) 有 x1A (1 ) x2A ( 2 ) xnA ( n )
A ( x11 x2 2 ... xn n ) A (V )
因此有 A (V ) A 1(0) 0
从而A (V ) A 1(0)是直和 . 又 dimA (V ) dimA 1(0) n 所以有 V A (V ) A 1(0).
在 A (V )中取一组基 ：1,2 ,r 在A 1(0)中取一组基：r1, ,n 则 1,2 ,r ,r1, ,n 就是V的一组基.
1, 2 , , n 是V的一组基，A 在这组基下的矩阵是A，
则 1）A 的值域A (V )是由基象组生成的子空间，即
A (V ) LA (1),A ( 2 ), ,A ( n )
2）A 的秩＝A的秩.
证：1） V , 设 x11 x2 2 xn n , 于是 A ( ) x1A (1) x2A ( 2 ) xnA ( n )
LA (1),A (2 ), ,A (n ) A (V ). 因此，A (V ) LA (1),A (2 ), ,A (n ).
2）由1），A 的秩等于基象组A (1),A ( 2 ), ,A ( n )
的秩，又
A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) (1, 2, , n, ) A.
线性无关.
设
kr
A
1
( r1 )
knA ( n ) 0
则有 A kr1 r1 kn n 0
kr1 r1 kn n A 1(0) 即 可被 1, 2 , , r 线性表出.
设 k11 k2 2 kr r 于是有 k11 k 1, 2 , , n V的基.
由p271补充题2的结论知，A (1),A ( 2 ), ,A ( n ) 的秩
等于矩阵A的秩. ∴ 秩(A )＝秩 ( A).
2. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
A 的秩＋A 的零度＝n 即 dimA (V ) dimA 1(0) n.
证明：设A 的零度等于r ，在核A 1(0)中取一组基 1,2, ,r
定义2：线性变换A 的值域A (V )的维数称为A 的秩；
A 的核A 1(0)的维数称为 A 的零度.
例1、在线性空间 P[ x]n 中，令
D f (x) f (x)
则 D P[ x]n P[ x]n1,
D 1(0) P 所以D 的秩为n－1，D 的零度为1.
二、有关性质
1. (定理10) 设A 是n 维线性空间V的线性变换，
3. 设A 为n 维线性空间V的线性变换，则
ⅰ) A 是满射 A (V ) V
ⅱ) A 是单射 A 1(0) 0
证明：ⅰ) 显然.
ⅱ) 因为A 0 0, 若A 为单射，则 A 1(0) 0. 反之 ，若 A 1(0) 0, 任取 、 V , 若
A ( ) A ( ), 则 A ( ) A ( ) A ( ) 0,
一个对角矩阵 1
1
0
0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换A 在一
组基1, 2 , , n下的矩阵，即
A 1,2, ,n, (1,2, , n, )A
由 A2 A, 知 A 2 A .
任取 A (V ), 设 A ( ), V , 则A ( ) A (A ( )) A 2( ) A ( ) 故有 A (V ), A ( ) 0当且仅当 0.
0 A 1(0), A 1(0) .
又对 , A 1(0), 有A ( ) 0,A ( ) 0 从而 A ( ) A ( ) A ( ) 0. A (k ) kA ( ) k0 0, k P
即 A 1(0), k A 1(0),
A 1(0) 对于V的加法与数量乘法封闭. 故A 1(0)为V的子空间.
k1 k2 kn 0
故A ( r1), ,A ( n )线 性无关，即它为A (V )的一组基.
A 的秩＝n－r . 因此，A 的秩＋ A 的零度＝n.
注意：
虽然A (V )与A 1(0)的维数之和等于n ，但是 A (V ) A 1(0) 未必等于V.
如在例1中,
D P[ x]n D 1 0 P[ x]n1 P[ x]n