奇偶性分析

第十三讲 构造与论证之奇偶分析一、奇偶数运算规律1、加减法中：看奇数个数奇数个数是奇数个，结果为奇；反之为偶2、乘法中：有偶则偶乘数中只要有一个偶数，则结果为偶；若要乘积结果是奇数，则乘数必须都是奇数。

3、有限个数，无论怎样填加减号，结果的奇偶性不变。

如：你能每两个数之间填“+”或“-”，使等式成立吗？5 4 3 2 1=2答案：不能。

左边有3个奇数，无论怎么填加减号，结果都是奇数，不可能得2。

二、构造与论证1、判断不能（80%的论证题都是不能）思路一：直接论证不能思路二：当直接论证不好说清楚时，不妨尝试反证法。

第一步：假设反面结论成立第二步：根据假设得到一个结论第三步：根据题目条件得到一个相反的结论第四步：由两个结论矛盾，得到假设不成立，即证明了正面结论。

2、判断能注意：证明出可能性后，一定要构造出一个例子才完整。

三、例题讲解连环画 任意改变某一个三位数的各个数字的顺序得到一个新的数，求出所有使得新数和原数相加等于999的数。

分析：同学们遇到这类数论的题，可以多借用数字谜的形式帮自己直观地找到更多的条件。

□□□+ □□□9 9 9从个位分析开始，可知每位上都没有进位，也就是每位上的两个数相加都等于9。

这个时候很多同学去尝试发现根本不可能。

但怎么说明好呢？直接论证不清楚就用反证法试试！证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a′b′c′假设原数与新数之和为999，因为每位都不会进位，则有a+a′=9，b+b′=9,c+c′=9又因为a′,b′,c′是a,b,c调换顺序得到的，所以a+b+c=a′+b′+c′所以a+a′+b+b′+c+c′=9+9+9=27即2（a+b+c）=27矛盾，所以假设不成立。

所以没有这样的数。

例1：在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2005，问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？方法一：∵ a,b,c中有两个奇数∴ a,c中至少有一个是奇数∴ a-1，c-3中至少有一个是偶数又∵ 偶数×整数=偶数，∴ （a-1）（b-2）（c-3）是偶数。

七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。

本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。

1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。

偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。

通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。

2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。

例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。

(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。

例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。

(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。

例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。

(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。

例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。

3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。

例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。

(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。

例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。

(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。

当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。

例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。

4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。

4B暑第13讲
奇偶性分析——课后探究
课堂笔记
一、认识奇（ji）偶数
奇数（单数）：个位为1、3、5、7、9的数偶数（双数）：个位为0、2、4、6、8的数二、奇偶性分析—特殊值法
奇数——“1”
偶数——“0”
三、奇偶性性质
①两个连续自然数必然一奇一偶。

②加减法算式结果的奇偶性与符号无关，
只与奇数的个数有关。

四、叛徒定理
①先判断算式的奇偶性
②再抓叛徒
抓叛徒口诀：
左边全相加，
右边做个差。

差再除以二，
叛徒就是他。

算式2+3+…+15 的计算结果是奇数还是偶数？
算式（26+27+…+36）–（9+10+…+14）的计算结果是奇数还是偶数？
能否在下面等式的方框内填入“+”或“－”，使等式成立？若能，请填入；若不能，请说明理由。

判断下列算式的计算结果是奇数还是偶数，并说明理由。

（1）3×4+4×5+…+9×10+11
（2）1×3×5×7×8
有一本80 页的书，从中任意撕下5 张，这5 张上的所有页码之和能否是100 ？
在5 个开着灯的房间中，每次拨动2 个不同房间的开关，能否把全部房间的灯都关上？为什么？。

举例说明函数奇偶性的几种判断方法函数的奇偶性是一种特殊的性质，它指的是函数在关于原点对称的情况下是否具有相同的特征。

具体地说，如果一个函数在关于原点对称的情况下能够保持不变，那么这个函数就是偶函数；如果一个函数在关于原点对称的情况下能够发生“翻转”的变化，那么这个函数就是奇函数。

判断函数的奇偶性是函数分析的基本问题之一，下面将介绍几种常见的方法来判断函数的奇偶性。

一、利用函数图像的对称性利用函数的图像对称性是一种最直观的判断函数奇偶性的方法。

如果一个函数关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；如果一个函数关于原点对称，则该函数为奇函数。

例如，函数f(x) = x² 在 x 轴和 y 轴上都有对称轴，但是它关于 y 轴对称，因此是一个偶函数。

而函数g(x) = x³ 在原点有对称轴，但是它不与 y 轴对称，因此是一个奇函数。

利用函数的代数性质也可以判断函数的奇偶性。

对于一个偶函数 f(x)，有 f(x) =f(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值不变；而对于一个奇函数 g(x)，有 g(x) = -g(-x)，也就是说，当 x 变为负数时，函数值取相反数。

例如，函数 h(x) = cos x 是一个偶函数，因为它满足 h(x) = cos x = cos(-x) = h(-x)；而函数 i(x) = sin x 是一个奇函数，因为它满足 i(x) = sin x = -sin(-x) = -i(-x)。

三、利用函数的微积分性质四、利用函数的级数表示式利用函数的级数表示式也可以判断函数的奇偶性。

对于一个偶函数 f(x)，它的幂级数展开式只包含偶次幂项，因为所有奇次幂项的系数都是零；而对于一个奇函数 g(x)，它的幂级数展开式只包含奇次幂项，因为所有偶次幂项的系数都是零。

例如，函数 l(x)= e^x + e^-x 是一个偶函数，因为它的幂级数展开式为 l(x) = 2 + x^2/2! + x^4/4!+ …；而函数 m(x) = e^x - e^-x 是一个奇函数，因为它的幂级数展开式为 m(x) = 2x+ x^3/3! + x^5/5! + …。

奇偶性的相关分析方法什么是奇偶性？在数学中，奇数是无法被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。

奇偶性在数学中非常重要，因为它在很多问题的解决中起到了至关重要的作用。

本文将介绍奇偶性的相关分析方法，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、奇偶性的一些基本性质首先，奇偶性具有很多基本性质。

例如，两个偶数相加得到的结果仍然是偶数，两个奇数相加得到的结果仍然是奇数。

而且，一个奇数和一个偶数相加得到的结果一定是奇数。

另外，任何整数都可以表示为奇数或偶数的和。

二、奇偶性在数论中的应用奇偶性在数论中非常重要，因为它可以用于解决一些重要的问题。

例如，在质数的研究中，我们可以证明一个数是否为质数，只需要检查它是不是偶数，然后只需要用奇数去除它，如果有一个奇数能够整除它，那么它一定不是质数。

因此，这就可以大大减少判断是否为质数的时间。

另外，在奇数幂的研究中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，我们可以证明一个正整数的k次方是奇数的充分必要条件是该正整数本身是奇数。

三、奇偶性在离散数学中的应用在离散数学中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在图论中，我们可以用奇偶性来判断一个图是否是欧拉图。

欧拉图是指一个无向图中，如果存在一条路径，经过每个顶点正好一次，那么这个图就是欧拉图。

我们可以证明，一个无向图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

另外，在组合数学中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，在计算到一个组合问题的方案数时，我们可以通过考虑各种组合的奇偶性来方便地确定方案数是否是偶数。

四、奇偶性在计算机科学中的应用奇偶性在计算机科学中也得到了广泛的应用。

例如，在计算机的二进制表示中，一个二进制数是否是偶数只需要检查最后一位是否是0。

如果是0，那么它是偶数；如果是1，那么它是奇数。

另外，在计算机算法的设计中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在某些加密算法的设计中，我们可以用奇偶性来抵御攻击者对密钥的猜测。

综上所述，奇偶性是一个非常重要的概念，在数学、离散数学、计算机科学等领域都具有广泛的应用。

1.3.2奇偶性一【教学目标】1.理解函数的奇偶性及奇偶性函数的图象特征；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性； 二【教学重难点】教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性 三【教学过程】师：在日常生活中，我们经常会接触到一些外形十分对称的物体，比如蝴蝶，北京的故宫，它们是什么对称图形？还有双鱼年画，太极图案，它们是什么对称图形？这些对称物体向人们展示了一种美---对称美，对称美给人民带来了美的享受，其实这种美在数学中也有大量的反应，如函数图象关于y 轴和原点对称，这节课我们一起来学习函数的这个性质——函数的奇偶性（引出课题）首先，大家回顾一下在初中所学的函数中，哪些函数的图象是对称的？ 生：二次函数，一次函数，反比例函数师：很好！那接下来我们以2x y =和x y -=2为例来探究它们的性质特征，先来看第一个问题。

问题1：观察两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？生：这两个函数图象都关于y 轴对称.师：那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？x-3 -2 -1 0 1 2 3-222yx表1表2填写表1和表2，从这个表格中，大家发现了什么规律？ 生：当自变量x 取一对相反数时，相应的函数值相等。

师：我们不妨以2x y =为例，对于2)(x x f =，有)3(9)3(f f ==- )2(4)2(f f ==- )1(1)1(f f ==- 等等问题：对函数2)(x x f =，是否对于定义域内任取一对相反数x 和x -，都有)()(x f x f =-呢？能用函数解析式给出证明吗？生：是 )()()(22x f x x x f ==-=- )()(x f x f =-∴师：很好！对于函数2)(x x f =来说，对于定义域R 内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，这时我们称函数2)(x x f =为偶函数。

分析函数的奇偶性与周期性的分析方法函数的奇偶性与周期性是数学中的重要概念，对于分析函数的性质和实际问题的解决具有重要意义。

本文将介绍分析函数奇偶性与周期性的方法与技巧，并探讨如何利用这些方法来解决一些实际问题。

首先，让我们来讨论函数的奇偶性。

一个函数被称为奇函数，如果对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数被称为偶函数，如果对于任意实数x，有f(-x)=f(x)成立。

根据这一定义，我们可以得到以下结论：1. 如果一个函数是奇函数，那么如果在定义域内存在一个数a，使得f(a)=0，那么函数在关于原点的中心对称轴上具有零点。

这是因为f(-a)=-f(a)=0。

2. 如果一个函数是偶函数，那么如果在定义域内存在一个数a，使得f(a)=0，那么函数在关于y轴的中心对称轴上具有零点。

这是因为f(-a)=f(a)=0。

通过判断函数的奇偶性，我们可以更好地了解函数的性质。

例如，如果一个函数是奇函数，那么在计算积分时可以利用对称性简化计算。

此外，如果我们知道一个函数是奇函数，并且已知函数在某一点的取值，那么我们可以根据奇函数的性质推导出其在其他点的取值。

接下来，我们来讨论函数的周期性。

一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)成立。

在分析函数的周期性时，我们可以采取以下方法：1. 如果一个函数的图像在x轴上以T为周期重复出现，那么该函数是周期函数，并且T是其最小正周期。

根据这一性质，我们可以通过观察函数的图像来判断其是否具有周期性。

2. 如果一个函数满足f(x+T)=f(x)，那么对于任意整数n，也有f(x+nT)=f(x)成立。

这是因为当n为正整数时，f(x+nT)=f((x+T)+(n-1)T)=f(x+T)=f(x)，同理可证当n为负整数时也成立。

根据这一性质，我们可以通过将函数的自变量进行平移来判断其是否具有周期性。

利用函数的周期性，我们可以更好地理解函数的行为。

第13讲奇偶分析法把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A类例题例1⑴证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．⑴分析按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明．证明按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有4类：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)．任取5个格点，必有2点属于同一类，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)这二点是属于同一类的两点，则其连线的中点M (12(x 1＋x 2)，12(y 1＋y 2))即为格点．故得证．⑵ 分析 考虑三角形的面积如何计算．解 由三角形面积表达式S =12[(x 1－x 2)(y 2－y 3)－(x 2－x 3)(y 1－y 2)]知，如果三角形有某两个顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶点都不同类，则其面积不为整数．于是取分属于4个不同的类的4个格点，以这4点中的任三点为顶点的三角形面积都不为整数，但如果取5个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这二个点及另外任一点为顶点的三角形面积为整数．故至多取4个点，且此四点应分属不同的4类．说明 把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉，从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决问题．例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|；c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|；d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；………这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．分析可以从后向前推：若x为奇数，则其前一次运算时的两个数必一奇一偶，…，这样直到开始时的64个数的奇偶性．这就是证法一的思路；也可以从前向后推：第一次运算得到的32个数的奇偶性与原来各数的奇偶性有什么关联？第二次运算所得16个数又与第一次运算的32个数有什么关联？又与原来的64个数有何关联？…，这样直到最后一个数．这就是证法二的思路．证法一假定x为奇数，则上述计算过程中倒数第二步的两个数是一奇一偶，倒数第三步的四个数或者是三奇一偶或者是一奇三偶．仿此推知，计算过程中的每一步只能有奇数个奇数，那么在a1，a2，…，a64，中也该有奇数个奇数.但它们是1，2，…，64的某一排列，其中奇数有32个，这就产生了矛盾.所以最后一个数只能是偶数．证法二因为整数a与|a|的奇偶性一致，整数a、b的和a+b与其差a －b的奇偶性也一致，所以上述计算过程的第二步中的32个数：|a1－a2|，|a3－a4|，…，|a63－a64|，分别与a1+a2，a3+a4，…，a63+a64的奇偶性一致，于是，可改为考虑：第一步：a1，a2，…，a64；第二步：a1+a2，a3+a4，…，a63+a64；第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64；…………很明显，这样做最后所得的数是a1+a2+a3+a4+…+a63+a64．而x与它的奇偶性一致．由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的某一排列，因此，a1+a2+a3+a4+…+a63+a64＝1+2+……+64=32×65，这是一个偶数，故知x 为偶数．情景再现1．将某个17位数的数字顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．(1970年第四届全苏数学奥林匹克8年级试题)2．若a，b，c都是整数，且a与b同为奇数或同为偶数，c为奇数，求证：找不到整数n，使an2+bn+c=0．B类例题例3有n×n(n＞3)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，先将表内n个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式，其中k∈Z)．(1989年全国数学联赛)分析一下子证明基本项之和总能被4整除较难，可以分两步走：先证明基本项的和能被2整除，再证其能被4整除．这样就较容易了．证明基本项共有n!个，n＞3，故基本项的个数为4的倍数，设基本项共有4m项．设第i行第j列的格子中填入了a ij(a ij=＋1或－1，1≢i，j≢n)，每个基本项都是由n个＋1或－1相乘而得，故每个基本项都等于＋1或－1．其次，每个数a ij都要在(n－1)!个基本项中出现，由于n＞3，故(n－1)!为偶数．所以，把所有基本项乘起来后，每个a ij都乘了(n－1)!次，于是所有基本项的乘积等于1．这说明等于－1的基本项有偶数个，同样，等于+1的基本项也有偶数个．若等于－1的基本项有4l个，则等于+1的基本项有4m－4l个，其和为4m－4l－4l=4(m－2l)为4的倍数；若等于－1的基本项有4l－2个，则等于+1的基本项有4m－4l+2个，例4设P(x)=a0x+a1x+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)无整数根．(第3届加拿大数学奥林匹克) 分析奇数h与整数n积的奇偶性与n的奇偶性相同．要证P(x)没有整数根，只要证明P(x)既没有奇数根，又没有偶数根即可．证明P(0)＝a n，故a n为奇数；P(1)＝a0＋a1＋…＋a n－1＋a n为奇数，故a0＋a1＋…＋a n－1为偶数，从而a0，a1，…，a n－1中有偶数个奇数．任取一奇数k，则k i(i＝1，2，…，n)为奇数，从而a n－i k i(i＝1，2，…，n)的奇偶性与a n－i的奇偶性相同，于是，a0k n+a1k n-1+…+a n-1k的奇偶性与a0＋a1＋…＋a n－1的奇偶性相同，即a0k n+a1k n-1+…+a n-1k为偶数，从而P(k)=a0k n+a1k n-1+…+a n-1k+a n与a n的奇偶性相同，即P(k)为奇数．从而P(k)≠0，故k不是P(x)的根．任取一偶数h，则h i(i＝1，2，…，n)为偶数，从而a n－i h i(i＝1，2，…，n)为偶数，于是a0h n+a1h n-1+…+a n-1h为偶数，从而P(h)=a0h n+a1h n-1+…+a n-1h+a n与a n的奇偶性相同，即P(h)为奇数．从而P(h)≠0，故h不是P(x)的根．因为任何奇数与任何偶数都不是P(x)的根，所以P(x)没有整数根．例5在12，22，32，…，19892这1989个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数，并写出算式．(1989年第15届全俄数学奥林匹克)分析要求该和式的最小非负值，由于该和式为整数，而最小非负整数为0，所以首先考虑此和能否等于0？如果不能，应该证明和式不能等于0，再研究和式能否等于1？如果和能等于1，则也要证明和式不能等于1．……，这样依此类推，直到找出和式的最小值为止．要求这1989个完全平方数的和式的最小值，可以考虑找到某种规律，把这些数分成若干小段，每个小段的和为0，最后再处理少数几个数，这样就容易得出结果．为此可对照研究一个简单的问题：在1，2，…，1989这1989个连续整数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数．解这1989个数中有995个奇数，994个偶数，故其和为奇数，所以，这1989个平方数的和不可能等于0．而改变和式中任一个的符号(“＋”号改为“－”号)都不改变结果的奇偶性，所以，无论怎样安排各数前的“＋”、“－”号，都不可能使此代数和为0．故所求最小非负代数和≣1．由于n2－(n+1)2－(n+2)2+(n+3)2＝4．因此可以把连续8个整数取出，使其前4个的符号按此安排，其和为4，后4个的符号则与之相反，其和为－4，则此8个数的代数和为0．即n2－(n+1)2－(n+2)2+(n+3)2－(n＋4)2＋(n＋5)2＋(n＋6)2－(n＋7)2＝0．而1989=8×248+5．现从142开始，每连续8个完全平方数为一组，共得247组，每组的第1，4，6，7个数前取“+”号，第2，3，5，8个数前取“－”号，则这组8个数之和为0．按此安排，可以使从142起到19892止的数的代数和为0．又，12＋22＋32＋…＋132＝819，而⎣⎡⎦⎤8192＝409． 经试验知，42＋92＋122＋132＝16＋81＋144＋169＝410．故知－12－22－32＋42－52－62－72－82＋92－102－112＋122＋132＝1． 于是可得，所求最小非负代数和为1．说明 若只把前5个平方数留下，从62起，每8个数分成一组，按上述安排，可以使从62起到19892止的数的代数和为0．但12＋22＋32＋42＋52＝55，而这5个平方数中找不到其中几个，其和为⎣⎡⎦⎤552＝27．如果据此断言，此代数和不可能为1就错了．本解中继续取出62到132这8个数与前5个平方数在一起再加以考察，得出代数和可以等于1的最佳结果．试考虑下面问题：试研究把19892改成n 2后的一般结论？情景再现3．在国际象棋的棋盘上，放有8枚棋子，已知其中任意两枚不同行，也不同列．证明：黑格中的棋子数为偶数．4．在整个平面上有一个无限大的方格棋盘，上面摆好了一些棋子，它们恰好组成一个3k ⨯n 的矩形．按下述规则进行游戏：每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋子的相邻的空格里，并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走．证明：不论怎样走，棋盘上都不会只剩下1枚棋子．(1982波兰数学竞赛题)5．设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5和b 是满足关系式a 21+a 22+a 23+a 24+a 25＝b 2的整数，证明：所有这些数不可能全是奇数．6．设x 1，x 2，…，x n 是一组数，它们之间每一个都取+1或-1，并且x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+x n-3x n-2x n-1x n+x n-2x n-1x n x1+x n-1x n x1x2+x n x1x2x3=0．求证：n是4的倍数．(第26届IMO预选题)C类例题例6设E={1，2，3，…，200}，G={a1，a2，…，a100}是E的真子集，且G具有下列两条性质：1）对于任何1≢i＜j≢100，恒有a i+a j≠201；2）a1+a2+…+a100=10080．试证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数的平方和为一定数．(1990年全国数学联赛)分析要证G中奇数的个数是4的倍数，可以分两步走：先证G中有偶数个奇数，再进而证明G中的奇数个数是4的倍数．这可以通过考虑奇数与偶数的表示方法做到：偶数是所有被2整除的数，也可看成是被4除余0或2的数；奇数是被2除余1的数，也是被4除余1或3的数．要证明这100个数的平方和为定值，由于这100个数不确定，但E中200个数是确定的，因此应把G中的元与E中不是G的元的那100个元合起来一起考虑它们的平方和．⑴证明：把E中的200个数分成100组，每组两个数，且同组两个数的和为201：A i＝{i，201－i}(i＝1，2，…，100)．(即分成{1，200}，{2，199}，{3，198}，…，{100，101}这100个组)；于是同组的两个数不能都是G的元素，这说明G中的元素不能超过100个．又若某一组中的两个数都不是G的元素，则G中的元素个数将少于100．这说明上述分组中的每个组都必须有1个数且只能有1个数是G 的元素．设G的元素中，x1，x2，…，x i为奇数，y1，y2，…，y j为偶数，且i+j=100(x1，x2，…，x i，y1，y2，…y j是a1，a2，…，a100的一个排列)．x1+x2+…+x i +y1+y2+…+y j=10080．由于i个奇数的和为偶数，故i为偶数，令i=2p(p∈N)．又由于201≡1(mod 4)，故A i中两个数或被4除余0与1，或被4除余2与3．把Ai中两数被4除的余数把这100组再分两类：{4k+1，4(50－k)}型的组共有50个(即A1，A4，A5，A8，…，A97，A100这50组)，{4k+3，4(50－k)－2}型的组共有50个(即A2，A3，A6，A7，…，A98，A99这50组)．设G中4k+1型的奇数共有m个，则4k+3型的奇数共有2p－m个，4(50－k)型的偶数共有50－m个，4(50－k)－2型的数共有50－2p+m个．所以，和a1+a2+…+a100≡m×1＋(2p－m)×3＋(50－m)×0＋(50－2p+m)×2 (mod 4)．即2p＋100应能被4整除．所以，2|p，即4|i．即是：G中奇数的个数是4的倍数．⑵证明因{a1，a2，…，a100，201－a1，201－a2，…，201－a100}＝{1，2，3，…，200}．故a21+a22+…+a2 100+(201－a1)2+(201－a2)2+…+(201－a100)2=12+22+32+…+2002为定值(＝16×200×201×401＝2686700)．展开即是a21+a22+…+a2 100＋2012×100－2×201×(a1＋a2＋…＋a100)＋a21+a22+…+a2 100=2(a21+a22+…+a2 100)＋2012×100－2×201×10080为定值(＝2686700)．即a21+a22+…+a2 100为定值(＝1349380)．例7 设有一个顶点都是格点的100边形，它的边都与x轴或y轴平行，且边长都是奇数．求证：它的面积也是奇数．(1987年中国数学奥林匹克) 分析先研究这个100边形的形状，必定是凹的多边形；再研究如何求这个多边形的面积，由于其形状不能确定，但其边与坐标轴平行，故可以用向x轴作垂线的方法(如例2的链接中所用的方法)把该多边形面积转化为一批矩形的面积和．再研究各矩形面积的奇偶性．证明显然，这些边必是一横一竖相间．从而这100条边中有50条为横边，50条为竖边．如图，不妨把这个100边形放在第一象限的x轴上方，并设A1A2为横边，A2A3为竖边，分别过A1、A3、A5、…、A99作x轴的垂线A1B1、A3B3、A5B5、…、A99B99，垂足分别为B1、B3、B5、…、B99．则该100边形可以看作50个矩形A1A2B3B1、A3A4B5B3、A5A6B7B5、…，A99A100B1B99的面积的代数和．由于A3B3＝A1B1±A3B3，而A3B3的长度为奇数，故A1B1与A3B3的长度数值奇偶性相反，于是，A1B1、A3B3、…、A99B99这50条线段的长度数值奇偶性相间．但A1A2、A3A4、…、A99A100的长度数值都是奇数，从而这50个矩形的面积数值也是奇偶相间，故其中有25个奇数，25个偶数．所以，这50个矩形面积的代数和为25个奇数与25个偶数的代数和，必为奇数．故证．例8 能否把1，1，2，2，3，3，4，4，…1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请你证明你的结论．(1986年中国数学奥林匹克) 分析把位置编号，再进行奇偶分析．证明把一行1986×2＝3972个位置从左向右编成1至3972号，如果能排列成，则每个数都应占据一个号码．设两个“1”分别占了第i1及第i1＋2这两号，两个“2”分别占了第i2及i2＋3号，…，一般的，两个数“k”(k＝1，2，…，1986)分别占了第i k及第i k＋k＋1号．证法一各数所占的号码的和为(i1＋i1＋2)＋(i2＋i2＋3)＋…＋(i1986＋i1986＋1987)＝2(i1＋i2＋…＋i1986)＋2＋3＋…＋1987＝2(i1＋i2＋…＋i1986)＋1989×993．⑴故此号码和是奇数．但此号码和也应等于1＋2＋3＋…＋1986×2＝3973×1986．⑵却是偶数．由⑴、⑵矛盾，知不能按要求排成．证法二若k为奇数，则两个“k”占的第i k及第i k＋k＋1号是奇偶性相同的两个号码；若k为偶数，则两个“k”占的第i k及第i k＋k＋1号是奇偶性不同的两个号码．从1到3972共有1986个奇数号码与1986个偶数号码．又，从1到1986共有993个奇数，993个偶数．其中993个偶数分别占了993个奇数号码与993个偶数号码．于是余下993个奇数号码与993个偶数号码，每个奇数或占两个奇数号码，或占两个偶数号码，故必占偶数个奇数号码及偶数个偶数号码，而余下的却是奇数奇数号码与奇数个偶数号码，从而这样的排列不能排成．链接本题有一般性的结论，这就是下述竞赛题：求所有具有下述性质的n ∈N *，能够把2n 个数1，1，2，2，3，3，…，n ，n 排成一行，使得当k =1，2，…，n 时，在两个k 之间恰有k 个数．(1982年前苏联数学竞赛题)解：设n ∈N *，a 1，a 2，…，a 2n 是满足要求的排列．设数k 排在第m k 及m k +k +1位，故这2n 个数的数位和(即{a i }的下标和)为k =1∑n (m k +m k +k +1)=2k =1∑nm k +12n (n +3)． 但这2n 个数的位的和又等于1+2+…+2n =n (2n +1)．∴ 2k =1∑nm k = n (2n +1)－12n (n +3)= 12n (3n －1)． 于是14n (3n －1)为整数，但n 与3n －1奇偶性不同，故当n =4l 或3n －1=4l '时，即n =4l 或n =4l '－1时14n (3n －1)为整数． ∴ 当n ≡1，2(mod 4)时，不存在满足要求的排列．当n ≡0(mod 4)时，可把这1~4l 这些数如下排列：l =1时：2，3，4，2，1，3，1，4．l =2时：4，6，1，7，1，4，8，5，6，2，3，7，2，5，3，8．一般的：4l －4，...，2l ，4l －2，2l －3，...，1，4l －1，1， (2)－3，2l ，…，4l －4，4l ，4l －3，…2l +1，4l －2，2l －2，…，2， 2l －1，4l －1，2，…2l －2，2l +1，…4l －3，2l －1，4l ．当n ≡－1(mod 4)时，可把这4l －1个数如下排列：l =1时：2，3，1，2，1，3；l =2时：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5．一般的，4l －4，...，2l ，4l －2，2l －3，...，1，4l －1，1， (2)－3，2l ，…，4l －4，2l －1，4l －3，…2l +1，4l －2，2l －2，…，2， 2l －1，4l －1，2，…2l －2，2l +1，…4l －3．其中，“…”表示一个公差为2或－2的等差数列．情景再现7．在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字．接着进行同样的运算，如此继续．证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0．(1975年南斯拉夫数学竞赛)8．设d1，d2，…，d k是正整数n的所有因数，这里，1=d1＜d2＜…＜d k＝n，k≣4，求所有满足d21+d22+d23+d24=n的正整数n．(1989年巴尔干数学竞赛)习题131．一天，某旅游者乘火车来到某个城市游玩，他玩了一天后于晚上回到来时的火车站，试证明：他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站．2．将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的项点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格数目必是偶数．3．在黑板上写有若干个0、1和2，现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字代替它们(用2代替0与1，用1代替0与2，用0代替1与2)．证明如果这种做法，最后在黑板上只留下一个数字，那么，留下的数字与操作顺序无关．(1975年第9届全苏数学奥林匹克)4．在平面上画了一个由边长为1的正六边形组成的蜂窝形网格，如果沿网格线从一个网格点A用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为100，试证：他走的全程的一半是走在同一个方向上．5．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，则这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市高中数学竞赛)6．是否存在整数a，b，c，d，使得对所有的整数x，等式x4+2x2+2000x+30＝(x2+ax+b)(x2+cx+d)成立．7．能否将1990×1990方格表中的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半．(1990全苏第4届数学奥林匹克)8．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些假币．已知每枚假币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币重量和恰等于真币的重量，现有带指针标明整克数的双盘天平，证明只要称一次就可辨别指定的硬币是否是假币．(1987年第13届全俄数学奥林匹克)9．从集{0，1，2，…，14}中选出不同的数，填入图中的10个小圆圈中，使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相等，这可能吗？证明你的结论．(1991年第23届加拿大数学奥林匹克)10．设正整数d不等于2、5、13，证明：在集合{2，5，13，d}中，可以找到两个不同元素的a，b，使ab-1不是完全平方数．（1986年第27届国际数学奥林匹克竞赛试题）11．设P0，P1，P2，…，P1993=P0为xy平面上不同的点，具有下列性质：⑴P i的坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)⑵在线段P i P i+1上没有其他的点，坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)求证：对某个i，0≢i≢1992，在线段P i P i+1上有一个点Q(q x，q y)使2q x，2q y，均为奇整数．(1993年亚太地区数学奥林匹克)12．设n≣2，a1，a2，…，a n都是正整数，且a k≢k（1≢k≢n）．试证明：当且仅当a1+a2+…+a n为偶数时，可适当选取“+”号与“-”号，使a1±a2±…±a n=0．(1990年中国数学奥林匹克)本节“情景再现”解答：1．证明取十七位数a17a16…a2a1，颠倒其数字顺序后，所得数为Array a1a2…a16a17，把两数相加，如果和的各位数字都是奇数，则末位的a1＋a17是奇数，但和的首位数字是a17＋a1或a17＋a1＋1(当计算第16位数字时，如果没有进位，则为a17＋a1，若有进位，则为a17＋a1＋1)的末位数字(如果此和≣10，则此和是一个18位数，其首位为1)，若计算第16位时有进位，则第17位数字将是偶数a17＋a1＋1(或a17＋a1－9)，故第16位在计算时没有进位．这说明第16位的a2＋a16没有进位，此时，若第二位计算时有进位，则只能进1且由a2＋a16＝9，a1＋a17≣10引起，此时，和的第二位数字为0，与假设矛盾．即a1＋a17与a2＋a16均不能有进位．去掉a1、a2、a16、a17这4个数字后余下13位数，又可仿上证明，再连续去掉4位数字三次，剩下a9＋a9，只能得偶数．与假设矛盾，从而可知，和的各位数字中至少有一个是偶数．2．证明⑴当n为奇数时，因a、b同奇偶，所以an2+bn为偶数，又c为奇数，故an2+bn+c为奇数，所以an2+bn+c 0．⑵当n为偶数时，an2+bn为偶数，c为奇数，故其和an2+bn+c 为奇数，不等于零．3．证明我们不妨设棋盘的左上角为白格，设从上至下的行号依次为1，2，…，8，从左向右的列号依次为1，2，…，8．这样，国际象棋棋盘的每个方格被赋予一个坐标(a，b)，容易看出，棋盘的每个白格的坐标的两个分量之和都是偶数；每一个黑格的坐标的分量之和都是奇数．由条件，我们考虑这8枚棋子所在的坐标的各分量之和的总和S，则S＝(1+2+…+8)×2＝72．于是S为偶数，若黑格中的棋子数为k，就有k个奇数的和为偶数，从而k为偶数，即.棋盘的黑格中的棋子的个数为偶数．4．解按右图把棋盘的每个格子编号，由于共有3k行放了棋子，故每种编号的中放的棋子数一样多．每走一步，有两种编号上放的棋子数减少1，而第三种编号中放的棋子数增加1．于是每种格子中的棋子数的奇偶性都改变了．即开始时，每种格子中棋子数奇偶性相同，以后每走一步，三种格子中棋子数的奇偶性仍相同．如果最后只剩下1枚棋子，则有两种编号的中的棋子数为0，而另一种编号中的棋子数为1．奇偶性不同．矛盾．故不可能．5．证明若这些数都是奇数，则由于a2i≡1(mod 8)(i＝1，2，3，4，5)．所以a21+a22+a23+a24+a25≡5(mod 8)．但b2≡1(mod 8)，故证．6．证明记y i＝x i x i＋1x i＋2x i＋3，(1，2，…，n)，且x n＋r＝x r(r＝1，2，3，4)．则y i＝＋1或－1．由于y1＋y2＋…＋y n＝0，故{y1，y2，…，y n}中＋1与－1的个数相等，故2|n，设n＝2k(k∈N*)．即{y1，y2，…，y n}中有k个＋1，k个－1．又y1y2…y n＝x41x42…x4n＝1，但y1y2…y n＝(＋1)k(－1)k．故(－1)k＝1，从而k为偶数，设k＝4h(h∈N*)所以，n＝4h，即n是4的倍数．7．解若经过k次操作，第一次出现9个0，(即前面k－1次操作都没有出现9个0的情况)．这说明，第k－1次应该出现9个相同的数字，但不是0，而应出现全部是1，于是第k－2次操作所得应是全部0，1相间．于是圆周上的标数个数应为偶数个．但原来只标出9个数字，是奇数个，而经过1次操作，并不改变标出数字的个数．8．证明若n为奇数，则其每个因数都是奇数，于是d21+d22+d23+d24=n为偶数，矛盾．故n为偶数．故d1=1，d2=2，且d3、必一奇一偶．若d3=3，则d4≢6且d4必为偶数．当d4=4时，d21+d22 +d23+d24=30，不满足d4=4；当d4=6时d21+d22+d23+d24=50，不满足d4=6．故d3>3．3 |/n．若d3=4，则4|n，且d4为奇．由于d21+d22+d23+d24=n≡0(mod 4)，而d21≡1(mod4)，d22≡0(mod4)，d23≡0(mod4)，d24=1，与d21+d22+d23+d24≡0(mod 4)矛盾．故d3>4．4 |/n．从而d3必为奇数，于是由d21+d22+d23+d24=n≡2(mod4)故d4为偶数，从而d4=2d3．故1+4+d23+4d23=5+5d23=5(1+d23)=n，即5|n，d3=5，d4=10，⇒n=130．“习题13”解答：1．解设他到达某路口后，准备回火车站，此时设他已经到过这个交叉路口k次，前k－1次都是到达此路口又离开的，只有最后一次是他刚到达此路口的，从而他走过了连接该路口的2(k－1)＋1＝2k－1条街道(某条街道走过几次就算几条)，于是他不可能超过其中的每一条街道都是偶数次，即至少有一条街道他以前走过奇数次．于是，他可以沿此街道走下去，到达另一个路口，同样的道理，他又可选择一条他走过奇数次的街道走下去，由于他前面经过的街道是有限条，从而他不可能这样一直走下去，必于某一时刻到达车站．2．证明用数字代表颜色，红色记为1，蓝色记为－1．将小方格编号为1，2，…，n2，并记每个小方格四顶点的乘积为A i （i=1，2，…，n2）.若恰有三顶点同色，A i＝－1，否则A i=1．现在考虑乘：对正方形内部的交点，各点相应的数重复出现4次；积A1×A2×…×An2正方形各边上不是端点的交点所相应的数各出现2次；A、B、C、D四点＝1．因相应的数的乘积为1×1×(－1)×(－1)＝1．于是，A1×A2×…×An2中－1的个数必为偶数，即恰有三个顶点同色的小方此，A1，A2，…，An2格必有偶数个．3．解设原来写了p个0，q个1，r个2，每次操作，每种数字或增加1个，或减少1个，于是，每次操作，这3种数字的个数的奇偶性都同时改变，即p、q、r这三个数的奇偶性如果原来相同，则经过操作，其奇偶性仍相同，若原来奇偶性不同，则经过操作后奇偶性仍不同．若最后只留下一个数字，该数字的个数为奇，其余两个数字的个数为0，是偶数．这说明，原来p、q、r按奇偶性分类，必有2个属于同一类，这两类数最后全部擦去；另一个则属于另一类，而最后留下的数就是后一类的数．4．解考虑他走过水平的两条路，若这两条路之间没有走水平的路，则在这两条路上前进的方向不能相反，否则不是最短路，即走此两条路时的方向相同．由此可见，他在水平路上的前进方向始终相同，而在相邻的两次水平路间一定走过奇数条其他方向的路．故这两条水平路的路程数奇偶性相同．同理，其余两个方向上走的路程数的奇偶性也分别相同，即总有某个方向走了全路程的一半．5．证明设多项式x3+bx2+cx+d可以分解成两个多项式的乘积，则必可分解成一个一次式与一个二次式的积．设3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)，其中p、q、r都是整数．于是比较此式两边的系数，得pr=d；①pq+r=c；②p+q=b．③因bd+cd=(b+c)d为奇数，故d与b+c都是奇数．所以b与c必一奇一偶．⑴若b为奇数，c 为偶数，则由①：pr=d为奇数，故p与r都为奇数，所以由②知q为奇数，由③知q为偶数，二者矛盾；⑵若b为偶数，c为奇数，则由①知p与r都是奇数，于是由②得q 为偶数，由③得q 为奇数，二者矛盾．故x 3+bx 2+cx +d 不能分解成为两个整系数多项式的乘积．6．解 如果已知等式成立，又右边=x 4+(a +c )x 3+(b +d +ac )x 2+(bc +ad )x +bd ，于是有等式 x 4+2x 2+2000x +30=x 4+(a +c )x 3+(b +d +ac )x 2+(bc +ad )x +bd比较等式两边的对应项的系数，则有⎩⎨⎧a +c ＝0， ①b +d +ac ＝2， ②bc +ad ＝2000， ③bd ＝30． ④由④知，b 和d 一个为奇数，一个为偶数，不妨设b 为奇数，d 为偶数．再考虑③式，由d 是偶数，则ad 为偶数，又因为2000为偶数，则bc 必为偶数，再由b 为奇数得，c 为偶数.根据这些结果考虑②式，由b 为奇数，d 和c 为偶数可知b +d +ac 为奇数，可是等式右边是2，2为偶数，这样②式不可能成立，因此题目要求的a ，b ，c ，d 不存在．7．解 若能涂成，把黑格记为数“＋1”，白格记为数“－1”，于是所有各格中数的和为0．现把此方格表分成4个995×995的小方格表A 1，A 2，A 3，A 4如图．由于每个995×995方格中方格数都是奇数，从而其各数的和不等于0，由对称性知A 1与A 4、A 2与A 3中各数和符号相反，不妨设A 1、A 2中各数和为正，A 4、A 3中各数和为负．由于原方格表的前995行的和都为正，这说明此995行中不可能每行的数的和都为0．即存在某些行，该行中各数和为正．即该行中黑格比白格多．矛盾．故不可能涂成．8．证明 所给的硬币除指定的一枚硬币外，把余下的98枚分成两组，每组49枚，将它们分别置于两边的盘子上．如果两边的重量相差偶数克，那么取出那一枚硬币为真币；如果两边的重量相差奇数克，那么取出的那枚硬币是伪币．事实上，由于假币的重量与真币的重量相差奇数克，故当假币有奇数个时，这些假币的重量和必与相同个数的真币重量和相差奇数克，从而相差的克数不可能为0．所以在这99枚硬币中，假币有偶数枚．如果指定的这枚硬币是假币，则余下98枚硬币中，有奇行行。

函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

函数的奇偶性与对称性分析在数学领域中，函数的奇偶性以及对称性是重要的概念。

通过分析函数的奇偶性和对称性，我们可以推导出函数的性质和特点，进而解决一些相关的问题。

本文将介绍函数的奇偶性和对称性，并讨论它们对函数图像、奇偶函数的性质以及对称轴的位置等方面的影响。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，即在自变量取相反数时，函数的值是否相等。

如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。

1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：- 奇函数在原点处对称，即图像关于原点对称。

- 当函数的定义域包含原点时，奇函数的值为零$f(0)=0$。

- 奇函数的图像在第一象限和第三象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=-f(-x)$。

2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：- 偶函数在y轴上对称，即图像关于y轴对称。

- 当函数的定义域包含原点时，偶函数的值为零$f(0)=0$。

- 偶函数的图像在第一象限和第二象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=f(-x)$。

二、函数的对称性函数的对称性是指函数的图像相对于某个轴线或点具有对称关系。

1. 关于y轴的对称性如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则函数的图像关于y轴对称。

在坐标系中，可以通过将x坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于y轴对称。

2. 关于x轴的对称性如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数的图像关于x轴对称。

在坐标系中，可以通过将y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于x轴对称。

3. 关于原点的对称性如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则函数的图像关于原点对称。

在坐标系中，可以通过将x和y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于原点对称。

三、函数图像的绘制1. 偶函数的图像对于偶函数，可以仅绘制一侧的图像，然后通过关于y轴的对称性得到整个图像。

《奇偶性》教材分析
【教材分析】
本节课是人教版必修一§节《奇偶性》，本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．主要内容是从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念，学会利用定义判断简单函数的奇偶性．
教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．
从知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础．研究函数奇偶性的过程体现了数学的“从特殊到一般”、“数形结合”的思想方法，这对培养学生的思维能力和数学素养具有重要的意义．
值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．。

数学公式知识：函数的周期性与奇偶性的定义与性质分析函数的周期性与奇偶性是数学中非常基础的概念之一，在数学中具有重要作用。

在本篇文章中，我们将详细讨论函数的周期性和奇偶性的定义以及它们的性质。

一、周期性1.定义在数学中，周期性是指函数在一定区间内的取值在周期性地重复。

也就是说，如果对于函数f(x)来说，存在常数T>0，使得对于所有的x∈R都有f(x+T)=f(x)，那么我们就称f(x)是周期函数，这个常数T就是函数的周期。

2.周期性质周期函数具有许多性质，下面我们来看一下它们的主要特点：（1）周期函数易于求解对于周期函数，只需要求出函数的周期T，就可以轻易求解出函数在整个数轴上的取值。

将周期T拆成若干个区间，在每个区间上求解f(x)，然后复制到其他区间上，即可得到f(x)在整个数轴上的取值。

（2）周期函数的积分易于计算如果函数f(x)是可积的，并且它是周期函数，那么我们只需要在一个周期内计算它的积分，然后将积分值重复到整个数轴上即可。

这在具体计算中十分方便。

（3）函数的周期性对于图像的研究有很大作用对于周期函数，我们只需要研究周期内的图像特点即可。

周期性可以帮助我们更好地研究函数的变化趋势，从而更好地理解数学问题。

二、奇偶性1.定义在数学中，如果对于函数f(x)来说，对于所有的x∈R都有f(-x)=-f(x)，那么我们就称f(x)是奇函数。

类似地，如果对于函数f(x)来说，对于所有的x∈R都有f(-x)=f(x)，那么我们就称f(x)是偶函数。

也就是说，奇函数的图像关于原点(0,0)对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

常见的函数有sin(x)是奇函数，cos(x)是偶函数。

2.奇偶性质奇偶性也有许多重要的性质，下面我们来看一下它们的主要特点：（1）一个函数可以是奇偶性一个函数同时具有奇偶性是不可能的，因为如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么对于所有的x∈R都有f(-x)=-f(-x)，但是这是不成立的。

函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法可以通过以下步骤进行：
1. 对函数进行求导，求得函数的导函数。

根据函数导数的性质，奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

2. 对导函数进行判断。

如果导函数是奇函数，则原函数是偶函数；如果导函数是偶函数，则原函数是奇函数。

这是因为奇函数的导函数是偶函数，而偶函数的导函数是奇函数。

3. 对函数进行奇偶性的验证。

可以选择任意一个点，例如选择$x=0$或$x=1$，计算函数在这个点上的值。

如果函数在选定
的点上的函数值与该点的对称点的函数值相等，则函数是偶函数；如果函数在选定的点上的函数值与该点的对称点的函数值相反，则函数是奇函数。

4. 对函数进行数学性质的分析。

对于多项式函数，可以通过观察多项式的幂次、系数的奇偶性来判断函数的奇偶性。

例如，对于只包含偶次幂的多项式函数，它是偶函数；对于只包含奇次幂的多项式函数，它是奇函数。

5. 对函数进行图像观察。

通过绘制函数的图像，观察函数的对称性和变化趋势来判断函数的奇偶性。

奇函数的图像通常具有关于原点对称的特点，而偶函数的图像则具有关于y轴对称的特点。

通过以上方法的一个或多个的综合应用，可以准确地判断一个函数的奇偶性。